高考数学”一本“培养优选练中档大题分类练4立体几何文
高考数学”一本“培养优选练小题模拟练4文
小题模拟练(四)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋12－x ≥0，B ＝{－1,0,1,2}则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1,2} C ．{－1,0,1,2}D ．{1,2}A [由题意得A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋12－x ≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0＝{x |－1≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{－1,0,1}．选A.]2．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图50所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为( )图50A ．30B ．31C ．32D ．33 B [阅读茎叶图可知乙组的中位数为：32＋342＝33，结合题意可知：甲组的中位数为33，即m ＝3，则甲组数据的平均数为：24＋33＋363＝31. ]3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋1≥0，x ＋y －3≤0，则z ＝4x －3y 的最大值为( )A ．3B ．9C ．12D ．15C [由图知，画出可行域如图所示，过(3,0)时，z ＝4x －3y 取得最大值为12.故选C.]4．一个四面体的三视图如图51所示，则该四面体的体积是( )图51A.12B.13C.23D ．1B [根据题意得到原图是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为：13×12×2×1×1＝13.故答案为B.]5．已知a ＞0，b ＞0，并且1a ，12，1b 成等差数列，则a ＋9b 的最小值为( )A ．16B ．9C ．5D ．4A [∵1a ，12，1b 成等差数列，∴1a ＋1b＝1.∴a ＋9b ＝(a ＋9b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝10＋a b ＋9b a≥10＋2a b ·9b a ＝16，当且仅当a b ＝9b a 且1a ＋1b＝1，即a ＝4，b ＝43时等号成立．选A.](教师备选)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －2|－12的图象大致为( )A BC DC [f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x ＋2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x －2|－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －2|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋2|－12＝f (x )，所以函数是偶函数，关于y 轴对称，排除A 、D ，当x ＝2时，f (2)＝916＞0，排除B ，故选C.]6．将曲线C 1：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π2个单位长度，得到曲线C 2：y ＝g (x )，则g (x )在[－π，0]上的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π6 B [由题意g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2－π6＝－sin2x －π6，2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，k ＝－1时，－2π3≤x ≤－π6，故选B.] 7．(2018·湘中名校联考)执行如图52所示的程序框图，如果运行结果为5 040，那么判断框中应填入( )图52A ．k ＜6?B ．k ＜7?C ．k ＞6?D ．k ＞7?D [执行程序框图，第一次循环，得S ＝2，k ＝3； 第二次循环，得S ＝6，k ＝4； 第三次循环，得S ＝24，k ＝5； 第四次循环，得S ＝120，k ＝6； 第五次循环，得S ＝720，k ＝7； 第六次循环，得S ＝5 040，k ＝8，此时满足题意，退出循环，输出的S ＝5 040， 故判断框中应填入“k ＞7？” .]8．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 035是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log 6a 2 018＝( )A ．1B ．2C ．－1 D. 2A [令f ′(x )＝x 2－8x ＋6＝0，故x 1＋x 2＝8＝a 1＋a 4 035，x 1·x 2＝6＝a 1·a 4 035＝a 22 018，故log 6a 2 018＝log 6a 22 018＝log 66＝1.]9．|AB →|＝1，|AC →|＝2，AB →·AC →＝0，点D 在∠CAB 内，且∠DAB ＝30°，设AD →＝λAB →＋μAC →(λμ∈R )，则λμ＝( )A ．3B.33C.233D ．2 3D [以点A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点B (1,0)，C (0,2)，直线AD ：y ＝33x ，又AD →＝(λ，2μ)，则2μλ＝33，λμ＝23，故选D.](教师备选)(2018·泉州质检)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，F 是双曲线C 的右焦点，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点D ，E ，则双曲线C 的离心率e 的取值范围为( )A ．(2，3)B ．(2，＋∞)C ．(2，2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62 B [法一：由题意知，直线l ：y ＝－a b(x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a b x －c ，b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x2＋2a 4c b2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c 2b 2＋a 2b 2＝0，由x 1x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c2b 2＋a 2b 2b 2－a4b＜0得b 4＞a 4，所以b 2＝c 2－a 2＞a 2，所以e 2＞2，得e ＞ 2.法二：由题意，知直线l 的斜率为－ab，若l 与双曲线左，右两支分别交于D ，E 两点，则－a b ＞－b a，即a 2＜b 2，所以a 2＜c 2－a 2，e 2＞2，得e ＞ 2.]10．如图53所示，四边形EFGH 为空间四面体A BCD 的一个截面，若截面为平行四边形，AB ＝4，CD ＝6，则截面平行四边形的周长的取值范围为( )图53A ．(4,6)B ．(6,10)C ．(8,12)D ．(10,12)C [因为四边形EFGH 为平行四边形， 所以EF ∥HG ， 因为HG ⊂平面ABD . 所以EF ∥平面ABD ， 因为EF ⊂平面ABC ， 平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， 所以EF ∥AB . 同理EH ∥CD ，设EF ＝x (0＜x ＜4)，CF BC ＝EF AB ＝x4，则FG 6＝BF BC＝BC －CF BC ＝1－x4. 从而FG ＝6－32x .所以四边形EFGH 的周长l ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋6－32x ＝12－x ，又0＜x ＜4，则有8＜l ＜12.即四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．] 二、填空题11．已知复数z ＝1＋4i 1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．－32 [z ＝1＋4i 1－i＝＋＋2＝－3＋5i 2，所以复数z 的实部为－32.]12．已知圆Ω过点A (5,1)，B (5,3)，C (－1,1)，则圆Ω的圆心到直线l ：x －2y ＋1＝0的距离为________．55 [由题知，圆心坐标为(2,2)，则d ＝15＝55.] 13．在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若C ＝2B ，则cb的取值范围是________．(2，3) [因为C ＝2B ，所以sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，∴c ＝2b cos B ，cb＝2cosB ，因为锐角△ABC ，所以0＜B ＜π2，0＜C ＝2B ＜π2，0＜A ＝π－C －B ＝π－3B ＜π2，∴π6＜B ＜π4，∴cos B ∈⎝⎛⎭⎪⎫22，32，c b ∈(2，3)．] 14．已知函数f n (x )＝[x [x ]]，x ∈(n ，n ＋1)(n ＝1,2,3，…)，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－2.1]＝－3，[－3]＝－3，[2.5]＝2.函数f n (x )的值域中元素个数记为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足a n S n ＜500的最大正整数n 等于________．9 [当x ∈(n ，n ＋1)时，[x ]＝n ， 则x [x ]＝nx ∈(n 2，n 2＋n )，∴[x [x ]]可取到的值分别为n 2，n 2＋1，n 2＋2，…，n 2＋n －1，共有n 个数，即a n ＝n .∴S n ＝n n ＋2，a n S n ＝n 2n ＋2，当n ＝9时，a 9S 9＝8102＝405＜500.当n ＝10时，a 10S 10＝102×112＝550＞500，∴满足a n S n ＜500的最大正整数n 等于9.。
高考数学大一轮复习高考必考题突破讲座4立体几何的综合问题课件文新人教A版
【例1】 (2018·全国卷Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中， AB＝AC＝3，∠ACM＝90°，以AC为折痕将△ACM折起，使 点M到达点D的位置，且AB⊥DA.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC； (2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ
＝23DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
CF得 AADE
＝
CF CD
，故AC∥EF.在△DEF中，DE＝DF，H为EF中
点，可得EF⊥HD，翻折后仍然有EF⊥HD′，所以AC⊥
HD′.
(2)由EF∥AC得ODHO＝AADE ＝14.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO
＝ AB2－AO2 ＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2
＋OH2＝(2 2 )2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥
(2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.证明如下：连接 AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点．连接 OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.又MC⊄平面PBD，OP ⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD.
【突破训练3】 (2018·全国卷Ⅲ)如图，矩形ABCD所在平 面与半圆弧 CD 所在平面垂直，M是 CD 上异于C，D的点．
(1)证明：平面AMD⊥平面BMC； (2)在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明 理由．
解析 (1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线 为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面 CMD，故BC⊥DM.因为M为 CD 上异于C，D的点，且DC为直 径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而 DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.
OOEB＝DCBE＝12.
2019高考数学一本培养优选练小题对点练6立体几何2文.doc
1.已知两条直线/〃、〃, 给出下面四个命题:A. 9(彖+1) n +8^3 C. 9(/+2) n +4^3B.9(/+2) n +4^3-8 D. 9(彖+1) n +8^3-8X(2n X3) X 3^2+ n X32-(2^/2)2+4X 椁X8)= 9(彖+ 1) n +8^3-8.故选D.]小题对点练（六）立体几何（2）（建议用时:40分钟）-、选择题%1。
〃0, /nd a , z?c0n m//〃；®m// n, m// a => n// a；®m// Dy zz?±a n 〃J_ a；④。
〃0, m//〃，〃_L a => 〃 J_ P. 其中正确命题的序号是()A.①③B.③④C.①④D.②③B [_®a// fl, a,〃u B,则两条直线可以异面.故不正确.%1历〃〃，m// a,有可能直线〃在平面内.故不正确.%1）〃〃〃，ml. a=>n_L a f根据线面垂直的判定定理得到结论正确.%1。
〃0, m//n, mL a ,则z?±a，又因为。
〃8,故〃_L 结论正确;故正确的是③④・]2.如图12,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）D [由三视图可知，该几何体是由一个四棱锥和一个圆锥拼接而成，故3.已知们〃是两条不同直线，Q, 0是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若方垂直于同一平而，则a与0平行B.若/〃，〃平行于同一平而，则/与〃平行C.若。
，8不平行，则在a内不存在与8平行的直线D.若/〃，〃不平行，则〃与〃不E能垂直于同一平面D [由A,若。
，0垂直于同一平面，贝IJ Q, 8可以相交、平行，故A不正确：由B,图1213 8n +16 A..16 B. 8n+云 oC. 12JI +64 D.-n+4 若/〃，〃平行于同一平而，则/〃，〃可以平行、重合、相交、异而，故B 不正确；由C,若B 不平行，但。
高考数学”一本“培养优选练小题分层练8中档小题保分练(4)文
小题分层练(八) 中档小题保分练(4)(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝－x 2＋1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝|x 3|D ．y ＝2－|x |C [对于A ：是偶函数，但在(0，＋∞)单调递减，故A 错； 对于B ：不是偶函数，故B 错；对于C ：是偶函数，在(0，＋∞)单调递增，故C 对； 对于D ：是偶函数，在(0，＋∞)上y ＝2－x单调递减， 故选C.]2．(2018届福建德化三校联考)定义运算a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，则函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象是下图中( )A B C D D [由题意可得f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ＞0，则答案为D.]3．(2018·惠州二模)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，2π3C [将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12，可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，再往上平移1个单位，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的图象．∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的单调区间与函数y ＝sin2x ＋π6相同，∴令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，该函数的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π6，故选C.] 4．(2018·茂名模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2b cos C ＋c ＝2a ，且b ＝13，c ＝3，则a ＝( )A. 1B. 6 C ．2 2 D. 4 D [∵2b cos C ＋c ＝2a ，由正弦定理可得2sin B cos C ＋sin C ＝2sin A ＝2sin(B ＋C )＝2sin B cos C ＋2cos B sin C ， ∴sin C ＝2cos B sin C ，∵sin C ≠0,0＜B ＜π，∴B ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∵b ＝13，c ＝3，解得a ＝4.] 5．某几何体的三视图如图41所示，则此几何体的体积为( )图41A ．6＋22＋ 6B ．6＋2 2C ．3D.83D [由该几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱锥和一个三棱柱所构成的简单组合体，所以其体积为V ＝V 1＋V 2，而V 1＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×1＝23，V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×2×1＝2，所以V＝V 1＋V 2＝23＋2＝83，故应选D.]6．等差数列log 3(2x )，log 3(3x )，log 3(4x ＋2)，…的第四项等于( ) A. 3B. 4C ．log 318D ．log 324A [∵log 3(2x )、log 3(3x )、log 3(4x ＋2)成等差数列， ∴log 3(2x )＋log 3(4x ＋2)＝2log 3(3x )， ∴log 3(2x )(4x ＋2)＝log 3(3x )2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x 4x ＋2＝3x 22x ＞04x ＋2＞0，解得x ＝4.∴等差数列的前三项为log 38，log 312，log 318， ∴公差d ＝log 312－log 38＝log 332，∴数列的第四项为log 318＋log 332＝log 327＝3，选A.]7．(2018·南宁联考)在如图42所示的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别棱是B 1B 、AD 的中点，异面直线BF 与D 1E 所成角的余弦值为( )图42A.147 B.57 C.105D.255D [如图，过E 点作EM ∥AB ，过M 点作MN ∥AD ，连接EN ，取MN 中点G ，所以面EMN ∥面ABCD ，EG ∥BF ，异面直线BF 与D 1E 所成角，转化为∠D 1EG ，不妨设正方形边长为2，GE ＝5，D 1G ＝2，D 1E ＝3，在△D 1GE 中，由余弦定理cos ∠D 1EG ＝9＋5－22×3×5＝255，选D.]8．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F 作直线y ＝－bax 的垂线，垂足为A ，交双曲线的左支于B 点，若FB →＝2FA →，则该双曲线的离心率为( )A. 3B ．2C. 5D.7C [设双曲线的右焦点F 的坐标(c,0)，由于直线AB 与直线y ＝－bax 垂直，所以直线AB 方程为y ＝ab (x －c )，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x y ＝ab x －c求出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c，－ab c ，由已知FB →＝2FA →，得点B ⎝⎛⎭⎪⎫－2a 2＋c 23c ，－2ab 3c ，把B 点坐标代入方程x 2a 2－y 2b 2＝1，2a 2＋c 229a 2c 2－4a29c2＝1，整理得c ＝5a ，故离心率e ＝c a＝5，选C.](教师备选)1．(2018·沈阳一模)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为( )A. －3B. －3或9C. 3或－9D. －9或－3B [结合流程图可知，该流程图等价于计算分段函数：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －8，x ≤02－log 3x ，x ＞0的函数值，且函数值为0，据此分类讨论：当x ≤0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－8＝0，∴x ＝－3；当x ＞0时，2－log 3x ＝0，∴x ＝9， 综上可得，输入的实数x 的值为－3或9.]2．(2018·南昌一模)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 22－y 2b2＝1(b ＞0)的左右焦点，点A 为双曲线C 左支上一点，AF 1交右支于点B ，△AF 2B 是等腰直角三角形，∠AF 2B ＝π2，则双曲线C 的离心率为( )A ．4B ．2 3C ．2D. 3D [画出图象如下图所示，根据双曲线的定义有|AF 2|－|AF 1|＝|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝22，根据等腰直角三角形有|AF 2|＝|BF 2|，解得|BF 2|＝|AF 2|＝4，|AF 1|＝4－22，|AB |＝42，|BF 1|＝4＋22，在三角形BF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝4c 2＝42＋(4＋22)2－2×4×(4＋22)×cos π4＝24，解得c ＝6，故离心率为c a ＝62＝ 3.选D.]9．(2018·北京朝阳一模)某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是( ) A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁D [若甲获得一等奖，则小张、小李、小赵的预测都正确，与题意不符； 若乙获得一等奖，则只有小张的预测正确，与题意不符； 若丙获得一等奖，则四人的预测都错误，与题意不符；若丁获得一等奖，则小王、小李的预测正确，小张、小赵的预测错误，符合题意，故选D. ]10．(2018·咸阳二模)已知定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＋f ′(x )＞1，设a ＝f (2)－1，b ＝e[f (3)－1]，则a ，b 的大小关系为( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．a ＝bD ．无法确定A [令g (x )＝e xf (x )－e x，则g ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x ))－e x ＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)＞0.即g (x )在R 上为增函数．所以g (3)＞g (2)，即e 3f (3)－e 3＞e 2f (2)－e 2，整理得e[f (3)－1]＞f (2)－1，即a ＜b ，故选A.]二、填空题 (教师备选)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0，g x ，x ＞0为奇函数，则f (g (2))＝________.2 [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－2，x ＜0g x ，x ＞0为奇函数，所以f (2)＝g (2)，f (－2)＝22－2＝2，g (2)＝－f (－2)＝－22＋2＝－2，f (g (2))＝f (－2)＝22－2＝2.]11．某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．12[7：30的班车小明显然是坐不到的．当小明在7：50之后8：00之前到达，或者8：20之后8：30之前到达时，他等车的时间将不超过10分钟，故所求概率为10＋1040＝12.](教师备选)(2018·百校联盟联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线l ：x －ky ＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，且PQ ∥BC ，则BQ →·CP →的值为________．－223 [因为圆心O 为三角形ABC 的中心，所以边长为23，由于直线l ：x －ky ＝0与圆C ：x 2＋y 2＝4的内接正三角形ABC 交边AB 于点P ，交边AC 于点Q ，且PQ ∥BC ，因此由三角形重心的性质可得，AP →＝23AB →，AQ →＝23AC →，BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)·(CA →＋AP →)＝⎝⎛⎭⎪⎫BA →＋23AC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫CA →＋23AB →＝BA →·CA →＋49AC →·AB →＋23AC →·CA →＋23AB →·BA →＝6＋83－243－243＝－223.]12．(2018·太原二模)已知三棱锥A BCD 中，AB ＝AC ＝BC ＝2，BD ＝CD ＝2，点E 是BC 的中点，点A 在平面BCD 射影恰好为DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为________．60π11 [由题意可知BC ⊥面EAD ，BD ⊥CD ，DE ＝1，设DE 中点是F ，则AF ⊥面BCD ，AF ＝112，外接球球心在过点E 垂直面BCD 的直线上，即与AF 平行的直线上．设球心为O ，半径为R ，由OA ＝OB ，R 2＝1＋OE 2＝⎝⎛⎭⎪⎫112－OE 2＋14，解得OE 2＝411，R 2＝1511，S ＝4π×1511＝60π11.]。
2024届新高考数学大题精选30题--立体几何含答案
大题立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是AB1的中点，P是B1C1的中点．(1)证明：MN⎳平面A1CP；(2)求点P到直线MN 的距离．2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．(1)求三棱锥M-ABC的体积；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．2024届新高考数学大题精选30题--立体几何3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC,AB= AC=BC=AA1=2，A1B=6．(1)设D为AC中点，证明：AC⊥平面A1DB；(2)求平面A1AB1与平面ACC1A1夹角的余弦值．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，EC⊥ED，且EC=ED= 2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AE⊥CD.(1)证明：平面ABE⊥平面CDE；(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中，A1在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱A1B1(包含端点)上的动点．(1)求点P到平面ABC1的距离；(2)若AP⊥平面α，求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围．6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAD=90°，CD= 2AB，△PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC．(1)证明：PM=2BM；(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，CM与底面ABCD所成角的正切值为311，求二面角P-AC-B的余弦值．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE为菱形，AC=BC=2，∠ACB=120°，平面ACDE⊥平面ABC，点F在AB上，且AF=2FB，M，N分别在直线CD，AB上．(1)求证：CF⊥平面ACDE；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC=60°，MN为直线CD，AB的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE与平面ABC所成角为α，若tanα>217，求平面BCD与平面CFD所成角余弦值的范围．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF 上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1 ，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△DCP是等边三角形，∠DCB=∠PCB=π4，点M，N分别为DP和AB的中点.(1)求证：MN⎳平面PBC；(2)求证：平面PBC⊥平面ABCD；(3)求CM与平面PAD所成角的正弦值.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 为直角梯形，△PAD为等边三角形，AD⎳BC，AD⊥AB，AD=AB=2BC=2．(1)求证：AD⊥PC；(2)点N在棱PC上运动，求△ADN面积的最小值；(3)点M为PB的中点，在棱PC上找一点Q，使得AM⎳平面BDQ，求PQQC的值．15(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O1O2的轴截面A1ACC1为等腰梯形，AC=2AA1= 2A1C1=4,B为底面圆周上异于A,C的点，且AB=BC,P是线段BC的中点.(1)求证：C1P⎳平面A1AB.(2)求平面A1AB与平面C1CB夹角的余弦值.16(2024·广东深圳·二模)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C⊥底面ABC，且AB= AC，A1B=A1C．(1)证明：AA1⊥平面ABC；(2)若AA1=BC=2，∠BAC=90°，求平面A1BC与平面A1BC1夹角的余弦值．17(2024·河北保定·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PCD 内存在一条直线EF 与AB 平行，PA ⊥平面ABCD ，直线PC 与平面ABCD 所成的角的正切值为32，PA =BC =23，CD =2AB =4.(1)证明：四边形ABCD 是直角梯形.(2)若点E 满足PE =2ED ，求二面角P -EF -B 的正弦值.18(2024·湖南衡阳·模拟预测)如图，在圆锥PO 中，P 是圆锥的顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，AC 是圆锥底面圆的直径，等边三角形ABD 是圆锥底面圆O 的内接三角形，E 是圆锥母线PC 的中点，PO =6,AC =4.(1)求证：平面BED ⊥平面ABD ；(2)设点M 在线段PO 上，且OM =2，求直线DM 与平面ABE 所成角的正弦值.19(2024·湖南岳阳·三模)已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为4的菱形，∠DAB =60°，PA =PC ，PB =PD =210，M 是线段PC 上的点，且PC =4MC ．(1)证明：PC ⊥平面BDM ；(2)点E 在直线DM 上，求BE 与平面ABCD 所成角的最大值．20(2024·湖南·二模)如图，直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面是边长为2的菱形，∠ABC =60°,BD 1⊥平面A 1C 1D .(1)求四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积；(2)设点D 1关于平面A 1C 1D 的对称点为E ，点E 和点C 1关于平面α对称(E 和α未在图中标出)，求平面A 1C 1D 与平面α所成锐二面角的大小.21(2024·山东济南·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=∠PCB=60°,CD=1,AB=3,PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PF⊥AD；(2)当EF为何值时，直线BE与平面PAD夹角的正弦值为74.22(2024·山东潍坊·二模)如图1，在平行四边形ABCD中，AB=2BC=4，∠ABC=60°，E为CD 的中点，将△ADE沿AE折起，连结BD，CD，且BD=4，如图2．(1)求证：图2中的平面ADE⊥平面ABCE；(2)在图2中，若点F在棱BD上，直线AF与平面ABCE所成的角的正弦值为3010，求点F到平面DEC 的距离．23(2024·福建·模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB,AB⊥BC,AB=3,BC=6，已知二面角P-AB-C的大小为θ，∠PAB=θ.(1)求点P到平面ABC的距离；(2)当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，求：(Ⅰ)二面角P-AB-C的余弦值；(Ⅱ)直线PC与平面PAB所成角.24(2024·浙江杭州·二模)如图，在多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，∠DAB=60°, BC=2PQ=4AB=4,M为BC的中点，PQ∥BC,PD⊥DC,QB⊥MD．(1)证明：∠ABQ=90°；(2)若多面体ABCDPQ的体积为152，求平面PCD与平面QAB夹角的余弦值．25(2024·浙江嘉兴·二模)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD,PA∥QD，BC=2AB=2PA=2,∠ABC=60°.(1)证明：平面PCD⊥平面PAC；(2)若PQ=22，求平面PCQ与平面DCQ夹角的余弦值.26(2024·浙江绍兴·二模)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=4，AC=2，∠CAB=60°，BC⊥AP.(1)证明：平面ACP⊥平面ABC；(2)若PA=2，PB=4，求二面角P-AB-C的平面角的正切值.27(2024·河北沧州·一模)如图，在正三棱锥A -BCD 中，BC =CD =BD =4，点P 满足AP=λAC ，λ∈(0,1)，过点P 作平面α分别与棱AB ，BD ，CD 交于Q ，S ，T 三点，且AD ⎳α，BC ⎳α.(1)证明：∀λ∈(0,1)，四边形PQST 总是矩形；(2)若AC =4，求四棱锥C -PQST 体积的最大值.28(2024·湖北·二模)如图1．在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，AB =4，AE =λAD ，AF =λAB(0<λ<1)，沿EF 将△AEF 向上折起得到棱锥P -BCDEP ．如图2所示，设二面角P -EF -B 的平面角为θ．(1)当λ为何值时，三棱锥P -BCD 和四棱锥P -BDEF 的体积之比为95(2)当θ为何值时，∀λ∈0,1 ，平面PEF 与平面PFB 的夹角φ的余弦值为5529(2024·湖北·模拟预测)空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，AB =1，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足PQ ⎳α，PQ ⊥n 且PQ ⊥m ，(i )求直线m ，n 与平面α的夹角之和；(ii )设PQ =d 0<d <1 ，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数f d ．30(2024·浙江绍兴·模拟预测)如图所示，四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1，底面ABCD 为一个菱形，且∠BAD =120°. 底面与顶面的对角线交点分别为O ，O 1. AB =2A 1B 1=2，BB 1=DD 1=392，AA 1与底面夹角余弦值为3737.(1)证明：OO 1⊥平面ABCD ；(2)现将顶面绕OO 1旋转θ角，旋转方向为自上而下看的逆时针方向. 此时使得底面与DC 1的夹角正弦值为64343，此时求θ的值(θ<90°)；(3)求旋转后AA 1与BB 1的夹角余弦值.大题 立体几何1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，M 是BC 的中点，N 是AB 1的中点，P 是B 1C 1的中点．(1)证明：MN ⎳平面A 1CP ；(2)求点P 到直线MN 的距离．【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】(1)建立如图空间直角坐标系A -xyz ，设平面A 1CP 的一个法向量为n=(x ,y ,z )，利用空间向量法证明MN ⋅n=0即可；(2)利用空间向量法即可求解点线距.【详解】(1)由题意知，AA 1⊥平面ABC ，∠BAC =60°，而AB ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，在平面ABC 内过点A 作y 轴，使得AB ⊥y 轴，建立如图空间直角坐标系A -xyz ，则A (0,0,0),B (2,0,0),C (1,3,0),A 1(0,0,2),B 1(2,0,2)，得M 32,32,0,N (1,0,1),P 32,32,2，所以A 1C =(1,3,-2),A 1P =32,32,0 ,MN =-12,-32,1 ，设平面A1CP 的一个法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅A 1C=x +3y -2z =0n ⋅A 1P =32x +32y =0，令x =1，得y =-3,z =-1，所以n=(1,-3,-1)，所以MN ⋅n =-12×1+-32×(-3)+1×(-1)=0，又MN 不在平面A 1CP 内即MN ⎳平面A 1CP ；(2)如图，连接PM ，由(1)得PM =(0,0,-2)，则MN ⋅PM =-2，MN =2,PM =2，所以点P 到直线MN 的距离为d =PM 2-MN ⋅PMPM2= 3.2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°,M 是侧棱PC 的中点，侧面PAD 为正三角形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．(1)求三棱锥M -ABC 的体积；(2)求AM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(1)12(2)3311．【分析】(1)作出辅助线，得到线线垂直，进而得到线面垂直，由中位线得到M 到平面ABCD 的距离为32，进而由锥体体积公式求出答案；(2)证明出BO ⊥AD ，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由法向量的夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值.【详解】(1)如图所示，取AD 的中点O ，连接PO ．因为△PAD 是正三角形，所以PO ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥底面ABCD ,PO ⊂平面PAD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且PO =3．又因为M 是PC 的中点，M 到平面ABCD 的距离为32，S △ABC =12×2×2×sin 2π3=3，所以三棱锥M -ABC 的体积为13×3×32=12．(2)连接BO ,BD ，因为∠BAD =π3，所以△ABD 为等边三角形，所以BO ⊥AD ，以O 为原点，OA ,OB ,OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P 0,0,3 ,A 1,0,0 ,B 0,3,0 ,C -2,3,0 ，所以M -1,32,32 ,AM =-2,32,32,PB =0,3,-3 ,BC =-2,0,0 ．设平面PBC 的法向量为n=x ,y ,z ，则PB ⋅n =0BC ⋅n =0，即3y -3z =0-2x =0 ，解得x =0，取z =1，则y =1，所以n=0,1,1 ．设AM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ=cos AM ,n =AM ⋅nAM ⋅n=-2,32,32 ⋅0,1,14+34+34×1+1=3311．即AM 与平面PBC 所成角的正弦值为3311．3(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ,AB =AC =BC =AA 1=2，A 1B =6．(1)设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面A 1DB ；(2)求平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)55【分析】(1)根据等边三角形的性质得出BD ⊥AC ，根据平面ACC 1A 1⊥平面ABC 得出BD ⊥平面ACC 1A 1，BD ⊥A 1D ，利用勾股定理得出AC ⊥A 1D ，从而证明AC ⊥平面A 1DB ；(2)建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，求出平面A 1AB 1的法向量和平面ACC 1A 1的一个法向量，利用向量求平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1的夹角余弦值．【详解】(1)证明：因为D 为AC 中点，且AB =AC =BC =2，所以在△ABC 中，有BD ⊥AC ，且BD =3，又平面ACC 1A 1⊥平面ABC ，且平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，BD ⊂平面ABC ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1，又A 1D ⊂平面ACC 1A 1，则BD ⊥A 1D ，由A 1B =6，BD =3，得A 1D =3，因为AD =1，AA 1=2，A 1D =3，所以由勾股定理，得AC ⊥A 1D ，又AC ⊥BD ，A 1D ∩BD =D ,A 1D ,BD ⊂平面A 1DB ，所以AC ⊥平面A 1DB ；(2)如图所示，以D 为原点，建立空间直角坐标系D -xyz ，可得A (1,0,0),A 1(0,0,3),B (0,3,0)，则AA 1 =-1,0,3 ,AB=-1,3,0 ，设平面A 1AB 1的法向量为n=(x ,y ,z )，由n ⋅AA 1=-x +3z =0n ⋅AB=-x +3y =0，令x =3，得y =1，z =1，所以n=3,1,1 ,由(1)知，BD ⊥平面ACC 1A 1，所以平面ACC 1A 1的一个法向量为BD=(0,-3,0)，记平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1的夹角为α，则cos α=|n ⋅BD ||n ||BD |=35×3=55，所以平面A 1AB 1与平面ACC 1A 1夹角的余弦值为55．4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE 中，BC =BD =6，EC ⊥ED ，且EC =ED =2，AB 平行于平面CDE ，AE 平行于平面BCD ，AE ⊥CD .(1)证明：平面ABE ⊥平面CDE ；(2)若点A 到直线CD 的距离为22，F 为棱AE 的中点，求平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)10535【分析】(1)设平面ABE 与直线CD 交于点M ，使用线面平行的性质，然后用面面垂直的判定定理即可；(2)证明BE ⊥平面CDE ，然后构造空间直角坐标系，直接用空间向量方法即可得出结果.【详解】(1)设平面ABE 与直线CD 交于点M ，连接ME ,MB ，则平面ABE 与平面CDE 的交线为ME ，平面ABE 与平面BCD 的交线为MB ，因为AB 平行于平面CDE ，AB ⊂平面ABE ，平面ABE 和平面CDE 的交线为ME ，所以AB ∥ME ．同理AE ∥MB ，所以四边形ABME 是平行四边形，故AE ∥MB ，AB ∥ME .因为CD ⊥AE ，AE ∥MB ，所以CD ⊥MB ，又BC =BD =6，所以M 为棱CD 的中点在△CDE 中，EC =ED ，MC =MD ，所以CD ⊥ME ，由于AB ∥ME ，故CD ⊥AB .而CD ⊥AE ，AB ∩AE =A ，AB ,AE ⊂平面ABE ，所以CD ⊥平面ABE ，又CD ⊂平面CDE ，所以平面ABE ⊥平面CDE .(2)由(1)可知，CD ⊥平面ABME ，又AM ⊂平面ABME ，所以CD ⊥AM .而点A 到直线CD 的距离为22，故AM =2 2.在等腰直角三角形CDE 中，由EC =ED =2,得CD =2,MC =MD =ME =1.在等腰三角形BCD 中，由MC =MD =1，BC =BD =6，得BM = 5.在平行四边形ABME 中，AE =BM =5，AB =EM =1，AM =22，由余弦定理得cos ∠MEA =EM 2+AE 2-AM 22EM ·AE=-55，所以cos ∠BME =55，所以BE =BM 2+EM 2-2BM ·EM cos ∠BME =2.因为BE 2+ME 2=22+12=5 2=BM 2，所以BE ⊥ME .因为平面ABME ⊥平面CDE ，平面ABME 和平面CDE 的交线为ME ，BE 在平面ABME 内.所以BE ⊥平面CDE .如图，以E 为坐标原点，EC ,ED ,EB 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则E 0,0,0 ,C 2,0,0 ,D 0,2,0 ,B 0,0,2 ,A -22,-22,2 ,F -24,-24,1.所以CD =-2,2,0 ,DB =0,-2,2 ,FB =24,24,1 .设平面BCD 的法向量为m=x 1,y 1,z 1 ，则m ⋅CD=0m ⋅DB =0，即-2x 1+2y 1=0-2y 1+2z 1=0 .则可取x 1=2，得m=2,2,2 .设平面BDF 的法向量为n =x 2,y 2,z 2 ，则n ⋅FB =0n ⋅DB=0，即24x 2+24y 2+z 2=0-2y 2+2z 2=0.取z 2=1，则n=-32,2,1 ．设平面BDF 与平面BCD 的夹角为θ，则cos θ=m ⋅n m ⋅n =-3210×21=10535.所以平面BDF 与平面BCD 夹角的余弦值为10535.5(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1在平面ABC 内的射影O 在棱AC 的中点处，P 为棱A 1B 1(包含端点)上的动点．(1)求点P 到平面ABC 1的距离；(2)若AP ⊥平面α，求直线BC 1与平面α所成角的正弦值的取值范围．【答案】(1)23913；(2)25,104.【分析】(1)以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABC 1的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解即得.(2)由向量共线求出向量AP的坐标，再利用线面角的向量求法列出函数关系，并求出函数的值域即可.【详解】(1)依题意，A 1O ⊥平面ABC ，OB ⊥AC (底面为正三角形)，且A 1O =OB =3，以O 为原点，OB ,OC ,OA 1的方向分别为x ,y ,z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，则O (0,0,0),A (0,-1,0),B (3,0,0),C (0,1,0),A 1(0,0,3),C 1(0,2,3)，AC 1 =(0,3,3)，BC 1 =(-3,2,3)，AA 1 =(0,1,3)，由A 1B 1⎳AB ，A 1B 1⊄平面ABC 1，AB ⊂平面ABC 1，则A 1B 1⎳平面ABC 1，即点P 到平面ABC 1的距离等于点A 1到平面ABC 1的距离，设n =(x ,y ,z )为平面ABC 1的一个法向量，由n ⋅AC 1=3y +3z =0n ⋅BC 1=-3x +2y +3z =0，取z =3，得n=(1,-3,3)，因此点A 1到平面ABC 1的距离d =|AA 1 ⋅n||n |=2313=23913，所以点P 到平面ABC 1的距离为23913．(2)设A 1P =λA 1B 1 ，λ∈[0,1]，则AP =AA 1 +A 1P =AA 1 +λAB=(0,1,3)+λ(3,1,0)=(3λ,1+λ,3)，由AP ⊥α，得AP为平面α的一个法向量，设直线BC 1与平面α所成角为θ，则sin θ=|cos ‹BC 1 ,AP ›|=|BC 1 ⋅AP||BC 1 ||AP |=|5-λ|10⋅3λ2+(1+λ)2+3=5-λ25⋅2λ2+λ+2，令t =5-λ，则λ=5-t ，t ∈[4,5]，则sin θ=t 25⋅2(5-t )2+(5-t )+2=t25⋅2t 2-21t +57=125⋅2-21t+57t 2=125571t-7382+576，由t ∈[4,5]，得1t ∈15,14 ，于是571t -738 2+576∈225,516，25⋅571t -738 2+576∈2105,52 ，则sin θ∈25,104，所以直线BC 1与平面α所成角的正弦值的取值范围是25,104.6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P -ABCD 中，已知AB ∥CD ，∠BAD =90°，CD =2AB ，△PAB 是正三角形，点M 在侧棱PB 上且使得PD ⎳平面AMC ．(1)证明：PM =2BM ；(2)若侧面PAB ⊥底面ABCD ，CM 与底面ABCD 所成角的正切值为311，求二面角P -AC -B 的余弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)1010．【分析】(1)连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，由已知得AB CD=EBED ，由线面平行的性质得PD ∥EM ，根据三角形相似可得EB ED =BM PM=12，即PM =2BM(2)设AB 的中点O ，首先由已知得PO ⊥底面ABCD ，在△PAB 中过点M 作MF ∥PO 交AB 于点F ，得MF ⊥底面ABCD ，则∠MCF 为CM 与底面ABCD 所成角，在底面ABCD 上过点O 作OG ⊥AC 于点G ，则∠PGO 是二面角P -AC -B 的平面角，根据条件求解即可【详解】(1)证明：连接BD 与AC 交于点E ，连接EM ，在△EAB 与△ECD 中，∵AB ∥CD ，∴AB CD=EBED ，由CD =2AB ，得ED =2EB ，又∵PD ⎳平面AMC ，而平面PBD ∩平面AMC =ME ，PD ⊂平面PBD ，∴PD ∥EM ，∴在△PBD 中，EB ED =BM PM=12，∴PM =2BM ；(2)设AB 的中点O ，在正△PAB 中，PO ⊥AB ，而侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD =AB ，且PO ⊂平面PAB ，∴PO ⊥底面ABCD ，在△PAB 中过点M 作MF ⎳PO 交AB 于点F ，∴MF ⊥底面ABCD ，∴∠MCF 为CM 与底面ABCD 所成角，∴MF CF=311，设AB =6a ，则MF=3a，∴CF=11a，BF=MF3=a，则在直角梯形ABCD中，AF=5a，而CD=12a，则AD=11a2-12a-5a2=62a，在底面ABCD上过点O作OG⊥AC于点G，则∠PGO是二面角P-AC-B的平面角，易得OA=3a，AC=66a，在梯形ABCD中，由OAOG=ACAD⇒3aOG=66a62a，得OG=3a，在Rt△POG中，PG=30a，∴cos∠PGO=OGPG=1010．7(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对“三农”工作作出指示．某地区为响应习近平主席的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体ABG-CDEHF是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形ABCD是矩形，AB=8m，AD=4m，ED=CF=1m，且ED，CF都垂直于平面ABCD，GA=GB=5m，HE=HF，平面ABG⊥平面ABCD．(1)求点H到平面ABCD的距离；(2)求平面BFHG与平面AGHE所成锐二面角的余弦值．【答案】(1)4(2)413【分析】(1)取AB,CD的中点M,N，证得平面ADE⎳平面MNHG，得到AE⎳GH，再由平面ABG⎳平面CDEHG，证得AG⎳EH，得到平行四边形AGHE，得到GH=AE，求得HN=4，结合HN⊥平面ABCD，即可求解；(2)以点N为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BFHG和平面AGHE的法向量n =(1,3,4)和m =(1,-3,4)，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】(1)如图所示，取AB,CD的中点M,N，连接GM,MN,HN，因为GA=GB，可得GM⊥AB，又因为平面ABG⊥平面ABCD，且平面ABG∩平面ABCD=AB，GM⊂平面ABG，所以GM⊥平面ABCD，同理可得：HN⊥平面ABCD，因为ED⊥平面ABCD，所以ED⎳HN，又因为ED⊄平面MNHG，HN⊂平面MNHG，所以ED⎳平面MNHG，因为MN⎳AD，且AD⊄平面MNHG，MN⊂平面MNHG，所以AD⎳平面MNHG，又因为AD∩DE=D，且AD,DE⊂平面ADE，所以平面ADE⎳平面MNHG，因为平面AEHG与平面ADE和平面MNHG于AE,GH，可得AE⎳GH，又由GM⎳HN，AB⎳CD，且AB∩GM=M和CD∩HN=N，所以平面ABG⎳平面CDEHG，因为平面AEHG与平面ABG和平面CDEHF于AG,EH，所以AG⎳EH，可得四边形AGHE 为平行四边形，所以GH =AE ，因为AE =AD 2+DE 2=42+12=17，所以GH =17，在直角△AMG ，可得GM =GB 2-AB 22=52-42=3，在直角梯形GMNH 中，可得HN =3+17-42=4，因为HN ⊥平面ABCD ，所以点H 到平面ABCD 的距离为4.(2)解：以点N 为原点，以NM ,NC ,NH 所在的直线分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则E (0,-4,1),F (0,4,1),G (4,0,3),H (0,0,4)，可得HE =(0,-4,-3),HF =(0,4,-3),HG=(4,0,-1)，设平面BFHG 的法向量为n=(x ,y ,z )，则n ⋅HG=4x -z =0n ⋅HF=4y -3z =0，取z =4，可得x =1,y =3，所以n=(1,3,4)，设平面AGHE 的法向量为m=(a ,b ,c )，则m ⋅HG=4a -c =0m ⋅HE=-4b -3c =0，取c =4，可得a =1,b =-3，所以m=(1,-3,4)，则cos m ,n =m ⋅n m n=1-9+161+9+16⋅1+9+16=413，即平面BFHG 与平面AGHE 所成锐二面角的余弦值413.8(2024·重庆·模拟预测)如图，ACDE 为菱形，AC =BC =2，∠ACB =120°，平面ACDE ⊥平面ABC ，点F 在AB 上，且AF =2FB ，M ，N 分别在直线CD ，AB 上．(1)求证：CF ⊥平面ACDE ；(2)把与两条异面直线都垂直且相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，若∠EAC =60°，MN 为直线CD ，AB 的公垂线，求ANAF的值；(3)记直线BE 与平面ABC 所成角为α，若tan α>217，求平面BCD 与平面CFD 所成角余弦值的范围．【答案】(1)证明见解析(2)AN AF=913(3)528,255 【分析】(1)先通过余弦定理及勾股定理得到CF ⊥AC ，再根据面面垂直的性质证明；(2)以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz ，利用向量的坐标运算根据MN ⋅CD =0MN ⋅AF =0，列方程求解即可；(3)利用向量法求面面角，然后根据tan α>217列不等式求解.【详解】(1)AB 2=AC 2+BC 2-2AC ⋅BC ⋅cos ∠ACB =12，AB =23，AF =2FB ，所以AF =433，CF=13CA +23CB ，CF 2=19CA 2+49CB 2+49CA ⋅CB =43，AC 2+CF 2=4+43=163=AF 2，则CF ⊥AC ，又因为平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE ∩平面ABC =AC ，CF ⊂面ABC ，故CF ⊥平面ACDE ；(2)以C 为原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系C -xyz ，由∠EAC =60°，可得∠DCA =120°，DC =2，所以C 0,0,0 ,D -1,0,3 ,A 2,0,0 ,F 0,233,0 所以AF =-2,233,0 ，CD =-1,0,3 ，设AN =λAF =-2λ,233λ,0 ，则N 2-2λ,233λ,0 ，设CM =μCD ，则M -μ,0,3μ ，MN =2-2λ+μ,233λ,-3μ ，由题知，MN ⋅CD=0MN ⋅AF =0 ⇒2λ-2-μ-3μ=04λ-4-2μ+43λ=0 ，解得λ=913，μ=-213，故AN AF=913；(3)B -1,3,0 ，设∠EAC =θ，则E 2-2cos θ,0,2sin θ ，BE=3-2cos θ,-3,2sin θ ，可取平面ABC 的法向量n=0,0,1 ，则sin α=cos n ,BE=n ⋅BEn ⋅BE =2sin θ 3-2cos θ 2+3+4sin 2θ=sin θ4-3cos θ，cos α=4-3cos θ-sin 2θ4-3cos θ，则tan α=sin θ4-3cos θ-sin 2θ>217，整理得10cos 2θ-9cos θ+2<0，故cos θ∈25,12，CF =0,23,0，CD =-2cos θ,0,2sin θ ，CB =-1,3,0 ，记平面CDF 的法向量为n 1 =x ,y ,z ，则有n 1 ⋅CD =0n 1 ⋅CF =0 ⇒-2x cos θ+2z sin θ=023y =0，可得n 1=sin θ,0,cos θ ，记平面CBD 的法向量为n 2 =a ,b ,c ，则有n 2 ⋅CD=0n 2 ⋅CB =0 ⇒-2a cos θ+2c sin θ=0-a +3b =0，可得n 2=3sin θ,sin θ,3cos θ ，记平面BCD 与平面CFD 所成角为γ，则cos γ=cos n 1 ,n 2 =33+sin 2θ，cos θ∈25,12 ，所以sin 2θ∈34,2125 ，3+sin 2θ∈152,465 ，故cos γ=33+sin 2θ∈528,255 ．9(2024·安徽·二模)将正方形ABCD 绕直线AB 逆时针旋转90°，使得CD 到EF 的位置，得到如图所示的几何体．(1)求证：平面ACF ⊥平面BDE ；(2)点M 为DF上一点，若二面角C -AM -E 的余弦值为13，求∠MAD ．【答案】(1)证明见解析(2)∠MAD =45°【分析】(1)根据面面与线面垂直的性质可得BD ⊥AF ，结合线面、面面垂直的判定定理即可证明；(2)建立如图空间直角坐标系，设∠MAD =α，AB =1，利用空间向量法求出二面角C -AM -E 的余弦值，建立方程1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α=13，结合三角恒等变换求出α即可.【详解】(1)由已知得平面ABCD ⊥平面ABEF ，AF ⊥AB ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ，AF ⊂平面ABEF ，所以AF ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，故BD ⊥AF ，因为ABCD 是正方形，所以BD ⊥AC ，AC ，AF ⊂平面ACF ，AC ∩AF =A ，所以BD ⊥平面ACF ，又BD ⊂平面BDE ，所以平面ACF ⊥平面BDE .(2)由(1)知AD ，AF ，AB 两两垂直，以AD ，AF ，AB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图.设∠MAD =α，AB =1，则A 0,0,0 ，M cos α,sin α,0 ，C 1,0,1 ，E 0,1,1 ，故AM =cos α,sin α,0 ，AC =1,0,1 ，AE =0,1,1设平面AMC 的法向量为m =x 1,y 1,z 1 ，则m ⋅AC =0，m ⋅AM=0故x 1+z 1=0x 1cos α+y 1sin α=0，取x 1=sin α，则y 1=-cos α，z 1=-sin α所以m=sin α,-cos α,-sin α设平面AME 的法向量为n =x 2,y 2,z 2 ，n ⋅AE =0，n ⋅AM=0故y 2+z 2=0x 2cos α+y 2sin α=0，取x 2=sin α，则y 2=-cos α，z 2=cos α所以n=sin α,-cos α,cos α ，所以cos m ,n =1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α，由已知得1-sin αcos α1+sin 2α1+cos 2α=13，化简得：2sin 22α-9sin2α+7=0，解得sin2α=1或sin2α=72(舍去)故α=45°，即∠MAD =45°.10(2024·安徽黄山·二模)如图，已知AB 为圆台下底面圆O 1的直径，C 是圆O 1上异于A ,B 的点，D 是圆台上底面圆O 2上的点，且平面DAC ⊥平面ABC ，DA =DC =AC =2，BC =4，E 是CD 的中点，BF =2FD ．(1)证明：DO 2⎳BC ；(2)求直线DB 与平面AEF 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)68585【分析】(1)取AC 的中点O ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，即可求证DO 2⎳OO 1，进而可证矩形，即可根据线线平行以及平行的传递性求解.(2)建系，利用向量法，求解法向量n =1,-12,3 与方向向量DB =(-1,4,-3)的夹角，即可求解．【详解】(1)证明：取AC 的中点为O ，连接DO ，OO 1，O 1O 2，∵DA =DC ，O 为AC 中点，∴DO ⊥AC ，又平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ∩平面ABC =AC ，DO ⊂平面DAC ,∴DO ⊥平面ABC ，∴DO ⎳O 1O 2，DO =O 1O 2，故四边形DOO 1O 2为矩形，∴DO 2⎳OO 1，又O ，O 1分别是AC ，AB 的中点，∴OO 1⎳BC ，∴DO 2⎳BC ；(2)∵C 是圆O 1上异于A ，B 的点，且AB 为圆O 1的直径，∴BC ⊥AC ，∴OO 1⊥AC ，∴如图以O 为原点建立空间直角坐标系，由条件知DO =3，∴A (1,0,0),B (-1,4,0),C (-1,0,0),D (0,0,3)，∴E -12,0,32 ，设F (x ,y ,z )，∴BF =(x +1,y -4,z )，FD=(-x ,-y ,3-z )，由BF =2FD ，得F -13,43,233 ，∴AF =-43,43,233 ，∴DB =(-1,4,-3)，AE =-32,0,32 ，设平面AEF 法向量为n=(x 1,y 1,z 1)，则n ⋅AE=-32x 1+32z 1=0n ⋅AF =-43x 1+43y 1+233z 1=0，取n =1,-12,3 ，设直线BD 与平面AEF 所成角为θ，则sin θ=|cos <n ,DB>|=625⋅172=68585∴直线BD 与平面AEF 所成角的正弦值为68585．11(2024·黑龙江哈尔滨·一模)正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1的下底面边长为22，A 1B 1=12AB ，M 为BC 中点，已知点P 满足AP =1-λ AB +12λ⋅AD +λAA 1，其中λ∈0,1 ．(1)求证D 1P ⊥AC ；(2)已知平面AMC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为37，当λ=23时，求直线DP 与平面AMC 1所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)241391【分析】(1)方法一运用空间向量的线性运算，进行空间位置关系的向量证明即可.方法二：建立空间直角坐标系，进行空间位置关系的向量证明即可.(2)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【详解】(1)方法一：∵A 1B 1=12AB ，∴AA 1 ⋅AB =AA 1 ⋅AD =22×22=2．∵D 1A =-12AD-AA 1∴D 1P =D 1A +AP =1-λ AB +12λ-12AD+λ-1 AA 1∴D 1P ⋅AC =1-λ AB +12λ-12AD +λ-1 AA 1 ⋅AB +AD =1-λ AB 2+12λ-12 AD2+λ-1 AB ⋅AA 1 +λ-1 AD ⋅AA 1=81-λ +812λ-12+4λ-1 =0．∴D 1P ⊥AC ，即D 1P ⊥AC ．方法二：以底面ABCD 的中心O 为原点，以OM 方向为y 轴，过O 点平行于AD 向前方向为x 轴，以过点O 垂直平面ABCD 向上方向为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h ，则有 A 2,-2,0 ，B 2,2,0 ，C -2,2,0 ，D -2,-2,0 ，A 122,-22,h ，C 1-22,22,h ，D 1-22,-22,h ，M 0,2,0 ，AC =-22,22,0AP =1-λ 0,22,0 +12λ-22,0,0 +λ-22,22,0 =-322λ,22-322λ,λhD 1A =322,-22,-h ，D 1P =D 1A +AP =-322λ+322,-322λ+322,λh -h ．故AC ⋅D 1P=0，所以D 1P ⊥AC ．(2)设平面ABCD 的法向量为n=0,0,1 ，设平面AMC 1的法向量为m =x ,y ,z ，AM =-2,22,0 ，AC 1 =-322,322,h ，则有AM ⋅m=0AC 1 ⋅m=0 ，即-2x +22y =0-322x +322y +hz =0，令x =22h ，则m=22h ,2h ,3 ．又题意可得cos m ,n =38h 2+2h 2+9=37，可得h =2．因为λ=23，经过计算可得P 0,0,43 ，D 1-22,-22,2 ，D 1P =2,2,43．将h =2代入，可得平面AMC 1的法向量m=42,22,3 ．设直线DP 与平面AMC 1所成角的为θsin θ=cos DP ,m =8+4+42+2+16932+8+9=241391．12(2024·辽宁·三模)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ,AC =AA 1=2，AB =1,BC =3，点E 为线段AC 的中点.(1)求证：AB 1∥平面BEC 1；(2)若∠A 1AC =π3，求二面角A -BE -C 1的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)-22【分析】(1)连接BC 1，交B 1C 于点N ，连接NE ，利用线面平行的判定定理证明；(2)由已知可知，△AA 1C 为等边三角形，故A 1E ⊥AC ，利用面面垂直的性质定理可证得A 1E ⊥底面ABC ，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值.【详解】(1)连接BC 1，交B 1C 于点N ，连接NE ，因为侧面BCC 1B 1是平行四边形，所以N 为B 1C 的中点，又因为点E 为线段AC 的中点，所以NE ⎳AB 1，因为AB 1⊄面BEC 1，NE ⊂面BEC 1，所以AB 1⎳面BEC 1.(2)连接A 1C ，A 1E ，因为∠A 1AC =π3，AC =AA 1=2，所以△AA 1C 为等边三角形，A 1C =2，因为点E 为线段AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ，因为侧面ACC 1A 1⊥底面ABC ，平面ACC 1A 1∩平面ABC =AC ，A 1E ⊂平面ACC 1A 1，所以A 1E ⊥底面ABC ，过点E 在底面ABC 内作EF ⊥AC ，如图以E 为坐标原点，分布以EF ，EC ，EA 1 的方向为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系，则E 0,0,0 ，B 32,-12,0 ，C 10,2,3 ，所以EB =32,-12,0 ，EC 1 =0,2,3 ，设平面BEC 1的法向量为m=x ,y ,z ，则m ⋅EB =32x -12y =0m ⋅EC 1=2y +3z =0，令x =1，则y =3,z =-2，所以平面BEC 1的法向量为m=1,3,-2 ，又因为平面ABE 的法向量为n=0,0,1 ，则cos m ,n =-21+3+4=-22，经观察，二面角A -BE -C 1的平面角为钝角，所以二面角A -BE -C 1的余弦值为-22.13(2024·广东广州·一模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，△DCP 是等边三角形，∠DCB =∠PCB =π4，点M ，N 分别为DP 和AB 的中点.(1)求证：MN ⎳平面PBC ；(2)求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；(3)求CM 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)33.【分析】(1)取PC 中点E ，由已知条件，结合线面平行的判断推理即得.(2)过P 作PQ ⊥BC 于点Q ，借助三角形全等，及线面垂直的判定、面面垂直的判定推理即得.(3)建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】(1)取PC 中点E ，连接ME ,BE ，由M 为DP 中点，N 为AB 中点，得ME ⎳DC ,ME =12DC ，又BN ⎳CD ,BN =12CD ，则ME ⎳BN ,ME =BN ，因此四边形BEMN 为平行四边形，于是MN ⎳BE ，而MN ⊄平面PBC ,BE ⊂平面PBC ，所以MN ⎳平面PBC .(2)过P 作PQ ⊥BC 于点Q ，连接DQ ，由∠DCB =∠PCB =π4,CD =PC ,QC =QC ，得△QCD ≌△QCP ，则∠DQC =∠PQC =π2，即DQ ⊥BC ，而PQ =DQ =2,PQ 2+DQ 2=4=PD 2，因此PQ ⊥DQ ，又DQ ∩BC =Q ,DQ ,BC ⊂平面ABCD ，则PQ ⊥平面ABCD ，PQ ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .(3)由(2)知，直线QC ,QD ,QP 两两垂直，以点Q 为原点，直线QC ,QD ,QP 分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则C (2,0,0),P (0,0,2),D (0,2,0),M 0,22,22,A (-2,2,0)，CM =-2,22,22,AD =(2,0,0),DP =(0,-2,2)，设平面PAD 的一个法向量n =(x ,y ,z )，则n ⋅AD=2x =0n ⋅DP=-2y +2z =0，令y =1，得n=(0,1,1)，设CM 与平面PAD 所成角为θ，sin θ=|cos ‹CM ,n ›|=|CM ⋅n||CM ||n |=23⋅2=33，所以CM 与平面PAD 所成角的正弦值是33.14(2024·广东梅州·二模)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，△PAD 为等边三角形，AD ⎳BC ，AD ⊥AB ，AD =AB =2BC =2．(1)求证：AD ⊥PC ；(2)点N 在棱PC 上运动，求△ADN 面积的最小值；(3)点M 为PB 的中点，在棱PC 上找一点Q ，使得AM ⎳平面BDQ ，求PQQC的值．【答案】(1)证明见解析(2)2217(3)4【分析】(1)取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，依题意可得四边形ABCH 为矩形，即可证明CH ⊥AD ，再由PH ⊥AD ，即可证明AD ⊥平面PHC ，从而得证；(2)连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，即可得到CG AG=12，再根据线面平行的性质得到CF FM =12，在△PBC 中，过点M 作MK ⎳PC ，即可得到MKCQ=2，最后由PQ =2MK 即可得解.【详解】(1)取AD 的中点H ，连接PH ，CH ，则AH ⎳BC 且AH =BC ，又AD ⊥AB ，所以四边形ABCH 为矩形，所以CH ⊥AD ，又△PAD 为等边三角形，所以PH ⊥AD ，PH ∩CH =H ，PH ,CH ⊂平面PHC ，所以AD ⊥平面PHC ，又PC ⊂平面PHC ，所以AD ⊥PC .(2)连接HN ，由AD ⊥平面PHC ，又HN ⊂平面PHC ，所以AD ⊥HN ，所以S △ADH =12AD ⋅HN =HN ，要使△ADN 的面积最小，即要使HN 最小，当且仅当HN ⊥PC 时HN 取最小值，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，又HC ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥HC ，在Rt △HPC 中，CH =2，PH =3，所以PC =CH 2+PH 2=7，当HN ⊥PC 时HN =PH ⋅CH PC =237=2217，所以△ADN 面积的最小值为2217.(3)连接AC 交BD 于点G ，连接MC 交BQ 于点F ，连接FG ，因为AD ⎳BC 且AD =2BC =2，所以△CGB ∽△AGD ，所以CG AG =BC AD=12，因为AM ⎳平面BDQ ，又AM ⊂平面ACM ，平面BDQ ∩平面ACM =GF ，所以GF ⎳AM ，所以CF FM =CG AG=12，在△PBC 中，过点M 作MK ⎳PC ，则有MK CQ =MF CF=2，所以PQ =2MK ，所以PQ =2MK =4CQ ，即PQQC=415(2024·广东广州·模拟预测)如图所示，圆台O 1O 2的轴截面A 1ACC 1为等腰梯形，AC =2AA 1=2A 1C 1=4,B 为底面圆周上异于A ,C 的点，且AB =BC ,P 是线段BC 的中点.(1)求证：C 1P ⎳平面A 1AB .(2)求平面A 1AB 与平面C 1CB 夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)17【分析】(1)取AB 的中点H ，连接A 1H ,PH ，证明四边形A 1C 1PH 为平行四边形，进而得C 1P ⎳A 1H ，即可证明；(2)建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，利用平面夹角公式求解.【详解】(1)取AB 的中点H ，连接A1H ,PH ，如图所示，因为P 为BC 的中点，所以PH ⎳AC ,PH =12AC .在等腰梯形A 1ACC 1中，A 1C 1⎳AC ,A 1C 1=12AC ，所以HP ⎳A 1C 1,HP =A 1C 1，所以四边形A 1C 1PH 为平行四边形，所以C 1P ⎳A 1H ，又A 1H ⊂平面A 1AB ,C 1P ⊄平面A 1AB ，所以C 1P ⎳平面A 1AB .(2)因为AB =BC ,故O 2B ⊥AC ，以直线O 2A ,O 2B ，O 2O 1分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形A 1ACC 1中，AC =2AA 1=2A 1C 1=4，此梯形的高为h =AA 21-AC -A 1C 122= 3.因为A 1C 1=12AC ,A 1C 1⎳AC ，。
高考数学”一本“培养优选练小题分层练4送分小题精准练(4)文
小题分层练(四) 送分小题精准练(4)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知集合A ＝{1，a 2}，B ＝{2a ，－1}，若A ∩B ＝{4}，则实数a 等于( ) A ．－2 B ．0或－2 C ．0或2 D ．2D [因为A ∩B ＝{4}，所以4∈A 且4∈B ，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝42a ＝4，a ＝2，故选D.]2. 集合A ＝{3,2a}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,2,3} B ．{0,1,3} C ．{0,1,2,3}D ．{1,2,3,4}A [由于A ∩B ＝{2}，∴2a＝2，解得a ＝1，∴b ＝2，∴A ＝{3,2}，B ＝{1,2}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，故答案为A.]3．若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( ) A ．－1B ．0C ．1D ．2B [因为a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝4a ＋(a 2－4)i ＝－4i ，得4a ＝0且a 2－4＝－4， 解得a ＝0，故选B.] 4．已知复数z ＝1－i ，则z 2z －1＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2iA [将z ＝1－i 代入得z 2z －1＝1－i 21－i －1＝－2i－i＝2，故选A.]5．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5B.10C ．2 5D ．10B [因为x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ， 所以x －2＝0，所以a ＝(2,1)，所以a ＋b ＝(3，－1)， 所以|a ＋b |＝32＋－12＝10，故选B.]6．已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论中正确的是( )A ．x 与y 正相关，x 与z 负相关B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关C ．x 与y 负相关，x 与z 负相关D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关C [因为y ＝－0.1x ＋1，x 的系数为负，故x 与y 负相关；而y 与z 正相关，故x 与z 负相关．]7．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B 为( ) A.π3B.π6 C.π3或2π3D.π6或5π6C [由正弦定理可得：3sin A ＝2sin B sin A ， ∴sin B ＝32， 则B 为π3或2π3.]8. 若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点， 且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A ．x 2＋y 23＝1B.x 22＋y 24＝1C.x 23＋y 2＝1 D.x 24＋y 22＝1 D [抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以椭圆中a ＝2，双曲线x 2－y 2＝1焦点为(±2，0)，∴c ＝2，∴b 2＝4－2＝2，所以椭圆方程为x 24＋y 22＝1.]9．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A. 3B. 5C. 7D. 9C [作可行域，如图，则直线z ＝x ＋2y 过点A (1,3)取最大值7，选C.]10．为了从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛，老师将二人最近的6次数学测试的分数进行统计，甲、乙两人的得分情况如茎叶图33所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是( )图33A ．x 甲＞x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛B ．x 甲＞x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛C ．x 甲＜x 乙，甲比乙成绩稳定，应选甲参加比赛D ．x 甲＜x 乙，乙比甲成绩稳定，应选乙参加比赛 D [由茎叶图可知，甲的平均数是72＋78＋79＋85＋86＋926＝82，乙的平均数是78＋86＋87＋87＋91＋936＝87，所以乙的平均数大于甲的平均数，即x 甲＜x 乙，从茎叶图可以看出乙的成绩比较稳定，应选乙参加比赛，故选D.]11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≥3f x ＋1，x ＜3，则f (2＋log 32)的值为( )A ．－227B.154C.227D ．－54B [∵2＋log 31＜2＋log 32＜2＋log 33，即2＜2＋log 32＜3， ∴f (2＋log 32)＝f (2＋log 32＋1)＝f (3＋log 32)， 又3＜3＋log 32＜4，∴f (3＋log 32)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋log 32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫13log 32＝127×(3－1)log 32＝127×3－log 32＝127×3log 312＝127×12＝154， ∴f (2＋log 32)＝154，故选B.]12．(2018·太原模拟)某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采取分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为( )A.15B.25C.35D.45B [由题设，第一组抽取2人，第二组抽取3人，5人中安排两人打扫卫生，共有10种安排方法，两人来自同一组的情况共有4种，故所求概率为410＝25.选B.]二、填空题13．已知椭圆y 24＋x 23＝1与抛物线y ＝ax 2(a ＞0)有相同的焦点，则抛物线的焦点到准线的距离为________．2 [椭圆y 24＋x 23＝1的焦点为(0，±1)，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)即x 2＝1a y 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a ，由题意可得14a ＝1，解得a ＝14，则抛物线的焦点到准线的距离为12a＝2.]14．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．23[设两本数学书为A ，B ，语文书为C ，则将3本书排成一排所有可能为ABC ，BAC ，ACB ，BCA ，CAB ，CBA ，其中两本数学书相邻的所有可能有ABC ，BAC ，CAB ，CBA ，故2本数学书相邻的概率为46＝23.]15．已知向量a ＝(1,0)，b ＝(λ，2)，|2a －b |＝|a ＋b |，则λ＝________. 12 [由a ＝(1,0)，b ＝(λ，2)，则2a －b ＝(2,0)－(λ，2)＝(2－λ，－2)，a ＋b ＝(1＋λ，2)，所以|2a －b |2＝(2－λ)2＋(－2)2＝8－4λ＋λ2，|a ＋b |2＝5＋2λ＋λ2， 又由|2a －b |＝|a ＋b |，所以8－4λ＋λ2＝5＋2λ＋λ2，解得λ＝12.]16．在平面直角坐标系中，已知点A (－1,0)，B (1,2)，C (3，－1)，点P (x ，y )为△ABC 边界及内部的任意一点，则x ＋y 的最大值为________．3 [ △ABC 三个顶点坐标分别为A (－1,0)，B (1,2)，C (3，－1)， 如图，令z ＝x ＋y ，化为y ＝－x ＋z ，可知当直线y＝－x＋z过点B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为3.]。
专题04 立体几何-【李金柱梳理】冲刺2023年高考数学大题突破+限时集训(新高考专用)(原卷版)
专题04立体几何题型简介立体几何一般作为全国卷第20题21题.重点题型主要是1体积问题及表面积问题2线面距离及线面角问题3二面角问题4空间几何综合问题典例在线题型一：体积及表面积问题1．在如图所示的多面体ABCDE 中，⊥AE 平面ABC ，AE CD ∥，22AE CD ==，3CA CB ==，25AB =(1)证明：平面ABE ⊥平面BDE ；(2)求多面体ABCDE 的体积．变式训练1．如图①，在平面四边形ABCD 中，2AB AD ==，2BC CD ==60BAD ∠= ．将BCD △沿着BD 折叠，使得点C 到达点C '的位置，且二面角A BD C '--为直二面角，如图②．已知,,P G F 分别是,,AC AD AB '的中点，E 是棱AB 上的点，且C E '与平面ABD 所成角的正233(1)证明：平面//PGF 平面C DB '；(2)求四棱锥P GFED -的体积．题型二：线面距离及线面角问题1如图，在多面体ABCDE 中，已知ABC ，ACD ，BCE 均为等边三角形，平面ACD ⊥平面ABC ，平面BCE ⊥平面ABC ，H 为AB的中点．(1)判断DE 与平面ABC 的位置关系，并加以证明；(2)求直线DH 与平面ACE 所成角的正弦值．变式训练1如图，PD 垂直于梯形ABCD 所在平面，90ADC BAD ∠=∠=，F 为PA 的中点，2PD =112AB AD CD ===，四边形PDCE 为矩形.(1)求证：//AC 平面DEF ；(2)求平面ABCD 与平面BCP 的夹角的大小；(3)求点F 到平面BCP 的距离.题型三：二面角问题1如图，四棱锥P -ABCD 中，已知AD BC ∥，BC =2AD ，AD =DC ，∠BCD =60°，CD ⊥PD ，PB ⊥BD．(1)证明：PB ⊥AB ；(2)设E 是PC 的中点，直线AE 与平面ABCD 所成角等于45°，求二面角B -PC -D 的余弦值．变式训练1如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为梯形，AB CD ∥，2AB CD =，AD SD =，SAB △为正三角形，SC BC ⊥，CB CS =.(1)求证：平面SAB ⊥平面SBC ；(2)求二面角C SA D --的余弦值.题型四：空间几何综合问题1．如图所示，正方形ABCD 所在平面与梯形ABMN 所在平面垂直，AN BM ∥，2AN AB BC ===，4BM =，23CN =(1)证明：BM ⊥平面ABCD ；(2)在线段CM （不含端点）上是否存在一点E ，使得二面角E BN M --33若存在，求出的CEEM值；若不存在，请说明理由.变式训练1如图，在四棱锥E -ABCD 中，平面ADE ⊥平面ABCD ，O ､M 分别为线段AD ､DE 的中点，四边形BCDO 是边长为1的正方形，AE =DE ，AE ⊥DE.(1)求证：CM //平面ABE ；(2)求直线CM 与BD 所成角的余弦值；(3)点N 在直线AD 上，若平面BMN ⊥平面ABE ，求线段AN 的长.模拟尝试1．（2023·山东·潍坊一中校联考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 为等边三角形，M 为PA 的中点，PD AB ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ．(1)证明：平面MCD ⊥平面PAB ；(2)若//AD BC ，2AD BC =，2CD AB =，求平面MCD 与平面PBC 夹角的余弦值．2．（2023·山东·日照一中校考模拟预测）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AAAB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C--的正弦值．3．（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D 为线段AB 的中点，4CB =，43AB =118AC =，三棱锥1A A DC -的体积为8．(1)证明：1A D ⊥平面11B C D ；(2)求平面1ACD 与平面1A BC 夹角的余弦值．4．（2022·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为等边三角形，O 为线段AD 的中点，且平面PAD ⊥平面ABCD ，M 是线段PC 上的点.(1)求证：OM BC ⊥；(2)若直线AM 与平面PAB 的夹角的正弦值为1010，求四棱锥M ABCD -的体积.5．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -中，16AA =E 是1AA 的中点，底面ABCD 是平行四边形，若1A C ⊥平面1BDC.(1)若1AB AA =，证明：底面ABCD 是正方形(2)若60BAD ∠=︒，求二面角1B BE D --的余弦值6．（2022·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）直四棱柱1111ABCD A B C D -被平面α所截，所得的一部分如图所示，EF DC =．（1）证明：//ED 平面ACF ；（2）若1242DC AD A E ===，3ADC π∠=，平面EFCD 与平面ABCD 所成角的正切值433，求点E 到平面ACF 的距离．真题再练1．（2021·全国·统考高考真题）如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，M 为BC 的中点，且PB AM ⊥．（1）求BC ；（2）求二面角A PM B --的正弦值．2．（2021·全国·统考高考真题）已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?3．（2021·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，AB AD =，O 为BD 的中点.（1）证明：OA CD ⊥；（2）若OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在棱AD 上，2DE EA =，且二面角E BC D --的大小为45︒，求三棱锥A BCD -的体积.4．（2022·全国·统考高考真题）如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．5．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面ABCD 是边长为8（单位：cm ）的正方形，,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD 垂直．(1)证明：//EF 平面ABCD ；(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．6．（2022·全国·统考高考真题）如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C--的正弦值．7．（2022·全国·统考高考真题）如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．8．（2022·北京·统考高考真题）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．9．（2022·天津·统考高考真题）直三棱柱111ABC A B C -中，112,,AA AB AC AA AB AC AB ===⊥⊥，D为11A B 的中点，E 为1AA 的中点，F 为CD 的中点．(1)求证：//EF 平面ABC ；(2)求直线BE 与平面1CC D 所成角的正弦值；(3)求平面1ACD 与平面1CC D 所成二面角的余弦值．。
2019高考数学(文)”一本“培养优选练：中档大题分类练5 选考部分(选修4-4、选修4-5)+Word版含解析
2019高考数学(文)“一本”培养优选练中档大题分类练(五)选考部分(选修4－4、选修4－5)（建议用时：60分钟）1．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a,1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t y ＝1＋2t (t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|P A |＝2|PB |，求实数a 的值．[解] (1)C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋2ty ＝1＋2t，消参得普通方程为x －y －a ＋1＝0, C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0，即y 2＝4x;(2)将曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2ty ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )代入曲线C 2：y 2＝4x ，得2t 2－22t ＋1－4a ＝0，由Δ＝(－22)2－4×2(1－4a )＞0，得a ＞0，设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，由题意得|t 1|＝2|t 2|即t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2, 当t 1＝2t 2时，⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝1－4a 2，解得a ＝136，当t 1＝－2t 2时，⎩⎪⎨⎪⎧ t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝1－4a 2，解得a ＝94，综上：a ＝136或94.[选修4－5：不等式选讲]已知∃x ∈R ，使不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立．(1)求满足条件的实数t 的集合T ；(2)若m ＞1，n ＞1，对∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．[解] (1)令f (x )＝|x －1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1，x ≤1，2x －3，1＜x ＜2，1，x ≥2，则－1≤f (x )≤1，由于∃x ∈R 使不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，有t ∈T ＝{t |t ≤1}.(2)由(1)知，log 3m ·log 3n ≥1，根据基本不等式log 3m ＋log 3n ≥2log 3m ·log 3n ≥2， 从而mn ≥32，当且仅当m ＝n ＝3时取等号，再根据基本不等式m ＋n ≥2mn ≥6，当且仅当m ＝n ＝3时取等号． 所以m ＋n 的最小值为6.2．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为：⎩⎨⎧ x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0，π])，将曲线C 1经过伸缩变换：⎩⎨⎧x ′＝x y ′＝3y 得到曲线C 2.。
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中档大题分类练(四) 立体几何（建议用时：60分钟）1．如图57，已知多面体PE ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且PA ⊥平面ABCD ，ED ∥PA ，且PA ＝2ED ＝2.图57(1)证明：平面PAC ⊥平面PCE ；(2)若∠ABC ＝60°，求点P 到平面ACE 的距离．[解] (1)证明：连接BD ，交AC 于点O ，设PC 中点为F ， 连接OF ，EF .因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点，所以OF ∥PA ，且OF ＝12PA ，因为DE ∥PA ，且DE ＝12PA ，所以OF ∥DE ，且OF ＝DE .所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD ∥EF ，即BD ∥EF . 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD . 因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC .因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC, 因为BD ∥EF ，所以EF ⊥平面PAC ，因为EF ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE .(2)因为∠ABC ＝60°，所以△ABC 是等边三角形，所以AC ＝2. 又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AC ，∴S △PAC ＝12×PA ×AC ＝2，因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC 的高，EF ＝DO ＝BO ＝3，333∵DE ∥PA ，PA ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥平面ABCD ，∴DE ⊥AD ，DE ⊥CD ，∵DE ＝1，∴AE ＝CE ＝5，∴S △ACE ＝2×2×12＝2，所以点P 到平面ACE 的距离h ＝V P ACE13S △ACE ＝23323＝ 3.2．如图58，在四棱锥P ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，△PAD ≌△BAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝4，PA ＝PD ，M 在棱PD 上运动．图58(1)当M 在何处时，PB ∥平面MAC ；(2)已知O 为AD 的中点，AC 与OB 交于点E ，当PB ∥平面MAC 时，求三棱锥E BCM 的体积．[解] (1)如图，设AC 与BD 相交于点N ，当M 为PD 的中点时，PB ∥平面MAC ，证明：∵四边形ABCD 是菱形，可得：DN ＝NB ，又∵M 为PD 的中点，可得：DM ＝MP ，∴NM 为△BDP 的中位线，可得NM ∥PB ，又∵NM ⊂平面MAC ，PB ⊄平面MAC ，∴PB ∥平面MAC .(2)∵O 为AD 的中点，PA ＝PD ，则OP ⊥AD ，又△PAD ≌△BAD ，∴OB ⊥AD ，且OB ＝23，又∵△AEO ∽△CEB ，∴OE BE ＝OA BC ＝12.33233又∵OP ＝4×32＝23，点M 为PD 的中点， ∴M 到平面EBC 的距离为 3. ∴V E BCM ＝V M EBC ＝13×833×3＝83.3．在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CA ＝AA 1＝2，侧棱AA 1⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF ＝14AB .图59(1)求证：EF ∥平面BDC 1； (2)求三棱锥D BEC 1的体积． [解] (1)取AB 的中点O ，连接A 1O ，∵AF ＝14AB ，∴F 为AO 的中点，又E 为AA 1的中点，∴EF ∥A 1O ，∵A 1D ＝12A 1B 1，BO ＝12AB ，AB 綊A 1B 1，∴A 1D 綊BO ，∴四边形A 1DBO 为平行四边形，∴A 1O ∥BD ， ∴EF ∥BD ，又EF ⊄平面BDC 1，BD ⊂平面BDC 1， ∴EF ∥平面BDC 1.(2)∵AA 1⊥平面A 1B 1C 1，C 1D ⊂平面A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥C 1D ，∵A 1C 1＝B 1C 1＝A 1B 1＝2，D 为A 1B 1的中点，∴C 1D ⊥A 1B 1，C 1D ＝3，又AA 1⊂平面AA 1B 1B ，A 1B 1⊂平面AA 1B 1B ，AA 1∩A 1B 1＝A 1， ∴C 1D ⊥平面AA 1B 1B ，∵AB ＝AA 1＝2，D ，E 分别为A 1B 1，AA 1的中点， ∴S △BDE ＝22－12×1×2－12×1×2－12×1×1＝32.∴VD BEC 1＝VC 1BDE ＝13S △BDE ·C 1D ＝13×32×3＝32.4．如图60所示，在四棱锥P ABCD 中，△BCD ，△PAD 都是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，且AD ＝2AB ＝4，CD ＝2 3.图60(1)求证：平面PCD ⊥平面PAD ；(2)E 是AP 上一点，当BE ∥平面PCD 时，求三棱锥C PDE 的体积． [解] (1)因为AD ＝4，AB ＝2，BD ＝23，所以AD 2＝AB 2＋BD 2，所以AB ⊥BD ，∠ADB ＝30°，又因为△BCD 是等边三角形，所以∠ADC ＝90°，所以DC ⊥AD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为CD ⊂平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAD . (2)过点B 作BG ∥CD 交AD 于G ，过点G 作EG ∥PD 交于AP 于点E ， 因为BG ∥CD ，BG ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以BG ∥平面PCD ， 同理可得EG ∥平面PCD ，所以平面BEG ∥平面PCD ， 因为BE ⊂平面BEG ，所以BE ∥平面PCD .因为EG ∥PD ，所以PE PA ＝DG DA，在直角三角形BGD 中，BD ＝23，∠BDG ＝30°，所以DG ＝23cos 30°＝3，所以PE PA ＝DG DA ＝34，在平面PAD 内过E 作EH ⊥PD 于H ，因为CD ⊥平面PAD ，EH ⊂平面PAD ，所以CD ⊥EH ， 因为PD ∩CD ＝D ，所以EH ⊥平面PCD ，所以EH 是点E 到平面PCD 的距离， 过点A 作AM ⊥PD 于M ，则AM ＝32×4＝23， 由AM ∥EH ，得EH AM ＝PE PA ＝34，所以EH ＝323.因为S △PCD ＝12×4×23＝43，所以V C PDE ＝13×43×323＝6.(教师备选)1．如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为2，A 1在底面ABC 内的射影O 为底面△ABC 的中心，如图所示．(1)求异面直线AA 1与BC 1所成角的大小； (2)求三棱锥C 1BCA 1的体积．[解] (1)连接AO ，并延长与BC 交于点D ， 则D 是BC 边上的中点．因为点O 是正△ABC 的中心，且A 1O ⊥平面ABC ， 所以BC ⊥AD ，BC ⊥A 1O . 因为AD ∩A 1O ＝O ， 所以BC ⊥平面ADA 1. 所以BC ⊥AA 1.又AA 1∥CC 1，所以BC ⊥CC 1，所以异面直线AA 1与BC 1所成的角为∠BC 1C . 因为BC ＝CC 1＝2，所以异面直线AA 1与BC 1所成角的大小为π4.(2)因为三棱柱的所有棱长都为2， 所以可求得AD ＝3，AO ＝23AD ＝233，A 1O ＝AA 21－AO 2＝263. 因为S △ABC ＝12×2×3＝3，所以VABC A 1B 1C 1＝S △ABC ·A 1O ＝22，VA 1BCC 1B 1＝VABC A 1B 1C 1－VA 1ABC ＝423. 所以VC 1BCA 1＝VA 1BCC 1＝12VA 1BCC 1B 1＝223.2．如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起到图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1BCDE .图① 图②(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1BCDE 的体积为362，求a 的值． [解] (1)证明：在图题①中，连接EC (图略)， 因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，E 是AD 的中点，所以四边形ABCE 为正方形，所以BE ⊥AC ，即在图题②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC . 又A 1O ∩OC ＝O ，从而BE ⊥平面A 1OC ， 又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1OC . (2)由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ， 且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ，又由(1)可知A 1O ⊥BE ，所以A 1O ⊥平面BCDE ， 即A 1O 是四棱锥A 1BCDE 的高， 由图1知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2， 从而四棱锥A 1BCDE 的体积V ＝13×S ×A 1O ＝13×a 2×22a ＝26a 3， 由26a 3＝362，解得a ＝6.。