2018届高三数学每天一练半小时：第44练 不等式的解法 含答案
高三数学不等式试题答案及解析
高三数学不等式试题答案及解析1.已知且，若恒成立，(1)求的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）3；（2）或【解析】（1）且，若恒成立.即要求出的最大值.由柯西不等式可求得.（2）因为对任意的恒成立.所以等价于的最大值小于或等于.由（1）可得.所以等价于恒成立.通过讨论即求得x的范围.本小题的关键是关于恒成立的问题的正确理解.试题解析：（1），，（当且仅当，即时取等号）又∵恒成立，∴.故的最小值为3.（2）要使恒成立，须且只须.∴或或∴或.【考点】1.柯西不等式.2.绝对值不等式.2.设a>b>1,c<0,给出下列三个结论:①>;②a c<b c;③logb (a-c)>loga(b-c).其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③【答案】D【解析】由a>b>1可得0<<,又c<0,故>,①正确;结合幂函数y=x c的单调性可知,a>b>1时,若c<0则a c<b c;②正确;又a-c>b-c>1,故logb (a-c)>loga(a-c)>loga(b-c),③也正确,因此选D.3.若不等式a·4x-2x+1>0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是.【答案】a>【解析】不等式可变形为a>=()x-()x,令()x=t,则t>0,且y=()x-()x=t-t2=-(t-)2+,因此当t=时,y取最大值,故实数a的取值范围是a>.4.已知x>0，y>0，若不等式恒成立，则实数m的最大值为() A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】m≤ (2x＋y)＝5＋2 ，＝9，所以m的最大值为9.5.已知平面区域， (是常数)，，记为事件，则使的常数有A．个B．个C．个D．个以上【答案】C【解析】平面区域表示的是图中边长为3的正方形内部及边界；正方形面积为9.事件表示在正方形内且在过定点的直线上方的平面区域；且该区域的面积为由图形可知：这样的直线存在两条；故选C6.不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略7.若关于的不等式组，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】由题意得：垂直，因此选A．【考点】线性规划8.设，，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，，故选A．【考点】比较大小．9.已知是定义在的函数，对任意两个不相等的正数，都有，记，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】设．由得，即，故函数是定义在的单调递减函数．又因为，所以．【考点】构造函数利用函数的单调性比大小．10.设实数满足则的最大值为．【答案】4【解析】不等式组表示的平面区域如图三角形及其内部，且A（4，0）．目标函数可看作直线在y轴上的截距的-2倍，显然当截距越小时，z越大．易知，当直线过点A时，z最大，且最大值为4-2×0=4．【考点】线性规划求最值．11.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若存在实数x，使得，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）不等式的解集为；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）解绝对值不等式的思路是利用零点法去绝对值，根据零点对变量x进行分类，分别求不等式的解最后对几种情况的解集求并集；（Ⅱ）存在性问题常转化为最值问题，本题转化为．试题解析：（Ⅰ）①当时，，所以，②当时，，所以为，③当时，，所以，综合①②③不等式的解集为．（Ⅱ）即，由绝对值的几何意义，只需．【考点】•解绝对值不等式；‚存在性问题求参数．12.设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为，向内随机投一个点，则该点落在内的概率为．【答案】【解析】如图所示区域是及其内部．即，所以其面积为．区域是图中阴影部分，面积为．所以所求概率为．【考点】1几何概型概率；2定积分的几何意义．13.设，实数满足若的最大值是0，则实数=_______，的最小值是_______．【答案】，【解析】作出实数表示的平面区域如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最大值，即，解得；当目标函数经过点时取得最小值，所以．【考点】简单的线性规划问题．【技巧点睛】平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．线性目标函数中的不是直线在轴上的截距，把目标函数化可知是直线在轴上的截距，要根据的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．14.若对于一切实数，不等式恒成立，则的取值范围是_____．【答案】【解析】将不等式变形为，因为在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，即，若，不等式显然成立，若，则须，即，综上所述，即的取值范围是；故填．【考点】1．不等式恒成立；2．函数的单调性．【易错点睛】本题考查“对号”函数的单调性和不等式恒成立问题，属于中档题；本题的易错点有两处：一是利用基本不等式求最值导致错误（因为利用基本不等式只能求的最小值，而不能求的最大值），二是易忽视对实数的讨论（忘记的情形），导致解题过程不严密．15.已知正数满足，则的最小值为_________．【答案】9【解析】，的最小值是9．【考点】基本不等式求最值．【易错点晴】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题．利用基本不等式求最值时一定要牢牢把握住“一正、二定、三相等”这一基本原则，才能减少出错．本题最易用以下错误方法解答：（出错原因是同时成立时原式没有意义）．16.设变量满足约束条件，若目标函数的最大值为14，则值为（）A．1B．或C．D．【答案】C【解析】首先根据已知约束条件画出其所表示的平面区域，如下图所示，然后由目标函数的最大值为14，此时目标函数经过点，所以，所以，故应选．【考点】1、简单的线性规划问题．17.已知，满足约束条件，若的最大值为，则（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】根据题意作出满足约束条件下的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，所以，解得，故选C．【考点】简单的线性规划问题．18.选修4－5：不等式选讲设函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对一切实数均成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，解相应的一次不等式，最后取并集即可；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式可求得的最小值，从而可得m的取值范围．试题解析：（I）当x时， f（x）=2x+1-（x-4）=x+5>0，得x>-5，所以x成立．当时，f（x）=2x+1+x-4=3x-3>0，得x>1，所以1<x<4成立．当时， f（x）=-x-5>0，得x<-5，所以x<-5成立．综上，原不等式的解集为．（II）f（x）+=|2x+1|+2|x-4|．当时等号成立，所以．【考点】绝对值不等式的解法．19.若满足不等式组，且的最大值为2，则实数的值为（）A．-2B．C．1D．【答案】D【解析】作出题设不等式组表示的可行域，只有如图情形都能有封闭的区域，作直线，当直线向上平移时，增大，由题意可知当过点时取最大值2，由得，所以，解得．故选D．【考点】含参数的简单线性规划问题．20.已知实数，满足，则目标函数的最大值为______．【答案】．【解析】作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，∴点的坐标为，∴，故填：．【考点】线性规划．21.选修4-5：不等式选讲已知函数（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）．；（Ⅱ）．【解析】含绝对值的函数，由绝对值定义去掉绝对值符号化为分段函数形式，解不等式时，只要分段求解，最后合并即可；（Ⅱ）若存在使不等式恒成立，即小于等于的最大值，由绝对值的性质可有，从而只要解不等式即得．试题解析：（Ⅰ）当时，，等价于或或，解得或，不等式的解集为．（Ⅱ）由不等式性质可知，若存在实数，使得不等式成立，则，解得，实数的取值范围是．【考点】解含绝对值的不等式，不等式恒成立，绝对值的性质．22.选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为,求参数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】含绝对值的函数与不等式工，可根据绝对值定义，令每个绝对值里式子为0，求得的值，这些的值把实数分成若干区间，在每个区间内去绝对值符号可得解，（1）在每个区间求得不等式的解后，要求并集；（2）求出函数的最小值就可得到结论．试题解析：（1）当时，，得到，当时，，得到，当时，，得到，综上，不等式解集为．（2）由题意知，对一切实数恒成立，当时，，当时，，当时，．综上，．故．【考点】解绝对值不等式，不等式恒成立，函数的最值．23.若关于的不等式至少有一个负数解，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】关于的不等式，即，且，在同一坐标系中，画出和函数的图象，当函数的图象则左支经过点时，求得，当函数的图象则右支和图象相切时，方程组有唯一的解，即有唯一的解，故，解得，所以实数的取值范围是，故选D．【考点】函数的图象与性质的应用．24.实数x、y满足条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．1B．﹣1C．D．2【答案】B【解析】由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，由几何意义可得．解：由题意作出其平面区域，将z=x﹣y化为y=x﹣z，﹣z相当于直线y=x﹣z的纵截距，则过点（0，1）时，z=x﹣y取得最小值，则z=0﹣1=﹣1，故选B．【考点】简单线性规划．25.设为坐标原点，，若点满足，则的最大值是．【答案】【解析】的可行域如图，，由图可知，当直线与圆相切与时，可以取到最大值，原点到直线的距离等于，所以，即，故答案为．【考点】线性规划和向量数量积的坐标运算．【方法点晴】本主要考查线性规划中已知可行域求目标函数的最值，属于容易题．本题关键是将目标函数转化成坐标：，利用数形结合的方法求出目标函数的最大值．在直角坐标系画可行域时注意“直线定界，点定域”的原则．26.运行如下图所示的程序框图，当输入时的输出结果为，若变量，满足，则目标函数的最大值为 .【答案】5【解析】由程序框图，得；将化为，作出表示的平面区域和目标函数基准直线，当直线向右上方平移时，直线在轴上的截距增大，由图象，得当直线过点时，取得最大值；故填5．【考点】1.程序框图；2.简单的线性规划．【方法点睛】本题考查程序框图的循环结构、简单的线性规划问题，属于基础题；处理简单的线性规划问题，一般是先画出不等式组表示的平面区域和目标函数基准直线，通过目标函数的几何意义找出最优解，要注意目标函数基准直线和可行域边界的倾斜程度，另外，还可以将可行域的顶点坐标代入目标函数求值，比较求出最值即可.27.已知x，y满足不等式组则函数z=2x+y取得最大值与最小值之和是（）A．3B．9C．12D．15【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求出最值即可．解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，使目标函数z=2x+y取得最大值时过点B，联立，解得，故z的最大值是：z=12，取到最小值时过点A，联立，解得，故z的最小值是：z=3，∴最大值与最小值之和是15，故选：D．【考点】简单线性规划．28.设实数满足不等式组，则的最大值为 .【答案】【解析】当，取最大值.【考点】线性规划.29.设中变量满足条件，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】作出约束条件表示的可行域，如图所示，由，得，令，则，由可行域可知当直线经过点时截距最小，即最小，解方程组，得，所以的最小值为，的最小值为．【考点】简单的线性规划．30.已知函数.（1）试求的值域；（2）设，若对，，恒有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）这是含绝对值的函数，可以利用绝对值的性质求得最大值和最小值，也可利用绝对值的定义去绝对值符号后再求得最值，还可利用绝对值的几何意义得结论；（2）题意中不等式恒成立，实际上就是，由基本不等式性质知，即，列出不等式可解得的范围．试题解析：（1）∵∴，∴的值域为（2）∴，由题意知，∴【考点】含绝对值的函数的值域，不等式恒成立．31.【选修4-5，不等式选讲】设，（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、恒成立问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，先解不等式，得到的不等式的解集和已知解集相同，对应系数相等，求出a的值；第二问，先将存在，使得不等式成立，转化为，再求m的取值范围.试题解析：（Ⅰ）显然，当时，解集为，，无解；当时，解集为，令，，综上所述，.（Ⅱ）当时，令由此可知，在单调减，在单调增，在单调增，则当时，取到最小值，由题意知，，则实数的取值范围是【考点】本题主要考查：1.绝对值不等式；2.恒成立问题.32.已知实数x，y满足条件，则使不等式成立的点（x，y）的区域的面积为（）A．1B．C．D．【答案】A【解析】因为实数满足条件，所以画出其表示的可行域，在直线上方部分即是的区域，如图所示，面积为，故选A.【考点】1、可行域的画法；2、二元一次不等式的几何意义.33.选修4-5：不等式选讲已知函数同时满足或.（1）求实数的值；（2）记函数的最小值为,若,求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）运用绝对值不等式的性质推证求解；（2）借助题设条件基本不等式进行求解.试题解析:（1）由,得,即,由,得,即,因为和同时成立, 所以.（2）,且当且仅当即时取等号, 所以,由得,所以,当且仅当,且,即时取等号. 所以的最小值为.【考点】不等式的相关知识及运用．34.选修4-5：不等式选讲已知函数。
不等式的解法试题
高一数学同步测试2—不等式的解法一、选择题：1．不等式1≤｜x －3｜≤6的解集是A ．｛x ｜－3≤x ≤2或4≤x ≤9｝B ．｛x ｜－3≤x ≤9｝C ．｛x ｜－1≤x ≤2｝D ．｛x ｜4≤x ≤9｝2．已知集合A ={x ||x －1|＜2},B ={x ||x －1|＞1},则A ∩B 等于A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ＞3}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3} 3．不等式|2x －1|＜2－3x 的解集为A ．{x |x ＜53或x ＞1} B ．{x |x ＜53}C ．{x |x ＜21 或 21＜x ＜ 53}D ．{x |－3＜x ＜31} 4．已知集合A={x ||x ＋2|≥5},B={x |－x 2＋6x －5＞0},则A∪B 等于A ．RB ．{x |x ≤－7或x ≥3}C ．{x |x ≤－7或x ＞1}D ．{x |3≤x ＜5} 5．不等式3129x -≤的整数解的个数是A ．7B ．6C ．5D ．4 6．不等式3112x x-≥-的解集是A ．324x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．324x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．324x x x ⎧⎫≤>⎨⎬⎩⎭或D ．{}2x x <7．已知集合A ={x ||x －1|＜2},B ={x ||x －1|＞1},则A ∩B 等于A ．{x |－1＜x ＜3}B ．{x |x ＜0或x ＞3}C ．{x |－1＜x ＜0}D ．{x |－1＜x ＜0或2＜x ＜3}8．己知关于x 的方程m ＋3x 2－4m x ＋2m －1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数m 的取值范围是A ．－3＜m ＜0B ．m ＜－3或m ＞0C ．0＜m ＜3D ．m ＜0 或 m ＞39．设集合{}{}2450,0P x x x Q x x a =--<=-≥,则能使P ∩Q=φ成立的a 的值是 A ．{}5a a > B ．{}5a a ≥C ．{}15a a -<<D ．{}1a a >10．已知0a >,若不等式43x x a -+-<在实数集R 上的解集不是空集,则a 的取值范围是A ．0a >B ．1a >C ． 1a ≥D ．2a >11．已知集合A ＝｛x ｜x 2－x －6≤0｝,B ＝｛x ｜x 2＋x －6＞0｝,S ＝R,则C S A ∩B 等于A ．｛x ｜－2≤x ≤3｝B ．｛x ｜2＜x ≤3}C ．｛x ｜x ≥3或x ＜2}D ．｛x ｜x ＞3或x ≤2｝12．设集合{}212,12x A x x a B x x ⎧-⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭,若A B ⊆,则a 的取值范围是 A ．{}01a a ≤≤B ．{}01a a <≤C ．{}01a a <<D ．{}01a a ≤<二、填空题：13．已知集合A={x ||x ＋2|≥5},B={x |－x 2＋6x －5＞0},则A∪B= ； 14．若不等式2x －1＞m x 2－1对满足－2≤x ≤2 的所有实数m 都成立,则实数x 的取值范围是 ．15．不等式0≤x 2＋m x ＋5≤3恰好有一个实数解,则实数ｍ的取值范围是 ． 16．己知关于x 的方程m ＋3x 2－4mx ＋2m －1=0 的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数m 的取值范围是 ．三、解答题： 17．解下列不等式：⑴|x ＋2|＞x ＋2； ⑵3≤|x －2|＜9．18．解关于x 的不等式：1 x 2－a ＋1x ＋a ＜0,2 0222>++mx x ．19．设集合A={x |x 2＋3k 2≥2k 2x －1},B={x |x 2－2x －1k ＋k 2≥0},且A B,试求k 的取值范围．20．不等式m 2－2m －3x 2－m －3x －1＜0的解集为R,求实数m 的取值范围．21．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ,当y ＜0时,有－21＜x ＜31,解关于x 的不等式 qx 2＋px ＋1＞0．22．若不等式012>++p qx x p的解集为{}42|<<x x ,求实数p 与q 的值．参考答案一、选择题： ADBCA BDABB DA 二、填空题：13.{x |x ≤－7或x ＞1},14. 231271+<<+-x ,=±2,16.－3＜ m ＜0三、解答题：17、解析：⑴ ∵当x ＋2≥0时,|x ＋2|=x ＋2,x ＋2＞x ＋2无解.当x ＋2＜0时,|x ＋2|=－x ＋2＞0＞x ＋2 ∴当x ＜－2时,｜x ＋2｜＞x ＋2 ∴不等式的解集为｛x ｜x ＜－2｝ ⑵原不等式等价于不等式组⎩⎨⎧<-≥-9|2|3|2|x x由①得x ≤－1或x ≥5;由②得－7＜x ＜11,把①、②的解表示在数轴上如图, ∴原不等式的解集为{x |－7＜x ≤－1或5≤x ＜11}.18、解析：1原不等式可化为：,0)1)((<--x a x 若a ＞1时,解为1＜x ＜a ,若a ＞1时, 解为a ＜x ＜1,若a =1时,解为φ① ②2△=162-m ．①当时或即440162>-<>-m m m ,△＞0．方程0222=++mx x 有二实数根：.416,4162221-+-=---=m m x m m x∴原不等式的解集为.416416|22⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-+->---<m m x m m x x 或 ①当m =±4 时,△=0,两根为.421mx x -== 若,4=m 则其根为－1,∴原不等式的解集为{}1,|-≠∈x R x x 且． 若,4-=m 则其根为1,∴原不等式的解集为{}1,|≠∈x R x x 且． ②当－4＜4<m 时,方程无实数根．∴原不等式的解集为R ．19．解析：}0)]1()][13([|{≥+---=k x k x x A ,比较,1,13的大小+-k k因为),1(2)1()13(-=+--k k k1当k ＞1时,3k －1＞k ＋1,A={x |x ≥3k －1或x 1+≤k }. 2当k =1时,x R ∈.3当k ＜1时,3k －1＜k ＋1,A={}131|+≤+≥k x k x x 或.B 中的不等式不能分解因式,故考虑判断式k k k k 4)(4422-=+-=∆, 1当k =0时,R x ∈<∆,0. 2当k ＞0时,△＜0,x R ∈.3当k ＜0时,k k x k k x -+≥--≤>∆或,0.故：当0≥k 时,由B=R,显然有A B ⊆,当k ＜0时,为使A B ⊆,需要⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+≥+--≤-kk k kk k 113k 1-≥,于是k 1-≥时,B A ⊆. 综上所述,k 的取值范围是：.010<≤-≥k k 或20.解析： １当m 2－2m －3＝0,即m ＝3或m ＝－1时,①若m ＝3,原不等式解集为R②若m ＝－1,原不等式化为4x －1＜0∴原不等式解集为｛x ｜x ＜41＝,不合题设条件. ２若m 2－2m －3≠0,依题意有⎪⎩⎪⎨⎧<--+-=∆<--0)32(4)3(032222m m m m m 即⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<-35131m m ∴－51＜m ＜3 综上,当－51＜m ≤3时,不等式m 2－2m －3x 2－m －3x －1＜0的解集为R .21.解析： 由已知得x 1＝－21,x 2＝31是方程x 2＋px ＋q =0的根,∴－p =－21＋31q =－21×31∴p ＝61,q ＝－61,∴不等式qx 2＋px ＋1＞0即－61x 2＋61x ＋1＞0∴x 2－x －6＜0,∴－2＜x ＜3. 即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为｛x ｜－2＜x ＜3｝.22．解析：由不等式012>++p qx x p的解集为{}42|<<x x ,得2和4是方程012=++p qx x p的两个实数根,且01<p ．如图∴ .04242012<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+<p p pq P解得.223,22=-=q P 注：也可从)4)(2(112--=++x x pq px x p 展开,比较系数可得．yxo 24。
高职高考复习精品习题：不等式的解法(含答案)
不等式的解法一、 选择题：1、下列语句中正确的是（ ）A 、若b a >，b c >，则c a >B 、若b a >，则22bc ac >C 、若b a >，则c b c a ->-D 、若b a >，d c >，则bd ac > 2、不等式62<≤-x 用区间表示为 （ ）A 、]6,2[-B 、]6,2(-C 、)6,2[-D 、)6,2(- 3、不等式362≤x 的解集是（ ）A 、}6{±≤x xB 、}66{≤≤-x xC 、}66{<<-x xD 、}6{-≤x x 4、不等式0542>+-x x 的解集是（ ）A 、),(+∞-∞B 、),5()1,(+∞--∞C 、∅D 、),1()5,(+∞--∞ 5、不等式032≤-x x的解集是 （ ）A 、]0,3(-B 、)3,0[C 、]3,3(-D 、)3,3[- 6、不等式0)2)(1)(2(<--+x x x 的解集是（ ）A 、)2,1()2,( --∞B 、),2()1,2(+∞-C 、)2,(--∞D 、)2,1( 7、不等式35>+x 的解集是（ ）A 、}88{<<-x xB 、}22{<<-x xC 、}22{>-<x x x 或D 、}28{->-<x x x 或8、若不等式02<++q px x 的解集是}23{<<-x x ，则p ，q 的值分别是（ ）A 、2-，3B 、1，6-C 、1-，6-D 、1-，6 二、填空题：1、若))((232b x a x x x --=+-，则=+b a2、关于x 的方程1)(32+-=-k x k x 的解是负数，则k 的取值范围是3、不等式组⎩⎨⎧≥>12x x 的解集用区间表示为4、若方程0)1(2=+-+m mx x 有两个不相等的实根，则m 的取值范围是三、解答题：1、解下列不等式或不等式组： （1）1234+>+xx（2）⎪⎩⎪⎨⎧>+≤053121x x（3）0652≥--x x（4）211<+-x x2、证明：当1>a 时，123+->a a a3、解含绝对值不等式： 412<-++x x【参考答案】一、选择题：二、 填空题：1、 32、 21<k 3、),2(+∞ 4、2-≠m 三、解答题：1、（1）解：不等式两边同时乘以6，得63)4(2+>+x x2->-x2<x ∴原不等式的解集为)2,(-∞ （2）解：由①得 2≤x由②得 35->x∴原不等式组的解集为]2,35(-（3）解：0)6)(1(≥-+x x由0)6)(1(=-+x x 得6,121=-=x x ∴原不等式的解集为),6[]1,(+∞--∞（4）解：0211<-+-x x 整理得013<+--x x 013>++∴x x 0)1)(3(>++∴x x由0)1)(3(=++x x 得1,321-=-=x x∴原不等式的解集为），（），（∞+--∞-132、证明：)1(23+--a a a123-+-=a a a)1()1(2-+-=a a a )1)(1(2+-=a a1>a 01>-∴a 而012>+a0)1)(1(2>+-∴a a123+->∴a a a3、解：当2-≤x 时，原不等式化为412<-+--x x解得25-<x这时，25-<x当12≤≤-x 时，原不等式化为412<-++x x 即43<这时，12≤≤-x当1≥x 时，原不等式化为412<-++x x解得23<x这时，231<≤x综上所述，原不等式的解集为)23,2[)25,(---∞。
高中数学《不等式的解法》习题(含解析)
8．设实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】 【分析】 根据不等式,举出符合要求的值,代入检验即可判断是否成立.或根据指数函数与对数函 数的图像和性质,判断是否成立. 【详解】
实数
满足
对于 A,当 以 A错误; 对于 B,当
时, 时,
,此时
,所
,此时
,所以 B错误;
对于 C,当
时,
,由幂函数
【答案】（1）证明见解析，
；（2）
． 【详解】
（1）由题意，数列 满足
，
可得
，
，即
，
，
所以 所以 又由
是以 2为公比，以
，
，
当
，
成立，
所以数列 的通项公式为
（2）由（1）可得
所以
为首项的等比数列，
． ．
， ．
试卷第 1页，总 3页
令 则 两式相减得
解得
，
， ， ，
又由
，故
．
10．用清水漂洗衣服上残留的洗衣液，对用一定量的清水漂洗一次的效果作如下假定： 用 1个单位量的水可洗掉衣服上残留洗衣液质量的一般，用水越多漂洗效果越好，但总 还有洗衣液残留在衣服上.设用 单位量的清水漂洗一次后，衣服上残留的洗衣液质量
与本次漂洗前残留的洗衣液质量之比为函数
，其中 .
（1）试规定
的值，并解释其实际意义；
（2）根据假定写出函数
应该满足的条件和具有的性质，并写出满足假定的一个
指数函数；
（3）设函数
.现有 （
）单位量的清水，可供漂洗一次，也可以把
水平均分成 2份后先后漂洗两次，试确定哪种方式漂洗效果更好？并说明理由.
高考数学总复习课时作业44均值不等式理B试题
课时作业(四十四) 均值不等式制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日A 级1．(2021·模拟)设a ，b ∈R ，命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，那么p是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，那么f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．(2021·卷)以下不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 4．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，假设A ，B ，C 三点一共线，那么1a ＋2b的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．105．(2021·卷)某车间分批消费某种产品，每批的消费准备费用为800元．假设每批消费x 件，那么平均仓储时间是为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的消费准备费用与仓储费用之和最小，每批应消费产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件6．x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，那么xy 的最大值为________．7．(2021·长安一中质检)a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，那么1a ＋1b的最小值是________．8．(2021·豫西五校联考)a ，b ∈R ，且ab ＝50，那么|a ＋2b |的最小值是________．9．当x 2－2x ＜8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________．10．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值； (2)x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝2x ＋5y的最小值．11．lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．B 级1．(2021·卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，那么( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b22．(2021·皖北四联考)二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，那么a ＋1c＋c ＋1a的最小值为__________． 3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据场调查，假设价格每进步1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，进步年销售量．公司决定明年对该商品进展全面技术革新和营销策略HY ，并进步定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应到达多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．详解答案课时作业(四十四)A 级1．B 命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．2．C ∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴x ＋1x －2＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x －2≤－2－x ·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，等号成立．3．C 应用根本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意根本不等式的应用条件及取等号的条件．当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，应选项A 不正确；运用根本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，应选项B 不正确；由根本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，应选项D 不正确． 4．C AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →一共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋4＝8，当且仅当b a＝4ab，即b ＝2a 时等号成立．5．B 假设每批消费x 件产品，那么每件产品的消费准备费用是800x ，存储费用是x8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 6．解析： ∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.时xy 获得最大值3.答案： 37．解析： 由条件ln(a ＋b )＝0得a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝a b，即a ＝b ＝12时取“＝〞号，所以1a ＋1b的最小值是4.答案： 48．解析： 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案： 209．解析： 由x 2－2x ＜8得x 2－2x －8＜0， 即(x －4)(x ＋2)＜0，得－2＜x ＜4，∴x ＋2＞0，而y ＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋22－5x ＋2＋1x ＋2＝(x ＋2)＋1x ＋2－5≥2－5＝－3.等号当且仅当x ＝－1时获得． 答案： －310．解析： (1)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)由条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 那么2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2.当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立．故z 的最小值为2.11．解析： 由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0y ＞03xy ＝x ＋y ＋1(1)∵x ＞0，y ＞0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0， ∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2， 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.B 级1．A 设甲乙两地相距为s ，那么v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b.由于a ＜b ，∴1a ＋1b ＜2a，∴v ＞a ，又1a ＋1b ＞21ab，∴v ＜ab .故a ＜v ＜ab ，应选A.2．解析： ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，∴a ＞0且Δ＝4－4ac ＝0，∴c ＝1a，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a＋1a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)，∴a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为4. 答案： 43．解析： (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.∴当该商品明年的销售量a 至少应到达10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。
高三数学不等式的性质试题答案及解析
高三数学不等式的性质试题答案及解析1.若，，则一定有（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又.选D【考点】不等式的基本性质.2.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A．a>b B．a＝bC．a<b D．a，b的大小不确定【答案】C【解析】a＝－＝，b＝－＝，因为＋>＋，所以a<b，故选C.3.已知a，b，c∈{正实数}，且a2＋b2＝c2，当n∈N，n>2时比较c n与a n＋b n的大小．【答案】a n＋b n<c n.【解析】解：∵a，b，c∈{正实数}，∴a n，b n，c n>0，而＝()n＋()n.∵a2＋b2＝c2，则()2＋()2＝1，∴0<<1,0<<1.∵n∈N，n>2，∴()n<()2，()n<()2，∴＝()n＋()n<＝1，∴a n＋b n<c n.4.若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．【答案】C【解析】A: ，∴，∴A错误；B：∵，∴，∴B错误；C：，∴C正确；D：，∴D错误.【考点】不等式的性质、作差比较大小.5. [2014·银川质检]当x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，由此可以推广为x＋≥n＋1，取值p等于 ()A．n n B．n2C．n D．n＋1【答案】A【解析】∵x∈(0，＋∞)时可得到不等式x＋≥2，x＋＝＋＋()2≥3，∴在p位置出现的数恰好是不等式左边分母x n的指数n的n次方，即p＝n n.6. (2014·鄂州模拟)已知函数f(x)=x2,g(x)=-m,当x∈[1,2]时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数m的取值范围是()A．B．C．(3,+∞)D．(4,+∞)【答案】B【解析】不等式f(x)≥g(x),即x2≥-m,因此m≥-x2.令h(x)=-x2,由于h(x)在[1,2]上单调递减,所以h(x)的最大值是h(1)=-,因此实数m的取值范围是.7.已知a,b,c,d∈R,用分析法证明：ac+bd≤并指明等号何时成立.【答案】见解析【解析】(1)当ac+bd≤0时,≥0,故不等式显然成立,此时a=b=c=d=0时等号成立.(2)当ac+bd>0时,要证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2.即证2abcd≤a2d2+b2c2,即0≤(bc-ad)2.因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故不等式成立,此时等号成立的条件为bc=ad.所以由(1)(2)知原不等式成立.8.已知，则a,b,c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．b＜c＜a【答案】A【解析】，∴a＜b＜c．9.设，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，则知即所以即；令，满足，但.所以是的充分而不必要条件.选.【考点】充要条件.10.若不等式x2+ax+1≥0对一切成立，则a的最小值为（）A．0B．﹣2C．D．﹣3【答案】C【解析】设f（x）=x2+ax+1，则对称轴为x=若≥，即a≤﹣1时，则f（x）在〔0，〕上是减函数，应有f（）≥0⇒﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0时，则f（x）在〔0，〕上是增函数，应有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，则应有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0综上，有﹣≤a．故选C11.若当P(m,n)为圆上任意一点时，不等式恒成立，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，可以看作是点P(m,n)在直线的右侧，而点P(m,n)在圆上，实质相当于是在直线的右侧并与它相离或相切。
2018届高三数学每天一练半小时：阶段滚动检测试卷(一)有答案
一、选择题1．如图所示的Venn 图中，阴影部分对应的集合是( )A ．A ∩B B ．∁U (A ∩B )C ．A ∩(∁U B )D ．(∁U A )∩B2．命题“若a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0”的逆否命题是( )A ．“若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0”B ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0”C ．“若a ＝0且b ＝0，则a 2＋b 2≠0”D ．“若a 2＋b 2≠0，则a ≠0且b ≠0”3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数f (x )＝11－x 2的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∪(∁R N )等于() A ．{x |x <1} B ．{x |x ≥－1}C ．{x |－1<x ≤1}D ．{x |－1≤x <1}5．下列各组函数中是同一个函数的是( )①f (x )＝－2x 3与g (x )＝x －2x ；②f (x )＝x 与g (x )＝x 2；③f (x )＝x 2与g (x )＝x 4；④f (x )＝x 2－2x －1与g (t )＝t 2－2t －1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①④6．若a ＝2－3.1，b ＝0.53，c ＝log 3.14，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <c <bD ．a <b <c7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t x，x <2，log t (x 2－1)，x ≥2，且f (2)＝1，则f (1)等于( )A ．8B ．6C ．4D ．28．给出下列四个函数：①y ＝x ·sin x ；②y ＝x ·cos x ；③y ＝x ·|cos x |；④y ＝x ·2x.这四个函数的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照从左到右的顺序将图象对应的函数序号安排正确的一组是( )A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②①9．已知函数f (x )是偶函数且满足f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－2，－1)∪(0,1) 10．已知命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0.命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中为真命题的是( )A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④ 11．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12 12．已知定义域为A 的函数f (x )，若对任意的x 1，x 2∈A ，都有f (x 1＋x 2)－f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )为“定义域上的M 函数”，给出以下五个函数：①f (x )＝2x ＋3，x ∈R ；②f (x )＝x 2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；③f (x )＝x 2＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12；④f (x )＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；⑤f (x )＝log 2x ，x ∈[2，＋∞)．其中是“定义域上的M 函数”的有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝|x |，x ∈R }，则A ∩B 中元素的个数为________．14．已知p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋a ≤0，若p 是错误的，则实数a 的取值范围是__________．(用区间表示)15．已知函数f (x )＝12(31)4,0,(log ),0,a x a x f x x -+<⎧⎪⎨≥⎪⎩若f (4)>1，则实数a 的取值范围是____________．16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上；②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ k (x ＋1)，x <0，x 2＋1，x ≥0，有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题17．设p ：f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数；q ：若x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，则不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立．若p 不正确，q 正确，求实数m 的取值范围．18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |a －1<x <2a ＋1}，B ＝{x |0<x <1}．(1)若a ＝12，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，x ∈[19，9]． (1)若t ＝log 3x ，求t 的取值范围；(2)求f (x )的最值及取得最值时对应的x 的值．20．已知p ：“∃x 0∈(－1,1)，x 20－x 0－m ＝0(m ∈R )”是正确的，设实数m 的取值集合为M .(1)求集合M；(2)设关于x的不等式(x－a)(x＋a－2)<0(a∈R)的解集为N，若“x∈M”是“x∈N”的充分条件，求实数a 的取值范围．21.据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示．过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．22．已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数a，使不等式f(x)≥2x－3对任意x∈R恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．答案精析1．C [根据题图可知，阴影部分是由属于A 且不属于B (属于∁U B )的元素组成的集合，观察各选项易得结果．]2．A [逆否命题是将原命题的条件与结论先调换位置，再将新条件与新结论同时否定，故选A.]3．A [A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，若a ＝3，则A ＝{1,3}，所以A ⊆B ；若A ⊆B ，则a ＝2或a ＝3，所以“a ＝3”是“A ⊆B ”的充分不必要条件．]4．A [M ＝{x |1－x 2>0}＝{x |－1<x <1}，N ＝{x |1＋x >0}＝{x |x >－1}，所以M ∪(∁R N )＝{x |－1<x <1}∪{x |x ≤－1}＝{x |x <1}．]5．C [①中，f (x )＝－2x 3＝－x －2x ，故f (x )，g (x )不是同一个函数；②中，g (x )＝x 2＝|x |，故f (x )，g (x )不是同一个函数；易知③④中两函数表示同一个函数．]6．D [因为a ＝2－3.1，b ＝0.53＝2－3，函数y ＝2x 在R 上单调递增，所以2－3.1<2－3<20＝1，又函数y ＝log 3.1x 在(0，＋∞)上单调递增，所以c ＝log 3.14>log 3.13.1＝1，所以a <b <c .]7．B [因为f (2)＝1，所以log t (22－1)＝log t 3＝1，解得t ＝3，所以f (1)＝2×31＝6.]8．A [本题是选择题，可利用排除法．对于①，令y ＝f (x )，∵f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x ·sin x ＝f (x )，∴函数y ＝f (x )为偶函数，故①中的函数对应第1个图象，排除C 和D ；对于③，当x >0时，y ≥0，故③中的函数对应第4个图象，排除B.]9．C [若x ∈[－2,0]，则－x ∈[0,2]，此时f (－x )＝－x －1.∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝－x －1＝f (x )，即f (x )＝－x －1，x ∈[－2,0]．∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的函数．若x ∈[2,4]，则x －4∈[－2,0]，∴f (x )＝f (x －4)＝－(x －4)－1＝3－x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x －1，－2≤x <0，x －1，0≤x <2，3－x ，2≤x ≤4，作出函数f (x )在[－2,4]上的图象，如图所示，若0<x ≤3，则不等式xf (x )>0等价于f (x )>0，此时1<x <3；若－1≤x <0，则不等式xf (x )>0等价于f (x )<0，此时－1<x <0；若x ＝0，显然不等式xf (x )>0的解集为∅.综上，不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为(－1,0)∪(1,3)．]10．D [函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数⇒f (－x )＝f (x )⇒a ＝0⇒p 为真命题；关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解⇒Δ＝4－4m ≥0⇒m ≤1⇒q 为假命题．故①④为真，故选D.]11．A [根据题意知，当x ∈(－1,0]时，x ＋1∈(0,1]，则f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，故函数f (x )在(－1,0]上是减函数，在[0,1]上是增函数．函数g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]内有2个零点，相当于函数f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有2个交点，若其中1个交点为(1,1)，则m ＝12，结合函数的图象(图略)，可知m 的取值范围是(0，12]，故选A.] 12．C [对于①，∀x 1，x 2∈R ，f (x 1＋x 2)＝2(x 1＋x 2)＋3<2(x 1＋x 2)＋6＝f (x 1)＋f (x 2)，故①满足条件；对于②，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22， 当x 1x 2>0时，不满足f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故②不是“定义域上的M 函数”；对于③，∀x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，f (x 1＋x 2)＝x 21＋x 22＋2x 1x 2＋1，f (x 1)＋f (x 2)＝x 21＋x 22＋2， 因为x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，所以2x 1x 2≤12<1， 故f (x 1＋x 2)<f (x 1)＋f (x 2)，故③满足条件；对于④，∀x 1，x 2∈[0，π2]，f (x 1＋x 2)＝sin x 1cos x 2＋sin x 2cos x 1≤sin x 1＋sin x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，故④满足条件；对于⑤，∀x 1，x 2∈[2，＋∞)，f (x 1＋x 2)＝log 2(x 1＋x 2)，f (x 1)＋f (x 2)＝log 2(x 1x 2)，因为x 1，x 2∈[2，＋∞)，所以1x 1＋1x 2≤1，可得x 1＋x 2≤x 1x 2，即f (x 1＋x 2)≤f (x 1)＋f (x 2)，故⑤满足条件．所以是“定义域上的M 函数”的有①③④⑤，共4个．]13．3解析 由题意联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝|x |，消去y 得x 2＝|x |，两边平方，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝1，相应的y 值分别为0,1,1，故A ∩B 中元素的个数为3.14．(1，＋∞)解析 由题意知∀x ∈R ，x 2＋2x ＋a >0恒成立，∴关于x 的方程x 2＋2x ＋a ＝0的根的判别式Δ＝4－4a <0，∴a >1.∴实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析 由题意知f (4)＝f (log 124)＝f (－2)＝(3a －1)×(－2)＋4a >1，解得a <12.故实数a 的取值范围是(－∞，12)． 16．(2＋22，＋∞)解析 设点(m ，n )(m >0)是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－m ，－n )必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝m 2＋1，－n ＝k (－m ＋1)，消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f (x )有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4(k ＋1)>0，k >0，k ＋1>0， 解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是(2＋22，＋∞)． 17．解 若p 正确，即f (x )＝2x －m 在区间(1，＋∞)上是减函数，则m ≤1. 若q 正确，∵x 1，x 2是方程x 2－ax －2＝0的两个实根，a ∈[－1,1]，∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝a 2＋8≤3.∵不等式m 2＋5m －3≥|x 1－x 2|对任意实数a ∈[－1,1]恒成立，∴m 2＋5m －3≥3，∴m 2＋5m －6≥0，解得m ≥1或m ≤－6.又p 不正确，q 正确，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，m ≥1或m ≤－6，∴m >1.故实数m 的取值范围是{m |m >1}．18．解 (1)若a ＝12，则A ＝{x |－12<x <2}，又B ＝{x |0<x <1}， ∴A ∩B ＝{x |0<x <1}．(2)当A ＝∅时，a －1≥2a ＋1，∴a ≤－2，此时满足A ∩B ＝∅；当A ≠∅时，则由A ∩B ＝∅，B ＝{x |0<x <1}，易得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1>a －1，2a ＋1≤0，∴a ≥2或－2<a ≤－12. 综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ≤－12或a ≥2. 19．解 (1)由t ＝log 3x ，x ∈[19，9]，解得－2≤t ≤2. (2)f (x )＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2，令t ＝log 3x ，则y ＝t 2＋3t ＋2＝(t ＋32)2－14，t ∈[－2,2]． 当t ＝－32，即log 3x ＝－32， 即x ＝39时，f (x )min ＝－14； 当t ＝2，即log 3x ＝2，即x ＝9时，f (x )max ＝12.20．解 (1)由题意知，方程x 2－x －m ＝0在x ∈(－1,1)上有解，故m 的取值集合就是函数y ＝x 2－x 在(－1,1)上的值域，易得M ＝{m |－14≤m <2}． (2)因为“x ∈M ”是“x ∈N ”的充分条件，所以M ⊆N .当a ＝1时，集合N 为空集，不满足题意；当a >1时，a >2－a ，此时集合N ＝{x |2－a <x <a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2－a <－14，a ≥2，解得a >94； 当a <1时，a <2－a ，此时集合N ＝{x |a <x <2－a }，则⎩⎪⎨⎪⎧ a <－14，2－a ≥2，解得a <－14. 综上可知，实数a 的取值范围为{a |a >94或a <－14}． 21．解 (1)由题中所给出的函数图象可知，当t ＝4时，v ＝3×4＝12(km/h)，∴s ＝12×4×12＝24(km)． (2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2； 当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150； 当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝223,[0,10],230150,(10,20],70550,(20,35].t t t t t t t ⎧∈⎪⎪-∈⎨⎪-+-∈⎪⎩(3)∵当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， 当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30.∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．22．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2＋(x －1)·|x ＋1|，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，由f (x )＝1，得2x 2－1＝1，解得x ＝1或x ＝－1；当x <－1时，f (x )＝1恒成立．∴方程的解集为{x |x ≤－1或x ＝1}．(2)由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋1)x ＋a ，x ≥a ，(a ＋1)x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋14≤a ，a ＋1>0，解得a ≥13. ∴实数a 的取值范围为{a |a ≥13}． (3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－(a ＋3)x ＋a ＋3，x ≥a ，(a －1)x －a ＋3，x <a ，不等式f (x )≥2x －3对任意x ∈R 恒成立，等价于不等式g (x )≥0对任意x ∈R 恒成立． ①若a >1，则1－a <0，即21－a <0， 取x 0＝21－a，此时x 0<a ， ∴g (x 0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－a ＝(a －1)·21－a －a ＋3＝1－a <0， 即对任意的a >1，总能找到x 0＝21－a，使得g (x 0)<0， ∴不存在a >1，使得g (x )≥0恒成立．②若a ＝1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－4x ＋4，x ≥1，2，x <1，∴g (x )的值域为[2，＋∞)，∴g (x )≥0恒成立．③若a <1，当x ∈(－∞，a )时，g (x )单调递减，其值域为(a 2－2a ＋3，＋∞)． 由于a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，所以g (x )≥0恒成立．当x ∈[a ，＋∞)时，由a <1，知a <a ＋34，g (x )在x ＝a ＋34处取得最小值． 令g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－(a ＋3)28≥0，得－3≤a ≤5，又a <1，∴－3≤a <1. 综上，a ∈[－3,1]．。
2018《试吧》高中全程训练计划·数学(理)天天练44 选修4系列含解析
天天练44选修4系列一、选择题1．不等式｜x－5|＋｜x＋3|≥10的解集是（)A．［－5，7] B．［－4，6]C．（－∞，－5］∪[7，＋∞) D．(－∞，－4］∪［6，＋∞) 2．若直线错误!（t为参数）被圆错误!（α为参数)所截得的弦长为2错误!，则a的值为( )A．1或5 B．－1或5C．1或－5 D．－1或－5二、填空题3．(2016·北京卷，11）在极坐标系中,直线ρcos θ－错误!ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则｜AB｜＝________.4．若关于x的不等式｜x－1|＋｜x＋2a|≤1在R上的解集为∅，则a的取值范围为________．三、解答题5．（2016·江苏卷，21)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l 的参数方程为错误!(t为参数)，椭圆C的参数方程为错误!(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．6．（2016·课标全国Ⅲ,23)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为错误!（α为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin错误!＝2错误!。
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程;（2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ｜的最小值及此时P 的直角坐标．7．（2016·课标全国Ⅱ，23)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x＋6）2＋y2＝25.(1）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是错误!(t为参数），l与C交于A，B两点，|AB|＝错误!，求l的斜率．8．(2017·江西赣州一模,24)设a、b为正实数，且错误!＋错误!＝2错误!。
（1）求a2＋b2的最小值;(2）若(a－b）2≥4（ab)3,求ab的值．9．(2016·课标全国Ⅲ，24）已知函数f(x）＝|2x－a|＋a。
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一、选择题
1．设f 【x 】＝⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2，x >0，
x －2，x ≤0，
则不等式f 【x 】<x 2
的解集是【 】
A ．【2，＋∞】∪【－∞，0]
B ．R
C ．[0,2】
D ．【－∞，0】
2．不等式－x 2
－x ＋2<0的解集为【 】 A ．{x |x <－2或x >1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－1或x >2}
D ．{x |－1<x <2}
3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是【1，＋∞】，则关于x 的不等式【ax ＋b 】【x －3】>0的解集是【 】 A ．【－1,3】
B ．【1,3】
C ．【－∞，1】∪【3，＋∞】
D ．【－∞，－1】∪【3，＋∞】
4．设a >0，不等式－c <ax ＋b <c 的解集是{x |－2<x <1}，则a ∶b ∶c 等于【 】 A ．1∶2∶3 B ．2∶1∶3 C ．3∶1∶2
D ．3∶2∶1
5．【2016·许昌模拟】若不等式ax 2
＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
－2<x <
1
4，则ab 等于【 】 A ．－28 B ．－26 C ．28
D ．26
6．若不等式x 2－2x ＋5≥a 2
－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为【 】 A ．[－1,4]
B ．【－∞，－2]∪[5，＋∞】
C ．【－∞，－1]∪[4，＋∞】
D ．[－2,5]
7．【2017·南宁调研】已知当a ∈[－1,1]时，不等式x 2
＋【a －4】x ＋4－2a >0恒成立，则
x 的取值范围为【 】
A ．【－∞，2】∪【3，＋∞】
B ．【－∞，1】∪【2，＋∞】
C ．【－∞，1】∪【3，＋∞】
D ．【1,3】
8．设定义域为R 的函数f 【x 】满足下列条件： ①对任意的x ∈R ，f 【x 】＋f 【－x 】＝0； ②对任意的x 1，x 2∈[－1,1]，都有
f ?x 2?－f ?x 1?
x 2－x 1
>0，且f 【－1】＝－1.
若f 【x 】≤t 2
－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，则当a ∈[－1,1]时，t 的取值范围是【 】 A ．[－2,2]
B ．【－∞，－12]∪{0}∪[1
2，＋∞】
C ．[－12，1
2
]
D ．【－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞】 二、填空题
9．【2017·合肥质检】已知一元二次不等式f 【x 】<0的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f 【10x 】>0
的解集为________________．
10．设函数f 【x 】＝x 2－1，对任意x ∈[32，＋∞】，f 【x m 】－4m 2
·f 【x 】≤f 【x －1】＋4f
【m 】恒成立，则实数m 的取值范围是________________．
11．设关于x 的不等式|x 2
－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是________．
12．已知f 【x 】＝2x 2
＋bx ＋c ，不等式f 【x 】<0的解集是【0,5】，若对于任意x ∈[－1,1]，不等式f 【x 】＋t ≤2恒成立，则t 的取值范围为____________．
答案精析
1．A [当x >0时，x ＋2<x 2
，即x 2
－x －2>0，解得x >2或x <－1，∴x >2. 当x ≤0时，x －2<x 2
， 即x 2
－x ＋2>0，恒成立． ∴x ∈【－∞，0]∪【2，＋∞】．] 2．A [不等式变形为x 2
＋x －2>0，
∴【x ＋2】【x －1】>0，∴x >1或x <－2，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．] 3．D [由题意得，关于x 的不等式ax －b >0的解集是【1，＋∞】，可得b
a
＝1且a >0， 又【ax ＋b 】【x －3】>0可化为【x －3】【x ＋b a
】>0，即【x －3】【x ＋1】>0，所以x <－1或
x >3，故选D.]
4．B [∵－c <ax ＋b <c ，又a >0，∴－b ＋c a <x <c －b
a
. ∵不等式的解集为{x |－2<x <1}，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＋c
a ＝－2，c －
b a ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝a
2，c ＝3
2a ，
∴a ∶b ∶c ＝a ∶a 2∶3a
2
＝2∶1∶3.]
5．C [由题意知－2，14
是方程ax 2
＋bx －2＝0的两根，且a >0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
－b a ＝－2＋14，－2a ＝(－2)×1
4
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝4，
b ＝7，∴ab ＝28.]
6．A [由题意得，不等式x 2－2x ＋5＝【x －1】2＋4≥4，又关于x 的不等式x 2－2x ＋5≥a 2
－3a 对任意实数x 恒成立，则a 2
－3a ≤4，即a 2
－3a －4≤0，解得－1≤a ≤4，故选A.]
7．C [把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f 【a 】＝【x －2】a ＋【x 2
－4x ＋4】，则由f 【a 】>0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，易知只需f 【－1】＝x 2
－5x ＋6>0， 且f 【1】＝x 2
－3x ＋2>0即可， 联立方程解得x <1或x >3.]
8．D [由题设条件知f 【x 】是奇函数，
在[－1,1]上是增函数，且f 【－1】＝－1，
所以在[－1,1]上，f 【x 】max ＝f 【1】＝－f 【－1】＝1.
f 【x 】≤t 2－2at ＋1对所有的x ∈[－1,1]都成立，即t 2－2at ≥0恒成立．
设g 【a 】＝t 2
－2at ，a ∈[－1,1]，
则⎩⎪⎨⎪⎧
g (1)≥0，g (－1)≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
t 2
－2t ≥0，
t 2
＋2t ≥0，
解得t ≤－2或t ＝0或t ≥2.故选D.] 9．{x |x <－lg 2}
解析 由已知条件得0<10x <1
2，解得x <lg 12＝－lg 2.
10．{m |m ≤－
32或m ≥3
2
} 解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2【x 2－1】≤【x －1】2－1＋4【m 2
－1】在x ∈[32
，＋∞】上恒
成立，
即1m 2－4m 2
≤－3x 2－2x ＋1在x ∈[32，＋∞】上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，
所以1m 2－4m 2
≤－53，
即【3m 2
＋1】【4m 2
－3】≥0， 解得m ≤－
32或m ≥3
2
. 11．{m |－13<m ≤7
3}
解析 由－1∉A ，
得|【－1】2
－2×【－1】＋3m －1|>2×【－1】＋3，即|3m ＋2|>1， 解得m <－1或m >－1
3
.①
由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3， 即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤7
3
.②
故由①②得实数m 的取值范围是{m |－13<m ≤7
3}．
12．t ≤－10
解析 2x 2
＋bx ＋c ＝0的两个实根是x 1＝0，x 2＝5，所以c ＝0，b ＝－10，
不等式2x 2－10x ＋t ≤2对任意x ∈[－1，1]恒成立，即2x 2
－10x ＋t －2≤0， 又f 【x 】＝2x 2
－10x 在【－∞，52
】上为单调函数，
当x ∈[－1,1]时，有⎩
⎪⎨⎪⎧
2×(－1)2
－10×(－1)＋t －2≤0，
2×12
－10×1＋t －2≤0，
解得t ≤－10.。