新高一衔接班数学讲义
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
暑假新高一数学衔接讲义含初中高中部分
第1讲数与式910+⨯(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ）.2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___【典型例题—2】韦恩图： 【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系． 例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ； (3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集： 【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作BA (或AB)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果A B ，BC ，则AC ．例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集 【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
新高一数学衔接讲义讲义系列一之欧阳语创编
第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
新高一数学衔接讲义讲义系列一之欧阳地创编
第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念｝，Q＝｛-1，例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．第6讲集合的基本运算知识点二、交集【内容概述】1、交集的定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫做A 与B 的交集.数学语言表述为B A ，},|{B x A x x B A ∈∈=且 .2、交集的运算必须掌握的几条性质：（1）A B B A =；（2）B B A A B A ⊆⊆ ,；（3）∅=∅=∅=A A A A A ,；（4）A B A B A =⇔⊆ ；（5）)()(C B A C B A =.【典型例题】例3.设}6,5,3,1{},4,3,1{},3,2,1{===C B A ,求)(,)(C B A C B A .变式1：已知集合},019|{22为常数a a ax x x A =-+-=，}065|{2=+-=x x x B ， }082|{2=-+=x x x C ，求当a 为何值时，∅≠B A 与∅=C A 同时成立.变式2：已知集合}9,1,5{},,12,0{2a a B a a A --=-=分别符合下列条件的a 的值.（1）B A ∈9； （2）{}B A =9.例4.设集合}|{},1,0,1{2x x x N M ≤=-=，则N M =_______________________.变式1：图中阴影部分用集合表示为_______________.变式2：已知集合}3|{},42|{a x a x B x x A <<=<<=.（1）若∅=B A ，求a 的取值范围；（2）若}4|{<<=x a x B A ，求a 的取值范围.知识点三、补集【内容概述】1.全集：在研究集合与集合之间的关系时，有时这些集合都是某一个给定集合的子集，这个给定集合可以看成一个全集，用符号“U ”表示，也就是说，全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素.2.补集：如果集合A 是全集U 的一个子集，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫做集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集.3.对补集定义的理解要注意以下几点：（1）补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.比如当研究数的运算性质时，我们常常将实数集R 当做全集.(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，当然也是一种数学思想.（3）从符号角度来看，若U x ∈，U A ⊂，则A x ∈和A C x U ∈二者必居其一.4.集合图形，理解补集的如下性质：（1）∅====∅∅=)(,)(,)(,,A C A U A C A A A C C U C U C U U U U U U(2)若B A ⊆，则)()(B C A C U U ⊇；反之，若)()(B C A C U U ⊇，则B A ⊆（3）若A=B ，则B C A C U U =；反之，若B C A C U U =，则A=B【典型例题】例 5.设全集U 是实数集R ，}4|{2>=x x A ，}13|{<≥=x x x B 或都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是__________________.变式1：已知集合}012|{2=++=b ax x x A 和}0|{2=+-=b ax x x B满足R U B C A B A C U U ===},4{)(},2{)( ,求实数a 、b 的值.变式2：设集合}123|),{(},,|),{(=--=∈=x y y x M R y x y x U ，}1|),{(+≠=x y y x N ， 则)()(N C M C U U =__________________.例 6.已知全集R U =，}12|{},523|{≤≤-=+<<=x x P a x a x M ，若P C M U ⊂，求实数a 的取值范围.变式1：已知集合},0624|{2R x m mx x x A ∈=++-=，},0|{R x x x B ∈<=，若∅≠B A ，求实数m 的取值范围.变式2：已知集合}50|{≤-<=a x x A ，}62|{≤<-=x a x B . （1）若A B A = ，求a 的取值范围；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.例7.学校50名学生调查对A 、B 两个事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A ，B 都不赞成的学生数比对A ，B 都赞成的学生数的三分之一多1人，问对A ，B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？例8.设集合}3,2,1{=I ，A 是集合I 的子集，如果把满足I A M = 的集合M 叫做集合A 的“配集”，则当}2,1{=A 时，A 的配集的个数是_________________.课后作业第7讲集合的综合复习第8讲函数的概念与定义域考点及考试要求1.了解函数的概念；2.理解函数的三种表示方法；3.了解简单的分段函数教学内容知识点一、区间的概念【内容概述】设baRba<∈且,,区间是集合的另一种形式.对于区间的理解应注意：2、区间的左端点必须小于右端点，有时我们将b-a成为区间的长度，对于只有一个元素的集合我们仍然用集合来表示，如{}a；3、注意开区间),(ba与点),(ba在具体情景中的区别.若表示点),(ba的集合应为{}),(ba；4、用数轴来表示区间时，要特别注意实心点与空心点的区别；5、对于一个不等式的解集，我们既可以用集合形式来表示，也可用区间形式来表示；6、要注意区间表示实数集的几条原则，数集是连续的，左小，右大，开或闭不能混淆.【典型例题】例1.把下列数集用区间表示：（1）}1|{-≥xx；（2）}0|{<xx；（3）}11|{<<-xx；（4）}4210|{≤≤<<xxx或知识点二、函数的定义【内容概述】一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf→:为从集合A到集合B的一个函数，记作)(xfy=，Ax∈.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合}|)({Axxf∈叫做函数的值域.显然：BAxxf⊆∈}|)({【典型例题】例5.高为h ，底面半径为R 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度灌水.试求水面高y 用时间t 表示的函数式，并求其定义域. 例6.已知函数32341++-=ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.例7.设}20|{},20|{≤≤=≤≤=y y N x x M ，下图中的四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（ ）知识点四、抽象函数的定义域【拓展】 【内容概述】（1）函数)(x f 的定义域是指x 的取值范围；（2）函数))((x g f 的定义域是指x 的取值范围，而不是)(x g 的取值范围；（3）已知))((x g f 的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知))((x g f 中x 的取值范围为B ，求出)(x g 的范围（值域），此范围就是)(x f 的定义域. 【典型例题】例8.已知函数)(x f 的定义域为]9,0[，求)12(+x f 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]13,5[，求)(2x f 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]3,3[-，求)12(2+x f 的定义域.例9.已知函数)(x f 的定义域为]5,21[，)1()1()(++-=x f x f x g 求)(x g 的定义域.变式1：已知函数)(x f 的定义域为]4,31[，)1()()(xf x f xg +=求)(x g 的定义域.变式2：已知函数)(x f 的定义域为]4,1[，)()()(2x f x f x g +=求)(x g 的定义域.知识点五、检验图形是否为函数图像的方法 【内容概述】要判断一个图形是否是函数图象，首先要看图形对应的x 轴部分上的任意一个x 是否都有唯一的y 与之对应.若是，则该图形是函数的图象；若至少有一个x 值，存在两个或两个以上的y 与之对应，则此图形一定不是函数的图象.或者过图形上任一点，作x 轴的垂线，若该垂线与图形无任何其他的公共点，则此图形是函数的图象，否则该图形一定不是函数的图象.除上述之外，还要关注函数的定义域、值域与图象中所示的定义域（图形正对着x 轴上的所有实数）、值域（图形正对y 轴上的所有实数）是否一致. 【典型例题】第9讲 求函数的值域例10.设}20|{},22|{≤≤=≤≤-=y y N x x M ，函数)(x f 的定义域为M ，值域为N ，则)(x f 的图象可以是（ ）A B C D 课下作业1.下列各组函数表示相等函数的是（ ）4、⎩⎨⎧<->=0,,0,)(x x x x f 与||)(x x g =5、12)(+=x x f 与xxx x g +=22)(6、|1|)(2-=x x f 与22)1()(-=t t g7、2)(x x f =与x x g =)(2.函数xx y 1+=的定义域为_______________. 3.函数12)(22-+-=a ax x x f 的定义域为A ，若A ∉2，则a 的取值范围是____.4.已知函数)(x f y =的定义域为]4,1[，求函数)(2x f y =的定义域.5.已知)(x f 的定义域为]2,0(，求函数)()12(2x f x f +-的定义域.教学目标1。
新高一数学衔接讲义讲义系列一之欧阳德创编
第1讲数与式910+⨯2(1)n n ++一元二次函数与二次不等式第2讲第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B=∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
新高一数学衔接讲义讲义系列一(完整资料)
例14.设 ，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．
变式1：对任意的正整数n， ______________-
变式2:选择题：若 ，则 =（ ）
（A）１ （B） （C） （D）
变式3:计算 ．
知识点四、因式分解
【内容概述】
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。
②分母中有根式(如 )，或被开方数有分母(如 )．这时可将其化为 形式(如 可化为 ) ，转化为 “分母中有根式”的情况．
化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(如 化为 ，其中 与 叫做互为有理化因式)．
【典型例题—2】：有理化因式和分母有理化
有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如 与 ； 与 互为有理化因式。
例24.(x2-5x+2)(x2-5x+4)-8
课后练习
1．填空：
（1） （ ）；
（2） ；
(3) ．
（4）若 ，则 的值为________
（5）若 ，则 ______________
（6） ， ，则 ________________
（7）若 ，则 _______________
（8）若 ，则（ ）
分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。
例9.计算：（1） (2)
例10.设 ，求 的值
知识点三、分式
【典型例题—1】：分式的化简
例11.化简 例12.化简
【典型例题—2】：分式的证明
新高一数学初升高数学衔接班第2讲—二次根式
新高一数学初升高数学衔接班第2讲——二次根式通用版初高中衔接课程第二讲：二次根式——初遇分母（子）有理化一、学习目标：1. 了解无理式、有理式的概念，进一步熟悉二次根式的运算方法。
2. 能进行二次根式的运算和化简，会进行分母有理化。
二、学习重点：二次根式的化简与运算三、课程精讲：1. 知识回顾：1）二次根式式子a（a≥0）叫做二次根式。
2）最简二次根式同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式。
这样的二次根式叫做最简二次根式。
3）同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
4）二次根式的性质①（a）2=a（a≥0）；②2a=│a│=(0)0(0)(0)a aaa a>⎧⎪=⎨⎪-<⎩；③ab=a·b（a≥0，b≥0）；④b ba a=（b≥0，a>0）。
例1. 填空题：（1）若式子23x2--有意义，则x的取值范围是_______。
（2）实数a，b，c如图所示，化简2a－│a－b│+2()b c+=______。
思路导航：回忆二次根式的定义与性质解答：（1）由x－3≥03x-2≠0，得x≥3且x≠7。
（2）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│2a－a，－│a－b│=a－b2()b c+2a│a－2()b c+。
例2. 选择题：（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A. B.C..1D a + 2ab（2）在根式1 ）A. 1） 2）B. 3） 4）C. 1） 3）D. 1） 4）（3）已知a>b>0，的值为（ ）A.2B. 2C.D. 12思路导航：回忆同类二次根式、最简二次根式的概念解答：（1，∴A 错。
B 正确。
|b = ∴C 错，显然，D 也错，∴选B 。
（2）选C 。
（3）∵a>b>02 2=a+b －1,2===，故选A 。
新高一数学衔接讲义讲义系列一之欧阳科创编
第1讲数与式910+⨯(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念8．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x.知识点五、集合间的基本关系【典型例题—1】子集的概念：例1.观察下列几组集合，有什么共同的地方（1）A={1，2，3} B={1，2，3，4，5}（2）A={3，5，7} B={3，5，7}（3）A=2{|210}x x x -+= B=2{|230}x x x --= 我们可以发现A 中的任何一个元素在B 中都能找到。
那么这样的两个集合是什么样的关系呢 ？【概括】对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。
记作()A B B A ⊆⊇或 读作A 含于B例2.用符号“⊆”、“⊇”、“∈”或“∉”填空：(1){},,,a b c d {},a b ； (2) ∅{}1,2,3； (3) N Q ；(4) 0R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x <<{}|06x x <． 例3.写出集合｛a ，b ｝的所有子集，例4.说出下列每对集合之间的关系．（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为______【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲一元二次不等式的解法
（要求：本次课在学生学有余力的情况下，教师可以补充以下内容：
1.可以将解一元二次不等式与解分式不等式合起来讲，并补充根式不等式、高次不等式、含一个绝对值符号的不等式的解法；
2.一定要讲授立方和、立方差的分解公式；
3.二次根式的化简。
）
【学习目标】
1.复习因式分解（十字交差法，公式法）、解一元二次方程、画二次函数的图像
2通过图象,理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系
3学会解一元二次不等式、学会不等式解集的表示方法
【知识要点】
1.二次函数与一元二次方程的性质如下表：
2.(1)集合表示法：x|x?a或x?b,?x|a?x?b??等。
（2）区间表示法：设a、b是两个实数，且a<b，则： {x|a?x?b}?[a,b]叫区间； {x|a?x?b}?(a,b)叫区间； {x|a?x?b}?[a,b)，{x|a?x?b}?(a,b]都叫半开半闭区间．实数集R用区间(??,??)表示，其中“∞”读“”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”.我们可以把满足错误！未找到引用源。
的实数错误！未找到引用源。
的集合分别表示为____________、____________、____________、____________。
【合作交流】
例1.分解因式：（1）x2－3x＋2= (2)x?5x?3
2训练1.．分解因式：（1）x2＋4x－12= (2)x?2x?1
例2.作出二次函数（1）y??(x?1) （2）y?x?2x?3的图像；
1 222??。