第60课时 线面平行、面面平行
线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的性质定理-武威第三中学-邵志光
推论:三个两两垂直的平面的交线两两垂直。
定理4:如果两个平面互相垂直，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。（判定定理推论1的逆定理）
推论:如果两个平面互相垂直，那么分别垂直于这两个平面的两条垂线也互相垂直。（判定定理推论2的逆定理）
线面平行判定及其性质
1、直线与平面平行的判定定理：
定理1：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
定理2：平面外一条直线与此平面的垂线垂直，则这条直线与此平面平行。
2、判断直线与平面平行的方法:
（1）利用定义：证明直线与平面无公共点；
（2）利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
（3）利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的直线必平行于另一个平面。
注：线面平行通常采用构造平行四边形来求证。
3、直线与平面平行的性质定理：
定理1：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理2:一条直线与一个平面平行，则该直线垂直于此平面的垂线。
线面垂直判定及其性质
定理3：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面平行。
2、面面平行的性质定理:
定理1:两个平面平行，在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。
线线平行、线面平行、面面平行的判定方法(本人原创)
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW创作者：凤呜大王*在空间“线线平行、线面平行、面面平行”的判定方法一、两条直线平行的判定方法（1）在同一平面内没有公共点的两条直线平行（定义）（2）先证在同一平面内，再用平面几何中的平行线的判定理或者相关图形的性质进行证明。
如①在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同位角或内错角相等，或同旁内角互补，则两直线平行。
②三角形、梯形中位线定理。
③平行四边形、矩形、菱形、正方形性质(对边平行)。
④在同一个平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行（注意：此结论在空间不适合）。
（3）（线面平行的性质）如果一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的一个平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
（4）如果两直线都平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行（平行的传递性）。
（5）（面面平行的性质）如果两个平行平面分别和第三个平面相交，则它们的交线平行。
（6）（线面垂直的性质之一）如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。
（7）用向量证明。
二、一条直线和一个平面平行的判定（1）如果一直线和一平面没有公共点，那么这条直线就和这个平面平行（定义）（2）平面外的一条直线，如果和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线就和这个平面平行(线面平行的判定定理)。
（3）如果两个平面相互平行，那么在一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面.（线面平行的性质）。
（4）向量法。
三、两个平面平行的判定（1）如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行（定义）（2）如果一个平面内的两条相交直线分别和另一个平面平行，那么这两个平面平行。
（3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
（4）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面平行。
（5）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。
在空间“线线垂直、线面垂直、面面垂直”的判定方法一、两条直线垂直的判定（1）在同一个明面内证明两条直线垂直可按照平面几何的有关定理和方法判定。
线线平行、线面平行、面面平行讲义-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
线线平行、线面平行、面面平行证明线线平行的方法： 1. 平行四边形的对边 2. 同位角相等 3. 同旁内角互补 4. 内错角相等 5. 三角形中位线 6. 梯形中位线 7. 梯形两底边8. 平行于同一条直线（基本事实4平行的传递性） 9. 垂直于同一条直线 10. 分线段对应成比例 11. 线面平行的性质定理 12.面面平行的性质定理线线平行面面平行线面平行13. 垂直于同一个平面（线面垂直的性质定理）证明线面平行的步骤：找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线 证：证明与已知直线平行 结论：由判定定理得出结论 证明面面平行的方法： 定义法： 1. 无公共点 2. 判定定理 3. 转化为线线平行 4. 平行平面传递性空间等角定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补图形语言作用判断或证明两个角相等或互补例1.如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)如果AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.变式.如图，已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.(1)求证：四边形MNA1C1是梯形；(2)求证：∠DNM＝∠D1A1C1.例2.如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，D ，E 分别是AB ，B 1C 的中点.求证：DE ∥平面ACC 1A 1.变式1.如图，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB .求证：MN ∥平面SBC .变式2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，求线段EF的长度.变式3.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（）①//OM平面PCDOM平面PBC②//③//OM平面PDA ④//OM平面PBAA．1个B．2个C．3个D．4个例3.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点.求证：平面MDB1∥平面ANC.例4.如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.练习1.如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（）A．BM DECN平面AFB∥B．//C．ED与NF所成的角为60︒D．EN BC∥2.如图所示，D，E，F分别为三棱锥SABC的棱SA，SB，SC的中点，则下列说法错误的是（）A．DE//平面ABC B．EF//平面ABCC．平面DEF//平面ABC D．SA//BC3.在正方体1111-中，过11,,ABCD A B C DA C B三点的平面与底面ABCD的交线为l，则直线l与11A C的位置关系为______.（填“平行”“相交”或“异面”）4.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．2B．98C．3D．625.如图，三棱锥P ABC-中，M是PC的中点，E是AM的中点，点F在线段PB上，满足//EF平面ABC，则BF FP=_______．:6.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH，点H在线段BD上.求证：//AP GH.7.在正方体1111ABCD A B C D -中，,,M N E 分别是11,,AB DD AA 的中点．(1)证明：平面//MNE 平面1BCD ；(2)求直线MN 与1D C 所成角的正切值．8.已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ；（2）若R 是AB 上的点，ARAB 的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明．9.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，22DAAB BC CD ====，M 为PC 上一点，且2PM MC =．(1)求证：//PA 平面DMB ；(2)若PAD △为正三角形，PC PD =，求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值；(3)若点P 到底面ABCD 的距离为3，求三棱锥P DMB -的体积．10.查①②两个命题，①//m l m α⊂⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒l ∥α;②////l m m α⎫⎪⎬⎪⎭ ⇒l ∥α.，它们都缺少同一个条件，补上这个条件就可以使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α为平面)，则此条件为_____.11。
线面平行面面平行的判定ppt课件
2.平面 内有两条直线与平面 平行, , 平行吗?
面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直
线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
用符号表示为： aa⊂ ∥βα，，bb⊂∥βα，a∩b＝P⇒β∥α.
定理的本质：
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
1.如图 3，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，Q 是 PA 的中点．求证：PC接QO. ∵ABCD为平行四边形，
解：(1)在图 2 中，线段 BB1、BC、CC1、
C1B1、BC1 所在的直线与平面 ADD1A1 平行．
(2)在图 2 中，平面 A1B1C1D1、CC1D1D
与 AB 所在的直线平行.
图1
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
④若两条平行直线中的一条与一个平面平行， 则另一条也 与这个平面平行．
其中正确命题的个数是( B )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
在整堂课的教学中，刘教师总是让学 生带着 问题来 学习， 而问题 的设置 具有一 定的梯 度，由 浅入深 ，所提 出的问 题也很 明确
4．若 a、b 是异面直线，则下列命题中是假命题的是( D ) A．过 b 有一个平面与 a 平行 B．过 b 只有一个平面与 a 平行 C．过 b 有且只有一个平面与 a 平行 D．过 b 不存在与 a 平行的平面
线面平行与面面平行的相关用法
空间的平行关系[线面平行和面面平行]1．直线a 和平面α的位置关系有平行、相交、_在平面内_，其中平行与相交统称直线在平面外． 例：(2011·烟台模拟)一条直线l 上有相异三个点A 、B 、C 到平面α的距离相等，那么直线l 与平面α的位置关系是( D )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l 与α相交但不垂直D ．l ∥α或l ⊂α2．直线和平面平行的判定：(1)定义：直线和平面没有交点，则称直线和平面平行．(2)判定定理：a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α；[面外直线平行于面内直线](3)其他判定方法：α∥β，a ⊂α⇒ a ∥β.[两个平面平行，则一个面内的任意一条直线都平行于另一个平面] 例：(2011·南京模拟)在四面体ABCD 中，M 、N 分别是△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是面ABC 和面ABD [结合几何体的性质]3．直线和平面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝l ⇒a ∥l .注：（1）若直线平行于平面，直线与面内直线的位置关系为不相交，即平行或异面 （2）或直线平行于平面，则直线上所有的点至平面的距离都相等。
例 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值．解 ∵AB ∥平面EFGH ，平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ，∴截面EFGH 是平行四边形． 设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)． 又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BGBC，两式相加得x a ＋y b ＝1，即y ＝ba(a －x )，∴S ▱EFGH ＝FG ·GH ·sin α＝x ·ba ·(a －x )·sin α＝b sin αax (a －x )．∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b2.即当截面EFGH 的顶点E 、F 、G 、H 为棱AD 、AC 、BC 、BD 的中点时截面面积最大． 4．两个平面的位置关系有平行、相交. 5．两个平面平行的判定：(1)定义：两个平面没有交点，称这两个平面平行；(2)判定定理：a ⊂β，b ⊂β，a ∩b ＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α；[一个面内的两条相交直线平行于另一个平面，则线面平行](3)推论：一个面内的两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线。
高三数学 第60课时 线面平行、面面平行教案
课题：线面平行、面面平行教学目标：掌握线面平行、面面平行的判定方法，并能熟练解决线面平行、面面平行的判定问题.（一） 主要知识及主要方法：1.线面平行的证明()1判定定理:如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行；()2两平面平行的性质定理：α∥β，a λα=I ，b γβ=I ⇒a∥b .()3向量法. 方法1；AB ∥α⇔AB n AB α⎧⊥⎪⎨⎪⎩u u u r r à⇔0AB n AB α⎧=⎪⎨⎪⎩u u u r rg à 方法2；AB ∥α⇔AB CD AB CD αα⎧⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r ∥àÔ方法3；证明直线的方向向量与平面的两不共线向量是共面向量， 即利用平面向量基本定理进行证明.如图，CD ∥α⇔CD xAC y AB CD α⎧=+⎪⎨⎪⎩u u u r u u u r u u u rà（其中{},x y 唯一且有序）2.面面平行的证明：()1判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. ()2垂直于同一条直线的两个平面平行;()3平行于同一个平面的两个平面平行.()3设1n u r 、2n u u r 分别是平面α、β的法向量，若1n u r ∥2n u u r，则α∥β（二）典例分析：问题1．（06北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且 PA AB =，点E 是PD 的中点. ()1略； ()2求证：PB ∥平面AEC ；()3略.问题2．如图，在正三棱锥S ABC -中，D 、E 、F 分别是棱AC 、BC 、SC上的点， 且2CD DA =，2CE ES =，2CF FB =，G 是AB 的中点.()1求证：平面SAB ∥平面DEF ；()2求证：SG ∥平面DEFA B C α Dg g g g α A B C CDPABCD E S ACD Eg（三）走向高考：1.（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为AB SC ,的中点．()1证明EF ∥平面SAD ；()2略.SA BCGD EF gAEBCFSD。
线线平行与线面平行的判定及其性质
面平行呢？
实例探究：
1．门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边 转动时，另一边与门框所在平面具有什么样 的位置关系？
2．课本的对边是平行的，将课本的一边紧 贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边 缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？
你能从上述的 两个实例中抽象概 括出几何图形吗？
空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行
a
a
A
a
记为a
有无数个交点
记为a∩=A
有且只有一个交点
记为a//
没有交点
思考：如何判定一条直线和一个平面平行呢？
可以利用定义，即用直线与平面交点的个 数进行判定
但是由于直线是两端无限延伸，而平面也 是向四周无限延展的，用定义这种方法来判定 直线与平面是否平行是很困难的
思考：如何证明线面平行的判定定理呢？
已知 l α，m α，l // m，
求证：l //α.
l
从正面思考这个问题，
m
P
有一定的难度，不妨从
反面想一想。
如果一条直线l和平面α相交，则l和α一
定有公共点，可设l∩α=P。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
再设l与m确定的平面为β，则依据平面 基本性质3，点P一定在平面α与平面β的 交线m上。
a//α
a β
α∩β=b
a//b
4、 线线平行
线面平行（线面平行的判定定理）
线面平行
线线平行（线面平行的性质定理）
2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，证明BD1∥平面AEC．
证明：连结BD交AC于O,连结EO 在∧BDD1中，
线面平行_精品文档
线面平行概述线面平行是几何学中的一个重要概念。
它指的是一条线段与一个平面之间的关系，即线段与平面的方向平行。
线面平行的概念在数学、物理学、工程学等学科中都有广泛的应用。
本文将介绍线面平行的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、线面平行的定义线面平行是指一条线段与一个平面之间的关系，即线段与平面的方向平行。
具体而言，线段的方向向量与平面的法向量平行，线段上的任意一点到平面的距离相等。
这样的线段与平面被称为线面平行。
二、线面平行的性质1. 线面平行的判断方法：要判断一条线段与一个平面是否平行，可以计算线段的方向向量和平面的法向量之间的内积，如果内积等于零，则线段与平面平行。
2. 线面平行的性质：a) 线面平行的两个必要条件是线段的方向向量和平面的法向量平行且线段在平面上的任意一点到平面的距离相等。
b) 线面平行的两个充分条件是线段的方向向量和平面的法向量平行。
c) 如果一条线段与一个平面平行，那么线段上任意两点到平面的距离都相等。
3. 线面平行的性质的证明：a) 对于线面平行的两个必要条件，可以通过向量的内积性质和距离的定义来进行证明。
b) 对于线面平行的两个充分条件，可以通过向量的平行性质来进行证明。
c) 对于线面平行的性质c)，可以通过线面平行的定义和线段的方向向量与平面的法向量的平行性质来进行证明。
三、线面平行的应用线面平行的概念在实际问题中有很多应用。
以下是其中的几个常见应用：1. 空间几何问题：在空间几何问题中，线面平行的概念可以用来解决线段与平面之间的关系。
例如，在计算线段与平面的交点时，可以先判断线段与平面是否平行，如果平行，则线段与平面没有交点；如果不平行，则可以计算线段与平面的交点。
2. 工程设计：在工程设计中，线面平行的概念可以用来解决平面上的线性问题。
例如，设计一条平行于给定平面的线段，可以先求出平面的法向量，然后构造与法向量平行的线段。
3. 物理学中的力学问题：在物理学中，线面平行的概念可以应用于力学问题中。
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课题：线面平行、面面平行
教学目标：掌握线面平行、面面平行的判定方法，并能熟练解决线面平行、面面平行
的判定问题.
（一） 主要知识及主要方法：
1.线面平行的证明()1判定定理:如果平面外一条直线与这个平面内一条直线平行,那么这
条直线与这个平面平行；()2两平面平行的性质定理：
α∥β，a λα= ，b γβ= ⇒a ∥b .()3向量法. 方法1；A B ∥α⇔A B n A B α⎧⊥⎪⎨⎪⎩ à⇔0
A B n A B α
⎧=⎪⎨
⎪⎩
à 方法2；A B ∥α⇔A B C D A B C D αα⎧⎪
⎨⎪⎩
∥àÔ
方法3；证明直线的方向向量与平面的两不共线向量是共面向量， 即利用平面向量基本定理进行证明.如图，
CD ∥α⇔C D x A C y A B
C D α⎧=+⎪⎨
⎪⎩
à（其中{},x y 唯一且有序）
2.面面平行的证明：()1判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平
面,那么这两个平面平行. ()2垂直于同一条直线的两个平面平行;()3平行于同一个平
面的两个平面平行.()3设1n 、2n 分别是平面α、β的法向量，若1n ∥2n
，则α∥β
（二）典例分析： 问题1．（06北京）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，
AB AC ⊥，P A ⊥平面ABCD ，且 PA AB =，点E 是P D 的中点.
()1略； ()2求证：P B ∥平面AEC ；()3略.
A B
C α D
α
A
B
C
C D P
A
B
C
D
E
问题2．如图，在正三棱锥S ABC -中，
D 、
E 、
F 分别是棱AC 、BC 、SC 上的点， 且2CD DA =，2CE ES =，2CF FB =，
G 是A B 的中点.()1求证：平面SAB ∥平面D E F ；
()2求证：SG ∥平面D E F
（三）走向高考：
1.（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S ABCD -中， 底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为AB SC ,的中点．
()1证明E F ∥平面SAD ；()2略.
S
A
B
C
G
D E
F
S
A
B
C
G
D E
F
A
E
B
C
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S
D。