2.7 函数与方程(讲解部分)
2.7 函数与方程
∴若存在实数 a 满足条件， 则只需 f(－1)· f(3)≤0 即可． f(－1)· f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)· (9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 1 所以 a≤－ 或 a≥1. 5 检验：①当 f(－1)＝0 时，a＝1. 所以 f(x)＝x2＋x.令 f(x)＝0，即 x2＋x＝0. 得 x＝0 或 x＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠1.
f(a)· f(b)>0，f(x)在区间(a，b)上照样存在零点，而且有两个．所 以我们说零点存在性定理的条件是充分条件，但并不必要．
基础自测 1．根据下面表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为__________. (1,2) x ex x＋2 －1 0.37 1 0 1 2 1 2.72 3 2 7.39 4 3 20.09 5
(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内， 如图(2)所示 f0>0， f1>0， 列不等式组 Δ≥0， 0<－m<1. 1 m>－ ， 2 1 ⇒m>－2， m≥1＋ 2或m≤1－ 2， －1<m<0. 1 即－ <m≤1－ 2. 2
( B )
题型分类
题型一 例1
深度剖析
判断函数在给定区间上零点的存在性
判断下列函数在给定区间上是否存在零点．
(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]； (2)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]． 思维启迪
第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出
零点，第(2)问利用零点的存在性定理或利用两图象的交 点来求解．
探究提高
直接求解法．这类题目是高考的常考题目，望同学们能 够灵活处理．
初中数学函数与方程知识点
初中数学函数与方程知识点初中数学中的函数与方程是数学学科中的重要内容，也是许多学生初学数学时遇到的难点。
在初中数学中，函数与方程作为基础知识点，是了解高中数学和数学分析的关键。
本文将从函数的定义与性质、方程的基本概念、解方程的方法等方面进行论述，希望对初中学生的数学学习有所帮助。
函数的定义与性质函数是指自变量和因变量之间的关系。
一般地，一个映射表示了两个变量之间的关系，这个映射就可以称为一个函数。
用符号来表示函数，在数学中常用f(x)来表示。
其中，x为自变量，f(x)为因变量。
函数的定义可以表示为：对于任意给定的x，它只有唯一的一个对应的y值。
函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
定义域是指函数定义的自变量的取值范围，值域是函数的值的范围。
单调性是指函数值的变化方向是单调递增或递减，奇偶性是指函数值满足奇偶规律，周期性是指函数的值存在周期性规律。
方程的基本概念方程是数学中最基本的概念之一，它是指一个等式，其中未知量表示数值大小不确定的数量。
方程可以分为一元方程和多元方程。
一元方程只有一个未知量，多元方程则有多个未知量。
解方程的方法解方程是数学学科中最基本、最重要的操作之一。
解方程的方法主要包括：代入法、消元法、平方根法、配方法、因式分解法等多种方法。
“代入法”是指将等式中一个未知量用另一个已知量代入后，通过计算找到等式的未知量的取值。
例如，对于方程y = 2x + 3，如果已知x的值是1，那么可以将y = 2 × 1 + 3代入，得到y = 5。
这样就求出了方程中y的值。
“消元法”是指利用等式中的某些结构性质，将未知量互相抵消得到结果。
例如，对于方程2x + y = 7，x + 2y = 9，可以将第一个等式乘以2，得到4x + 2y = 14，然后将第二个等式减去，得到-3x = -5，最终求得x = 5/3。
“平方根法”是指将方程中的平方项转化成含未知量的一次项。
例如，对于方程x^2 + 4x + 3 = 0，可以将左侧的x^2用(x+2)^2代替，即x^2 + 4x + 4 - 1 = 0，然后得到(x+2)^2 = 1，最终求出x的值为-3或-1。
函数与方程课件
06
函数与方程的未来发展
函数与方程在其他学科中的应用
数学建模
函数与方程在数学建模中扮演着 重要的角色，通过建立数学模型 ，可以描述现实世界中的各种现 象，如物理、化学、生物等学科
中的问题。
计算机科学
在计算机科学中，函数与方程被 广泛应用于算法设计、数据结构 、离散概率论等领域，为计算机 科学的发展提供了重要的理论支
函数与方程ppt课件
• 函数的概念与性质 • 方程的种类与解法 • 函数与方程的关系 • 函数的应用 • 方程的应用 • 函数与方程的未来发展
01
函数的概念与性质
函数的定义
函数是数学上的一个概念，它描述了两个集合之间的对应关系。具体来说，对于 给定的集合X中的每一个元素x，按照某种规则，总有集合Y中的唯一一个元素y与 之对应。这种关系通常用符号f表示，即f: X→Y。
03
函数与方程的关系
函数图像与方程解的关系
函数图像是方程解在坐标系中的 表现形式，通过观察函数图像可 以直观地了解方程的解的情况。
函数图像的交点表示方程的根， 函数图像的极值点也可能对应方
程的根。
通过函数图像的变化可以推测方 程解的变化趋势。
函数的最值与方程根的关系
函数的最值点可能是方程的根，因为函数在极值点附近的导数会发生变化，导致函 数值发生突变。
如果函数在某区间内单调递增或递减，那么该区间内函数的最大值或最小值可能对 应方程的一元一次根。
对于多元函数，最值问题可能转化为方程组问题，需要利用方程组的解来判断最值 的存在性和性质。
函数图像的变换与方程解的变换
函数图像的平移、伸缩、旋转 等变换会影响函数的值，从而 影响方程的解。
通过对方程进行变量替换或参 数调整，可以改变方程的形式 和结构，从而影响方程的解。
2020年高考浙江版高考理科数学 2.7 函数与方程
2.7 函数与方程挖命题【考情探究】分析解读 1.函数零点的思想属于常考知识.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.也有可能与其他知识综合出现在解答题中,属难题.2.预计函数与方程的有关问题可能在2020年的高考中出现,复习时应重视.破考点【考点集训】考点函数的零点与方程的根1.(2018浙江镇海中学5月模拟,9)已知函数f(x)=--则方程f(f(x))-2=0的实根个数为( )A.3B.4C.5D.6答案B2.(2018课标全国Ⅲ理,15,5分)函数f(x)=cos在[0,π]的零点个数为.答案 33.(2018天津理,14,5分)已知a>0,函数f(x)=若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实--数解,则a的取值范围是.答案(4,8)炼技法【方法集训】方法1 判断函数零点所在区间和零点的个数的方法1.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),5)函数f(x)=ln x-x|x-e|的零点的个数是( )A.0B.1C.2D.3答案C2.(2017浙江镇海中学模拟卷三,9)已知x1,x2为函数f(x)=(x2+ax+b)·e x+c的极值点(其中a,b,c为实常数).若f(x1)=x1<x2,则关于x的方程f2(x)+(a+2)·f(x)+a+b=0的不同实根的个数为( )A.1B.2C.3D.4答案C方法2 函数零点的应用(2017浙江名校协作体,17)设函数f(x)=x2-2ax+15-2a,x∈(0,+∞)的两个零点分别为x1,x2,且在区间(x1,x2)上恰好有两个正整数,则实数a的取值范围是.答案过专题【五年高考】统一命题、省(区、市)卷题组考点函数的零点与方程的根1.(2018课标全国Ⅰ理,9,5分)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是( )A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)2.(2017课标全国Ⅲ理,11,5分)已知函数f(x)=x2-2x+a(e x-1+e-x+1)有唯一零点,则a=( )A.-B.C. D.1答案C3.(2017山东理,10,5分)已知当x∈[0,1]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=+m的图象有且只有一个交点,则正实数m的取值范围是( )A.(0,1]∪[2,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,]∪[2,+∞)D.(0,]∪[3,+∞)答案B4.(2015天津,8,5分)已知函数f(x)=--函数g(x)=b-f(2-x),其中b∈R.若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点,则b的取值范围是( ) A.∞ B.-∞C. D.答案D5.(2015北京,14,5分)设函数f(x)=---①若a=1,则f(x)的最小值为;②若f(x)恰有2个零点,则实数a的取值范围是.答案①-1 ②∪[2,+∞)6.(2015湖北,12,5分)函数f(x)=4cos2cos--2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.教师专用题组考点函数的零点与方程的根1.(2015安徽,2,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( )A.y=cos xB.y=sin xC.y=ln xD.y=x2+1答案A2.(2017江苏,14,5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上, f(x)=∈其中集合D=-∈,则方程f(x)-lg x=0的解的个数是.答案83.(2015江苏,13,5分)已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=--则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为.答案 44.(2015湖南,15,5分)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是.答案(-∞,0)∪(1,+∞)5.(2014天津,14,5分)已知函数f(x)=|x2+3x|,x∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a的取值范围为.答案(0,1)∪(9,+∞)6.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab的值.解析(1)因为a=2,b=,所以f(x)=2x+2-x.①方程f(x)=2,即2x+2-x=2,亦即(2x)2-2×2x+1=0,所以(2x-1)2=0,于是2x=1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(x))2-2.因为f(2x)≥mf(x)-6对于x∈R恒成立,且f(x)>0,所以m≤对于x∈R恒成立.而=f(x)+≥2·=4,且=4,所以m≤4,故实数m的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点.因为g'(x)=a x ln a+b x ln b,又由0<a<1,b>1知ln a<0,ln b>0,所以g'(x)=0有唯一解x0=lo-.令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x ln a+b x ln b)'=a x(ln a)2+b x(ln b)2,从而对任意x∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数.于是当x∈(-∞,x0)时,g'(x)<g'(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>g'(x0)=0.因而函数g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+∞)上是单调增函数.下证x0=0.若x0<0,则x0<<0,于是g<g(0)=0.又g(log a2)=+-2>-2=0,且函数g(x)在以和log a2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在和log a2之间存在g(x)的零点,记为x1.因为0<a<1,所以log a2<0. 又<0,所以x1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x0>0,同理可得,在和log b2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x0=0.于是-=1,故ln a+ln b=0,所以ab=1.评析本题主要考查指数函数、基本不等式、利用导数研究基本初等函数的单调性及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共28分)1.(2019届衢州、湖州、丽水三地教学质量检测,9)已知函数f(x)=ax2+bx-(a>0)有两个不同的零点x1,x2,则( )A.x1+x2<0,x1x2<0B.x1+x2>0,x1x2>0C.x1+x2<0,x1x2>0D.x1+x2>0,x1x2<0答案A-若两个函数的图象只有一个交2.(2019届浙江高考模拟试卷(四),7)已知函数f(x)=ax+1,g(x)=点,则实数a的取值范围为( )A. B.C.∪-D.-答案C3.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),4)a=1是方程x2-cos x+|a|=0有唯一根的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A4.(2018浙江新高考调研卷一(诸暨中学),7)已知实数a∈(1,),则方程-+|x|=的不同解的个数为( )A.0B.2C.3D.4答案D设方程f(x)=t(t∈R)的四5.(2018浙江金丽衢十二校第三次联考(5月),9)已知函数f(x)=-个不等实根从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则下列判断中错误的是( )A.x1+x2+x3+x4=40B.x1x2=1C.x3x4=361D.x3x4-20(x3+x4)+399=0答案C6.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,8)已知函数f(x)=|x-1|+|x|+|x+1|,则方程f(2x-1)=f(x)所有根的和是( )A. B.1 C. D.2答案C7.(2018浙江嘉兴高三期末,8)若f(x)=x2+bx+c在(m-1,m+1)内有两个不同的零点,则f(m-1)和f(m+1)( )A.都大于1B.都小于1C.至少有一个大于1D.至少有一个小于1答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共8分)8.(2019届浙江高考模拟试卷(四),17)函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在(0,2)上有两个零点x1,x2,且|x1-x2|≥1,则a2+a-3b的取值范围为.答案-9.(2018浙江诸暨高三5月适应性考试,17)已知a,b,c∈R+(a>c),关于x的方程|x2-ax+b|=cx恰有三个不等实根,且函数f(x)=|x2-ax+b|+cx的最小值是c2,则= .答案 5。
《函数与方程》章节精品说课课件
2 X
❖“傻瓜不是瓜”、 零点亦非点！
§3.1.1 方程的根与函数的零点
二、 “零点的存在性定理”教学 问题串2： 问题1：判断函数y x2 2x 1零点的个数，并说明理由。
问题2：函数 y x2 2x 1 在区间 (2,3)上存在零点吗？ 问题3：判断函数y 10 x2 42 x 39 在区间(1,1)上是否有 零点？
❖问题4：请同学们思考为什么上述命题对此类函数不成
立，而对二次函数则是成立的？
❖问题5：你能够补上合适的条件，使上述命题对任意的
函数都成立吗？
Y
对定理的反思：
①、该定理有哪些关键词？
a c0
bX
②、“不间断”这个条件能够去掉吗？
③、在这些条件下的函数零点唯一吗？
④、反之，若函数有零点就一定能够得出 f (a) f (b) 0?
应值表：x
1
2
3
4
5
6
7
f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ ）个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
2、函数 f (x) x(x2 16)的零点为(
A.(0,0), (4,0) B.(4,0), (0,0), (4,0)
)
C.0,4
D. 4,0,4
四、教学设想：
§3.1.1 方程的根与函数的零点 ❖一、“函数的零点”概念的教学
❖二、 “零点的存在性定理”教学
§3.1.2 用二分法求方程的近似解 ❖一、“中央电视台购物街栏目---猜价格游戏” ❖二、“二分法”教学
§3.1.1 方程的根与函数的零点
❖一、“函数的零点”概念的教学 ❖引言：古诗云：横看成岭侧成峰，远近高低各不
函数与方程课件
（）
A.至少有一个
B.至多有一个
C.有且只有一个
D.可能有无数个
二 、知识回顾、
函数零点存在性定理
如果函数 y=f(x)在闭区间[a, b]上的图 象是连续曲线,并且有 f(a)·f(b)<0, 那 么, 函数 y=f(x) 在区间(a, b)内至少有 一个零点．
反之成立吗？
应用：二分法求方程的根
(m 3)2 4m 0
3 m 0
m m 9
m 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（3） 两个根都小于1
(m 3)2 4m 0
b 2a
3m 2
1
m m 9
f (1) 2m 2 0
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（7） 两个根有且仅有一个在（0 . 2）内
f(0)f(2)=m(3m-2) <0
m
2 3
m
1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（8） 一个根在（-2 .0）内，另一个根在（1 . 3）内
f(1)=2m-2 <0
m m 1
一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0）的 根的分布
例：x2+（m-3)x+m=0 求m的范围
（6） 两个根都在（0 . 2）内
(m 3)2 4m 0
2.7 函数与方程
§2.7 函数与方程(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题6分，共42分)1．在以下区间中，存在函数f (x )＝x 3＋3x －3的零点的是( )A ．[－1,0]B ．[1,2]C ．[0,1]D ．[2,3] 2．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为( )A ．2B ．3C ．1D ．43．已知函数f (x )＝x e x －ax －1，则关于f (x )的零点叙述正确的是( )A ．当a ＝0时，函数f (x )有两个零点B ．函数f (x )必有一个零点是正数C ．当a <0时，函数f (x )有两个零点D ．当a >0时，函数f (x )有一个零点4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0) 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．如果函数f (x )＝x ＋2＋a －x 存在两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎫－94，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－94，－2 C ．[－2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－94，0 6．方程|x 2－2x |＝a 2＋1 (a >0)的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)二、填空题(每小题5分，共20分)8．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1) (n ∈N )内，则n ＝________.9．已知函数f (x )＝x 2＋(1－k )x －k 的一个零点在(2,3)内，则实数k 的取值范围是________． 10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是__________．11．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x <2， 则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为____________．三、解答题(共38分)12．(12分)关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围．13.(12分)已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出该零点．14．(14分)(1)m 为何值时，f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4.①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；(2)若函数f (x )＝|4x －x 2|＋a 有4个零点，求实数a 的取值范围．答案1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6.B 7．C 8．2 9．(2,3) 10.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <1 11．1＋2或112．解 设f (x )＝x 2＋(m －1)x ＋1，x ∈[0,2]，①若f (x )＝0在区间[0,2]上有一解， ∵f (0)＝1>0，则应有f (2)≤0， 又∵f (2)＝22＋(m －1)×2＋1， ∴m ≤－32.②若f (x )＝0在区间[0,2]上有两解，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥00<－m －12<2f （2） ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧（m －1） 2－4≥0－3<m <14＋ （m －1） ×2＋1≥0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3或m ≤－1－3<m <1m ≥－32，∴－32≤m ≤－1，由①②可知m ≤－1.13．解 ∵f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，即方程(2x )2＋m ·2x ＋1＝0仅有一个实根．设 2x ＝t (t >0)，则t 2＋mt ＋1＝0. 当Δ＝0时，即m 2－4＝0，∴m ＝－2时，t ＝1；m ＝2时，t ＝－1(不合题意，舍去)， ∴2x ＝1，x ＝0符合题意． 当Δ>0时，即m >2或m <－2时， t 2＋mt ＋1＝0有两正或两负根， 即f (x )有两个零点或没有零点． ∴这种情况不符合题意．综上可知：m ＝－2时，f (x )有唯一零点，该零点为x ＝0.14．解 (1)①f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且仅有一个零点⇔方程f (x )＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m 2－4(3m ＋4)＝0，即m 2－3m －4＝0，∴m ＝4或m ＝－1.②由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－m >－1，f （－1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4>0，m <1，1－2m ＋3m ＋4>0. ∴－5<m <－1.∴m 的取值范围为(－5，－1)． (2)令f (x )＝0，得|4x －x 2|＋a ＝0，即|4x －x 2|＝－a .令g (x )＝|4x －x 2|，h (x )＝－a . 作出g (x )、h (x )的图象． 由图象可知，当0<－a <4，即－4<a <0时，g (x )与h (x )的图象有4个交点，即f (x )有4个零点．故a 的取值范围为 (－4,0)．。
函数与方程详细讲解
例题：
• 例：求函数f(x)=lnx+2x-6 的零点个数。 • 解法：数形结合的思想。
x12 3 4 5 6 7 8 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3869 5.6094 7.7918 9.9459 12.079
小结：
• 1.一个概念、一种关系、一 条判定。
• 2. 三种思想。
问题2：能否把二次函数与一元二次 方程的关系推广到一般的函数与方 程的关系上呢？假设能具体的关系 是什么?〔设：函数y=f(x),方程 f(x)=0)
• 方程f(x)=0根的个数 函数 y=f(x)的图象与x轴的交点个数。
二、函数的零点。
函数零点的概念：
• 函数y=f(x)的零点就是方程 f(x)=0的实数根，也就是函数 y=f(x)的图象与x轴的交点的 横坐标。
• 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)f(b)<0,那么y=f(x)在区间〔a,b) 内有零点。即存在c∈(a,b),使 f(c)=0，这个c也就是f(x)=0的根.
y
1 y=x
1
-2 -1 0 1 2 3 4
x
-3
练习：
• 判断以下函数在〔0.5，8〕上 是否存在零点。
课前检测：
求出以下方程的根及函数图象与x轴的交 点。
方程
实数根
函数
x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0
X1=-1, X2=3
X1=X2=-1 无实数根
y=x2-2x-3 y=x2-2x+1 y=x2-2x+3
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答案 B
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考向二 函数零点的应用
例2 (2019江西吉安一中、九江一中、新余一中等八所重点中学4月联
考,8)已知f(x)=
1 2
|x|
(x
1),
若关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实根,则
-x2 4x-2(x 1),
实数a的取值范围是 ( )
A.
-
,
1 2
∪[1,2)
B.
0,
1 2
D.(4,5)
A.1
B.2
C.3
D.4
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解析 (1)根据题意,对任意的x∈(0,+∞),都有f[f(x)-log2x]=3, f(x)是定义在 (0,+∞)上的单调函数,则f(x)-log2x为定值,设t=f(x)-log2x,则f(x)=log2x+t,又由 f(t)=3,所以f(t)=log2t+t=3,所以t=2,所以f(x)=log2x+2,所以g(x)=log2x+x-5,因为 g(1)<0,g(2)<0,g(3)<0,g(4)>0,g(5)>0,所以零点所在的区间为(3,4).
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高考理数
2.7 函数与方程
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考点清单
考点 函数的零点与方程的根
考向基础 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点. (2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔ 函数y=f(x)有零点. 2.函数零点存在性定理
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(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数即为方程|log0.5x|=
1 2x
=
1 2
x
的根的个数,
亦即函数y1=|log0.5x|与y2=
1 2
x
的图象的交点个数.两个函数的图象如图所
示,可知两个函数图象有两个交点,故选B.
答案 (1)C (2)B
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方法2 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
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4.二分法 (1)对于区间[a,b]上连续不断的,且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函 数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,从而 得到零点近似值的方法,叫做二分法. (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 第一步,确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε. 第二步,求区间(a,b)的中点x1. 第三步,计算f(x1): (i)若f(x1)=0,则x1就是函数的零点; (ii)若f(a)·f(x1)<0,则令b=x1(此时零点x0∈(a,x1)); (iii)若f(x1)·f(b)<0,则令a=x1(此时零点x0∈(x1,b)). 第四步,判断是否达到精确度ε,即若|a-b|<ε,则得到零点近似值a(或b);否则, 重复第二、三、四步.
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考向突破
考向一 确定函数零点所在区间
例1 (2019重庆南开中学3月模拟,4)函数f(x)=ln x+2x-6的零点一定位于区
间( )
A.(1,2)内
B.(2,3)内
C.(3,4)内
D.(4,5)内
解析 函数f(x)=ln x+2x-6在其定义域上连续,
f(2)=ln 2+2×2-6=ln 2-2<0, f(3)=ln 3+2×3-6=ln 3>0. 故函数f(x)=ln x+2x-6的零点在区间(2,3)内,故选B.
∪[1,2)
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解析 关于x的方程a=f(x)恰有两个不同实根等价于直线y=a、y=f(x)的图
象有两个不同的交点,画出直线y=a、y=f(x)的图象,如图,由图可知,当a∈
0,
1 2
∪[1,2)时,直线y=a、y=f(x)的图象有两个不同的交点,此时,关于x的方
1.直接法:直接求解方程得到方程的根,再通过解不等式确定参数范围; 2.分离参数法:先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决; 3.数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图 象,然后数形结合求解.
例2
直线y=x与函数f(x)=
2,x m,
x2
4x
2,x
m
的图象恰有三个公共点,则实数m
程a=f(x)恰有两个不同实根,所以实数a的取值范围是
0,
1 2
∪[1,2).故选B.
答案 B
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方法技巧
方法1 判断函数零点所在区间和零点的个数
1.判断函数零点所在区间的常用方法 (1)零点存在性定理,使用条件是函数图象是连续的. (2)数形结合法:画出函数的图象,估算确定区间. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1)解方程法:令f(x)=0,如果有解,则有几个解就有几个零点. (2)函数零点存在性定理:利用该定理不仅要求函数图象在[a,b]上的图象是 连续的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性、奇偶 性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点. (3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点的个数问题,有几个交点就有 几个不同的零点.
的取值范围是
.
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解析 根据题意,知直线y=x与y=2(x>m)的图象有一个交点A(2,2),并且与抛 物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分有两个交点B、C,
由
y y
x, x2
4x
2
解得B(-1,-1),C(-2,-2),
∵抛物线y=x2+4x+2在(-∞,m]上的部分必须包含B、C两点,且点A(2,2)一定
在y=2(x>m)的图象上,才能使y=f(x)的图象与直线y=x有3个交点,
∴实数m的取值范围是-1≤m<2.
答案 -1≤m<2
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例1 (1)(2019河南百校联盟考前仿真,10)已知单调函数f(x)的定义域为(0,
+∞),对于定义域内任意x, f[f(x)-log2x]=3,则函数g(x)=f(x)+x-7的零点所在的 区间为 ( )
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
(2)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为 ( )
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注意 零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点,并不能判 断零点的个数,但如果函数在区间上是单调函数,则该函数在区间上至多有 一个零点. 3.f(a)·f(b)<0与函数f(x)存在零点的关系 (1)不满足f(a)·f(b)<0的函数也可能有零点(如图). (2)连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图.所 以f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.