ch3 采样与量化

图3-2采样操作和采样函数
由于p(t)是周期信号，所以可用傅里叶级数表示为
p(t )
n
C

n
exp( j 2 nf s t )(3 2)
1 Ts / 2 Cn p(t ) exp( j 2 nf st )dt(3 3) Ts Ts / 2 X ( f ) x(t ) exp( j 2 ft )dt(3 7)
函数A(t)称为带通信号的包络，而函数 (t ) 为带通信 号的相位偏移。 在大多数的通信应用中，A(t)和 (t ) 是低通信号，并 且具有和信息承载信号大体相当的带宽。利用标准的 三角函数恒等式，带通信号可以表示为
x(t ) xd (t ) cos 2 f ct xq (t )sin 2 f ct(3 21)
图3-1采样、量化和编码
低通采样定理
从时间连续信号x(t)到数字信号转换的第一步就 是，对x(t)进行等时间间隔采样，得到采样值xs(t)＝ x(kTs)＝x[k]。参数Ts是采样周期，其倒数就是采样 频率fs。 采样操作的模型如下页图所示。采样信号xs(t)是 用信号x(t)乘以周期脉冲p(t)来产生的。也即
( f nf )(3 12)
s s

因此应用式（3-8），采样后信号的频谱变为
X s ( f ) fs
n
X ( f nf )(3 13)
图3-3采样在频域表示
采样定理讨论，可通过对图3-3的观察得到。 为了在采样x(nTs)中包含时间连续信号x(t)的所 有信息，以便在采样过程中不损失信息，进行的采 样必需保证可以通过采样点x(nTs)无差错地重构信 号x(t)。 可以看到，通过使用低通滤波器在n＝0附近提取 Xs(f)的频谱，可完成从xs(t)到x(t)信号的重构。 要完成无差错的信号恢复，要求Xs(f)在f=±fs附 近的频谱（n＝±1项）与在f＝0处的频谱没有重叠 （式（3-13 )中n＝0项）。 换句话说，式（3-13 )中的频谱必须是分离的， 即必须满足fs-fh>fh或fs>2fh，从而证明了低通信 号采样定理。
f s min
fH fL B 2 2 2B fL fL 1 1 1 B B
1
fL B fL B
图3-5 带通采样 所需的采 样频率
同相／正交信号采样
假定带通信号表示为如下形式
x(t ) A(t ) cos 2 fct (t )(3 19)
也是低通信号，如图3-6(b)所示。在图3-6中，可以看 到 X ( f ) 是低通信号，因而xd(t)和xq(t)也为低通信号， 因此， xd(t)和xq(t)必须根据低通采样定理进行采样。
因为xd(t)和xq(t)的最高频率是B/2，它们中每个的最小 采样频率都是B。然而，必须采样两个低通信号[xd(t) 和xq(t)]，而不是一个，因此，必须使用超过2B的采样 率。
S E{x [k ]} ( SNR) q (3 31) 2 N q E{eq [k ]}
定理1：如果采样频率fs大于2fh,那么带限信号就可 以无差错地通过其采样信号恢复，这里fh表示被采样 信号中出现的最高频率。 虽然这个定理通常是指低通信号的采样定理，但它对 带通信号同样适用。然而，将低通采样定理应用于带 通信号通常导致极高的采样频率。 如果fs<2fh，那么f=±fs为中心的频谱和f=0为中心的 频谱会发生重叠，如图3-4所示，重构滤波器的输出跟 信号x(t)相比出现失真，通常将这种失真称作混叠。 假定x(t)的频谱是实数，图3-4所示为混叠的结果。
X s (t ) X (t ) (t kTs D)(3 17)
k

对求出的Xs(t)的自相关函数进行傅里叶变换，可得到 Xs(t)的功率谱密度如下
SXs ( f ) f
2 s
n
S

X
( f nf s )(3 18)
如何用同相和正交分量表示带通信号，将在第4章中详 细讨论。
带通信号的频域表示如图3-6(a)所示，该信号对应的 复包络定义如下
x(t ) xd (t ) jxq (t )(3 24)
由子xd(t)和xq(t)都是低通信号
X ( f ) X d ( f ) jX q ( f )(3 25)
因而看到，对于f0>>B这种典型情况： 利用低通采样定理对复包络信号采样<==>利用带通采 样定理对实带通信号采样，所需采样频率是一样的。
图3-6带通信号和对应的复包络
第二节 量化
量化过程和简单的定点编码过程如图3-7所示。图 中给出了连续时间波形和许多该波形的采样点，采样 值以黑点表示，每个采样点都落在一个量化级内。假 设有n个量化级，每个量化级用一个长度为b比特的二 进制字表示，于是
xs (t ) x(t ) p(t )(3 1)
信号p(t)叫采样函数。假定采样函数为窄脉冲，其取 值或者为0或者为l。因此，当p(t)＝l时，xs(t)＝ x(t);而当p(t)＝0时，xs(t)＝0。 注意：采样函数p(t)只有周期是重要的，而其波形可 以是任意的。
一、采样 •（一）低通采样定理 •（二）低通随机信号的采样 •（三）带通采样 二、量化 三、重构与内插 •（一）理想重构 •（二）上采样与下采样 四、仿真采样频率 •（一）通用开发 •（二）数据符号的独立性 •（三）仿真采样率
引 言
本课程的主要目的是研究利用数字计算机对通信系统 进行精确仿真所需的基本方法。 计算机只能处理所关心的表示信号波形的采样点的 数值 由于计算机存在有效字长效应，采样值是有限精度 的，换句话说，采样点的值是经过量化的。 采样和量化在数字仿真中都是基本的操作，其中每一 个操作都会给仿真结果带来误差。而要完全消除这些误 差源是不可能的，因此往往需要作折中。 我们的目的：使采样和量化对仿真精度的影响最小化 。 而且，许多物理的系统都利用了数字信号处理（ Digital Signal-Processing,DSP）技术，它们同样会 受采样和量化误差的影响。

Xs( f )
n
C X ( f nf )(3 8)
n s

结论：对时间连续信号的采样导致了信号频谱在直流 （f＝0）点和所有采样点的谐波处（f=nfs）产生重 复—即周期化，并且用采样脉冲p(t)的傅里叶级数展 开的相应系数对变换后的信号频谱作了加权。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图3-4
欠采样导致混叠误差
低通随机信号的采样
波形信号x(t)为能量有限的确定性信号时，其傅里叶 变换存在，并且采样定理可以基于信号的频谱（傅里 叶变换）。 假设仿真处理的是随机过程的样本函数，那么选用合 适的采样频率不是基于待仿真信号的傅里叶变换，而 应该是基于其功率谱密度（PSD）。 对于随机信号，有
n 2 (3 29)
b
在图3-7中，每一个量化级映射为3位(b = 3, n = 8) 。量化之后，采样值用一个与其所处量化级相对应的 码字来表示，而波形的数字处理通过对码字的处理来 完成。例如，图3-7中前三个采样值（从左到右）可以 用二进制序列100 110 111表示。
图3-7 量化与 编码
假设有n个量化级，每个量化级用一个长度为b比特的 二进制字表示，于是 b
n 2 (3 29)
在上图中，每一个量化级映射为3位(b = 3, n = 8)。
从采样定理知道，以超过奈奎斯特频率的频率对连 续时间带限信号进行采样，可以无差错地对它进行重 构。因此，在这样的条件下采样操作是可逆的。 但是量化却是不可逆的。一旦采样值经过量化，仅 保持量化级，就会引入随机误差。如前，波形在采样 时刻t＝kTs的值表示为x[k]，而对应的量化值表示为 xq[k]，有
xq k x[k ] eq [k ](3 30)
其中eq[k]是量化过程引入的误差。量化器模型如图38所示 如果原信号不是带宽受限的，那么得到的数字信号就 会包含混叠和量化二者导致的误差。 如何在计算量和误差之间进行折中？？？
图3-8量化误差模型 量化过程所关心的是量化信噪比（signal-tonoise, SNR），这里的噪声解释为量化过程引入的 噪声，量化的信噪比表示为(SNR)q，即
xd (t ) A(t ) cos (t )(3 22)
称为直接（或同相）分量
xq (t ) A(t )sin (t )(3 23)
称为正交分量。
由于A(t)和 (t ) 都是低通信号，使得xd(t)和xq(t)也 是低通信号，因而必须按照低通采样定理的规定进行 采样。从式（3-21)可知，如果已知xd(t)、xq(t)和载 波频率fc，那么带通信号可以无差错地恢复。
推导采样定理的下一步，也是最后一步，是定义p(t) 。由于假定采样是瞬时的，p(t)的一个合适的定义可 以为
p(t )
k
(t kT )(3 9)
s
这就是所谓的冲激函数采样，其中采样的值由冲激函 数的权来表示。
P( f ) f s
n
带通采样
带通采样定理
实带通信号的带通采样定理表述如下：
定理2 如果带通信号的带宽为B，最高频率为fh，
那么可以用大小为fs=2fh/m的采样频率来采样并恢 复信号，其中m是不超过fh/B的最大整数。更高的采 样频率未必全都能用，除非它高于2fh（该数值等于 低通采样定理规定的采样频率fs）。
如图3-5所示为归一化采样频率fs/B作为归一化中心 频率f0/B的函数曲线，其中f0和fh通过公式fh=f0＋B/2 相关联。 从图中可以看到，允许的采样频率总是处在2B到 4B的范围内。 对f0>>B这种典型的情况，带通采样定理规定的采 样频率近似等于下界2B。