2015重庆市中考数学试题及答案(B卷)
(中考精品)重庆市中考数学真题(B卷)(原卷版)
重庆市2022年初中学业水平暨高中招生考试数学试卷（B 卷）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；参考公式：抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a=-． 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．1. 2-的相反数是（ ）A. 2-B. 2C. 12 D. 12- 2. 下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）A B.C. D.3. 如图，直线a b ∥，直线m 与a ，b 相交，若1115∠=︒，则2∠的度数为（ ）A. 115°B. 105°C. 75°D. 65° 4. 如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为.（ ）A. 3时B. 6时C. 9时D. 12时 5. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则ABC 与DEF 的周长之比是（ ）A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 1∶9 6. 把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）A. 15B. 13C. 11D. 97. 4的值在（ ）A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A. 2625(1)400x -=B. 2400(1)625x +=C. 2625400x =D. 2400625x =9. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． E 、F 分别为AC 、BD 上一点，且OE OF =，连接AF ，BE ，EF ．若25AFE ∠=︒，则CBE ∠的度数为（ ）A. 50°B. 55°C. 65°D. 70° 10. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P，若AC PC ==，则PB 的长为（ ）B. 32C. D. 3 11. 关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A. 13 B. 15 C. 18 D. 20 12. 对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13. 0|2|(3-+=_________．14. 不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是________．15. 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，以B 为圆心，BC 的长为半轻画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）16. 特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________．三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）17. 计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244124m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭-+． 18. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a ，高为h 的三角形的面积公式为12S ah =．想法是：以BC 为边作矩形BCFE ，点A 在边FE 上，再过点A 作BC 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A 作BC 的垂线AD 交BC 于点的D ．（只保留作图痕迹）在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，∴______①____．∵EF BC ∥，∴______②_____．又∵____③______．∴ADC CFA △≌△（AAS ）．同理可得：_____④______．11112222ABC ADC ABD ADCF AEBD BCFE S S S S S S ah =+=+== 矩形矩形矩形． 三、解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）19. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（阅读时长记为x ，67x ≤<，记为6；78x ≤<，记为7；89x ≤<，记为8；…以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，七年级抽取的学生课外阅读时长：6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11， 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表年级七年级 八年级 平均数8.3 8.3 众数a 9 中位数 8 b8小时及以上所占百分比 75% c根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a ______________，b =______________，c =______________．（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上学生人数．（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由，（写出一条理由即可）20. 反比例函数4y x =的图象如图所示，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与4y x =的图象交于(,4)A m ，(2,)B n -两点，（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式4kx b x+<解集； （3）一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求OAC 的面积． 21. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙的的施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？22. 湖中小岛上码头C 处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B 点处的快艇和湖岸A 处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C 接该游客，再沿CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C 在A 的北偏东30°方向上，B 在A 的北偏东60°方向上，且B 在C 的正南方向900米处．（1）求湖岸A 与码头C 的距离（结果精确到11.732=）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 23. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247(247)2471319÷++=÷=，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214(214)2147304÷++=÷= ，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为()F A ，最小的两位数记为()G A ，若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ．是（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，交AB 于点M ，求65PM AM +的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P '与点P 关于抛物线234y x bx c =-++的对称轴对称．将抛物线234y x bx c =-++向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P '、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．25. 在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，AD 上任意一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ，AG ．（1）如图1，点E 与点C 重合，且GF 的延长线过点B ，若点P 为FG 的中点，连接PD ，求PD 的长；（2）如图2，EF 的延长线交AB 于点M ，点N 在AC 上，AGN AEG ∠=∠且GN MF =，求证：AM AF +=；（3）如图3，F 为线段AD 上一动点，E 为AC 的中点，连接BE ，H 为直线BC 上一动点，连接EH ，将BEH △沿EH 翻折至ABC 所在平面内，得到B EH '△，连接B G '，直接写出线段B G '的长度的最小值。
2023年重庆市中考数学真题(B卷)(解析版)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题．．卡．上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1.4的相反数是（）A.14 B.14-C.4D.4-【答案】D 【解析】【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．【详解】解：4的相反数是4-，故选：D ．【点睛】本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．2.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】从正面看到的有三列，从左到右正方形的个数依次是1，1，2，据此判断即可.【详解】解：从正面看到的视图是：，故选：A .【点睛】本题考查了几何体的视图，明确从正面看到的视图是解题关键.3.如图，直线a ，b 被直线c 所截，若a b ，163∠=︒，则2∠的度数为()．A.27︒B.53︒C.63︒D.117︒【答案】C 【解析】【分析】求2∠的度数，根据平行线的性质求解即可．【详解】∵a b ，∴1263∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】此题考查了平行线的性质，解题的关键熟练掌握两直线平行，内错角相等的性质．4.如图，已知ABC EDC ∽，:2:3AC EC =，若AB 的长度为6，则DE 的长度为（）A.4B.9C.12D.13.5【答案】B 【解析】【分析】根据相似三角形的性质即可求出．【详解】解：∵ABC EDC ∽，∴::AC EC AB DE =，∵:2:3AC EC =，6AB =，∴2:36:DE =，∴9DE =，故选：B.【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.5.反比例函数6y x=的图象一定经过的点是（）A.()3,2- B.()2,3- C.()2,4-- D.()2,3【答案】D 【解析】【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k 即可判断该点在函数图象上，据此求解.【详解】解：∵()()326,236,248,236-⨯=-⨯-=--⨯-=⨯=，∴点()2,3在反比例函数6y x=的图象上，故选：D .【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键.6.用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A.14B.20C.23D.26【答案】B 【解析】【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341=⨯-；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120⨯-=；故选：B .【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n 个图案的规律为31n -是解题的关键.7.估计-的值应在（）A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间【答案】A【解析】【分析】先计算二次根式的乘法，再根据无理数的估算即可得．1=，253036<< ，<<56<<，415∴<<，故选：A ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．8.如图，AB 为O 的直径，直线CD 与O 相切于点C ，连接AC ，若50ACD ∠=︒，则BAC ∠的度数为（）A.30︒B.40︒C.50︒D.60︒【答案】B 【解析】【分析】连接OC ，先根据圆的切线的性质可得90OCD ∠=︒，从而可得40OCA ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【详解】解：如图，连接OC ，直线CD 与O 相切，OC CD ∴⊥，90OCD ∴∠=︒，50ACD ∠=︒ ，40OCA ∴∠=︒，OA OC = ，40BAC OCA ∴∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了圆的切线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握圆的切线的性质是解题关键．9.如图，在正方形ABCD 中，O 为对角线AC 的中点，E 为正方形内一点，连接BE ，BE BA =，连接CE 并延长，与ABE ∠的平分线交于点F ，连接OF ，若2AB =，则OF的长度为（）A.2B.C.1D.【答案】D 【解析】【分析】连接AF ，根据正方形ABCD 得到AB BC BE ==，90ABC ∠=︒，根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，求得45BFE ∠=︒，再证明ABF EBF ≌，求得90AFC ∠=︒，最后根据直角三角形斜边上的中点等于斜边的一半，即可求出OF 的长度．【详解】解：如图，连接AF ，四边形ABCD 是正方形，AB BE BC ∴==，90ABC ∠=︒，AC ==BEC BCE ∴∠=∠，1802EBC BEC ∴∠=︒-∠，290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒，BF 平分ABE ∠，1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒，45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒，在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAF BEF ∴△≌△，45BFE BFA ∴∠=∠=︒，90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒，O 为对角线AC的中点，12OF AC ∴==，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，直角三45BFE ∠=︒是解题的关键．10.在多项式x y z m n ----（其中)x y z m n >>>>中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：||x y z m n x y z m n ----=--+-，x y z m n x y z m n ----=---+，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据给定的定义，举出符合条件的说法①和②．说法③需要对绝对操作分析添加一个和两个绝对值的情况，并将结果进行比较排除相等的结果，汇总得出答案．【详解】解：x y z m n x y z m n ----=----，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x -，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=----；x y z m n x y z m n----=-+--；||x y z m n x y z m n----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n----=--+-；x y z m n x y z m n----=---+；x y z m n x y z m n ----=-+-+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论；需要注意去绝对值时的符号，和所有结果可能的比较．主要考查绝对值计算和分类讨论思想的应用．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的撗线上．11.计算：05(2-+=________．【答案】6【解析】【分析】根据绝对值、零指数幂法则计算即可．【详解】解：05(2516-+-=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．12.有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________．【答案】14【解析】【分析】根据列表法求概率即可求解．【详解】解：列表如下，清风朗月清清清清风清朗清月风风清风风风朗风月朗朗清朗风朗朗朗月月月清月风月朗月月共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种，∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是14，故答案为：14．【点睛】本题考查了列表法求概率，熟练掌握列表法求概率是解题的关键．13.若七边形的内角中有一个角为100︒，则其余六个内角之和为________．【答案】800︒##800度【解析】【分析】根据多边形的内角和公式()1802n ︒-即可得．【详解】解：∵七边形的内角中有一个角为100︒，∴其余六个内角之和为()180********︒⨯--︒=︒，故答案为：800︒．【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．14.如图，在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，若5AB =，6BC =，则AD 的长度为________．【答案】4【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可．【详解】解：∵在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，∴AD BC ⊥，12BD BC =，在Rt △ABD 中，5AB =，132BD BC ==，∴4AD ===，故答案为：4．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．15.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ，根据题意，请列出方程________．【答案】2301(1)500x +=【解析】【分析】根据变化前数量2(1)x ⨯+=变化后数量，即可列出方程．【详解】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ．∴第二个月新建了301(1)x +个充电桩，∴第三个月新建了2301(1)x +个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有2301(1)500x +=，故答案为2301(1)500x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用中的增长率问题，若设平均增长率为x ，则有(1)n a x b +=，其中a 表示变化前数量，b 表示变化后数量，n 表示增长次数．解决增长率问题时要注意区分变化前数量和变化后数量，同时也要注意变化前后经过了几次增长．16.如图，在矩形ABCD 中，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，连接AE DE ，，以E 为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE DE ，交于点M ，N ，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留π）【答案】4π-【解析】【分析】利用矩形的性质求得2,2AB CD BE CE ====，进而可得45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=︒，然后根据()2ABE BEM S S S =- 阴影扇形解答即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，∴12,22AB CD BE CE BC =====，90ABC DCB ∠=∠=︒，∴45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=︒，∴()2145212=22222423602ABE BEM S S S πππ⎛⎫⨯⎛⎫=-⨯⨯⨯-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭阴影扇形；故答案为：4π-．【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45︒的扇形面积是解题关键．17.若关于x 的不等式组213241x x x a x +⎧>+⎪⎨⎪+<-⎩的解集为<2x -，且关于y 的分式方程22211a y y y+++=--的解为正数，则所有满足条件的整数a 的值之和为________．【答案】13【解析】【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得5a ≤，再解分式方程可得2a >-且1a ≠，从而可得25a -<≤且1a ≠，然后将所有满足条件的整数a 的值相加即可得．【详解】解：213241x xx a x +⎧>+⎪⎨⎪+<-⎩①②，解不等式①得：<2x -，解不等式②得：13a x +<-，∵关于x 的不等式组213241x xx a x +⎧>+⎪⎨⎪+<-⎩的解集为<2x -，123a +∴-≥-，解得5a ≤，方程22211a y y y+++=--可化为()2221a y y +--=-，解得23a y +=， 关于y 的分式方程22211a y y y +++=--的解为正数，203a +∴>且2103a +-≠，解得2a >-且1a ≠，52a ∴-<≤且1a ≠，则所有满足条件的整数a 的值之和为10234513-+++++=，故答案为：13．【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．18.对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵716-=，312-=，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵816-≠，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记()()3P M a b c d =+++，()5Q M a =-，若()()P M Q M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为________．【答案】①.6200②.9313【解析】【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到()8c d a b +=+-，进而()()()485P M M a Q b a +--=，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =，再根据()()P M Q M 能被10整除求得3b =，进而可求解．【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，6a d -=，2b c -=，69a ≤≤，29b ≤≤，则()8c d a b +=+-，∴()()()348P M a b c d a b =+++=+-，∴()()()485P M M a Q b a +--=，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =，∴()()()498795b P Q b M M =+-=+-，∵()()P M Q M 能被10整除，∴3b =，∴满足条件的M 的最大值为9313，故答案为：6200，9313．【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上．19.计算：（1）()()263x x x ++-；（2）2293n m n m m -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭．【答案】（1）229x +（2）13m n-【解析】【分析】（1）先根据单项式乘以多项式的法则、完全平方公式计算，再合并同类项；（2）根据分式混合运算的法则解答即可．【小问1详解】解：()()263x x x ++-22669x x x x =++-+229x =+；【小问2详解】解：2293n m n m m -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭()()333m n m m m n m n +=⋅+-13m n=-．【点睛】本题考查了整式和分式的运算，属于基本计算题型，熟练掌握整式和分式混合运算的法则是解题的关键．20.学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC 的垂直平分线交DC 于点E ，交AB 于点F ，垂足为点O ．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 是对角线，EF 垂直平分AC ，垂足为点O ．求证：OE OF =．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=①．∵EF 垂直平分AC ，∴②．又EOC ∠=___________③．∴()COE AOF ASA ∆≅∆．∴OE OF =．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC 中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线④．【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】【分析】根据线段垂直平分线的画法作图，再推理证明即可并得到结论．【详解】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，作线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质及线段垂直平分线的作图方法是解题的关键．21.某洗车公司安装了A ，B 两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A ，B 两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x 表示，分为四个等级，不满意70x <，比较满意7080x ≤<，满意8090x ≤<，非常满意90x ≥），下面给出了部分信息．抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取的对B 款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对A ，B 款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比A88m 9645%B 8887n40%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a _______，m =_______，n =_______；（2）5月份，有600名消费者对A 款自动洗车设备进行评分，估计其中对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）15，88，98（2）90（3）A 款，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）【解析】【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得a ，再根据中位数和众数的定义求得m ，n ；（2）利用样本估计总体即可；（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．【小问1详解】解： 抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”的有6份，∴“满意”所占百分比为：6100%30%20⨯=，∴“比较满意”所占百分比为：130%45%10%15%---=，15a ∴=，抽取的对A 款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数， “不满意”和“满意”的评分有()2010%15%5⨯+=（份），∴第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，∴8789882m +==， 抽取的对B 款设备的评分数据中出现次数最多的是98，98n ∴=，故答案为：15，88，98；【小问2详解】解：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为：60015%90⨯=（人），答：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．【小问3详解】解：A 款自动洗车设备更受欢迎，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．22.如图，ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A 出发，点E 沿折线A B C →→方向运动，点F 沿折线A C B →→方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t 秒，点E ，F 的距离为y ．（1）请直接写出y 关于t 的函数表达式并注明自变量t 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E ，F 相距3个单位长度时t 的值．【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】【分析】（1）分两种情况：当04t <≤时，根据等边三角形的性质解答；当46t <≤时，利用周长减去2AE 即可；（2）在直角坐标系中描点连线即可；（3）利用3y =分别求解即可．【小问1详解】解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；【小问2详解】函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；【小问3详解】当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -= 4.5t =，故t 的值为3或4.5．【点睛】此题考查了动点问题，一次函数的图象及性质，解一元一次方程，正确理解动点问题是解题的关键．23.某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同．（1）求甲、乙两区各有农田多少亩？（2）在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍（每架次无人机喷洒时间相同），喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒503亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？【答案】（1）甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩（2）100亩【解析】【分析】（1）设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x -亩，根据甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同建立方程，解方程即可得；（2）设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y ⎛⎫- ⎪⎝⎭亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次，根据两区喷洒的面积相同建立方程，解方程即可得．【小问1详解】解：设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x -亩，由题意得：80%10000x x =-，解得50000x =，则10000500001000040000x -=-=，答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．【小问2详解】解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y ⎛⎫-⎪⎝⎭亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次，由题意得：5031.2ay a y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5031.2y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得100y =，答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．24.人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A ，B 养殖场捕捞海产品，经测量，A 在灯塔C 的南偏西60︒方向，B 在灯塔C 的南偏东45︒方向，且在A 的正东方向，3600AC =米．（1）求B 养殖场与灯塔C 的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B 处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米/每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B 处？（参考数据：1.414≈ 1.732≈）【答案】（1）2545米（2）能，说明过程见解析【解析】【分析】（1）过点C 作CD AB ⊥于点D ，先根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定可得118002BD CD AC ===米，再解直角三角形即可得；（2）先解直角三角形求出AD 的长，从而可得AB 的长，再根据时间等于路程除以速度即可得．【小问1详解】解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由题意得：60,45ACD BCD ∠=︒∠=︒，30,45A B BCD ∴∠=︒∠=∠=︒，118002BD CD AC ∴===米，2545sin 45CD BC ∴=≈︒米，答：B 养殖场与灯塔C 的距离为2545米．【小问2详解】解：sin 60AD AC =⋅︒=()1800AB AD BD ∴=+=米，则甲组到达B 处所需时间为()180060038.196+÷=≈（分钟）9<分钟，所以甲组能在9分钟内到达B 处．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中()3,0B ，()0,3C -．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，过点P 作PD AC ⊥于点D ，求PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF 为腰的QEF △是等腰三角形的点Q 的坐标，并把求其中一个点Q 的坐标的过程写出来．【答案】（1）211344y x x =+-（2）PD 取得最大值为45，52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）Q 点的坐标为9,12⎛⎫-⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）直线AC 的解析式为334y x =-，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q ，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则45PD PQ =，进而根据二次函数的性质即可求解；（3）根据平移的性质得出219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,2F ，勾股定理分别表示出222,,EF QE QF ，进而分类讨论即可求解．【小问1详解】解：将点()3,0B ，()0,3C -．代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+-，【小问2详解】∵211344y x x =+-与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +-=解得：124,3x x =-=，∴()4,0A -,∵()0,3C -．设直线AC 的解析式为3y kx =-，∴430k --=解得：34k =-∴直线AC 的解析式为334y x =--，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴223111334444PQ t t t t t ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =，∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=，∴()222441141425545555PD PQ t t t t t ⎛⎫==--=--=-++ ⎪⎝⎭，∴当2t =-时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +-=⨯-+⨯--=-，∴52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；【小问3详解】∵抛物线211344y x x =+-211494216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()0,2F ,∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当QF EF =时，()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1174，解得：1m =-或5m =，当QE QF =时，2295322m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭=()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得：74m =综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫-⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，解直角三角形，待定系数法求解析式，二次函数的平移，线段周长问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26.如图，在等边ABC 中，AD BC ⊥于点D ，E 为线段AD 上一动点（不与A ，D 重合），连接BE ，CE ，将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF ，连接AF ．（1）如图1，求证：CBE CAF ∠=∠；（2）如图2，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EF ，EF 与DG 所在直线交于点H ，求证：EH FH =；（3）如图3，连接BF 交AC 于点G ，连接DG ，EG ，将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，连接PQ ，QF ．若4AB =，直接写出PQ QF +的最小值．【答案】（1）见解析（2）见解析（32+【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得出CE CF =，60ECF ∠=︒，进而证明()SAS BCE ACF ≌△△，即可得证；（2）过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD ，证明四边形四边形EDFK 是平行四边形，即可得证；（3）如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，根据折叠的性质可得30PAG EAG ∠=∠=︒，30QDG EDG ∠=∠=︒，进而得出ADR 是等边三角形，由（2）可得Rt Rt CED CFG ≌，得出四边形GDQF 是平行四边形，则122QF DC AC ===，进而得出3602120PGQ AGD ∠=︒-∠=︒，则PQ ==，当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，即可求解．【小问1详解】证明：∵ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =，∵将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF ，∴CE CF =，60ECF ∠=︒∴ACB ECF∠=∠∴ACB ACE ECF ACE-=-∠∠∠∠即BCE ACF∠=∠在BCE 和ACF △中EC FC BCE ACF BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCE ACF ≌△△，∴CBE CAF ∠=∠；【小问2详解】证明：如图所示，过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD ，∵ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵AD BC⊥∴BD CD=∴AD 垂直平分BC ，∴EB EC=又∵BCE ACF ≌，∴,AF BE CF CE ==，∴AF CF =,∴F 在AC 的垂直平分线上，∵AB BC=∴B 在AC 的垂直平分线上，∴BF 垂直平分AC∴AC BF ⊥，12AG CG AC ==∴90AGF ∠=︒又∵12DG AC CG ==，60ACD ∠=︒∴DCG △是等边三角形，∴60CGD CDG ∠=∠=︒∴60AGH DGC ∠=∠=︒∴906030KGF AGF AGH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又∵906030ADK ADC GDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，KF AD∥∴30FKG KGF ∠=∠=︒，∴FG FK=在Rt CED 与Rt CGF △中，CF CE CD CG=⎧⎨=⎩∴Rt Rt CED CFG≌∴GF ED=∴ED FK=∴四边形EDFK 是平行四边形，∴EH HF =；【小问3详解】解：依题意，如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，∴30EDG ∠=︒∵将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，∴30PAG EAG ∠=∠=︒，30QDG EDG ∠=∠=︒∴60PAE QDE ∠=∠=︒，∴ADR 是等边三角形，∴906030QDC ADC ADQ ∠=∠-∠=︒-︒=︒由（2）可得Rt Rt CED CFG≌∴DE GF =，∵DE DQ =，∴GF DQ =，∴GF DQ∥∴四边形GDQF 是平行四边形，∴122QF DG AC ===由（2）可知G 是AC 的中点，则GA GD=∴30GAD GDA ∠=∠=︒∴120AGD ∠=︒∵折叠，120AGP DGQ AGE DGE AGD ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴3602120PGQ AGD ∠=︒-∠=︒，又PG GE GQ ==，∴PQ ==，∴当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，此时如图所示，∴11122GQ GC DC ===，∴PQ =，∴2PQ QF +=+．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．。
2017年重庆市中考数学试卷(B卷)(含答案解析)
2017年重庆市中考数学试卷（B卷）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．2．（4分）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）计算a5÷a3结果正确的是（）A．a B．a2C．a3D．a44．（4分）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查B．对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查C．对某校九年级三班学生视力情况的调查D．对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查5．（4分）估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间6．（4分）若x=﹣3，y=1，则代数式2x﹣3y+1的值为（）A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．107．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=38．（4分）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：19．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以A、C为圆心，AD、CB 为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π10．（4分）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（）A．116 B．144 C．145 D．15011．（4分）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米12．（4分）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣3二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）据统计，2017年五一假日三天，重庆市共接待游客约为14300000人次，将数14300000用科学记数法表示为．14．（4分）计算：|﹣3|+（﹣4）0=．15．（4分）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC=度．16．（4分）某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是个．17．（4分）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B 地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需分钟到达终点B．18．（4分）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）19．（8分）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．20．（8分）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富，某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．四、简答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．（10分）计算：（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）；（2）（a+2﹣）÷．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=，点B的坐标为（4，n）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH的面积．23．（10分）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．24．（10分）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．五、解答题（本大题2个小题，第25小题10分、第26小题12分，共22分）25．（10分）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上．（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2﹣x﹣沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2017年重庆市中考数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1．（4分）（2017•重庆）5的相反数是（）A．﹣5 B．5 C．﹣ D．【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．【解答】解：5的相反数是﹣5，故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．（4分）（2017•重庆）下列图形中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．（4分）（2017•重庆）计算a5÷a3结果正确的是（）A．a B．a2C．a3D．a4【分析】根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，求出a5÷a3的计算结果是多少即可．【解答】解：a5÷a3=a2故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．4．（4分）（2017•重庆）下列调查中，最适合采用抽样调查的是（）A．对某地区现有的16名百岁以上老人睡眠时间的调查B．对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查C．对某校九年级三班学生视力情况的调查D．对某市场上某一品牌电脑使用寿命的调查【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．【解答】解：A、人数不多，容易调查，适合普查．B、对“神舟十一号”运载火箭发射前零部件质量情况的调查必须准确，故必须普查；C、班内的同学人数不多，很容易调查，因而采用普查合适；D、数量较大，适合抽样调查；故选D．【点评】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义是解题的关键．5．（4分）（2017•重庆）估计+1的值在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间【分析】先估算出的范围，即可得出答案．【解答】解：∵3＜＜4，∴4＜+1＜5，即+1在4和5之间，故选C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．6．（4分）（2017•重庆）若x=﹣3，y=1，则代数式2x﹣3y+1的值为（）A．﹣10 B．﹣8 C．4 D．10【分析】代入后求出即可．【解答】解：∵x=﹣3，y=1，∴2x﹣3y+1=2×（﹣3）﹣3×1+1=﹣8，故选B．【点评】本题考查了求代数式的值，能正确代入是解此题的关键，注意：代入负数时要有括号．7．（4分）（2017•重庆）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x=3【分析】分式有意义的条件是分母不为0．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣3≠0，∴x≠3；故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．8．（4分）（2017•重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选A【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．9．（4分）（2017•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，分别以A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（）A．4﹣2πB．8﹣C．8﹣2πD．8﹣4π【分析】用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积．【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD=CB=2，∴S阴影=S矩形﹣S半圆=2×4﹣π×22=8﹣2π，故选C．【点评】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大．10．（4分）（2017•重庆）下列图象都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，…，按此规律排列下去，第⑨个图形中的颗数为（）A．116 B．144 C．145 D．150【分析】根据题意图形得出小星星的个数变化规律，即可的得出答案．【解答】解：∵4=1×2+2，11=2×3+2+321=3×4+2+3+4第4个图形为：4×5+2+3+4+5，∴第⑨个图形中的颗数为：9×10+2+3+4+5+6+7+8+9+10=144．故选：B．【点评】此题主要考查了图形变化规律，正确得出每个图形中小星星的变化情况是解题关键．11．（4分）（2017•重庆）如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C 与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1：2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）（）A．29.1米B．31.9米C．45.9米D．95.9米【分析】根据坡度，勾股定理，可得DE的长，再根据平行线的性质，可得∠1，根据同角三角函数关系，可得∠1的坡度，根据坡度，可得DF的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：作DE⊥AB于E点，作AF⊥DE于F点，如图，设DE=xm，CE=2.4xm，由勾股定理，得x2+（2.4x）2=1952，解得x≈75m，DE=75m，CE=2.4x=180m，EB=BC﹣CE=306﹣180=126m．∵AF∥DG，∴∠1=∠ADG=20°，tan∠1=tan∠ADG==0.364．AF=EB=126m，tan∠1==0.364，DF=0.364AF=0.364×126=45.9，AB=FE=DE﹣DF=75﹣45.9≈29.1m，故选：A．【点评】本题考查了解直角三角形，利用坡度及勾股定理得出DE，CE的长是解题关键．12．（4分）（2017•重庆）若数a使关于x的不等式组有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程+=2有非负数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．3 B．1 C．0 D．﹣3【分析】先解不等式组，根据不等式组有且仅有四个整数解，得出﹣4＜a≤3，再解分式方程+=2，根据分式方程有非负数解，得到a≥﹣2且a≠2，进而得到满足条件的整数a的值之和．【解答】解：解不等式组，可得，∵不等式组有且仅有四个整数解，∴﹣1≤﹣＜0，∴﹣4＜a≤3，解分式方程+=2，可得y=（a+2），又∵分式方程有非负数解，∴y≥0，且y≠2，即（a+2）≥0，（a+2）≠2，解得a≥﹣2且a≠2，∴﹣2≤a≤3，且a≠2，∴满足条件的整数a的值为﹣2，﹣1，0，1，3，∴满足条件的整数a的值之和是1．故选：B．【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题时注意：使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）13．（4分）（2017•重庆）据统计，2017年五一假日三天，重庆市共接待游客约为14300000人次，将数14300000用科学记数法表示为 1.43×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：14300000=1.43×107，故答案为：1.43×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（4分）（2017•重庆）计算：|﹣3|+（﹣4）0=4．【分析】分别计算﹣3的绝对值和（﹣4）的0次幂，然后把结果求和．【解答】原式=3+1=4．【点评】本题考查了绝对值的意义和零指数幂．a0=1（a≠0）．15．（4分）（2017•重庆）如图，OA、OC是⊙O的半径，点B在⊙O上，连接AB、BC，若∠ABC=40°，则∠AOC=80度．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ABC与AOC是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°，∴∠AOC=2∠ABC=80°．故答案为：80．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．16．（4分）（2017•重庆）某同学在体育训练中统计了自己五次“1分钟跳绳”成绩，并绘制了如图所示的折线统计图，这五次“1分钟跳绳”成绩的中位数是183个．【分析】把这组数据从小到大排列，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．【解答】解：由图可知，把数据从小到大排列的顺序是：180、182、183、185、186，中位数是183．故答案是：183．【点评】此题考查了中位数和折线统计图，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．17．（4分）（2017•重庆）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需78分钟到达终点B．【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是1÷6=千米/分钟，由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16×=16，解得x=千米/分钟，相遇后乙到达A站还需（16×）÷=2分钟，相遇后甲到达B站还需（10×）÷=80分钟，当乙到达终点A时，甲还需80﹣2=78分钟到达终点B，故答案为：78．【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键．18．（4分）（2017•重庆）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG 沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN 的周长是．【分析】解法一：如图1，作辅助线，构建全等三角形，根据全等三角形对应边相等证明FQ=BQ=PE=1，△DEF是等腰直角三角形，利用勾理计算DE=EF=，PD==3，如图2，由平行相似证明△DGC∽△FGA，列比例式可得FG 和CG的长，从而得EG的长，根据△GHF是等腰直角三角形，得GH和FH的长，利用DE∥GM证明△DEN∽△MNH，则，得EN=，从而计算出△EMN 各边的长，相加可得周长．解法二，将解法一中用相似得出的FG和CG的长，利用面积法计算得出，其它解法相同．解法三：作辅助线构建正方形和全等三角形，设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2，求x的值得到PF=1，AE的长；由△DGC和△FGA相似，求AG和GE的长；证△GHF 和△FKM全等，所以GH=FK=4/3，HF=MK=2/3，ML=AK=10/3，DL=AD﹣MK=10/3，即DL=LM，所以DM在正方形对角线DB上，设NI=y，列比例式可得NI的长，分别求MN和EN的长，相加可得结论．【解答】解：解法一：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，∵DC∥AB，∴PQ⊥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACD=45°，∴△PEC是等腰直角三角形，∴PE=PC，设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，∴PD=EQ，∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，∴△DPE≌△EQF，∴DE=EF，易证明△DEC≌△BEC，∴DE=BE，∴EF=BE，∵EQ⊥FB，∴FQ=BQ=BF，∵AB=4，F是AB的中点，∴BF=2，∴FQ=BQ=PE=1，∴CE=，Rt△DAF中，DF==2，∵DE=EF，DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF==，∴PD==3，如图2，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴==2，∴CG=2AG，DG=2FG，∴FG=×=，∵AC==4，∴CG=×=，∴EG=﹣=，连接GM、GN，交EF于H，∵∠GFE=45°，∴△GHF是等腰直角三角形，∴GH=FH==，∴EH=EF﹣FH=﹣=，由折叠得：GM⊥EF，MH=GH=，∴∠EHM=∠DEF=90°，∴DE∥HM，∴△DEN∽△MNH，∴，∴==3，∴EN=3NH，∵EN+NH═EH=，∴EN=，∴NH=EH﹣EN=﹣=，Rt△GNH中，GN===，由折叠得：MN=GN，EM=EG，∴△EMN的周长=EN+MN+EM=++=；解法二：如图3，过G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，∵AC平分∠DAB，∴GK=GR，∴====2，∵==2，∴，同理，==3，其它解法同解法一，可得：∴△EMN的周长=EN+MN+EM=++=；解法三：如图4，过E作EP⊥AP，EQ⊥AD，∵AC是对角线，∴EP=EQ，易证△DQE和△FPE全等，∴DE=EF，DQ=FP，且AP=EP，设EP=x，则DQ=4﹣x=FP=x﹣2，解得x=3，所以PF=1，∴AE==3，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴同解法一得：CG=×=，∴EG=﹣=，AG=AC=，过G作GH⊥AB，过M作MK⊥AB，过M作ML⊥AD，则易证△GHF≌△FKM全等，∴GH=FK=，HF=MK=，∵ML=AK=AF+FK=2+=，DL=AD﹣MK=4﹣=，即DL=LM，∴∠LDM=45°∴DM在正方形对角线DB上，过N作NI⊥AB，则NI=IB，设NI=y，∵NI∥EP∴∴，解得y=1.5，所以FI=2﹣y=0.5，∴I为FP的中点，∴N是EF的中点，∴EN=0.5EF=，∵△BIN是等腰直角三角形，且BI=NI=1.5，∴BN=，BK=AB﹣AK=4﹣=，BM=，MN=BN﹣BM=﹣=，∴△EMN的周长=EN+MN+EM=++=；故答案为：．【点评】本题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、三角形全等、相似的性质和判定、勾股定理，三角函数，计算比较复杂，作辅助线，构建全等三角形，计算出PE的长是关键．三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）19．（8分）（2017•重庆）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．【分析】由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC的度数．【解答】解：∵EF∥GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°．【点评】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．20．（8分）（2017•重庆）中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富，某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为72度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．【分析】（1）由周角乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心距度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．【解答】解：（1）360°（1﹣40%﹣25%﹣15%）=72°；故答案为：72；全年级总人数为45÷15%=300（人），“良好”的人数为300×40%=120（人），将条形统计图补充完整，如图所示：（2）画树状图，如图所示：共有12个可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2个，∴P（选中的两名同学恰好是甲、丁）==．【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，要熟练掌握．四、简答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．（10分）（2017•重庆）计算：（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）；（2）（a+2﹣）÷．【分析】（1）按从左往右的顺序进行运算，先乘方再乘法；（2）把（a+2}看成分母是1的分数，通分后作乘法，最后的结果需化成最简分式．【解答】解：（1）（x+y）2﹣x（2y﹣x）=x2+2xy+y2﹣2xy+x2=2x2+y2；（2）（a+2﹣）÷=（）×==．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，运算过程中注意运算顺序．分式的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减．有括号的先算括号里面的．注意分式运算的结果需化为最简分式．22．（10分）（2017•重庆）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y=（k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，过点A作AH⊥x轴于点H，点O是线段CH的中点，AC=4，cos∠ACH=，点B 的坐标为（4，n）（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）求△BCH的面积．【分析】（1）首先利用锐角三角函数关系得出HC的长，再利用勾股定理得出AH 的长，即可得出A点坐标，进而求出反比例函数解析式，再求出B点坐标，即可得出一次函数解析式；（2）利用B点坐标的纵坐标再利用HC的长即可得出△BCH的面积．【解答】解：（1）∵AH⊥x轴于点H，AC=4，cos∠ACH=，∴==，解得：HC=4，∵点O是线段CH的中点，∴HO=CO=2，∴AH==8，∴A（﹣2，8），∴反比例函数解析式为：y=﹣，∴B（4，﹣4），∴设一次函数解析式为：y=kx+b，则，解得：，∴一次函数解析式为：y=﹣2x+4；（2）由（1）得：△BCH的面积为：×4×4=8．【点评】此题主要考查了反比例函数与一次函数解析式求法以及三角形面积求法，正确得出A点坐标是解题关键．23．（10分）（2017•重庆）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．【解答】解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，根据题意得：400﹣x≤7x，解得：x≥50，答：该果农今年收获樱桃至少50千克；（2）由题意可得：100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，整理可得：8y2﹣y=0解得：y1=0，y2=0.125∴m1=0（舍去），m2=12.5∴m2=12.5，答：m的值为12.5．【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是解题关键．24．（10分）（2017•重庆）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F，C，B四点共圆，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF与△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，四点共圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．五、解答题（本大题2个小题，第25小题10分、第26小题12分，共22分）25．（10分）（2017•重庆）对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n=243和n=617代入F（n）中，即可求出结论；（2）由s=100x+32、t=150+y结合F（s）+F（t）=18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，将其代入k=中，找出最大值即可．【解答】解：（1）F（243）=（423+342+234）÷111=9；F（617）=（167+716+671）÷111=14．（2）∵s，t都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y，。
2015年重庆中考数学真题卷含答案解析
2015年重庆市初中毕业暨高中招生考试数学试题（含答案全解全析）参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(-b2a ,4ac-b24a),对称轴为x=-b2a.第Ⅰ卷(选择题,共48分)一、选择题:(本大题共12个小题,每小题4分,共48分)在每个小题的下面,都给出了代号为A、B、C、D的四个答案,其中只有一个是正确的.1.在-4,0,-1,3这四个数中,最大的数是( )A.-4B.0C.-1D.32.下列图形是轴对称图形的是( )3.化简√12的结果是( )A.4√3B.2√3C.3√2D.2√64.计算(a2b)3的结果是( )A.a6b3B.a2b3C.a5b3D.a6b5.下列调查中,最适合用普查方式的是( )A.调查一批电视机的使用寿命情况B.调查某中学九年级一班学生的视力情况C.调查重庆市初中学生每天锻炼所用的时间情况D.调查重庆市初中学生利用网络媒体自主学习的情况6.如图,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB,CD相交于点G,H.若∠1=135°,则∠2的度数为( )A.65°B.55°C.45°D.35°7.在某校九年级二班组织的跳绳比赛中,第一小组五位同学跳绳的个数分别为198,230,220,216,209,则这五个数据的中位数为( )A.220B.218C.216D.2098.一元二次方程x2-2x=0的根是( )A.x1=0,x2=-2B.x1=1,x2=2C.x1=1,x2=-2D.x1=0,x2=29.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,AE是☉O的切线,A为切点,连结BC并延长交AE于点D.若∠AOC=80°,则∠ADB的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.20°10.今年“五一”节,小明外出爬山,他从山脚爬到山顶的过程中,中途休息了一段时间.设他从山脚出发后所用时间为t(分钟),所走的路程为s(米),s与t之间的函数关系如图所示.下列说法错误的是( )··A.小明中途休息用了20分钟B.小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C.小明在上述过程中所走的路程为6600米D.小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度11.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,……,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A.21B.24C.27D.3012.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为( )标分别为3,1,反比例函数y=3xA.2B.4C.2√2D.4√2第Ⅱ卷(非选择题,共102分)二、填空题:(本大题6个小题,每小题4分,共24分)13.我国“南仓”级远洋综合补给舰满载排水量为37000吨,把数37000用科学记数法表示为.14.计算:20150-|2|= .15.已知△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为4∶1,则△ABC与△DEF对应边上的高之比为.16.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AB=4√2.以A为圆心,AC长为半径作弧,交AB 于点D,则图中阴影部分的面积是.(结果保留π)的解, 17.从-3,-2,-1,0,4这五个数中随机抽取一个数记为a,a的值既是．不等式组{2x+3<4,3x-1>-11又在函数y=1的自变量取值范围内的概率是.2x2+2x18.如图,在矩形ABCD中,AB=4√6,AD=10,连结BD,∠DBC的角平分线BE交DC于点E,现把△BCE绕点B逆时针旋转,记旋转后的△BCE为△BC'E'.当射线BE'和射线BC'都与线段AD相交时,设交点分别F,G.若△BFD为等腰三角形,则线段DG长为.三、解答题:(本大题2个小题,每小题7分,共14分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线).19.解方程组{y=2x-4,①3x+y=1.②20.如图,在△ABD和△FEC中,点B,C,D,E在同一直线上,且AB=FE,BC=DE,∠B=∠E.求证:∠ADB=∠FCE.四、解答题:(本大题4个小题,每小题10分,共40分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线). 21.计算:(1)y(2x-y)+(x+y)2;(2)(y -1-8y+1)÷y 2-6y+9y 2+y.22.为贯彻政府报告中“全民创新,万众创业”的精神,某镇对辖区内所有小微企业按年利润w(万元)的多少分为以下四个类型:A 类(w<10),B 类(10≤w<20),C 类(20≤w<30),D 类(w ≥30),该镇政府对辖区内所有的小微企业的相关信息进行统计后,绘制成以下条形统计图和扇形统计图,请你结合图中信息解答下列问题:(1)该镇本次统计的小微企业总个数是 ,扇形统计图中B 类所对应扇形圆心角的度数为 度,请补全条形统计图;(2)为进一步解决小微企业在发展中的问题,该镇政府准备召开一次座谈会,每个企业派一名代表参会.计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言,D类企业的4个参会代表中有2个来自高新区,另2个来自开发区.请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率.23.如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12 321,从最高位到个位依次排出的一串数字是:1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是:1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”.再如22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”.(1)请你直接写出3个四位“和谐数”;请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除,并说明理由;(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字为x(1≤x≤4,x为自然数),十位上的数字为y,求y与x的函数关系式.24.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD,其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC,PC 正前方有两艘渔船M,N,观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°,渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直,垂足为E,且PE长为30米.(1)求两渔船M,N之间的距离(结果精确到1米);(2)已知坝高24米,坝长100米,背水坡AD的坡度i=1∶0.25.为提高大坝防洪能力,请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固,坝底BA加宽后变为BH,加固后背水坡DH的坡度i=1∶1.75,施工队施工10天后,为尽快完成加固任务,施工队增加了机械设备,工作效率提高到原来的2倍,结果比原计划提前20天完成加固任务.施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米?(参考数据:tan31°≈0.60,sin31°≈0.52)五、解答题:(本大题2个小题,每小题12分,共24分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤,画出必要的图形(包括作辅助线).25.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°.点E是∠BAC角平分线上一点.过点E作AE 的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连结DB,点F是BD的中点.DH⊥AC,垂足为H,连结EF,HF.(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2√3,求AB,BD的长;(2)如图1,求证:HF=EF;(3)如图2,连结CF,CE.猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,请说明理由.图1图226.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-√3x2+√3x+3√3交x轴于A,B两点(点A在点B的4左侧),交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴的交点为D.(1)求直线BC的解析式;(2)点E(m,0),F(m+2,0)为x轴上两点,其中2<m<4,EE',FF'分别垂直于x轴,交抛物线于点E',F',交BC于点M,N,当ME'+NF'的值最大时,在y轴上找一点R,使|RF'-RE'|的值最大,请求出R点的坐标及|RF'-RE'|的最大值;(3)如图2,已知x轴上一点P(9,0),现以P为顶点,2√3为边长在x轴上方作等边三角形QPG,2使GP⊥x轴.现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移,当点P到达点A时停止.记平移后的△QPG为△Q'P'G',设△Q'P'G'与△ADC的重叠部分面积为s,当点Q'到x轴的距离与点Q'到直线AW的距离相等时,求s的值.图1图2答案全解全析：一、选择题1.D3>0>-1>-4,所以最大的数是3,故选D.2.A A选项是轴对称图形,B、C、D选项都不是轴对称图形,故选A.3.B√12=√4×3=2√3,故选B.4.A(a2b)3=(a2)3·b3=a6b3,故选A.5.B A、C、D选项适合抽样调查,B选项适合普查,故选B.6.C因为AB∥CD,所以∠2=∠BGE,因为∠BGE=180°-∠1=45°,所以∠2=45°,故选C.7.C把五个数据从小到大排列为198,209,216,220,230,则中位数是216,故选C.8.D x2-2x=0,x(x-2)=0,解得x1=0,x2=2,故选D.∠AOC=40°,∴∠ADB=90°-∠B=50°,故选9.B∵AE是☉O的切线,∴∠BAE=90°,∵∠B=12B.10.C从题图可看出A选项正确;小明休息前爬山的平均速度为2 800=70米/分钟,休息后爬40山的平均速度为3 800-2 800=25米/分钟,所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的100-60平均速度,B、D选项正确;从题图看出小明所走的总路程为3800米,所以C选项错误,故选C.11.B第①个图形中有2×3=6个小圆圈;第②个图形中有3×3=9个小圆圈;第③个图形中有3×4=12个小圆圈;……;第⑦个图形中有3×8=24个小圆圈,故选B.12.D由题意可得A(1,3),B(3,1),底边BC=AB=√(3-1)2+(1-3)2=2√2,菱形BC边上的高为3-1=2,所以菱形ABCD的面积是4√2,故选D.评析本题重点考查反比例函数的图象与性质,平面直角坐标系内线段长度的计算方法,试题新颖别致,属于中等难度题.二、填空题13.答案 3.7×104解析37000=3.7×104.14.答案-1解析20150-|2|=1-2=-1.15.答案4∶1解析两个相似三角形对应边上的高之比等于相似比,所以答案是4∶1.16.答案8-2π解析 在Rt △ABC 中,BC=AC=AB ·cos 45°=4,所以阴影部分的面积为12×4×4-45π·42360=8-2π. 17.答案 25解析 解不等式组{2x +3<4,3x -1>-11,得-103<x<12①,函数y=12x 2+2x 的自变量的取值范围是x ≠0且x ≠-1②,从-3,-2,-1,0,4这五个数中随机抽取一个数,共有5种可能,其中同时满足①②的有-3,-2,共2种可能,所以所求的概率是25. 18.答案 9817解析 过点F 作FH ∥BD 交BG 的延长线于点H,在矩形ABCD 中,BD=√(4√6)2+102=14,∵AD ∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵BE平分∠DBC,∴∠FBG=∠EBC=12∠DBC,∴∠FBG=12∠FDB,由题可得BF=FD,∴∠FBD=∠FDB,∴∠FBG=12∠FBD,∴∠FBG=∠GBD,∵FH ∥BD,∴∠H=∠GBD,∴∠H=∠F BG,∴FB=FH=FD,设FD=x(x>0),在Rt △ABF 中,由勾股定理得BF 2=AF 2+AB 2,即x 2=(10-x)2+(4√6)2,解得x=495,∴FB=FH=FD=495.∵FH ∥BD,∴△FHG ∽△DBG,∴FH BD =FGGD ,设GD=y(y>0),∴49514=495-y y,解得y=9817,∴GD=9817.评析 本题重点考查勾股定理,矩形的性质,相似三角形的性质与判定,方程思想等,综合性较强,属于难题.三、解答题19.解析 将①代入②,得3x+2x-4=1,(2分)解得x=1.(4分)将x=1代入①,得y=-2.(6分) 所以原方程组的解是{x =1,y =-2.(7分)20.证明 ∵BC=DE,∴BC+CD=DE+CD,即DB=CE.(3分) 又∵AB=FE,∠B=∠E,∴△ABD ≌△FEC.(6分) ∴∠ADB=∠FCE.(7分)四、解答题21.解析 (1)原式=2xy-y 2+x 2+2xy+y 2(3分) =x 2+4xy.(5分)(2)原式=[(y+1)(y -1)y+1-8y+1]÷(y -3)2y(y+1)(8分)=(y+3)(y -3)y+1·y(y+1)(y -3)2(9分)=y 2+3yy -3.(10分)22.解析 (1)25;72.补全条形统计图如下:某镇各类型小微企业个数条形统计图(6分)(2)记来自高新区的2个代表为A 1,A 2,来自开发区的2个代表为B 1,B 2,画树状图如下:(8分)或列表如下:第一个第二个A1A2B1B2A1(A2,A1)(B1,A1)(B2,A1)A2(A1,A2)(B1,A2)(B2,A2)B1(A1,B1)(A2,B1)(B2,B1)B2(A1,B2)(A2,B2)(B1,B2)(8分)由树状图或列表可知,共有12种等可能情况,其中2个发言代表都来自高新区的有2种.所以,2个发言代表都来自高新区的概率P=212=16.(10分)23.解析(1)写出3个满足条件的数即可.(千位上的数字与个位上的数字相同,百位上的数字与十位上的数字相同)猜想:任意一个四位“和谐数”能被11整除.设一个四位“和谐数”个位上的数字为a(1≤a≤9且a为自然数),十位上的数字为b(0≤b≤9且b 为自然数),则这个四位“和谐数”可表示为1000a+100b+10b+a.∵1000a+100b+10b+a=1001a+110b=11×91a+11×10b=11(91a+10b),∴1000a+100b+10b+a能被11整除,即任意一个四位“和谐数”能被11整除.(5分)(2)∵这个三位“和谐数”的个位上的数字为x,十位上的数字为y,∴这个三位“和谐数”可表示为100x+10y+x.(6分)∵100x+10y+x=99x+11y+2x-y=11(9x+y)+(2x-y),又这个三位“和谐数”能被11整除,且x,y是自然数,∴2x -y 能被11整除.(8分) ∵1≤x ≤4,0≤y ≤9,∴2x -y=0.∴y 与x 的函数关系式为y=2x(1≤x ≤4且x 为自然数).(10分)24.解析 (1)由题意得,∠E=90°,∠PME=∠α=31°,∠PNE=∠β=45°,PE=30米. 在Rt △PEN 中,PE=NE=30(米).(2分) 在Rt △PEM 中,tan 31°=PEME , ∴ME ≈300.60=50(米).(4分)∴MN=ME -NE=50-30=20(米).答:两渔船M,N 之间的距离约为20米.(5分) (2)过点D 作DG ⊥AB 于G,坝高DG=24米.∵背水坡AD 的坡度i=1∶0.25,∴DG∶AG=1∶0.25. ∴AG=6(米).∵加固后背水坡DH 的坡度i=1∶1.75,∴DG∶GH=1∶1.75, ∴GH=42(米).∴AH=GH -GA=42-6=36(米).(6分) ∴S △ADH =12AH ·DG=12×36×24=432(平方米).∴需要填筑土石方432×100=43 200(立方米).(7分) 设施工队原计划平均每天填筑土石方x 立方米, 根据题意,得10+43 200-10x =43 200-20.(9分)解方程,得x=864.经检验,x=864是原方程的根且符合题意.答:施工队原计划平均每天填筑土石方864立方米.(10分)五、解答题25.解析(1)∵点H是AC的中点,AC=2√3,∴AH=1AC=√3.(1分)2∵∠ACB=90°,∠BAC=60°,∴∠ABC=30°,∴AB=2AC=4√3.(2分)∵DA⊥AB,DH⊥AC,∴∠DAB=∠DHA=90°.∴∠DAH=30°,∴AD=2.(3分)在Rt△ADB中,∵∠DAB=90°,∴BD2=AD2+AB2.∴BD=√22+(4√3)2=2√13.(4分)(2)证明:连结AF,如图.∵F是BD的中点,∠DAB=90°,∴AF=DF,∴∠FDA=∠FAD.(5分)∵DE⊥AE,∴∠DEA=90°.∵∠DHA=90°,∠DAH=30°,∴DH=1AD.∠BAC=30°.∵AE平分∠BAC,∴∠CAE=12∴∠DAE=60°,∴∠ADE=30°.∴AE=1AD,∴AE=DH.(6分)∵∠FDA=∠FAD,∠HDA=∠EAD=60°,∴∠FDA-∠HDA=∠FAD-∠EAD.∴∠FDH=∠FAE.(7分)∴△FDH≌△FAE(SAS).∴FH=FE.(8分)(3)△CEF是等边三角形.(9分)理由如下:取AB的中点G,连结FG,CG.如图.∵F 是BD 的中点,∴FG ∥DA,FG=12DA. ∴∠FGA=180°-∠DAG=90°, 又∵AE=12AD,∴AE=FG. 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°, 点G 为AB 的中点,∴CG=AG.又∵∠CAB=60°,∴△GAC 为等边三角形.(10分) ∴AC=CG,∠ACG=∠AGC=60°. ∴∠FGC=30°,∴∠FGC=∠EAC. ∴△FGC ≌△EAC(SAS).(11分)∴CF=CE,∠ACE=∠GCF.∵∠ECF=∠ECG+∠GCF=∠ECG+∠ACE=∠ACG=60°. ∴△CEF 是等边三角形.(12分)26.解析 (1)∵-√34x 2+√3x+3√3=0的解为x 1=-2,x 2=6,∴抛物线y=-√34x 2+√3x+3√3与x 轴交于点A(-2,0),B(6,0).(1分)∵y=-√34x 2+√3x+3√3=-√34(x-2)2+4√3,∴顶点C(2,4√3).(2分)设直线BC 的解析式为y=kx+b(k ≠0),将点(6,0),(2,4√3)代入得,{6k +b =0,2k +b =4√3.解得{k =-√3,b =6√3.∴直线BC 的解析式为y=-√3x+6√3.(4分) (2)由已知得E'(m,-√34m 2+√3m +3√3),M(m,-√3m+6√3), F'(m +2,-√34(m +2)2+√3(m +2)+3√3),N(m+2,-√3(m+2)+6√3).ME'=-√34m 2+2√3m-3√3,NF'=-√34m 2+√3m.(5分)ME'+NF'=-√34m 2+2√3m-3√3-√34m 2+√3m=-√32(m-3)2+3√32(2<m<4). 当m=3时,ME'+NF'的值最大.(6分) 此时E'(3,15√34),F'(5,7√34),构造直角三角形可得E'F'=4,且直线E'F'的解析式为y=-√3x+27√34. 当R 是直线E'F'与y 轴交点时,|RF'-RE'|取得最大值,最大值为E'F'的长度. 因此|RF'-RE'|的最大值为4,此时点R (0,27√34).(8分)(3)由题意得Q (32,√3),设平移时间为t 秒,∴Q'(32-t,√3),P'(92-t,0).如图①,过点Q'作Q'K ∥x 轴交AW 于K,Q'H ⊥AW 交AW 于H. ∵Q'到x 轴的距离为√3,∴点Q'到直线AW 的距离Q'H=√3. 又∵A(-2,0),W(0,3√3), ∴直线AW 的解析式为y=3√3x+3√3. ∴K (-43,√3).又∵点Q'可能在点K 的左边或右边, ∴KQ'=|3-t +4|=|17-t|.在Rt △WAO 中,∠WOA=90°,AO=2,WO=3√3,∴AW=√31. 由题意易证Rt △WAO ∽Rt △Q'KH,∴Q'H Q'K =WOAW , 即√3|176-t |=√331,∴t 1=17-2√316,t 2=17+2√316.(10分)∵0≤t 1≤132,0≤t 2≤132,∴t 1,t 2符合条件. 现分两种情况讨论: ①当t 1=17-2√316时,Q'(√31-43,√3),P'(5+√313,0),∵0<√31-43<2,5+√313>2. ∴重叠部分为如图①所示的等边三角形Q'H 1I 1,图①s=12I 1H 1·Q'K 1=√33(t +12)2=√33×(17-2√316+12)2=131√3-20√9327. ②当t 2=17+2√316时,Q'(-4-√313,√3),P'(5-√313,0), ∵-4-√313<-2,-2<5-√313<0, ∴重叠部分为如图②所示的直角三角形H 2I 2P',图②∴s=12H 2I 2·I 2P'=3√38(132-t)2=3√38(132-17+2√316)2=76√3-11√9312. 综上,当点Q'到x 轴的距离与点Q'到直线AW 的距离相等时,s=131√3-20√9327或s=76√3-11√9312.(12分)。
2023年重庆市中考数学真题(B卷)(答案解析)
重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（B 卷）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）1.【答案】D【解析】解：4的相反数是4-，故选：D ．2.【答案】A 【解析】解：从正面看到的视图是：，故选：A .3.【答案】C【解析】∵a b ，∴1263∠=∠=︒，故选：C ．4.【答案】B【解析】解：∵ABC EDC ∽，∴::AC EC AB DE =，∵:2:3AC EC =，6AB =，∴2:36:DE =，∴9DE =，故选：B.5.【答案】D【解析】解：∵()()326,236,248,236-⨯=-⨯-=--⨯-=⨯=，∴点()2,3在反比例函数6y x=的图象上，故选：D .6.【答案】B【解析】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311=⨯-；第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341=⨯-；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120⨯-=；故选：B.7.【答案】A1=，253036<<，<<56<<，415∴<<，故选：A．8.【答案】B【解析】解：如图，连接OC，直线CD与O相切，OC CD∴⊥，90OCD∴∠=︒，50ACD∠=︒，40OCA∴∠=︒，OA OC=，40BAC OCA∴∠=∠=︒，故选：B．9.【答案】D【解析】解：如图，连接AF，四边形ABCD 是正方形，AB BE BC ∴==，90ABC ∠=︒，22AC ==，BEC BCE ∴∠=∠，1802EBC BEC ∴∠=︒-∠，290ABE ABC EBC BEC ∴∠=∠-∠=∠-︒，BF 平分ABE ∠，1452ABF EBF ABE BEC ∴∠=∠=∠=∠-︒，45BFE BEC EBF ∴∠=∠-∠=︒，在BAF △与BEF △,AB EB ABF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BAF BEF ∴△≌△，45BFE BFA ∴∠=∠=︒，90AFC BAF BFE ∴∠=∠+∠=︒，O 为对角线AC 的中点，122OF AC ∴==，故选：D ．10.【答案】C【解析】解：x y z m n x y z m n ----=----，故说法①正确．若使其运算结果与原多项式之和为0，必须出现x -，显然无论怎么添加绝对值，都无法使x 的符号为负，故说法②正确．当添加一个绝对值时，共有4种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=----；x y z m n x y z m n ----=-+--；||x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+．当添加两个绝对值时，共有3种情况，分别是x y z m n x y z m n ----=--+-；x y z m n x y z m n ----=---+；x y z m n x y z m n ----=-+-+．共有7种情况；有两对运算结果相同，故共有5种不同运算结果，故说法③不符合题意．故选：C ．二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）11.【答案】6【解析】解：05(2516-+-=+=．故答案为：6．12.【答案】14【解析】解：列表如下，清风朗月清清清清风清朗清月风风清风风风朗风月朗朗清朗风朗朗朗月月月清月风月朗月月共有16中等可能结果，其中，抽取的两张卡片上的汉字相同的情形有4种，∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是14，故答案为：14．13.【答案】800︒##800度【解析】解：∵七边形的内角中有一个角为100︒，∴其余六个内角之和为()180********︒⨯--︒=︒，故答案为：800︒．14.【答案】4【解析】解：∵在ABC 中，AB AC =，AD 是BC 边的中线，∴AD BC ⊥，12BD BC =，在Rt △ABD 中，5AB =，132BD BC ==，∴4AD ===，故答案为：4．15.【答案】2301(1)500x +=【解析】 第一个月新建了301个充电桩，该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x ．∴第二个月新建了301(1)x +个充电桩，∴第三个月新建了2301(1)x +个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，于是有2301(1)500x +=，故答案为2301(1)500x +=．16.【答案】4π-【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，2AB =，4BC =，E 为BC 的中点，∴12,22AB CD BE CE BC =====，90ABC DCB ∠=∠=︒，∴45BAE AEB DEC CDE ∠=∠=∠=∠=︒，∴()2145212=22222423602ABE BEM S S S πππ⎛⎫⨯⎛⎫=-⨯⨯-=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 阴影扇形；故答案为：4π-．17.【答案】13【解析】解：213241x x x a x +⎧>+⎪⎨⎪+<-⎩①②，解不等式①得：<2x -，解不等式②得：13a x +<-，∵关于x 的不等式组213241x x x a x +⎧>+⎪⎨⎪+<-⎩的解集为<2x -，123a +∴-≥-，解得5a ≤，方程22211a y y y+++=--可化为()2221a y y +--=-，解得23a y +=， 关于y 的分式方程22211a y y y +++=--的解为正数，203a +∴>且2103a +-≠，解得2a >-且1a ≠，52a ∴-<≤且1a ≠，则所有满足条件的整数a 的值之和为10234513-+++++=，故答案为：13．18.【答案】①.6200②.9313【解析】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，6a d -=，2b c -=，69a ≤≤，29b ≤≤，则()8c d a b +=+-，∴()()()348P M a b c d a b =+++=+-，∴()()()485P M M a Q b a +--=，若M 最大，只需千位数字a 取最大，即9a =，∴()()()498795b P Q b M M =+-=+-，∵()()P M Q M 能被10整除，∴3b =，∴满足条件的M 的最大值为9313，故答案为：6200，9313．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）19.【答案】（1）229x +（2）13m n-【解析】（1）解：()()263x x x ++-22669x x x x =++-+229x =+；（2）解：2293n m n m m -⎛⎫+÷ ⎪⎝⎭()()333m n m m m n m n +=⋅+-13m n=-．20.【答案】作图：见解析；FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分【解析】解：如图，即为所求；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC AB ∥．∴ECO ∠=FAO ∠．∵EF 垂直平分AC ，∴AO CO =．又EOC ∠=FOA ∠．∴()COE AOF ASA ≅ ．∴OE OF =．故答案为：FAO ∠；AO CO =；FOA ∠；由此得到命题：过平行四边形对角线中点的直线被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分，故答案为：被平行四边形一组对边所截，截得的线段被对角线中点平分．21.【答案】（1）15，88，98（2）90（3）A 款，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）【解析】（1）解： 抽取的对A 款设备的评分数据中“满意”的有6份，∴“满意”所占百分比为：6100%30%20⨯=，∴“比较满意”所占百分比为：130%45%10%15%---=，15a ∴=，抽取的对A 款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数， “不满意”和“满意”的评分有()2010%15%5⨯+=（份），∴第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，∴8789882m +==， 抽取的对B 款设备的评分数据中出现次数最多的是98，98n ∴=，故答案为：15，88，98；（2）解：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为：60015%90⨯=（人），答：600名消费者对A 款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．（3）解：A 款自动洗车设备更受欢迎，理由：评分数据中A 款的中位数比B 款的中位数高（答案不唯一）．22.【答案】（1）当04t <≤时，y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）图象见解析，当04t <≤时，y 随x 的增大而增大（3）t 的值为3或4.5【解析】（1）解：当04t <≤时，连接EF ，由题意得AE AF =，60A ∠=︒，∴AEF △是等边三角形，∴y t =；当46t <≤时，122y t =-；（2）函数图象如图：当04t <≤时，y 随t 的增大而增大；（3）当04t <≤时，3y =即3t =；当46t <≤时，3y =即1223t -=，解得 4.5t =，故t 的值为3或4.5．23.【答案】（1）甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩（2）100亩【解析】（1）解：设甲区有农田x 亩，则乙区有农田()10000x -亩，由题意得：80%10000x x =-，解得50000x =，则10000500001000040000x -=-=，答：甲区有农田50000亩，乙区有农田40000亩．（2）解：设派往甲区每架次无人机平均喷洒y 亩，派往甲区的无人机架次为a 架次，则派往乙区每架次无人机平均喷洒503y ⎛⎫- ⎪⎝⎭亩，派往乙区的无人机架次为1.2a 架次，由题意得：5031.2ay a y ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即5031.2y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得100y =，答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩．24.【答案】（1）2545米（2）能，说明过程见解析【解析】（1）解：如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ，由题意得：60,45ACD BCD ∠=︒∠=︒，30,45A B BCD ∴∠=︒∠=∠=︒，118002BD CD AC ∴===米，2545sin 45CD BC ∴=≈︒米，答：B 养殖场与灯塔C 的距离为2545米．（2）解：sin 60AD AC =⋅︒=()1800AB AD BD ∴=+=米，则甲组到达B 处所需时间为()180060038.196+÷=≈（分钟）9<分钟，所以甲组能在9分钟内到达B 处．25.【答案】（1）211344y x x =+-（2）PD 取得最大值为45，52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭（3）Q 点的坐标为9,12⎛⎫-⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】（1）解：将点()3,0B ，()0,3C -．代入214y x bx c =++得，2133043b c c ⎧⨯++=⎪⎨⎪=-⎩解得：143b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为：211344y x x =+-，（2）∵211344y x x =+-与x 轴交于点A ，B ，当0y =时，2113044x x +-=解得：124,3x x =-=，∴()4,0A -,∵()0,3C -．设直线AC 的解析式为3y kx =-，∴430k --=解得：34k =-∴直线AC 的解析式为334y x =--，如图所示，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交AC 于点Q，设211,344P t t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则3,34Q t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴223111334444PQ t t t t ⎛⎫=---+-=-- ⎪⎝⎭，∵AQE PQD ∠=∠，90AEQ QDP ∠=∠=︒，∴OAC QPD ∠=∠，∵4,3OA OC ==，∴5AC =，∴4cos cos =5PD AO QPD OAC PQ AC ∠==∠=，∴()222441141425545555PD PQ t t t t ⎛⎫==--=--=-++ ⎪⎝⎭，∴当2t =-时，PD 取得最大值为45，()()2211115322344442t t +-=⨯-+--=-，∴52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；（3）∵抛物线211344y x x =+-211494216x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭将该抛物线向右平移5个单位，得到219494216y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，对称轴为直线92x =，点52,2P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭向右平移5个单位得到53,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵平移后的抛物线与y 轴交于点F ，令0x =，则2194924216y ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，∴()0,2F ,∴22251173224EF ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭∵Q 为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．则Q 点的横坐标为92，设9,2Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴22295322QE m ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222922QF m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当QF EF =时，()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=1174，解得：1m =-或5m =，当QE QF =时，2295322m ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()22922m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，解得：74m =综上所述，Q 点的坐标为9,12⎛⎫-⎪⎝⎭或9,52⎛⎫ ⎪⎝⎭或97,24⎛⎫ ⎪⎝⎭．26.【答案】（1）见解析（2）见解析（32+【解析】（1）证明：∵ABC 为等边三角形，∴60ACB ∠=︒，AC BC =，∵将CE 绕点C 顺时针旋转60︒得到线段CF ，∴CE CF =，60ECF ∠=︒∴ACB ECF∠=∠∴ACB ACE ECF ACE-=-∠∠∠∠即BCE ACF∠=∠在BCE 和ACF △中EC FC BCE ACF BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BCE ACF ≌△△，∴CBE CAF ∠=∠；（2）证明：如图所示，过点F 作∥FK AD ，交DH 点的延长线于点K ，连接EK ，FD，∵ABC 是等边三角形，∴AB AC BC ==，∵AD BC⊥∴BD CD=∴AD 垂直平分BC ，∴EB EC=又∵BCE ACF ≌，∴,AF BE CF CE ==，∴AF CF =,∴F 在AC 的垂直平分线上，∵AB BC=∴B 在AC 的垂直平分线上，∴BF 垂直平分AC∴AC BF ⊥，12AG CG AC ==∴90AGF ∠=︒又∵12DG AC CG ==，60ACD ∠=︒∴DCG △是等边三角形，∴60CGD CDG ∠=∠=︒∴60AGH DGC ∠=∠=︒∴906030KGF AGF AGH ∠=∠-∠=︒-︒=︒，又∵906030ADK ADC GDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，KF AD∥∴30HKF ADK ∠=∠=︒∴30FKG KGF ∠=∠=︒，∴FG FK=在Rt CED 与Rt CGF △中，CF CE CD CG=⎧⎨=⎩∴Rt Rt CED CFG≌∴GF ED=∴ED FK=∴四边形EDFK 是平行四边形，∴EH HF =；（3）解：依题意，如图所示，延长,AP DQ 交于点R ，由（2）可知DCG △是等边三角形，∴30EDG ∠=︒∵将AEG 沿AG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到APG ，将DEG 沿DG 所在直线翻折至ABC 所在平面内，得到DQG ，∴30PAG EAG ∠=∠=︒，30QDG EDG ∠=∠=︒∴60PAE QDE ∠=∠=︒，∴ADR 是等边三角形，∴906030QDC ADC ADQ ∠=∠-∠=︒-︒=︒由（2）可得Rt Rt CED CFG≌∴DE GF =，∵DE DQ =，∴GF DQ =，∵30GBC QDC ∠=∠=︒，∴GF DQ∥∴四边形GDQF 是平行四边形，∴122QF DG AC ===由（2）可知G 是AC 的中点，则GA GD=∴30GAD GDA ∠=∠=︒∴120AGD ∠=︒∵折叠，120AGP DGQ AGE DGE AGD ∴∠+∠=∠+∠=∠=︒，∴3602120PGQ AGD ∠=︒-∠=︒，又PG GE GQ ==，∴PQ ==，∴当GQ 取得最小值时，即GQ DR ⊥时，PQ 取得最小值，此时如图所示，∴11122GQ GC DC ===，∴3PQ =，∴32PQ QF +=．。
2022年重庆市中考数学真题(B卷)
重庆市2022年初中学业水平暨高中招生考试数学试卷（B 卷）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；参考公式：抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a=-． 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．1. 2-的相反数是（ ）A. 2-B. 2C. 12D. 12- 【答案】B【解析】【分析】根据相反数的定义可得结果．【详解】因为-2+2=0，所以-2的相反数是2，故选：B ．【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的概念是解题的关键．2. 下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，故A 错误；B.不是轴对称图形，故B 错误；C.是轴对称图形，故C 正确；D.不是轴对称图形，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．3. 如图，直线a b ∥，直线m 与a ，b 相交，若1115∠=︒，则2∠的度数为（ ）A. 115°B. 105°C. 75°D. 65°【答案】A【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等即可求得结果．【详解】∵a b ∥，∴2∠1=∠=115°（两直线平行同位角相等），故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的性质，比较简单，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4. 如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为（ ）A. 3时B. 6时C. 9时D. 12时【答案】C【解析】【分析】分析图象的变化趋势和位置的高低，即可求出答案．【详解】解：∵观察小颖0到12时的心跳速度变化图，可知大约在9时图象的位置最高，∴在0到12时内心跳速度最快的时刻约为9时，故选：C【点睛】此题考查了函数图象，由纵坐标看出心跳速度，横坐标看出时间是解题的关键．5. 如图，ABC与DEF位似，点O是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则ABC 与DEF的周长之比是（）A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 1∶9【答案】A【解析】【分析】根据位似图形是相似图形，位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比即可求解．【详解】解：∵ABC 与DEF 位似∴ABC DEF ∽△△∵ABC 与DEF 的位似比是1:2∴ABC 与DEF 的相似比是1:2∴ABC 与DEF 的周长比是1:2故选：A ．【点睛】本题考查了位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质和相似三角形的性质．6. 把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）A. 15B. 13C. 11D. 9【答案】C【解析】 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．7. 4的值在（ ）A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间【答案】D【解析】【分析】根据49<54<64，得到78<<，进而得到344<<，即可得到答案．【详解】解：∵49<54<64，∴78<<，∴344<<4的值在3到4之间，故选：D ．【点睛】此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数的估算方法是解题的关键． 8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A. 2625(1)400x -=B. 2400(1)625x +=C. 2625400x =D. 2400625x = 【答案】B【解析】【分析】第一年共植树400棵，第二年植树400（1+x ）棵，第三年植树400（1+x ）²棵，再根据题意列出方程即可．【详解】第一年植树为400棵，第二年植树为400（1+x ）棵，第三年400（1+x ）²棵，根据题意列出方程：2400(1)625x +=．故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，属于增长率的常规应用题，解决此类题目要多理解、练习增长率相关问题．9. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． E 、F 分别为AC 、BD上一点，且OE OF =，连接AF ，BE ，EF ．若25AFE ∠=︒，则CBE ∠的度数为（ ）A. 50°B. 55°C. 65°D. 70°【答案】C【解析】 【分析】根据正方形的性质证明△AOF ≌△BOE （SAS ），得到∠OBE =∠OAF ，利用OE =OF ，∠EOF =90°，求出∠OEF =∠OFE =45°，由此得到∠OAF =∠OEF -∠AFE =20°，进而得到∠CBE 的度数．【详解】解：在正方形ABCD 中，AO =BO ，∠AOD =∠AOB =90°，∠CBO =45°， ∵OE OF =，∴△AOF ≌△BOE （SAS ），∴∠OBE =∠OAF ，∵OE =OF ，∠EOF =90°，∴∠OEF =∠OFE =45°，∵25AFE ∠=︒，∴∠OAF =∠OEF -∠AFE =20°，∴∠CBE =∠CBO +∠OBE =45°+20°=65°，故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，熟记正方形的性质是解题的关键．10. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ，若AC PC ==，则PB 的长为（ ）B. 32C.D. 3【答案】D【解析】 【分析】连接OC ，根据AC PC =，OC OA =，证出A OCA P ==∠∠∠，求出30A OCA P ===︒∠∠∠，在R t O P C △中，tan OC P PC=∠,cos PC P OP =∠，解得OC 、OP 的长度即可求出PB 的长度．【详解】解：连接OC ，如图所示，∵AC PC =，∴A P ∠=∠，∵OC OA =，∴A OCA ∠=∠，∴A OCA P ==∠∠∠，∵PC 是O 的切线，∴90OCP ∠=︒，∵180A P OCA OCP +++=︒∠∠∠∠，∴30A OCA P ===︒∠∠∠，在Rt OPC △中，tan OC P PC=∠，cos PC P OP =∠，∴tan 33OC PC P =⨯==∠，6cos PC OP P ===∠， ∵PB OP OB =-，3OB =，∴3PB =，故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、解直角三角形等知识点，正确作出辅助线是解答此题的关键．11. 关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A. 13B. 15C. 18D. 20【答案】A【解析】【分析】先通过分式方程求出a 的一个取值范围，再通过不等式组的解集求出a 的另一个取值范围，两个范围结合起来就得到a 的有限个整数解．【详解】由分式方程的解为整数可得：313x a x x ---=-解得：2=-x a又题意得：20a ->且23a -≠∴2a >且5a ≠，由()922y y +≤+得：5y ≥由213y a ->得：32a y +> ∵解集为5y ≥ ∴352a +< 解得：7a <综上可知a 的整数解有：3，4，6它们的和为：13故选：A ．【点睛】本题考查含参数的分式方程和含参数的不等数组，掌握由解集倒推参数范围是本题关键．12. 对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】给x y -添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．【详解】解：∵()x y z m n x y z m n ----=----∴①说法正确∵0x y z m n x y z m n -----++++=又∵无论如何添加括号，无法使得x 的符号为负号∴②说法正确∵当括号中有两个字母，共有4种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----、()x y z m n ----；当括号中有三个字母，共有3种情况，分别是()x y z m n ----、()x y z m n ----； 当括号中有四个字母，共有1种情况，()x y z m n ----、x -（y -z ）-（m -n ） ∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．【点睛】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13. 0|2|(3-+=_________．【答案】3【解析】【分析】先计算绝对值和零指数幂，再进行计算即可求解．【详解】解：0|2|(3213-+=+=故答案为：3．【点睛】本题考查了实数的运算，解答此题的关键是要掌握负数的绝对值等于它的相反数，任何不为0的数的0次幂都等于1．14. 不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是________． 【答案】49【解析】【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果， 所以两次都摸到红球的概率为49， 故答案为：49． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15. 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，以B 为圆心，BC 的长为半径画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）【答案】π3【解析】【分析】先根据特殊角的锐角三角函数值，求出ABE ∠，进而求出EBC ∠，再根据扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵矩形ABCD ， 90A ABC ∴∠=∠=︒ ，以B 为圆心，BC 的长为半轻画弧，交AD 于点E ， 2BC =，2BE BC ∴== ，在Rt ABE △中，1AB =，1cos 2AB ABE BE ∴∠== ， 60ABE ∴∠=︒ ，906030EBC ∴∠=︒-︒=︒ ，S 阴影230π2π3603⨯== ． 故答案为：π3． 【点睛】本题考查了由特殊角的三角函数值求角度数，矩形的性质，扇形的面积的计算，综合掌握以上知识点并熟练运用是解题的关键．16. 特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________．【答案】4：3【解析】【分析】设每包麻花的成本为x 元，每包米花糖的成本为y 元，桃片的销售量为m 包，则每包桃片的成本为2x 元，米花糖的销售量为3m 包，麻花的销售量为2m 包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得220%30%320%225%232x m y m x m mx my mx⋅⋅+⋅+⋅=++，计算可得． 【详解】解：设每包麻花的成本为x 元，每包米花糖的成本为y 元，桃片的销售量为m 包，则每包桃片的成本为2x 元，米花糖的销售量为3m 包，麻花的销售量为2m 包，由题意得220%30%320%225%232x m y m x m mx my mx⋅⋅+⋅+⋅=++， 解得3y =4x ，∴y ：x =4：3，故答案为：4：3．【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）17. 计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244124m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭-+． 【答案】（1）22x y -（2）22m - 【解析】【分析】（1）根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可； （2）先将括号里通分计算，所得的结果再和括号外的分式进行通分计算即可．【小问1详解】解：()()(2)x y x y y y +-+-=2222x y y y -+-=22x y -【小问2详解】解： 2244124m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭-+ =()()()222222m m m m m m -+-÷++- =()()()222222m m m m +-⨯+- =22m - 【点睛】本题考查了平方差公式、单项式乘多项式、合并同类项、分式的混合运算等知识点，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a ，高为h 的三角形的面积公式为12S ah =．想法是：以BC 为边作矩形BCFE ，点A 在边FE 上，再过点A 作BC 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A 作BC的垂线AD 交BC 于点D ．（只保留作图痕迹）在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，∴______①____．∵EF BC ∥，∴______②_____．又∵____③______．∴ADC CFA △≌△（AAS ）．同理可得：_____④______．11112222ABC ADC ABD ADCF AEBD BCFE S S S S S S ah =+=+==矩形矩形矩形． 【答案】图见解析，∠ADC =∠F ；∠1=∠2；AC =AC ；△ABD ≌△BAE【解析】【分析】根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到∠ADC =∠F ，根据平行线的性质得到∠1=∠2，即可证明△ADC ≌△CAF ，同理可得△ABD ≌△BAE ，由此得到结论．【详解】解：如图，AD 即为所求，在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，∴∠ADC =∠F ．∵EF BC ∥，∴∠1=∠2．又∵AC =AC ．∴ADC CFA △≌△（AAS ）．同理可得：△ABD ≌△BAE ．11112222ABC ADC ABD ADCF AEBD BCFE S S S S S S ah =+=+==矩形矩形矩形． 故答案为：∠ADC =∠F ；∠1=∠2；AC =AC ；△ABD ≌△BAE ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，矩形的性质，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）19. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（阅读时长记为x ，67x ≤<，记为6；78x ≤<，记为7；89x ≤<，记为8；…以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息， 七年级抽取的学生课外阅读时长：6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a ______________，b =______________，c =______________．（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数．（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由，（写出一条理由即可）【答案】（1）8，8.5，65%（2）160名 （3）八年级阅读积极性更高.理由：七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长的众数和中位数都比七年级高（合理即可）【解析】【分析】（1）根据众数、中位数、百分比的意义求解即可；（2）用400名学生乘七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上所占的百分比即可求解；（3）根据七年级阅读时长为8小时及以上所占百分比比八年级高进行分析即可．【小问1详解】解：∵七年级学生阅读时长出现次数最多是8小时∴众数是8，即8a = ∵将八年级学生阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为898.52+= ∴八年级学生阅读时长的中位数为8.5，即8.5b =∵八年级学生阅读时长为8小时及以上的人数为13∴八年级学生阅读时长为8小时及以上所占百分比为13100%65%20⨯=，即65%c = 综上所述：8a =，8.5b =，65%c =【小问2详解】解：840016020⨯=（名） 答：估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的学生人数为160名．【小问3详解】解：∵七年级和八年级阅读时长平均数一样，八年级阅读时长众数和中位数都比七年级高∴八年级阅读积极性更高（合理即可）【点睛】本题考查了条形统计图、统计表、众数、中位数等知识点，能够读懂统计图和统计表并理解相关概念是解答本题的关键．20. 反比例函数4y x =的图象如图所示，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与4y x =的图象交于(,4)A m ，(2,)B n -两点，（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式4kx b x+<的解集； （3）一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求OAC 的面积．【答案】（1）一次函数的表达式为22y x =+；函数图象见解析；（2）2x <-或01x <<（3）2【解析】【分析】（1）把(,4)A m ，(2,)B n -分别代入4y x=求出m ，n 的值，再运用待系数法求出a ，b 的值即可；（2）根据交点坐标，结合函数图象即可解答；（3）先求出点C 的坐标，再根据三角形面积公式求解即可．【小问1详解】∵一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与4y x =的图象交于(,4)A m ，(2,)B n -两点，∴把(,4)A m ，(2,)B n -分别代入4y x =，得，44,24m n =-=，解得，1,2m n ==-，∴(1,4)A ，(2,2)B --，把(1,4)A ，(2,2)B --代入y kx b =+，得：422k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得，22k b =⎧⎨=⎩∴一次函数的表达式为22y x =+；画出函数图象如下图：【小问2详解】∵直线22y x =+与反比例函数4y x=交于点A （1，4），B （-2，-2） ∴当2x <-或01x <<时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式4kx b x+<的解集为2x <-或01x <<； 【小问3详解】如图，对于22y x =+，当0y =时，220x +=，解得，1x =-，∴点C 的坐标为（-1，0）∵A （1，4） ∴1114222AOC A S OC y ∆==⨯⨯=【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等式的关系．21. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【答案】（1）100米（2）90米【解析】【分析】（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米，根据工效问题公式：工作总量＝工作时间×工作效率，列出关于x 的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，根据水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同，可知每队修建900米，再结合两队同时开工修建，直至同时完工，可得两队工作时间相同，列出关于y 的分式方程，解方程即可得出答案．【小问1详解】解：设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x 米，原来每天修建()20x -米， 则有()5202600x x -+=解得100x =∴甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米．【小问2详解】∵水渠总长1800米，完工时，两施工队修建长度相同∴两队修建的长度都为1800÷2＝900(米)乙施工队技术更新后，修建长度为900－360＝540(米)解：设乙施工队原来每天修建灌溉水渠y 米，技术更新后每天修建()120y +％米，即1.2y 米 则有5403609001.2100y y += 解得90y =经检验，90y =是原方程的解，符合题意∴乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程的实际应用，应注意分式方程要检验，读懂题意，正确设出未知数，并列出方程，是解题的关键．22. 湖中小岛上码头C 处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B 点处的快艇和湖岸A 处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C 接该游客，再沿CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C 在A的北偏东30°方向上，B 在A 的北偏东60°方向上，且B 在C 的正南方向900米处．（1）求湖岸A 与码头C 的距离（结果精确到1 1.732=）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【答案】（1）湖岸A 与码头C 的距离为1559米（2）在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船【解析】【分析】（1）过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt A C D △中，tan CD CAD AD ∠=，即可求出450x =，根据Rt ACD △中，sin CD CAD AC∠=即可求出湖岸A 与码头C 的距离； （2）设快艇将游客送上救援船时间为t 分钟，根据等量关系式：救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= BC AC +，列出方程，求出时间t ，再和5分钟进行比较即可求解．【小问1详解】解：过点A 作CB 垂线，交CB 延长线于点D ，如图所示，由题意可得：60NAB ∠=︒，30NAC ∠=︒，900CB =米，则60CAD ∠=︒，30BAD ∠=︒设BD x =，则2AB x =，AD =，900CD x =+，在Rt ACD △中，tan CD CAD AD ∠=，=，解得450x =， 在Rt ACD △中，sin CD CAD AC∠=，∴900 1.7321558.81559AC===⨯=≈（米），∴湖岸A与码头C的距离为1559米；【小问2详解】解：设快艇将游客送上救援船时间为t分钟，由题意可得：1504009001559t t+=+，4.475t≈＜，∴在接到通知后，快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．【点睛】本题主要考查了解直角三角形及其应用，一元一次方程应用中的行程问题、含30°角的直角三角形的三边关系等知识点，找到等量关系式，构建直角三角形是解答本题的关键．23. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247(247)2471319÷++=÷=，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214(214)2147304÷++=÷=，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a b c>>．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为()F A，最小的两位数记为()G A，若()()16F AG A+为整数，求出满足条件的所有数A．【答案】（1）357不是15“和倍数”，441是9的“和倍数”；理由见解析（2）数A可能为732或372或516或156【解析】【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可；（2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出12a b c++=，根据a b c>>，()F A是最大的两位数，()G A是最小的两位数，得出()()10210F AG A a b c+=++，()()16kF AG A+=（k为整数），结合12a b c++=得出152b k=-，根据已知条件得出16b ＜＜，从而得出3b =或5b =，然后进行分类讨论即可得出答案．【小问1详解】解：∵()357357357152312÷++=÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴357不是15“和倍数”；∵()441441441949÷++=÷=，∴441是9的“和倍数”．【小问2详解】∵三位数A 是12的“和倍数”，∴12a b c ++=，∵a b c >>，∴在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数()10F A a b =+，最小的两位数()10G A c b =+，∴()()101010210F A G A a b c b a b c +=+++=++， ∵()()16F A G A +为整数， 设()()16k F A G A +=（k 为整数）， 则1021016a b c k ++=， 整理得：558a c b k ++=，根据12a b c ++=得：12a c b +=-，∵a b c >>，∴12b b -＞，解得6b ＜，∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数，∴0a b c >>＞，∴1b ＞， ∴16b ＜＜， 把12a c b +=-代入558a c b k ++=得：()5128b b k -+=，整理得：152b k =-，∵16b ＜＜，k 为整数，∴3b =或5b =，当3b =时，1239a c +=-=，∵0a b c >>＞，∴a ＞3，03c ＜＜，7a ∴=，3b =，2c =，或8a =，3b =，1c =，要使三位数A 是12的“和倍数”，数A 必须是一个偶数，当7a =，3b =，2c =时，组成的三位数为732或372，∵7321261÷=，∴732是12的“和倍数”，∵3721231÷=，∴372是12的“和倍数”；当8a =，3b =，1c =时，组成的三位数为318或138，∵31812266÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴318不是12的“和倍数”，∵13812116÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，∴138不是12的“和倍数”；当5b =时，1257a c +=-=，∵0a b c >>＞，∴57a ＜＜，6a ∴=，5b =，1c =，组成的三位数为516或156，∵5161243÷=，∴516是12的“和倍数”，∵1561213÷=，∴156是12的“和倍数”；综上分析可知，数A 可能为732或372或516或156．【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度．24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，交AB 于点M ，求65PM AM +的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P '与点P 关于抛物线234y x bx c =-++的对称轴对称．将抛物线234y x bx c =-++向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P '、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．【答案】（1）239344y x x =-++ （2）65PM MA +最大值为：274， 912P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， （3）454,16D ⎛⎫- ⎪⎝⎭、454,16D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、994,16D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）将()4,0A 、()0,3B 代入抛物线234y x bx c =-++，即可求出抛物线的解析式；（2）根据AQM AOB △∽△得到::::3:4:5OB OA AB QM QA AM ==，推出53AM MQ =，即可得到625AM MQ =，则625P M M A P M M Q +=+，求出直线AB的解析式为：334y x =-+，设239,344P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则3,34M m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q m ，求出()23272144PM MQ m +=--+，即可求解； （3）先求出平移后新抛物线解析式：231176416y x x '=-+-，()4,0A ，92,2P ⎛⎫' ⎪⎝⎭，设()4,D t ，23117,6416C c c c ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求解即可．【小问1详解】解：将()4,0A 、()0,3B 代入抛物线234y x bx c =-++可得：2304443b c c ⎧=-⨯++⎪⎨⎪=⎩，解得94b =， ∴抛物线的函数表达式为：239344y x x =-++； 【小问2详解】解：∵()4,0A 、()0,3B ，∴3OB =，4OA =， 在Rt AOB中，5AB ===，∵AQM AOB =∠∠，BAO BAO ∠=∠，∴AQM AOB △∽△，∴::::3:4:5OB OA AB QM QA AM ==， ∴53AM MQ =， ∴625AM MQ =， ∴625PM MA PM MQ +=+， 设直线AB 的解析式为：y kx b =+，将()4,0A 、()0,3B 代入可得：043k b b =+⎧⎨=⎩，解得34k =-， ∴直线AB 的解析式为：334y x =-+， 设239,344P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则3,34M m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，(),0Q m ， ∴()222393333327233236144444244PM MQ m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫+=-++--++-+=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵304-＜，04m ＜＜， ∴当1m =时，存在65PM MA +最大值，最大值为：274，此时912P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，； 【小问3详解】 解：∵对称轴为：32x =， ∴92,2P ⎛⎫' ⎪⎝⎭， ∵直线l ：4x =， ∴抛物线向右平移52个单位， ∴231176416y x x '=-+-， ()4,0A ，92,2P ⎛⎫' ⎪⎝⎭，设()4,D t ，23117,6416C c c c ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭， ①以'AP 、DC 为对角线时，242493117062416c t c c +=+⎧⎪⎨⎛⎫+=+-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得24516c t =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ∴454,16D ⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②以P D '、AC 为对角线时，242493117062416c t c c +=+⎧⎪⎨⎛⎫+=+-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得24516c t =⎧⎪⎨=⎪⎩∴454,16D ⎛⎫ ⎪⎝⎭； ③以AD 、P C '为对角线时，244293117062416c t c c +=+⎧⎪⎨⎛⎫+=+-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得69916c t =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴994,16D ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式．25. 在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，AD 上任意一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ，AG ．（1）如图1，点E 与点C 重合，且GF 的延长线过点B ，若点P 为FG 的中点，连接PD ，求PD 的长；（2）如图2，EF 的延长线交AB 于点M ，点N 在AC 上，AGN AEG ∠=∠且GN MF =，求证：AM AF +=；（3）如图3，F 为线段AD 上一动点，E 为AC 的中点，连接BE ，H 为直线BC 上一动点，连接EH ，将BEH △沿EH 翻折至ABC 所在平面内，得到B EH '△，连接B G '，直接写出线段B G '的长度的最小值．【答案】（1）2 （2）见解析（3【解析】【分析】（1）根据已知条件可得D 为BC 的中点，证明CP BG ⊥，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解；（2）过点E 作EH AE ⊥交AD 的延长线于点H ，证明AEG HEF ≌()SAS ，()AGB AMF AAS ≌，可得AG AF =，进而根据AF AM FH AF AH +=+=，AH 即可得出结论，（3）根据（2）可知90FAG ∠=︒，当点F 在线段AD 上运动时，点G 在平行于BC 的线段上运动，根据题意作出图形，根据点到圆上的距离求最值即可求解．【小问1详解】如图，连接CP将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EG ，∴△FCG 是等腰直角三角形，P 为FG 的中点，CP FG ∴⊥，CP PF ∴=，45PFC FCP ∴∠=∠=︒，90BAC ∠=︒，D 为BC 的中点，AB AC ==AD ∴BC ⊥，4BC ==，AD DC ∴=，在Rt PBC 中，122PD BC ==； 【小问2详解】如图，过点E 作EH AE ⊥交AD 的延长线于点H ，,EF EG HE AE ⊥⊥，HEF FEA FEA AEG ∴∠+∠=∠+∠90=︒，∴=HEF AEG ∠∠，45DAE DAC ∠=∠=︒，AEH ∴是等腰直角三角形，AE EH ∴=，AH ∴=，在AEG △与HEF 中，GE FE GEA FEH AE HE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AEG HEF ∴≌()SAS ，45H GAE ∴∠=∠=︒，90GAF CAD GAE ∴∠=∠+∠=︒，MAF NAG ∴∠=∠45=︒，又HE AC ⊥，90BAC ∠=︒，∴//HE AB ，AMF FEH ∴∠=∠，AGN AEG ∠=∠，AEG FEH AMF ∠=∠=∠，AMF AGN ∴∠=∠，又GN MF =，()AAS AGN AMF ∴≌，∴AM AG ,AG FH =，AM FH ∴=，AF AM FH AF AH ∴+=+=， 2AH =，AF AM ∴+=；【小问3详解】由（2）可知90FAG ∠=︒，则当点F 在线段AD 上运动时，点G 在平行于BC 的线段上运动，将BEH △沿EH 翻折至ABC 所在平面内，得到B EH '△，E 为AC 的中点，12AE AC ∴==B E BE '∴===，则点B '在以E ',,B G E 三点共线时，'B E 最小，如图，当F 运动到与D 点重合时，B G '取得最小值，B G EB AE ''=-=如图，当点F 运动到与A 点重合时，B G '取得最小值，此时EG EF AE ===B G EB AE ''=-=综上所述，B G '【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称线的性质，点到圆上一点距离最值问题，正确的添加辅助线是解题的关键．。
2024年重庆市中考数学试题B卷+答案解析
2024年重庆市中考数学试题B 卷+答案解析（试题部分）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a =−． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 下列各数中最小的数是（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 22. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 反比例函数10y x =−的图象一定经过的点是（ ） A. ()1,10 B. ()2,5− C. ()2,5 D. ()2,8 4. 如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A. 35︒B. 45︒C. 55︒D. 125︒ 5. 若两个相似三角形的相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16 6.的值应在（ ）A. 8和9之间B. 9和10之间C. 10和11之间D. 11和12之间 7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A. 20B. 21C. 23D. 26 8. 如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若28D ∠=︒，则OAB ∠的度数为（ ）A. 28︒B. 34︒C. 56︒D. 62︒9. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接AE ，AF ，AM 平分EAF ∠．交CD 于点M ．若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A. 2B.C.D. 12510. 已知整式1110:n n n n M a x a x a x a −−++++，其中10,,,n n a a −为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a −+++++=．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. 计算：023−+=______．12. 甲、乙两人分别从A 、B 、C 三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________．13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.14. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为________．15. 如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．若2BC =，则AD 的长度为________．16. 若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪−<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y −−=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是________． 17. 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，点B 为切点．连接AC 交O 于点D ，点E 是O 上一点，连接BE ，DE ，过点A 作AF BE ∥交BD 的延长线于点F ．若5BC =，3CD =，F ADE ∠=∠，则AB 的长度是________；DF 的长度是________．18. 一个各数位均不为0的四位自然数M abcd =，若满足9a d b c +=+=，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279+=+=，∴1278是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且1b a c b −=−=，则这个数为________；若M abcd =是一个“友谊数”，设()9M F M =，且()13F M ab cd++是整数，则满足条件的M 的最大值是________．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）()()()312a a a a −+−+；（2）22241244x x x x −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭． 20. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，共分三组：A ．90100x ≤≤，B ．8090x ≤<，C ．7080x ≤<），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a ________，b =________，m =________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”()90x ≥的总共有多少人？21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EF AC ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴①，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴②．∴CFO AEO ≅△△（AAS ）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 22. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A 、B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A 、B 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A 、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？23. 如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．（1）请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 如图，A ，B ，C ，D 分别是某公园四个景点，B 在A 的正东方向，D 在A 的正北方向，且在C 的北偏西60︒方向，C 在A 的北偏东30︒方向，且在B 的北偏西15︒方向，2AB =千米．（参考数据：1.41≈ 1.73≈2.45≈）（1）求BC 的长度（结果精确到0.1千米）；（2）甲、乙两人从景点D 出发去景点B ，甲选择的路线为：D C B −−，乙选择的路线为：D A B −−．请计算说明谁选择的路线较近？25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴是直线52x =．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线BC 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PD x ∥轴交抛物线于点D ，作PE BC ⊥于点E ，求PD PE +的最大值及此时点P 的坐标；（3）将抛物线沿射线BC 2PD PE +取得最大值的条件下，点F 为点P 平移后的对应点，连接AF 交y 轴于点M ，点N 为平移后的抛物线上一点，若45NMF ABC ∠−∠=︒，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标．26. 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点B 作BD AC ∥．（1）如图1，若点D 在点B 的左侧，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥交BC 于点E ．若点E 是BC 的中点，求证：2AC BD =；（2）如图2，若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，连接CF ．过点F 作FM BG ⊥交AB 于点M ，CN 平分ACB ∠交BG 于点N ，求证：2AM CN BD =+； （3）若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，且AF AC =．点P 是直线AC 上一动点，连接FP ，将FP 绕点F 逆时针旋转60︒得到FQ ，连接BQ ，点R 是直线AD 上一动点，连接BR ，QR ．在点P 的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将BQR 沿直线QR 翻折得到TQR △，连接FT ．在点R 的运动过程中，直接写出FT CP的最大值．2024年重庆市中考数学试题B 卷+答案解析（答案详解）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a =−． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 下列各数中最小的数是（ ）A. 1−B. 0C. 1D. 2【答案】A【解析】【分析】根据正数大于0，0大于负数，即可作出判断．【详解】1−是负数，其他三个数均是非负数，故1−是最小的数；故选：A ．【点睛】本题考查了有理数大小的比较：负数小于一切非负数，明确此性质是关键．2. 下列标点符号中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题考查轴对称图形的识别．解题的关键是理解轴对称的概念（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴），寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．据此对各选项逐一进行判断即可．【详解】解：A ．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；B ．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C ．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；D ．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：A ．3. 反比例函数10y x =−的图象一定经过的点是（ ） A. ()1,10B. ()2,5−C. ()2,5D. ()2,8 【答案】B【解析】【分析】本题考查了求反比例函数值．熟练掌握求反比例函数值是解题的关键．分别将各选项的点坐标的横坐标代入，求纵坐标，然后判断作答即可．【详解】解：解：当1x =时，10101y =−=−，图象不经过()1,10，故A 不符合要求； 当2x =−时，1052y =−=−，图象一定经过()2,5−，故B 符合要求； 当2x =时，1052y =−=−，图象不经过()2,5，故C 不符合要求； 当2x =时，1052y =−=−，图象不经过()2,8，故D 不符合要求； 故选：B ．4. 如图，AB CD ∥，若1125∠=︒，则2∠的度数为（ ）A. 35︒B. 45︒C. 55︒D. 125︒【答案】C【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，根据邻补角的定义求出3∠，然后根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，∵1125∠=︒，∴3180155∠=︒−∠=︒，∵AB CD ∥，∴2355∠=∠=︒，故选：C ．5. 若两个相似三角形的相似比为1:4，则这两个三角形面积的比是（ ）A. 1:2B. 1:4C. 1:8D. 1:16 【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行求解即可．【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为1:4，∴这两个三角形面积的比是221:41:16=，故选：D ．6. 的值应在（ ）A. 8和9之间B. 9和10之间C. 10和11之间D. 11和12之间 【答案】C【解析】【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．【详解】解：6=，而45<=<，∴10611<<，故答案为：C7. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形，…，按此规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是（ ）A. 20B. 21C. 23D. 26【答案】C【解析】 【分析】本题考查了图形类的规律探索，解题的关键是找出规律．利用规律求解．通过观察图形找到相应的规律，进行求解即可．【详解】解：第①个图案中有()131112+⨯−+=个菱形，第②个图案中有()132115+⨯−+=个菱形，第③个图案中有()133118+⨯−+=个菱形，第④个图案中有()1341111+⨯−+=个菱形，∴第n 个图案中有()131131n n +−+=−个菱形，∴第⑧个图案中菱形的个数为38123⨯−=，故选：C ．8. 如图，AB 是O 的弦，OC AB ⊥交O 于点C ，点D 是O 上一点，连接BD ，CD ．若28D ∠=︒，则OAB ∠的度数为（ ）A. 28︒B. 34︒C. 56︒D. 62︒【答案】B【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，利用圆周角定理求出COB ∠，根据等腰三角形的三线合一性质求出AOB ∠，等边对等角然后结合三角形内角和定理求解即可．【详解】解：∵28D ∠=︒，∴256BOC D ∠=∠=︒，∵OC AB ⊥，OA OB =，∴2112AOB BOC ∠=∠=︒，OAB OBA ∠=∠， ∴()1180342OAB AOB ∠=︒−∠=︒， 故选：B ．9. 如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E 是BC 上一点，点F 是CD 延长线上一点，连接AE ，AF ，AM 平分EAF ∠．交CD 于点M ．若1BE DF ==，则DM 的长度为（ ）A. 2B.C.D. 125【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到904ABE ADC ADF C AB AD CD BC ====︒====∠∠∠∠，，再证明()SAS ABE ADF △≌△得到AE AF =，进一步证明()SAS AEM AFM △≌△得到EM FM =，设DM x =，则14EM FM DF DM x CM CD DM x ==+=+=−=−，，在Rt CEM △中，由勾股定理得()()222134x x +=+−，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴904ABE ADC ADF C AB AD CD BC ====︒====∠∠∠∠，，又∵1BE DF ==，∴()SAS ABE ADF △≌△，∴AE AF =，∵AM 平分EAF ∠，∴EAM FAM ∠=∠，又∵AM AM =，∴()SAS AEM AFM △≌△，∴EM FM =，设DM x =，则14EM FM DF DM x CM CD DM x ==+=+=−=−，，在Rt CEM △中，由勾股定理得222EM CE CM =+，∴()()222134x x +=+−， 解得125x =， ∴125DM =， 故选：D ．10. 已知整式1110:n n n n M a x a x a x a −−++++，其中10,,,n n a a −为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a −+++++=．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得04n ≤≤，再分类讨论得到答案即可．【详解】解：∵10,,,n n a a −为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a −+++++=，∴04n ≤≤，当4n =时，则2104345a a a a a +++++=，∴41a =，23100a a a a ====，满足条件的整式有4x ，当3n =时，则210335a a a a ++++=，∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =，()1,1,0,0，()1,0,1,0，()1,0,0,1，满足条件的整式有：32x ，32x x +，3x x +，31x +，当2n =时，则21025a a a +++=，∴()()210,,3,0,0a a a =，()2,1,0，()2,0,1，()1,2,0，()1,0,2，()1,1,1，满足条件的整式有：23x ，22x x +，221x +，22x x +，22x +，21x x ++；当1n =时，则1015a a ++=，∴()()10,4,0a a =，()3,1，()1,3，()2,2，满足条件的整式有：4x ，31x +，3x +，22x +；当0n =时，005a +=，满足条件的整式有：5；∴满足条件的单项式有：4x ，32x ，23x ，4x ，5，故①符合题意；不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；故②符合题意；满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意；故选D二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. 计算：023−+=______．【答案】3【解析】【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【详解】解：原式=2+1=3，故答案为：3．【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12. 甲、乙两人分别从A 、B 、C 三个景区中随机选取一个景区前往游览，则他们恰好选择同一景区的概率为________． 【答案】13【解析】【分析】本题考查了列表法与树状图法：画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出甲、乙恰好游玩同一景点的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，他们选择同一个景点有3种， 故他们选择同一个景点的概率是：3193=， 故答案为：13． 13. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8【解析】【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用36045︒÷︒可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45︒，360458∴︒÷︒=即该正多边形的边数是8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．14. 重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，根据题意，可列方程为________．【答案】()22001401x +=【解析】【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，则第二季度低空飞行航线安全运行了()2001x +架次，第三季度低空飞行航线安全运行了()22001x +架次，据此列出方程即可．【详解】解：设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，由题意得，()22001401x +=，故答案为：()22001401x +=．15. 如图，在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ．若2BC =，则AD 的长度为________．【答案】2【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据等边对等角和三角形内角和定理求出72C ABC ∠=∠=︒，再由角平分线的定义得到36ABD CBD ∠=∠=︒，进而可证明A ABD BDC C ==∠∠，∠∠，即可推出2AD BC ==．【详解】解：∵在ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒， ∴180722A C ABC ︒︒−∠∠=∠==， ∵BD 平分ABC ∠， ∴1362ABD CBD ABC ∠=∠=∠=︒， ∴72A ABD BDC A ABD C ==+=︒=∠∠，∠∠∠∠，∴AD BD BD BC ==，，∴2AD BC ==,故答案为：2．16. 若关于x 的一元一次不等式组2133423x x x a+⎧≤⎪⎨⎪−<+⎩的解集为4x ≤，且关于y 的分式方程8122a y y y −−=++的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是________． 【答案】12【解析】【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根据不等式组的解集求出2a >；解分式方程得到102a y −=，再由关于y的分式方程8122a y y y −−=++的解均为负整数，推出10a <且6a ≠且a 是偶数，则210a <<且6a ≠且a 是偶数，据此确定符合题意的a 的值，最后求和即可． 【详解】解：2133423x x x a +⎧≤⎪⎨⎪−<+⎩①②解不等式①得：4x ≤，解不等式②得：2x a <+ ，∵不等式组的解集为4x ≤，∴24a +>，∴2a >； 解分式方程8122a y y y −−=++得102a y −=， ∵关于y 的分式方程8122a y y y −−=++的解均为负整数， ∴1002a −<且102a −是整数且102202a y −+=+≠， ∴10a <且6a ≠且a 是偶数，∴210a <<且6a ≠且a 是偶数，∴满足题意的a 的值可以为4或8，∴所有满足条件的整数a 的值之和是4812+=．故答案为：12．17. 如图，AB 是O 的直径，BC 是O 的切线，点B 为切点．连接AC 交O 于点D ，点E 是O 上一点，连接BE ，DE ，过点A 作AF BE ∥交BD 的延长线于点F ．若5BC =，3CD =，F ADE ∠=∠，则AB 的长度是________；DF 的长度是________．【答案】 ①.203##263②. 83##223 【解析】 【分析】由直径所对的圆周角是直角得到90ADB BDC ∠=∠=︒，根据勾股定理求出4BD =，则3cos 5CD C BC ==，由切线的性质得到90ABC ∠=︒，则可证明C ABD ∠=∠，解直角三角形即可求出20cos 3BD AB ABD ==∠；连接AE ，由平行线的性质得到BAF ABE ∠=∠，再由F ADE ∠=∠，ADE ABE ∠=∠，推出F BAF ∠=∠，得到203BF AB ==，则208433DF BF BD =−=−=． 【详解】解：∵AB 是O 的直径，∴90ADB BDC ∠=∠=︒，在Rt BDC中，由勾股定理得4BD ==， ∴3cos 5CD C BC ==， ∵BC 是O 的切线，∴90ABC ∠=︒，∴90C CBD CBD ABD +=+=︒∠∠∠∠，∴C ABD ∠=∠，在Rt △ABD 中，4203cos 35BD AB ABD ===∠；如图所示，连接AE ，∵AF BE ∥，∴BAF ABE ∠=∠，∵F ADE ∠=∠，ADE ABE ∠=∠，∴F BAF ∠=∠， ∴203BF AB ==， ∴208433DF BF BD =−=−=； 故答案为：203；83． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的判定等等，证明F BAF ∠=∠是解题的关键．18. 一个各数位均不为0的四位自然数M abcd =，若满足9a d b c +=+=，则称这个四位数为“友谊数”．例如：四位数1278，∵18279+=+=，∴1278是“友谊数”．若abcd 是一个“友谊数”，且1b a c b −=−=，则这个数为________；若M abcd =是一个“友谊数”，设()9M F M =，且()13F M ab cd++是整数，则满足条件的M 的最大值是________．【答案】 ①. 3456 ②. 6273【解析】【分析】本题主要考查了新定义，根据新定义得到9a d b c +=+=，再由1b a c b −=−=可求出a 、b 、c 、d 的值，进而可得答案；先求出9999099M a b =++，进而得到()36981313F M ab cda b a ++++=++，根据()13F M ab cd ++是整数，得到369813a b a ++++是整数，即3613a b ++是整数，则36a b ++是13的倍数，求出8a ≤，再按照a 从大到小的范围讨论求解即可． 【详解】解：∵abcd 是一个“友谊数”，∴9a d b c +=+=，又∵1b a c b −=−=，∴45b c ==，，∴36a d ==，，∴这个数为3456； ∵M abcd =是一个“友谊数”，∴100010010M a b c d =+++()10001001099a b b a =++−+−9999099a b =++，∴()11110119M F M a b ==++， ∴()13F M ab cd++ 1111011101013a b a b c d ++++++= ()111101*********a b a b b a+++++−+−= 12011013a b ++= 1173104613a ab ++++= 369813a b a ++=++， ∵()13F M ab cd++是整数，∴369813a b a ++++是整数，即3613a b ++是整数， ∴36a b ++是13的倍数，∵a b c d 、、、都是不为0的正整数，且9a d b c +=+=，∴8a ≤，∴当8a =时，313638a b ≤++≤，此时不满足36a b ++是13的倍数，不符合题意；当7a =时，283635a b ≤++≤，此时不满足36a b ++是13的倍数，不符合题意；当6a =时，253632a b ≤++≤，此时可以满足36a b ++是13的倍数，即此时2b =，则此时37d c ==，，∵要使M 最大，则一定要满足a 最大，∴满足题意的M 的最大值即为6273；故答案为：3456；6273．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）()()()312a a a a −+−+；（2）22241244x x x x −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭． 【答案】（1）42a -（2）2x x + 【解析】【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．【小问1详解】解：()()()312a a a a −+−+22322a a a a a =−+−+−42a =−；【小问2详解】 解：22241244x x x x −⎛⎫+÷ ⎪−−+⎝⎭ ()()()2222222x x x x x +−−+=÷−− ()()()22222x x x x x −=⋅−+− 2x x =+． 20. 数学文化有利于激发学生数学兴趣．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛，并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x 表示，共分三组：A ．90100x ≤≤，B ．8090x ≤<，C ．7080x ≤<），下面给出了部分信息：七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97．八年级10名学生的竞赛成绩在B 组中的数据是：80，83，88，88．七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a ________，b =________，m =________；（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级学生有500人，八年级学生有400人．估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”()90x≥的总共有多少人？【答案】（1）88；87；40（2）八年级学生数学文化知识较好，理由见解析（3）310人【解析】【分析】本题主要考查了中位数，众数，用样本估计总体，扇形统计图等等：（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，先求出把年级A组的人数，进而可求出m的值；（2）根据八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高即可得到结论；（3）用七年级的人数乘以七年级样本中优秀的人数占比求出七年级优秀人数，用八年级的人数乘以八年级样本中优秀的人数占比求出八年级优秀人数，再二者求和即可得到答案．【小问1详解】解：八年级C组的人数为1020%2⨯=人，而八年级B组有4人，则把八年级10名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为88分，88分，∴八年级学生成绩的中位数8888882a+==；∵七年级10名学生成绩中，得分为87分的人数最多，∴七年级的众数87b=；由题意得，1041020%%100%40%10m−−⨯=⨯=，∴40m=；故答案为：88；87；40；【小问2详解】解：八年级学生数学文化知识较好，理由如下：∵两个年级10名学生的平均成绩相同，但是八年级学生成绩的中位数和众数都比七年级学生成绩的高，∴八年级学生数学文化知识较好；【小问3详解】解：350040040%31010⨯+⨯=人，∴估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有310人．21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EF AC ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴①，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴②．∴CFO AEO ≅△△（AAS ）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．【答案】（1）见解析 （2）①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；（2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠，进而证明()AAS CFO AEO ≌，得到OF OE =，即可证明四边形AECF 是平行四边形．再由EF AC ⊥，即可证明四边形AECF 是菱形．【小问1详解】解：如图所示，即为所求；【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形．22. 某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A 、B 两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半．据测算需要A 、B 两种外墙漆各300千克，购买外墙漆总费用为15000元，已知A 种外墙漆每千克的价格比B 种外墙漆每千克的价格多2元．（1）求A 、B 两种外墙漆每千克的价格各是多少元？（2）已知乙每小时粉刷外墙面积是甲每小时粉刷外墙面积的45，乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．问甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？【答案】（1）A 种外墙漆每千克的价格为26元，则B 种外墙漆每千克的价格为24元．（2）甲每小时粉刷外墙的面积是25平方米．【解析】【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次方程的应用，理解题意建立方程是解本题的关键； （1）设A 种外墙漆每千克的价格为x 元，则B 种外墙漆每千克的价格为()2x −元，再根据总费用为15000元列方程求解即可；（2）设甲每小时粉刷外墙面积为y 平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45y 平方米；利用乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时．从而建立分式方程求解即可．【小问1详解】解：设A 种外墙漆每千克的价格为x 元，则B 种外墙漆每千克的价格为()2x −元，∴()300300215000x x +−=，解得：26x =，∴224x −=，答：A 种外墙漆每千克的价格为26元，B 种外墙漆每千克的价格为24元．【小问2详解】设甲每小时粉刷外墙面积为y 平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是45y 平方米；。
重庆市2015年中考数学试题(B卷,扫描版,含答案)
重庆市2015年初中毕业暨高中招生考试数学试题（B 卷）参考答案（全卷共五个大题 满分150分 考试时间120分钟）一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 ABCBDCCAABDD二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 76.510⨯ 14. 2:3 15. 10 16. 2π 17. 3518. 433三、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14分） 19.31x y =⎧⎨=⎩20. [来源:学§科§网Z §X §X §K] ∵AB ∥EF ∴A E ∠=∠ AB BF A E AC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△EFD ∴BC=FD四、解答题（本大题4个小题，每小题10分，共40分） 21.⑴33a + ⑵2x x --22. [来源:学科网ZXXK]⑴48；135；图略 ⑵23P = 23.⑴四位“和谐数”：1111，2222，3443，1221等[来源:学科网] 任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设四位“和谐数”是abcd ，则满足： 个位到最高位排列：,,,d c b a 最高位到个位排列：,,,a b c d由题意，两组数据相同，则：,a d b c == 则1000100101000100101001110911011111111abcd a b c d a b b a a ba b +++++++====+为正整数所以四位“和谐数”abcd 能被11整数又由于,,,a b c d 的任意性，故任意四位“和谐数”都可以被11整除 ⑵设能被11整除的三位“和谐数”为：zyx ，则满足： 个位到最高位排列：,,x y z 最高位到个位排列：,,z y x 由题意，两组数据相同，则：x z = 故10110zyx xyx x y ==+10110991122911111111zyx x y x y x y x yx y +++--===++为正整数 故2(14)y x x =≤≤24.⑴在Rt △PEN 中，E N=PE=30m 在Rt △PEM 中，50tan31PEME m ==︒∴20m MN EM EN =-=答：两渔船M 、N 之间的距离为20米⑵过点F 作FM ∥AD 交AH 于点M ，过点F 作FN ⊥AH 交直线AH 于点N 则四边形DFMA 为平行四边形，FMA DAB ∠=∠，DF=AM=3m 由题意：tan tan 4FMA DAB ∠=∠=，2tan 3H ∠= 在RT △FNH 中，24362tan 3FN NH H===∠m 在RT △FNM 中，246tan 4FN MN FMA ===∠m故HM=HN-MN=36-6=30m ∴AH=AM+HM=3+30=33m211()24(333)43222DAHF S DN DF AH m =⨯⨯+=⨯⨯+=梯形故需要填筑的土石方共343210043200V S L m =⨯=⨯= 设原计划平均每天填筑3xm ，则原计划43200x天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑332xm4320012(1220) 1.543200x x x+--⨯= 解得：600x =经检验：600x =是原分式方程的解，且满足实际意义 答：该施工队原计划平均每天填筑6003m 的土石方 [来源:学.科.网]五、解答题（本大题共2个小题，每小题12分，共24分） 25.⑴由四边形AEDF 的内角和为360︒，可知DE ⊥AB ，故2BE =⑵取AB 的中点G ，连接DG易证：DG 为△ABC 的中位线，故DG=DC ，60BGD C ∠=∠=︒ 又四边形AEDF 的对角互补，故GED DFC ∠=∠ ∴△DEG ≌△DFC 故EG=CF∴BE+CF=BE+EG=BG=12AB ⑶取AB 的中点G ，连接DG 同⑵，易证△DEG ≌△DFC 故EG=CF故BE-CF=BE-EG=BG=12AB 设CN x =在Rt △DCN 中，CD=2x ，DN=3x在RT △DFN 中，NF=DN=3x ，故E G=CF=(31)x - BE=BG+EG=DC+CF=2x+(31)x -=(31)x + 故BE+CF=(31)(31)23x x x ++-= 3()3[(31)(31)]23BE CF x x x -=+--=故3()BE CF BE CF +=- 26.⑴AD ：1y x =+⑵过点F 作x 轴的垂线，交直线AD 于点M ，易证△FGH ≌△FGM 故FGH FGM C C =△△ 设2(,23)F m m m -++则FM=2223(1)2m m m m m -++-+=-++ 则 C=219922(12)(12)()22FM FM m ++⨯=+=-+-+故最大周长为9+92知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
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重庆市2015年初中毕业暨高中招生考试数学试题（B 卷）（全卷共五个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1、 试题的答案书写在答题卡．．．上，不得在试卷上直接作答； 2、 作答前认真阅读答题卡．．．的注意事项； 3、 作图（包括做辅助线）请一律用黑色．．签字笔完成； 4、 考试结束，由监考人员将试题和答题卡．．．一并收回. 参考公式：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,)24b ac b a a --（，对称轴为2bx a=-.一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，期中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．-3的绝对值是 A ．3B ．-3C ．13D．13-2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．3．下列调查中，最适宜采用全面调查方式（普查）的是 A ．对重庆市中学生每天学习所用时间的调查 B ．对全国中学生心理健康现状的调查C ．对某班学生进行6月5日式“世界环境日”知晓情况的调查D ．对重庆市初中学生课外阅读量的调查4．在平面直角坐标系中，若点P 的坐标为（-3,2），则点P 所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限5．计算 A ．2B．3C6．某校为纪念世界反法西斯战争胜利70周年，矩形了主题为“让历史照亮未来”的演讲比赛，期中九年级的5位参赛选手的比赛成绩（单位：分）分别为：8.6，9.5，9.7，8.8,9，则这5个数据中的中位数是 A ．9.7 B ．9.5 C ．9 D ．8.8 7．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是 A ．五边形 B ．六边形C ．七边形D ．八边形9题图8．已知一元二次方程22530x x -+=，则该方程根的情况是A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．两个根都是自然数D ．无实数根9.如图，AC 是⊙O 的切线，切点为C ，BC 是⊙O 的直径，AB 交⊙O 与点D 连接OD ，若∠BAC =55°，则∠COD 的大小为 A ．70° B ．60°C ．55°D ．35°10．下列图形都是有几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有2个黑色正方形，图②中有5个黑色正方形，图③中有8个黑色正方形，图④中有11个黑色正方形，…，按此规律，图⑩中黑色正方形的 个数是10题图图④图③图②图①A ．32B ．29C ．28D ．2611．某星期天下午，小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校，小强从家出发先不行到车站，等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校．图中折线表示小强离开家的路程y （公里）和所用时间x （分）之间的函数关系．下列说法中错误的是 A ．小强从家到公共汽车站步行了2公里 B ．小强在公共汽车站等小明用了10分钟 C ．公共汽车的平均速度是30公里/小时 D ．小强乘公共汽车用了20分钟11题图(分)x12题图A12．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC 的顶点O 在坐标原点，边BO 在x 轴的负半轴上，∠BOC =60°，顶点C 的坐标为(m,，反比例函数ky x=的图像与菱形对角线AO 交于D 点，连接BD ，当BD ⊥x 轴时，k 的值是 利用三角函数求出D 点坐标:D(-6,A．B ．-C ．二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13．据不完全统计，我国常年参加志愿者服务活动的志愿者超过65000000人，把65000000用科学计数法3n-116题图18题图E表示为____6.5×107___.14．已知△ABC ∽△DEF ，若△ABC 与△DEF 的相似比为2:3，则△ABC 与△DEF 对应边上的中线的比为___2:3_____.15．计算：02(3.14(3)+- =______10______.16．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，先以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧，再以AB 边的中点为圆心，AB 长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是__2π____（结果保留π）17．从-2，-1，0，1，2这5个树种，随机抽取一个数记为a ，则使关于x 的不等式组21162212x x a-⎧≥-⎪⎨⎪-<⎩，有解，且使关于x 的一元一次方程32123x a x a -++=的解为负数的概率为_____35___. 18．如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，AB=2，BC=E 、F 分别是线段AB ，AD 上的点，连接CE ，CF ，当∠BCE=∠ACF ，且CE=CF时，___.18题解析：232xE如图作F G ⊥AC,易证△BCE ≌△GCF （AAS ），∴BE=GF,BC=CG ，∵在Rt △ABC 中tan 3AB ACB BC ∠===∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∠DAC=∠ACB=30°(内错角)，∵F G ⊥AC ，∴AF=2GF, ∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE, 设BE=x ，在Rt △AFG 中=，4AC AG CG ∴=+=+=，解得2x =∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=22=三、解答题：（本大题2个小题，每小题7分，共14分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上. 19．解二元一次方程组213 6.x y x y -=⎧⎨+=⎩，①②20题图AE解：②-①得 y = 1将y =1带入①得 x =3∴原方程组的解为：31x y =⎧⎨=⎩. 20．如图，△ABC 和△EFD 分别在线段AE 的两侧，点C ，D 在线段AE 上，AC=DE ，AB ∥EF.求证：BC=FD 证明：∵AB ∥EF ∴A E ∠=∠ AB BFA E AC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△EFD ∴BC=FD四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上. 21．化简下列各式：（1）22(1)(1)(12)a a a +++-；=(1)(2212)=3(1)33a a a a a +++-+=+解：原式 （2）22121121x x x x x x --⎛⎫-+÷⎪+++⎝⎭． 2222(21)(1)(1)=12(2)(1)12x x x x x x x x x x x x---++---+=+-=--解：原式22．某校七年级（1）班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动”的调查，并将调查结果分为书法和绘画类（记为A ）、音乐类（记为B ）、球类（记为C ）、其他类（记为D ）.根据调查结果发现该班每个学生都进行了等级且只登记了一种自己最喜欢的课外活动.班主任根据调查情况把学生都进行了归类，并制作了如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：类别“我最喜欢的课外活动”各类别人数条形统计图2018161412108642（1）七年级（1）班学生总人数为_______人，扇形统计图中D 类所对应扇形的圆心角为_____度，请补全条形统计图；（2）学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A 类4名学生中有两名学生擅长书法，另两名擅长绘画.班主任现从A 类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率.类别22题图”我最喜欢的课外活动“各类别人数占全班总人数的百分比的扇形统计图“我最喜欢的课外活动”各类别人数条形统计图2018161412108642解：(1)七年级（1）班学生总人数为__48___人，扇形统计图中D 类所对应扇形的圆心角为_105_度，请补全条形统计图；，则可列下表：∴由上表可得：82(123P =一名擅长书法一名擅长绘画)=23．如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”.例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”.再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”. (1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由； (2) 已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(14x ≤≤，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式. 解：⑴四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一） 任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下： 设任意四位“和谐数”形式为：abcd ，则满足：最高位到个位排列：,,,a b c d 个位到最高位排列：,,,d c b a由题意，可得两组数据相同，则：,a d b c ==则1000100101000100101001110911011111111abcd a b c d a b b a a ba b +++++++====+为正整数 ∴ 四位“和谐数”abcd 能被11整数 又∵,,,a b c d 为任意自然数，∴任意四位“和谐数”都可以被11整除⑵设能被11整除的三位“和谐数”为：zyx ，则满足： 个位到最高位排列：,,x y z 最高位到个位排列：,,z y x由题意，两组数据相同，则：x z = 故10110zyx xyx x y ==+ 10110991122911111111zyx x y x y x y x yx y +++--===++为正整数 ∴2(14)y x x =≤≤24． 某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD ，期中A B ∥CD.瞭望台PC 正前方水面上有两艘渔船M 、N ，观察员在瞭望台顶端P 处观测渔船M 的俯角31α=︒，观测渔船N 在俯角45β=︒，已知NM 所在直线与PC 所在直线垂直，垂足为点E ，PE 长为30米. （1）求两渔船M ，N 之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD 的坡度1:0.25i =.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH 的坡度为1:1.5i =，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？ （参考数据：tan310.60,sin310.52︒≈︒≈） 解：（1）在Rt △PEN 中，EN=PE=30m在Rt △PEM 中，50tan31PEME m ==︒∴20m MN EM EN =-=答：两渔船M 、N 之间的距离为20米（2）过点F 作FM ∥AD 交AH 于点M ，过点F 作FN ⊥AH 交直线AH 于点N 则四边形DFMA 为平行四边形，FMA DAB ∠=∠，DF=AM=3m由题意：tan tan 4FMA DAB ∠=∠=，2tan 3H ∠=在RT △FNH 中，24362tan 3FN NH H===∠m在RT △FNM 中，246tan 4FN MN FMA ===∠m故HM=HN-MN=36-6=30m ∴AH=AM+HM=3+30=33m211()24(333)43222DAHF S DN DF AH m =⨯⨯+=⨯⨯+=梯形故需要填筑的土石方共343210043200V S L m =⨯=⨯=设原计划平均每天填筑3xm ，则原计划43200x 天完成；增加机械设备后，现在平均每天填筑332xm 4320012(1220) 1.543200x x x+--⨯= 解得：600x =经检验：600x =是原分式方程的解，且满足实际意义 答：该施工队原计划平均每天填筑6003m 的土石方24题图H五、解答题：（本大题2个小题，每小题12分，共24分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡．．．中对应的位置上.25．在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC （或AC 的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；（2）如图2，将（1）中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点 F.求证：1CF 2BE AB +=； （3）如图3，将（2）中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，若DN=FN ，求证：)BE CF BE CF +=-.25题图225题图113.解：⑴由四边形AEDF的内角和为360︒，可知DE⊥AB，故2BE=⑵取AB的中点G，连接DG易证：DG为△ABC的中位线，故DG=DC，60BGD C∠=∠=︒又四边形AEDF的对角互补，故GED DFC∠=∠∴△DEG≌△DFC故EG=CF∴BE+CF=BE+EG=BG=12AB⑶取AB的中点G，连接DG同⑵，易证△DEG≌△DFC故EG=CF故BE-CF=BE-EG=BG=12AB设CN x=在Rt△DCN中，CD=2x，在RT△DFN中，，故EG=CF=1)xBE=BG+EG=DC+CF=2x+1)x=1)x故BE+CF=1)1)x x++=)1)1)]BE CF x x--=故)BE CF BE CF+=-26．如图，抛物线223y x x=-++与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 点D 和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.（1）求直线AD的解析式；（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作F G⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD 于点H，求△FGH的周长的最大值；（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.xxx26题备用图226题备用图126题图1解：⑴AD ：1y x =+⑵过点F 作x 轴的垂线，交直线AD于点M ，易证△FGH ≌△FGM 故FGH FGM C C =△△ 设2(,23)F m m m -++则FM=2223(1)2m m m m m -++-+=-++则 C=212(1(1)2FM FM m +==-+-⑶①若AP 为对角线如图，由△PMS ∽△MAR 可得9(0,)2P由点的平移可知1(2)2Q -，故Q 点关于直线AM 的对称点T 为1(0,)2-②若AQ 为对角线如图，同理可知P 1(0,)2-由点的平移可知Q 7(2,)2故Q 点关于直线AM 的对称点T 为9(0,)2。