高中数学配套同课异构3.2.1 立体几何中的向量方法 课件2(人教A版选修2-1)
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新课标人教A版选修2-1同课异构课件：3.2.4 立体几何中的向量方法 2
第三章 空间向量与立体几何
3.2.4 立体几何中的向量方法
第一页，编辑于星期日：十三点 十分。
复习引入
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.
1
6 1
3
1 2
所以EFD 60,即二面角C PB D的大小为60.
第十一页，编辑于星期日：十三点 十分。
练习 1．如图，已知两条异面直线所成的角为θ，
在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 A’E=m，AF=n，
EF=l，求公垂线 A A′的长 d.
解： EF EA AA AF EF 2 (EA AA AF )2
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
P
因为PF k PB
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0
第二页，编辑于星期日：十三点 十分。
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 500，kg在
它形的的顶两点边处之分间别的受夹力角都是、F1 、，F2且6，0F3每个F力1 与 同F2 它 相F3邻的20.三这0kg角块
钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多 大时，才能提起这块钢板？
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
且PA (1,0,1), EG (1 ,0, 1) 22
3.2.4 立体几何中的向量方法
第一页，编辑于星期日：十三点 十分。
复习引入
向量法解立体几何问题的优点: 1.思路容易找,甚至可以公式化； 一般充分结合图形发现向量关系或者求出 (找出)平面的法向量、直线的方向向量，利用这 些向量借助向量运算就可以解决问题. 2.不需要添辅助线和进行困难的几何证明; 3.若坐标系容易建立,更是水到渠成.
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所以EFD 60,即二面角C PB D的大小为60.
第十一页，编辑于星期日：十三点 十分。
练习 1．如图，已知两条异面直线所成的角为θ，
在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 A’E=m，AF=n，
EF=l，求公垂线 A A′的长 d.
解： EF EA AA AF EF 2 (EA AA AF )2
设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
P
因为PF k PB
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0
第二页，编辑于星期日：十三点 十分。
例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 500，kg在
它形的的顶两点边处之分间别的受夹力角都是、F1 、，F2且6，0F3每个F力1 与 同F2 它 相F3邻的20.三这0kg角块
钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多 大时，才能提起这块钢板？
第七页，编辑于星期日：十三点 十分。
且PA (1,0,1), EG (1 ,0, 1) 22
人教A版高中数学选修2-1课件3.2立体几何中的向量方法(2)
例1 (1)设a‚b分别是直线 l1‚l2的方向向量,根据下列
条件判断 l1与 l2 的位置关系:
① a (2,3,1),b (6, 9,3) ② a (5,0, 2),b (0,4,0) ②③a (2,1, 4), b (6, 3, 3)
①平行或重合 ②垂直 ③斜交或异面（不垂）
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3.2 立体几何中的向量方法(2)
----向量法在平行、垂直关系中的应用
引入：
因为直线的方向向量与平面的法 向量可以确定直线和平面的位置， 所以我们可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关 系.
平行关系
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
u
l m,l n,a b, a b 0. 同理a c 0.
b
a
u
n
m, n ,且m, n相交，
c
m
内任一直线的方向向量 p 可以表示为：
p xb yc, x, y R.
a p a (xb yc) xa b ya c 0,
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；k R. 线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv. k R.
注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 包括线在面内，面面平行包括面面重合.
面面平行 ∥ u ∥ v u kv. k R. 线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ；k R. 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
人教A版高中数学选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法(2)(共21张)
（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位
置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
（回到图形）
变式 : 在正方体ABCD - A1 B1C1 D1中, 求证 : 平面A1 BD / / 平面CB1 D1
∴ MN ∥ DA1 ,∴ MN ∥ 平面A1BD
1 1 法3: ∵ MN C1 N C1 M 2 D1 A1 2 D1 D A B 1 1 ( DB BA) ( D1 A1 A1 D ) 2 2 1 1 1 1 1 1 1 DB DA1 ( BA DA) DB DA1 BD DA1 0 BD 2 2 2 2 2 2 2
D! N A! B!
C! M C
D A B
例1如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是 C1C、B1C1的中点,求证:MN∥平面A1BD
法1:建立如图所示的空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则可求得 M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0).于是 MN ( ,0, ) 设平面A1BD的法向量是n ( x, y, z )
A A!
z D! N B! C! M C y B
1 2
1 2
D
则得 n DA1 0且n DB 0,
取x=1,得y=-1,z=-1,∴ n (1, 1, 1)
x 0 x z x y 0
1 1 又 MN n ( , 0, ) (1, 1, 1) 0,∴ MN ⊥ n 2 2 ∴ MN ∥ 平面A1 BD
高中数学-3.2立体几何中的向量方法 课件(人教A版选修2-1)
∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1
（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离）
分析：面面距离 点面距离
D1
C1
解：过 A1点作 A1H 平面 AC 于点 H .
则 A1H 为所求相对两个面之间的距离. 由A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
6 3
∴ 所求的距离是
6。 3
问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
向量法求点到平面的距离：
如图，已知点P（x0,y0,z0）,
P n
在 一平 个面 法向 内量任n意取一点A（x1,yA1,z1），
n AP n AP cos
其中 n , AP AP cos n AP ,
n
d | n AP| n
A1
HD A
B1 C B
2
AC
( AB
BC )2
11
2 cos 60
3
AC 3
AA1 AC AA1 (AB BC) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
cosA1 AC
|
AA1 AA1 |
AC | AC
|
1 3
6 sinA1 AC 3
A1H AA1 sinA1 AC
解：如图，以点A为原点，平面ABC为xAy坐标平面，
AB方向为y轴正方向，AB 为y轴的单位长度建立空间
直角坐标系Axyz, 则正三角形的顶点坐标分别为
A(0, 0, 0), B(0,1, 0), C( 3 , 1 , 0). 22
设力F1方向上的单位向量坐标z 为(x, y, z),由于F1与
人教A版高中数学选修2-1课件高二《3.2立体几何中的向量方法(2)》.pptx
② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行. 4. 两异面直线的公垂线：
与两异面直线都垂直且相交的直线.
例题分析
例 1. 如图，在四棱锥E ABCD中，AB 平 面BCE，CD 平面BCE，AB BC CE 2CD 2，BCE 120. 求证：平面ADE 平面ABE.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
C
E
P
FB
GABiblioteka 例题讲解思考题：已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面
ABCD为菱形，且C1CB C1CD BCD.
（1）求证：CC1 BD；
（2）当 CD CC1
的值为多少时，能使 A1C
平面C1BD？请给出证明.
课后作业
《学案》P87 面双基训练.
空白演示
在此输入您的封面副标题
主讲：陈震
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行.
A
E
D
C
B
例题分析
② 两平面的法向量平行. 4. 两异面直线的公垂线：
与两异面直线都垂直且相交的直线.
例题分析
例 1. 如图，在四棱锥E ABCD中，AB 平 面BCE，CD 平面BCE，AB BC CE 2CD 2，BCE 120. 求证：平面ADE 平面ABE.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
C
E
P
FB
GABiblioteka 例题讲解思考题：已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面
ABCD为菱形，且C1CB C1CD BCD.
（1）求证：CC1 BD；
（2）当 CD CC1
的值为多少时，能使 A1C
平面C1BD？请给出证明.
课后作业
《学案》P87 面双基训练.
空白演示
在此输入您的封面副标题
主讲：陈震
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行.
A
E
D
C
B
例题分析
人教A版高中数学选修2-1《3.2立体几何中的向量方法(二)》课件
知识点二 向量法判断线面垂直
思考
若直线 l 的方向向量为 μ1＝2，43，1，平面 α 的法向量为 μ2＝ 3，2，32，则直线 l 与平面 α 的位置关系是怎样的？如何用向量 法判断直线与平面的位置关系？ 答案
梳理
设直线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔a∥μ⇔ a＝kμ(k∈R) .
思考
若直线l1的方向向量为μ1＝(1，3，2)，直线l2的方向向量为μ2＝ (1，－1，1)，那么两直线是否垂直？用向量法判断两条直线垂 直的一般方法是什么？ 答案
梳理
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)， 则l⊥m⇔ a·b＝0 ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 .
跟踪训练3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝ 90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点，求证：平面BEF⊥ 平面ABC. 证明
当堂训练
1.下列命题中，正确命题的个数为 答案 解析
①若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β； ②若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔ n1·n2＝0； ③若n是平面α的法向量，a与平面α平行，则n·a＝0；
C.a＝(0，1，－1)，b＝(0，－1，1)
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)，所以a·b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所 以a⊥b，故选B.
12345
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，－4)，则
A.l∥α
规律与方法
几何法
2019-2020学年度最新高中数学人教A版选修2-1课件：3.2立体几何中的向量方法课件(21张)-优质PPT课件
内在联系，从而可以用向量方法解决立
体几何问题.
2.立体几何研究的基本对象是点、直
线、平面以及由它们组成的空间图形.为
了用空间向量解决立体几何问题，首先
必须把点、直线、平面的位置用向量表
示出来，然后再建立相应的解题原理.
3.上一节所学习的内容是空间向量的基 础知识，如何利用这些基础知识解决立 体几何中的实际问题，是本节学习的主 体内容.
探究（一）：空间点、线、面的向量表示
1、在空间中，取定点O作为基点，可以
用什么方法表示空间任意一点P与点O的
相对的位置？
P
O
向量 OP 称为点P的位置向量
2、过空间一点A可以作无数条直线，其 中以某非零向量a为方向向量的直线有几 条？如何用向量式表示？
a P
A
AP ta
3、过空间不同两点A、B的直线如何用向 量式表示？
βv
u α
α⊥β u⊥v u·v＝0.
3、直线l和m所成的角θ与向量a，b的关
系如何？
m
b
θ
α
a
l
cos q = | a ×b | | a || b |
4、直线l和平面α所成的角θ与向量a，u 的关系如何？
l
au
θ α
sin q = | a × u | | a || u |
5、平面α和平面β所成的角θ与向量u，v 的关系如何？
PB A
AP t AB
4、设过点O的两条相交直线确定的平面 为α，如何用向量形式表示平面α内的 点P的位置？
a α Ob
P
OP ＝xa＋yb
5、若直线l⊥平面α，a为直线l的方向向 量，则向量a叫做平面α的法向量，如何 用向量形式表示过点O且法向量为a的平
高中数学人教A版选修21课件3.2立体几何中的向量方法(系列二)
＝|A→B|2＋|A→D|2＋|A→A′|2＋2(A→B·A→D＋A→B·AA→′＋A→D·AA→′)
＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85.
因此|AC→′|＝ 85.
[点评] 求两点间距离可转化为求向量的模．解题的关键是将所求 向量用已知长度和夹角(尤其是垂直)的向量线性表示，然后按向量 数量积运算法则计算．
计算两点之间的距离和线段的长度是几何度量最基本的课题．计 算任何图形之间的距离都可以转化为求两__点________之间的距离．
(1)两点间的距离(即线段的长度)． 求 A、B 两点间的距离一般用|AB|＝ |A→B|2＝___A→_B_·_A→_B_____ 求解． (2)求点到平面的距离 如图所示，已知点 B(x0，y0，z0)，平面 α 内一点 A(x1，y1，z1)，平面 α 的一个法向量 n， 直线 AB 与平面 α 所成的角为 φ，θ＝〈n，A→B〉， 则 sinφ＝|cos〈n，A→B〉|＝|cosθ|.由数量积的 定义知，n·A→B＝|n||A→B|c→osθ，∴点 B 到平面 α 的距离 d＝|A→B|·sinφ ＝|A→B|·|cosθ|＝_____|n__|·nA_|B__| _.
(－1,1，12)，又D→F＝(0，12，0)，∴d＝|D→|Fn·|n|＝13.
4.如图所示，在四棱锥M－ABCD中，底
面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AM的长为
b，且AM和AB、AD的夹角都等于60°，N是
CM的中点．
(1)以
→ AB
、
→ AD
、
→ AM
为基向量表示出向量
C→M，并求CM的长；
取方便且容易计算的．
预习自测
1．(2015·安徽屯溪一中高二期中测试)已知直二面角α－l
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证明：设正方体棱长为 1， 以 DA, DC , DD1 为单位正交基底，建立如 图所示空间坐标系 D xyz ，则 A(1,0,0), C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1) DB1 (1,1,1) ， AC ( 1,1, 0) ， AD1 ( 1, 0,1) DB1 AC 0 ， 所以 DB1 AC ,同理 DB1 AD1 又因为 AD1 AC A 所以 DB1 平面 ACD ,从而 DB1 是 平面 ACD1 的一个法向量.
l1
Байду номын сангаас
e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
l
e1
n1
l1 1 e1 // n1 e1 n1
n2
2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过
点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C )，
M ( x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
三、平行关系：
四、垂直关系： 设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1 , b1 , c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 n b 0 a2 x b2 y c2 z 0
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
2.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v ( 2,4,4) (3)u ( 2,3,5), v (3,1,4)
例2：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n x，y，z）， （ 不惟一的，为方便起 见，取z=1较合理。 则n AB， AC n 其实平面的法向量不 是惟一的。 x，y，z） (2, 2,1) 0， （
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2 1 1， x y 2 z 0 所以n=(0， - 2)
所以D1 F //n
巩固性训练1
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,e // n a2 b2 c2
例5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE 以 证明：设正方体棱长为1， DA，DC ,DD1为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
n
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法（一）
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ； 线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ； 面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 . 设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面的 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合. l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z ) 则由n DA 0， DE 0得 n
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1 F 平面ADE
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
解：由题意可得 PM ( x x0 , y y0 , z z0 )， e PM 0
即( A, B, C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0
化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
垂直 平行
相交
l1
l2
e1
e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 e2
e1
n1
l1
l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
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2
n2
1 // 2 n1 // n2 n1 n2
l1
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e1 e2
l2
l1 l2 e1 e2 e1 e2 0
l
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l1 1 e1 // n1 e1 n1
n2
2
n1
1
1 2 n1 n2 n1 n1 0
量不惟一， 合理取值即 可。
(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量。
例3. 在空间直角坐标系内，设平面 经过
点 P( x0 , y 0 , z 0 ) ，平面 的法向量为 e ( A, B, C )，
M ( x, y, z) 为平面 内任意一点，求 x, y, z
满足的关系式。
单位法向量。
（x，y，z） (4,5,3) 0,
1 2 x 2 y z 0 x 即 , 取z 1，得 2 4 x 5 y 3z 0 y 1
1 2 2 求平面ABC的单位法向量为 ( ， ，） 3 3 3
1 n ( , 1,1), 2
设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
三、平行关系：
四、垂直关系： 设直线 l1 , l 2 的方向向量分别为 e1 , e2 ，平面 1 , 2 的法向量分别为 n1 , n2 ，则
线线垂直 l1 l2 e1 e2 e1 e2 0 ；
线面垂直 l1 1 e1 // n1 e1 n1 ；
面面垂直 1 2 n1 n2 n1 n2 0. 若e (a1 , b1 , c1 ), n (a2 , b2 , c2 ),则 l e // n e n a1 a2 , b1 b2 , c1 c2 .
3 | n | 2
问题：如何求平面的法向量？
(1)设出平面的法向量为n ( x, y, z )
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的 向量的坐标a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 )平面的法向
(3)根据法向量的定义建立关于x , y , z的 n a 0 a1 x b1 y c1 z 0 方程组 n b 0 a2 x b2 y c2 z 0
(1)a (2,1,2), b (6,3,6) (2)a (1,2,2), b (2,3,2) (3)a (0,0,1), b (0,0,3)
平行
巩固性训练2
2.设
u, v
分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5), v (6,4,4) (2)u (1,2,2), v ( 2,4,4) (3)u ( 2,3,5), v (3,1,4)
例2：已知 AB (2, 2,1), AC (4,5,3), 求平面ABC的
由两个三元一次方程 组成的方程组的解是 解：设平面的法向量为n x，y，z）， （ 不惟一的，为方便起 见，取z=1较合理。 则n AB， AC n 其实平面的法向量不 是惟一的。 x，y，z） (2, 2,1) 0， （
x 0 0 0 则x=0，不妨取y 1，得z 2 1 1， x y 2 z 0 所以n=(0， - 2)
所以D1 F //n
巩固性训练1
1.设
a, b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平行 垂直
列条件,判断l1,l2的位置关系.
a1 b1 c1 当a2 , b2 , c2 0时,e // n a2 b2 c2
例5.在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE 以 证明：设正方体棱长为1， DA，DC ,DD1为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，则可得：
l
给定一点A和一个向量 n,那么过点A, 以向量 n 为法向量的平面是完全确定的.
n
A
几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 n是平面的法向量，向量 m 是 与平面平行或在平面内，则有
n m 0
例 1:在正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，求 证： DB1 是平面 ACD1 的法向量
第三章 空间向量与立体几何
3.2 立体几何中的向量方法（一）
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先我 们要用向量来表示直线和平面的“方向”。那么 如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢？
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ； 线面平行 l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ； 面面平行 1 // 2 n1 // n2 n1 n2 . 设直线l的方向向量为e (a1 , b1 , c1 ), 平面的 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行 法向量为n (a2 , b2 , c2 ),则 包括线在面内，面面平行包括面面重合. l // e n 0 a1a2 b1b2 c1c2 0;
1 DA (1, 0, 0)， (1,1, ) DE 2 设平面ADE的一个法向量 为n=(x，y，z ) 则由n DA 0， DE 0得 n
D1
z
C1 B1 E
A1 D A
x
F B
C y
1 又因为D1 F (0, , 1) 2 所以 D1 F 平面ADE
一、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l 的位置可以由 l 上一 个定点 A 以及一个定方向确定.
l
e
直线l上的向量 e
以及与 e 共线
e
A
的向量叫做直线l的方向向量。 B
二、平面的法向量
由于垂直于同一平面的直线是互相平行的, 所以，可以 用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”。 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在直线垂 直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 n ⊥ ， 如果 n⊥ ，那 么 向 量 n 叫做平面 的法向量.
因为方向向量与法向量可以确定直线和 平面的位置，所以我们应该可以利用直线的 方向向量与平面的法向量表示空间直线、平 面间的平行、垂直、夹角等位置关系.
那么如何用直线的方向向量表示空间 两直线平行、垂直的位置关系以及它们之 间的夹角呢？如何用平面的法向量表示空 间两平面平行、垂直的位置关系以及它们 二面角的大小呢？
解：由题意可得 PM ( x x0 , y y0 , z z0 )， e PM 0
即( A, B, C ) ( x x0 , y y0 , z z0 ) 0
化简得：A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
垂直 平行
相交
l1
l2
e1
e2
l1 // l2 e1 // e2 e1 e2
e1
n1
l1
l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0
n1
1
2
n2
1 // 2 n1 // n2 n1 n2