广东省汕头市2019-2020学年高二上学期期末联考数学(理)试题Word版含答案

广东省汕头市2019-2020学年高二上学期期末联考数学（理）试题本试卷分两部分，共4页，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。

2．请将答案正确填写在答题卡上。

第I 卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分） 1．已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )0,0(>>ϕω的部分图像如图所示,则实数ω的值为( )A.21B.1C.2D.43．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且52515,2S a a =-+=-，则公差d = （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．24.已知直线1:220l x y +-=， 2:410l ax y ++=，若12l l ⊥，则a 的值为（ ） A ．8 B ．2 C ．12-D ．-2 5．在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是① ② ③ ④A ．①B ．①②C ．②③D ．④6．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若,//,,βαn m n m ⊥⊥则βα//B ．若,//,//βαn m βα//，则n m //C ．若,//,βαn m ⊥βα//则n m ⊥D ．若n m //，,//,//βαn m 则βα//7．已知抛物线22y px =上一点M （1，m ）到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．x=8 B ．x=-8C ．x=4D ．x=-48.椭圆与双曲线有相同的焦点，点是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆交于点，且满足12212MF F MF F ∠=∠ ，则椭圆的离心率是（ ）A ．2B 1 C10．在如图的平面图形中，已知,，，则的值为A ．B ．C ．D ．011．圆：和圆：有三条公切线，若，，且，则的最小值为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．512．已知定义在R 上的函数)(x f y =对于任意的x 都满足)()1(x f x f -=+，当11<≤-x 时，3)(x x f =，若函数x x f x g a log )()(-=至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A ．∪(5，＋∞)B ．∪[5，＋∞)C ．∪(5,7) D ．∪[5,7)第II 卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分）13．抛物线28x y =的焦点到准线的距离是______________．14．过点)2,2(-)且与双曲线1222=-y x 有公共渐近线的双曲线方程是_______________. 15．已知下列命题：①若直线与平面内的一条直线平行，则；②命题“，”的否定是“，”；③已知，则“”是“”的充分而不必要条件．其中正确的命题是________________．（填序号）16．某三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为__________．三、解答题（共70分）17．（本题10分）已知圆C ：（x –1）2+y 2=9内有一点P （2，2），过点P 作直线l 交圆C 于A 、B 两点．（1）当l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； （2）当直线l 的倾斜角是45°时，求弦AB 的长．18．（本题12分）在△ABC 中，a ,b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且B a A b cos 3sin =（1）求∠B 的大小；（2） 若A C b sin 2sin ,3==求a 及c19．（本题12分）已知数列}{n a 满足)(12*1N n a a n n ∈-=+，21=a .（Ⅰ）求证}1{-n a 为等比数列，并数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列}{n na 的前n 项和)(*N n S n ∈.20．（本小题12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PC 底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD AB ⊥，CD AB //，222===CD AD AB ，E 是PB 的中点.（1）求证：平面⊥EAC 平面PBC ；（2）若二面角E AC P --的余弦值为36，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．21．（本题12分）椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点D ()0,4的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点， O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率．22．（本题12分）已知函数()()222f x x m x m =-+-+-， x R ∈．PABCDE（1）若函数)(x f y =有两个不同的零点，求实数m 的取值范围；（2）是否存在整数a ， b ，使得()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．广东省汕头市2019-2020学年高二上学期期末联考数学（理）试题参考答案一、选择题二、填空题13.4 14. 15. ② 16.100 3三、解答题17.(1)已知圆的圆心为，......................................1分∵直线过点，，∴， ......................................2分直线的方程为， ......................................3分即； ......................................4分(2)当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，..................5分即，圆心到直线的距离为， ..................7分又∵圆的半径为，∴弦的长为． ........................ ........10分18．(1) 在△ABC中，由及正弦定理得.................2分所以， .....................................3分所以； ......................................5分（无写在△ABC中或B的取值范围扣1分）（2）由及得， ......................................6分由及余弦得.....................................8分.....................................12分19. （Ⅰ）由题可得()1211-=-+n n a a ，又111=-a ，.....................................1分2111=--∴+n n a a.....................................3分}{1-∴n a 是以1为首项2为公比的等比数列，.....................................4分122111+=∴=-∴--n n n n a a ； .....................................6分（Ⅱ），设的前项和为，所以 (7)分.....................................8分 所以,..........................10分所以 (12)分20. （1）证明：⊥PC 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ， PC AC ⊥∴，.....................................1分 2=AB ，1==CD AD ，2==∴BC AC222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴.....................................2分又C PC BC = ， .....................................3分⊥∴AC 平面PBC ，....................................4分∵⊂AC 平面EAC ，B∴平面⊥EAC 平面PBC .....................................5分（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，.....................................6分 则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0） 设P （0，0，a ）（0>a ），则E （21，21-，2a），.....................................7分 )0,1,1(=CA ，),0,0(a CP =，)2,21,21(a-=，取=（1，－1，0） 则0=⋅=⋅，∴m 为面PAC 的法向量 .........8分设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则0=⋅=⋅， 即⎩⎨⎧=+-=+0,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，.....................................9分依题意，362,cos 2=+==><a a n m ，则2=a .....................................10分于是)2,2,2(--=.....................................11分设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则32,cos sin ==><=n θ， 即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为32.....................................12分21. （1）由已知225c a b a =+=，.....................................1分 又222a b c =+，解得224,1a b ==，.....................................3分所以椭圆C 的方程为2214x y +=； .....................................4分 （2）根据题意，过点()0,4D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，................5分联立221{ 44x y y kx +==+，消去y 得()221432600k x kx +++=，.....................................6分()()222322401464240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >．........................7分 设E 、F 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， ⅰ）当EOF ∠为直角时， 则1212223260,1414k x x x x k k+=-=++，.....................................8分 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=，.....................................9分所以()()2121214160k x x k x x ++++=，所以()2222151********k k k k ⨯+-+=++，解得k = .....................................10分ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角， 此时， 1OE k k ⋅=，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-① 又221114x y +=② 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），.....................................11分 将123y =代入①，得1x =±所以114y k x -== 经检验，所求k 值均符合题意.综上， k的值为和.....................................12分22.（1）()()()()224226m m m m ∆=---=--．....................................1分 因为函数)(x f y =有两个不同的零点，所以0)6)(2(>--m m .....................................2分62><∴m m 或.....................................3分（2）假设存在整数a 、b ，使()a f x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，则 ①若函数()y f x =在[],a b 上单调递增，则()f a a =， ()f b b =且22m b -≥， 即()()2222,{ 22,a m a m ab m b m b -+-+-=-+-+-=.....................................4分 作差得到21m a b -=++，代回得到1ab a b --=，即()()112a b --=，.....................................5分 由于a 、b 均为整数，故1a =-， 0b =， 2m =或2a =， 3b =， 8m =，经检验均不满足要求；.....................................6分②若函数()y f x =在[],a b 上单调递减，则()f a b =， ()f b a =且22m a -≤， 即()()2222,{ 22,a m a mb b m b m a -+-+-=-+-+-=.....................................7分 作差得到21m a b -=+-，代回得到：221ab a b --=-，即()()223a b --=，.....................................8分 由于a 、b 均为整数，故1a =-， 1b =， 1m =或3a =， 5b =， 9m =，经检验均不满足要求；.....................................9分 ③若函数()y f x =在[],a b 上不单调，则22m f b -⎛⎫≤⎪⎝⎭， ()()f a f b a ==，且22m a b -<<， 即()()2222,{ 22,a m a m ab m b m a -+-+-=-+-+-=.....................................10分 作差得到2m a b -=+，代回得到20ab a b --=，即()()122a b --=，由于a ， b 均为整数， 故2a =， 4b =， 8m =或1a =-， 1b =， 2m =，经检验均满足要求；.....................................11分综上：符合要求的整数a、b是1,{1,2,abm=-==或2,{4,8.abm===......................................12分。