高中数学同课异构大赛《任意角的概念》：3.《任意角》学生学案
高中数学同课异构大赛《任意角的概念》：4.必修4 任意角与弧度制 第一课时 《任意角》教案设计
教学设计§1.1.1 任意角一、教材分析本节课是人教A版必修4第一章第一节第一课时的内容。
1）教材地位上，本章主要三角函数研究函数的周期性质。
本节课是本章的开篇，具备知识的承上启下的作用，既是对初中角概念的自然推广、也是为之后学习角的和、差、倍、半等诱导公式提供知识储备，最终为研究三角函数性质作铺垫。
同时也可作为后续学习复数、解析几何的一种工具。
2）教材内容上，任意角通过数形结合突出数学概念的基本思想。
主要以任意角的几何表示和代数刻画两者结合方式，构建学生对任意角的概念理解，同时加上学生用运动、联系的观点看待事物。
二、学情分析学生在必修1学习过函数性质的基本研究方法，具备一定数形结合能力。
三、教学目标：1）体会任意角概念推广的必要性，理解任意角概念。
2）会判断象限角、会求终边相同的角。
3）增强学生用发展运动的观点看待事物。
四、教学重难点1）重点：由0360︒︒推广至任意角，能从数和形两个角度判断象限角。
2）难点：从数和形两个角度刻画终边相同的角的关系。
1.大小（限定范围）+方向（旋转）1.（按旋转方向）对任意角的分类：正角：逆时针旋转形成的角负角：顺时针旋转形成的角零角：一条射线不旋转，形成的角。
2.（将角植入平面直角坐标系中，按终边位置分类：）象限角：非象限角（轴线角）：回顾实数分类回顾实数与数轴的点一一对应通过几何画板观察角旋转方向和终边位置的变化，理解任意角和象限角:αβ−4. 终边相同的角：4.1在平面直角坐标系中，作出下列角，并观察它们的终边有什么关系33030136030300360390301360750302360−︒=︒−⨯︒︒=︒+⨯︒︒=︒+⨯︒︒=︒+⨯︒4.2在平面直角坐标系中，作出下列角，并观察它们的终边有什么关系4.1作图观察 发现：这些角的差为整数倍周角时，角的终边相同。
30060136060600360420601360780602360−︒=︒−⨯︒︒=︒+⨯︒︒=︒+⨯︒︒=︒+⨯︒通过上面两个例子，你有什么发现？练习：与1045︒终边相同的角中，最小的正角是_______________.与1045︒终边相同的角中，最大的负角是_______________。
高中数学同课异构大赛《任意角的概念》：《任意角 的概念》教学设计
终边落在坐标轴上，就称这个角是轴线角.
2
立足江湖：在直角坐标系中画出这三个角 30º，390º，-330º它们彼此之间有什么关
系？
合作探究这
名扬四海：你能写出与 30º角的终边相同的角的集合吗？
三个角的代
数关系与图
一统江湖：写出与角 α 终边相同的角的集合表示，这样的角有多少个？
像，得出终边 相同的角的
概念 例 1：在 0º到 360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第 几象限角： （1）-150º （2）650º （3）-990º15’
1、下列说法中正确的是（ ） A.第一象限角是锐角 B.小于 90º的角是第一象限角 C.小于 90º的角是锐角
D.锐角一定是第一象限角
2、下列各命题: ①相等的角终边一定相同； ②终边相同的角一定相等； ③始边和终边重合的角是零角； ④第二象限的角一定大于第一象限的
角的终边．
点
注意：(1)掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边． (2) 角可以是任意大小的．
2、角的分类 （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角。 （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角。 （3）零角：一条射线没有作任何旋转 按照角的旋转方向可以将角分成三类: 正角、负角和零角. 初出江湖：你能画出 45°，-30°，210º， -150º，270º这些角吗？
任意角的直
观感受
1
三． 合作探究
学生通过课
知识点：
堂活动自己
1、任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所 总结知识点、
成的图形．如右图，角 可以看作一条射线绕着端点 O 从起始位置 OA 按逆时针方 教 师 从 旁 引
高中数学同课异构大赛《任意角的概念》：《任意角》教案
1.1.1 任意角教案一、教材分析1、本节教材的地位和作用：本课《任意角》是数学必修 4 第一章三角函数中第一节的第一课时,在学了集合和函数之后的又一重要章节，是对初中0°~360°角的一个延伸和推广。
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，角的概念的推广正是这一思想的体现之一。
同时也为后面学习弧度制、任意角的三角函数等相关知识奠定基础。
所以本节课在教材中起到了一个铺垫和承上启下的作用，因此学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。
2、教学目标：一、知识与技能目标：（1）认识角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解任意角以及象限角的概念；（3）掌握所有与角 a 终边相同的角（包括角 a）的表示方法；二、过程与方法目标：（1）通过具体实例，提高学生的数学运算,数学抽象和逻辑推理等核心素养；（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；三、情感态度与价值观目标：（1）通过奥运比赛的引入，增强学生祖国荣誉感，培养爱国精神，提升学习的兴趣，感受数学美及数学知识在生活中的渗透。
（2）学会运用运动变化的观点认识事物.3、教学重点、难点：重点：理解正角、负角、零角和象限角的定义，掌握终边相同角的表示方法及判断。
难点: 把终边相同的角用集合和数学符号语言正确地表示出来。
二、学生情况分析在初中，学生学习了静态的角的定义，掌握了0°~360°的角的作图，并且高一的学生已经基本能够从特殊情况推广到一般情况，关键是学生在这个方面的应有意识还比较淡薄，所以这节课，只要做好引导工作，分析深入浅出，学生是比较容易理解的。
三、教法学法（1）教法分析：探索与发现新知识是教学的重点。
所以在教学中主要采用启发引导式教学。
以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。
（2）学法指导：在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
高中数学同课异构大赛《任意角的概念》：(任意角的概念)教案
1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。
它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点1．判断已知角所在象限；2．终边相同的角的书写。
四、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.2．新授课教学基本环节-----三个水平：了解水平【预习检查、总结疑惑】→理解水平【情境导入、展示目标】→提升水平【合作探究、精讲点拨】五、教学过程（一）复习引入：1．初中所学角的概念，角度范围。
2．借助自己制作的短视频，汽车方向盘的转动情况，让学生观察其中运动状态，并利用数学语言去表达从而引入角的概念的推广。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点 是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．2．角的分类：【学生观察并思考】：通过风车、齿轮的旋转情况，让学生思考，旋转方向又如何？借助书中提到的时针转动问题，可以用怎样的方式去区别旋转方向？【教师引导并总结】：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：【学生观察并思考】：通过老师给出的角度，自己动手操作，利用直角坐标系进行作图，并分析它们的终边分别落在哪个象限中？O OA OB αO ,OA OB ααα∠α【教师引导并总结】：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
高中数学同课异构大赛《任意角的概念》：必修4第1.1节任意角与弧度制导学案
1.1任意角与弧度制导学案1.教学目标（1）理解任意角的概念（2）学会建立直角坐标系探究任意角，判断象限角（3）掌握终边相同角的集合书写（4）了解弧度制，能进行弧度与角度的换算2.核心素养通过复习与探究活动引发学生的认知冲突，让学生通过实际生活中的例子体味数学问题，解决数学问题，并通过数形结合研究任意角的分类问题以及弧度制的由来，重在培养学生在数学学科核心素养中的数学建模、数学抽象、直观想象和数学运算等能力。
3.教学过程（一）引入（1）复习初中所学过的角：（2）问题与探究问题一：同学们还见过别的角吗？引出探究：假如你的手表慢了5分钟，想将它校准，分针应该怎么旋转？旋转多少度？快了五分钟呢？慢了两个小时呢？快了两个小时呢？（二）操作体验操作：学生以小组为单位，画︒︒30小组里讨论大家画的一样-480,吗？例1. 判断正误（1）第一象限角是锐角（2）小于︒90的角是第一象限角（3）小于︒90的角是锐角（4）钝角一定是第二象限角（三）互动探究请学生画出︒︒︒-330,390,30三个角，并观察这三个角之间的关系？请学生再继续找出与︒30角终边相同的角？例2. 判断正误（1）终边相等的角一定相等（2）相等的角终边一定相同（3）始边和终边重合的角是零角（四）问题二：?3030=︒弧度制概念：预设目标：由问题引出弧度制概念，引发学生学习的兴趣。
再根据直观动图体会1rad 的角，得出弧度制的转化公式。
再回归问题，解决问题二例3:弧度制与角度制互化（见教材第八页表格）4. 思考题：（1）初中所学的扇形面积公式与弧长公式有没有别的表示？（2）角度制、弧度制、实数之间有什么关系？。
高中数学同课异构大赛《任意角的概念》：任意角教学设计(2)
1.1.1 任意角一、教学目标（一）核心素养：通过这节课了解任意角的概念，掌握正角，负角，零度角及象限角的定义，掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；培养学生通过观察生活实例发现相关的数学问题，培养学生运用运动变化的观点认识事物，能够达到学会用已学习的知识类比到新知识的能力．（二）学习目标1.理解并掌握正角、负角、零角的定义2.理解任意角以及象限角的概念3.掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；二、教学重难点:重点：任意角的概念,用集合和符号表示终边相同的角，象限角和区域角的集合表示方法.难点:角的概念的推广,终边相同的角之间的关系。
三、教学方法：阅读教材，寻找实际生活中的角的问题，结合平面直角坐标系，小组讨论合作探究。
四、教学过程：（一）创设情景，引入课题：1、提问：初中所学的角是如何定义的？角的取值范围如何？（角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；范围：0°～360°）2.课件出示钟表转动，齿轮传动的图片，感受生活中与角有关的现象。
（齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向（顺、逆时针）.）【设计意图：创设课堂情境，使学生产生认知上的冲突，说明角的概念的推广的必要性，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.】强调：虽然我们过去学习了0°～360°范围内的角，但在上述问题中我们发现了仅有0°～360°范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.（板书课题）（二）探究新知，讲授新课：1.任意角的相关概念：角的定义：角可以看成平面内内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.角的名称：【齿轮：被动轮与主动轮的旋转方向（顺、逆时针）】角的分类： 正角：按逆时针方向旋转所形成的角叫正角负角：按顺时针方向旋转所形成的角零角：一条射线没有作任何旋转所形成的角（提问始边和终边重合的角是零角对吗？）强调说明：⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．旋转方向决定角的符号，旋转量决定角的大小2、象限角结合上述任意角的定义，教师进一步提出问题：问题1：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，你能用图形表示︒=︒-=︒=660,210,150γβα这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？（教师演示作图，让学生概括作图要点）画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负决定旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.问题2：如果把上述角放在直角坐标系中，那么怎样放比较方便、合理？ （让学生画图、探究、讨论和交流给出合理的方法）【设计意图：让学生自行尝试培养学生处理数学问题的动手能力及其猜想、探究能力】（课件出示象限角的概念）定义：若将角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角(或轴线角）.(练习：试在坐标系中表示45°、-45°、90°、405°角，并判别在第几象限？)【设计意图：让学生明确角的概念推广以后，初中的有些相关概念也要发生改变.使学生进一步理解象限角的概念，培养学生的数形结合能力，尤其通过45°和405°这两个角体会他们的共同点和区别，为下面引入终边相同的作好铺垫.】3、终边相同的角（1）请在坐标轴上画出-315°,45°,405°,并找出它们的共同点?（三个角的终边相同，两两之间相差360的整数倍）结论：具有这样特点的角我们把它称为终边相同的角。
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学生学案
学习目标：
1. 体会角推广的必要性，理解任意角的概念.
2. 会判断象限角，会求终边相同的角.
第一部分
1. 任意角概念：
● 按逆时针方向旋转形成的角叫_________；
● 按顺时针方向旋转形成的角叫_________；
● __________________________________________________________叫零角.
1.1 口述下列角度的形成过程.
9060390ααα=-︒=︒=︒；；
2. 象限角： ______________________________________（用自己的语言叙述）
非象限角（轴线角）：_____________________________（用自己的语言叙述） 练习：
2.1 200︒是第__________象限角.
2.2 α是第一象限角，则下列角分别是第几象限角？
+90+180+360ααα︒︒︒，， 90180360ααα-︒-︒-︒，，
2.3 让60︒终边继续旋转，得到下列角，请口述旋转过程,并作图表示下列角.
(1) 6030(2) 60+360(3) 6030(4) 60180︒+︒
︒︒︒-︒
︒-︒
3. 任意角的运算：
α终边继续旋转，得到下列角,,0αβαββ+->︒其中，叙述旋转过程.
:αβ+
:αβ-
4. 终边相同的角：
4.1 在平面直角坐标系中，作出下列角，并观察它们的终边有什么关系
33030136030300360390301360750302360-︒=︒-⨯︒
︒=︒+⨯︒︒=︒+⨯︒
︒=︒+⨯︒
4.2 在平面直角坐标系中，作出下列角，并观察它们的终边有什么关系
30060136060600360420601360780602360-︒=︒-⨯︒
︒=︒+⨯︒︒=︒+⨯︒
︒=︒+⨯︒
通过上面两个例子，你有什么发现？
练习：
与1045︒终边相同的角中，最小的正角是_______________.
与1045︒终边相同的角中，最大的负角是_______________。
第二部分 检测巩固
1. 判断正误，对和错分别用√、×填在相应括号内.
1.1 三角形的内角必是第一或第二象限角 （ ）
1.2 始边相同终边不同的角一定不相等 （ ）
1.3 始边相同终边也相同的角一定相等 （ ）
1.4 钝角比第三象限角小 （ ）
1.5 第四象限角一定是负角 （ ）
2. 下列表示终边与直角终边相同的角的集合是 （ ）
3. 角45180()k k α=︒+⋅︒∈Z 的终边落在第__________象限，其中满足
360360α-︒≤≤︒的角α有：
_____________________________________.。