人教A版选修4-5 绝对值不等式 第2课时 绝对值不等式的解法 教案
人教A版数学高二选修4-5教案 绝对值不等式的解法
1.2.2 绝对值不等式的解法一、教学目标1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .3．能利用绝对值不等式解决实际问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法． 四、教学难点会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .五、教学过程 （一）导入新课解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R )．【解】 若2m －1≤0，即m ≤12，则|2x －1|＜2m －1恒不成立，此时，原不等式无解；若2m －1＞0，即m ＞12，则－(2m －1)＜2x －1＜2m －1，所以1－m ＜x ＜m . 综上所述：当m ≤12时，原不等式的解集为∅，当m ＞12时，原不等式的解集为{x |1－m ＜x ＜m }．（二）讲授新课教材整理1 绝对值不等式|x |<a 与|x |>a 的解集教材整理2 |ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法 1．|ax ＋b |≤c ⇔ .2．|ax ＋b |≥c ⇔ .教材整理3 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法 1．利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．利用零点分段法求解．3．构造函数，利用函数的图象求解． （三）重难点精讲题型一、|ax ＋b|≤c 与|ax ＋b|≥c 型不等式的解法 例1求解下列不等式．(1)|3x －1|≤6；(2)3≤|x －2|＜4；(3)|5x －x 2|＜6.【精彩点拨】 关键是去绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式． 【自主解答】 (1)因为|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6， 即－5≤3x ≤7，从而得－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. (2)∵3≤|x －2|＜4，∴3≤x －2＜4或－4＜x －2≤－3，即5≤x ＜6或－2＜x ≤－1. 所以原不等式的解集为{x |－2＜x ≤－1或5≤x ＜6}． (3)法一 由|5x －x 2|＜6，得|x 2－5x |＜6. ∴－6＜x 2－5x ＜6.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－5x ＋6＞0，x 2－5x －6＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －3)＞0，(x －6)(x ＋1)＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜2或x ＞3，－1＜x ＜6. ∴－1＜x ＜2或3＜x ＜6.∴原不等式的解集为{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 法二 作函数y ＝x 2－5x 的图象，如图所示．|x 2－5x |＜6表示函数图象中直线y ＝－6和直线y ＝6之间相应部分的自变量的集合．解方程x 2－5x ＝6，得x 1＝－1，x 2＝6.解方程x 2－5x ＝－6，得x ′1＝2，x ′2＝3.即得到不等式的解集是{x |－1＜x ＜2或3＜x ＜6}． 规律总结：1．形如a ＜|f (x )|＜b (b ＞a ＞0)型不等式的简单解法是利用等价转化法，即a ＜|f (x )|＜b (0＜a ＜b )⇔a ＜f (x )＜b 或－b ＜f (x )＜－a .2．形如|f (x )|＜a ，|f (x )|＞a (a ∈R )型不等式的简单解法是等价命题法，即 (1)当a ＞0时，|f (x )|＜a ⇔－a ＜f (x )＜a . |f (x )|＞a ⇔f (x )＞a 或f (x )＜－a . (2)当a ＝0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔|f (x )|≠0.(3)当a ＜0时，|f (x )|＜a 无解． |f (x )|＞a ⇔f (x )有意义． [再练一题] 1．解不等式： (1)3＜|x ＋2|≤4； (2)|5x －x 2|≥6.【解】 (1)∵3＜|x ＋2|≤4，∴3＜x ＋2≤4或－4≤x ＋2＜－3，即1＜x ≤2或－6≤x ＜－5，所以原不等式的解集为{x |1＜x ≤2或－6≤x ＜－5}．(2)∵|5x －x 2|≥6，∴5x －x 2≥6或5x －x 2≤－6，由5x －x 2≥6，即x 2－5x ＋6≤0，∴2≤x ≤3， 由5x －x 2≤－6，即x 2－5x －6≥0，∴x ≥6或x ≤－1， 所以原不等式的解集为{x |x ≤－1或2≤x ≤3或x ≥6}． 题型二、含参数的绝对值不等式的综合问题 例2已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 【精彩点拨】 解f (x )≤3，由集合相等，求a →求y ＝f (x )＋f (x ＋5)的最小值，确定m 的取值范围【自主解答】 (1)由f (x )≤3，得|x －a |≤3， 解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)法一 由(1)知a ＝2，此时f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|， 于是g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.利用g (x )的单调性，易知g (x )的最小值为5. 因此g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 对x ∈R 恒成立， 知实数m 的取值范围是(－∞，5]． 法二 当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|.由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.因此，若g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)≥m 恒成立， 则实数m 的取值范围是(－∞，5]． 规律总结：1．第(2)问求解的关键是转化为求f (x )＋f (x ＋5)的最小值，法一是运用分类讨论思想，利用函数的单调性；法二是利用绝对值不等式的性质(应注意等号成立的条件)．2．将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向．解题时应强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活运用．[再练一题]2．关于x 的不等式lg(|x ＋3|－|x －7|)<m . (1)当m ＝1时，解此不等式；(2)设函数f (x )＝lg(|x ＋3|－|x －7|)，当m 为何值时，f (x )<m 恒成立？【解】 (1)当m ＝1时，原不等式可变为0<|x ＋3|－|x －7|<10，可得其解集为{x |2<x <7}． (2)设t ＝|x ＋3|－|x －7|，则由对数定义及绝对值的几何意义知0<t ≤10， 因y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数， 则lg t ≤1，当t ＝10，x ≥7时，lg t ＝1， 故只需m >1即可，即m >1时，f (x )<m 恒成立． 题型三、含两个绝对值的不等式的解法例3 (1)解不等式|x ＋2|＞|x －1|；(2)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.【精彩点拨】 (1)可以两边平方求解，也可以讨论去绝对值符号求解，还可以用数轴上绝对值的几何意义来求解；(2)可以分类讨论求解，也可以借助数轴利用绝对值的几何意义求解，还可以左、右两边构建相应函数，画图象求解．【自主解答】 (1)|x ＋2|＞|x －1|，可化为(x ＋2)2－(x －1)2＞0，即6x ＋3＞0，解得x ＞－12，∴|x ＋2|＞|x －1|的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞－12. (2)如图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点间的距离为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .所以－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32.同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点的距离和为3，B 1对应数轴上的x ， 所以x －1＋x －(－1)＝3. 所以x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3，所以原不等式的解集是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 规律总结：|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况．[再练一题]3．已知函数f (x )＝|x －8|－|x －4|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)解不等式f (x )>2. 【解】 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≤4，12－2x ，4<x ≤8，－4，x >8.函数的图象如图所示．(2)不等式|x －8|－|x －4|>2，即f (x )>2. 由－2x ＋12＝2，得x ＝5， 根据函数f (x )的图象可知， 原不等式的解集为 (－∞，5)． （四）归纳小结绝对值不等式的解法—⎪⎪⎪⎪—绝对值的几何意义—|ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c 型不等式—含两个绝对值的不等式的解法—含参数的绝对值不等式问题（五）随堂检测1．不等式|x |·(1－2x )>0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，12 B ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，1－2x >0，解得x <12且x ≠0，即x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫0，12. 【答案】 B2．不等式|x 2－2|＜2的解集是( ) A ．(－1,1) B ．(－2,2) C ．(－1,0)∪(0,1) D.(－2,0)∪(0,2)【解析】 由|x 2－2|＜2，得－2＜x 2－2＜2，即0＜x 2＜4，所以－2＜x ＜0或0＜x ＜2，故解集为(－2,0)∪(0,2)．【答案】 D3．不等式|x ＋1||x ＋2|≥1的实数解为________.【解析】|x ＋1||x ＋2|≥1⇔|x ＋1|≥|x ＋2|，且x ＋2≠0. ∴x ≤－32且x ≠－2.【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－32且x ≠－2六、板书设计七、作业布置同步练习1.2.2：绝对值不等式的解法八、教学反思。
人教A版高中数学选修4-5绝对值不等式学案2
1．2．1《绝对值不等式》导学案学习目标：1. 理解并掌握绝对值的定义及其几何意义;2. 理解关于绝对值三角不等式并会简单应用重点：绝对值的几何意义难点：绝对值三角不等式及应用一、自主学习1.绝对值的定义：a R ∀∈，||a ⎧⎪=⎨⎪⎩2.10. 实数a 的绝对值||a ，表示数轴上坐标为a 的点A20. ∀两个实数,a b ，它们在数轴上对应的点分别为,A B ， 那么||a b -的几何意义是二、合作探究1．仔细阅读教材第11- 12面的内容，完成下面填空绝对值三角不等式：探究||a ，||b ， a b +间的关系.①0a b ⋅>时,如下图, 容易得：||||||a b a b ++.②0a b ⋅<时,如图, 容易得：||||||a b a b ++.③0a b ⋅=时,显然有：||||||a b a b ++.综上得:定理12．问题探究1：（阅读教材12-13面内容）如果把定理1中实数a b 换成向量a b ,你能得出什么结果？能解释它的几何意义吗？（1）当向量a b 不共线时（2）当向量a b 共线时结论：3．问题探究2：（阅读教材12-13面内容）你能根据定理1的研究思路，探究一下||a ，||b ， a b +，||a b -等之间的其他关系吗？如果a ， b 是实数，那么4．问题探究3：如果 a b c 是实数，那么,,a b b c a c ---之间有何关系？你能给出它的几何解释吗？定理2:反思：通过以上问题的探究我们需识记最基本，最重要的绝对值不等式是：5.定理应用：例（1）已知.6,4a y a x <<求证：a y x <-32例（2）已知.53232,,,0εεεε<--+<-<->b a y x b y a x 求证：例（3）求函数f(x)=16x x +--的最大值．求函数f(x)=46x x -+-的最小值三.高效训练1.求证：b a b x a x -≤---2.已知 2,2c b y c a x <-<-，求证.)()(c b a y x <+-+3对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是4若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是【课后反思】：。
人教A版选修4-5 绝对值不等式 第2课时 绝对值不等式的解法 教案
章节：4.5.2 课时： 2 备课人；二次备课人课题名称第一讲绝对值不等式的解法
三维目标学习目标
1.掌握简单的绝对值的不等式的解法;
2.体会绝对值不等式解法的等价转化思想
重点目标.掌握简单的绝对值的不等式的解法难点目标.掌握简单的绝对值的不等式的解法导入示标
目标三导学做思一：自学探究
问题1：在数轴上表示，其几何意义是什么？
学做思二
★问题2：在数轴上表示和，你能写出它的解集吗？当时，如何解和？
问题3：根据绝对值得几何意义，你能解不等式吗？
学做思三
技能提炼
★ 1.. 不等式的解集为( )
或或或
★ 2.不等式的解是
3.解关于的不等式
4.解关于的不等式
5.解关于的不等式
达标检测
变式反馈
1.解不等式
(1) (2)
(3) (4)
2.(1)若不等式的解集为，则实数等于( )
(2) 不等式>，对一切实数都成立，则实数的取值范围是
★3. ,当有则满足( )
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验课后练习
同步练习金考卷。
2.绝对值不等式的解法-人教A版选修4-5不等式选讲教案
2.绝对值不等式的解法-人教A版选修4-5 不等式选讲教案一、知识点介绍绝对值不等式也是不等式的一种，它常常涉及到因子的正负关系，是高中数学中重要的知识点之一。
本文主要介绍人教A版选修4-5中涉及到的绝对值不等式的解法。
二、解法详解1.绝对值的性质绝对值有以下性质：•|a|≥0，绝对值是非负数。
•|-a|=|a|，绝对值与其相反数的绝对值相等。
•|a|²=a²，绝对值的平方等于原数的平方。
•|a|×|b|=|ab|，绝对值之积等于这两个数之积的绝对值。
2.绝对值的解法(1) |x|＜a 的解法•当a＞0时，解为 -a＜x＜a。
•当a＝0时，解为 x=0。
(2) |x|＞a 的解法•当a＜0时，解为 x＜-a 或 x＞a。
•当a＞0时，解为 x＜-a 或 x＞a。
3.绝对值不等式的解法(1) |ax+b|＜c 的解法•当a＞0时，解为 -b/a-c＜x＜-b/a+c。
•当a＜0时，解为 -b/a-c＜x＜-b/a+c。
•当a＝0时，解为 |b|＜c，即b＜c且-b＜c。
(2) |ax+b|＞c 的解法•当a＞0时，解为 x＜-b/a-c 或 x＞-b/a+c。
•当a＜0时，解为 x＜-b/a-c 或 x＞-b/a+c。
4.示例(1) 解 |3x-4|＜2。
根据绝对值的解法，得到：•当3x-4＞0时，则方程转化为3x-4＜2，所以x＜2/3+4/3=2。
•当3x-4＜0时，则方程转化为-(3x-4)＜2，所以-3＜3x-4＜2，即1/3＜x＜2/3。
综上所述，x的解为 1/3＜x＜2/3。
(2) 解 |5x-1|＞2。
根据绝对值的解法，得到：•当5x-1＞0时，则方程转化为5x-1＞2，所以x＞3/5。
•当5x-1＜0时，则方程转化为-(5x-1)＞2，所以x＜-1/5。
综上所述，x的解为 x＜-1/5 或 x＞3/5。
三、文章总结本文主要介绍了人教A版选修4-5中涉及到的绝对值不等式的解法。
人教A版选修4-5 1.2.2 绝对值不等式的解法 学案
第5课时 绝对值不等式的解法1．简单绝对值不等式的解法 (1)|x |<a ⇔⎩⎨⎧－a <x <a ，a >0，无解，a ≤0.(2)|x |>a ⇔⎩⎨⎧x <－a 或x >a ，a >0，x ≠0，a ＝0，x ∈R ，a <0.2．|ax ＋b|≤c (c ≥0)，|ax ＋b|≥c (c>0)型不等式的解法 (1)|ax ＋b |≤c (c >0)⇔－c ≤ax ＋b ≤c . (2)|ax ＋b |≥c (c >0)⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .3．|x －a|＋|x －b|≥c 或|x －a|＋|x －b|≤c 型不等式的解法 求解这类不等式，主要方法有如下三种： (1)利用绝对值的几何意义，借助数轴求解；(2)令绝对值符号内的式子为零，找出零点，这些零点把数轴分成几个区间，分区间去掉绝对值，转化为多组不等式组求解，最后取这些解集的并集为原不等式的解集；(3)构造函数利用函数的图象求解．求解这类不等式时，可根据不等式的特点而适当选用不同的方法求解．知识点一 简单绝对值不等式的解法1．已知函数f (x )＝e |x |＋cos x ，若f (2x －1)≥f (x )，则x 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：由f (x )＝e |x |＋cos x ，知f (x )为R 上的偶函数，且当x ≥0时，f ′(x )＝e x －sin x ≥1－sin x ≥0，f (x )为增函数，故f (2x －1)≥f (x )等价于不等式|2x －1|≥|x |，解得x 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13∪[1，＋∞)，故选A.答案：A2．(2019·南宁二中、柳州中学联考)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________.解析：解法一：由|kx －4|≤2，得－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6，∴1≤k2x≤3，∴k2＝1，解得k ＝2.解法二：依题知|kx －4|＝2的两根为1和3， ∴⎩⎨⎧|k －4|＝2，|3k －4|＝2，解得k ＝2.答案：2知识点二 含多个绝对值的不等式的解法 3．不等式|x ＋1||x －1|<1的解集为( )A ．{x |0<x <1}∪{x |x >1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0}解析：|x ＋1||x －1|<1⇔x ＋12x －12<1⇔(x ＋1)2<(x －1)2(x ≠1)⇔x 2＋2x ＋1<x 2－2x＋1(x ≠1)⇔4x <0⇔x <0.答案：D4．(2019·银川二中期中)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|. (1)画出函数f (x )的图象； (2)求不等式f (x )<3的解集．解：(1)f (x )＝|2x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋1，x ≤－12，x ＋3，－12<x ≤2，3x －1，x >2.在直角坐标系内作出函数f (x )的图象，如下图：(图中的实线部分)(2)由(1)中的图象知，x ≤－12时，由－3x ＋1＝3，得x ＝－23；当－12<x ≤2时，由x ＋3＝3，解得x ＝0，结合图象知f (x )<3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－23<x <0. 知识点三 含参数的绝对值不等式的解法5．若存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |<5，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵|x －3|＋|x －m |＝|x －3|＋|m －x |≥|x －3＋m －x | ＝|m －3|，又存在实数x 满足|x －3|＋|x －m |<5， ∴|m －3|<5，∴－5<m －3<5， 即－2<m <8. 答案：(－2,8)6．(2019·山东武城期中)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>4；(2)若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，使不等式a ＋1>f (x 0)成立，求实数a 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，∴f (x )>4⇔⎩⎨⎧x <－32，－3x －2>4或⎩⎨⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎨⎧x >1，3x ＋2>4，解得x <－2或0<x ≤1或x >1，综上所述，不等式的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)． (2)若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1使不等式a ＋1>f (x )成立，⇔a ＋1>f (x )min ，由(1)知，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，∴x ＝－32时，f (x )min ＝52，a ＋1>52⇔a >32，∴实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋∞.一、选择题1．不等式|x －1|＜1的解集为( ) A ．(－∞，2) B ．(0,2)C ．(－1,2)D ．(－∞，0)∪(2，＋∞)解析：由题得－1＜x －1＜1，即0＜x ＜2.故选B. 答案：B2．“|x |>0”是“x －1>e 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设A ＝{x ||x |>0}＝{x |x <0或x >0}，B ＝{x |x －1>e 2}＝{x |x >e 2＋1}，∴B ⊆A ，∴“|x |>0”是“x －1>e 2”的必要不充分条件．故选B.答案：B3．已知a ∈R ，则“a <2”是“|x －2|＋|x |>a 恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵|x －2|＋|x |≥|x －2－x |＝2，∴|x －2|＋|x |>a 恒成立，得a <2，故选C.答案：C4．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －2|>a 2＋a ＋1(x ∈R )恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1,0)解析：|x －1|＋|x －2|≥|(x －1)－(x －2)|＝1，要使不等式恒成立，只要a 2＋a ＋1<1，即a (a ＋1)<0，∴－1<a <0.答案：D5．(2019·河北保定月考)若a >0，使不等式|x －4|＋|x －3|<a 在R 上的解集不是空集的a 的取值范围是( )A ．0<a <1B ．a ＝1C ．a ≥1D ．a >1解析：|x －4|＋|x －3|≥|(x －4)－(x －3)|＝1，又不等式|x －4|＋|x －3|<a 在R 上的解集不是空集，∴a >1，故选D.答案：D 二、填空题6．(2019·云南玉溪一中月考)不等式|x ＋1|－2|x －1|>0的解集为____________．解析：①当x ≤－1时，不等式可化为－(x ＋1)＋2(x －1)>0，解得x >3，此时，不等式的解集为空集；②当－1<x ≤1时，不等式可化为(x ＋1)＋2(x －1)>0，解得x >13，此时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13<x ≤1； ③当x >1时，不等式可化为(x ＋1)－2(x －1)>0，解得x <3，此时，不等式的解集为{x |1<x <3}．综上所述，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13<x <3. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪13<x <37．不等式(1＋x )(1－|x |)>0的解集为______________． 解析：当x ≥0时，不等式化为(1＋x )(1－x )>0， 即(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1. 又x ≥0，∴0≤x <1.当x <0时，不等式化为(1＋x )2>0，解得x ≠－1. 又x <0，∴x <0且x ≠－1.综上知，原不等式的解集为{x |x <－1或－1<x <1}． 答案：{x |x <－1或－1<x <1}8．已知a ∈R ，若关于x 的方程x 2＋x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －14＋|a |＝0有实根，则a 的取值范围是__________．解析：当a <0时，方程为x 2＋x －2a ＋14＝0，若其有实根，则Δ＝1－4⎝⎛⎭⎪⎫－2a ＋14≥0，解得a ≥0，矛盾，此时无解；当0≤a ≤14时，方程化为x 2＋x ＋14＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＝0，其解为x ＝－12，满足题意，此时0≤a ≤14；当a >14时，方程化为x 2＋x ＋2a－14＝0，若方程有解，则Δ＝1－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －14≥0，解得a ≤14，矛盾，此时无解，综上知，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14三、解答题9．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|·(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，原不等式可化为|x －1|x ＋|x －2|(x －1)<0. 当x <1时，上述不等式可化为(1－x )·x ＋(2－x )·(x －1)<0， 整理，得(x －1)2>0，显然成立， 此时解集为(－∞，1)；当1≤x <2时，上述不等式可化为(x －1)x ＋(2－x )(x －1)<0， 解得x <1， 此时解集为空集；当x ≥2时，上述不等式可化为(x －1)x ＋(x －2)(x －1)<0， 整理，得(x －1)2<0，显然不成立， 此时解集为空集；综上所述，原不等式的解集为(－∞，1)．(2)当a ≥1时，因为x ∈(－∞，1)，所以由f (x )<0，可得(a －x )x ＋(2－x )(x －a )<0，整理，得(x －a )(x －1)>0，显然成立， 所以a ≥1满足题意； 当a <1时，f (x )＝⎩⎨⎧2x －a ，a ≤x <1，2x －a1－x，x <a .因为a ≤x <1时，f (x )<0，显然不能成立， 所以a <1不满足题意，综上所述，a 的取值范围是[1，＋∞)． 10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －34＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋54.(1)关于x 的不等式f (x )≥a 2－a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)设m ，n ∈(0，＋∞)，且m ＋n ＝1，求证： 2m ＋1＋2n ＋1≤2fx .解：(1)依据绝对值的几何意义可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －34＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋54表示数轴上点P (2x )到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54两点的距离，其最小值为f (x )min ＝2，∴不等式恒成立只需2≥a 2－a ，解得－1≤a ≤2.(2)证明：∵f(x)min＝2，∴只需证明：2m＋1＋2n＋1≤22成立即可．22m＋1≤2＋2m＋12＝m＋32；22n＋1≤2＋2n＋12＝n＋32.于是22m＋1＋22n＋1≤m＋32＋n＋32＝m＋n＋3＝4.∴2m＋1＋2n＋1≤22，故要证明的不等式成立．。
人教版A版选修4—5 1.2 绝对值不等式解法 (共16张ppt)
解 不 等 式x-1xx++22
【变式探究】
变变式式453
解 不 等 式 xx--11+xx++22500
【变式探究】
（1）求数轴上与-2，1对应的点A，B的距离； （2）在数轴上找出与点A，B的距离之和为
5的点； （3）写出不等式的集合。
【变式探究】
• 解法2（零点分段讨论法） （1）找零点：求|x-1|=0，|x+2|=0的根； （2）分区间：写出零点-2，1把数轴分成的三
解集。
【类题通法】
•三种方法体现了分类讨论、转化与化归、 函数与方程结合、数形结合的思想。
1.几何解法的关键是理解绝对值的几何意义； 2.零点段讨论法的关键是由|x-a|=0,|x-b|=0 的根把R分成若干小区间，在这些小区间 上求解去掉绝对值符号的不等式； 3.构造函数法的关键是构造函数，求出函数 的零点。 零点分段讨论法具有普遍性，但较为麻烦，
【温故知新】
1.绝对值的定义
a ,a>0 |a|= 0 ,a=0
－a,a<0
2、绝对值的几何意义
|a|
Байду номын сангаас|a-b|
a
0x
a
bx
3、 |x|< a ,a>0 或 |x|> a ,a>0 型不等式
【温故知新】
引例
解 不 等 式 x-12
类题通法
axbc或 axbc
型不等式的解集
【变式探究】
【实战演练】
已 知 函 数 fx x 1 2 x 3
（1）试画出函数y= f x 的图像
（2）解 不 等 式fx1
人教版2019版高中数学第一讲不等式和绝对值不等式二第2课时绝对值不等式的解法学案新人教A版选修4_5
第2课时绝对值不等式的解法学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解．知识点一|ax＋b|≤c和|ax＋b|≥c型不等式的解法思考1 |x|≥2说明实数x有什么特征？答案x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2.∴x≥2或x≤－2.思考2 若|2x－3|≤5，求x的取值范围．答案{x|－1≤x≤4}．梳理(1)含绝对值不等式|x|＜a与|x|＞a的解法①|x|＜a⇔错误!②|x|＞a⇔错误!(2)|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.知识点二|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法思考如何去掉|x－a|＋|x－b|的绝对值符号？答案采用零点分段法．即令|x－a|＋|x－b|＝0，得x1＝a，x2＝b，(不妨设a＜b)|x－a|＋|x－b|＝错误!梳理|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．(2)以绝对值的“零点”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法．类型一 |ax ＋b |≤c 与|ax ＋b |≥c (c ＞0)型的不等式的解法 例1 解下列不等式：(1)|5x －2|≥8；(2)2≤|x －2|≤4.解 (1)由|5x －2|≥8，得5x －2≥8或5x －2≤－8，解得x ≥2或x ≤－65，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≥2或x≤－65. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧|x －2|≥2， ①|x －2|≤4，②由①得x －2≤－2或x －2≥2，∴x ≤0或x ≥4， 由②得－4≤x －2≤4，∴－2≤x ≤6.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤0或4≤x ≤6}． 反思与感悟 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法 (1)当c ＞0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ， |ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c .(2)当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |＜c 的解集为∅. (3)当c ＜0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练1 解关于x 的不等式： ||x －1|－4|＜2.解 ||x －1|－4|＜2⇔－2＜|x －1|－4＜2 ⇔2＜|x －1|＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧|x －1|＞2，|x －1|＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1＜－2或x －1＞2，－6＜x －1＜6⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1或x ＞3，－5＜x ＜7⇔－5＜x ＜－1或3＜x ＜7.∴不等式||x －1|－4|＜2的解集为{x |－5＜x ＜－1或3＜x ＜7}． 类型二 |x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 例2 解关于x 的不等式：|3x －2|＋|x －1|＞3. 解 方法一 分类(零点分段)讨论法|3x －2|＝0，|x －1|＝0的根23，1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x －2|＋|x －1|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集． ①因为当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＝2－3x ＋1－x ＝3－4x ，所以当x ≤23时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔3－4x ＞3⇔x ＜0.因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≤23，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为{x |x ＜0}．②因为当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋1－x ＝2x －1， 所以当23＜x ＜1时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔2x －1＞3⇔x ＞2. 因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧23＜x ＜1，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为∅.③因为当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＝3x －2＋x －1＝4x －3， 所以当x ≥1时，|3x －2|＋|x －1|＞3⇔4x －3＞3⇔x ＞32.因此，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，|3x －2|＋|x －1|＞3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32.于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即{x |x ＜0}∪∅∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜0或x ＞32. 方法二 构造函数f (x )＝|3x －2|＋|x －1|－3，则原不等式的解集为{x |f (x )＞0}．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x≤23，2x －4，23＜x ＜1，4x －6，x≥1.作出函数f (x )的图象，如图．它是分段线性函数，函数的零点是0和32.从图象可知，当x ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，有f (x )＞0. 所以原不等式的解集是(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.反思与感悟 |x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图象法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 跟踪训练2 解不等式|x ＋7|－|x －2|≤3.解 方法一 |x ＋7|－|x －2|可以看成数轴上的动点(坐标为x )到对应点－7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x ＝－1.由图易知不等式|x ＋7|－|x －2|≤3的解为x ≤－1，即x ∈(－∞，－1]．方法二 令x ＋7＝0，得x ＝－7，令x －2＝0，得x ＝2. ①当x ＜－7时，不等式变为－x －7＋x －2≤3，∴－9≤3成立，∴x＜－7.②当－7≤x≤2时，不等式变为x＋7＋x－2≤3，即2x≤－2，∴x≤－1，∴－7≤x≤－1.③当x＞2时，不等式变为x＋7－x＋2≤3，即9≤3不成立，∴x∈∅.∴原不等式的解集为(－∞，－1]．方法三 将原不等式转化为|x ＋7|－|x －2|－3≤0， 构造函数y ＝|x ＋7|－|x －2|－3， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12，x ＜－7，2x ＋2，－7≤x≤2，6，x ＞2.作出函数的图象，由图象可知，当x ≤－1时，y ≤0， 即|x ＋7|－|x －2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]． 类型三 含绝对值不等式的恒成立问题 例3 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x ＋a |. (1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )＞a 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)∵当a ＝－3时，f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|， ∴f (x )≤6，等价于|2x ＋1|＋|2x －3|－6≤0， 令g (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|－6，令|2x ＋1|＝0，得x ＝－12，令|2x －3|＝0，得x ＝32.∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －4，x≤－12，－2，－12＜x≤32，4x －8，x ＞32.作y ＝g (x )的图象，如图，∴f (x )≤6的解集为[－1,2]．(2)∵f (x )＝|2x ＋1|＋|2x ＋a |≥|(2x ＋1)－(2x ＋a )|＝|a －1|， ∴f (x )min ＝|a －1|.要使f (x )＞a 恒成立，只需|a －1|＞a 成立即可． 由|a －1|＞a ，得a －1＞a 或a －1＜－a ， ∴a ＜12，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12. 引申探究若f (x )＝|2x ＋1|－|2x ＋a |且f (x )＜a 恒成立，求a 的取值范围． 解 ∵f (x )＝|2x ＋1|－|2x ＋a |≤|(2x ＋1)－(2x ＋a )| ＝|a －1|，∴f (x )max ＝|a －1|.∵f (x )＜a 恒成立，∴|a －1|＜a ，∴－a ＜a －1＜a ， ∴a ＞12，∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.反思与感悟 不等式解集为R 或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题．f (x )＜a 恒成立⇔f (x )max ＜a ，f (x )＞a 恒成立⇔f (x )min ＞a .跟踪训练3 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|＞m .根据以下情形分别求出m 的取值范围． (1)若不等式有解； (2)若不等式的解集为R ； (3)若不等式的解集为∅.解 方法一 因为|x ＋2|－|x ＋3|的几何意义为数轴上任意一点P (x )与两定点A (－2)，B (－3)距离的差，即|x ＋2|－|x ＋3|＝|PA |－|PB |.则(|PA |－|PB |)max ＝1，(|PA |－|PB |)min ＝－1. 即－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1.(1)若不等式有解，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最大值小即可，即m ＜1，m 的取值范围为(－∞，1)．(2)若不等式的解集为R ，即不等式恒成立，m 只要比|x ＋2|－|x ＋3|的最小值还小，即m ＜－1，m 的取值范围为(－∞，－1)．(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x ＋2|－|x ＋3|的最大值即可，即m ≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．方法二 由|x ＋2|－|x ＋3|≤|(x ＋2)－(x ＋3)|＝1， |x ＋3|－|x ＋2|≤|(x ＋3)－(x ＋2)|＝1， 可得－1≤|x ＋2|－|x ＋3|≤1. (1)若不等式有解，则m ∈(－∞，1)． (2)若不等式的解集为R ，则m ∈(－∞，－1)． (3)若不等式的解集为∅，则m ∈[1，＋∞).1．不等式|x ＋1|＞3的解集是( ) A ．{x |x ＜－4或x ＞2} B ．{x |－4＜x ＜2} C ．{x |x ＜－4或x ≥2} D ．{x |－4≤x ＜2}答案 A解析 |x ＋1|＞3，则x ＋1＜－3或x ＋1＞3， 因此x ＜－4或x ＞2.2．不等式|2x －1|－2|x ＋3|＞0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜32 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－12且x≠－3D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜32 答案 C解析 原不等式⇒⎩⎪⎨⎪⎧|2x －1|＞2，x ＋3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＜－2或2x －1＞2，x≠－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12或x ＞32，x≠－3.3．不等式|x ＋1|＋|x ＋2|＜5的所有实数解的集合是( ) A ．(－3,2) B ．(－1,3)C ．(－4,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，72 答案 C解析 |x ＋1|＋|x ＋2|表示数轴上一点到－2，－1两点的距离之和，根据－2，－1之间的距离为1，可得到与－2，－1距离和为5的点是－4,1.因此|x ＋1|＋|x ＋2|＜5解集是(－4,1)．4．已知x 为实数，且|x －5|＋|x －3|＜m 有解，则m 的取值范围是( ) A ．m ＞1B ．m ≥1C ．m ＞2D ．m ≥2 答案 C解析 ∵|x －5|＋|x －3|≥|(x －5)－(x －3)|＝2， ∴m ＞2.5．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 解 (1)当x ≤－23时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x －(3x ＋2)≥8 ⇔－5x ≥9⇔x ≤－95，∴x ≤－95.(2)当－23＜x ＜12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔1－2x ＋3x ＋2≥8⇔x ≥5， ∴x ∈∅. (3)当x ≥12时，|2x －1|＋|3x ＋2|≥8⇔5x ＋1≥8⇔5x ≥7⇒x ≥75，∴x ≥75.∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－95∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫75，＋∞.1．解不等式|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c(1)当c ≥0时，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，解之即可；|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，解之即可．(2)当c ＜0时，由绝对值的定义知|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R . 2．解|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即(1)令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； (2)把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；(3)由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； (4)这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．一、选择题1．不等式x 2－|x |－2＜0(x ∈R )的解集是( ) A ．{x |－2＜x ＜2} B ．{x |x ＜－2或x ＞2} C ．{x |－1＜x ＜1} D ．{x |x ＜－1或x ＞1} 答案 A解析 当x ≥0时，不等式化为x 2－x －2＜0， 解得－1＜x ＜2，所以0≤x ＜2；当x ＜0时，不等式化为x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1，所以－2＜x ＜0. 故原不等式的解集为{x |－2＜x ＜2}．2．若关于x 的不等式|x －2|＋|x －a |≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值是( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2答案 B解析 ∵|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴|a －2|≥a ，即a －2≥a 或a －2≤－a ，∴a ≤1.3．设函数f (x )＝错误!则使f (x )≥1的自变量x 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]∪[0,4]B ．(－∞，－2]∪[0,1]C ．(－∞，－2]∪[1,4]D ．[－2,0]∪[1,4]答案 A4．关于x 的不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．[1,2]D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案 A解析 ∵|x ＋3|－|x －1|≤|4|＝4，∴a 2－3a ≥4，即a 2－3a －4≥0，解得a ≤－1或a ≥4.5．当|x －2|＜a 时，不等式|x 2－4|＜1成立，则正数a 的取值范围是( )A ．a ＞5－2B ．0＜a ≤5－2C ．a ≥5－2D ．以上都不正确答案 B解析 由|x －2|＜a ，得a ＞0，且－a ＋2＜x ＜a ＋2，由|x 2－4|＜1，得3＜x ＜5或－5＜x ＜－ 3. ∴⎩⎨⎧ a ＋2≤5，－a ＋2≥3，即0＜a ≤5－2， 或⎩⎨⎧ a ＋2≤－3，－a ＋2≥－5，无解．∴0＜a ≤5－2.二、填空题6．不等式|a ＋b||a|－|b|≥1成立的充要条件是________． 答案 |a |＞|b |解析 |a ＋b||a|－|b|≥1⇔错误!≥0 ⇔(|a |－|b |)·[|a ＋b |－(|a |－|b |)]≥0.而|a ＋b |≥|a |－|b |，∴|a ＋b |－(|a |－|b |)≥0.∴|a |－|b |＞0，即|a |＞|b |.7．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53＜x ＜13，则a ＝________. 答案 －3解析 ∵|ax －2|＜3，∴－1＜ax ＜5.当a ＞0时，－1a ＜x ＜5a，与已知条件不符； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a ＜0时，5a ＜x ＜－1a，又不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53＜x ＜13x ，故a ＝－3. 8．已知函数f (x )＝|x －a |＋a ，g (x )＝4－x 2，若存在x 0∈R 使g (x 0)≥f (x 0)，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178 解析 若存在x 0∈R 使g (x 0)≥f (x 0)，则x 2＋|x －a |＋a －4≤0有解．当x ≥a 时，x 2＋x －4≤0，显然有解；当x ＜a 时，x 2－x ＋2a －4≤0，由Δ＝1－4(2a －4)≥0，解得a ≤178.故答案为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，178. 9．已知函数f (x )＝|2x －1|＋x ＋3，若f (x )≤5，则x 的取值范围是________． 答案 [－1,1]解析 由题意可知，|2x －1|＋x ＋3≤5，即|2x －1|≤2－x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，2x －1≤2－x 或⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＜0，1－2x≤2－x ，解得12≤x ≤1或－1≤x ＜12， 故x 的取值范围是{x | －1≤x≤1}．10．已知集合A ＝{x ||x －4|＋|x －1|＜5}，B ＝{x |a ＜x ＜6}且A ∩B ＝(2，b )，则a ＋b ＝________.答案 711．已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a ＝________.答案 －4或8解析 ①当a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a －1，x ＜－1，－x ＋1－a ，－1≤x≤－a 2，3x ＋a ＋1，x ＞－a 2. ②当a ＞2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a －1，x ＜－a 2，x ＋a －1，－a 2≤x≤－1，3x ＋a ＋1，x ＞－1，由①②可得f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＋1＝3，解得a ＝－4或8. 三、解答题 12．已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式|g (x )|＜5；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5，即－7＜|x －1|＜3，得不等式的解集为{x |－2＜x ＜4}．(2)因为对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}．又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5.故实数a 的取值范围为[－1，＋∞)∪(－∞，－5]．13．已知a ＋b ＝1，对任意的a ，b ∈(0，＋∞)，1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立，求x 的取值范围．解 因为a ＞0，b ＞0且a ＋b ＝1，所以1a ＋4b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝5＋b a ＋4a b ≥9， 故1a ＋4b的最小值为9， 因为对任意的a ，b ∈(0，＋∞)，使1a ＋4b≥|2x －1|－|x ＋1|恒成立， 所以|2x －1|－|x ＋1|≤9，当x ≤－1时，2－x ≤9，所以－7≤x ≤－1；当－1＜x ＜12时，－3x ≤9，所以－1＜x ＜12； 当x ≥12时，x －2≤9，所以12≤x ≤11. 综上所述，x 的取值范围是[－7,11]．四、探究与拓展14．(2018·全国Ⅱ)设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)若f (x )≤1，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝5－|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋4，x≤－1，2，－1＜x≤2，－2x ＋6，x ＞2.可得f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}．(2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当(x ＋a )(x －2)≤0时等号成立．故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4.由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．15．设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )(a ≠0，a ，b ∈R )恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)当x ≤1时，f (x )＝－(x －1)－(x －2)＝－2x ＋3；当1＜x ≤2时，f (x )＝(x －1)－(x －2)＝1；当x ＞2时，f (x )＝(x －1)＋(x －2)＝2x －3.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3，x≤1，1，1＜x≤2，2x －3，x ＞2.图象如图所示．(2)由|a ＋b |＋|a －b |≥|a |f (x )，得|a ＋b|＋|a －b||a|≥f (x )． 又因为|a ＋b|＋|a －b||a|≥|a ＋b ＋a －b||a|＝2， 所以2≥f (x )，解不等式2≥|x －1|＋|x －2|，得12≤x ≤52.。
4-5.2.2绝对值不等式的解法_课件(人教A版选修4-5)
• 5．不等式|x－1|－|x＋4|＞1的解是_________. • 6．不等式x2－2|x|－15＞0的解集为________ .
• 7．若关于x的不等式|x＋2|＋|x－1|＜a的解集为空集，
•
则a的取值范围为 ( ) (A)(3,＋∞) (B)[3,＋∞) ∞,3) 围是 (A) m＞2 (C)(－∞,3] (D)(－
行讨论，如本例需对a+1的符号进行讨论，否则易导致错误结
果.
变式1 解不等式
|x－a|＞a．
例2 解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
(Ⅰ)当5x-6≥0,即x≥6/5时，不等式化为 5x-6<6-x，解得x<2, 所以6/5≤x＜2 (Ⅱ)当5x-6<0,即x<6/5时，不等式化为 -(5x-6)<6-x，解得x>0 所以0<x<6/5 取(Ⅰ)、 (Ⅱ) 并集得原不等式解集为(0, 2)
5.2.1 含有绝对值的 不等式的解法
复习：
1.绝对值的定义: |x|= 2.几何意义:
x2
B O
x 0 -x
x>0 x=0 x<0
一个数的绝对值表示数轴上这个数对 应的点到原点的距离.
x1
A x
|x1| =OA |x2| =OB
|x2-x1| =AB
两个数的差的绝对值表示数轴上这两个 个数对应的两点间距离.
变式1.不等式|x－1|＞|x－2|的解集为 ______.
变式2
x－ 1＞ ( 2－x ) 2 ,
求它的解集.
【解析】
x－ 1 ＞( 2－x) (x－ 1) ＞ 2－x 3 x 2－2x 1＞x 2－4x 4 2x＞3 x＞ , 2 又2－x≥0，所以x≤2.
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★问题2：在数轴上表示 和 ，你能写出它的解集吗？当 时，如何解 和 ？
问题3： 根据绝对值得几何意义，你能解不等式 吗？
学做思三
技能提炼
★ 1..不等式 的解集为( )
或 或 或
★ 2.不等式 的解是
3.解关于 的不等式
4.解关于 的不等式
5.解关于 的不等式
达标检测
变式反馈
1.解不等式
(1) (2)
(3) (4)
2.(1)若不等式 的解集为 ，则实数 等于( )
(2) 不等式 > ，对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是
★3. ,ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 有 则 满足( )
反思总结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
课后练习
同步练习金考卷
章节：4.5.2
课时：2备课人；二次备课人
课题名称
第一讲绝对值不等式的解法
三维目标
学习目标
1.掌握简单的绝对值的不等式的解法;
2.体会绝对值不等式解法的等价转化思想
重点目标
.掌握简单的绝对值的不等式的解法
难点目标
.掌握简单的绝对值的不等式的解法
导入示标
目标三导
学做思一：
自学探究
问题1：在数轴上表示 ，其几何意义是什么？