云南省玉溪一中2020届高三上学期第二次月考数学(文)试题 Word版含答案

玉溪一中高2020届高三上学期第2次月考文科数学试卷命题人：飞 超 张琪冉伊一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{42}M x x =-<<，2{60}N x x x =--<，则M N ⋂= A ．{43}x x -<< B ．{42}x x -<<- C ．{22}x x -<< D ．{23}x x << 2．设复数1z i =+(i 是虚数单位)，则复数1z z+在复平面内所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．在△ABC 中，“0CA CB >”是“△ABC 为锐角三角形”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．若1cos 21sin 22αα+=，则tan 2α=A ．54B ．54-C ．43D ．43-5．《九章算术》是我国古代数学文化的优秀遗产，数学家刘徽在注解《九章算术》时，发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，为此他创立了割圆术，利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后四位 3.1416，后人称3.14为徽率．图1是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则结束程序时，输出的n 为 (参考数据： 1.7321≈，sin150.2588≈，sin 7.50.1305≈）) A ．6 B ．12 C ．24 D ．486．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则1102log a =A ．4-B ．5-C ．6-D ．7- 7．设0.50.4a =，0.50.6b =，0.30.6c =，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a c b <<B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<图18．已知函数212()321x x f x x x ⎧-<⎪=⎨≥⎪-⎩，，,若方程()f x a =有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)9．某人向边分别为5,12,13的三角形区域内随机丢一粒芝麻，假设芝麻落在区域内的任意 一点是等可能的，则其恰落在离三个顶点距离都大于2的地方的概率为 A ．5-15π B ．10-15π C ．15-15π D ．15π10．给出下列四个命题，其中不正确的命题为 ①若cos cos αβ=，则2,k k Z αβπ-=∈； ②函数2cos(2)3y x π=+的图象关于直线12x π=对称；③函数cos(sin ),y x x R =∈为偶函数； ④函数sin y x =是周期函数.A ．①③B ．②④C ．①②③④D ．①②④11．已知圆22:(36M x y ++=，定点0)N ，点P 为圆M 上的动点，点Q 在NP 上，点G 在MP 上，且满足2NP NQ =，0GQ NP =，则点G 的轨迹方程为 A ．22194x y += B ．2213631x y += C ．22194x y -=D ．2213631x y -=12．已知直线y kx b =+与曲线ln(2)y x =和曲线ln(1)y x =+都相切，则k = A ．ln 2B ．1ln 2C ．1ln 2 D．ln二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．过圆锥的轴的截面是顶角为120的等腰三角形，若圆锥的体积为π，则圆锥的母线长为________.14．2019年3月10日，山间一道赤焰拔地而起，巨大的轰鸣声响彻大凉山，长征三号乙运载火箭托举“中星6C ”卫星成功发射升空。

这一刻，中国长征系列运载火箭的发射次数刷新为“300”。

长征系列运载火箭实现第一个“百发”用了37年，第二个“百发”用了不到8年，第三个“百发”用时仅4年多。

已知在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)和燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是2000ln(1)Mv m=+.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12000米/秒．15．函数sin()24x y π=+的图象可以由函数cos2xy =的图象向________平移________个单位长度得到.（第一空2分，第二空3分）16．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，函数()[]g x x =为取整函数.0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0(1)=g x -________. 三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17．(本小题满分12分）设函数()sin f x x =，x R ∈. （1）已知[0,2)θπ∈，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）设22()[()][()],124g x f x f x x R ππ=+++∈，求()g x 的单调递减区间 .18．(本小题满分12分)如图2，四面体ABCD 中，O ，E 分别是BD ，BC 的中点，AB AD ==2CA CB CD BD ====．（1）求证：AO ⊥平面BCD ； （2）求三棱锥D ACE -的体积．19．(本小题满分12分)足球是当今世界传播范围最广、参与人数最多的体育运动，具有广泛的社会影响，深受世界各国民众喜爱．图2（1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球，当评分低于80分则认为不喜欢足球，这50名大学生问卷评分的结果用茎叶图表示如图3：请依据上述数据填写如下列联表：请问是否有 0095的把握认为喜欢足球与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．（2）已知某国“糖果盒”足球场每年平均上座率y 与该国成年男子国家足球队在国际足联的年度排名x 线性相关，数据如表(69k <<，36m <<，k ，*)m N ∈ 求变量y 与x 的线性回归方程ˆybx a =+，并预测排名为1时该球场的上座率． 图3参考公式及数据：1221ˆni ii nii x ynx y bxnx ==-=-∑∑，ˆˆy bxa =+；5127.49i i i x y ==∑．20．(本小题满分12分)设函数221()(ln ),(0)f x x a x a a x x =---->（1）求函数()f x 的单调区间； （2）记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值．21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点(2,0)A -，(2,0)B 的连线的斜率之积为12-（1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设过点(1,0)-的直线l 与轨迹C 交于,P Q 两点，判断直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22,23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin cos 1θρθ-+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设点(1,)P m ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且8PA PB=，求m 的值． 23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数()1f x ax =-(0)a > ．（1）若不等式()2f x ≤的解集为A ，集合=(-2,2)B ，若A B ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若不等式123()()2f x f x a a ++>对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．玉溪一中2019-2020学年上学期高三年级第2次月考文科数学试卷参考答案一、选择题C A BD C B C D C D A A 二、填空题：13．__2_. 14． __61e -____．15．__右___2π__.（答案不唯一）16． __1____. 三、解答题：17.【解析】（I ）因为是偶函数，所以，对任意实数x 都有，即，故，所以．又，因此或．…4分（Ⅱ）1)6x π=+-………9分 解不等式3222262k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈可得：536k x k ππππ+≤≤+所以，()g x 的单调递减区间为5[,]36k k ππππ++，k Z ∈………12分18.【解析】解：（1）证明：连接OC ，BO DO =，AB AD =，AO BD ∴⊥； BO DO =，BC CD =，CO BD ∴⊥；………3分在AOC ∆中，由已知可得1AO =，CO =，而2AC =， 222AO CO AC ∴+=，90AOC ∴∠=︒，即AO OC ⊥；………5分 BD OC O ⋂=，AO ∴⊥平面BCD ；………6分()sin()f x x θθ+=+sin()sin()x x θθ+=-+sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+2sin cos 0x θ=cos 0θ=[0,2π)θ∈π2θ=3π22222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭（2）D ACE A CDE V V --=三棱锥三棱锥13CDE S AO ∆=⨯⨯1132BCD S AO ∆=⨯⨯⨯2112132=⨯⨯=， 即三棱锥D ACE -．………12分19.【解析】（1）由题意知，8a =，12b =，20c =，10d =，填写列联表如下；计算23 2.70628222030231K ==>>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为喜欢足球与性别有关；……6分 （2）由题意知，5127.49i i i x y ==∑，若8k =，则90.980.9160.920.9330.9527.49m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得 3.744.020.93m =≈，不合题意，舍去； 若7k =，则90.970.9160.920.9330.9527.49m ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 解得5m =；……8分因此521200i i x ==∑，6x =，0.922y =；所以1221ˆ0.0085ni ii nii x ynxybxnx==-==--∑∑， ˆˆ0.922(0.0085)60.973ay bx =-=--⨯=，所以y 与x 的线性回归方程为ˆ0.00850.973yx =-+，……11分 计算1x =时，ˆ0.008510.9730.9645y=-⨯+=， 即预测排名为1时该球场的上座率为0.9645．……12分20.【解析】（1）函数的定义域为：{|0}x x >， 23212()1()f x a x x x '=+-+……1分 32322x x ax ax +--=223(2)(2)x x a x x +-+=23()(2)0x a x x a x -+=>⇒>，……3分()f x ∴单减区间为(0,)a ，单增区间(,)a +∞．……4分（2）由（1）221()()()min f x f a a a lna a a a==----， ∴211(),()1g a alna g a lna a a'=--=--，……6分 容易得到g '（a ）在(0,)+∞上单调递减， g '（1）0=，……9分(0,1)a ∴∈时，g '（a ）0>，(1,)a ∈+∞时，g '（a ）0<，所以g （a ）在(0,1)单增，(1,)+∞单减， g ∴（a ）max g =（1）1=-．……12分21.【解析】（1）设动点M 的坐标为(),x y ，因为2MA yk x =+()2x ≠-，2MB y k x =-()2x ≠，所以1222M AM By y k kx x =⨯=-+-． 整理得22142x y +=．所以M 的轨迹C 的方程22142x y +=()2x ≠±．……………4分 （2）解法1：过点()1,0-的直线为x 轴时，显然不合题意．……5分所以可设过点()1,0-的直线方程为1x my =-，设直线1x my =-与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由221,1,42x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222230m y my +--=．……6分因为()()2221220m m ∆=-++>，由韦达定理得+1y 2y ＝222m m +，1y 2y ＝232m -+．…………………7分 注意到+1x 2x ＝()122422m y y m -+-=+．所以PQ 的中点坐标为222,22m N m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．…………8分因为12PQ y =-==9分点N 到直线52x =-的距离为()22252562222m d m m +=-=++．…………10分 因为2d -24PQ =()422292012042m m m ++>+，…………………11分即d >2PQ ，所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．……12分解法2：①当过点()1,0-的直线斜率不存在时，直线方程为1x =-，与22142xy +=交于1,2P ⎛--⎝⎭和1,2Q ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点，此时直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．…………5分②当过点()1,0-的直线斜率存在时，设其方程为()1y k x =+， 设直线()1y k x =+与轨迹C 的交点坐标为P ()11,x y ，()22,Q x y ，由()221,1,42y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()()2222214240k x k x k +++-=．……………6分因为()()()2222244212424160kk k k ∆=-+-=+>，由韦达定理得12x x +=22421k k -+，12x x =222421k k -+．…………7分注意到()121222221ky y k x x k k +=++=+． 所以PQ 的中点坐标为2222,2121k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．……8分因为12PQ x =-==．…………9分点N 到直线52x =-的距离为()22225265221221k k d k k +=-=++．………10分 因为2d -24PQ =()4222122090421k k k ++>+，……………11分即d >2PQ ， 所以直线52x =-与以线段PQ 为直径的圆相离．…12分22.【解析】(1)曲线C 的普通方程为22(1)1x y -+=.…2分l 10x-+-=，即10x --=…4分(2)由于直线l 过点(1,)P m，倾斜角为30°，故直线l 的参数方程为112x y m t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 是参数)．………6分 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程并化简得2210t mt m ++-=.2430m ∆=->解得33m -<<………8分 ∴21218PA PB t t m ==-=，解得3m =±满足m <<所以3m =±………10分第 11 页 共 11 页23.【解析】(1)由12ax -≤，得212ax -≤-≤，又∵0a >，∴13x a a-≤≤，得13[,]A a a =-∵(2,2)A ⊆-∴1232aa⎧->-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得1232a a ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，∴32a > ∴a 的取值范围是3(,)2+∞.………4分 (2)由题意，3112ax x -++>恒成立，设()11h x ax x =-++，因为0a >，所以(1)11()(1)211(1)a x x h x a x x a a x x a ⎧⎪-+<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩………6分 ()h x 在(,1)-∞-单调递减，在1(,)a+∞单调递增，………7分 ①当01a <≤时，()h x 在1[1,]a -单调递增，min 3()(1)12h x h a =-=+>，∴112a <≤………8分 ②当1a >时，()h x 在1[1,]a -单调递减，min 113()()12h x h a a ==+>，∴12a <<.………9分综上所述，a 的取值范围是1(,2)2.………10分。