1.3三角函数的诱导公式(第1课时)1
1.3-1三角函数的诱导公式(1)
x
计算：（1）sin1200
你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗?
公 式 cos( ＋k· 3600) =cos cos(1800＋)=－cos 一
sin( ＋k· 3600) =sin
sin( 1800＋ )=－sin
公 式 二
tan( ＋k· 3600) =tan tan(1800＋) =tan
计算：（1）cos2100
（2）tan2400
二、－ 与 － 的终边与角 的终边有 何关系? sin = y sin(－ )=－y cos = x cos(－) =x y tan α x y tan( α ) x y
P(x,y) y
O
x
x
-y
P (x,-y)
0 π－ cos(180 －)=－cos 0 tan(180 π－ －) =－tan
tan(－) =－tan
公 式 四
应用 例1 求cos(-20400)的值： 解: cos(-20400)＝cos20400 =cos(5×3600+2400) =cos2400=cos(1800+600)
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 y 终边有何关系? 1800－ sin = y P(x,y) P (-x,y) sin( 1800－ )=y y y cos = x cos(1800－)=－x x y -x O x tan α y x 0 tan(180 －)
x
三、1800－ 与 角 1800－ 的终边与角 的 终边有何关系? sin = y sin( 1800－ )=y cos = x cos(1800－)=－x y tan α x y 0 tan(180 －) sin(1800－ )=sin cos(1800－ )=－cos tan(1800－ )=－tan （2）tan1500
1.3三角函数的诱导公式(1)
P1 (x,y)
O
(-x,-y)
x
sin ( a ) = - sin a cos ( a ) = - cosa tan ( a ) = tan a
角∏+a 的终边
角( a )的终边与角a的终边
关于原点对称
思考： ( - a ) 与 a 的终边以及 ( - a ) 与 a 的终边 有什么位置关系？
（公式二）
（公式三）
（公式四）
思考：公式一～四都叫做诱导公式， 他们分别反映了2kπ ＋α （k∈Z）， π ＋α ，－α ，π－α的三角函数与α 的三角函数之间的关系，你能概括一 下这四组公式的共同特点和规律吗？
三角函数的诱导公式
sin (a 2k ) = sin a Z) (k cos(a 2k ) = cosa (k Z) tan (a 2k ) = tan a (k Z)
反馈演练
1 1、已知 cos(a ) = - , 求 tan(a - 9 ). 2 3 3 2、已知 sin a = , 求 sin - a . 4 2 4
思考： - a 与 a 的终边有什么位置关系？
2
sin a = y,cos a = x
（6） 324 32 tan
2. 利用公式求解下列三角函数值 7 79 （） -420 ) （2） - ) （3） 1 cos( sin( tan( ) 6 6 (4) sin(-1300 )
例题讲解
cos(180 a )sin(a 360 ) 例2、化简 . sin(- a - 180 ) cos(- 180 - a )
（公式二）
（公式三）
三角函数诱导公式第一课时
；
2
tan 2
sin 2 cos 6 cos in 5
综合应用：
例3、已知cos 3 ，求cos sin2 2 的值
5Leabharlann 学生练习已知cos
6
3 3
，求cos
5
6
sin2
6
的值
本节小结：
知识总结：诱导公式二~~~~四 数学思想总结：化归思想和转化思想 解题技巧总结：诱导公式使用可以将负角化正角， 大角化小角、小角化锐角
1.3 三角函数的诱导公式（1）
复习引入
如图：在坐标系中，请写出 三角函数的定义和诱导公式一
y P(x,y)
o
x
请大家思考，诱导公式一在三角函数求值中可以起到 什么作用？能用三角函数的概念去解释诱导公式一吗
可以看到三角函数值与角的大小有关，其值与终边上 的点坐标，此点与原点的距离他们的比值有关
新课讲解：
作业：习题1.3中 第1题：1、2、3、4 第3题
那么，我们能不能通过角的终边的对称性来 研究三角函数的数量关系呢？
问题探究：
请同学们找出下列三组角之间的关系，并探究每组角的 三角函数值关系
角与角 终边的关系
角与角终边的关系 角与角 终边的关系
公式二：
sin sin cos cos tan tan
公式三：
sin sin cos cos tan tan
公式四：
sin sin cos cos tan tan
例题讲解：
例1、求下列三角函数值
1 cos225；
2sin 11 ；
3
3 sin
16
3
；
4 cos 2040
例2、化简
1.3 三角函数的诱导公式(第1课时) 优秀教学设计
1.1.1 诱导公式（一）【课题】：诱导公式（一）【教学三维目标】：一、知识与技能1、借助单位圆推导诱导公式，特别是学习从单位圆的对称性鱼任意角终边的对称性中发现问题（任意角α的三角函数值与，等三角函数值之间有内在联系），提出研究方法（利用坐标的对称性，从πα-πα+三角函数定义得出相应的关系式）；2、能正确运用诱导公式求任意角的三角函数值，以及进行简单三角函数式的化简与恒等式证明，并从中体会未知到已知、复杂到简单的转化过程；二、过程与方法1、理解诱导公式的推导方法；2、掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明；3、培养学生化归、转化的能力；三、情感态度与价值观通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径．【教学重点】：理解并掌握诱导公式．【教学难点】：相关角边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识。
【课前准备】：三角板、圆规、多媒体．【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入（一）创设问题情景，引导学生观察、联想，导入课题I 重现已有相关知识，为学习新知识作铺垫。
1、提问：试叙述三角函数定义2、提问：试写出诱导公式（一）3、提问：试说出诱导公式的结构特征4、板书诱导公式（一）及结构特征：诱导公式（一）sin(k ·2π+)=sincos(k ·2π+)=cos ααααtan(k ·2π+)=tan （k ∈Z ）αα结构特征：①终边相同的角的同一三角函数值相等②把求任意角的三角函数值问题转化为求0°～360°角的三角函数值问题。
5、问题：试求下列三角函数的值（1）sin1110°（2）sin1290°学生：（1）sin1110°=sin （3×360°+30°）=sin30°=21（2）sin1290°=sin （3×360°+210°）=sin210°（至此，大多数学生无法再运算，从已有知识导出新问题）为探索新知识做准备.。
《三角函数的诱导公式第1课时》人教版数学高一下册PPT课件
3 2.
命题方向2 ⇨三角函数式的化简问题
典例 2
化简：
(1)sin(－α)cos(－α－π)tan(2π＋α)； sin2 α＋π cos π＋α
(2)tan π－α cos3 －α－π tan －α－2π .
[思路分析] 先观察角的特点，选用恰当的诱导公式化简，然后依据同角关
系式求解．
[解析] (1)原式＝(－sinα)·cos(π＋α)·tanα＝－sinα·(－cosα)·csoinsαα＝sin2α.
3．诱导公式的作用 (1)公式一的作用在于把绝对值大于2π的任一角的三角函数问题 转化为绝对值小于2π的角的三角函数问题． (2)公式三的作用在于把负角的三角函数转化成正角的三角函 数． (3)公式二、公式四的作用在于把钝角或大于180°的角的三角函 数转化为0°～90°之间的角的三角函数．
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打
对诱导公式理解不透致错
[错解]
典例 4 设θ是钝角，则cos(2π－θ)＝_________.
因为θ是钝角，所以2π－θ是第三象限，而第三象限角的余弦值是负值，所以cos(2π－θ)＝－ cosθ，故填－cosθ.
[错因分析]
上面的解法没有理解使用公式时视角θ为锐角的意义，一般地，视θ为锐角，则2π＋θ，π－ θ，π＋θ，2π－θ分别是第一、第二、第三、第四象限角．
[正解]
cosθ 视θ为锐角，则2π－θ为第四象限角，所以cos(2π－θ)＝cosθ，故填cosθ.
第一章 三角函数
〔跟踪练习
4〕如果
cosα＝13，且
α
是第四象限角，则
22 sin(α＋π)＝__3____.
[解析] 由诱导公式二知，
三角函数诱导公式(第1课时,上课使用)
α
−α
公式四
π −α
α
α 和 π − α 互补 sin(π − α ) = sin α
cos( − α ) = cos α tan( −α ) = − tan α
sin( −750° ) = − sin 750°
cos(π − α ) = − cos α tan(π − α ) = − tan α
1 sin150° = sin(180°− 30°) = sin30° = 2 1 cos120° = cos(180°− 60°) = −cos60° = − 2 3 π π tan π = tan(π − ) = −tan = −1 4 4 4
3 =− 2
数学应用
3 16π 练习： 练习：① sin( − )= 3 2
1 ② cos(−2040 ) = − 2
o
练习：
4π 11π o cos ① sin ② ③ tan(−1560 ) 4 3 4π π π 3 = sin(π + ) = − sin = − 解：① sin
② cos
11π 3π 3π π 2 = cos( 2π + ) = cos = cos(π − ) = − cos = − 4 4 4 4 4 2
6
4 3 2 3 4 6
1 2
3 2
°
sin α 0
cos α 1
tan α
2 2
3 2
1 2
1
sin 60° sin 45° sin 30°
− cos60° − cos45°− cos30°
0
−1 0
2 2
0
0
3 3
1
3
− tan 60°− tan 45° − tan 30° 不存在
三角函数的诱导公式(第1课时)
1.3三角函数的诱导公式（第1课时）一、复习回顾：终边相同的角的同一三角函数值相等，即有公式一：)(tan )2tan()(cos )2cos()(sin )2sin(Z k k Z k k Z k k ∈=+∈=+∈=+απααπααπα 二、提出问题(1)030角与0210角的终边有什么关系？(2)030角与0210角终边与单位圆的交点有什么关系？(3)030角与0210角的三角函数值有什么关系？(4) 045角与0225角有上述(1)至(3)的关系吗？三、探究1.给定一个角.角的终边与角的终边有什么关系？设任意角的终边与单位圆的交点坐标为，角的终边与单位圆的交点坐标为，则的坐标是什么？角的三角函数与的三角函数之间有什么关系？2.那么，角的终边与角的终边，角的终边与角的终边又有什么关系？同样，角的终边与与单位圆的交点坐标，角的终边与与单位圆的交点坐标又是什么？它们的三角函数与的三角函数之间又有什么关系？四、公式推导由三角函数的定义得： ，， ，， ，， ，， 从而得 公式二：ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(=+-=+-=+公式三：ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-公式四：ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-说明：①公式中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；五、公式应用1.利用公式求下列三角函数值：(1)0sin225＝______， (2)11cos3π=_______，(3)16tan3π⎛⎫-⎪⎝⎭=______， (4)()0sin2040-=_____.问题：(1)公式一至公式四如何用简洁的语言概括方便今后使用？，，，的三角函数值，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号.即“函数名不变，符号看象限”.(2)你能够自己归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”2.化简.六、本堂小结七、随堂练习：教材P27.1、2、3八、课堂作业：教材P29.A组1、2、3、4。
1.3 三角函数的诱导公式(第一课时)
1.3三角函数的诱导公式（第一课时）【学生能力发展目标】1. 能借助于单位圆中的三角函数线推导诱导公式.2.能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.【学习重难点】重点：能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.难点：能熟练运用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数.【使用说明及学法指导】1、阅读教材，勾画并熟记重点知识.2、对预习中理解不了的知识做好标记，在课内学习时重点关注.3、通过自主学习，合作探究，重点班完成90%以上，普通班完成80%以上的问题.4、按纲要中的要求，认真思考，完成纲要中的问题.课前预习纲要【温故知新】前面学过的诱导公式一：sin(α+k·2π)= ，cos(α+k·2π)= ，tan(α+k·2π)= （其中k∈Z）.阅读教材P23-25，填空：诱导公式二：sin(π+α)=_______，cos(π+α)=_______ ，tan(π+α)=______诱导公式三：sin(-α)=_______ ，cos(-α)=______ ，tan(-α)=_______诱导公式四：sin(π-α)=______ ，cos(π-α)=_______ ，tan(π-α)=_______【预习测评】判断下列说法正确还是错误：(1)利用诱导公式二可以把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.( )(2)利用诱导公式三可以把负角的三角函数化为正角的三角函数.( )(3)利用诱导公式四可以把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三角函数.( )(4)诱导公式二～四两边的函数名称一致.( ) (5)诱导公式中的角α只能是锐角.( )课内学习探究纲要学习任务一给角求值（自主探究）【典型例题】1.sin 585°的值为( )2.已知α和β的终边关于x轴对称，则下列各式中正确的是( )A.sin α=sin βB.sin(α-2π)=sin βC.cos α=cos βD.cos(α-2π)=-sin β3.求下列三角函数值：(1) (2)【变式训练】计算的值为( )学习任务二给值求值（合作探究）【典型例题】1.已知且α是第四象限角，则cos(α-2π)的值是( )2.已知则的值等于( )4255sin cos tan.364πππ()2sin[2n1].3π+π-sin()3π-11A.B. C.22--()3sin5π+α=，4433A. B. C. D.5555 --5sin m7π=，2cos7π第1页 (共4页) 第2页 (共4页)第34页)第4页 (共4页)3.已知的值．【变式训练】若P(-4,3)是角α终边上一点，则 的值为______.学习任务三 利用诱导公式进行化简、求值（自主探究） 【典型例题】1.化简sin 2(π-α)-cos(π+α)cos(-α)+1，结果为( ) A.1 B.2 C.0 D.2sin 2α2.化简：(1) (2)【变式训练】化简：sin(-α)cos(π+α)tan(π-α)＝____.【课堂测评】1.（C 层）tan 690°的值为( )2.（B 层）已知 ( )3.（B 层）如果α，β满足α+β=π，那么下列式子中正确的个数是( )①sin α=sin β；②sin α=-sin β；③cos α=-cos β； ④cos α=cos β；⑤tan α=-tan β. A.1 B.2 C.3 D.4 4.（B 5. （B 层） 从小到大的顺序是_______．6. （A 层）已知 的值.学习任务四、整理提高 1、知识：2、思想方法：课后巩固拓展纲要1、（C 层）理解并记忆单位圆中的三角函数线推导诱导公式.2、（B 层）已知tan(π+α)=-错误！未找到引用源。
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公式三：
-1
0 -1
1
Q（x , -y )
-α的终边
x
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
知识探究（三） 你能推导出角π-α与角α之间的三角函数值吗？ 公式四：
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
三角函数的诱导公式（一） 学习目标 :
（1）理解识记诱导公式 （2）理解和掌握公式的内涵及结构特征，会 初步运用诱导公式求三角函数的值 （3）会进行简单三角函数式的化简和证明。
温故而知新 1、任意角的三角函数的定义 α 的终边 sin y cos x P(x，y) y tan ( x 0) x 2、公式一 y
O
x
sin(2k ) sin 角函数值，转化为求0到2 cos(2k ) cos tan(2k ) tan (k Z ) 角的三角函数值。
作用：可以把任意角的三
练习：求下列三角函数值
11 1 解：(1)sin() sin(2 ) sin 6 6 6 2
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
诱导公式小结
公式一，二，三，四都叫做诱导公式。
k 2 (k Z ), , 的三 概括如下： 角函数值等于 的同名函数值， 前面加上一个把 看成锐角时原函数的符号。
(2) cos5850 cos(360 225 ) cos 2250 =?
11 (1) sin( ) 6
(2) cos585
0
知识探究（一）
角π ＋α 的终边与角α 的终边有什么关系？它们的 三角函数值之间有什么关系？ y
sin y cos x y tan x sin( ) y α 的终边 cos( ) x y P(x，y) cot( ) x
课后作业
习题1.3 A组 2,3,4 思考：已知A,B,C,是三角形ABC的三个内角， 求证 cos（2A+B+C）= -cos(A) tan(A+B)=tan(3π+C)
P29
简化成 “函数名不变，符号看象限”的口 诀。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例一 利用公式求下列三角函数值：
（1）cos225°
11 （2）sin 3
（4）cos（-2040°）
16 （3）sin 3
解： （1）cos225°=cos（180°+45°)=-cos45°= —
11 3 (2)sin =sin( 4 )=sin =— 3 3 3 2 16 (3)sin( )=-sin( 5 ) =-sin( ) 3 3 3
2 2
=sin = 3 2 3 (4)cos（-2040°）=cos2040°=cos（6*360°-120°） =cos（-120°）=cos120°=cos（180°-60°）=cos60°= — 1
2
利用诱导公式一～四，可以把任意角的三角 函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进 行：
α 的终边
P(x,y) o y
π -α 的终边
Q (-x,y) x
-α 的终边
M(x,-y)
公式一二三四如下：均叫做诱导公式
思考：各个公式有什么作用
sin(2k ) sin cos(2k ) cos tan(2k ) tan (k Z )
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
化简以下公式
sin( 180) cos( )sin( 180) sin ( ) cos(2 ) tan( )
3
小结：
（1）探究三角函数诱导公式的推导过程，理
解“函数名不变，符号看象限”。 （2）熟悉将任意角的三角函数转化到锐角三 角函数的过程。 （3）熟练掌握三角函数的诱导公式。
用公式一 任意正角的 任意负角的 三角函数 三角函数 或公式三
用公式一 锐角的三角 函数 用公式二 或公式四 0～2π 的角 的三角函数
这是一种化归与转化的数学思想 步骤：负化正 大化小 化到锐角是终了
例题2
化简
cos(180 sin( 360) sin( 180) cos(180 )
o
x
Q(-x，-y)
公式二：cos( ) cos
tan( ) tan
sin( ) sin
π+ α 的 终边
知识探究（二）
对于任意给定的一个角α ，－α 的终边与α 的终边 有什么关系？
y
1
那么它们之间的三角函
α的终边
数值有什么关系？