广东省汕头市2015年普通高中毕业班教学质量监测理科数学试题带答案

绝密★启用前 试卷类型：A2014---2015年汕头市高三年级期末调研考试数学（理科）本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：① 均值定理：若+∈R c b a ,,，则33abc c b a ≥++，当且仅当c b a ==取等号。

一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．设集合{|2}A x x =>，若ee m ln =（e 为自然对数底），则( ) A ．A ∅∈ B.A m ∉ C.A m ∈ D.{}m x x A >⊆2. 我们把复数bi a -叫做复数bi a z +=()R b a ∈,的共轭复数，记作z , 若i 是 虚数单位，1z i =+，z 为复数z 的共轭复数，则1z z z ⋅+-=( )A 1B 3C ．1D ．1 3. 已知等差数列{}n a 的公差为2,若431,,a a a 成等比数列, 则2a =( ) A ． 4- B 6- C 8- D 10-4 下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是( )A ．ln(1)y x =-B ．|1|y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．sin 2y x x =+5. 给出下列命题，其中错误命题的个数为( )（1）直线a 与平面α不平行，则a 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a 与平面α不垂直，则a 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a 、b 不垂直，则过a 的任何平面与b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面A ． 1B 2C 3D 4 6 如下图所示,程序执行后的输出结果为( )A. -1B. 0C. 1D. 27.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A ．140种 B. 120种 C. 35种 D. 34种8.设集合{}012345,,,,,M A A A A A A =，在M 上定义运算“⊗”为：i j k A A A ⊗=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3,4,5i j =．则满足关系式20()a a A A ⊗⊗=的()a a M ∈的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：（本大共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在答题卡的相应位置．） （一）必做题（9-13题）9. 计算321(321)__________x x dx --+=⎰.10. 不等式1x x -≤的解集是______________.11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50到350度之间,频率分布直方图所示.在这些用户中,用电量落在区间[)100,250内的户数为_____________.12.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x z +=2的最大值和最小值之和等于13.下列关于向量c b a ,,的命题中，正确的有 。

（1）c a c b b a =⇒⋅=⋅ （2）)()(c b a c b a ⋅⋅=⋅⋅ （3）=⋅ (4) ()22+=+ (5) 若0=⋅,则,中至少一个为（6）若b a //，c b //，则c a // (7) 若b a ⊥，c b ⊥，则c a ⊥ (8)若与共线，则存在一个实数λ，使得λ=成立 （9）与向量平行的单位向量有两个（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρθ=，0>ρ，]2,0[πθ∈，则圆C 的圆心的极坐标为___________.15.（几何证明选做题）如图，过点C 作△ABC 的外接圆O 的 切线交BA 的延长线于点D .若CD 2AB AC ==，则 BC =___________.三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、(本小题满分12分)已知函数)32sin(2)(π+=x x f ，R x ∈.（1）在给定的直角坐标系中，运用“五点法”画出该函数在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈65,6ππx 的图像。

（2）若θ为锐角，且满足1)()(=--θθf f ，求θ的值。

17、(本小题满分12分)盒中有大小相同的编号为1,2,3,4,5,6的6只小球，规定：从盒中一次摸出两只球，如果这两只球的编号均能被3整除，则获得一等奖，奖金10元，如果这两只球的编号均为偶数，则获得二等奖，奖金2元，其他情况均不获奖。

（1）若某人参加摸球游戏一次获奖金x 元，求x 的分布列与期望； （2）若某人摸一次且获奖，求他获得一等奖的概率。

18、(本小题满分14分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面ABCD ，1==PA AB ,3=AD ,F 是PB 的中点，E 为BC 上一点。

（1）求证：⊥AF 平面PBC(2)当BE 为何值时，二面角D PE C --为45.19、(本小题满分14分)已知函数x x f 1)(-=，)(x g 与)(x f 关于点)21,21(-M 对称。

（1）求)(x g 的解析式，并求出)(x g 的单调区间； （2）若0>>b a ，bb ac )(1-=，求证：43)()(>+c g a g20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的通项公式是12n n a -=，数列{}n b 是等差数列，令集合{},....,.......,,21n a a a A =，{},....,.......,,21n b b b B =，n ∈*N ．将集合B A 中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为{}n c . （1）若n c n =，n ∈*N ，求数列{}n b 的通项公式；（2）若φ=B A ，数列{}n c 的前5项成等比数列，且11c =，98c =，求满足154n n c c +>的正整数n 的取值集合.21、（本小题满分14分）已知函数R k k x x k x x x f ∈-+++++=]2)()[(log )(2222，（1）求函数)(x f 的定义域D （用区间表示）， （2）当2-<k 时，求函数)(x f 的单调递增区间。

汕头市2015年普通高中毕业班监测(理科)答案一、选择题：1、C2、A3、B4、D5、C6、B7、D8、B 解析：3、B 2214322222,(2)(4)(2),212,6a a a a a a a a =-+=+=-=-8、B 解析：设i a A =，则20()a a A A ⊗⊗=等价于22i +被4除的余0，等价于i 是奇数.故a 可取135,,A A A . 二、填空题：9、24 10、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥21x x 11、70 12、6 13、（4） 14、⎪⎭⎫⎝⎛2,2π 15、32 三、解答题……………….3分………………6分（2）由题意可知道：1)32sin(2)32sin(2=+--+πθπθ，)2,0(πθ∈………………7分所以：3sin 2cos 3cos 2sin πθπθ+3sin )2cos(3cos )2sin(πθπθ----21= (8)所以213cos 2sin 2=πθ，即212sin =θ ……………………………9分因为)2,0(πθ∈，所以),0(2πθ∈ ……………………………10分所以62πθ=或652πθ=……………………………….11分所以12πθ=或125πθ= ……………………………….12分 17. 解(1):x 的可能值为0、2、10. ……………….1分153)2P 2623===C C x （ ……………….2分151)10P 2622===C C x （ ……………….3分1511)10()2(1)0P ==-=-==x P x P x （ ……………….4分……………….6分151615110153215110=⨯+⨯+⨯=Ex . ……………….8分 （2）设摸一次得一等奖的事件为A ，摸一次得二等奖的事件为B.则151)A P 2622==C C （ 153)B P 2623==C C （ ……………….9分某人摸一次且获奖为事件A+B ，有因为A,B 互斥，所以154153151)B A P =+=+（ ……………….10分41154151B A P A P )B A A P =÷=+=+）（）（（ ……………….12分18、证明：(1)BC PA ABCD BC ABCD PA ⊥∴⊂⊥，平面，平面 …….1分.ABCD AB BC ⊥∴是矩形， …….2分 ，平面AB A,AB PA P BC ⊥=⋂ …………..3分BC AB ⊥∴⊂AF P AF ，平面又 …………..4分 .F PA AB PB AF PB ⊥∴=中点，是， …………..5分BC B BC PB P AF 平面，又⊥∴=⋂ . …………..6分(2)如图以A 为原点，分别以AD,AB,AP 为z y x ,,轴建系 . …………..7分 设BE=a ，则)1,0,0(P ，)0,0,3(D ，)0,1,(E a ，)21,21,0(F . …………..8分 ),,(PDE z y x n =的法向量为设平面，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=⋅=+-=-⋅=⋅03)1,0,3(),,(0)3()0,1,3(),,(z x z y x PD n y x a a z y x n. …………..10分 )3,3,1(,3,3,1a n z a y x -=∴=-==得令. …………..11分），，（的法向量为平面又21210PCE =AF . …………..12分635,2273222213cos 2=∴=+-⋅-==∴a a a an. ………..13分 045A -DE -P 635BE 为时，二面角当=∴. …………..14分 19、（1）设),y x （是)(x g 图像上任意一点，则)1,1(y x ---在)(x f 的图像上. ……2分 1111,111+=+-=∴---=-∴x xx y xy …………..4分 )1(,1)(≠+=∴x x x x g …………..5分0)1(1)(2>+='∴x x g …………..6分 ),1(),1,()(+∞---∞=∴的增区间为x g y …………..7分（2）0)(1,0>-=∴>>bb ac b a …………..8分3)(1)(3)(1)()(13=--≥-++-=-+=+∴bb a b b a b b a b b a b b a ac a ………10分43)3()(1-)(=≥+∴∞+=g c a g x g y ）上递增，，在（ ………….11分 43)(11111)()(≥+=+++=+++++>+++=+∴c a g c a c a c a c c a a c c a a c g a g 43)()(>+∴c g a g ………….14分 20、解：（1）若n c n =，因为5、6、7A ∉，所以5、6、7B ∈， 由此可见，等差数列{}n b 的公差为1，而3是数列{}n b 中的项，所以3只可能是数列{}n b 中的第1、2、3项. …………..2分 ①若13b =，则2n b n =+； …………..3分②若23b =，则1n b n =+； …………..4分 ③若33b =，则n b n =. …………..5分 （2）首先对元素2进行分类讨论：①若2是数列{}n c 的第2项，由{}n c 的前5项成等比数列，得34928c c ===， 这显然不可能； …………..6分 ②若2是数列{}n c 的第3项，由{}n c 的前5项成等比数列，得212b =，因为数列{}n c 是将集合A B U 中的元素按从小到大的顺序排列构成的，所以0n b >，则1b =因此数列{}n c 的前5项分别为1、2、4，这样n b ，则数列{}n c 的前9项分别为12、4、、、8，上述数列符合要求. …………..8分③若2是数列{}n c 的第k 项（4k ≥），则2121b b -<-，即数列{}n b 的公差1d <，所以615257b b d =+<+=，而1、2、94c <，所以1、2、4在数列{}n c 的前8项中，由于Φ=⋂B A ，这样，1b 、2b 、…、6b 以及1、2、4共9项，它们均小于8，即数列{}n c 的前9项均小于8，这与98c =矛盾. …………..10分综上所述，n b =. …………..11分 其次，当4n ≤时，154n n c c +=>，6554c c =<，764534c c =>. ………..12分 当7n ≥时，n c ≥{}n b的等差数列，所以1n n c c +-≤….13分所以1115114n n n n n n n n n c c c c c c c c c ++++--==+≤+=，此时的n 不符合要求，所以符合要求的n 一共有5个. …………..14分 21、解：（Ⅰ）由题意可知：R k k x x k x x ∈>-+++++02)()(222令k x x t ++=2，则原不等式可以化为：022>-+t t ，解得：2-<t 或1>t即原不等式可以化为不等式①022<+++k x x 或 不等式②012>-++k x x ……1分 对于不等式①、②分别有:741--=∆k 与542+-=∆k 现做如下分类讨论： （1） 当47-<k 时，01>∆，02>∆，此时不等式①、②对应的方程分别有不等根： 27411----=k x 与27412--+-=k x ；25413+---=k x 与25414+-+-=k x ；不难证明：4213x x x x <<< 所以不等式①的解集为(,2741----∈k x )2741--+-k …………2分 所以不等式②的解集为()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k …..3分 所以当47-<k 时，函数)(x f 的定义域D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k ………….4分 （2）当4547≤≤-k 时，01≤∆，02≥∆，结合（1）可知：不等式①的解集为Φ∈x 分 …………..5分 不等式②的解集为()2541,+---∞-∈k x ()∞++-+-,2541k 所以当4547≤≤-k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k ()∞++-+-,2541k …………..6分 （3）当45>k 时，01<∆，02<∆，结合（1）可知： 不等式①的解集为Φ∈x ；不等式②的解集为R x ∈ 所以当45>k 时，函数)(x f 的定义域D =R …………..7分 综上所述：（1）当47-<k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k （2）当4547≤≤-k 时，函数)(x f 的定义域 D =()2541,+---∞-k ()∞++-+-,2541k （3）当45>k 时，函数)(x f 的定义域D =R …………..8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知道：当2-<k 时，函数)(x f 的定义域D =()2541,+---∞-k (,2741----k )2741--+-k ()∞++-+-,2541k ………….9分令=)(x u 02)()(222>-+++++k x x k x x （2-<k ）,D x ∈则函数u y 2log =，显然函数u y 2log =在对应的定义域区间为单调递增函数，要求)(x f 的单调递增区间，我们只需要求出函数)(x u 在D x ∈上的单调递增区间。