北京市海淀区2009届高三第一次模拟考试数学理科试题(扫描版
2009年普通高等学校招生全国统一考试(模拟一)(数学理)
绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（模拟一）（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上并用2B 铅笔将答题卡试卷类型填涂上，在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，并用2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ∙∙=第Ⅰ卷 选择题（共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．（1）已知平面向量)2,1(,)1,2( -=-=b x a ，若b a ⊥，则=x （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- （2）某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：米）是：则这位长跑运动员7天共跑了（A ）63000米 （B ）62000米 （C ）61000米 （D ）60000米 （3）下列函数中，y 的值随x 的增大而增大的是锥体的体积公式 Sh V 31=，其中S 表示底面积，h 表示高 三角函数值262328cos ≈︒（A ）x y -= （B ）x y cos = （C ）x y sin = （D ）2-=x y （4）当)1,0( ∈a 时，函数x y a log =的值域是（A ）),0( ∞+ （B ）),1()1,( ∞+∞-（C ）),0()0,( ∞+∞- （D ）R （5）设α、β是方程0922=-+x x 的两个实数根，则=++))(11(22αββαβα（A ）3 （B ）92 （C ）4 （D ）94（6）如图所示，三个相同的正方形相连接，则=++2γβα（A ）30° （B ）45°（C ）60° （D ）75°（7）某种放射性元素的原子数N 随时间x 的变化规律是x e λ0N N -=，其中常数N 0，λ是正数，则对于函数)(N x f =，下列说法正确的是（A ）反函数是N N x f 01lgλ1)(=- （B ）反函数是NNx f 01ln λ1)(=- （C ）函数)(x f 是增函数 （D ）函数)(x f 是减函数（8）如图所示，已知OP ⊥平面ABC ，OB ⊥AC ，则 在图中与线段AC 垂直的线段共有（A ）4条 （B ）3条 （C ）2条 （D ）1条（9）生物遗传学规定：只要有基因D ，则其就是高茎， 只有两个基因全是d 才显现矮茎．碗豆的高矮性状遗传由一对基因决定，其中决定高茎基因为D ，决定矮茎基因为 d ，将其杂交所得第一子代的一对基因为Dd ，若第二子代的D 、d 基因遗传是等可能 的，则第二子代为高茎的概率是（A ）41 （B ）21 （C ）43（D ）不能确定（10）如图所示，把截面半径为25的圆形木头锯成矩形木料，若矩形的一边长为x ，面积为y ，记)(x f y =，则方程0)(=x f 在区 间)50,0( 内的实数根共有（A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个第Ⅱ卷 非选择题（共100分）注意事项：1．第Ⅱ卷总共为4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中，不要在答题卡上填涂． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线． （11）命题“0)(lim =-∞→n n n b a ”是命题“n n n n b a ∞→∞→=lim lim ”的________________条件．（12）一物体作直线运动，在时间t s 时，物体的位置2214t t S -=（单位：米），设物体在s 3=t时的瞬时速度的大小为x ，若)1814(lim 21---=→x x y x ，则x 与y 的关系式是______________；记)(x f y =，若曲线)()(x xf x g =在点),( b a 处的切线为12=-y x ，则=+b a __________．（13）如图所示，在直二面角βα--AB 中，一束光线 经过平面β射到平面α的O 点上，再经过O 、D 点与平 面α所成)102arctan( =θθ度角射出．又CD ∥AE ，且 32OA OC ,53AE CD == ，则直线OE 与平面α所成角的正切 值为______________．（14）已知方程112:22=+-+m y m x C 表示任意曲线．（ⅰ）当方程C 表示焦点在y 轴上的双曲线时，实数m 的取值范围是______________； （ⅱ）当方程C 表示椭圆时，实数m 的取值范围是______________．（15）如图所示，在空间中，一种有规律的直线不断在变化，第一组只有一条直线，第二组变成两条直线，第三组变成五条直线，依此类推，把第n 组所变成的直线数用)(n f 表示，则=)4(f __________；=)(n f ______________．（结果用n 表示）三、解答题：本大题共6小题；共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （16）（本小题满分13分）如图所示，足球门左右门柱分别立在A 、B 处，假定足球门宽度AB=7m ．在距离右门柱 15m 的C 处，一球员带球沿与球门线AC 成28º角的CD 方向以平均每秒6.5m 的速度推进，2 秒的到达点D 处射门．（Ⅰ）求点D 到左右门柱的距离AD 和BD 的长； （Ⅱ）求此时射门张角θ的值．（17）（本小题满分13分）在一次数学解题能力测试中，已知甲、乙两位同学答对每道题的概率分别是21和54，如果他们各自独立解答两道题．（Ⅰ）求甲两题都解对且乙至少解对一题的概率；（Ⅱ）若解对一题得10分，没有解对得0分，求甲、乙得分相等的概率；（Ⅲ）假设甲、乙需解三道题，规定：解对一题得10分，错一题则得5-分，求甲、乙得分 的数学期望．（18）（本小题满分14分）如图所示，A 、B 、C 都是在球O 表面上的点，且球心与A 、B 、C 三点组成一个正四面体．已知∠BOC =∠AOB =∠AOC =90º，AB = 2，D 、D 分 别是线段AB 、OA 上的中点． （Ⅰ）求二面角G —CD —A 的大小； （Ⅱ）求点A 到平面GCD 的距离．（19）（本小题满分14分）已知10,10<<<<b a ，数列}{n x 和}{n y 满足以下条件：)22,1(),)(1,2(),(1111 b by a ax y x y x n n n n -+-+==++．（Ⅰ）试求数列}{n x 和}{n y 的通项公式；（Ⅱ）若}{n x 和}{n y 都是有限数列，且当b a =时，求点),(n n y x 存在的范围．（20）（本小题满分14分）（Ⅰ）如图所示，P 是抛物线221x y =上一点，直线l 过 点P 且与抛物线交于另一点Q ，且直线l 与过点P 的切线垂直，求线段PQ 中点M 的轨迹方程；（Ⅱ）设定义在R 上的函数)(x f 满足x xf x f =-)1(2)( ，试探究方程0)(=x f 能否成立，若成立，请求方程0)(=x f的实根，若不成立，请说明理由．（21）（本小题满分12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知矩形OABC 的周长为24，把它以OB 为折痕 折叠起来，使得OA'与BC 相交于P 点，设OA ＞OC 且x =OA ． （Ⅰ）求线段PC 的长；（Ⅱ）△OPC 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2009年普通高等学校招生全国统一考试（模拟一）数学标准答案二．填空题，4小题，每小题5分，共20分。
数学_2009年北京市海淀区高考数学一模试卷(理科)(含答案)
2009年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分） 1. 若sinα<0且tanα>0，则α是( )A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 2. 函数f(x)=2x+1的反函数y =f −1(x)的图象是（ ）ABCD3. 若向量a →、b →满足a →+b →=(2, −1)，a →=(1, 2)，则向量a →与b →的夹角等于（ ） A 45∘B 60∘C 120∘D 135∘4. 已知直线l 及两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）A 若l // α，l // β，则α // βB 若l // α，l // β，则α⊥βC 若l ⊥α，l ⊥β，则α // βD 若l ⊥α，l ⊥β，则α⊥β5. 若实数a ，b ，c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是（ ） A |b −a +1c−b |≥2 B ab +bc +ca ≥a 2+b 2+c 2 C b 2≥ac D |b|−|a|≤|c|−|b|6. “ab ＝4”是“直线2x +ay −1＝0与直线bx +2y −2＝0平行”的（ ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7. 已知实数x ，y 满足x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，则下列不等式中恒成立的是（ ） A |y|<ba x B y >−b2a |x| C |y|>−ba x D y <2b a|x|8. 对于数列，若存在常数M ，使得对任意n ∈N ∗，a n 与a n+1中至少有一个不小于M ，则记作{a n }>M ，那么下列命题正确的是( )A 若{a n }>M ，则数列{a n }各项均大于或等于MB 若{a n }>M ，{b n }>M ，则{a n +b n }>2M C 若{a n }>M ，则{a n 2}>M 2 D 若{a n }>M ，则{2a n +1}>2M +1二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分） 9. 在复平面内，复数1+ai i(a ∈R)对应的点位于虚轴上，则a =________．10. 在(1+√x)n (n ∈N ∗)的展开式中，所有项的系数之和为64，则1x 的系数是________．（用数字作答）11. 如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，CD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，∠ACD=120∘，BD=10．（1）求证：CA=CD；（2）求⊙O的半径．12. 已知S n是数列{a n}的前n项和，若S n=1+na n(n=1, 2, 3…)，则S n关于n的表达式为S n=________．13. 已知圆A：(x−3)2+y2=2，点P是抛物线C:y2=4x上的动点，过点P作圆A的两条切线，则两切线夹角的最大值为________∘．14. 已知函数f(x)=sinπx(x2+1)(x2−2x+2)，那么方程f(x)=0在区间[−100, 100]上的根的个数是________．三、解答题（共6小题，满分80分）15. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，b=√7，B=60∘．（1）求c及△ABC的面积S；（2）求sin(2A+C)．16. 已知函数f(x)=2lnx−x．(1)写出函数f(x)的定义域，并求其单调区间；(2)已知曲线y=f(x)在点（x0, f(x0)）处的切线是y=kx−2，求k的值．17. 如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E、F分别在线段AB、AC上，且EF // BC，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置，使得二面角P−EF−B的大小为60∘．（1）求证：EF⊥PB；（2）当点E为线段AB的中点时，求PC与平面BCFE所成角的大小．18. 3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作．（1）若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率；（2）若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各志愿者的选择互不影响，记ξ表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数，求随机变量ξ的分布列．19. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴两个端点为A，B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形．(1)求椭圆的方程；(2)若C ，D 分别是椭圆长的左、右端点，动点M 满足MD ⊥CD ，连接CM ，交椭圆于点P ．证明：OM →⋅OP →为定值．(3)在(2)的条件下，试问x 轴上是否存异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线DP ，MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．20. 对于各项均为正数且各有m 项的数列{a n }，{b n }，按如下方法定义数列{t n }:t 0=0， t n ={t n−1−a n +b nt n−1≥a nb nt n−1<a n(n =1, 2...m)，并规定数列{a n }到{b n }的“并和”为S ab =a 1+a 2+...+a n +t m ．（1）若m =3，数列{a n }为3，7，2；数列{b n }为5，4，6，试求出t 1、t 2、t 3的值以及数列{a n }到{b n }的并和S ab ；（2）若m =4，数列{a n }为3，2，3，4；数列{b n }为6，1，x ，y ，且S ab =17，求证：y ≤5；（3）若m =6，下表给出了数列{a n }，{b n }：如果表格中各列（整列）的顺序可以任意排列，每种排列都有相应的并和S ab ，试求S ab 的最小值，并说明理由．2009年北京市海淀区高考数学一模试卷（理科）答案1. C2. D3. D4. C5. B6. C7. D8. D9. 0 10. 15 11. 解：（1）连接OC ．∵ DC切⊙O于点C，∴ ∠OCD=90∘．又∵ ∠ACD=120∘，∴ ∠ACO=∠ACD−∠OCD=120∘−90∘=30∘．∵ OC=OA，∴ ∠A=∠ACO=30∘，∴ ∠COD=60∘．∴ ∠D=30∘，∴ CA=DC．（2）∵ sin∠D=OCOD =OCOB+BD=OBOB+BD，sin∠D=sin30∘=12，∴ OBOB+10=12．解得OB=10．即⊙O的半径为10．12. nn+113. 6014. 20115. 解：（1）由余弦定理7=4+c2−2×2×c×12，c2−2c−3=0，c=3，或c=−1，取c=3，△ABC的面积S=12acsinB=3√32；（2）a=2,b=√7，B=60∘，∴ √7sin60∘=2sinA．∴ sinA=√217．∵ a<b，∴ 角A是锐角，∴ cosA=2√77，∵ 2A+C=(A+C)+A=120∘+A∴ sin(2A+C)=sin(120∘+A)=√32cosA−12sinA=√2114．16. 解：(I)函数y=f(x)的定义域为：(0, +∞)．∵ f(x)=2lnx−x，∴ f′(x)=2x−1．令f′(x)=0，则x=2．当x在(0, +∞)上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表∴ 函数y=f(x)的单调递增区间是(0, 2)，单调递减区间是(2, +∞)．(II)由题意可知：f(x0)=2lnx0−x0，−1．曲线y=f(x)在点（x0, f(x0)）处的切线的斜率为k=f′(x0)=2x0−1)(x−x0)．∴ 切线方程为：y−f(x0)=(2x0−1)(x−x0)．∴ y−(2lnx0−x0)=(2x0−1)x+2lnx0−2．∴ y=(2x0∵ 切线方程为y=kx−2，∴ 2lnx0−2=−2．∴ x0=1．−1=1．∴ 曲线y=f(x)在点（x0, f(x0)）处的切线的斜率k=2x017. 解：（1）证明：在Rt△ABC中，EF // BC，∴ EF⊥AB．∴ EF⊥EB，EF⊥EP．又∵ EB∩EP=E，∴ EF⊥平面PEB．又∵ PB⊂平面PEB，∴ EF⊥PB．（2）过点P作PD⊥EB交EB于D，连接DC．∵ EF⊥平面PEB，PD⊂平面PEB，∴ EF⊥PD．∵ EF∩EB=E，∴ PD⊥平面BCFE．∴ CD是PC在平面BCFE内的射影．∴ ∠PCD是PC与平面BCFE所成的角．∵ 点E为线段AB的中点，AB=BC=4，∴ PE=EB=2．∵ EF⊥EB，EF⊥EP，∴ ∠PEB是二面角P−EF−B的平面角．∵ 二面角P−EF−B的大小为60∘，∴ ∠PEB=60∘．在Rt△PDE中，PD=PE⋅sin60∘=√3，DE=PE⋅cos60∘=1∴ BD=1．在Rt △DBC 中，DC =√12+42=√17． ∴ 在Rt △PCD 中，tan∠PCD =PDDC =√5117． ∴ PC 与平面BCFE 所成角的大小为arctan√5117． 18. 解：（1）3名志愿者每人任选一天参加社区服务，共有53种不同的结果，这些结果出现的可能性都相等．设“3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作”为事件A 则该事件共包括3A 33不同的结果． 所以P(A)=3A 3353=18125．即3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率为18125．（2）解法1：随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3． P(ξ=0)=(C 42)3(C 52)3=27125，P(ξ=1)=C 31C 41(C 42)2(C 52)3=54125，P(ξ=2)=C 32(C 41)2C 42(C 52)3=36125，P(ξ=3)=(C 41)3(C 52)3=8125． 随机变量ξ的分布列为：解法2：日参加社区服务的概率均为P =C 41C 52=25．则三名志愿者在10月1日参加社区服务的人数ξ∼B(3,25)．P(ξ=i)=C 31(25)i (35)3−i ，i =0，1，2，312∴ F 1F 2=2OA =2√2， ∴ b =c =√2， ∴ a 2=b 2+c 2=4, ∴ 椭圆方程为x 24+y 22=1；(2)C(−2, 0)，D(2, 0)，设M(2, y 0)，P(x 1, y 1)， 则OP →=(x 1,y 1)，OM →=(2,y 0) 直线CM:y =y 04(x +2)，即y =y 04x +12y 0，代入椭圆方程x 2+2y 2=4，得(1+y 028)x 2+12y 02x +12y 02−4=0. ∵ x 1=−124(y 02−8)y 02+8，∴ x 1=−2(y 02−8)y 02+8，∴ y 1=8yy 02+8，∴ OP →=(−2(y 02−8)y 02+8，8yy 02+8).∴ OP →⋅OM →=−4(y 02−8)y 02+8+8y 02y 02+8=4y 02+32y 02+8=4（定值）.(3)设存在Q(m, 0)满足条件，则MQ ⊥DP ，MQ →=(m −2,−y 0)，DP →=(−4y 02y 02+8,8y 0y 02+8)则由MQ →⋅DP →=0得−4y 02y 02+8(m −2)−8y 02y 02+8=0， 从而得m =0.∴ 存在Q(0, 0)满足条件. 20. 解：（1）由数列{t n }的定义可知：t 1=b 1=5， t 2=b 2=4，t 3=t 2−a 3+b 3=8，S ab =a 1+a 2+a 3+t 3=20．（2）证明：由S ab =17，得t 4=S ab −(a 1+a 2+a 3+a 4)=5． 而t 1=b 1=6，t 2=t 1−a 2+b 2=5，t 3=t 2−a 3+b 3=x +2， 当t 3<a 4，即x <2t 4=b 4=y ，则y =5t 3≥a 4即x ≥2有t 4=t 3−a 4+b 4=x −2+y ，则y =7−x ≤7−2=5， 综上所述，必有y ≤5成立．（3）S ab 的最小值为51，当表格如下排列（记作排列※）时可取到：当1≤n ≤6时，由（2）知t n =max{b n , t n−1−a n +b n }， 则t n ≥t n−1−a n +b n ，即t n −t n−1≥b n −a n ．于是 t 6−t 5≥b 6−a 6， t 5−t 4≥b 5−a 5， t 4−t 3≥b 4−a 4， t 3−t 2≥b 3−a 3， t 2−t 1≥b 2−a 2． 将上述不等式相加得：t 6−t 1≥(b 2+b 3+...+b 6)−(a 2+a 3+...+a 6)． ∵ S ab =(a 1+a 2+a 3+...+a 6)+t 6．∴ S ab≥(a1+a2+...+a6)+t1+(b2+b3+...+b6)−(a2+a3+...+a6)．∴ S ab≥a1+b1+(b2+b3+...+b6)=46+a1．①将前4个不等式相加得t6−t2≥(b3+b4+b5++b6)−(a3+a4+a5+a6)．类似地，可整理得S ab≥t2+(46−b1−b2)+a1+a2．②若a1≠3，可见a1≥5，由①得S ab≥46+a1≥51；若a1=3，则b1=1，那么t1=b1=1<a2，故t1=b2．此时由②得S ab≥t2+(46−b1−b2)+a1+a2=46−b1+a1+a2=48+a2≥53．综上所述，S ab≥51总是成立的．。
海淀区高三一模数学试卷及答案(理科)
海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）2012.04一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合1Ax x ，B x x m ，且A B R ，那么m 的值可以是（A ）1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 （2）在等比数列{}n a 中，14358a a a a ，，则7a =（A ）116（B ）18 （C ）14 （D ）12（3）在极坐标系中，过点3(2,)2π且平行于极轴的直线的极坐标方程是 （A ）sin 2ρθ （B ）cos 2ρθ（C ）sin 2ρθ（D ）cos 2ρθ（4）已知向量=(1)=(1)x x ，a b ，，-，若2-a b 与b 垂直，则=a（A（B（C ）2 （D ）4 （5）执行如图所示的程序框图，输出的k 值是（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7（6）从甲、乙等5个人中选出3人排成一列，则甲不在排头的排法种数是（A ）12 （B ）24 （C ）36 （D ）48（7）已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是（A ）2a （B ）2a （C ）22a（D ）2a或2a（8）在正方体''''ABCD A B C D 中，若点P （异于点B ）是棱上一点，则满足BP 与'AC 所成的角为45的点P 的个数为（A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）6二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上. （9）复数2i1ia 在复平面内所对应的点在虚轴上，那么实数a = . （10）过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 . （11）若1tan 2α，则cos(2)απ2= . （12）设某商品的需求函数为1005QP ，其中,Q P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP大于1（其中'EQ Q P EP Q，'Q 是Q 的导数），则商品价格P 的取值范围是 .（13）如图，以ABC ∆的边AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E ，EF AB 于点F ，3AF BF ，22BE EC ，那么CDE = ，CD = .（14）已知函数1,,()0,,x f x xRQ Q 则（ⅰ）(())f f x = ； （ⅱ）给出下列三个命题：FEDCBAA'B'C'D'ABCD①函数f x 是偶函数； ②存在(1,2,3)i x iR ，使得以点(,())(1,2,3)i i x f x i为顶点的三角形是等腰直角三角形； ③存在(1,2,3,4)ix iR ，使得以点(,())(1,2,3,4)i i x f x i为顶点的四边形为菱形.其中，所有真命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ， C 成等差数列. （Ⅰ）若13b，3a ，求c 的值；（Ⅱ）设sin sin t A C =，求t 的最大值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥PABCD 中，AB //CD ，ABAD ，4,22,2AB AD CD ，PA平面ABCD ，4PA .（Ⅰ）设平面PAB平面PCD m =，求证：CD //m ；（Ⅱ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅲ）设点Q 为线段PB 上一点，且直线QC 与平面PAC，求PQPB的值．(17)（本小题满分13分）某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；PDCBA（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望.（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）(18)（本小题满分13分）已知函数21()e()(0)kxf x x x k k-=+-<.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得函数()f x 的极大值等于23e -？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.(19)（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G 的中心为坐标原点，左焦点为1(1,0)F -， P 为椭圆G 的上顶点，且145PF O ∠=︒. （Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）已知直线1l ：1y kx m =+与椭圆G 交于A ，B 两点，直线2l ：2y kx m =+（12m m ≠）与椭圆G 交于C ，D 两点，且||||AB CD =，如图所示.（ⅰ）证明：120m m +=;（ⅱ）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.(20)（本小题满分14分）对于集合M ，定义函数1,,()1,.M x M f x x M -∈⎧=⎨∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A ，{1,2,4,8,16}B.（Ⅰ）写出(1)A f 和(1)B f 的值，并用列举法写出集合A B ∆；（Ⅱ）用Card (M )表示有限集合M 所含元素的个数，求()()Card X A Card X B ∆+∆的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对（P ，Q ），满足,P Q AB ⊆，且()()P A Q B A B ∆∆∆=∆？海淀区高三年级第二学期期中练习数 学（理科）参考答案及评分标准 2012．04一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. （9）2 （10）43200xy （11）45（12）(10,20)（13）60°（14）1 ①③ 三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为,,A B C 成等差数列， 所以2B A C =+. 因为A B C ++=π， 所以3B π=. ………………………………………2分 因为13b，3a，2222cos b a c ac B =+-，所以2340c c --=. ………………………………………5分所以4c =或1c =-（舍去）. ………………………………………6分（Ⅱ）因为23A C +=π， 所以2sin sin()3t A A π=-1sin sin )22A A A =+11cos22()22A A -=+11sin(2)426A π=+-. ………………………………………10分 因为203A π<<，所以72666A πππ-<-<.所以当262A ππ-=，即3A π=时，t 有最大值34.………………………………………13分(16)（本小题满分14分）（Ⅰ）证明： 因为AB //CD ，CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD //平面PAB . ………………………………………2分 因为CD ⊂平面PCD ，平面PAB平面PCD m =，所以CD //m . ………………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为AP平面ABCD ，ABAD ，所以以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(4,0,0)B ，(0,0,4)P，(0,D，(2,C .………………………………………5分所以(4,BD =-，(2,AC =，(0,0,4)AP =，所以(4)2000BD AC ⋅=-⨯+⨯=，(4)00040BD AP ⋅=-⨯++⨯=.所以 BD AC ⊥，BD AP ⊥.因为 AP AC A =，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以 BD ⊥平面PAC .………………………………………9分（Ⅲ）解：设PQ PBλ（其中01λ），(,,)Q x y z ，直线QC 与平面PAC 所成角为θ.所以 PQPB λ.所以 (,,4)(4,0,4)x y z λ.所以4,0,44,xy zλλ即(4,0,44)Q λλ.所以 (42,22,44)CQλλ. ………………………………………11分由（Ⅱ）知平面PAC 的一个法向量为(4,BD =-.………………………………………12分因为 sin cos ,CQ BD CQ BDCQ BDθ，所以3=. 解得 7[0,1]12λ=∈. 所以 712PQ PB . ………………………………………14分(17)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由直方图可得：200.025200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯=.所以 0.0125x . ………………………………………2分（Ⅱ）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：0.0032200.12⨯⨯=， ………………………………………4分因为6000.1272⨯=，所以600名新生中有72名学生可以申请住宿.………………………………………6分（Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，4. ………………………………………7分由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为14， 4381(0)4256P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 3141327(1)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 22241327(2)C 44128P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,334133(3)C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,411(4)4256P X ⎛⎫===⎪⎝⎭.812727310123412566412864256EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（或1414EX =⨯=）所以X 的数学期望为1. ………………………………………13分(18)（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R . 221'()e()e (21)e [(2)2]kxkx kx f x k x x x kx k x k---=-+-++=-+-+，即 '()e(2)(1)(0)kxf x kx x k -=--+<. ………………………………………2分令'()0f x =，解得：1x =-或2x k=. 当2k =-时，22'()2e (1)0xf x x =+≥，故()f x 的单调递增区间是(,).………………………………………3分 当20k -<<时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)k -∞和(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)k-.………………………………………5分当2k <-时，()f x ，'()f x 随x 的变化情况如下：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,1)-∞-和2(,)k +∞，单调递减区间是2(1,)k-.………………………………………7分（Ⅱ）当1k时，()f x 的极大值等于23e -. 理由如下：当2k =-时，()f x 无极大值.当20k -<<时，()f x 的极大值为22241()e ()f kk k-=+， ………………………………………8分令22241e ()3e k k--+=，即2413,k k += 解得 1k =-或43k =（舍）.………………………………………9分当2k <-时，()f x 的极大值为e (1)kf k-=-.………………………………………10分因为 2e e k-<，1102k <-<， 所以 2e 1e 2k k --<. 因为221e 3e 2--<， 所以 ()f x 的极大值不可能等于23e -. ………………………………………12分 综上所述，当1k =-时，()f x 的极大值等于23e -.………………………………………13分(19)（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设椭圆G 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>.因为1(1,0)F -，145PF O ∠=︒，所以1b c .所以 2222ab c . ………………………………………2分所以 椭圆G 的标准方程为2212x y +=. ………………………………………3分 （Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y .（ⅰ）证明：由122,1.2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：22211(12)4220k x km x m +++-=.则2218(21)0k m ∆=-+>，1122211224,1222.12km x x km x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………………………………………5分 所以||AB ====同理||CD =. ………………………………………7分 因为 ||||AB CD =,所以=.因为 12m m ≠，所以 120m m +=. ………………………………………9分 （ⅱ）解：由题意得四边形ABCD 是平行四边形，设两平行线,AB CD 间的距离为d ,则 1221m m dk.因为 120m m +=， 所以 1221m dk. ………………………………………10分所以||S AB d =⋅=2221121k m m -++=≤=（或S ==所以 当221212k m +=时， 四边形ABCD 的面积S取得最大值为 ………………………………………13分(20)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）(1)=1A f ，(1)=1B f -，{1,6,10,16}A B ∆=.………………………………………3分（Ⅱ）根据题意可知：对于集合,C X ，①若aC 且aX ，则(({})()1Card C X a Card C X ∆=∆-；②若a C 且a X，则(({})()1Card C Xa Card C X ∆=∆+.所以 要使()()Card X A Card X B ∆+∆的值最小，2，4，8一定属于集合X ；1，6，10，16是否属于X 不影响()()Card X A Card X B ∆+∆的值；集合X 不能含有A B 之外的元素.所以 当X 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时，()()Card X A Card X B ∆+∆取到最小值4. ………………………………………8分 （Ⅲ）因为 {()()1}A B A B x f x f x ∆=⋅=-，所以 A B B A ∆=∆.由定义可知：()()()A B A B f x f x f x ∆=⋅.所以 对任意元素x ，()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅， ()()()()()()()A B C A B C A B C f x f x f x f x f x f x ∆∆∆=⋅=⋅⋅. 所以 ()()()()A B C A B C f x f x ∆∆∆∆=. 所以 ()()A B C A B C ∆∆=∆∆.由 ()()P A Q B A B ∆∆∆=∆知：()()P Q A B A B ∆∆∆=∆. 所以 ()()()()()P Q A B A B A B A B ∆∆∆∆∆=∆∆∆. 所以 P Q ∆∆∅=∅. 所以 P Q ∆=∅，即P Q .因为 ,P Q AB ⊆，所以 满足题意的集合对（P ，Q ）的个数为72128=.………………………………………14分。
北京市海淀区2009届高三一模(理综)
海淀区高三年级第二学期期中练习理科综合能力测试 2009．4本试卷分为第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第1卷1至8页，第Ⅱ 卷9至16页，共16页。
满分300分。
考试时间150分钟。
注意事项：1．答卷前将学校、班级、姓名填写清楚。
2．第I 卷每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
第Ⅱ卷各小题用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试题卷上。
第I 卷(选择题共120分)本卷共20题。
每题6分。
共120分。
在下列各题的四个选项中。
只有一个选项是符合题目要求的。
以下数据可供解题时参考：可能用到的相对原子质量：H 1 C12 O16 S 32 1．下列与病毒相关的表述中，正确的是 ①面对病毒的感染，人体往往是先通过体液免疫的作用来阻止病毒通过血液而播散，再通过细胞免疫予以消灭②高温灭菌措施很难杀灭病毒，因为病毒无细胞结构③绝大部分病毒对宿主细胞的选择具有专一性④被流感病毒侵染的人应立即使用抗生素，以抑制病毒的增殖A ．只有①③B ．只有②④C ．只有①②③D ．只有②③④2．人体在神经系统和体液的调节下，通过各个器官、系统的协调活动，共同维持着内环境的相对稳定状态。
下列与人体稳态相关的叙述中不正确的是A ．血浆中弱酸与相应的强碱盐组成的缓冲物质，维持着pH 的相对稳定B ．人体肝脏、肾脏的病变会直接影响到内环境稳态的维持C ．甲亢病人因代谢过于旺盛，其产热量往往高于散热量D ．水、盐代谢的平衡使细胞生活环境的渗透压保持相对稳定3．图I 示人体某蛋白基因与其信使RNA 分子杂交的结果，与此相关的合理解释是(1)图中②④⑥⑧示DNA ／RNA 的杂交体，①③⑤⑦⑨ 示单链DNA 部分；(2)若①端示编码区的上游，则该区域有 RNA 聚合酶结合的位点；(3)若某一初级卵母细胞的一条染 色单体上的该基因发生了突变，则最终产生的卵携带该突变 基因的概率是l ／2；(4)DNA ／RNA 杂交体区域的碱基对组成 只有A —U 、G —C A ．只有（1）（2） B ．只有（2）（3） C ．只有（1）（3）（4） D ．只有（1）（2）（4）4．图2示德国科学家萨克斯的实验。
2009年北京高考数学真题及答案(理科)
2009北京高考数学真题（理科）第I 卷（选择题 共40分）一、本大题每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．已知向量,a b 不共线，(),c ka b k R d a b =+∈=-如果//c d ，那么 A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向 3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点 A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度4．若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11A C 到底面ABCD 的距离为 A ．33B ．1C ．2D ．3 5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6．若5(12)2(,a b a b +++为有理数），则a b +=A ．45B ．55C ．70D ．807．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A ．324 B ．328 C ．360 D ．6488．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是 A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2009年北京市高考数学试卷（理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题，每小题5分,满分40分)1．（5分)（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开,化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i,∴复数z所对应的点为（﹣2,1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．2．（5分)(2009•北京）已知向量=(1，0）,=(0,1),=k+（k∈R）,=﹣，如果∥,那么(）A．k=1且c与d同向B．k=1且c与d反向C．k=﹣1且c与d同向D．k=﹣1且c与d反向【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题．【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件,再检验k=﹣1是否满足条件,从而选出应选的选项．【解答】解：∵=(1,0),=（0,1），若k=1，则=+=(1，1），=﹣=（1，﹣1)，显然，与不平行,排除A、B．若k=﹣1,则=﹣+=（﹣1,1）,=﹣=(1,﹣1)，即∥且与反向,排除C，故选D．【点评】本题考查平行向量的坐标表示,当两个向量平行时,一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．3．（5分)（2009•北京）为了得到函数的图象,只需把函数y=lgx的图象上所有的点(）A．向左平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【考点】对数函数的图像与性质．【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．【解答】解:∵,∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度故选C．【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．4．（5分）(2009•北京)若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD 成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为(）A． B．1 C． D．【考点】直线与平面平行的性质．【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】画出图象,利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．【解答】解:依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离,∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，故选：D．【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．5．(5分）（2009•北京)“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z)却不一定成立,根据充要条件的定义,即可得到结论．【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时,cos2a=cos(4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a=2kπ+⇒a=kπ+(k∈Z）,或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z）,故选A．【点评】判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q 的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．6．(5分）(2009•北京)若（1+)5=a+b（a,b为有理数)，则a+b=()A．45 B．55 C．70 D．80【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】利用二项式定理求出展开式,利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b,求出a+b【解答】解析：由二项式定理得：(1+)5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（)4+C55•（)5=1+5+20+20+20+4=41+29,∴a=41,b=29,a+b=70．故选C【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．7．（5分)（2009•北京)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324 B．328 C．360 D．648【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．【解答】解:由题意知本题要分类来解,当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种,十位有8种，共有8×8×4=256当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有9×8×1=72根据分类计数原理知共有256+72=328故选B【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样,把排列问题包含在数字问题中,解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．8．（5分）（2009•北京)点P在直线l：y=x﹣1上,若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B 两点，且｜PA|=｜AB|,则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（)A．直线l上的所有点都是“点”B．直线l上仅有有限个点是“点"C．直线l上的所有点都不是“点”D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点"【考点】两点间距离公式的应用．【专题】计算题；压轴题;创新题型．【分析】根据题设方程分别设出A,P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A,B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解,进而可推断出直线l 上的所有点都符合．【解答】解：设A(m，n）,P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵A，B在y=x2上∴n=m2,2n﹣x+1=（2m﹣x）2消去n，整理得关于x的方程x2﹣（4m﹣1 )x+2m2﹣1=0∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，∴方程恒有实数解,∴故选A．【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时,利用判别式来判断．二、填空题（共6小题，每小题5分,满分30分）9．(5分)（2009•北京）=．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】通过因式分解把原式转化为=,消除零因子后得到,由此能够得到的值．【解答】解：===．故答案为：．【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l:y﹣x=0平移l过点A(4，﹣2）时s有最小值﹣6,故答案为﹣6．【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法目标函数几何意义11．（5分）（2009•北京)设f（x)是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1,f(1）)处的切线的斜率为1,则该曲线在（﹣1,f(﹣1))处的切线的斜率为﹣1．【考点】偶函数；导数的几何意义．【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象,根据对称性即可解决本题．【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，易得该曲线在（﹣1，f(﹣1）)处的切线的斜率为﹣1．故应填﹣1．【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．12．（5分）（2009•北京)椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上,若｜PF1|=4,则｜PF2|=2，∠F1PF2的大小为120°．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】第一问用定义法,由｜PF1｜+｜PF2｜=6,且｜PF1｜=4，易得｜PF2｜；第二问如图所示:角所在三角形三边已求得,用余弦定理求解．【解答】解：∵|PF1｜+｜PF2|=2a=6，∴|PF2｜=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中,cos∠F1PF2===﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：2;120°【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题,这类题是常考类型，难度不大，考查灵活,特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．13．（5分)（2009•北京）若函数则不等式的解集为［﹣3，1]．【考点】其他不等式的解法．【专题】计算题；压轴题；转化思想．【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式,再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，故答案为：[﹣3,1］．【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．14．(5分）(2009•北京)｛a n}满足:a4n﹣3=1,a4n﹣1=0，a2n=a n，n∈N*则a2009=1；a2014=0．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】压轴题．【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=a n，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项,而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．【解答】解:∵2009=503×4﹣3,∴a2009=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1,∴a2014=0,故答案为:1,0．【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B,C的对边分别为，．（Ⅰ）求sinC的值;（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理;同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题．【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后,将sinA和cosA代入即可求出值;(Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和(Ⅰ）可知公式里边的a不知道,所以利用正弦定理求出a即可．【解答】解：（Ⅰ)∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，∴A为锐角，则sinA==∴∴sinC=sin(﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ)由(Ⅰ）知sinA=,sinC=，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理,得∴a==，∴△ABC的面积S=absinC=×××=．【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．16．（14分)（2009•北京）如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上,且DE∥BC．（1)求证：BC⊥平面PAC;（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角?并说明理由．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．【专题】计算题;证明题．【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC,根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC 内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC,而AC⊥BC，满足定理所需条件; (2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE 中,求出AD与平面PAC所成角即可;（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P 的平面角,而PA⊥AC,则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A ﹣DE﹣P是直二面角．【解答】解:（1)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC．又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴DE=BC．又由（1)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足为点E，∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB．又PA=AB,∴△ABP为等腰直角三角形，∴AD=AB．在Rt△ABC中,∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，即AD与平面PAC所成角的正弦值为．(3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时,∠AEP=90°,故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多,知识性技巧性都很强．17．（13分）（2009•北京)某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min．(Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(Ⅱ)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．【专题】计算题．【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．（2）由题意知变量的可能取值,根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”，∴事件A的概率为（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2,4，6，8（单位:min）事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”(k=0，1，2,3，4），∴，∴即ξ的分布列是ξ0 2 4 6 8P∴ξ的期望是【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响,而对立事件是指同一次试验中,不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时,往往先求它的对立事件的概率．18．(13分）（2009•北京)设函数f（x）=xe kx（k≠0）．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程;（Ⅱ)求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x)在区间（﹣1，1）内单调递增,求k的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题;压轴题．【分析】(I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．（II）先求出f(x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；(III)由（Ⅱ)知，若k＞0,则当且仅当﹣≤﹣1时,函数f（x）(﹣1,1)内单调递增，若k＜0,则当且仅当﹣≥1时，函数f(x)(﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f′(x）=（1+kx)e kx,f′（0)=1,f（0）=0，曲线y=f（x）在点（0，f(0））处的切线方程为y=x;（Ⅱ）由f′（x)=(1+kx）e kx=0，得x=﹣（k≠0）,若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x)＜0,函数f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＞0，函数f（x)单调递增，若k＜0，则当x∈(﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，函数f（x)单调递增,当x∈（﹣，+∞,）时，f′(x)＜0，函数f(x）单调递减；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，即k≤1时,函数f（x）(﹣1，1）内单调递增,若k＜0，则当且仅当﹣≥1，即k≥﹣1时，函数f(x)（﹣1，1)内单调递增，综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时,k的取值范围是［﹣1,0）∪（0，1]．【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．19．（14分）(2009•北京）已知双曲线C：=1(a＞0，b＞0)的离心率为,右准线方程为x= （I)求双曲线C的方程；（Ⅱ)设直线l是圆O:x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B,证明∠AOB的大小为定值．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】计算题;综合题；压轴题；转化思想．【分析】( I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．（II)先求出圆的切线方程,再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．【解答】解：(Ⅰ）由题意，，解得a=1,c=，b2=c2﹣a2=2，∴所求双曲C的方程．(Ⅱ)设P（m,n）（mn≠0)在x2+y2=2上,圆在点P（m，n)处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m)，化简得mx+ny=2．以及m2+n2=2得（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0,∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B,且0＜m2＜2,3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）(8﹣2m2）＞0，设A、B两点的坐标分别（x1,y1)，(x2，y2），x1+x2=，x1x2=．∵,且=x1x2+［4﹣2m（x1+x2)+m2x1x2］=+［4﹣+]=﹣=0．∴∠AOB的大小为900．【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．20．（13分)(2009•北京）已知数集A=｛a1,a2，…，a n｝（1≤a1＜a2＜…a n，n≥2）具有性质P;对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，a i a j与两数中至少有一个属于A．（I)分别判断数集{1，3,4｝与{1，2,3，6}是否具有性质P，并说明理由；（Ⅱ）证明:a1=1,且；（Ⅲ）证明：当n=5时，a1,a2,a3,a4，a5成等比数列．【考点】数列的应用．【专题】证明题；综合题;压轴题；新定义；分类讨论．【分析】(I）根据性质P;对任意的i,j（1≤i≤j≤n），a i a j与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集｛1，3，4}与{1,2，3，6｝中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；(Ⅱ）由性质P，知a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，,，…,，从而++…++=a1+a2+…+a n，命题得证；（Ⅲ)跟据(Ⅱ)，只要证明即可．【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3,4,∴该数集不具有性质P．由于1×2，1×3,1×6,2×3，，，，,，都属于数集{1,2，3,6，∴该数集具有性质P．（Ⅱ）∵A=｛a1，a2，…，a n｝具有性质P,∴a n a n与中至少有一个属于A,由于1≤a1＜a2＜…＜a n，∴a n a n＞a n故a n a n∉A．从而1=∈A，a1=1．∵1=a1＜a2＜…a n，n≥2，∴a k a n＞a n(k=2,3，4，…，n）,故a k a n∉A（k=2，3，4，…,n）．由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n)．又∵＜＜…＜＜,∴，,…,,从而++…++=a1+a2+…+a n,∴且；（Ⅲ）由(Ⅱ)知,当n=5时,有，,即a5=a2•a4=a32，∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，由A具有性质P可知∈A．由a2•a4=a32，得∈A，且1＜，∴,∴，即a1，a2，a3，a4，a5是首项为1,公比为a2等比数列．【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查,属于较难层次题．。
2006-2018年北京海淀区高考数学一模理科试题
第Ⅱ卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 小题， 每小题 5 分，共 30 分，把答案填在题中横线上） 。
9．抛物线 y ax(a 0, a R）的焦点坐标为
2
x, f ( x) 3, 3, f ( x) x,
a , f ( x ) x, b,
② 3A B 6 A .
1 9 ; f (1) ； 4 4
（II） 设0 x , 求证 : f ( 2 sin x ) 0 .
准考证号：
姓名：
班级：
高三理科数学 第 9 页，共 126 页
高三理科数学 第 10 页，共 126 页
…………○…………密…………封…………线…………内…………不…………要…………答…………题…………○…
2007 年北京市海淀区高三第一次模拟考试 理科数学试题（卷）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。
其中正确命题的序号是： （A） ①和② （B）②和③
（
） （D）①和④ （ ）
（C）③和④
5．从 3 名男生和 3 名女生中，选出 3 名分别担任语文、数学、英语的课代表，要求至少有 1 名 女生，则选派方案共有 （A）19 种 （B） 54 种 （C）114 种 （D）120 种 ）
（II）若 OP OQ 17, 求PBQ 的面积 S； 使得 AM （III） 若 PF FQ ( 0, 1), 问是否存在实数 f ( ) ， 求出 f ( ) 的表达式；若不存在，请说明理由.
MQ .若存在，
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第 I 卷（选择题
2009北京高考数学真题(理科)及答案
∴△ABC 的面积 S 1 ab sin C 1 6
334
3 36 9
3
.
2
25
10
50
16．（Ⅰ）∵PA⊥底面 ABC，∴PA⊥BC.
又 BCA 90 ，∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面 PAC. （Ⅱ）∵D 为 PB 的中点，DE//BC，
与
aj ai
两数中至少有一个属于
A。
（I）分别判断数集{1, 3, 4} 与{1, 2, 3, 6} 是否具有性质 P ，并说明理由；
（Ⅱ）证明： a1
1，且
a1 a2 an a11 a21 an1
an ;
（Ⅲ）证明：当 n 5 时， a1, a2 , a3, a4 , a5 成等比数列。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
18．（本小题共 13 分）
设函数 f (x) xekx (k 0) （I）求曲线 y f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 f (x) 的单调区间； （Ⅲ）若函数 f (x) 在区间 (1,1) 内单调递增，求 k 的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
c
3 3 ，解得 a 1, c
c a
3
3 ，∴ b2 c2 a2 2 ，
∴所求双曲线 C 的方程为 x2 y2 1. 2
（Ⅱ）点 P x0 , y0 x0 y0 0 在圆 x2 y2 2 上，
圆在点
P
x0 ,
y0
处的切线方程为
15．（本小题共 13 分）