圆的面积公式推导(6种可自由选择+典型练习)讲解学习共42页文档
圆的面积公式推导
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圆面积公式的推导
将圆分成假设干〔偶数〕等分
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1 2 34 567 8 16 15 14 13 12 11 10 9 16 15 14 13 12 11 10 9
圆面积公式的推导
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
圆面积公式的推导
C 2
解 ： 20÷2=10〔m〕 3.14×102
=3.14×100 =314〔m2〕 答：它的面积是314m2。
• 用一根5米长的绳子把小羊拴在 草地上，让羊吃草。小羊能吃 到草的最大面积是多少？
解：3.14×52吃到草的最大面 积是78.5平方米。
谢谢各位的聆听
圆的面积公式推导
用一根5米长的绳子把小羊 拴在草地上，让羊吃草。
〔1〕小羊能吃到草的最大面 积是个什么图形？
〔2〕如何求它的面积？
圆面积定义
面积公式推导
实践应用
圆面积的定义
• 什么是圆的面积呢？
圆所占平面的大小 叫做圆的面积。
圆面积公式的推导
将圆分成假设干〔偶数〕等分
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＝πr
r
长方形面积 = 长 × 宽
圆 的 面 积 = πr × r
= πr2
圆面积公式的推导
圆的面积计算公式：
S =πr2
一个圆的半径是2米。它的面 积是多少平方厘米？
S ＝ πr 2
解：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56(平方米)
答：它的面积是12.56平方米。
圆形花坛的直径是20m，它的 面积是多少平方米？
圆的面积公式推导
圆面积公式的推导
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
圆面积公式的推导
C 2
＝πr
r
长方形面积 = 长 × 宽
圆 的 面 积 = πr × r
= πr2
圆面积公式的推导
圆的面积计算公式：
S =πr2
一个圆的半径是2米。它的面 积是多少平方厘米？
S ＝ πr 2
解：3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56(平方米)
答：它的面积是12.56平方米。
圆形花坛的直径是20m，它的 面积是多少平方米？
解 ： 20÷2=10（m） 3.14×102
=3.14×100 =314（m2） 答：它的面积是314m2。
• 用一根5米长的绳子把小羊拴在 草地上，让羊吃草。小羊能吃 到草的最大面积是多少？
解：3.14×52 =3.14×25 =78.5（平方米）
圆面积定义
面积公式推导
实践应用
圆面积的定义
• 什么是圆的面积呢？
圆所占平面的大小 叫做圆的面积。
圆面积公式的推导
将圆分成若干（偶数）等分
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圆面积公式的推导
将圆分成若干（偶数）等分
1 2 34 567 8 1 2 34 567 8 16 15 14 13 12 11 10 9 16 15 14 13 12 11 10 9
答：小羊能吃到草的最大面 积是78.5平方米。
• 圆的周长公式是什么？ • 我们学习过哪些平面图形的面积，它
们的计算公式各是什么? • 我们是如何推导出平行四边形的面积
推导圆的面积公式
推导圆的面积公式圆是一个几何图形，由所有与一个给定点（通常称为圆心）的距离都相等的点组成。
圆的面积是以圆心为中心的封闭区域的大小，它用来测量圆包围的区域的大小。
圆的面积公式是一个重要的数学定理，它被广泛应用于几何学和物理学中。
要推导圆的面积公式，我们可以从初中数学知识出发，利用集合论和几何学的一些基本原理。
首先，我们需要定义一个圆。
圆可以被定义为所有与一个给定点的距离都相等的点的集合。
我们可以将这个点称为圆心，将与圆心距离相等的距离称为半径。
给定半径r的圆，我们可以将圆划分为无数个无限小的扇形。
为了计算圆的面积，我们可以将圆看作是由无数个无限小的扇形组成的，然后求解这些扇形的面积之和。
根据三角形的面积公式，我们可以计算出无限小三角形的面积：∆A=1/2*r*∆θr=1/2r²∆θ注意到，∆A即为无限小扇形的面积。
接下来，我们计算整个圆的面积。
我们将圆划分为n个相等的扇形，其中每个扇形的圆心角为∆θ。
那么整个圆的面积可以近似看作n个扇形面积之和：A=∆A₁+∆A₂+∆A₃+...+∆Aₙ替换∆A的表达式，并利用∆θ的定义（∆θ=2π/n，其中2π是一个完整的圆心角），我们可以得到：A=1/2r²(2π/n)+1/2r²(2π/n)+...+1/2r²(2π/n)=(1/2r²)(2π/n)( n)化简上述表达式，我们得到：A=πr²这就是圆的面积公式。
这个推导过程利用了极限思想，将圆划分为无数个无限小的扇形，并通过求和得到整个圆的面积。
这个推导过程给出了圆的面积公式πr²的几何意义，并揭示了这个公式背后的一些基本原理。
需要注意的是，这个证明过程涉及了极限概念和有关无穷小量的理解，因此可能超出了初中数学范围。
然而，这个证明过程为理解圆的面积公式提供了深入的洞察力，并展示了几何学中一些重要的数学思想。
圆的面积公式推导过程
圆的面积公式推导过程首先，我们知道圆可以看做是由无限多个无限小的线段组成的。
为了计算圆的面积，我们可以将圆分成无限多个无限小的扇形，并计算这些扇形的面积之和。
假设一个圆的半径为r，我们可以将一个圆分成n个扇形，每个扇形的圆心角为θ。
(其中θ=2π/n)那么每个扇形的面积可以表示为：A=(1/2)*r^2*θ。
接下来，我们需要确定扇形的个数n。
当我们将圆分得越细，每个扇形的面积误差就越小。
当n趋向于无穷大时，每个扇形的圆心角θ趋近于零，扇形近似于一个狭长的条带。
那么，扇形的面积可以表示为：A=(1/2)*r^2*θ利用极限的概念，当扇形趋近于无穷多个时，它们可以组成一个圆。
即：A = lim(n→∞) [ (1 / 2) * r^2 * θ ]既然扇形的圆心角θ趋近于零，我们可以利用三角函数的性质来推导圆的面积公式。
根据三角函数的定义，sin(θ) = opposite / hypotenuse根据扇形的构造，opposite = r，hypotenuse = 2r那么，sin(θ) = r / (2r) = 1 / 2利用三角函数sin(θ) = 1/2，我们可以得到θ = π / 6再次回到扇形的面积公式：A=(1/2)*r^2*θ替换θ=π/6，A=(1/2)*r^2*(π/6)将π/6=π/180，我们可以得到A=(1/2)*r^2*(π/180)接下来，我们需要将圆分成无限多个扇形，表示为n→∞。
这时，我们可以利用极限的性质来对上式进行求解。
lim(n→∞) [ (1 / 2) * r^2 * (π / 180) ] = (1 / 2) * r^2 * (lim(n→∞) [ π / 180 ])根据极限的定义，lim(n→∞) [ π / 180 ] = 1将此结果代入上式，我们得到：(1 / 2) * r^2 * (lim(n→∞) [ π / 180 ]) = (1 / 2) * r^2 * 1化简后，我们得到圆的面积公式：A=(1/2)*r^2*π即圆的面积公式为：A=π*r^2这就是圆的面积公式的推导过程。
圆面积的公式推导过程
圆面积的公式推导过程要推导圆的面积公式，我们首先需要了解一些基本概念和前提条件。
一个圆由半径r定义，半径是圆心到圆周上任意一点的距离。
我们可以选择以圆心O为原点，将圆周上一点A的坐标表示为(x,y)。
在这个坐标系中，圆的方程为x^2+y^2=r^2、这个方程描述了所有满足半径为r的圆上点的位置。
我们可以利用这个方程来推导圆的面积公式。
.....**********************在这个图中，我们选择一个扇形的顶角θ（在弧度制度量）作为单位扇形。
单位扇形的面积可以表示为A=1/2*r*r*θ，其中1/2*r*r是扇形的底边长度，θ是扇形的角度。
现在我们需要找出单位扇形的角度θ与半径r之间的关系。
我们可以将单位扇形完全展开，形成一个很小的弧长。
这个弧长等于扇形的半径乘以单位扇形的角度（θ）：s=r*θ我们知道一个完整的圆的弧长是2πr（圆的周长）。
所以我们可以得到：s=2πr将上面两个方程相等，我们可以得到：2πr=r*θ将两边都除以r，我们得到：2π=θ根据这个关系，我们可以把单位扇形的面积公式A=1/2*r*r*θ重写为：A=1/2*r*r*2π化简得：A=πr^2所以，圆的面积等于半径的平方乘以π。
这个结果被称为圆的面积公式。
它可以用来计算任何半径为r的圆的面积。
在这个推导过程中，我们使用了几何和代数的原理，包括圆的定义、直角三角形的面积公式和三角函数。
总结起来，圆的面积公式推导的基本思路是将圆分成无限多的扇形，然后将扇形的面积相加。
通过对单位扇形进行分析，我们得到了单位扇形的面积公式，并通过几何和代数的原理，将单位扇形的面积转化为整个圆的面积公式。
圆的面积公式推导过程
把圆柱的底面平均分的份数越多，切拼成的立体图形越接近长方体。
长方体体积＝底面积×高 圆柱体积＝底面积×高 高 底面积 高 V＝sh
例4
一根圆柱形钢材，底面积是50平方厘米，高是2.1米。它的体积是多少？
一、填表。
15 3 45 40 4 160
底面积 s（平方米）
高 h（米）
圆柱体积 V （立方米）
01
14×
03
5
05
2
02
× 2
04
再见
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圆柱的体积
单击此处添加副标题
圆的面积公式推导过程:
S=πr ×r =π
S=π
圆的面积公式推导过程:
r
单击添加标题
01
单击添加标题
02
πr
1、拼成的长方体的体积与原来的圆柱体体积是否相等？
2、它的底面积变了吗？
3，高也相等，那么它们的 底面积（ ）。
1
一根横截面面积是10平方厘米 的圆柱形钢材，长是2米，它的 体积是（ ）立方厘米。
2
相等
3
二、填空
三、判断对错。
”
×
√
（ ） （ ） × × √
01
体积越大。
大。
成反比例 。 （ ）
四、求下面圆柱的体积。（只列式不计算。）
1、底面积24平方厘 米，高12厘米。
2
2、底面半径 2 厘 米, 高 5 厘米。
5
12
24×12
3.14×
× 5
四、求下面圆柱的体积。（只列式不计算。）
底面直径 5 分米, 高 2 分米。
圆的面积计算公式推导
圆的面积计算公式推导一、教材中的推导方法（以人教版为例）1. 将圆转化为近似图形。
- 我们把一个圆平均分成若干个相等的小扇形。
当分的份数越多时，这些小扇形就越接近三角形。
- 例如，我们把圆平均分成32份、64份……可以发现这些小扇形组合起来越来越像一个长方形。
2. 推导过程。
- 把圆平均分成若干份后拼成的近似长方形，这个长方形的长相当于圆周长的一半，因为圆的周长C = 2π r，那么圆周长的一半就是π r。
- 长方形的宽相当于圆的半径r。
- 根据长方形的面积公式S =长×宽，对于这个近似长方形来说，它的面积就是π r×r=π r^2。
- 因为这个近似长方形的面积就是原来圆的面积，所以圆的面积公式就是S = π r^2。
二、其他推导方法。
1. 利用极限思想的推导。
- 我们从圆的内接正多边形入手。
设圆的半径为r，圆内接正n边形的边长为a_n，边心距为r_n。
- 正n边形的面积S_n=(1)/(2)n× a_n× r_n。
- 当n无限增大时，正n边形的边心距r_n趋近于圆的半径r，正n边形的周长P = n× a_n趋近于圆的周长C = 2π r。
- 此时，圆的面积S=lim_n→+∞S_n=lim_n→+∞(1)/(2)n× a_n×r_n=(1)/(2)×lim_n→+∞(n× a_n)×lim_n→+∞r_n=(1)/(2)× C× r=π r^2。
2. 利用定积分推导（适合高年级拓展）- 在平面直角坐标系中，以原点为圆心，r为半径的圆的方程为x^2+y^2=r^2，即y = ±√(r^2)-x^{2}。
- 圆的面积S = 4∫_0^r√(r^2)-x^{2}dx。
- 通过换元法，令x = rsin t，dx = rcos tdt，当x = 0时，t = 0；当x = r时，t=(π)/(2)。
圆面积公式的推导
圆面积公式的推导首先，我们先来定义圆和圆的一些相关术语。
定义:半径(r)：从圆心到圆上的任一点的距离。
直径(d)：通过圆心的两个点之间的距离，等于2倍的半径。
周长(C)：通过圆上一点绕圆一周所走的距离，也可以称为圆的周长。
面积(A)：圆内的所有点构成的区域的大小。
通过观察，我们可以发现，当圆的半径增加时，圆的周长和面积也会增加。
而当圆的半径减小时，圆的周长和面积也会减小。
这种关系可以用一个数学公式来表示，并且称之为圆面积公式。
要推导出圆的面积公式，我们可以采用两种方法：几何推导和微积分。
1.几何推导:我们先从一个正方形开始，边长为2r。
画一个半径为r的圆，圆心在正方形的中心。
我们可以观察到，圆形的面积是由四个相等的扇形组成的，每个扇形的面积为1/4圆的面积。
而这四个扇形加起来正好等于正方形的面积。
由于正方形的面积为边长的平方，所以正方形的面积为(2r)^2=4r^2而圆形的面积为4个扇形的面积之和，则圆形的面积为4*(1/4圆的面积)=πr^2所以，通过几何推导，我们得到了圆的面积公式为A=πr^22.微积分推导:我们可以使用微积分来推导圆的面积公式。
首先，我们可以将圆划分为无限多个宽度极小的扇形，然后将这些扇形展开成一个无限长的螺旋。
我们可以将圆逼近为一个不断逼近0的多边形，当多边形的边数趋近于无穷大时，所得到的面积就是圆的面积。
假设我们将圆划分为n个扇形，其中每个扇形的弧长为Δθ。
则整个圆的周长L就是n个扇形的弧长之和，即L=nΔθ。
另外，圆的面积A可以近似为n个扇形的面积之和，即A≈n*(1/2)*r^2*Δθ。
当我们不断增加n的值，使得n趋近于无穷大时，圆的周长和面积就是圆的真实周长和面积。
可以得到，当n趋近于无穷大时，周长是一个固定的值，即 C = lim(n->∞, nΔθ) = 2πr。
同样地，当n趋近于无穷大时，面积可以表示为 A = lim(n->∞, n * (1/2) * r^2 * Δθ) = πr^2所以，通过微积分推导，我们得到了圆的面积公式为A=πr^2综上所述，无论是几何推导还是微积分推导，都可以得到圆的面积公式为A=πr^2、这个公式可以直观地说明圆的面积是半径的平方倍，并且适用于任何圆。
圆面积的公式推导过程
圆面积的公式推导过程要推导出圆的面积公式，首先需要从圆的定义开始。
圆是平面上到一个固定点的距离等于定值的点的集合。
固定点称为圆心，定值称为半径。
假设圆的半径为r，圆心为O。
我们可以使用几何和代数的方法来推导出圆的面积公式。
1.几何方法推导：我们可以将圆划分成许多小的扇形，并逐步将这些扇形拼接成一个完整的圆。
我们可以将圆划分成n个等角的扇形，每个扇形的角度为360°/n。
这些扇形拼接在一起后，会形成一个近似于圆的多边形。
随着n的增大，这个多边形会越来越接近圆形。
假设我们有一个正n边形（n-gon），它的边长为a。
我们可以根据几何性质推导出它的面积公式：- 由于圆是正n边形的极限情况，我们可以得出：lim(n→∞) n-gon的面积 = 圆的面积。
-正n边形可以分割为n个等腰三角形，每个等腰三角形的面积为：(1/2)×a×r。
- 所以，n-gon的面积为：A(n-gon) = n × (1/2) × a × r。
- 我们知道正n边形的周长L(n-gon) = n × a，当n→∞时趋于圆的周长，即L(n-gon) = 2πr。
- 将上面两个公式合并，我们可以得出正n边形的面积和半径的关系：A(n-gon) = (L(n-gon)/2π) × r，当n→∞时，得到圆的面积公式：A(circle) = (L(circle)/2π) × r。
2.代数方法推导：另一种推导圆的面积公式的方法是使用微积分。
我们以极坐标系为基础进行推导。
在这个坐标系中，圆的方程是r=R，其中R为圆的半径。
我们在第一象限中考虑一个半径在θ到θ+dθ之间的扇形。
我们可以使用微积分方法计算扇形的面积，并将所有扇形的面积相加来得到圆的面积。
-扇形的面积为：dA=(1/2)×r^2×dθ。
-将r替换为R，我们得到：dA=(1/2)×R^2×dθ。
圆的面积公式的推导
圆的面积公式的推导首先，我们先给出一个圆的定义：圆是平面上所有离一个固定点相等距离的点的集合。
固定点称为圆心，相等距离称为半径。
为了推导圆的面积公式，我们使用微积分的方法。
首先，我们把圆分成许多扇形，这些扇形接近无数个，但它们的总和等于一个完整的圆。
我们知道，一个扇形的面积可以通过扇形的圆心角和半径来计算。
设扇形的圆心角为θ，半径为r，那么扇形的面积为S=1/2×θ×r²。
这个公式可以通过扇形的面积与一个正三角形的面积之比来得到，因为一个扇形可以通过将一个正三角形的底边作为圆心角的弧所得。
为了计算一个完整的圆的面积，我们需要将所有的扇形的面积相加。
我们可以通过让θ无限接近于360°，即2π弧度来逼近一个完整的圆。
这时，圆的面积可以表示为：S = lim (n→∞) [θ × r²]/2其中，r是半径，θ是弧度。
接下来，我们通过使用微积分中的极限来计算上式中的极限。
首先，我们将θ等分为n个小弧段，每个小弧段的弧长为∆θ=2π/n。
那么，n个弧段的圆心角为θ=n×∆θ。
我们可以使用三角函数的近似性质sinx ≈ x（当x无限接近于零时），将θ与半径r结合起来，得到：sin(∆θ) ≈ ∆θ将这个近似代入圆的面积公式中，得到一个弧段的面积：∆S = 1/2 × (sin(∆θ) × r)²将∆θ代入，并代入弧长和半径之间的关系（即弧长=半径×圆心角），得到：∆S≈1/2×(∆θ×r)²注意到∆θ=2π/n，我们可以把上式写成：∆S≈1/2×(2πr/n)²将∆S扩展为整个圆的面积S，并将n无限大逼近，得到：S = lim (n→∞) ∑ (i=1 to n) [1/2 × (2πr/n)²]化简上式，得到：S=πr²因此，我们得到了圆的面积公式πr²。