数学人教版八年级上第十三章134 课题学习 最短路径问题
人教版数学八年级上册《13.4课题学习 最短路径问题》说课稿1
人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》说课稿1一. 教材分析人教版数学八年级上册《13.4 课题学习最短路径问题》这一节，是在学生学习了平面直角坐标系、一次函数、二次函数等基础知识后，引入的一个新的课题。
本节内容主要介绍了最短路径问题的概念、求解方法以及应用。
通过本节内容的学习，使学生能够了解最短路径问题的背景，掌握解决最短路径问题的方法，提高学生解决实际问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了平面直角坐标系、一次函数、二次函数等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但是，对于最短路径问题，学生可能较为陌生，需要通过实例讲解和练习，使学生理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：了解最短路径问题的概念，掌握解决最短路径问题的方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过合作交流，培养学生解决问题的能力，提高学生的逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：最短路径问题的概念、求解方法。
2.教学难点：如何运用所学知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、合作交流法。
2.教学手段：利用多媒体课件、板书、教学卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引入最短路径问题的概念。
2.讲解新课：讲解最短路径问题的求解方法，结合实例进行分析。
3.练习巩固：学生独立完成课后练习题，教师进行讲解和指导。
4.拓展延伸：引导学生思考如何将所学知识应用到实际问题中。
5.课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
七. 说板书设计板书设计如下：最短路径问题1.概念：从起点到终点的最短路线2.求解方法：b.动态规划法3.应用：实际问题解决八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
八年级数学上册第13章轴对称134课题学习最短路径问题教案新版新人教版.docx
13.4课题学习最短路径问题课标要求掌握基本事实：两点Z间，线段最短。
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；反Z,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
教材分析本节课是在已经学习了轴对称图形性质的基础上进一步学习“经过直线上一点，在直线同侧两点之1'可路径最短问题”的解决方案。
为后续平面几何线段之和最短一类问题奠基。
学情分析1.学生己经学习了已经掌握轴对称的性质以及“两点之间，线段最短”、三角形三边不等公理，这为学习最短路径问题做好了知识和能力上的准备。
2.学生已经具备了一定的学习能力及作图能力，所以本节课屮，主要采用学生自主学习、合作探究的方式，教师引导让每位学生都参与探究。
课时目标1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题；2•体会图形的变化在解决最值问题中的作用；3.能通过逻辑推理证明所求距离最短，感悟转化思想；4.体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性.教学重卢直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学难点利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 提炼的课题利用作轴对称将直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题转化为“两点之间，线段最短”问题.教学过程教学环节教学内容及师生活动设计意图媒体选择分析1 •情境引入引入新课PPT1-4：通过创设情景，•引导学生思考，激发学生学习兴趣。
1出示问题：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B 地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？2、倾听学生对上面问题的回答，揭示课题3、引入新课。
从小故事出发，引发学生思考问题的兴趣；激励自主学习探索直线线上一点，到同侧两点距离之和最短问题.类型：t+w作用：b使用：3、b时间：3回顾“两点之间，线段最短”，思考故事中存在的数学问题。
人教版八年级上册13.4课题学习(最短路径问题)
的位置
解：AB＝AC ，△ABC为等腰三角形，
A
AD平分∠CAB，故点D是BC边的中点，即 点B与点C关于直线AD对称.∵点M在AD上， 故BM=CM.即MB+MN的最小值可转化为求
N
●
●M
MC+MN的最小值，故连接CN即可，线段
CN的长即为MB+MN的最小值.
B
D
C
3 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为
●A
●
M′
课堂小结
原理：线段公理和垂线段最短
最
短 路
牧马人 饮马问
轴对称知识+线段公理
径题
问 造桥 题 选址 平移知识+线段公理
问题
课外作业： 第93页 第15题
和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如
何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
A
点B“移”到l 的另一侧B′
处，满足直线l 上的任意一
l
点C，都保持CB 与CB′的长
度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
练一练：
1 如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，G，H分别 是AF和CD的中点，P是GH上的动点，连接AP，BP，则 AP＋BP的值最小时，BP与HG的夹角(锐角)度数为 __6_0°_____
2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠CAB，N点是AB上
的一定点，M是AD上一动点，要使MB＋MN最小，请找点M
2024年人教版八年级上册数学第13章第4节课题学习 最短路径问题
使MN ⊥ m， 且AM 交直线n 于点N，过点N作NM ⊥
＋MN＋NB 最小
m 于点M，连接AM
感悟新知
特别解读 解决连接河两边两地的最短路
径问题时，可以通过平移桥的方法 转化为求直线异侧两点到直线上一 点所连线段的和最小的问题.
知2－讲
感悟新知
知2－练
例4 如图13.4-5，从A 地到B 地要经过一条小河(河的两岸 平行)，现要在河上建一座桥(桥垂直于河的两岸)，应 如何选择桥的位置才能使
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课堂小结
设计最短路径 设计最短路径
两点在直 线异侧
两点在直 线同侧
利用轴对称转换
解：如图13 .4 -2，作点B 关于l 的对称点B1，连接 AB1交l 于点M，连接BM， 此时AM＋BM 最短，则点 M 即为所求的分支点.
感悟新知
知1－练
1-1.如图，在正方形网格中有M，N 两点，在直线l 上求一 点P 使PM＋PN 最短，则点P应选在( C ) A.A 点 B.B 点 C.C 点 D.D 点
四边形P M N Q周 长的最
小值为 P′Q′＋ PQ 的值
小
线的交点即为点M，N
感悟新知
知1－讲
特别解读 1.直线异侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题是根据“两点之间，线段最短”来设计的. 2.直线同侧的两点到直线上一点的距离的和最短的问
题依据两点：一是对称轴上任何一点到一组对称 点的距离相等；二是将同侧的两点转化为异侧的 两点，依据异侧两点的方法找点.
感悟新知
知1－练
例1 [情境题 生活应用]某供电部门准备在输电主干线l 上连 接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B 两个居民小区送电．
八年级数学上新版新人教版13-4 课题学习 最短路径问题
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：最短路径问题(重点)
问题
作法
在直线 l上找一 点 连接AB，与直线 l P,使 PA+PB最小 的交点即为点 P 类型一
最小值
PA+PB的最小 值为AB的长
在直线l上找一 点 作点 A 关于直线l的
P ,使 PA+PB最小 对称点A',连接A'B,
将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A 移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样， 问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N＋NB 最小
3．利用已学知识，你能确定桥MN的位置吗？ 在你的数学模型中画图说明．
如图，在点N处造桥MN，所得路径最短．为了证明点N 的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点 N′，过点N′作N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′， N′B，在△A′N′B中，因为A′B<A′N′＋BN′， 所以A′N＋BN＋MN<AM′＋BN′＋M′N′， 所以AM＋MN＋BN<AM′＋M′N′＋BN′
知识点2：“造桥选址”问题(难点)
解决“造桥选址”问题，一般用平移的方法，利用平移前后的对应 线段相等，把未知的线段转移到一条直线上，再结合“两点之间， 线段最短”解决问题．
题型一 最短路径问题 例1：已知线段AB及直线l，在直线l上确定一点P，使PA＋PB最 小．下面作图正确的是( B )
例2：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条 中线，点P是AD上的一个动点，则线段__C__E____的长度等于BP ＋EP的最小值．
请同学们阅读课本86页问题2. 1．你能从实际背景中抽象出数学问题，构建数学模型吗？
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习 最短路径问题
人教版八年级数学上册教学设计：13.4 课题学习最短路径问题一. 教材分析人教版八年级数学上册第十三章第四节“课题学习最短路径问题”主要是让学生了解最短路径问题的背景和意义，掌握利用图的性质和算法求解最短路径问题的方法。
通过本节课的学习，学生能够将所学的图的知识应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了图的基本概念和相关性质，如顶点、边、连通性等。
同时，学生也学习了一定的算法知识，如排序、查找等。
因此，学生在学习本节课时，能够将已有的知识和经验与最短路径问题相结合，通过自主探究和合作交流，理解并掌握最短路径问题的求解方法。
三. 教学目标1.了解最短路径问题的背景和意义，能运用图的性质和算法求解最短路径问题。
2.提高学生将实际问题转化为数学问题的能力，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
3.增强学生合作交流的意识，提高学生的团队协作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的求解方法及其应用。
2.教学难点：理解并掌握最短路径问题的求解算法，能够灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.算法教学法：以算法为主线，引导学生了解和掌握最短路径问题的求解方法。
3.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题，提高团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关实际问题的案例，如城市间的道路网络、网络通信等。
2.准备算法教学的PPT，以便在课堂上进行讲解和演示。
3.准备练习题和拓展题，以便进行课堂练习和课后巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示实际问题案例，如城市间的道路网络，引导学生了解最短路径问题的背景和意义。
提问：如何找到两点之间的最短路径？引发学生的思考和兴趣。
2.呈现（10分钟）讲解最短路径问题的求解方法，如迪杰斯特拉算法、贝尔曼-福特算法等。
通过PPT演示算法的具体步骤和过程，让学生清晰地了解算法的原理和应用。
八年级数学上册 13.4 课题学习 最短路径问题教学设计 (新版)新人教版
八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题教学设计（新版）新人教版一. 教材分析“课题学习最短路径问题”是人教版八年级数学上册第13.4节的内容。
这部分内容主要让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。
教材通过引入一个实际问题，引导学生探讨并找出解决问题的方法，从而培养学生解决问题的能力和兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了图论的基本知识，如图的定义、图的表示方法等。
但是，对于图的最短路径问题，学生可能还没有直观的理解和认识。
因此，在教学过程中，教师需要结合学生的已有知识，通过实例讲解、动手操作等方式，帮助学生理解和掌握最短路径问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生了解最短路径问题的实际应用，学会使用图论中的最短路径算法来解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过探讨实际问题，培养学生解决问题的能力和兴趣。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的热爱，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：最短路径问题的实际应用，图论中的最短路径算法。
2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出最短路径问题，并运用图论知识解决。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.实例讲解法：通过具体的实例，讲解最短路径问题的解决方法，帮助学生理解和掌握。
3.动手操作法：让学生亲自动手操作，加深对最短路径问题的理解。
六. 教学准备1.教学素材：准备一些实际问题的案例，以及相关的图论知识介绍。
2.教学工具：多媒体教学设备，如PPT等。
3.学生活动：让学生提前预习相关内容，了解图论的基本知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入最短路径问题，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解从一个城市到另一个城市，如何找到最短的路线。
2.呈现（15分钟）讲解最短路径问题的定义，以及图论中最短路径算法的基本原理。
通过PPT等教学工具，展示相关的知识点，让学生直观地了解最短路径问题。
人教版初中数学八年级上册第十三章13.4课题学习 最短路径问题(第一课时)
13.4课题学习
最短路径问题请你在以下日常情境中，为牧民设计最短行动路线，并说明你利用了什么原理？
情境1:牧民从蒙古包出发，将马群赶到A 处放牧
作图：原理：。
情境2:牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 处饮马
作图：
原理：。
情境3:牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后骑马趟过河到B 地（河的宽度可忽略）。
作图：原理：。
情境4：傍晚，牧马人从的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
追问：如何说明所做路径最短？
数学
问题数学
问题数学
问题
（1）（2）
情境5：如图，A为马厩，牧马人某一天要把马从马厩牵出，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到马厩.请你帮他确定这一天的最短路线.
数学
问题
知识迁移
2.如图,∠AOB=30°,P是∠AOB内任意一点,OP=3cm,M,N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN 周长的最小值是cm.
拓展提升
情境6：如图，牧人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后再到草地去喂马，最后返回到B地，牧人饮马，喂马，要如何行走，可使所走的路径最短？。
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13.4 课题学习最短路径问题
1．最短路径问题
(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．
如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．
(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．
为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：
证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，
所以直线l是线段BB′的垂直平分线．
因为点C与C′在直线l上，
所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.
在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，
所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，
所以AC＋BC＜AC′＋C′B.
【例1】课本P85页问题1
练习、如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．
(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？
(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？
2.运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．
警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
3．利用平移确定最短路径选址
【例2】P86页问题2
【课堂检测】课本P93页、15题。