浙江省杭州市二中2015-2016学年高二上学期期终考试数学试卷

杭州二中2015学年第一学期高二年级期终考数学试卷 命题、审核、校对：黄宗巧 徐存旭 李 鸽本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟. 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答卷相应空格中）1．双曲线221169x y -=的焦距是（ ）A.B.5C. 10D.2.设a R ∈，则“2a =”是“直线1:0l x ay a +-=与直线2:(23)10l ax a y --+=垂直”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件3.设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）A. 若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m nB. 若//,//,//,m n αβαβ则//m nC. 若,//,,m n m n αβ⊥⊥则//αβD. 若//,,,m m n αβαβ⊂= 则//m n4. 已知不等式210mx nx m +-<的解集为1{|2}2x x x <->或.则m n -=（ ）A. 12B. 52-C. 52D. 12-5.直线3+=x y 与曲线1492=-x x y 的公共点的个数是（ ）A. 1B.2 C .3 D. 46. 把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ） A. 90° B .60° C. 45° D.30°7．过抛物线2:4C y x =的焦点F 作直线l 交抛物线C 于,A B ，若BF AF 3=，则l 的斜率是（ ）A.B.C.D.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y≥1y≤2x －1x ＋y≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于（ ）A．7B．5C．4D．39．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=1，E为线段DC上一动点，现将∆AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）BAA．23B．332C．2πD．3π10．已知0x>，0y>，若不等式()a x y x+≥+恒成立，则a的最小值为（）A. B. 2+ D. +二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答卷中相应横线上）11．一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是．12. 设,,,P A B C是一个球面上的四个点，,,PA PB PC两两垂直，且1PA PB PC===，则该球的体积为． .13. 已知双曲线22221(00)x ya ba b-=>>，的左、右焦点分别为12F F，，过2F作斜率为2-的直线交双曲线的渐近线于P Q，两点，M为线段P Q的中点．若直线1M F平行于其中一条渐近线，则该双曲线的离心率为．14.如图，直线lα⊥平面，垂足为O，已知ABC∆中，ABC∠为直角，AB=2，BC=1，该直角三角形做符合以下条件的自由运动：（1）A l∈，（2）Bα∈.则C、O两点间的最大距离为______.15．已知00x y>>，，且满足18102yxx y+++=，则2x y+的最大值为．正视图侧视图俯视图16. 在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ， 设c by ax cby ax ++++=2211δ 有下列四个说法：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交.在上述说法中，所有正确说法的序号是 .三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17． （本小题满分8分）关于y x ,的方程C ：04222=+--+m y x y x . （1）若方程C 表示圆，求实数m 的范围；（2）在方程C 表示圆时，若该圆与直线042:=-+y x l 相交于N M ,两点，且 554||=MN ，求实数m 的值.18．（本小题满分12分） 如图，在三棱锥P AB C -中，BC ⊥平面APC ，AB = 2A P P CC B ===．C AP（1）求证：AP ⊥平面PBC ；（2）求二面角P A B C --的大小．19．（本小题满分12分） 已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=经过椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的右焦点F 和上顶点B ,如图所示．（1）求椭圆Γ的方程；（2）过原点O 的射线l 与椭圆Γ在第一象限的交点为Q ，与 圆C 的交点为P ，M 为OP 的中点， 求OM OQ ⋅的最大值.20．（本小题满分14分）已知函数()axf xx b=+,且(1)1f=,(2)4f-=.（1）求a､b的值；（2）已知定点(1,0)A,设点(,)P x y是函数()(1)y f x x=<-图象上的任意一点,求||AP的最小值；（3）当[1,2]x∈时,不等式2()(1)||mf xx x m≤+-恒成立,求实数m的取值范围.RQCBAP参考答案一、选择题：CADBC ，CCBDA二、填空题： 11．2+；12. . 13. 17． 14.1+． 15． 18．16.②③④三、解答题（本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17． 【解析】（Ⅰ）方程可化为m y x -=-+-5)2()1(22 若方程C 表示圆只需05>-m ,所以m 的范围是)5,(-∞ -----3分由（Ⅰ）圆的圆心C （1，2）半径为m -5，过圆心C 作直线l 的垂线CD ，D 为垂足，则55||=CD ，又554||=MN ，知552||=MD -----6分则222)552()55()5(+=-m ，解得4=m -----8分18． （本小题满分12分）【解析】(Ⅰ）因为BC ⊥面APC ，A C ，AP ⊂面APC ， 所以B C A P ⊥， B C A C ⊥ -----2分因为AB =2CB =，所以AC =．又因为2A P P C ==，所以222A C P A P C =+，故 AP P C ⊥ -----4分 因为PC B C C = ，所以AP ⊥平面PBC -----6分 （Ⅱ）因为BC ⊥平面APC ，所以面APC ⊥平面ABC ． 在面APC 内作P Q A C ⊥于Q ，则P Q ⊥平面ABC ． 过Q 作Q R A B ⊥于R ，连接P R ，则PRQ ∠即为二面角P A B C --的平面角 -----9分在Rt APC V 中，AP PCPQ AC ⋅==，（第17题图）CBAP在Rt ABC V中，QR =故tan PQPRQ QR ∠==．从而二面角P A B C --的大小为3π-----12分19．（本小题满分12分）【解析】（Ⅰ）在22:(1)(1)2C x y -+-=中，令0y =得(2,0)F ，即2c =，令0x =，得(0,2)B ，即2b =， -------------------2分 由2228a b c =+=，∴椭圆Γ：22184x y +=. ------------------4分（Ⅱ）法一：依题意射线l 的斜率存在，设:(0,0)l y kx x k =>>，设1122(,),(,)P x kx Q x kx 22184y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(12)8k x +=，∴2x = ---------------6分 ()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅=222(1,1)(,)(1)x kx k x ⋅=+=0)k > ---------------9分=.设1(1)t k t =+>，则222222(1)1131112212243224()3()3[()]33k t k t t t t t +===≤+-+-+-+.当且仅当12,3t =即max []OM OQ ⋅= . ---------------12分法二：设点00(,)Q x y ，000,0x y >>，()OM OQ OC CM OQ OC OQ ⋅=+⋅=⋅=0000(1,1)(,)x y x y ⋅=+ . -----------------7分又2200184x y +=，设00b x y =+与2200184x y +=联立得：220034280x bx b -+-= . --------------9分令2201612(28)0b b b ∆=⇔--=⇒=±又点00(,)Q x y在第一象限，∴当0x =时，OM OQ ⋅取最大值. ----------12分 20．（本小题满分14分）【解析】 (1)由⎧⎨⎩(1)1(2)4f f =-=,得⎧⎨⎩122a b a b =+-=-, 解得:⎧⎨⎩21a b == ----------2分(2)由(1)2()1x f x x =+,所以22222||(1)(1)4()1x AP x y x x =-+=-++,令t x =+1,0t <,则22222142||(2)4(1)4()8AP t t t t t t =-+-=+-++ 22222()4()4(2)t t t t t t =+-++=+-22||22()2AP t t t t ∴=+-=-+≥+即||AP的最小值是2,此时t = ---------------8分【另解】221[(1)1]1||1(1)x x AP x x ++-+====+-+2||2[(1)]2)11()AP x x x ∴=-++≥+<-+ ---------------8分(3)问题即为221(1)||x m x x x m ≤++-对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤-对[1,2]x ∈恒成立,要使问题有意义,即x m ≠，则01m <<,或2m >. ----------10分法一:在01m <<或2m >下,问题化为||mx m x -≤对[1,2]x ∈恒成立,即m m m x m x x -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立,即2mx m x mx m -≤≤+对[1,2]x ∈恒成立,①当1x =时,112m ≤<或2m >,②当1x ≠时,21x m x ≥+且21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立, 对于21x m x ≥+对(1,2]x ∈恒成立,等价于2max()1x m x ≥+,令1t x =+,(1,2]x ∈,则1x t =-,(2,3]t ∈,22(1)121x t t x t t -==+-+,(2,3]t ∈递增,2max 4()13x x ∴=+,43m ≥,结合01m <<或2m >,2m ∴> 对于21x m x ≤-对(1,2]x ∈恒成立,等价于2min()1x m x ≤- 令1t x =-,(1,2]x ∈,则1x t =+,(0,1]t ∈,22(1)121x t t x t t +==++-,(0,1]t ∈递减,2min ()41x x ∴=-,4m ∴≤,0124m m ∴<<<≤或,综上:24m <≤ ----------14分法二:故问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立, 其中01m <<或2m > 令()||g x x x m =-①若01m <<时,由于[1,2]x ∈,故2()()g x x x m x mx =-=-, ()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,依题意(2)g m ≤,43m ≥,舍去;11 ②若2m >,由于[1,2]x ∈,故22()()()24m m g x x m x x =-=--+, 考虑到12m >,再分两种情形:(ⅰ)122m <≤,即24m <≤,()g x 的最大值是2()24m m g =, 依题意24m m≤,即4m ≤,24m ∴<≤;(ⅱ)22m >,即4m >,()g x 在[1,2]x ∈时单调递增,故(2)g m ≤,2(2)m m ∴-≤,4m ∴≤,舍去｡综上可得,24m <≤ ----------14分【另解】问题即为221(1)||x m x x x m ≤++- 对[1,2]x ∈恒成立,也就是||m x x m ≤- 对[1,2]x ∈恒成立, 要使问题有意义,即x m ≠，则01m <<或2m >.（*）----------10分 此时，问题转化为||x x m m -≤对[1,2]x ∈恒成立,令()||g x x x m =-，则max ()g x m ≤ 首先4(2)2|2|43g m m m =-≤∴≤≤，则由（*）得 24m <≤(缩小范围，避免讨论！)此时 22()()(),24122m g x x m x m m x =---<=+≤2max2 4.()(),24m m x m g g m ∴==∴<≤≤ ----------14分。