学(理)二轮复习精品同步：第1部分 基础送分题：教师用书：题型专题(8) 排列组合与二项式定理(通用版)
【赢在高考】人教版 2018 高三物理二轮复习 教师用书全书word版
第一部分专题突破知能提升专题一力与运动第1讲力与物体的平衡2015卷ⅠT24：安培力、胡克定律、力的平衡2016卷ⅠT19：有重力、弹力、摩擦力的共点力平衡卷ⅠT24：有关电磁感应问题的平衡及法拉第电磁感应定律的应用卷ⅡT14：力的动态平衡卷ⅢT17：共点力的平衡条件2017卷ⅠT21：物体的动态平衡卷ⅡT16：共点力的受力平衡卷ⅢT17：共点力的受力平衡1．(2017·全国卷Ⅲ)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm.将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)()A．86 cm B．92 cmC．98 cm D．104 cmB轻质弹性绳的两端分别固定在相距80 cm的两点上，钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm，以钩码为研究对象，受力如图所示，由胡克定律F＝k(l－l0)＝0.2k，由共点力的平衡条件和几何知识得F＝mg2sin α＝5mg6；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，设弹性绳的总长度变为l′，由胡克定律得F′＝k(l′－l0)，由共点力的平衡条件F′＝mg2，联立上面各式解得l′＝92 cm，选项B正确.2．(2017·全国卷Ⅱ)如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动．若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动．物块与桌面间的动摩擦因数为()A．2－3 B.3 6C.33 D.32C设物块的质量为m.据平衡条件及摩擦力公式有拉力F水平时，F＝μmg①拉力F与水平面成60°角时，F cos 60°＝μ(mg－F sin 60°)②联立①②式解得μ＝33.故选C.3．(多选)(2017·全国卷Ⅰ)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N.初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α>π2)．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中()A．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小AD设重物的质量为m，绳OM中的张力为T OM，绳MN中的张力为T MN.开始时，T O M＝mg，T MN＝0.由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力mg等大、反向．如图所示，已知角α不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角β逐渐增大，则角(α－β)逐渐减小，但角θ不变，在三角形中，利用正弦定理得：T OMsin(α－β)＝mg sin θ，(α－β)由钝角变为锐角，则T OM先增大后减小，选项D正确；同理知T MNsin β＝mgsin θ，在β由0变为π2的过程中，T MN一直增大，选项A正确．4．(多选)(2016·全国卷Ⅰ)如图所示，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则()A．绳OO′的张力也在一定范围内变化B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化BD由于物体a、b均保持静止，各绳间角度保持不变，对a受力分析得，绳的拉力T＝m a g，所以物体a受到绳的拉力保持不变．由滑轮性质，滑轮两侧绳的拉力相等，所以连接a和b绳的张力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：T cos β＋f＝F cos α，F sin α＋F N＋T sin β＝m b g.其中T和m b g始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．5．(2016·全国卷Ⅰ)如图，两固定的绝缘斜面倾角均为θ，上沿相连．两细金属棒ab(仅标出a端)和cd(仅标出c端)长度均为L，质量分别为2m和m；用两根不可伸长的柔软轻导线将它们连成闭合回路abdca，并通过固定在斜面上沿的两光滑绝缘小定滑轮跨放在斜面上，使两金属棒水平．右斜面上存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于斜面向上，已知两根导线刚好不在磁场中，回路电阻为R，两金属棒与斜面间的动摩擦因数均为μ，重力加速度大小为g，已知金属棒ab匀速下滑．求(1)作用在金属棒ab上的安培力的大小；(2)金属棒运动速度的大小．解析(1)由于ab、cd棒被平行于斜面的导线相连，故ab、cd速度总是大小相等，cd也做匀速直线运动．设两导线上拉力的大小为T，右斜面对ab棒的支持力的大小为F N1，作用在ab棒上的安培力的大小为F，左斜面对cd棒的支持力大小为F N2.对于ab棒，受力分析如图甲所示，由力的平衡条件得甲乙2mg sin θ＝μF N1＋T＋F ①F N1＝2mg cos θ②对于cd棒，受力分析如图乙所示，由力的平衡条件得mg sin θ＋μF N2＝T ③F N2＝mg cos θ④联立①②③④式得：F＝mg(sin θ－3μcos θ) ⑤(2)设金属棒运动速度大小为v，ab棒上的感应电动势为E＝BL v ⑥回路中电流I＝ER⑦安培力F＝BIL ⑧联立⑤⑥⑦⑧得：v＝(sin θ－3μcos θ)mgR B2L2答案(1)mg(sin θ－3μcos θ)(2)(sin θ－3μcos θ)mgR B2L2受力分析和平衡条件的应用[解题方略]1．静态平衡问题：应先分析物体的受力情况，再根据平衡条件列出相应方程，解方程并对结果进行讨论．2．动态平衡问题3.求解共点力平衡问题常用的方法(1)力的合成法：对研究对象受力分析后，应用平行四边形定则(或三角形定则)求合力的方法．力的合成法常用于仅受三个共点力作用且保持平衡．(2)正交分解法：把物体受到的各力都分解到互相垂直的两个方向上，然后分别列出两个方向上合力为零的方程并求解．当物体受四个及四个以上共点力作用而平衡时，一般采用正交分解法．(3)图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)的长度变化情况判断各个力的变化情况．用图解法分析动态平衡问题时要在矢量三角形中确定不变的量和改变的量．[题组预测]1．(2017·河北冀州2月模拟)如图所示，质量为m(可以看成质点)的小球P，用两根轻绳OP和O′P在P点拴结后再分别系于竖直墙上相距0.4 m的O、O′两点上，绳OP长0.5 m，绳O′P长0.3 m，今在小球上施加一方向与水平成θ＝37°角的拉力F，将小球缓慢拉起．绳O′P刚拉直时，OP绳拉力为T1，绳OP刚松弛时，O′P绳拉力为T2，则T1∶T2为(sin 37°＝0.6；cos 37°＝0.8)()A．3∶4 B．4∶3C．3∶5 D．4∶5C 绳O ′P 刚拉直时，由几何关系可知此时OP 绳与竖直方向夹角为37°，小球受力如图甲，则T 1＝45mg .绳OP 刚松驰时，小球受力如图乙，则T 2＝43mg .则T 1∶T 2＝3∶5，C 项正确．2．(2017·河北唐山一中模拟)如图所示，在竖直平面内固定一圆心为O 、半径为R 的光滑圆环，原长为R 的轻弹簧上端固定在圆环的最高点A ，下端系有一个套在环上且重为G 的小球P (可视为质点)．若小球静止时，O 、P 两点的连线恰好水平，且弹簧的形变未超出其弹性限度，则弹簧的劲度系数为( )A.G RB.G 2RC.(2＋2)G RD.(2－5)G RC 对小球受力分析如图所示，由几何知识可知θ＝45°，则F ＝2mg ，弹簧的伸长量Δx ＝(2－1)R ，则k ＝F Δx ＝(2＋2)G R，C 项正确．3．质量为m 的物体用轻绳AB 悬挂于天花板上．用水平向左的力F 缓慢拉动绳的中点O ，如图所示．用T 表示绳OA 段拉力的大小，在O 点向左移动的过程中( )A ．F 逐渐变大，T 逐渐变大B ．F 逐渐变大，T 逐渐变小C ．F 逐渐变小，T 逐渐变大D ．F 逐渐变小，T 逐渐变小A对O点受力分析如图所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确．整体法和隔离法的综合应用[解题方略]1．在分析两个或两个以上物体间的相互作用时，一般采用整体法与隔离法进行分析．2．采用整体法进行受力分析时，要注意系统内各个物体的状态应该相同．3．当直接分析一个物体的受力不方便时，可转移研究对象，先分析另一个物体的受力，再根据牛顿第三定律分析该物体的受力，此法叫“转移研究对象法”．[题组预测]1．(多选)(2017·江西南昌3月模拟)如图所示，静止在粗糙水平面上的半径为4R的半球的最高点A处有一根水平细线系着质量为m、半径为R的光滑小球．已知重力加速度为g.下列说法正确的是()A．地面对半球的摩擦力的方向水平向右B．细线对小球的拉力大小为34mgC．保持小球的位置不变，将A点沿半球逐渐下移，半球对小球的支持力逐渐减小D．剪断细线的瞬间，小球的加速度大小为0.6gBD以半球和小球整体为研究对象，整体处于平衡状态，不受摩擦力作用，A项错误．对小球受力分析如图，拉力F A ＝mg tan θ，由几何关系可知tan θ＝34，则F A ＝34mg ，B 项正确．半球对小球的支持力F N ＝mg cos θ，在A 点下移时，θ增大，cos θ减小，则F N 增大，C 项错误．在剪断细线的瞬时，细线对小球的拉力消失，小球在沿切线方向有mg sin θ＝ma ，其中sin θ＝0.6，得a ＝0.6g ，D 项正确．2．(2017·河北邢台一模)如图所示，在竖直墙壁间有半圆球A 和圆球B ，其中圆球B 的表面光滑，半圆球A 与左侧墙壁之间的动摩擦因数为25 3.两球心之间连线与水平方向成30°的夹角，两球恰好不下滑，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则半圆球A 和圆球B 的质量之比为( )A.12B.14C.15D.16C 设A 的质量为m ，B 的质量为M ，隔离光滑圆球B ，对B 受力分析如图所示，可得：F N ＝F cos θ，Mg －F sin θ＝0解得：F N ＝Mg tan θ，对两球组成的整体有：(m ＋M )g －μF N ＝0代入数据，联立解得：m M ＝15.3．将一横截面为扇形的物体B 放在水平面上，一小滑块A 放在物体B 上，如图所示，除了物体B 与水平面间的摩擦力之外，其余接触面的摩擦力均可忽略不计，已知物体B 的质量为M ，滑块A 的质量为m ，当整个装置静止时，滑块A与物体B 接触的一面与竖直挡板之间的夹角为θ.已知重力加速度为g ，则下列选项正确的是( )A ．物体B 对水平面的压力大小为MgB ．物体B 受水平面的摩擦力大小为mg tan θC ．滑块A 与竖直挡板之间的弹力大小为mg tan θD ．滑块A 对物体B 的压力大小为mg cos θC 以滑块A 为研究对象进行受力分析，并运用合成法，如图所示，由几何知识得，挡板对滑块A 的弹力大小为F N1＝mg tan θ，C 正确；物体B 对滑块A 的弹力大小为F N2＝mg sin θ，根据牛顿第三定律，滑块A 对物体B 的压力大小为mg sin θ，D 错误；以滑块A 和物体B 组成的系统为研究对象，在竖直方向上受力平衡，则水平面对物体B 的支持力F N ＝(M ＋m )g ，故水平面所受压力大小为(M ＋m )g ，A 错误；A 和B 组成的系统在水平方向上受力平衡，则水平面对物体B 的摩擦力大小为F f ＝F N1＝mg tan θ，B 错误．电磁场中的平衡问题[解题方略]1．带电体的平衡问题仍然满足平衡条件，只是要注意准确分析场力——电场力、安培力或洛伦兹力．(1)2．处理电学问题中的平衡问题的方法：与纯力学问题的分析方法一样，学会把电学问题力学化． 选取研究对象方法,“整体法”或“隔离法” 受力分析――→多了电场力F ＝Eq 或安培力F ＝BIl 或洛伦兹力F ＝q v B列平衡方程―→F 合＝0或F x ＝0，F y ＝0[题组预测]1．(2017·河南六市一联)如图所示，PQ 和MN 为水平平行放置的金属导轨，相距L ＝1 m ．P 、M 间接有一个电动势为E ＝6 V ，内阻不计的电源和一只滑动变阻器，导体棒ab 跨放在导轨上并与导轨接触良好，棒的质量为m ＝0.2 kg ，棒的中点用细绳经定滑轮与物体相连，物体的质量M ＝0.4 kg.棒与导轨的动摩擦因数为μ＝0.5(设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等，导轨与棒的电阻不计，g 取10 m/s 2)，匀强磁场的磁感应强度B ＝2 T ，方向竖直向下，为了使物体保持静止，滑动变阻器连入电路的阻值不可能的是( )A ．2 ΩB ．2.5 ΩC ．3 ΩD ．4 ΩA 对棒受力分析可知，其必受绳的拉力T ＝Mg 和安培力F 安＝BIL ＝BEL R .若摩擦力向左，且满足BEL R 1＋μmg ＝Mg ，代入数据解得R 1＝4 Ω；若摩擦力向右，且满足BEL R 2－μmg ＝Mg ，代入数据解得R 2＝2.4 Ω，所以R 的取值范围为2.4 Ω≤R ≤4 Ω，则选A.2．(多选) (2017·山东临沂市三模)某老师用图示装置探究库仑力与电荷量的关系．A 、B 是可视为点电荷的两带电小球，用绝缘细线将A 悬挂，实验中在改变电荷量时，移动B 并保持A 、B 连线与细线垂直．用Q 和q 表示A 、B 的电荷量，d 表示A 、B间的距离，θ(θ不是很小)表示细线与竖直方向的夹角，x表示A偏离O点的水平距离，实验中()A．d应保持不变B．B的位置在同一圆弧上C．x与电荷量乘积Qq成正比D．tan θ与A、B间库仑力成正比ABC因实验要探究库仑力与电荷量的关系，故两电荷间距d应保持不变，选项A正确；因要保持A、B连线与细线垂直且AB距离总保持d不变，故B的位置在同一圆弧上，选项B正确；对A球由平衡知识可知F库＝mg sin θ，即k qQd2，可知x与电荷量乘积Qq成正比，选项C正确，D错误．＝mg xL3．如图所示，将长为50 cm、质量为10 g的均匀金属棒ab的两端用两只相同的弹簧悬挂成水平状态，位于垂直于纸面向里的匀强磁场中．当金属棒中通以0.4 A的电流时，弹簧恰好不伸长．g＝10 m/s2.(1)求匀强磁场的磁感应强度的大小；(2)当金属棒中通过大小为0.2 A、方向由a到b的电流时，弹簧伸长1 cm.如果电流方向由b到a，而电流大小不变，则弹簧伸长又是多少？解析(1)弹簧恰好不伸长时，ab棒受到向上的安培力BIL和向下的重力mg 大小相等，即BIL＝mg解得B＝mg＝0.5 TIL(2)当金属棒中通过大小为0.2 A、方向由a向b的电流时，ab棒受到两只弹簧向上的拉力2kx1及向上的安培力BI1L和向下的重力mg作用，处于平衡状态．根据平衡条件有2kx1＋BI1L＝mg当电流反向后，ab棒在两个弹簧向上的拉力2kx2及向下的安培力BI2L和重力mg作用下处于平衡状态．根据平衡条件有2kx2＝mg＋BI2L联立解得x2＝mg＋BI2Lmg－BI1Lx1＝3 cm.答案(1)0.5 T(2)3 cm平衡中的临界和极值问题[解题方略]1．平衡问题的临界状态是指物体所处的平衡状态将要被破坏而尚未被破坏的状态，可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述，解临界问题的基本方法是假设推理法．2．临界问题往往是和极值问题联系在一起的．解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件．要特别注意可能出现的多种情况．[题组预测]1．(多选)(2017·江西南昌一模)如图所示，两个小球a、b质量均为m，用细线相连并悬挂于O点，现用一轻质弹簧给小球a施加一个拉力F，使整个装置处于静止状态，且Oa与竖直方向夹角为θ＝45°，已知弹簧劲度系数为k，则弹簧形变量可能是()A.2mgk B.2mg2kC.42mg3k D.2mgkACD当F与细线Oa垂直时，F有最小值，F的最小值为：F min＝2mg sin θ＝2×22mg＝2mg.根据胡克定律：F min＝kx min，所以：x min＝2mgk则A、C、D可能，B不可能．2．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，质量为m的木块刚好可以在木楔上表面上匀速下滑．现在用与木楔上表面成α角的力F拉着木块匀速上滑，如图所示，求：(1)当α＝θ时，拉力F有最小值，求此最小值；(2)拉力F最小时，木楔对水平面的摩擦力的大小．解析(1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑，mg sin θ＝μmg cos θ，则μ＝tan θ，用力F拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，F cos α＝mg sin θ＋F f，F N＋F sin α＝mg cos θ，F f＝μF N.联立以上各式解得，F＝mg sin 2θcos (θ－α).当α＝θ时，F有最小值，F min＝mg sin 2θ.(2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，F f′＝F cos(θ＋α)，当拉力F最小时，F f′＝F min·cos 2θ＝12mg sin 4θ.答案(1)mg sin 2θ(2)12mg sin 4θ3．(2017·河北邯郸一模)如图所示，小球被轻质细绳系住斜吊着放在静止的光滑斜面上，设小球质量为m，斜面倾角α＝30°，细绳与竖直方向夹角θ＝30°，斜面体的质量M＝3m，置于粗糙水平地面上．求：(1)当斜面体静止时，细绳对小球拉力的大小；(2)地面对斜面体的摩擦力的大小和方向；(3)若地面对斜面体的最大静摩擦力等于地面对斜面体支持力的k倍，为了使整个系统始终处于静止状态，k值必须满足什么条件？解析(1)以小球为研究对象受力分析如图甲所示甲由共点力的平衡条件，可得在x轴方向有：F T sin θ＝F N1sin α在y轴方向有：F N1cos α＋F T cos θ＝mg解得F T＝33mg(2)以小球和斜面体整体为研究对象受力分析如图乙所示乙由共点力平衡条件，在x轴方向可得F f＝F T·sin θ＝36mg方向水平向左(3)对照第(2)题小球和斜面体整体受力分析图，由共点力平衡条件，在y轴方向可得F N2＋F T·cos θ＝(M＋m)g又由题意可知F f max＝k·F N2≥F f又M＝3m联立解得：k≥321.答案见解析课时作业一一、选择题1．(2017·广东华南三校联考)如图所示，小球A、B通过一细绳跨过定滑轮连接，它们都穿在一根竖直杆上．当两球平衡时，连接两球的细绳与水平方向的夹角分别为θ和2θ，假设装置中各处摩擦均不计，则A、B球的质量之比为()A．2cos θ∶1B．1∶2cos θC．tan θ∶1 D．1∶2sin θB小球A、B都平衡时，在竖直方向上：对A球T sin θ＝m A g，对B球T′sin2θ＝m B g，又T＝T′，解得：m Am B＝12cos θ，B项正确．2．如图所示，一光滑小球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地移动挡板，则在小球运动的过程中(该过程小球未脱离球面且球面始终静止)，挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力F N的变化情况是()A．F增大，F N减小B．F增大，F N增大C．F减小，F N减小D．F减小，F N增大B某时刻小球的受力如图所示，设小球与半球面的球心连线跟竖直方向的夹角为α，则F＝mg tan α，F N＝mgcos α，随着挡板向右移动，α越来越大，则F和F N都要增大．3．(2017·安徽江南十校联考)如图所示，竖直面光滑的墙角有一个质量为m，半径为r的半球体A.现在A上放一密度和半径与A相同的球体B，调整A的位置使得A、B保持静止状态，已知A与地面间的动摩擦因数为0.5.则A球心距墙角的最远距离是()A．2r B.9 5rC.115r D.135rC由题可知B球质量为2m，当A球球心距墙角最远时，A受地面水平向右的摩擦力f＝μ·3mg，此时以B球为研究对象，对其受力分析如图所示，有F2＝2mgtan θ，以A和B整体为研究对象，在水平方向有μ·3mg＝F2，则tan θ＝2mg3μmg，代入数据得θ＝53°.由几何关系可知，A球球心到墙角的最远距离l＝r＋2r cos θ＝115r，选项C 正确．4．如图甲、乙、丙是生活中三种不同的背包方式．为了研究方便，假设背包者身体均呈竖直，因而可认为每条背包带均在竖直面内．甲中背包带对人的肩部的作用力设为F1；乙中的背包带与竖直方向的夹角为θ(如图)，其背包带对人肩部的作用力设为F2；丙中的两根背包带与竖直方向的夹角均为θ(如图)，其每根背包带对人肩部的作用力均为F3.若三种情况所背的包完全相同，不考虑背包跟人体间的摩擦，则关于F1、F2、F3大小的下列关系正确的是()A．F1>F2B．F2>F3C．F1>F3D．F3＝F2B由图可知，题图甲中背包带沿竖直方向，所以每一根背包带的作用力都等于0.5mg，则背包带对肩部的作用力等于两根背包带的作用力的和，即等于F1＝mg；乙图中，背包受到重力、腿部的支持力和肩膀的作用力如图a：则：F2＝mgcos θ题图丙中，背包受到两边肩膀的作用力，如图b所示，则：mg＝2F3cos θ所以：F3＝mg2cos θ由以上的分析可得：F1<F2，F3<F2，由于夹角θ是未知的，所以不能判断F3与重力mg的大小关系，因此不能判断出F3与F1的大小关系．所以只有选项B正确．5．(多选)(2017·九江4月模拟)如图所示，一根通电的导体棒放在倾斜的粗糙斜面上，置于图示方向的匀强磁场中，处于静止状态．现增大电流，导体棒仍静止，则在增大电流过程中，导体棒受到的摩擦力的大小变化情况可能是()A．一直增大B．先减小后增大C．先增大后减小D．始终为零AB若F安＜mg sin α，因安培力方向向上，则摩擦力方向向上，当F安增大时，F摩减小到零，再向下增大，B项对，C、D项错；若F安＞mg sin α，摩擦力方向向下，随F安增大而一直增大，A项对．6．如图所示，粗糙水平地面上的长方体物块将一重为G的光滑圆球抵在光滑竖直的墙壁上，现用水平向右的拉力F缓慢拉动长方体物块，在圆球与地面接触之前，下面的相关判断正确的是()A．球对墙壁的压力逐渐减小B．水平拉力F逐渐减小C．地面对长方体物块的摩擦力逐渐增大D．地面对长方体物块的支持力逐渐增大B对球进行受力分析，如图甲所示．F N1＝G tan θ，F N2＝Gcos θ.当长方体物块向右运动中，θ增大，F N1、F N2均增大，由牛顿第三定律知，球对墙壁的压力逐渐增大，选项A错误；圆球对物块的压力在竖直方向的分力F N2′cos θ＝G等于重力，在拉动长方体物块向右运动的过程中，对物块受力分析如图乙所示，物块与地面之间的压力F N＝G1＋F N2′cos θ＝G1＋G不变，滑动摩擦力f＝μF N不变，选项C错误；又由于圆球对物块的压力在水平方向的分力F N2′sin θ逐渐增大，所以水平拉力F＝f－F N2′sin θ逐渐减小，选项B正确；由于物块与地面之间的压力不变，由牛顿第三定律可知，地面对物块的支持力不变，选项D错误．7．如图所示，在一个倾角为θ的斜面上，有一个质量为m，带负电的小球P(可视为点电荷)，空间存在着方向垂直斜面向下的匀强磁场，带电小球与斜面间的摩擦力不能忽略，它在斜面上沿图中所示的哪个方向运动时，有可能保持匀速直线运动状态()A．v1方向B．v2方向C．v3方向D．v4方向C若小球的速度沿v1方向，滑动摩擦力与v1的方向相反，即沿图中v3方向，由左手定则知，小球受到的洛伦兹力方向在斜面平面内与v1垂直向下，重力的分力mg sin θ沿斜面向下，则知球在斜面平面内所受的合外力不为零，小球不可能做匀速直线运动，故A错误；若小球的速度沿v2方向，滑动摩擦力与v2的方向相反，即沿图中v4方向，由左手定则知，小球受到的洛伦兹力方向在斜面平面内与v2垂直向上，重力的分力mg sin θ沿斜面向下，则知球在斜面平面内所受的合外力不为零，小球不可能做匀速直线运动，故B错误；若小球的速度沿v3方向，滑动摩擦力与v3的方向相反，即沿图中v1方向，由左手定则知，小球受到的洛伦兹力方向在斜面平面内与v3垂直向上，即沿v2方向，重力的分力mg sin θ沿斜面向下，则知斜面平面内的合外力可能为零，小球有可能做匀速直线运动，故C正确；若小球的速度沿v4方向，滑动摩擦力与v4的方向相反，即沿图中v2方向，由左手定则知，小球受到的洛伦兹力方向在斜面平面内与v4垂直向下，重力的分力mg sin θ沿斜面向下，则知斜面平面内的合外力不可能为零，小球不可能做匀速直线运动，故D 错误．8．(2017·安徽皖南八校二次联考)如图所示，三角形ABC 是固定在水平面上的三棱柱的横截面，∠A ＝30°，∠B ＝37°，C 处有光滑小滑轮，质量分别为m 1、m 2的两物块通过细线跨放在AC 面和BC 面上，且均恰好处于静止状态，已知AC 面光滑，物块2与BC 面间的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则两物块的质量比m 1∶m 2不可能是( )A ．1∶3B ．3∶5C ．5∶3D ．2∶1A 物块1受重力m 1g 、细线拉力T 和斜面支持力F N 作用处于平衡状态，则T ＝m 1g sin 30°，物块2受重力m 2g 、细线拉力T 、斜面支持力F N ′及摩擦力F f 作用处于平衡状态，当m 1较大时，最大静摩擦力方向沿斜面向下，此时有T ＝m 2g sin 37°＋μm 2g cos 37°，即m 1m 2＝2；当m 1较小时，最大静摩擦力方向沿斜面向上，此时有T ＝m 2g sin 37°－μm 2g cos 37°，即m 1m 2＝25，所以25≤m 1m 2≤2. 9．(多选)如图所示，带电物体P 、Q 可视为点电荷，电荷量相同．倾角为θ、质量为M 的斜面体放在粗糙水平面上，将质量为m 的物体P 放在粗糙的斜面体上．当物体Q 放在与P 等高(PQ 连线水平)且与物体P 相距为r 的右侧位置时，P 静止且受斜面体的摩擦力为0，斜面体保持静止，静电力常量为k ，则下列说法正确的是( )A ．P 、Q 所带电荷量为mgr 2tan θkB ．P 对斜面的压力为0C ．斜面体受到地面的摩擦力为0D．斜面体对地面的压力为(M＋m)gAD设P、Q所带电荷量为q，对物体P受力分析如图所示，受到水平向左的库仑力F＝k q2r2、竖直向下的重力mg、支持力F N，由平衡条件可得tan θ＝Fmg，解得q＝mgr2tan θk，选项A正确；斜面对P的支持力F N＝mg cos θ＋F sin θ，由牛顿第三定律可知，P对斜面的压力为F N′＝mg cos θ＋F sin θ，选项B错误；对P和斜面体整体受力分析，可知水平方向受到Q对P向左的库仑力F＝k q2r2和地面对斜面体水平向右的摩擦力，由平衡条件可知，斜面体受到水平向右的摩擦力大小为f＝k q2r2，选项C错误；对P和斜面体整体受力分析，竖直方向受到竖直向下的重力(M＋m)g和水平面的支持力，由平衡条件可得，水平面支持力等于(M＋m)g，根据牛顿第三定律，斜面体对地面的压力大小为(M＋m)g，选项D正确．10．(多选)如图所示，用两根完全相同的橡皮筋M、N将两个质量均为m＝1 kg的可视为质点的小球A、B拴接在一起，并悬挂在水平天花板上，在小球A 上施加一水平向左的恒力F，当系统处于静止状态时，橡皮筋M与竖直方向的夹角为60°.假设两橡皮筋的劲度系数均为k＝5 N/cm，且始终处在弹性限度以内，重力加速度取g＝10 m/s2.则()A．橡皮筋M的伸长量为4 cmB．橡皮筋N的伸长量为2 cmC．水平恒力的大小为10 3 ND．如果将水平恒力撤去，则小球B的瞬时加速度为零BD先对小球B进行受力分析，小球B受重力。
高中数学二轮复习(理科)《优化探究》教师用书word版共481页
[误区警示]
求解集合问题时易忽视的三个问题
1．集合中元素的形式,元素是数还是有序数对,是函数的定义域还是函数的值域等；
2．进行集合的基本运算时要注意对应不等式端点值的处理,尤其是求解集合补集的运算,
一定要搞清端点值的取舍,不能遗漏；
3．求解集合的补集运算时,要先求出条件中的集合,然后求其补集,不要直接转化条件而导
A．p∧q
B．(綈 p)∧(綈 q)
C．p∧(綈 q)
D．(綈 p)∧q
解析:对于命题 p:当 x＝1 时,log4x＝log8x＝0,所以命题 p 是假命题；对于命题 q:当 x＝0 时,tan x＝1－3x＝0,所以命题 q 是真命题．由于綈 p 是真命题,所以(綈 p)∧q 是真命题,故选 D.
[题组突破] 1．命题“若 a,b 都是偶数,则 a＋b 是偶数”的否命题是( ) A．若 a,b 都是偶数,则 a＋b 不是偶数 B．若 a,b 不都是偶数,则 a＋b 不是偶数 C．若 a,b 都不是偶数,则 a＋b 不是偶数 D．若 a,b 不都是偶数,则 a＋b 是偶数 解析:因为“都是”的否定是“不都是”,所以“若 a,b 都是偶数,则 a＋b 是偶数”的否命 题是“若 a,b 不都是偶数,则 a＋b 不是偶数”．故选 B. 答案:B 2．(2017·湖北百所重点学校联考)已知命题 p:∀x∈(0,＋∞),log4x<log8x,命题 q:∃x∈R,使 得 tan x＝1－3x,则下列命题为真命题的是( )
授课提示:对应学生用书第 3 页
集合 [方法结论]
1．子集个数:含有 n 个元素的集合,其子集的个数为 2n；真子集的个数为(2n－1)(除集合本 身)．
2．给出集合之间的关系,求解参数,要善于运用集合的性质进行灵活转化:如 A∪B＝A⇔B ⊆A 和 A∩B＝A⇔A⊆B.
高考数学二轮复习 第一部分 送分专题 第6讲 排列、组合、二项式定理练习 理-人教版高三全册数学试题
第6讲 排列、组合、二项式定理一、选择题1．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4解析：(x ＋i)6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r i r(r ＝0,1,2，…，6)，令r ＝2，得含x 4的项为C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A. 答案：A2．用0,1，…，9这十个数字可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261D ．279解析：0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，所以有重复数字的三位数有900－648＝252(个)． 答案：B3．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法( ) A ．10 B ．16 C ．20D ．24解析：一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．因为要求每人左右均有空座，所以在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A 25＝20种坐法． 答案：C4．二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫9x －133x 9的展开式中x 的系数等于( ) A ．84 B ．24 C ．6D ．－24解析：根据二项式定理可知，T r ＋1＝C r 9⎝ ⎛⎭⎪⎫－13r 99－＝令9－43r ＝1，得r ＝6，所以x 的系数为C 69⎝ ⎛⎭⎪⎫－136×93＝84，故选A.5．小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )A．18种B．27种C．37种D．212种解析：由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C37，为35种．共计37种取法．故选C.答案：C6．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：(1＋x)5中含有x与x2的项为T2＝C15x＝5x，T3＝C25x2＝10x2，所以x2的系数为10＋5a ＝5，所以a＝－1，故选D.答案：D7．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A．－960 B．960C．1 120 D．1 680解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C48(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.答案：C8．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)等于( )A．27B．28C．7 D．8解析：取x＝－1得(－1)4(－1＋3)8＝a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12，①取x＝－3得(－3)4(－3＋3)8＝a0－a1＋a2－…－a11＋a12，②①与②两式左、右两边分别相减得28＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)，所以a1＋a3＋a5＋…＋a11＝27，所以log2(a1＋a3＋a5＋…＋a11)＝7.9．从8名网络歌手中选派4名同时去4个地区演出(每地1人)，其中甲和乙只能同去或同不去，甲和丙不同去，则不同的选派方案共有( ) A ．240种 B ．360种 C ．480种D ．600种解析：分两步，第一步，先选4名网络歌手，又分两类，第一类，甲去，则乙一定去，丙一定不去，有C 25＝10种不同选法，第二类，甲不去，则乙一定不去，丙可能去也可能不去，有C 46＝15种不同选法，所以不同的选法有10＋15＝25(种)．第二步，4名网络歌手同时去4个地区演出，有A 44＝24种方案．由分步乘法计数原理知不同的选派方案共有25×24＝600(种)． 答案：D10．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9·(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1D ．－3解析：令x ＝0，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m )9，令x ＝－2，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以(2＋m )9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.答案：A11．某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( ) A ．80种 B ．90种 C ．120种D ．150种解析：有两类情况：①其中一所学校3名教师，另两所学校各一名教师的分法有C 35A 33＝60种；②其中一所学校1名教师，另两所学校各两名教师的分法有C 15×C 242×A 33＝90种．所以共有60＋90＝150种．故选D. 答案：D12．两对夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为( ) A ．48 B ．36 C ．24D ．12解析：分三步：①先分派两位爸爸，必须一首一尾，有A 22＝2种排法；②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A 22＝2种排法；③将两个小孩与两位妈妈进行全排列，有A 33＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．故选C. 答案：C 二、填空题13．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4展开式的常数项为54，且a >0，则a ＝__________. 解析：依题意，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式的通项T r ＋1＝C r 4·(x )4－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x r ＝C r 4·a r ·x 2－r .令2－r ＝0得r ＝2.因此，二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a x 4的展开式中的常数项是T 3＝C 24·a 2＝6a 2＝54，a 2＝9.又a >0，因此a ＝3.答案：314．若直线x ＋ay －1＝0与2x －y ＋5＝0垂直，则二项式⎝⎛⎭⎪⎫ax 2－1x 5的展开式中x 4的系数为__________．解析：由两条直线垂直，得1×2＋a ×(－1)＝0，得a ＝2，所以二项式为⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 5，其通项T r ＋1＝C r 5(2x 2)5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r 25－r C r 5x 10－3r，令10－3r ＝4，解得r ＝2，所以二项式的展开式中x 4的系数为23C 25＝80. 答案：8015．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有__________种．(用数字作答)解析：第一类，把甲、乙看作一个复合元素，另外3人分成两组，再分配到3个小组中，有C 23A 33＝18种；第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲、乙分配到其中2个小组，有A 33A 23＝36种，根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54种． 答案：5416．从1,3,5,7,9中任取2个数，从0,2,4,6中任取2个数组成没有重复数字的四位数，若将所有个位是5的四位数从小到大排成一列，则第100个数是__________． 解析：①形如“1××5”，中间所缺的两数只能从0,2,4,6中选取，有A 24＝12个． ②形如“2××5”，中间所缺的两数是奇偶各一个，有C 14C 13A 22＝24个．③形如“3××5”，同①有A24＝12个．④形如“4××5”，同②，也有C14C13A22＝24个，⑤形如“6××5”，也有C14C13A22＝24个，以上5类小于7 000的数共有96个．故第97个数是7 025，第98个数是7 045，第99个数是7 065，第100个数是7 205. 答案：7 205。
高考数学二轮复习教师用书：名师寄语 第1点 归纳常考知识构建主干体系 Word版含答案
一轮复习一般以知识、技能、方法的逐点扫描和梳理为主，通过一轮复习，同学们大都掌握了基本概念的性质、定理及其一般应用，但知识较为零散，综合应用存在较大的问题，而二轮复习承上启下，是知识系统化、条理化，促进灵活运用，提高数学素养的关键时期，为进一步突出重点，攻破难点，提高二轮复习的时效性，建议专题复习时，处理好以下3点：第1点 归纳常考知识，构建主干体系由于二轮复习时间较短，复习中不可能面面俱到，这就需要我们依据《考试大纲》和《考试说明》，结合浙江近几年的高考试题进行主干网络体系的构建，并紧紧抓住高考的“热点”，有针对性地训练．例如：“三角函数”在高考中的主要考点是什么？回顾近三年的高考试题，不难发现，三角函数一般会考两类题：一类题考查解三角形(正弦定理、余弦定理、面积公式)，一类题考查三角变换(和(差)角公式、倍角公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质)．【例1】 (经典高考题)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos C (a cos B ＋b cosA )＝c .(1)求C ；(2)若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．【导学号：68334000】注：本书所有主观题附规范解答及评分细则 [解] (1)由已知及正弦定理得2cos C (sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin C ， 2分即2cos C sin(A ＋B )＝sin C ， 故2sin C cos C ＝sin C ．4分 可得cos C ＝12，因为C 为△ABC 的内角，所以C ＝π3.7分 (2)由已知得12ab sin C ＝332.又C ＝π3，所以ab ＝6.9分由已知及余弦定理得a 2＋b 2－2ab cos C ＝7， 故a 2＋b 2＝13，从而(a ＋b )2＝25. 13分 所以△ABC 的周长为5＋7.14分【名师点评】 边角互化是利用正、余弦定理解题的有效途径，合理应用定理及其变形可化繁为简，提高运算效率，如本题也可以利用结论“a cos B ＋b cos A ＝c ”直接得出cos C ＝12.【例2】 已知函数f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝g (x )的图象是由y ＝f (x )的图象先向右平移π8个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，求y ＝g (x )的单调递增区间和最小值．[解题指导] f (x )―――――→三角恒等变换f (x )＝A sin(ωx ＋φ)――→平移变换y ＝g (x )求g (x )的单调递增区间和最小值．[解] f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 22x ＝2sin 2x cos 2x ＋cos 22x －sin 22x ＝sin 4x ＋cos 4x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4.4分 (1)函数f (x )的最小正周期为T ＝2π4＝π2.6分 (2)由题意，知g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π4＋1. 8分令－π2＋2k π≤4x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，解得－π16＋k 2π≤x ≤3π16＋k2π(k ∈Z ).10分当k ＝0时，得－π16≤x ≤3π16.故当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π16， 12分 显然g (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎥⎤3π16，π4，易知g (x )min＝g (0)＝0.14分【名师点评】 利用和(差)角公式、倍角公式、辅助角公式将含有多个不同的三角函数式转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再利用三角函数的性质求其单调区间、最值等问题．通过上述两例，我们可以发现高考对“三角函数”考什么、如何考等问题，明确地构建出了本部分知识的主干知识体系．总之，对主干知识的确定有两种途径：第一，跟着老师去复习，一般来说，老师对主干知识的把握比较准确；第二，自己多看、多做近几年的高考题，从而感悟高考考什么，怎么考，进而能使自己把握主干知识，从而进行针对性地二轮复习．。
2019届高三数学(理)二轮复习精品同步：第1部分 基础送分题：教师用书：题型专题(4) 不等式(通用版)
题型专题(四) 不等式(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．[题组练透]1．(2019·河北五校联考)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 12(x －1)>0}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(0，1]解析：选D 由题意可知A ＝{x |1<x <2}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <32，且图中阴影部分表示的是B ∩(∁R A )＝{x |0<x ≤1}，故选D.2．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，若不等式f (x )>0的解集是(－1，3)，则不等式f (－2x )<0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－32∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.⎝⎛⎭⎫－32，12C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－12，32 解析：选A 由f (x )>0，得ax 2＋(ab －1)x －b >0，又其解集是(－1，3)， ∴a <0，且⎩⎨⎧1－aba ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13(舍去)，∴a ＝－1，b ＝－3， ∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3<0，得4x 2＋4x －3>0， 解得x >12或x <－32，故选A.3．(2019·泉州质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg （x ＋1），x ≥0，－x 3，x <0，则使得f (x )≤1成立的x 的取值范围是________．解析：由⎩⎨⎧x ≥0，lg （x ＋1）≤1得0≤x ≤9，由⎩⎨⎧x <0，－x 3≤1得－1≤x ＜0，故f (x )≤1的解集为[－1，9]．答案：[－1，9] [技法融会]1．求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．2．(易错提醒)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．[题组练透]1．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为( ) A ．1 B.32 C ．2 D.52解析：选B 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a＋2a ≥22（x －a ）·2x －a＋2a ＝4＋2a ，由题意可知4＋2a ≥7，解得a ≥32，即实数a 的最小值为32，故选B.2．(2019·湖北七市联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a >0，b >0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是( )A ．9 B.92 C ．4 D.52解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1，2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，∴a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a ＝2b＝3时等号成立，即ab 的最大值是92，故选B.3．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元解析：选C 设该容器的总造价为y 元，长方体的底面矩形的长为x m ，因为无盖长方体的容积为4 m 3，高为1 m ，所以长方体的底面矩形的宽为4xm ，依题意，得y ＝20×4＋10⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥80＋20×2 x ·4x＝160⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取等号. 所以该容器的最低总造价为160元．4．(2019·江西两市联考)已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，则x ＋y 的最大值是( )A ．3 B.72 C ．4 D.92解析：选C 由x ＋y ＋1x ＋1y ＝5，得5＝x ＋y ＋x ＋y xy ，∵x >0，y >0，∴5≥x ＋y ＋x ＋y ⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝x＋y ＋4x ＋y，∴(x ＋y )2－5(x ＋y )＋4≤0，解得1≤x ＋y ≤4，∴x ＋y 的最大值是4.[技法融会]1．利用不等式求最值的3种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值．2．(易错提醒)利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可.解决线性规划问题的一般步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l .(2)平移——将l 平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l 和可行域边界的斜率的大小进行比较．(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． [题组练透]1．(2019·河南六市联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选B 画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：y ＝x ，平移l可知，当直线l 经过A 时，z ＝x －y 取得最小值－1，联立⎩⎨⎧y ＝2x －1，x －y ＝－1，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，又A (2，3)在直线x ＋y ＝m 上，∴m ＝5，故选B.2．(2019·福建质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，y ＋2≥0，x ＋y ＋2≥0，则(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为( )A ．1 B.92C ．5D ．9解析：选B 不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，由题意可知点P (－2， －3)到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－2－3＋2|2＝32，所以(x ＋2)2＋(y ＋3)2的最小值为⎝⎛⎭⎫322＝92，故选B.3．(2019·全国甲卷)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示．由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z .平移直线y ＝12x ，易知经过点A (3，4)时，z 有最小值，最小值为z ＝3－2×4＝－5.答案：－54．(2019·山西质检)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －2≤0，x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，则y －1x －1的最小值是________．解析：画出不等式组所表示的可行域，如图所示，而y －1x －1表示区域内一点(x ，y )与点D (1，1)连线的斜率，∴当x ＝13，y ＝43时，y －1x －1有最小值为－12.答案：－125．(2019·全国乙卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900 元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解析：设生产产品A x 件，产品B y 件，由已知可得约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N . 目标函数为z ＝2 100x ＋900y ，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分．作直线2 100x ＋900y ＝0，即7x ＋3y ＝0，当直线经过点B 时，z 取得最大值，联立⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，解得B (60，100)． 则z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)． 答案：216 000 [技法融会]1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b ，可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．(易错提醒)解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．1．不等式的可乘性(1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd .2．不等式的性质在近几年高考中未单独考查，但在一些题的某一点可能考查，在今后复习中应引起关注．[题组练透]1．(2019·河南六市联考)若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析：选D 由题可知b <a <0，所以A ，B ，C 正确，而|a |＋|b |＝－a －b ＝|a ＋b |，故D 错误，选D.2．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a c >bc，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b解析：选C 当c ＝0时，可知A 不正确；当c <0时，可知B 不正确；对于C ，由a 3>b 3且ab <0知a >0且b <0，所以1a >1b成立，C 正确；当a <0且b <0时，可知D 不正确．[技法融会]1．判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．2．利用不等式性质解决问题的注意事项(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变； (3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．一、选择题1．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D.12解析：选B 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 2．(2019·北京高考)已知A (2，5)，B (4，1)．若点P (x ，y )在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( )A ．－1B ．3C ．7D ．8解析：选C 作出线段AB ，如图所示．作直线2x －y ＝0并将其向下平移至直线过点B(4，1)时，2x －y 取最大值为2×4－1＝7. 3．(2019·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋ax ＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a的值是( )A.12B.32C ．1D ．2 解析：选C 由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋ax ＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号；②当x <0时，f (x )＝x ＋ax＋2≤－2a ＋2，当且仅当x ＝－a 时取等号．所以⎩⎨⎧2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. 4．已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b)为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( )A ．{ x | x >2或x <－2}B ．{ x |－2< x <2}C ．{ x | x <0或x >4}D ．{ x |0< x <4}解析：选C 由题意可知f (－x )＝f (x )，即(－x －2)·(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a ，则f (x )＝a (x －2)( x ＋2)．又函数在(0，＋∞)单调递增，所以a >0.f (2－x )>0即ax (x －4)>0，解得x <0或x >4.故选C. 5．(2019·赣中南五校联考)对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ； ②若a > b ，c>d ，则a ＋c >b ＋d ； ③若a > b ，c> d ，则ac >bd ； ④若a > b ，则1a >1b .其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选B ①ac 2>bc 2，且c ≠0，则a >b ，①正确；②由不等式的同向可加性可知②正确；③需满足a ，b ，c ，d 均为正数才成立；④错误，比如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1>－2，但1－1<1－2.故选B.6．(2019·安徽江南十校联考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2，2] B.⎣⎡⎦⎤－12，2 C ．[－1，2] D.⎣⎡⎦⎤－12，1 解析：选B 作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1，3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2 x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.7．(2019·河北五校联考)若对任意正实数x ，不等式1x 2＋1≤ax 恒成立，则实数a 的最小值为( )A ．1 B. 2 C.12 D.22解析：选C 因为1x 2＋1≤a x ，即a ≥x x 2＋1，而x x 2＋1＝1x ＋1x ≤12(当且仅当x ＝1时取等号)，所以a ≥12.故选C.8．(2019·河南八市联考)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝3x ＋2y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C.34D ．1 解析：选B 根据约束条件作出可行域(如图中阴影部分所示)，把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线，当直线z ＝3x ＋2y 经过点B 时，截距z2最小，即z 最小，又B 点坐标为(1，－2a )，代入3x ＋2y ＝1，得3－4a ＝1，得a ＝12，故选B.9．某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B ．C ．17万元D ．18万元解析：选D 设该企业每天生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，每天获得的利润为z 万元， 则有z ＝3x ＋4y ，由题意得x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，根据线性规划的有关知识，知当直线3x ＋4y －z ＝0过点B (2，3)时，z 取最大值18，故该企业每天可获得最大利润为18万元．故选D.10．(2019·湖北七市联考)设向量a ＝(1，k )，b ＝(x ，y )，记a 与b 的夹角为θ.若对所有满足不等式|x －2|≤y ≤1的x ，y ，都有θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则实数k 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－1，0)∪(0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．(－1，0)∪(1，＋∞)解析：选D 首先画出不等式|x －2|≤y ≤1所表示的区域，如图中阴影部分所示，令z ＝a ·b ＝x ＋ky ，∴问题等价于当可行域为△ABC 时，z >0恒成立，且a 与b 方向不相同，将△ABC 的三个端点值代入，即⎩⎨⎧k ＋1>0，k ＋3>0，2＋0·k >0，解得k >－1，当a 与b 方向相同时，1·y ＝x ·k ，则k ＝y x∈[0，1]，∴实数k 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)，故选D. 11．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)解析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y ≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m >x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m >4，化简得(m ＋1)(m －4)>0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导函数为f ′(x )．若∀x ∈R ，不等式f (x )≥f ′(x )恒成立，则b 2a 2＋2c 2的最大值为( ) A.6＋2 B.6－2C ．22＋2D ．22－2解析：选B 由题意得f ′(x )＝2ax ＋b ，由f (x )≥f ′(x )在R 上恒成立，得ax 2＋(b －2a )x ＋c －b ≥0在R 上恒成立，则a >0且Δ≤0，可得b 2≤4ac －4a 2，则b 2a 2＋2c 2≤4ac －4a 2a 2＋2c 2＝4⎝⎛⎭⎫c a －12⎝⎛⎭⎫c a 2＋1，又4ac －4a 2≥0，∴4·c a －4≥0，∴c a －1≥0，令t ＝c a －1，则t ≥0.当t >0时，b 2a 2＋2c 2≤4t 2t 2＋4t ＋3＝42t ＋3t＋4≤426＋4＝6－2(当且仅当t ＝62时等号成立)，当t ＝0时，b 2a 2＋2c 2＝0，故b 2a 2＋2c 2的最大值为6－2，故选B.二、填空题13．(2019·湖北华师一附中联考)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.答案：214．(2019·河北三市联考)如果实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －1≤0，y －2≤0，且z ＝y x ＋a 的最小值为12，则正数a 的值为________．解析：根据约束条件画出可行域如图中阴影部分所示，经分析可知当x ＝1，y ＝1时，z取最小值12，即11＋a ＝12，所以a ＝1.答案：115．(2019·江西两市联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是________．解析：设z ＝x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2（y ＋1）x ＋1＝1＋2·y ＋1x ＋1，设z ′＝y ＋1x ＋1，则z ′的几何意义为动点P (x ，y )到定点D (－1，－1)的斜率．画出可行域如图中阴影部分所示，则易得z ′∈[k DA ，k DB ]，易得z ′∈[1，5]，∴z ＝1＋2·z ′∈[3，11]．答案：[3，11]16．(2019·湖南东部六校联考)对于问题：“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，解关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0”，给出如下一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(－1，2)，得a (－x )2＋b (－x )＋c >0的解集为(－2，1)，即关于x 的不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为(－2，1)．参考上述解法，若关于x 的不等式k x ＋a ＋x ＋b x ＋c<0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式kx ax ＋1＋bx ＋1cx ＋1<0的解集为________．解析：不等式kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0，可化为ka＋1x＋b＋1xc＋1x<0，故得－1<1x<－13或12<1x<1，解得－3<x<－1或1<x<2，故kxax＋1＋bx＋1cx＋1<0的解集为(－3，－1)∪(1，2)．答案：(－3，－1)∪(1，2)。
高考数学(理)二轮复习教师用书：第2部分 必考补充专题 Word版含答案
高考突破点
对应专题限时集训
第17讲 集合与常用逻辑用语
P132，专题限时集训(十七) Nhomakorabea第18讲 平面向量、复数
P134，专题限时集训(十八)
第19讲 不等式与线性规划
P136，专题限时集训(十九)
第20讲 古典概型、几何概型
P140，专题限时集训(二十)
第21讲 算法初步、推理证明
P143，专题限时集训(二十一)
第22讲 排列组合、二项式定理
P146，专题限时集训(二十二)
第23讲 选修4－4选修4－5
P148，专题限时集训(二十三)
2024版高考理一轮总复习全册讲义及答案(学生版)
2024版高考理一轮总复习全册讲义及答案（学生版）一、提前了解2024版高考理科目1.1 高考理科目的变化随着教育改革的推进，2024年起，高考理科目将进行一系列的变化。
其中包括考试科目的调整、题型的变化等。
学生们在备考中需要提前了解这些变化，以便更好地应对考试。
1.2 新的考试科目根据最新的教育改革方案，2024年起，高考理科目将进行以下调整：•理科综合将划分为物理和生物两个单科考试；•化学单科考试保持不变；•新增科目——科学与技术。
1.3 题型的变化除了科目的调整外，高考理科目的题型也将发生一定的变化。
具体的题型调整有待教育部门的正式发布，但根据最新的政策文件，可以预测到的一些可能的变化有：•高难度的综合题将增加；•实验题将增加，并且注重学生实际操作能力的考查；•开放性题目的比重将增加。
二、2024版高考理一轮总复习全册讲义2.1 内容概述2024版高考理一轮总复习全册讲义是根据最新教育改革方案编写的一套教材，旨在帮助学生全面、有效地进行高考理科目的复习。
讲义包括物理、生物、化学和科学与技术四个学科的内容，以及相应的例题和习题。
2.2 物理讲义物理讲义主要包括以下内容：•力学•热学•光学•电磁学2.3 生物讲义生物讲义主要包括以下内容：•分子生物学•细胞生物学•遗传学•生态学2.4 化学讲义化学讲义主要包括以下内容：•无机化学•有机化学•化学反应与化学平衡•化学实验技巧2.5 科学与技术讲义科学与技术讲义主要包括以下内容：•科学研究方法•科学与社会•科学与工程•科学与健康2.6 例题和习题在每个学科的讲义中，都会包含大量的例题和习题，供学生进行练习。
这些例题和习题覆盖了不同难度和类型的题目，有助于学生加深对知识的理解和掌握。
三、2024版高考理一轮总复习全册答案（学生版）3.1 答案的重要性对于学生来说，答案是进行自我检测和评估的重要工具。
通过对照答案，学生可以了解自己在知识掌握和解题能力方面的情况，及时调整复习的方向和方法。
教育学原理复习题(附参考答案)
教育学原理复习题（附参考答案）一、单选题（共63题，每题1分，共63分）1.教学过程是教师教、学生学的基本过程，具有若干环节，其中心环节是( )。
A、检查效果B、领会知识C、巩固知识D、运用知识正确答案：B2.美国有一位教育家说：“走上讲台，我就是课程。
”这句话深刻地揭示了教师的劳动具有( ) 。
A、复杂性B、示范性C、长期性D、创造性正确答案：D3.教师在教学活动中，鼓励学生尝试制作、绘画、演奏等这种行为所体现的教学目标属于( )。
A、普遍性目标B、行为性目标C、生成性目标D、表现性目标正确答案：D4.根据教学大纲的要求，在校内外组织学生进行实际操作，将书本知识运用于实践的教学方法叫( )。
A、实习法B、读书指导法C、演示法D、参观法正确答案：A5.教育这一社会现象的根本属性是它的( )。
A、自然性B、历史性C、永恒性D、社会性正确答案：D6.下列关于经验主义课程论的描述不正确的是( )。
A、经验是教育的目的，也是教育的方法B、经验主义课程论以赫尔巴特为重要代表人物C、经验主义课程论倡导儿童是课程的中心D、经验主义课程论强调围绕现实生活组织课程正确答案：B7.教学本质观中的发展说认为，教学过程是促进儿童( )。
A、身体发展的过程B、智力发展的过程C、心理发展的过程D、身心发展的过程正确答案：D8.教育的思想、制度、内容和方法尽管受当时的政治经济制度和生产力发展水平的制约，但又与以往的教育有着渊源关系，带有教育发展历程中的烙印。
这反映出教育具有( )。
A、阶级性B、历史继承性C、民族性D、社会性正确答案：B9.教师用示范性的实验来说明和印证所传授的知识的方法是( )。
A、练习法B、演示法C、实习作业法D、参观法正确答案：B10.学校教育最基本的课程资源是( )。
A、教师B、教学参考资料C、教材D、学生正确答案：C11.教师指导学生通过阅读课外书籍和教材获得知识的方法是( )。
A、参观法B、读书指导法C、自学法D、练习法正确答案：B12.教育“劳动起源理论”的核心观点是( )。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型专题(八) 排列组合与二项式定理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．[题组练透]1．某学校高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践活动，但去何工厂可自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案共有( )A．16种B．18种C．37种D．48种解析：选C 三个班去四个工厂不同的分配方案共有43种，甲工厂没有班级去的分配方案共有33种，因此满足条件的不同的分配方案共有43－33＝37种．2．(2019·全国甲卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A．24 B．18C．12 D．9解析：选B由题意可知E→F有C24种走法，F→G有C13种走法，由分步乘法计数原理知，共C24·C13＝18种走法，故选B.3．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为( )A．240 B．204C．729 D．920解析：选A 分8类，当中间数为2时，有1×2＝2个；当中间数为3时，有2×3＝6个；当中间数为4时，有3×4＝12个；当中间数为5时，有4×5＝20个；当中间数为6时，有5×6＝30个；当中间数为7时，有6×7＝42个；当中间数为8时，有7×8＝56个；当中间数为9时，有8×9＝72个．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个凸数．[技法融会]1．两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．.2．(易错提醒)在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关键[题组练透]1．(2019·兰州模拟)将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( ) A．24种B．12种C．10种D．9种解析：选B 第一步，为甲校选1名女教师，有C12＝2种选法；第二步，为甲校选2名男教师，有C24＝6种选法；第三步，为乙校选1名女教师和2名男教师，有1种选法，故不同的安排方案共有2×6×1＝12种，选B.2．(2019·四川高考)用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A．24 B．48C．60 D．72解析：选D 第一步，先排个位，有C13种选择；第二步，排前4位，有A44种选择．由分步乘法计数原理，知有C13·A44＝72(个)．3．(2019·长春质检)小明试图将一箱中的24瓶啤酒全部取出，每次小明在取出啤酒时只能取出3瓶或4瓶啤酒，那么小明取出啤酒的方式共有( )A．18种B．27种C．37种D．212种解析：选C 由题可知，取出酒瓶的方式有3类，第一类：取6次，每次取出4瓶，只有1种方式；第二类：取8次，每次取出3瓶，只有1种方式；第三类：取7次，3次4瓶和4次3瓶，取法为C37，有35种方式．共计37种取法．故选C.4．(2019·河南八市联考)将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A．15 B．20C．30 D．42解析：选C 四个篮球中两个分到一组有C24种分法，将分到一组的两个篮球看成一个与其余两个篮球全排列有A33种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A33种分法，所以有C24A33－A33＝36－6＝30种分法．[技法融会]解答排列组合问题的4个角度解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等；(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列组合问题，然后逐步解决.1．通项公式与二项式系数T k＋1＝C k n a n－k b k(k＝0，1，2，…，n)，其中C k n叫做二项式系数．提示：T k＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项．2．各二项式系数之和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋C n n＝2n.(2)C 1n ＋C 3n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋…＝2n －1.[题组练透]1．(2019·河北五校联考)在二项式(1－2x )n 的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为( )A ．－960B ．960C ．1 120D ．1 680解析：选C 根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x )n 的展开式中，二项式系数之和为256，即2n ＝256，n ＝8，则(1－2x )8的展开式的中间项为第5项，且T 5＝C 48(－2)4x 4＝1 120x 4，即展开式的中间项的系数为1 120，故选C.2．(2019·山西四校联考)已知(1＋x )10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，则a 8等于( )A ．－5B ．5C ．90D ．180解析：选D ∵(1＋x )10＝[2－(1－x )]10＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 10(1－x )10，∴a 8＝C 810·22＝180.3．(2019·天津高考)⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的展开式中x 7的系数为________．(用数字作答) 解析：⎝⎛⎭⎫x 2－1x 8的通项T r ＋1＝C r 8(x 2)8－r ⎝⎛⎭⎫－1x r＝(－1)r C r 8x 16－3r，当16－3r ＝7时，r ＝3，则x 7的系数为(－1)3C 38＝－56.答案：－564．(2019·广州模拟)若⎝⎛⎭⎫ax ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 5展开式中的常数项为－40，则a ＝________. 解析：⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 5展开式的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r ·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 525－r x 5－2r ，因为⎝⎛⎭⎫ax ＋1x (2x ＋1x )5的展开式中的常数项为－40，所以ax C 3522x －1＋1x C 2523x ＝－40，所以40a ＋80＝－40，解得a ＝－3.答案：－3 [技法融会]1．利用二项式定理求解的2种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的．(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值．2．(易错提醒)在应用通项公式时，要注意以下几点：(1)它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定； (2)T r ＋1是展开式中的第r ＋1项，而不是第r 项；(3)公式中，a ，b 的指数和为n ，且a ，b 不能随便颠倒位置.二项式定理与其他知识的交汇近年，对二项式定理的考查由单一考查向交汇考查转变，在考查时，多与定积分、直线的方程、指数式与对数式的运算相结合，复习时，应引起重视．[新题速递]1．(2019·贵州模拟)二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n(n ∈N *)展开式中存在常数项的一个充分条件是( ) A ．n ＝5 B ．n ＝6 C ．n ＝7 D ．n ＝9解析：选B 二项式⎝⎛⎭⎫x －1x n展开式的第r ＋1项是C r n (－1)r x n －2r，若存在常数项，则n ＝2r ，即n 是偶数，所以n ＝6是展开式中存在常数项的充分条件，选项B 正确．2．(2019·广州五校联考)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋bx 6的展开式中x 3项的系数为20，则log 2a ＋log 2b ＝________.解析：⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式的通项为T r ＋1＝C r 6a 6－r ·b r x 12－3r，令12－3r ＝3，得r ＝3， ∴⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为C 36a 3b 3＝20，∴ab ＝1，∴log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝log 21＝0. 答案：03．(2019·兰州模拟)(m ＋x )(1＋x )3的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为16，则⎠⎛－11x m d x＝________.解析：(m ＋x )(1＋x )3＝(m ＋x ) (C 03x 3＋C 13x 2＋C 23x ＋C 33)，所以x 的奇数次幂项的系数之和为m C 03＋m C 23＋C 13＋C 33＝16.解得m ＝3，所以⎠⎛－11x m d x ＝⎠⎛－11x 3d x ＝14x 4|1－1＝0. 答案：0 [技法融会]此类问题一般难度较小，主要体现在知识间的交汇，求解时，只要理清知识间的关系，然后对每个知识点逐一击破，问题便得以解决．一、选择题1．设M，N是两个非空集合，定义M⊗N＝{(a，b)|a∈M，b∈N}，若P＝{0，1，2，3}，Q＝{1，2，3，4，5}，则P⊗Q中元素的个数是( )A．4 B．9 C．20 D．24解析：选C 依题意，a有4种取法，b有5种取法，由分步乘法计数原理得，有4×5＝20种不同取法，共有20个不同元素，故选C.2．从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为( )A．224 B．112 C．56 D．28解析：选B 根据分层抽样，从12个人中抽取男生1人，女生2人，所以抽取2个女生1个男生的方法有C28C14＝112种．3．(2019·四川高考)设i为虚数单位，则(x＋i)6的展开式中含x4的项为( )A．－15x4B．15x4C．－20i x4D．20i x4解析：选A 二项式的通项为T r＋1＝C r6x6－r i r，由6－r＝4，得r＝2.故T3＝C26x4i2＝－15x4.故选A.4．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A．60种B．63种C．65种D．66种解析：选D 从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数的取法分为三类：第一类是取四个偶数，即C44＝1种方法；第二类是取两个奇数，两个偶数，即C25C24＝60种方法；第三类是取四个奇数，即C45＝5，故有5＋60＋1＝66种方法．5．(2019·南昌一模)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( )A．30种B．36种C．60种D．72种解析：选A 甲、乙两人从4门课程中各选修2门有C24C24＝36种选法，甲、乙所选的课程中完全相同的选法有6种，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有36－6＝30种．6．已知(x＋2)15＝a0＋a 1(1－x)＋a 2(1－x)2＋…＋a 15(1－x)15，则a 13的值为( )A ．945B ．－945C ．1 024D ．－1 024解析：选B 由(x ＋2)15＝[3－(1－x )]15＝a 0＋a 1(1－x )＋a 2(1－x )2＋…＋a 15(1－x )15，得a 13＝C 1315×32×(－1)13＝－945.7．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A ．72B ．168C ．144D ．120解析：选D 先安排小品类节目和相声类节目，然后让歌舞类节目去插空．(1)小品1，相声，小品2.有A 22A 34＝48； (2)小品1，小品2，相声．有A 22C 13A 23＝36； (3)相声，小品1，小品2.有A 22C 13A 23＝36.共有48＋36＋36＝120种．8．(2019·海口调研)若(x 2－a )⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( ) A.13 B.12C ．1D ．2 解析：选D 依题意，注意到⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式的通项公式是T r ＋1＝C r 10·x 10－r ·⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 10·x 10－2r ，⎝⎛⎭⎫x ＋1x 10的展开式中含x 4(当r ＝3时)、x 6(当r ＝2时)项的系数分别为C 310、C 210，因此由题意得C 310－a C 210＝120－45a ＝30，由此解得a ＝2，选D.9．若⎝⎛⎭⎫x ＋2x 2n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( ) A ．360 B ．180 C ．90 D ．45 解析：选B 依题意知n ＝10， ∴T r ＋1＝C r 10(x )10－r ·⎝⎛⎭⎫2x 2r＝C r102r ·x 5－52r ， 令5－52r ＝0，得r ＝2，∴常数项为C 21022＝180.10．(2019·全国丙卷)定义“规范01数列”{a n }如下：{ a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数．若m ＝4，则不同的“规范01数列”共有( )A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个解析：选C 由题意知：当m ＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0，4项为1，且必有a 1＝0，a 8＝1.不考虑限制条件“对任意k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数不少于1的个数”，则中间6个数的情况共有C 36＝20(种)，其中存在k ≤2m ，a 1，a 2，…，a k 中0的个数少于1的个数的情况有：①若a 2＝a 3＝1，则有C 14＝4(种)；②若a 2＝1，a 3＝0，则a 4＝1，a 5＝1，只有1种；③若a 2＝0，则a 3＝a 4＝a 5＝1，只有1种．综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种)．故共有14个．故选C.11．若(1－2x )2 016＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 016 x 2 016，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016的值为( )A ．2B ．0C ．－1D ．－2解析：选C 当x ＝0时，左边＝1，右边＝a 0，∴a 0＝1. 当x ＝12时，左边＝0，右边＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016，∴0＝1＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016.即a 12＋a 222＋…＋a 2 01622 016＝－1. 12．(2019·河北五校联考)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为( )A ．232B ．252C ．472D ．484解析：选C 由题意，不考虑特殊情况，共有C 316种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C 34种取法，取出2张红色卡片有C 24·C 112种取法，故所求的取法共有C 316－4C 34－C 24·C 112＝560－16－72＝472种，选C.二、填空题13．(2019·山东高考)若⎝⎛⎭⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________．解析：T r ＋1＝C r 5·(ax 2)5－r⎝⎛⎭⎫1x r＝C r 5·a 5－r x 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－214．(2019·湖南东部六校联考)若⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中1x 3的系数是________． 解析：令x ＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n的展开式中各项系数之和为(3－1)n ＝128＝27，故n ＝7.则二项式的通项T r ＋1＝T r ＋1＝C r 7(3x )7－r×(－x －23)r ＝(－1)r ×37－r C r 7x 7－r －23r ，，令7－53r ＝－3，得r ＝6，故展开式中1x3的系数是(－1)6×37－6C 67＝21. 答案：2115．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同分法的种数是________．解析：5张参观券分成4份，1份2张，另外3份各1张，且2张参观券连号，则有4种分法，把这4份参观券分给4人，则不同的分法种数是4A 44＝96.答案：9616．若(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则函数f (x )＝a 2x 2＋a 1x ＋a 0的单调递减区间是________．解析：∵(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，∴a 0＝1，a 1＝－C 15＝－5，a 2＝C 25＝10，∴f (x )＝10x 2－5x ＋1＝10⎝⎛⎭⎫x －142＋38，∴函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎦⎤－∞，14. 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，14——全取送分、保分题就能稳进一本线。