考研2011.1管理类联考初数真题(有答案)

2011考研数一真题解析

→∞ 时∑(-1) an2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上． (1) 【答案】(C)．【解析】记 y = x -1, y ' = 1, y ''= 0 ， y = (x - 2)2, y ' = 2(x - 2), y ''= 2,1 1 12 2 2y = (x - 3)3 , y ' = 3(x - 3)2 , y ''= 6(x - 3),333y = (x - 4)4 , y ' = 4(x - 4)3 , y ''=12(x - 4)2 ,444y '' = (x - 3)P (x ) ，其中 P (3) ≠ 0 ， y ''故选(C)．(2) 【答案】(C)．x =3= 0 ，在 x = 3 两侧，二阶导数符号变化，【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x = 1处，故(A)，(B)错误；因为{a n } 单调减少， lim a n = 0 ，所以a n ≥ 0 ，所以n∞∞n∑ a n为正项级数，将 x = 2 代入幂级数得∑ a n，而已知S n= ∑ a k无界，故原幂级数在 x = 2n =1n =1∞k =1处发散，(D )不正确．当 x = 0 时，交错级数∑(-1)na 满足莱布尼茨判别法收敛，故 x = 0n =1∞n收敛．故正确答案为(C)．n =1(3) 【答案】(A)．∂z【解析】| = f '(x ) ⋅ l n f ( y ) | = f '(0) ln f (0) = 0 ,∂x (0,0)(0,0)∂z | = f (x ) ⋅ f '( y )| = f '(0) = 0, 故 f '(0) = 0 , ∂y (0,0)f ( y )(0,0)∂2zA = = ' ⋅ = ' ⋅ > ∂x 2 |(0,0)f (x ) ln f ( y ) |(0,0) f (0) ln f (0) 0,∂2 z ' f '( y ) [ f '(0)]2B = ∂x ∂y|(0,0) = f(x ) ⋅ f ( y ) |(0,0) = f (0) = 0,∂2 z C = = ⋅ f '( y ) f ( y ) -[ f '( y )]2 = ' - [ f '(0)]2 = '∂y2 |(0,0)f (x ) f 2 ( y ) |(0,0) f (0) f (0) f (0).又 AC - B 2 = [ f ''(0)]2⋅ ln f (0) > 0, 故 f (0) > 1, f ''(0) > 0 ．(4) 【答案】(B)．【解析】因为0 < x < π时， 0 < sin x < cos x <1< cot x ，4n⎪ ⎝ ⎭⎪ ⎝ ⎭2 3 4 2 34 ⎨ ⎨ X , 又因ln x 是单调递增的函数，所以lnsin x < lncos x < lncotx ．故正确答案为(B)．(5) 【答案】 (D)．【解析】由于将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，故⎛ 1 0 0 ⎫A 1 1 0 ⎪ =B ， 0 0 1 ⎪即 AP = B ， A = BP -1．11由于交换 B 的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故⎛ 1 0 0 ⎫0 0 1 ⎪ B = E ， 0 1 0 ⎪ 即 P B = E , 故 B = P -1 = P ．因此， A = P P -1，故选(D)．2222 1(6) 【答案】(D)．【解析】由于(1, 0,1, 0)T 是方程组 Ax = 0 的一个基础解系，所以 A (1, 0,1, 0)T= 0 ，且r (A ) = 4 -1= 3 ，即 α + α = 0 ，且 A = 0．由此可得 A *A =| A | E = O ，即13A *(α α, α, α, = )O ，这说明α ,α ,α ,α是 A *x = 0 的解．12341234由于r ( A ) = 3 ，α + α = 0 ，所以α ,α ,α 线性无关．又由于r ( A ) = 3 ，所以r ( A *) = 1，13 2 3 4因此 A *x = 0 的基础解系中含有 4 -1 = 3 个线性无关的解向量．而α ,α ,α 线性无关，且为 A *x = 0 的解，所以α ,α ,α 可作为 A *x = 0 的基础解系，故选(D)． (7)【答案】(D)．【解析】选项(D) +∞⎡ f (x )F (x ) + f (x )F (x )⎤dx = +∞⎡F (x )dF (x ) + F (x )dF (x )⎤ ⎰-∞⎣ 1221⎦ ⎰-∞ ⎣ 2 1 1 2 ⎦= +∞ d ⎡F (x )F (x )⎤ = F (x )F (x ) |+∞= 1 ．所以 f 1F 2 (x ) + f 2 F 1 (x ) 为概率密度． (8)【答案】(B)．⎰-∞⎣ 12⎦1 2 -∞【解析】因为 U = max {X ,Y } = ⎧ X ,⎩Y , X ≥ Y ,X < Y ,V = min {X ,Y } = ⎧ Y ,⎩ X ≥ Y ,X < Y ．所以，UV = XY ，于是 E (UV ) = E (XY ) = E (X )E (Y ) ．= ⋅ 二、填空题：9～14 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答．题．纸．指定位置上． (9) 【答案】ln (1+2 )．【解析】选取 x 为参数，则弧微元ds = 1+ ( y ')2dx = ππ1+ t an 2xdx = sec xdx所以 s =⎰ 4sec xdx = ln sec x + tan x4= ln(1+ 2) ．(10) 【答案】 y = e- xsin x ．【解析】由通解公式得y = e -⎰dx (⎰e - x co s x ⋅ e ⎰dxdx + C )= e - x (⎰cos xdx + C )= e - x (sin x + C )．由于 y (0) = 0, 故C =0．所以 y = e - xsinx ． (11)【答案】4．∂F【解析】∂x sin xyy ， 1+ (xy )2∂2F = ∂x 2y cos xy - sin xy ⋅ 2xy 2y ⋅ [1+ (xy )2 ]2 ，∂2 F故 ∂x2 |(0,2) = 4 ． (12) 【答案】π ．【解析】取 S : x + y - z = 0, x 2 + y 2≤ 1，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=⎰⎰dydz dzdx dxdy∂ ∂ ∂= ⎰⎰ ydydz + xdzdx + dxdy ．S∂x ∂y ∂z S y 2 xzx2因 z = x + y , z '= 1, z '= 1. 由转换投影法得xy⎰⎰ ydydz + xdzdx + dxdy = ⎰⎰ [ y ⋅ (-1) + x (-1) +1]dxdy ．Sx 2 + y 2 ≤1⎝ ⎭xy(13) 【答案】a = 1．=⎰⎰ x 2 + y 2 ≤1=⎰⎰x 2 + y 2 ≤1(-x - y +1)dxdy = πdxdy = π ．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵 A 的特征值，故 A 的特征值为 0，1，4．二次型所对应的矩阵⎛ 1 a 1⎫ A =a 3 1⎪ ，1 a 13⎪ 1 1 1⎪ 由于 A =∏λi= 0 ，故 a 3 1 = 0 ⇒ a = 1．i =11 1 1(14)【答案】 μ(μ2+ σ 2 )．【解析】根据题意，二维随机变量( X ,Y ) 服从 N(μ, μ;σ 2,σ 2;0) ．因为 ρ= 0 ，所以由二维正态分布的性质知随机变量 X ,Y 独立，所以 X ,Y 2．从而有E ( X Y 2 ) = E ( X ) E (Y 2 ) = μ ⎡⎣D (Y ) + E 2 (Y )⎤⎦= μ (μ2 +σ 2)．三、解答题：15～23 小题，共 94 分．请将解答写在答．题．纸．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分 10 分)ln(1+ x ) 1lim[ ln(1+ x ) -1]. 1 【解析】lim[ ]e x -1 = e x →0 xe x-1 x →0 xlimln(1+ x )-xlim x - 1x 2 +o ( x 2 )-x 2= e x →0x 2= e x →0x 2- 1x 2 +o ( x 2 )lim 2- 1= e x →0x 2= e2 ．(16)(本题满分 9 分) 【解析】 z = f [xy , yg (x )]∂z= f '[xy , yg (x )]⋅ y + f '[xy , yg (x )]⋅ yg '(x )∂x 12∂2 z∂x ∂y= f 1'[xy , yg (x )]+ y [ f 11'(xy , yg (x ))x + f 12'(xy , yg (x ))g (x )]+g '(x ) ⋅ f 2'[xy , yg (x )]+ yg '(x ){ f 1'2'[xy , yg (x )]⋅ x + f 2'2'[xy , yg (x )]g (x )}．因为 g (x ) 在 x = 1 可导，且为极值,所以 g '(1) = 0 ，则d 2 z dxdy |x =1 =y =1f 1'(1,1) + f 11'(1,1) + f 12'(1,1) ． (17)(本题满分 10 分)【解析】显然 x = 0 为方程一个实根．当 x ≠ 0 时，令 f ( x ) =xarctan x - k ,f '( x ) =arctan x -x1+ x 2 ．( arctan x )2令 g ( x ) = arctan x -xx ∈ R ，1+ x 2' 1 1+ x 2- x ⋅ 2x2x 2 g ( x ) = 2= 2> 0 ， 1+ x (1+ x 2 ) (1+ x 2 ) 即 x ∈ R , g '( x ) > 0 ．又因为 g ( 0) = 0 ，即当 x < 0 时， g ( x ) < 0 ；当 x > 0 时， g ( x ) >0 ．当 x < 0 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 0 时， f '( x ) > 0 ．所以当 x < 0 时， f ( x ) 单调递减，当 x > 0 时， f ( x ) 单调递增 x又由lim f ( x ) = lim- k = 1- k ，x →0x →0arctan xxlim f ( x ) = l im - k = +∞ ，x →∞x →∞ arctan x 所以当1- k < 0 时，由零点定理可知 f ( x ) 在(-∞, 0)， (0, +∞) 内各有一个零点；当1- k ≥ 0 时，则 f ( x ) 在(-∞, 0)， (0, +∞) 内均无零点．综上所述，当k > 1时，原方程有三个根．当k ≤ 1 时，原方程有一个根．- 21 1 (18)(本题满分 10 分)【解析】(Ⅰ)设 f ( x ) = ln (1+ x ), x ∈ ⎡0,1 ⎤⎢⎣ n ⎥⎦显然 f (x ) 在⎡0,1 ⎤上满足拉格朗日的条件，⎣⎢ n ⎥⎦f ⎛ 1 ⎫ - f (0) = ln ⎛1+ 1 ⎫ - ln1 = ln ⎛1+ 1 ⎫ = 1 ⋅ 1 ,ξ ∈⎛ 0, 1 ⎫ n ⎪ n ⎪ n ⎪ 1+ ξ n n ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以ξ ∈⎛0, 1 ⎫ 时，n ⎪ ⎝ ⎭1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 ⋅ < ⋅ < ⋅ ，即： n +< ⋅ < ， 1+ n n1+ ξ n 1+ 0 n1 1+ ξ n n 1 亦即：< ln ⎛1+ 1 ⎫ < 1 ．n +1 n ⎪ n⎝ ⎭结论得证．1 1 1 n1（II）设a n = 1+ + + + - ln n = ∑ -ln n ．2 3 n先证数列{a n } 单调递减．k =1 ka - a = ⎡∑n +1 1 - ln (n +1)⎤ - ⎡∑n 1 - ln n ⎤ = 1 + ln ⎛ n ⎫ = 1 - ln ⎛1+ 1 ⎫， n +1n ⎢ k ⎥ ⎢ k ⎥ n +1 n +1⎪ n +1 n ⎪ ⎣ k =1 ⎦ ⎣ k =1 ⎦⎝ ⎭ ⎝ ⎭1 利用（I ）的结论可以得到< ln(1+ ) ，所以- ln ⎛1+ 1 ⎫ < 0 得到 a< a ，即 n +1 n n +1 n ⎪ n +1 n⎝ ⎭数列{a n } 单调递减．再证数列{a n } 有下界．n1 n⎛ 1 ⎫a n = ∑ k - ln n > ∑ln 1+ k ⎪ - ln n ，k =1 k =1⎝ ⎭n⎛ 1 ⎫ n⎛ k +1⎫ ⎛ 2 3 4n +1⎫ ∑ln 1+ k ⎪ = ln ∏ k ⎪ = ln ⋅ ⋅ n ⎪ = ln (n +1) ，k =1 ⎝ ⎭ k =1 ⎝ ⎭ ⎝ 1 2 3 ⎭n1 n⎛ 1 ⎫a n = ∑ k - ln n > ∑ln 1+ k⎪ - ln n > ln (n +1) - ln n > 0 ．k =1 k =1⎝ ⎭0 0 I 1 1'x 0 0 I0 0 =-⎰ ⎰ ' ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭1xdx f ' (x ,1) - 1f '(x , y )dy 得到数列{a n } 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{a n } 收敛． (19)(本题满分 11 分) 1 1 【解析】xdx yf xy (x , y )dy = ⎰0 xdx ⎰0 ydf x(x , y ) = 1 xdx ⎡ yf '( x , y ) |1- 1f ' ( x , y )dy ⎤⎰0 ⎢⎣x⎰0 (x 0 ⎰0 x⎥⎦⎰0x )因为 f (x ,1) = 0 ，所以 f '(x ,1) = 0 ．1 1 xdx f x (x , y )dy 1 1dy xf x (x , y )dx = - 1dy ⎡xf (x , y ) |1 - 1 f (x , y )dx ⎤ = - 1 dy ⎡ f (1, y ) - 1 f (x , y )dx ⎤⎰⎢⎣⎰⎦⎥⎰⎢⎣⎰⎥⎦= ⎰⎰ fdxdy = a ．D(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于α1,α2 ,α3 不能由 β1, β2 , β3 线性表示，对(β1, β2 , β3 ,α1,α2 ,α3 ) 进行初等行变换：⎛1 1 3 1 0 1 ⎫ (β , β , β ,α ,α ,α ) = 1 2 4 0 1 3⎪1 2 3 1 2 31 3 a ⎪ 1 1 5⎪⎛ 1 1 3 1 0 1 ⎫ ⎛ 1 1 3 1 0 1 ⎫ → 0 1 1 -1 1 2 ⎪ →0 1 1 -1 1 2 ⎪ ． 0 2 a - 3 ⎪ 0 1 4 ⎪ 0 0 a - 5 2 ⎪ -1 0 ⎪当 a = 5 时，r (β1, β2 , β3 ) = 2 ≠ r (β1, β2 , β3 ,α1) = 3 ，此时，α1 不能由 β1, β2 , β3 线性表示，故α1,α2 ,α3 不能由 β1, β2 , β3 线性表示．(II)对(α1,α2 ,α3 , β1, β2 , β3 ) 进行初等行变换：⎛ 1 0 1 1 1 3 ⎫ (α ,α ,α , β , β , β ) =0 1 3 1 2 4 ⎪1 2 3 1 2 31 1 5 ⎛ 1 0 1 ⎪ 1 3 5 ⎪ 1 1 3 ⎫⎛ 1 0 1 1 1 3 ⎫ → 0 1 3 1 2 4 ⎪ →0 1 3 1 2 4 ⎪ 0 1 4 ⎪ 0 2 2 ⎪ 0 0 1 -1 0 ⎪ -2 ⎪ = ．α1 α2 α3 2 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ 3 1 2 3 α ⎛ 1 0 0 → 0 1 0 2 1 5 ⎫ 4 2 10 ⎪ ， 0 0 1 -1 0 -2 ⎪故 β1 = 2α1 + 4α2 -α3 ， β2 = α1 + 2α2 ， β3 = 5α1 +10α2 -2α3 ． (21)(本题满分 11 分)⎛ 1 1 ⎫ ⎛ -1 1 ⎫ 【解析】(I)由于 A 0 0 ⎪ =0 0 ⎪ ，设α = (1, 0, -1)T ,α = (1, 0,1)T ，则⎪ ⎪1 2 -1 1 ⎪ 1 1 ⎪A (α1,α2 ) = (-α1,α2 ) ，即 A α1 = -α1, A α 2 = α 2 ，而α1 ≠ 0,α2 ≠ 0 ，知 A 的特征值为λ1 = -1, λ2 = 1，对应的特征向量分别为 k 1α1 (k 1 ≠ 0) ， k 2α2 (k 2 ≠ 0) ．由于r ( A ) = 2 ，故 A = 0 ，所以λ3 = 0 ．由于 A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设 λ3 = 0 对应的特征向量为α = ( x , x , x )T，则 ⎧α T α = 0, ⎧x - x = 0,⎨ 1 3 即⎨ 1 3 α T α = 0, x + x = 0．⎩ 2 3⎩ 1 3 解此方程组，得α = (0,1, 0)T，故λ = 0 对应的特征向量为k α (k ≠ 0) ．33 3 3 3(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：β1 = 1 = 1 (1, 0, -1)T , β = α2 2 2= 1 (1, 0,1)T, β = α32 3= (0,1, 0)T ．令Q = (β , β , β ⎛ -1 ⎫ ) ，则Q TAQ = Λ =1 ⎪， 123 ⎪ 0⎪ ⎝ ⎭A = Q ΛQ T⎛⎫⎛ 20 -2 ⎫2 2 0 ⎪ 2 2 ⎪ 2 2 ⎪⎛ -1 ⎫ ⎪ = 0 0 1 1 ⎪ 2 0 2 ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ 0 ⎪⎪ - 0 ⎪⎝ ⎭ 0 10 ⎪ ⎝ 22 ⎭ ⎪ ⎝ ⎭22 1 1 1 1⎛ ⎫⎛ 2 0 - 2 ⎫ - 2 2 0 ⎪2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎛ 0 0 1 ⎫ = 0 0 0 ⎪ 2 0 2 ⎪ = 0 0 0 ⎪ ． ⎪ 22 ⎪ ⎪⎪ 1 0 0 ⎪ 0 ⎪ 0 1 0 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 22 ⎭ ⎪ ⎝ ⎭（22）（本题满分 11 分）【解析】(I)因为 P {X 2 = Y2} = 1 ，所以 P { X2≠ Y 2} = 1- P { X 2 = Y 2}= 0 ．即 P { X = 0,Y = -1} = P { X = 0,Y = 1} = P { X = 1,Y = 0} = 0 ．利用边缘概率和联合概率的关系得到1P { X = 0,Y = 0} = P { X = 0} - P { X = 0,Y = -1} - P { X = 0,Y = 1} = ；3P { X = 1,Y = -1} = P {Y = -1} - P { X = 0,Y = -1}= ；3P { X = 1,Y = 1} = P {Y = 1} - P { X = 0,Y = 1} = ．3即( X ,Y ) 的概率分布为(II) Z 的所有可能取值为-1, 0,1 ．P {Z = -1} = P {X = 1,Y = -1} = ．3P {Z = 1} = P {X = 1,Y = 1} = ．31P {Z = 0} = 1- P {Z = 1} - P {Z = -1} = ．Cov ( XY ) E ( X Y ) - E ( X )⋅ E (Y )(III) 因为 ρXY = = ，D ( X ) D (Y ) D ( X ) D (Y )其中XY-1 0 1 0 0 1/3 0 11/31/3Z = XY 的概率分布为3Z -1 0 1P1/31/31/32πσ∏n 0 n i ∑Y ) = E (Y ) = D (Y ) +[E (Y )] = σ ．n n∧ ∧ 1 1 1 1 1 1E ( XY ) = E (Z ) = -1⋅ + 0 ⋅ +1⋅ = 0 ， E (Y ) = -1⋅ + 0 ⋅ +1⋅ = 0 ．3 3 3 3 3 3所以 E ( X Y ) - E ( X )⋅ E (Y ) = 0 ，即 X ， Y 的相关系数 ρXY = 0 ．（23）（本题满分 11 分）【解析】因为总体 X 服从正态分布，故设 X 的概率密度为 f (x ) =-∞ < x < +∞．(I) 似然函数1 -( x -μ0 )2 e 2σ 2 ，( x -μ )2n1 22 n2n1- i 0- - 2 ∑( x i -μ0 )L (σ ) = ∏ f (x i ;σ i =1) = [ ei =12πσ2σ 2] = (2πσ ) 2 ei =1；2n 2n(x - μ )2 取对数： ln L (σ ) = - ln(2πσ ) - ∑ i 0 ； 2d ln L (σ 2 ) n i =1n (x - μ )2 2σ 2 1 n 2 2求导： = - + ∑ i 0= ∑[(x i - μ0 ) -σ ]． d (σ 2 ) 2σ 2 d ln L (σ 2)2i =1 12(σ 2 )2 n2(σ 2 )22i =1令d (σ 2 )= 0 ，解得σ =∑(x i - μ0 ) ．i =12∧1 nο 的最大似然估计量为σ 2 =(II) 方法 1：∑( X ii =1- μ )2 ．X i ~ N (μ0 ,σ ) ，令Y i = X i - μ0 ~ N (0,σ ∧ 2) ，则σ 2= 1 ∑n Y 2i =1E (σ 2) = E ( 1 nn 22 2 2 i i i i i =1D (σ 2 ) = D ( 1 ∑Y 2 ) =1 D (Y2 + Y 2 + + Y 2) = 1 D (Y 2 ) n i =1 n 2 1 2 nn i1 42 2 1 4 42σ 4 = n {E (Y i 方法 2：) -[E (Y i X )] } = (3σ n- μ -σ ) =． nn⎛ X - μ ⎫2X ~ N (μ ,σ 2 ) ，则 i 0~ N ( 0 , ，得到 Y = ∑ i 0~ χ 2 (n ) ，即i 0σ σ ⎪ i =1 ⎝⎭ 2n2ο Y = ∑( X i - μ0 ) ．i =1i 2σ 2n2．0 n ⎝ ⎭ ⎪ ⎥ ⎛ ∧⎫ 1 ⎡ n ⎤ 1 1 1 E σ 2 =E ∑( X - μ )2 = E (σ 2Y ) = σ 2 E (Y ) = ο 2 ⋅ n = σ 2 ． ⎪ ⎣ i =1 0 ⎥⎦ n n n ⎛ ∧ ⎫ 1 ⎡ n ⎤ 1 1 1 2D σ 2 = n 2 D ⎢∑( X i - μ )2 = n 2 D (σ 2Y ) = ο 4 D (Y ) = n 2 ο 4 ⋅ 2n = n 2 ο 4 ． n ⎝ ⎭ ⎣ i =1 ⎦ i ⎢。

2011考研数学一真题及答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)．【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4．【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+，故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根．当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=．令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++，即(),0x R g x '∈>．又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >．当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞，所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点；当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++，亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑．先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭，故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．（23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑；求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n．方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析

f (0) f (0)
f (0) 0 ， zxx
x0
f (0) ln
f (0) ，
y0
y0
z
yy
x0
f (0)
f (0) f (0) ( f (0))2 f 2 (0)
f (0) .
y0
要使得函数 z f (x)ln f ( y) 在点(0,0)处取得极小值，仅需
f (0) ln f (0) 0 ， f (0) ln f (0) f (0) 0 ,
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
an
单调减少，
lim
n
an
0 ，说明级数
an
n 1
1n
收敛，可知幂级数
an
n 1
x 1n

2011考研数一真题答案及详细解析

所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值，则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�

2011考研数学(一)真题及其解析

(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)
+
+
−
f1(x)F2 (x) +
f
2
(
x
)
F 1
(
x)
dx
=
−
F2 (x)dF1(x)
+
F1
(
x)dF 2
( x)
=
+
d
−
F1
(
x
)
F 2
( x)
=
F1
(
x)
F2
(
x)
|+
−
=1．
所以 f1F2 (x) + f2F1(x) 为概率密度．
(8)【答案】(B)．
0
1
，则
A
=
(
)
0 0 1
0 1 0
(A) P1P2 ．
(B) P1−1P2 ．
(C) P2P1 ．
(D) P2 P1−1 ．
(6) 设 A = (1,2,3,4 ) 是 4 阶矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若 (1, 0,1, 0)T 是方程组
Ax = 0的一个基础解系，则 A*x = 0 的基础解系可为( )
(B) f (0) 1， f (0) 0 ．
(C) f (0) 1， f (0) 0 ．
(D) f (0) 1， f (0) 0 ．
(4) 设 I = 4 ln sin x dx ， J = 4 ln cot x dx ， K = 4 ln cos x dx ，则 I , J , K 的大
2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．

2011年1月MBA数学真题详解

2011年管理类专业学位全国联考真题解析第一部分、综合能力真题一、问题求解：第15~1小题，每小题3分，共45分，下列每题给出的A 、B 、C 、D 、E 五个选项，只有一项是符合试题要求的，请在答题卡上将所选项的字母涂黑。

1．已知船在静水中的速度为28h km /，河水的流速为2h km /。

则此船在相距78km 的两地间往返一次所需时间是A ．h 9.5B ．h 6.5C ．h 4.5D ．h 4.4E ．h 4 【考点】：行程问题【解析】：【参考答案】：B 2．若实数a ，b ，c 满足0)45(5332=-+++-c b a ，则=abc （）A ．4-B ．35-C ．34-D ．54E ．4 【考点】：非负性【解析】：⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=-04505303c b a ⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==54353c b a ⇒454)35(3-=⨯-⨯=abc 。

【参考答案】：A3．某年级60名学生中，有30人参加合唱团、45人参加运动队，其中参加合唱团而未参加运动队的有8人，则参加运动队而未参加合唱团的有（）A ．15人B ．22人C ．23人D ．30人E ．37人【考点】：容斥原理【解析】：【参考答案】：C4．现有一个半径为R 的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体kmS 78=顺水：hkm V V V /30=+=→→→水静实h km V /28=→静h km V /2=→水kmS 78=逆水：h km V V V /26=-=→←←水静实h km V /28=←静h km V /2=→水h h km km t 6.2/30781==h h km km t 3/26782==h h h t t t 6.536.221=+=+=11115C 14C 11C ⨯⨯611238910145310111415=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=C C C C p 积是（）A ．338R B ．3938R C ．334R D ．331R E ．393R 【考点】：立体几何【解析】：设正方体的边长为a，如图可知，2aAB BC OC ===，则a aa a OA 43)2()2()2(222=++=，球体的半径为R ，即R a =43，则R a 34=。

2011年1月MBA联考数学真题及解析

2011年1月联考数学真题（共25题）一、问题求解1.已知船在静水中的速度为28km/h,水流的速度为2km/h，则此船在相距78km的两地间往返一次所需时间是（）。

答案：B解析：2.若实数，，，满足，则=（）。

A．解析：，，，，，，，3.A．解析：4.（）。

A． B. C. D. E.然后5.2007年，某市的全年研究与试验发展（R&D）经费支出300亿元，比2006年增长20%，该市的GDP为10000亿元，比2006年增长10%，2006年，该市的R&D经费支出占当年GDP的（）。

答案：D解析：R&D，1.2x=300，所以R&D经费为250GDP，1.1y=10000，所以GDP经费为6.现从5名管理专业，4名经济专业和1名财会专业的学生中随机派出一个3人小组，则该小组中3个专业各有1名学生的概率为（）。

A． B. C. D. E.答案：E7. 名，A．2800；20068.将为（A． B. C. D. E.解析：从反面入手：9.所示，四边形ABCD是边长为。

A． C.答案：E解析：10.3个3口之家一起观看演出，他们购买了同一排的9张连座票，则每一家都坐在一起的不同坐法有（）种。

A． B. C. D. E.答案：D解析：首先将3个一家人利用捆绑法捆在一起：。

接着对3个家庭进行全排：。

所以一共有11.设p是圆上的一点，该圆在点p的切线平行于直线+，则点p的坐标为（）。

A．（-1,1） B.（1,-1） C.（0,） D.（） E.（1,1）答案：E12.，且，则a+b+c=（）。

A．解析：不妨设，12，所以可知13.在年底的献爱心活动中，某单位共有100人参加捐款，经统计，捐款总额是元，个A．解析：设100月的有x，500元的有y，2000元的有z。

所以可列举14.某施工队承担了一条长为2400m隧道的工程，在掘金了A．200天 B.240天 C. 250天 D.300天 E.350天答案：D解析：此题设定原来计划每天x，则根据题意可列出方程：，解答出x，然后用15.已知（）。

2011考研数学一真题及答案解析

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分）设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)．【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)．【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<．故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)．【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=．所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4．【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+，故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+．因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根．当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=．令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++，即(),0x R g x '∈>．又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <；当0x >时，()0g x >．当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞，所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点；当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++，亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭．结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑．先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭．当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭，故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩．解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====．令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ．（23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑；求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n．方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。