新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第二部分 54分专项练 54分专项练(四) 18、19、
2020版高考数学二轮复习第二部分专题四概率与统计第2讲统计与统计案例练习(含解析)(最新整理)
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第2讲统计与统计案例［做真题］题型一抽样方法与总体分布的估计1．（2019·高考全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分。
7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是( ）A．中位数B．平均数C．方差D．极差解析：选A。
记9个原始评分分别为a，b，c，d,e，f，g，h,i（按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A。
2．(2018·高考全国卷Ⅰ）某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：则下面结论中不正确的是( )A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半解析：选A.法一:设建设前经济收入为a，则建设后经济收入为2a,则由饼图可得建设前种植收入为0。
京津鲁琼专用高考数学二轮复习第二部分54分专项练54分专项练一1819含解析
京津鲁琼专用高考数学二轮复习第二部分54分专项练54分专项练一1819含解析1．已知数列{a n }，a 1＝3，且na n ＋1－a n ＝na n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a ＝b ＋2c cos B . (1)求角C 的大小；(2)若a ＋b ＝5，c ＝13，求△ABC 的面积．3．如图，矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直，∠ABE＝60°，G为BE的中点．(1)求证：AG⊥平面ADF；(2)若AB＝3BC，求二面角DCAG的余弦值．4．某研究机构随机调查了A，B两个企业各100名员工，得到了A企业员工工资的频数分布表以及B企业员工工资的饼状图如下：A企业：工资(单位：元) 人数[2 000，3 000) 5[3 000，4 000) 10[4 000，5 000) 20[5 000，6 000) 42[6 000，7 000) 18[7 000，8 000) 3[8 000，9 000) 1[9 000，10 000) 1B企业：(1)若将频率视为概率，现从B 企业中随机抽取一名员工，求该员工收入不低于5 000元的概率；(2)①若从A 企业工资在[2 000，5 000)元的员工中，按分层抽样的方式抽取7人，而后在此7人中随机抽取2人，求这2人工资在[3 000，4 000)元的人数X 的分布列；②若你是一名即将就业的大学生，根据上述调查结果，并结合统计学相关知识，你会选择去哪个企业就业，并说明理由．第二部分|解答题规范练54分专项练54分专项练(一) 18、19、20、211．解：(1)由na n ＋1－a n ＝na n ，得na n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1a n ＝n ＋1n ，所以a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n n －1，以上n －1个式子相乘得a na 1＝n .因为a 1＝3，所以a n ＝3n ，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n ，n ∈N *.(2)由等差数列前n 项和公式得S n ＝n （3n ＋3）2，所以1S n＝23n （n ＋1）＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝2n3n ＋3. 2．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理得2sin A ＝sin B ＋2sin C cos B ，则2sin(B ＋C )＝sin B ＋2sin C cos B ，得2sin B cos C ＝sin B . 因为0<B <π，所以sin B ≠0，所以cos C ＝12.因为0<C <π，所以C ＝π3.(2)在△ABC 中，由余弦定理得13＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝(a ＋b )2－3ab ＝25－3ab ，得ab＝4.所以△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π3＝ 3.3．解：(1)证明：因为矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD ⊥AB ，矩形ABCD ∩菱形ABEF ＝AB ，所以AD ⊥平面ABEF .因为AG ⊂平面ABEF ，所以AD ⊥AG .因为菱形ABEF 中，∠ABE ＝60°，G 为BE 的中点，所以△ABE 为等边三角形．所以AG ⊥BE ，即AG ⊥AF .因为AD ∩AF ＝A ，所以AG ⊥平面ADF .(2)由(1)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG ，AF ，AD 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．设AB ＝3BC ＝3，则BC ＝1，AG ＝32，所以A (0，0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，D (0，0，1)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，所以AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，1，AD →＝(0，0，1)，AG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0.设平面ACD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，所以⎩⎨⎧n 1·AC →＝32x 1－32y 1＋z 1＝0，n 1·AD →＝z 1＝0，取y 1＝3，得n 1＝(1，3，0)．设平面ACG 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AC →＝32x 2－32y 2＋z 2＝0，n 2·AG →＝32x 2＝0，取y 2＝2，得n 2＝(0，2，3)．设二面角D CA G 的平面角为θ，所以cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝232×7＝217，由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G 的余弦值为－217.4．解：(1)由饼状图知，B 企业员工工资不低于5 000元的有50＋16＋2＝68(人)，故所求概率为68100＝0.68.(2)①A 企业员工工资在[2 000，5 000)元中的三个不同层次的人数比为1∶2∶4，按照分层抽样可知，所抽取的7人工资在[3 000，4 000)元的人数为2，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (X ＝1)＝C 15C 12C 27＝1021，P (X ＝2)＝C 22C 27＝121，因此X 的分布列为②A 企业员工的平均工资：100×(2 500×5＋3 500×10＋4 500×20＋5 500×42＋6 500×18＋7 500×3＋8 500×1＋9 500×1)＝5 260(元)；B 企业员工的平均工资：1100×(2 500×2＋3 500×7＋4 500×23＋5 500×50＋6 500×16＋7 500×2)＝5 270(元)．参考答案1：选企业B ，因为B 企业员工的平均工资不仅高，且工资低的人数少． 参考答案2：选企业A ，因为A 企业员工的平均工资只比B 企业低10元，但是A 企业有高工资的团体，说明发展空间较大，获得8 000元以上的高工资是有可能的．(答案不唯一，只要言之有据，理由充分即可)。
新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习： 小题专题练 小题专题练(二) 三角函数与平面向量
小题专题练(二) 三角函数与平面向量一、选择题1．(2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系中，角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点P (－35，45)，则sin(α＋π4)＝( )A.210B ．－210C.7210 D ．－72102．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a·(a －2b )＝0，则|a ＋b |＝( )A. 6B. 5 C ．2D. 33．(2019·洛阳尖子生第二次联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 上，且BD →＝2DC →，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)．若AO →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x 的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(23，1)C ．(0，13)D ．(13，23)4．(2019·广东六校第一次联考)将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则g (x )具有性质( )A ．最大值为1，图象关于直线x ＝π2对称B ．为奇函数，在(0，π4)上单调递增C ．为偶函数，在(－3π8，π8)上单调递增D ．周期为π，图象关于点(3π8，0)对称5．函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－34，32 B.⎣⎡⎦⎤－34，34 C.⎣⎡⎦⎤34，32 D.⎣⎡⎦⎤－34，1 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43C.43D.497．(2019·长春市质量监测(一))在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b ＝a cos C ＋12c ，则角A 等于( )A ．60°B ．120°C ．45°D ．135°8．(2019·开封模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为43，且2b cos A ＋a ＝2c ，a ＋c ＝8，则其周长为( )A ．10B ．12C ．8＋ 3D ．8＋2 39．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足A ＝π4，a ＝2，cos 2B －cos 2C－sin 2A ＝－sin A sin B ，则边长b 的值为( )A.2＋62 B.6－22C.32D.1210．在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )∶(sin A ＋sin C )∶(sin B ＋sin C )＝4∶5∶6，且该三角形的面积为153，则△ABC 的最大边长等于( )A ．12B ．14C ．16D ．1811．(多选)若角A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C 2＝sin B2D ．sinB ＋C 2＝cos A212.(多选)已知函数f (x )＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝2C ．ω＝π3D ．ω＝3π13．(多选)函数f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )的图象为C ，如下结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数D ．由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C二、填空题14．(2019·广州市调研测试)设θ为第二象限角，若tan(θ＋π4)＝12，则cos θ＝________．15．(2019·湖南省五市十校联考)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，若AD→＝32AB →，则CD →·CB →＝________． 16．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则f ⎝⎛⎭⎫3π4＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．17．(2019·贵阳模拟)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，2a cos C ＋c ＝2b ，则角A ＝________，△ABC 的周长的取值范围是________．小题专题练(二) 三角函数与平面向量1．解析：选A.由题意，得sin α＝45，cos α＝－35，所以sin(α＋π4)＝ sin αcos π4＋cosαsin π4＝210.故选A.2．解析：选A.由题意知，a·(a －2b )＝a 2－2a·b ＝1－2a·b ＝0，所以2a·b ＝1，所以|a ＋b|＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6.故选A.3．解析：选C.通解： AO →＝xAB →＋(1－x )AC →＝x (AB →－AC →)＋AC →，即AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，所以CO →＝xCB →，所以|CO →||CB →|＝x .因为BD →＝2DC →，所以BC →＝3DC →，则0<x <|DC →||BC →|＝13，所以x 的取值范围是(0，13)，故选C.优解： 设BO →＝λBC →，λ∈(23，1)，则AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋λBC →＝(1－λ)AB →＋λAC →＝xAB →＋(1－x )AC →，则x ＝1－λ∈(0，13)，故选C.4．解析：选B.将函数f (x )＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )＝cos[2(x－π4)]＝sin 2x 的图象，则函数g (x )的最大值为1，其图象关于直线x ＝k π2＋π4(k ∈Z )对称，故选项A 不正确；函数g (x )为奇函数，当x ∈(0，π4)时，2x ∈(0，π2)，故函数g (x )在(0，π4)上单调递增，故选项B 正确，选项C 不正确；函数g (x )的周期为π，其图象关于点(k π2，0)(k ∈Z )对称，故选项D 不正确．故选B.5．解析：选 A.f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6－sin 2x ＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－12(1－cos 2x )＝12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos 2x ＝12(32sin 2x ＋32cos 2x )＝32sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3，所以－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，所以－34≤f (x )≤32.故选A.6．解析：选A.如图，因为AP →＝2PM →，所以AP →＝PB →＋PC →，所以P A →·(PB →＋PC →)＝－P A →2， 因为AM ＝1且AP →＝2PM →，所以|P A →|＝23，所以P A →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.7．解析：选A.法一： 由b ＝a cos C ＋12c 及正弦定理，可得sin B ＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋12sin C ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋12sin C ，所以cos A sinC ＝12sin C ，又在△ABC 中，sin C ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝60°，故选A.法二：由b ＝a cos C ＋12c 及余弦定理，可得b ＝a ·b 2＋a 2－c 22ab ＋12c ，即2b 2＝b 2＋a 2－c 2＋bc ，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°，故选A.8．解析：选B.因为△ABC 的面积为43，所以12ac sin B ＝4 3.因为2b cos A ＋a ＝2c ，所以由正弦定理得2sin B cos A ＋sin A ＝2sin C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以2sin B cos A ＋sin A ＝2sin A cos B ＋2cos A sin B ，所以sin A ＝2cos B sin A ，因为sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3，所以ac ＝16，又a ＋c ＝8，所以a ＝c ＝4，所以△ABC 为正三角形，所以△ABC的周长为3×4＝12.故选B.9．解析：选A.在△ABC 中，cos 2B －cos 2C －sin 2A ＝－sin A sin B ， 所以(1－sin 2B )－(1－sin 2C )－sin 2A ＝－sin A sin B ，所以sin 2C －sin 2B －sin 2A ＝－sin A sin B ，所以a 2＋b 2－c 2＝ab ， 所以cos C ＝12，又因为C ∈(0，π)，所以C ＝π3，又A ＝π4，所以B ＝π－π3－π4＝5π12.根据正弦定理a sin A ＝bsin B，得b ＝a sin Bsin A ＝2sin 5π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π4＝6＋22，故选A.10．解析：选B.依题意可得sin A ＋sin B sin A ＋sin C ＝45，sin A ＋sin B sin B ＋sin C ＝46，根据正弦定理可得a ＋b a ＋c ＝45，a ＋b b ＋c ＝46，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋5b ＝4c 6a ＋2b ＝4c ，解得b ＝53a ，c ＝73a ，故△ABC 的最大边长为c .由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋259a 2－499a 22a ×53a＝－12，可得sin C ＝1－⎝⎛⎭⎫－122＝32，依题意可得12ab sin C ＝12a ×53a ×32＝153，a 2＝36，解得a ＝6，故c ＝73a ＝73×6＝14，选B.11．解析：选CD.因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－B2＝sin B 2，sin B ＋C 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A 2＝cos A2.12．解析：选BC.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g (x )＝A 2cos ωx ，即A 2＝1，A ＝2.过原点的图象对应函数f (x )＝A sin ωx .由f (x )的图象可知，T ＝2πω＝1.5×4，可得ω＝π3.13．解析：选ABC.f (x )＝sin 2x －3(cos 2x －sin 2x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.所以f (x )的最小正周期为2π2＝π，故A 正确；f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0，即函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，即对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0成立，故B 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是增函数，故C 正确；由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3的图象，故D 错误．故选ABC.14．解析：法一： 由已知可得tan θ＋11－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.因为θ为第二象限角，所以cos θ<0，由⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＝－13sin 2 θ＋cos 2θ＝1，可得19cos 2θ＋cos 2θ＝1，故cos 2θ＝910，得cos θ＝－31010.法二： 由已知可得tan θ＋11－tan θ＝12，解得tan θ＝－13.因为θ为第二象限角，所以cos θ<0，不妨设P (－3，1)为θ终边上一点，则r ＝10，故cos θ＝x r ＝－31010.答案：－3101015．解析：通解： 由∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，得CB ＝23，CA →·CB →＝0.CD →·CB →＝(CA →＋AD →)·CB →＝CA →·CB →＋32AB →·CB →＝32(CB →－CA →)·CB →＝32CB →2＝18.优解一： 如图，以C 为坐标原点，CA ，CB 所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则C (0，0)，A (2，0)，B (0，23)．由题意得∠CBA ＝π6，又因为AD →＝32AB →，所以D＝(－1，33)，则CD →·CB →＝(－1，33)·(0，23)＝18.优解二： 因为∠C ＝π2，AB ＝4，AC ＝2，所以CB ＝23，所以AB →在CB →上的投影为23，又AD →＝32AB →，所以AD →在CB →上的投影为32×23＝33，则CD →在CB →上的投影为33，所以CD →·CB→＝|CB →|·|CD →|·cosCD →，CB →＝23×33＝18.答案：1816．解析：函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，由f (α)＝－12，f (β)＝12，且|α－β|的最小值为3π4，得T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23.所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫23x －π6＋12.则f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sinπ3＋12＝3＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z .答案：3＋12 ⎣⎡⎦⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z 17．解析：由题意，2a cos C ＋c ＝2b ，利用正弦定理，得2sin A cos C ＋sin C ＝2sin B ，(1)，将sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C 代入(1)式得sin C ＝2cos A sin C ，又因为sin C ≠0，故cos A ＝12，所以A ＝π3.由正弦定理可得，△ABC 的周长l △ABC ＝23(sin B ＋sin C )＋1，将C＝2π3－B 代入化简得l △ABC ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＋1＝2sin(B ＋π6)＋1，由0<2π3－B <π2及0<B <π2，可得π6<B <π2，所以π3<B ＋π6<2π3，所以32<sin(B ＋π6)≤1，所以△ABC 周长的取值范围是(3＋1，3]．答案：π3 (3＋1，3]。
新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习： 小题分类练 小题分类练(四) 图表信息类
小题分类练(四)图表信息类一、选择题1．如图所示的Venn图中，全集为Z，集合A＝{x∈N|1≤x≤6}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{－2} B．{－3}C．{－2，3} D．{－3，2}2．(2019·石家庄市质量检测)甲、乙两人8次测评成绩的茎叶图如图，由茎叶图知甲的成绩的平均数和乙的成绩的中位数分别是()A．23，22 B．23，22.5C．21，22 D．21，22.53．(2019·重庆市学业质量调研)下表是我国某城市在2018年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据表．月份12345678910最高温59911172427303121最低温－12－31－271719232510) A．最低温与最高温为正相关B．每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加C．月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月D．1至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7至10月，波动性更大4．(2019·昆明市质量检测)下图是某商场2018年洗衣机、电视机和电冰箱三种电器各季度销量的百分比堆积图(例如：第3季度内，洗衣机销量约占20%，电视机销量约占50%，电冰箱销量约占30%)．根据该图，以下结论中一定正确的是()A ．电视机销量最大的是第4季度B ．电冰箱销量最小的是第4季度C ．电视机的全年销量最大D ．电冰箱的全年销量最大5．(2019·郑州市第二次质量预测)如图，在曲线C (曲线C 为正态分布N (－2，4)的密度曲线)与x 轴围成的区域中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )(附：X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)≈0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)≈0.954 5)A ．906B ．2 718C ．1 359D ．3 4136．某网店在2018年1月的促销活动中，随机抽查了100名消费者的消费情况，并记录了他们的消费金额(单位：千元)，将数据分成6组：(0，1]，(1，2]，(2，3]，(3，4]，(4，5]，(5，6]，整理得到频率分布直方图如图所示．若消费金额不超过3千元的人数占总人数的35，则消费金额超过4千元的人数为( )A ．12B ．15C ．16D ．187．(2019·湖南省湘东六校联考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正十边形A 1A 2A 3…A 10的中心，A 1在x 轴正半轴上，任取不同的两点A i ，A j (其中1≤i ，j ≤10，且i ∈N ，j ∈N )，点P 满足2OP →＋OA i →＋OA j →＝0，则点P 落在第二象限的概率是( )A.745B.845C .15 D.298．(2019·石家庄市模拟(一))已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，点A (0，3)，B (π6，0)，则函数f (x )图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π3B ．x ＝－π12C ．x ＝π18D ．x ＝π249．如图，△AOD 是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD 是四分之一圆面，点P 在线段AB 上，PQ ⊥AB ，且PQ 交AD 或交弧DB 于点Q ，设AP ＝x (0＜x ＜2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ (或APQD )的面积为y ，则函数y ＝f (x )的大致图象是( )10．对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y375961824数列{x n }1n n ＋1x )的图象上，则x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝( )A ．7 564B ．7 565C ．7 566D ．7 56911．(多选)已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是( )A ．f (a )＞f (e )＞f (d )B ．函数f (x )在[a ，b ]上递增，在[b ，d ]上递减C ．函数f (x )的极值点为c ，eD ．函数f (x )的极大值为f (b )12．(多选)某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位：厘米)，图1为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，图2为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为y ^＝1.16x －30.75，以下结论正确的为( )图1图2A ．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差B ．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C ．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D ．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米13．(多选)如图，一张A4纸的长、宽分别为22a ，2a ，A ，B ，C ，D 分别是其四条边的中点．现将其沿图中虚线折起，使得P 1，P 2，P 3，P 4四点重合为一点P ，从而得到一个多面体．下列关于该多面体的命题，正确的是( )A ．该多面体是三棱锥B ．平面BAD ⊥平面BCDC ．平面BAC ⊥平面ACDD ．该多面体外接球的表面积为5πa 2 二、填空题14．已知某区中小学学生人数如图所示．为了解该区学生参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法来进行调查．若高中需抽取20名学生，则小学与初中共需抽取的学生人数为________．15．某市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛(河南初赛)，他们取得的成绩(满分140分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86.若正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列且x ，G ，y 成等比数列，则1a ＋4b的最小值为________．16．已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩7277808488909395根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高．其中正确的个数为________．17．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (恒温，单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧64， x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． ①该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；②已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品________保鲜时间(填“过了”或“没过”)．小题分类练(四) 图表信息类1．解析：选B.由x 2＋x －6＝0得x ＝－3或x ＝2，所以B ＝{－3，2}，A ＝{1，2，3，4，5，6}，所以(∁Z A )∩B ＝{－3}，故选B.2．解析：选D.由茎叶图可得甲的成绩的平均数为10＋11＋14＋21＋23＋23＋32＋348＝21.将乙的成绩按从小到大的顺序排列，中间的两个成绩分别是22，23，所以乙的成绩的中位数为22＋232＝22.5.3．解析：选B.根据题意，依次分析选项，A 中，由该城市的各月最低温与最高温具有相关关系及数据分析可得最低温与最高温为正相关，故A 正确；B 中，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为－3.5、3、5、4.5、12、20.5、23、26.5、28、15.5，在前8个月不是逐月增加，故B 错误；C 中，由表中数据，月温差依次为17、12、8、13、10、7、8、7、6、11，月温差的最大值出现在1月，故C 正确；D 中，分析可得1至4月的月温差相对于7至10月，波动性更大，故D 正确．故选B.4．解析：选C.对于A ，对比四个季度中，第4季度所销售的电视机所占百分比最大，但由于销售总量未知，所以销量不一定最大．对于B ，理由同A.在四个季度中，电视机在每个季度销量所占百分比都最大，即在每个季度销量都是最多的，所以全年销量最大的是电视机，C 正确，D 错误．5．解析：选C.因为x ～N (－2，4)，所以正态曲线关于直线x ＝－2对称，且μ＝－2，σ＝2.因为P (μ－σ<x ≤μ＋σ)＝P (－4<x ≤0)≈0.682 7，P (μ－2σ<x ≤μ＋2σ)＝P (－6<x ≤2)≈0.954 5，所以P (0≤x ≤2)＝12[P (－6<x ≤2)－P (－4<x ≤0)]＝12×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9.设落入阴影部分的点的个数为m ，所以m10 000＝0.135 9，解得m ＝1 359，故选C.6．解析：选B.因为消费金额不超过3千元的人数占总人数的35，所以第4，5，6组的频率之和为1－0.6＝0.4，从图中可知第4组的频率为0.25，所以第5，6组的频率之和为0.4－0.25＝0.15，所以消费金额超过4千元的人数为15.7．解析：选B.在正十边形A 1A 2A 3…A 10的十个顶点中任取两个，不同的取法有C 210＝45(种)，满足2OP →＋OA i →＋OA j →＝0，且点P 落在第二象限的不同取法有(A 1，A 7)，(A 1，A 8)，(A 1，A 9)，(A 1，A 10)，(A 2，A 8)，(A 2，A 9)，(A 8，A 10)，(A 9，A 10)，共8种，所以点P 落在第二象限的概率为845，故选B .8．解析：选D .因为函数f(x)＝2cos (ωx ＋φ)的图象过点A(0，3)，所以2cos φ＝3，即cos φ＝32，所以φ＝2k π±π6(k ∈Z )，因为|φ|<π2，所以φ＝±π6，由函数f (x )的图象知φω<0，又ω>0，所以φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2cos(ωx －π6)．因为f (x )＝2cos(ωx －π6)的图象过点B (π6，0)，所以cos ⎣⎡⎦⎤（ω－1）π6＝0，所以（ω－1）π6＝m π＋π2(m ∈Z )，所以ω＝6m＋4(m ∈Z )，因为ω>0，πω>π6，所以0<ω<6，所以ω＝4，所以f (x )＝2cos(4x －π6)．因为x ＝π24时，f (x )＝2，所以x ＝π24为函数f (x )图象的一条对称轴，故选D.9．解析：选A.观察可知阴影部分的面积y 的变化情况为：①当0＜x ≤1时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越快；②当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个选项中的图象，只有选项A 符合条件，故选A.10．解析：选A.因为数列{x n }满足x 1＝1，且对任意n ∈N *，点(x n ，x n ＋1)都在函数y ＝f (x )的图象上，所以x n ＋1＝f (x n )，所以由图表可得x 2＝f (x 1)＝3，x 3＝f (x 2)＝5，x 4＝f (x 3)＝6，x 5＝f (x 4)＝1，…，所以数列{x n }是周期为4的周期数列，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 018＝504(x 1＋x 2＋x 3＋x 4)＋x 1＋x 2＝504×15＋1＋3＝7 564.故选A.11．解析：选ABD.由图可知，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0，当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，c )上递增，在(c ，e )上递减，在(e ，＋∞)上递增，所以f (d )＞f (e )，故A 错误；函数f (x )在[a ，b ]上递增，在[b ，c ]上递增，在[c ，d ]上递减，故B 错误；函数f (x )的极值点为c ，e ，故C 正确；函数f (x )的极大值为f (c )，故D 错误．12．解析：选ABC.对于A ，根据折线图可知，身高极差小于20，臂展极差大于20，故A 正确；对于B ，很明显根据散点图以及回归方程得到，身高矮展臂就会短一些，身高高一些，展臂就会长一些，故B 正确；对于C ，身高为190厘米，代入回归方程可得展臂等于189.65厘米，但不是准确值，故C 正确；对于D ，身高相差10厘米的两个展臂的估计值相差11.6厘米，但不是准确值，回归方程上的点并不都是准确的样本点，故D 错误．13．解析：选ABCD.由题意得该多面体是一个三棱锥，故A 正确；因为AP ⊥BP ，AP ⊥CP ，BP ∩CP ＝P ，所以AP ⊥平面BCD ，又因为AP ⊂平面BAD ，所以平面BAD ⊥平面BCD ，故B 正确；同理可证平面BAC ⊥平面ACD ，故C 正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R ＝52a ，所以该多面体外接球的表面积为5πa 2，故D 正确．综上，正确命题为ABCD. 14．解析：设小学与初中共需抽取的学生人数为x ，依题意可得 1 2002 700＋2 400＋1 200＝20x ＋20，解得x ＝85. 答案：8515．解析：由甲班学生成绩的中位数是81，可知81为甲班7名学生的成绩按从小到大的顺序排列的第4个数，故x ＝1.由乙班学生成绩的平均数为86，可得(－10)＋(－6)＋(－4)＋(y －6)＋5＋7＋10＝0，解得y ＝4.由x ，G ，y 成等比数列，可得G 2＝xy ＝4，可得G ＝2，由正实数a ，b 满足a ，G ，b 成等差数列，可得a ＋b ＝2G ＝4，所以1a ＋4b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋4b ×⎝⎛⎭⎫a 4＋b 4＝14⎝⎛⎭⎫1＋b a ＋4a b ＋4≥14×(5＋4)＝94(当且仅当b ＝2a 时取等号)．故1a ＋4b 的最小值为94.答案：9416．解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误．综上，正确的个数为1.答案：117．解析：①因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4；②由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时，而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：①4 ②过了。
2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：第二部分 专题六基本初等函数、函数与方程
第2讲 基本初等函数、函数与方程[做真题]题型一 指数与指数函数1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B.因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1，c ＝0.20.3∈(0，1)，所以a <c <b .故选B. 2．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知a ＝243，b ＝425，c ＝2513，则( ) A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解析：选A.因为a ＝243＝1613，b ＝425＝1615，c ＝2513，且幂函数y ＝x 13在R 上单调递增，指数函数y ＝16x 在R 上单调递增，所以b ＜a ＜c .3．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax .若f (ln 2)＝8，则a ＝________．解析：法一：由x >0可得－x <0， 由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )，所以x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－e a (－x )]＝e －ax ， 则f (ln 2)＝e －a ln 2＝8，所以－a ln 2＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3. 法二：由f (x )是奇函数可知f (－x )＝－f (x )， 所以f (ln 2)＝－f ⎝⎛⎭⎫ln 12＝－(－e a ln 12)＝8， 所以a ln 12＝ln 8＝3ln 2，所以a ＝－3.答案：－3题型二 对数与对数函数(一题多解)(2016·高考全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则( ) A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba c C ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：选C.法一：由a >b >1，0<c <1，知a c >b c ，A 错；因为0<c <1，所以－1<c －1<0，所以y ＝x c －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1>a c －1，又ab >0，所以ab ·b c －1>ab ·a c －1，即ab c >ba c ，B 错；易知y ＝log c x 是减函数，所以0>log c b >log c a ，D 错；由log b c <log a c <0，得－log b c >－log a c >0，又a >b >1>0，所以－a log b c >－b log a c >0，所以a log b c <b log a c ，故C 正确．法二：依题意，不妨取a ＝4，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确．题型三 函数的零点问题1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12B ．13C ．12D ．1解析：选C.由f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，得f (2－x )＝(2－x )2－2(2－x )＋a [e 2－x －1＋e －(2－x )＋1]＝x 2－4x ＋4－4＋2x ＋a (e 1－x ＋e x －1)＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)，所以f (2－x )＝f (x )，即x＝1为f (x )图象的对称轴．由题意，f (x )有唯一零点，所以f (x )的零点只能为x ＝1，即f (1)＝12－2×1＋a (e 1－1＋e －1＋1)＝0，解得a ＝12.故选C.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1，0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选C.函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1，故选C.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 解析：由题意知，cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.答案：3[山东省学习指导意见]1．指数函数(1)通过具体实例，了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．2．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式，并能进行运算．(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，利用对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(3)知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，a ≠1)． 3．幂函数了解幂函数的概念：结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．4．函数与方程(1)结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．(2)了解二分法求方程近似解 5．函数模型及其应用(1)会比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．(2)了解函数模型的广泛应用．(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)基本初等函数的图象与性质[典型例题](1)(2019·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ． y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x(2)(2019·高考天津卷)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．b <c <aD ．c <a <b(3)(2019·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【解析】 (1)对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数y ＝1x 可转化为y ＝x －1，所以函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B 中的函数y ＝2－x可转化为y ＝⎝⎛⎭⎫12x，因此函数y ＝2－x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C 中的函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项C 不符合题意，故选A.(2)因为a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2，b ＝log 38>1，c ＝0.30.2<1，所以c <b <a .故选A.(3)通解：若0<a <1，则函数y ＝1a x 是增函数，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是减函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，选项D 可能成立；若a >1，则y ＝1a x 是减函数，而y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12是增函数且其图象过点⎝⎛⎭⎫12，0，结合选项可知，没有符合的图象．故选D.优解：分别取a ＝12和a ＝2，在同一坐标系内画出相应函数的图象(图略)，通过对比可知选D.【答案】 (1)A (2)A (3)D基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(一题多解)若函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x，则f (2)＋g (4)＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选D.法一：因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x＝2x ，所以g (x )＝log 2x ，所以f (2)＋g (4)＝22＋log 24＝6.法二：因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－x.所以f (2)＝4，即函数f (x )的图象经过点(2，4)，因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，所以函数g (x )的图象经过点(4，2)，所以f (2)＋g (4)＝4＋2＝6.2．(2019·福建五校第二次联考)已知a ＝log 372，b ＝⎝⎛⎭⎫1413，c ＝log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．b >c >aD ．c >a >b解析：选D.a ＝log 372，c ＝log 1315＝log 35，由对数函数y ＝log 3x 在(0，＋∞)上单调递增，可得log 35>log 372>log 33，所以c >a >1.借助指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 的图象易知b ＝⎝⎛⎭⎫1413∈(0，1)，故c >a >b ，选D.3．(2019·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x －1，则f (log 32)＝3log32－1＝2－1＝1.答案：⎝⎛⎭⎫－2，－891函数与方程 [典型例题]命题角度一 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1，0) C ．(0，1)D ．(1，2)(2)设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos πx |－f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－12，32上零点的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6【解析】 (1)因为a >1，0<b <1，f (x )＝a x ＋x －b ， 所以f (－1)＝1a－1－b <0，f (0)＝1－b >0，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)由f (－x )＝f (x )，得f (x )的图象关于y 轴对称．由f (x )＝f (2－x )，得f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3，所以f (x )在[－1，2]上的图象如图．令g (x )＝|cos πx |－f (x )＝0，得|cos πx |＝f (x )，两函数y ＝f (x )与y ＝|cos πx |的图象在⎣⎡⎦⎤－12，32上的交点有5个．【答案】 (1)B (2)C判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度二 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)(2019·合肥市第二次质量检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1](2)(2019·济阳模拟)若关于x 的方程e x ＋ax －a ＝0没有实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(－e 2，0]B ．[0，e 2)C ．(－e ，0]D ．[0，e)【解析】 (1)当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1.由以上分析，可作出分段函数f (x )的图象，如图所示．要使函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则方程f (x )－b ＝0，即f (x )＝b 有三个不同的实数根，也就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b 的取值范围是(0，1]，故选D.(2)由题意可知只需证e x ＋ax －a >0恒成立，即证e x >－a (x －1)．当x <1时，－a >e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2<0，则f (x )单调递减，即有f (x )<0，解得－a ≥0，即a ≤0；当x ＝1时，e>0成立，a 可以是任意实数；当x >1时，－a <e x x －1，令f (x )＝e xx －1，则f ′(x )＝e x （x －2）（x －1）2，当x ∈(1，2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以当x ＝2时，f (x )取得极小值，也是最小值e 2，即有－a <e 2，解得a >－e 2.综上，实数a 的取值范围是(－e 2，0]，故选A. 【答案】 (1)D (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．(2019·长春市质量监测(一))已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2，6]上所有零点的和为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：选D.令F (x )＝f (x )－g (x )＝0，得f (x )＝g (x )，在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2与g (x )＝1－sin πx 的图象，如图所示，又f (x )，g (x )的图象都关于点(2，1)对称，结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2，6]上共有8个交点，交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点，且这些交点关于直线x ＝2成对出现，由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16，故选D.2．已知函数f (x )＝e xx －kx (e 为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意，知x ≠0，函数f (x )有且只有一个零点等价于方程e x x －kx ＝0只有一个根，即方程e xx 2＝k 只有一个根，设g (x )＝e x x 2，则函数g (x )＝e xx2的图象与直线y ＝k 只有一个交点． 因为g ′(x )＝（x －2）e x x 3，所以函数g (x )在(－∞，0)上为增函数，在(0，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，g (x )的极小值g (2)＝e 24，且x →0时，g (x )→＋∞，x →－∞时，g (x )→0，x →＋∞时，g (x )→＋∞，则g (x )的图象如图所示，由图易知0<k <e 24.答案：⎝⎛⎭⎫0，e 24函数的实际应用 [典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就．实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M 1，月球质量为M 2，地月距离为R ，L 2点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3.设α＝rR .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A ．M 2M 1R B ．M 22M 1R C ．33M 2M 1R D ．3M 23M 1R (2)(2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ． 1010.1B ． 10.1C ． lg 10.1D ． 10－10.1【解析】 (1)由M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3，得M 1⎝⎛⎭⎫1＋r R 2＋M 2⎝⎛⎭⎫r R 2＝⎝⎛⎭⎫1＋r R M 1.因为α＝r R ，所以M 1（1＋α）2＋M 2α2＝(1＋α)M 1，得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1.由3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，得3α3≈M 2M 1，即3⎝⎛⎭⎫r R 3≈M 2M 1，所以r ≈3M 23M 1·R ，故选D. (2)根据题意，设太阳的星等与亮度分别为m 1与E 1，天狼星的星等与亮度分别为m 2与E 2，则由已知条件可知m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，根据两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，把m 1与m 2的值分别代入上式得，－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，得lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1，故选A.【答案】 (1)D (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练]1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30) A ．2021年 B ．2022年 C ．2023年D ．2024年解析：选B.根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以，从2018年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n }，其中，首项a 1＝130，公比q ＝1＋12%＝1.12，所以a n ＝130×1.12n －1.由130×1.12n －1>200，两边同时取对数，得n －1>lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝3.8，则n >4.8，即a 5开始超过200，所以2022年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.2．某食品的保鲜时间y (单位：h)与储存温度x (单位：℃)满足的函数关系式为y ＝e kx ＋b (e＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192 h ，在22 ℃的保鲜时间是48 h ，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________ h.解析：由已知，得e b ＝192，e 22k ＋b ＝48，两式相除得e 22k ＝14，所以e 11k ＝12，所以e 33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝18×192＝24，即该食品在33 ℃的保鲜时间是24 h.答案：24一、选择题1．已知函数f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m 的值是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－2或3解析：选C.f (x )＝(m 2－m －5)x m 是幂函数⇒m 2－m －5＝1⇒m ＝－2或m ＝3. 又在x ∈(0，＋∞)上是增函数， 所以m ＝3.2．函数y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过的点是( )A ．(0，0)B ．(0，－1)C ．(－2，0)D ．(－2，－1)解析：选C.令x ＋2＝0，得x ＝－2，所以当x ＝－2时，y ＝a 0－1＝0，所以y ＝a x ＋2－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过点(－2，0)．3．若a ＝log 1π13，b ＝e π3，c ＝log 3cos π5，则( )A ．b >c >aB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >a >b解析：选B.因为0<1π<13<1，所以1＝log 1π1π>log 1π13>0，所以0<a <1，因为b ＝e π3>e 0＝1，所以b >1.因为0<cos π5<1，所以log 3cos π5<log 31＝0，所以c <0.故b >a >c ，选B.4．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，选D.5．若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是()解析：选A.若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |0<y ≤1}，则0<a <1，故log a |x |是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，由此可知y ＝log a |x |的图象大致为A.6．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅．已知5级地震给人的震感已经比较明显，则7级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的( )A ．10倍B ．20倍C ．50倍D ．100倍解析：选D.根据题意有lg A ＝lg A 0＋lg 10M＝lg (A 0·10M)．所以A ＝A 0·10M，则A 0×107A 0×105＝100.故选D.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a <b )，则( ) A ．a ＋b >0 B ．a ＋b >1 C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选 A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a <b )，得－ln(a ＋1)＝ln(b ＋1)，即ab ＋a ＋b ＝0，所以0＝ab ＋a ＋b <（a ＋b ）24＋a ＋b ，即(a ＋b )(a ＋b ＋4)>0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，所以x ∈(0，1)时f ′(x )>0，此时f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，此时f (x )单调递减．因此，当x >0时，f (x )max ＝f (1)＝ln 1－1＋1＝0.根据函数f (x )是定义在R 上的奇函数作出函数y ＝f (x )与y ＝e x 的大致图象如图所示，观察到函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象有两个交点，所以函数g (x )＝f (x )－e x (e 为自然对数的底数)有2个零点．9．(2019·重庆市学业质量调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 3 2＋x 2－x，若不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．⎝⎛⎭⎫0，12 D ．⎝⎛⎭⎫12，1解析：选D.由2＋x 2－x >0得x ∈(－2，2)，又y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 3 2＋x2－x ＝log 3x －2＋42－x＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝⎛⎭⎫1m >f (1)成立，所以⎩⎨⎧－2<1m <2，1m>1，解得12<m <1，故选D. 10．已知函数f (x )＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f (x )的所有零点之和等于( ) A ．5π B ．6π C ．7πD ．8π解析：选C.f (x )＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x )－sin(2x ＋x )＝－2cos 2x sin x ，令f (x )＝0, 可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，因为x ∈[0，2π]，所以2x ∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得2x ＝π2或2x ＝3π2或2x ＝5π2或2x ＝7π2，所以x ＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0可得x ＝0或x ＝π或x＝2π，因为π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，所以f (x )的所有零点之和等于7π，故选C.11．(多选)已知函数f (x )＝e |x |＋|x |.则关于x 的方程f (x )＝k 的根的情况，下列结论正确的是( )A ．当k ＝1时，方程有一个实根B ．当k >1时，方程有两个实根C ．当k ＝0时，方程有一个实根D ．当k ≥1时，方程有实根解析：选ABD.方程f (x )＝k 化为e |x |＝k －|x |，设y 1＝e |x |，y 2＝k －|x |.y 2＝k －|x |表示斜率为1或－1的直线，折线与曲线y 1＝e |x |恰好有一个公共点时，k ＝1.如图，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(1，＋∞)．故选ABD.12．(多选)已知函数f(x)＝|2x－2|＋b的两个零点分别为x1，x2(x1>x2)，则下列结论正确的是()A．1<x1<2 B．x1＋x2<1C．x1＋x2<2 D．x1>1解析：选AC.函数f(x)＝|2x－2|＋b有两个零点，即y＝|2x－2|的图象与直线y＝－b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2(x1>x2)，在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝－b的图象如图所示，可知1<x1<2，2x1－2＋2x2－2＝0，即4＝2x1＋2x2>22x1×2x2＝22x1＋x2，所以2x1＋x2<4，所以x1＋x2<2.13．(多选)已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝log2(x＋1)．下列命题正确的有()A．f(2 016)＋f(－2 017)＝0B．函数f(x)在定义域上是周期为2的周期函数C．直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点D．函数f(x)的值域为(－1，1)解析：选ACD.根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y＝x和函数f(x)的图象如图所示，根据图象可知，A，f(2 016)＋f(－2 017)＝0正确；B，函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以B不正确；C，根据图象可知y＝x与f(x)的图象有1个交点，所以C正确；D，根据图象，函数f(x)的值域是(－1，1)，所以D正确．二、填空题14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫12x，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝⎛⎭⎫14＋f (log 216)＝________． 解析：由题可得f ⎝⎛⎭⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0， 所以f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝⎝⎛⎭⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝⎛⎭⎫14＋f ⎝⎛⎭⎫log 2 16＝8. 答案：815．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)，则x 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (ln x )－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x ＝f (ln x )－f (－ln x )＝f (ln x )＋f (ln x )＝2f (ln x )， 所以⎪⎪⎪⎪f （ln x ）－f ⎝⎛⎭⎫ln 1x 2<f (1)等价于|f (ln x )|<f (1)，又f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增， 所以－1<ln x <1，解得1e <x <e.答案：⎝⎛⎭⎫1e ，e16．已知函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1，2)内有零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )＝log 3 x ＋2x －a 在区间(1，2)内有零点，且f (x )在(1，2)内单调，所以f (1)·f (2)<0，即(1－a )·(log 32－a )<0，解得log 32<a <1.答案：()log 32，117．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫43＝________，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，则实数k 的取值范围是________．解析：因为偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)， 所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数f (x )是周期为2的周期函数，则f ⎝⎛⎭⎫43＝f ⎝⎛⎭⎫43－2＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝f ⎝⎛⎭⎫23＝23， 若－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， 则f (－x )＝－x ＝f (x )， 即f (x )＝－x ，－1≤x ≤0，由g (x )＝f (x )－kx －k ＝0，得f (x )＝k (x ＋1)， 函数g (x )＝f (x )－kx －k 有4个零点，等价为函数f (x )与h (x )＝k (x ＋1)有4个不同的交点，作出两个函数的图象如图所示， h (x )过定点A (－1，0)，f (3)＝1， 则k 满足0<h (3)≤1，即0<4k ≤1，得0<k ≤14，即实数k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，14. 答案：23 ⎝⎛⎦⎤0，14。
新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习：第二部分 专题五 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问
第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题最值问题函数最值法：当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值．求函数最值的常用方法有(1)配方法；(2)基本不等式法；(3)判别式法；(4)单调性法；(5)三角换元法；(6)导数法等．高考真题思维方法【基本不等式法】(2014·高考课标全国卷Ⅰ) 已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点.(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程.(1)略(2)当l ⊥x 轴时不合题意，【关键1：研究直线l 与x 轴垂直的情况】故可设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k ±24k 2－34k 2＋1，【关键2：设出直线方程，并与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出A ，B 两点的横坐标与参数k 的关系式】 从而|PQ |＝k 2＋1|x1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1. 又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1， 所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d |PQ |＝44k 2－34k 2＋1.【关键3：用参数k 表示面积】设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t .因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，【关键4：换元，利用基本不等式求最值】所以，当△OPQ 的面积最大时，k ＝±72，l 的方程为y ＝72x－2或y ＝－72x －2.[典型例题](2019·安徽宣城二模)已知椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1，A 是椭圆上的一点，且A 在第一象限内，过A 且斜率等于－1的直线与椭圆C 交于另一点B ，点A 关于原点的对称点为D .(1)证明：直线BD 的斜率为定值； (2)求△ABD 面积的最大值．【解】 (1)证明：设D (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A (－x 1，－y 1)，直线BD 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1，由⎩⎨⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1＝－12×x 1＋x 2y 1＋y 2，因为k AB ＝y 1＋y 2x 1＋x 2＝－1，所以k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝12， 故直线BD 的斜率为定值12.(2)连接OB ，因为A ，D 关于原点对称， 所以S △ABD ＝2S △OBD ，由(1)可知BD 的斜率k ＝12，设BD 的方程为y ＝12x ＋t ，因为D 在第三象限，所以－2<t <1且t ≠0， O 到BD 的距离d ＝|t |1＋14＝2|t |5， 由⎩⎨⎧y ＝12x ＋t ，x 24＋y22＝1，整理得3x 2＋4tx ＋4t 2－8＝0，所以x 1＋x 2＝－4t3，x 1x 2＝4（t 2－2）3，所以S △ABD ＝2S △OBD ＝2×12×|BD |×d＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2·2|t |5 ＝|t |·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝|t |·96－32t 23＝423·t2（3－t2）≤2 2.所以当且仅当t＝－62时，S△ABD取得最大值2 2.最值问题的2种基本解法几何法根据已知的几何量之间的相互关系、平面几何和解析几何知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查)代数法建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值解决(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)[对点训练](2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E的方程；(2)如图，动直线l：y＝k1x－32交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝24，M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3, ⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．解：(1)由题意知e＝ca＝22，2c＝2，所以a＝2，b＝1，因此椭圆E的方程为x22＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0，由题意知Δ＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12（2k 21＋1），所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝21＋k 211＋8k 211＋2k 21. 由题意可知圆M 的半径r 为 r ＝23|AB |＝223 1＋k 211＋8k 212k 21＋1.由题设知k 1k 2＝24， 所以k 2＝24k 1，因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x . 联立方程⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21， 因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知sin∠SOT 2＝rr ＋|OC |＝11＋|OC |r， 而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 21223 1＋k 21 1＋8k 211＋2k 21＝3241＋2k 211＋4k 211＋k 21， 令t ＝1＋2k 21， 则t ＞1，1t∈(0，1)，因此|OC |r ＝32t2t 2＋t －1＝3212＋1t －1t2＝321－⎝⎛⎭⎫1t －122＋94≥1， 当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22，所以sin ∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 最大值为π3.综上所述：∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.范围问题1．几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决．高考真题思维方法(2018·高考浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上.(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； (2)若P 是半椭圆x 2＋y 24＝1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围.(1)略(2)由(1)可知⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 20， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝22（y 20－4x 0）. 因此，△P AB 的面积S △P AB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.【关键1：利用根与系数的关系，用P 点坐标表示△P AB 的面积】因为x 20＋y 204＝1(－1≤x 0<0)，所以y 20－4x 0＝－4x 20－4x 0＋4∈[4，5]，因此，△P AB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤62，15104.【关键2：根据半椭圆中x 的取值范围以及二次函数性质确定面积的取值范围】2.代数法：代数法求范围问题，常需要根据条件构造关于某个变量的不等式或函数表达式，然后利用求解不等式、基本不等式、函数值域(导数与不等式、导数与方程)等方法求出范围，要特别注意变量的取值范围．高考真题思维方法(2016·高考全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x 轴不重合，l交圆A于C，D 两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A 交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. (1)略(2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y＝k（x－1），x24＋y23＝1得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，【关键1：分类讨论，当直线斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立消元得一元二次方程】则x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－124k2＋3，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝12（k2＋1）4k2＋3.【关键2：利用根与系数的关系及弦长公式求弦长】过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－1k(x－1)，A到m的距离为2k2＋1，【关键3：利用点到直线的距离公式求距离】所以|PQ|＝242－⎝⎛⎭⎪⎫2k2＋12＝44k2＋3k2＋1.【关键4：利用圆中半径、弦长一半、弦心距的关系求弦长】故四边形MPNQ的面积S＝12|MN||PQ|＝121＋14k2＋3.【关键5：用直线斜率k表示四边形MPNQ的面积】可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，83).【关键6：利用k2>0求取值范围】当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12.【关键7：分类讨论，直线斜率不存在时四边形MPNQ的面积】综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，83).[典型例题](2019·安徽五校联盟第二次质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦点坐标分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P为椭圆C上一点，满足3|PF1|＝5|PF2|且cos∠F1PF2＝3 5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A ，B 两点， 点Q ⎝⎛⎭⎫14，0，若|AQ |＝|BQ |，求k 的取值范围．【解】 (1)由题意设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则3r 1＝5r 2，又r 1＋r 2＝2a ，所以r 1＝54a ，r 2＝34a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理得，cos ∠F 1PF 2＝r 21＋r 22－|F 1F 2|22r 1r 2＝⎝⎛⎭⎫54a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2－222×54a ×34a ＝35，解得a ＝2，因为c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m ，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2，且Δ＝48(3＋4k 2－m 2)＞0，①设AB 的中点为M (x 0，y 0)，连接QM ，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 3＋4k 2，y 0＝kx 0＋m ＝3m3＋4k 2， 因为|AQ |＝|BQ |，所以AB ⊥QM ，又Q ⎝⎛⎭⎫14，0，M 为AB 的中点，所以k ≠0，直线QM 的斜率存在，所以k ·k QM ＝k ·3m3＋4k 2－4km 3＋4k 2－14＝－1，解得m ＝－3＋4k 24k ，②把②代入①得3＋4k 2＞⎝⎛⎭⎫－3＋4k 24k 2，整理得16k 4＋8k 2－3＞0，即(4k 2－1)(4k 2＋3)＞0，解得k ＞12或k ＜－12，故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞.求解范围问题的常见方法(1)利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系．(3)利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用基本不等式求出参数的取值范围．(5)利用函数的值域求范围问题的关键是建立关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标变量的取值范围．在建立函数的过程中，要根据题目的其他已知条件把要求的量都用已知变量表示出来，同时要注意变量的取值范围．[对点训练](2019·洛阳模拟)已知A ，B 是x 轴正半轴上两点(A 在B 的左侧)，且|AB |＝a (a >0)，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与抛物线y 2＝2px (p >0)在第一象限分别交于D ，C 两点．(1)若a ＝p ，点A 与抛物线y 2＝2px 的焦点重合，求直线CD 的斜率；(2)若O 为坐标原点，记△OCD 的面积为S 1，梯形ABCD 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．解：(1)由题意知A ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则B ⎝⎛⎭⎫p 2＋a ，0，D ⎝⎛⎭⎫p 2，p ，则C ⎝⎛⎭⎫p2＋a ，p 2＋2pa ，又a ＝p ，所以k CD ＝3p －p3p 2－p 2＝3－1. (2)设直线CD 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b y 2＝2px ，得ky 2－2py ＋2pb ＝0， 所以Δ＝4p 2－8pkb >0，得kb <p 2，又y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝2pb k ，由y 1＋y 2＝2p k >0，y 1y 2＝2pbk >0，可知k >0，b >0，因为|CD |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝a 1＋k 2， 点O 到直线CD 的距离d ＝|b |1＋k 2， 所以S 1＝12·a 1＋k 2·|b |1＋k 2＝12ab .又S 2＝12(y 1＋y 2)·|x 1－x 2|＝12·2p k ·a ＝apk ，所以S 1S 2＝kb2p，因为0<kb <p 2，所以0<S 1S 2<14.证明问题代数转化法：圆锥曲线中的证明问题多涉及几何量的证明，比如涉及线段或角相等以及位置关系等等．证明时，常把几何量用坐标表示，建立某个变量的函数，用代数方法证明．高考真题思维方法[典型例题](2019·潍坊市第一学期抽测)已知点A ⎝⎛⎭⎫1，－32在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，O 为坐标原点，直线l ：x a 2－3y 2b 2＝1的斜率与直线OA 的斜率乘积为－14.(1)求椭圆C 的方程； (2)不经过点A 的直线y ＝32x ＋t (t ≠0且t ∈R )与椭圆C 交于P ，Q 两点，P 关于原点的对称点为R (与点A 不重合)，直线AQ ，AR 与y 轴分别交于两点M ，N ，求证：|AM |＝|AN |.【解】 (1)由题意知，k OA ·k l ＝－32·2b 23a 2＝－b 2a 2＝－14，即a 2＝4b 2，① 又1a 2＋34b2＝1，② 所以联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则R (－x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧y ＝32x ＋tx24＋y 2＝1，得x 2＋3tx ＋t 2－1＝0， 所以Δ＝4－t 2>0，即－2<t <2， 又t ≠0，所以t ∈(－2，0)∪(0，2)， x 1＋x 2＝－3t ，x 1·x 2＝t 2－1.法一：要证明|AM |＝|AN |，可转化为证明直线AQ ，AR 的斜率互为相反数，即证明k AQ ＋k AR ＝0.由题意知，k AQ ＋k AR ＝y 2＋32x 2－1＋y 1－32x 1＋1＝⎝⎛⎭⎫y 2＋32（x 1＋1）＋⎝⎛⎭⎫y 1－32（x 2－1）（x 1＋1）（x 2－1）＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋t ＋32（x 1＋1）＋⎝⎛⎭⎫32x 1＋t －32（x 2－1）（x 1＋1）（x 2－1）＝3x 1x 2＋t （x 1＋x 2）＋3（x 1＋1）（x 2－1）＝3（t 2－1）＋t （－3t ）＋3（x 1＋1）（x 2－1）＝0，所以|AM |＝|AN |.法二：要证明|AM |＝|AN |，可转化为证明直线AQ ，AR 与y 轴的交点M ，N 连线的中点S的纵坐标为－32，即AS 垂直平分MN 即可． 直线AQ 与AR 的方程分别为l AQ ：y ＋32＝y 2＋32x 2－1(x －1)，l AR ：y ＋32＝－y 1＋32－x 1－1(x －1)，分别令x ＝0，得y M ＝－y 2－32x 2－1－32，y N ＝－y 1＋32x 1＋1－32，所以y M ＋y N ＝－y 2－32x 2－1＋－y 1＋32x 1＋1－ 3＝⎝⎛⎭⎫－32x 1－t ＋32（x 2－1）＋⎝⎛⎭⎫－32x 2－t －32（x 1＋1）（x 1＋1）（x 2－1）－ 3＝－3x 1x 2－t （x 1＋x 2）－3（x 1＋1）（x 2－1）－ 3＝－3（t 2－1）－t （－3t ）－3（x 1＋1）（x 2－1）－ 3＝－3，y S ＝y M ＋y N 2＝－32，即AS 垂直平分MN .所以|AM |＝|AN |.几何证明问题的解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．[对点训练](2019·湖南省五市十校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，右焦点为F ，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)如图，过定点P (2，0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，连接AF 并延长交C 于M ，求证：∠PFM ＝∠PFB .解：(1)依题意可设圆O 的方程为x 2＋y 2＝b 2， 因为圆O与直线x －y ＋2＝0相切，所以b ＝|2|12＋12＝1，所以a 2－c 2＝1， 又c a ＝22，所以a ＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：依题意可知直线l 的斜率存在，设l 的方程为y ＝k (x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0， 因为l 与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即2k 2－1<0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AF ，BF 的斜率分别为k 1，k 2， 则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2.因为F (1，0)，所以k 1＋k 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1＝k （x 1－2）x 1－1＋k （x 2－2）x 2－1＝2k －k ⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －k ×x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＝2k －k ×8k 21＋2k 2－28k 2－21＋2k 2－8k 21＋2k 2＋1＝2k －k ×4k 2－22k 2－1＝0，即∠PFM ＝∠PFB .1．已知F 为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的右焦点，M 为C 上的任意一点．(1)求|MF |的取值范围；(2)P ，N 是C 上异于M 的两点，若直线PM 与直线PN 的斜率之积为－34，证明：M ，N两点的横坐标之和为常数．解：(1)依题意得a ＝2，b ＝3，所以c ＝ a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为(1，0)， 设椭圆C 上的任意一点M 的坐标为(x M ，y M )，则x 2M 4＋y 2M3＝1， 所以|MF |2＝(x M －1)2＋y 2M ＝(x M －1)2＋3－34x 2M ＝14x 2M －2x M ＋4＝14(x M－4)2，又－2≤x M ≤2，所以1≤|MF |2≤9， 所以1≤|MF |≤3，所以|MF |的取值范围为[1，3]．(2)证明：设P ，M ，N 三点的坐标分别为(x P ，y P )，(x M ，y M )，(x N ，y N )， 设直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2，则直线PM 的方程为y －y P ＝k 1(x －x P )， 联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y －y P ＝k 1（x －x P ），消去y ，得(3＋4k 21)x 2－8k 1(k 1x P －y P )x ＋4k 21x 2P －8k 1x P y P ＋4y 2P －12＝0，由根与系数的关系可得x M ＋x P ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21，所以x M ＝8k 1（k 1x P －y P ）3＋4k 21－x P＝4k 21x P －8k 1y P －3x P3＋4k 21， 同理可得x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22，又k 1·k 2＝－34，故x N ＋x P ＝8k 2（k 2x P －y P ）3＋4k 22＝8⎝⎛⎭⎫－34k 1⎝⎛⎭⎫－34k 1x P －y P 3＋4⎝⎛⎭⎫－34k 12＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3， 则x N ＝6x P ＋8k 1y P 4k 21＋3－x P ＝－4k 21x P －8k 1y P －3x P 3＋4k 21＝－x M ， 从而x N ＋x M ＝0，即M ，N 两点的横坐标之和为常数．2．(2019·郑州市第二次质量预测)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，△AF 1F 2的周长为4＋23，且面积的最大值为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设B 是椭圆上一动点，线段AB 的中点为P ，OA ，OB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2＝－14，求|OP |的取值范围．解：(1)由椭圆的定义及△AF 1F 2的周长为4＋23，可得2(a ＋c )＝4＋23，所以a ＋c ＝2＋3①.当A 在上(或下)顶点时，△AF 1F 2的面积取得最大值，即bc ＝3②， 由①②及a 2＝c 2＋b 2，得a ＝2，b ＝1，c ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线AB 的斜率不存在时，k 1＝－k 2，因为k 1k 2＝－14，所以k 1＝±12，不妨取k 1＝12，则直线OA 的方程为y ＝12x ，不妨取点A ⎝⎛⎭⎫2，22，则B ⎝⎛⎭⎫2，－22，P (2，0)，所以|OP |＝ 2. 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋mx 2＋4y 2＝4可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)＝16(4k 2＋1－m 2)>0①，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2.因为k 1k 2＝－14，所以4y 1y 2＋x 1x 2＝0， 所以4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＋x 1x 2＝(4k 2＋1)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝4m 2－4－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0，化简得2m 2＝1＋4k 2(满足①式)，所以m 2≥12.设P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4km 1＋4k2＝－2k m ，y 0＝kx 0＋m ＝12m . 所以|OP |2＝x 20＋y 20＝4k 2m 2＋14m 2＝2－34m 2∈⎣⎡⎭⎫12，2，所以|OP |∈⎣⎡⎭⎫22，2. 综上，|OP |的取值范围为⎣⎡⎦⎤22，2.3．(2019·济南模拟)已知椭圆D ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝22，点(－2，1)在椭圆D 上．(1)求椭圆D 的方程；(2)过椭圆D 内一点P (0，t )的直线l 的斜率为k ，且与椭圆D 交于M ，N 两点，设直线OM ，ON (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，若对任意k ，存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk ，求实数λ的取值范围．解：(1)椭圆D 的离心率e ＝a 2－b 2a ＝22，所以a ＝2b ，又点(－2，1)在椭圆D 上，所以2a 2＋1b 2＝1，得a ＝2，b ＝2，所以椭圆D 的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意得，直线l 的方程为y ＝kx ＋t .由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1y ＝kx ＋t，消元可得(2k 2＋1)x 2＋4ktx ＋2t 2－4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt 2k 2＋1，x 1x 2＝2t 2－42k 2＋1，k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝kx 1＋t x 1＋kx 2＋tx 2＝2k ＋t （x 1＋x 2）x 1x 2＝2k ＋t ·－4kt 2k 2＋1·2k 2＋12t 2－4＝－4k t 2－2.由k 1＋k 2＝λk ，得－4kt 2－2＝λk ，因为此等式对任意的k 都成立，所以－4t 2－2＝λ，即t 2＝2－4λ.因为点P (0，t )在椭圆内，所以0≤t 2<2， 即0≤2－4λ<2，解得λ≥2.所以实数λ的取值范围是[2，＋∞)．4．(2019·重庆七校联考)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10.不经过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 的面积取最大值时，直线l 的方程． 解：(1)依题意知，e ＝c a ＝12，左焦点(－c ，0)到点P (2，1)的距离d 0＝（2＋c ）2＋12＝10， 得a 2＝4，c 2＝1，所以b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)易得直线OP 的方程为y ＝12x ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点R (x 0，y 0)(y 0≠0)，其中y 0＝12x 0.因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得x 224－x 214＋y 223－y 213＝0，即（x 2－x 1）·2x 04＋（y 2－y 1）·2y 03＝0，故k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－34·x 0y 0＝－32.由题意可设直线l 的方程为y ＝－32x ＋m (m ≠0)，代入x 24＋y 23＝1中，消去y 并整理得3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，由Δ＝(3m )2－4×3(m 2－3)＝3(12－m 2)>0， 得－23<m <23且m ≠0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33， 所以|AB |＝1＋94|x 1－x 2|＝132（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝39612－m 2. 又点P (2，1)到直线l 的距离d ＝|8－2m |13＝2|4－m |13， 所以△ABP 的面积S △ABP ＝12·|AB |·d ＝ 36（4－m ）2（12－m 2），其中－23<m <23且m ≠0. 令f (m )＝(4－m )2(12－m 2)(－23<m <23且m ≠0)，则f ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6)＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)，令f ′(m )＝0，得m ＝1－7(4和1＋7不满足－23<m <23且m ≠0，舍去)，当m ∈(－23，1－7)时，f ′(m )>0，当m ∈(1－7，23)且m ≠0时，f ′(m )<0，所以当m ＝1－7时，S △ABP 取得最大值，此时直线l 的方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.。
2020年高考数学(京津鲁琼版)二轮复习典型例题分层突破练习：小题分类练(五) 创新迁移类 含解析
小题分类练(五) 创新迁移类一、选择题 1．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝0的复数z 对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，2，3的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是( )A ．1B ．3C ．7D ．313．对于非零向量m ，n ，定义运算“*”：m*n ＝|m ||n |sin θ，其中θ为m ，n 的夹角，有两两不共线的三个向量a ，b ，c ，下列结论正确的是( )A ．若a*b ＝a*c ，则b ＝cB ．(a*b )c ＝a (b*c )C ．a*b ＝(－a )*bD ．(a ＋b )*c ＝a*c ＋b*c4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”的个数为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．定义函数max{f (x )，g (x )}＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）（f （x ）≥g （x ）），g （x ）（f （x ）＜g （x ）），则max{sin x ，cos x }的最小值为( )A ．－ 2 B. 2 C ．－22D.226．若定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，则称该函数为满足约束条件K 的一个“K 函数”．下列为“K 函数”的是( )A ．f (x )＝x ＋1B ．f (x )＝－x 3C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x |x |7．我们常用以下方法求形如函数y ＝f (x )g (x )(f (x )＞0)的导数：先两边同取自然对数ln y ＝g (x )ln f (x )，再两边同时求导得到1y ·y ′＝g ′(x )ln f (x )＋g (x )·1f （x ）·f ′(x )，于是得到y ′＝f (x )g (x )[g ′(x )ln f (x )＋g (x )·1f （x ）·f ′(x )]，运用此方法求得函数y ＝x 1x (x ＞0)的一个单调递增区间是( )A ．(e ，4)B ．(3，6)C ．(0，e)D ．(2，3)8．已知点M (－1，0)和N (1，0)，若某直线上存在点P ，使得|PM |＋|PN |＝4，则称该直线为“椭型直线”，现有下列直线：①x －2y ＋6＝0；②x －y ＝0；③2x －y ＋1＝0；④x ＋y －3＝0. 其中是“椭型直线”的是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④9．已知三棱锥O -ABC ，OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝OB ＝2，OC ＝1，P 是△ABC 内任意一点，设OP 与平面ABC 所成的角为x ，OP ＝y ，则y 关于x 的函数的图象为( )10．若非零向量a ，b 的夹角为锐角θ，且|a ||b |＝cos θ，则称a 被b “同余”．已知b 被a “同余”，则a －b 在a 上的投影是( )A.a 2－b 2|a |B.a 2－b 2a 2C.b 2－a 2|a |D.a 2－b 2|b |11．(多选)设函数f (x )的定义域为D ，若对任意x ∈D ，存在y ∈D ，使得f (y )＝－f (x )成立，则称函数f (x )为“美丽函数”．下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝1x －1C ．f (x )＝ln(2x ＋3)D ．y ＝2x ＋312．(多选)若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *且n ≥3，总存在i ，j ∈N *，使得a n ＝a i ＋a j (i ≠j ，i ＜n ，j ＜n )，则称数列{a n }是“T 数列”．则下列数列是“T 数列”的为( )A ．{2n }B ．{n 2}C ．{3n}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －1 13．(多选)定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋ca 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题不正确的是( )A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交 二、填空题14．若无穷数列{a n }满足：只要a p ＝a q (p ，q ∈N *)，必有a p ＋1＝a q ＋1，则称{a n }具有性质P .若{a n }具有性质P ，且a 1＝1，a 2＝2，a 4＝3，a 5＝2，a 6＋a 7＋a 8＝21，则a 3的值为________．15．定义一种运算“※”，对于任意n ∈N *均满足以下运算性质：(1)2※2 017＝1；(2)(2n ＋2)※2 017＝(2n )※2 017＋3.则2 018※2 017＝____________．16．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－2，3)且法向量为n ＝(4，－1)的直线(点法式)方程为4×(x ＋2)＋(－1)×(y －3)＝0，化简得4x －y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B (1，2，3)且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的(点法式)方程为____________．17．定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫作函数f (x )的“新驻点”． (1)设f (x )＝cos x ，则f (x )在(0，π)上的“新驻点”为________；(2)如果函数g (x )＝x 与h (x )＝ln(x ＋1)的“新驻点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是________．小题分类练(五) 创新迁移类1．解析：选A.由题知⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2， 1＝z －2(1＋i)＝0，解得z ＝2＋2i.所以复数z 对应的点(2，2)位于第一象限．故选A.2．解析：选B.具有伙伴关系的元素组是－1和12，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，2.3．解析：选C.a ，b ，c 为两两不共线的向量，则a ，b ，c 为非零向量，故A 不正确；设a ，b 夹角为θ，b ，c 夹角为α，则(a*b )c ＝|a ||b |·sin θ·c ，a (b*c )＝|b ||c |sin α·a ，故B 不正确；a*b ＝|a ||b |·sin θ＝|－a ||b |·sin(π－θ)＝(－a )*b ，故C 正确，D 不正确．4．解析：选C.函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}，当x ＝±1时，y ＝1；当x ＝±2时，y ＝4.则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函数”共有9个．故选C.5．解析：选C.画出f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图象(图略)，由图象易知所求最小值为－22. 6．解析：选D.选项A 中，函数f (x )＝x ＋1不是奇函数，故选项A 中的函数不是“K 函数”． 选项C 中，函数f (x )＝1x的定义域不是R ，故选项C 中的函数不是“K 函数”．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，等价于奇函数f (x )在R 上单调递增．选项B 中，函数f (x )＝－x 3在R 上单调递减，故选项B 中的函数不是“K 函数”．选项D 中，函数f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x <0在R 上单调递增且为奇函数，故选项D 中的函数是“K 函数”．故选D.7．解析：选 C.由题意知f (x )＝x ，g (x )＝1x ，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x 2，所以y ′＝x 1x·⎝⎛⎭⎫－1x 2ln x ＋1x ·1x ＝x 1x ·1－ln x x 2，由y ′＝x 1x ·1－ln x x 2＞0得1－ln x ＞0，解得0＜x ＜e ，即单调递增区间为(0，e)，故选C.8．解析：选C.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，其方程为x 24＋y 23＝1.对于①，把x －2y ＋6＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得2y 2－9y ＋12＝0，由Δ＝(－9)2－4×2×12＝－15＜0，知x －2y ＋6＝0不是“椭型直线”；对于②，把y ＝x 代入x 24＋y 23＝1，整理得x 2＝127，所以x －y ＝0是“椭型直线”；对于③，把2x －y ＋1＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得19x 2＋16x －8＝0，由Δ＝162－4×19×(－8)＞0，知2x －y ＋1＝0是“椭型直线”；对于④，把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 23＝1，整理得7x 2－24x ＋24＝0，由Δ＝(－24)2－4×7×24＜0，知x ＋y －3＝0不是“椭型直线”．故②③是“椭型直线”．9．解析：选B.设点O 在平面ABC 内的射影为O ′，连接OO ′，OP ，O ′P ，根据等体积思想得OO ′＝2×2×12×2＝22.因为∠OO ′P ＝π2，所以OP ＝OO ′sin x ，即y ＝12sin x.易知当点P 在点A 或点B 位置时，x 取得最小值π6，排除选项C ，D.又在⎣⎡⎦⎤π6，π2上，函数y ＝12sin x 单调递减且其图象为光滑曲线，所以排除选项A.故选B.10．解析：选A.因为b 被a “同余”，所以|b ||a |＝cos θ(θ为a 与b 的夹角)，所以|b |＝|a |cosθ，所以b ·(a －b )＝b ·a －b 2＝|b |·|a |·cos θ－b 2＝0，所以b ⊥(a －b )．易知a －b 与a 的夹角为π2－θ，则a ·(a －b )＝|a |·|a －b |cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|a |·|a －b |·sin θ. 又a ·(a －b )＝a 2－a ·b ＝a 2－|a |·|b |cos θ＝a 2－b 2， 所以|a |2－|b |2＝|a |·|a －b |sin θ，所以a －b 在a 上的投影是|a －b |cos ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝|a －b |sin θ＝a 2－b 2|a |，故选A.11．解析：选BCD.因为若对任意x ∈D ，存在y ∈D .使得f (y )＝－f (x )成立，所以只需f (x )的值域关于原点对称．A 中函数y ＝x 2的值域为[0，＋∞)．不关于原点对称．不符合；B 中函数y ＝1x －1的值域为{y |y ≠0}，关于原点对称．符合；C 中函数f (x )＝ln(2x ＋3)的值域为R ，关于原点对称．符合；D 中函数y ＝2x ＋3的值域为R .关于原点对称．符合．12．解析：选AD.令a n ＝2n ，则a n ＝a 1＋a n －1(n ≥3)，所以数列{2n }是“T 数列”；令a n＝n 2，则a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{n 2}不是“T 数列”；令a n ＝3n ，则a 1＝3，a 2＝9，a 3＝27，所以a 3≠a 1＋a 2，所以数列{3n}不是“T 数列”；令a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －1，则a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52n －3＝a n －1＋a n －2(n ≥3)，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫1－52n －1是“T 数列”．故选AD.13．解析：选BCD.对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，P 1P 未必与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误；对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．14．解析：因为a 5＝a 2，所以a 6＝a 3，a 7＝a 4＝3，a 8＝a 5＝2.于是a 6＋a 7＋a 8＝a 3＋3＋2，又a 6＋a 7＋a 8＝21，所以a 3＝16.答案：1615．解析：设a n ＝(2n )※2 017，则由运算性质(1)知a 1＝1，由运算性质(2)知a n ＋1＝a n ＋3，即a n ＋1－a n ＝3.于是，数列{a n }是等差数列，且首项为1，公差为3.故2 018※2 017＝(2×1 009)※2 017＝a 1 009＝1＋1 008×3＝3 025. 答案：3 02516．解析：由题意可设Q (x ，y ，z )为所求平面内的任一点，则根据BQ →⊥m ，得BQ →·m ＝0，所以(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，化简得x ＋2y －z －2＝0.故所求平面的方程为x ＋2y －z －2＝0.答案：x ＋2y －z －2＝017．解析：(1)根据题意，f (x )＝cos x ，其导数f ′(x )＝－sin x ，若f (x )＝f ′(x )，即cos x ＝－sin x ，则有tan x ＝－1.又由x ∈(0，π)得x ＝3π4，即f (x )在(0，π)上的“新驻点”为3π4.(2)函数g (x )＝x ，其导数g ′(x )＝1，由g (x )＝g ′(x )，得x ＝1，则函数g (x )＝x 的“新驻点”α＝1，h (x )＝ln(x ＋1)，则h ′(x )＝1x ＋1，h (x )＝h ′(x )，即ln(x ＋1)＝1x ＋1，h (x )＝ln(x ＋1)的“新驻点”为β，则有ln(β＋1)＝1β＋1，令β＋1＝t ，所以t ∈(0，＋∞)，令g (t )＝ln t －1t ，则g ′(t )＝1t ＋1t 2＞0，所以g (t )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝－1，g (2)＝ln 2－12＝ln 4e＞0，所以当g (t )＝0时，t ∈(1，2)，所以0＜β＜1，则有α＞β.答案：(1)3π4 (2)α＞β。
新高考数学二轮复习(京津鲁琼版)练习： 小题强化练 小题强化练(四)
小题强化练(四)一、选择题1．设集合A ＝{y |y ＝log 2x ，0<x ≤4}，B ＝{x |e x >1}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2) B ．(0，2] C ．(－∞，2)D ．R2．若i 为虚数单位，复数z 满足z (1＋i)＝|1－i|＋i ，则z 的虚部为( ) A.2－12B.2－1C.－2＋12iD.1－223．设随机变量X ～N (1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )注：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 7，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 5.A ．6 038B ．6 587C ．7 028D ．7 5394．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，现自上而下取第1，3，9节，则这3节的容积之和为( )A.133升B.176升C.199升 D.2512升 5.某城市有连接8个小区A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A.13B.23C.14D.346．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2b cos B ＝a cos C ＋c cos A ，b ＝2，则△ABC 面积的最大值是( )A ．1 B. 3 C ．4D ．67．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：①A ∪B ＝{1，2，3，4，5，6}，A ∩B ＝∅；②A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(A ，B )的个数为( )A ．10B ．12C ．14D ．168．设3x ＝2，y ＝ln 2，z ＝5－12，则( )A ．x <y <zB ．y <z <xC ．z <x <yD ．z <y <x 9．在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝2π3，AP ＝3，AB ＝23，Q 是BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为π3，则三棱锥P -ABC 的外接球的表面积为( )A ．45πB ．57πC ．63πD ．84π10．已知f ′(x )是函数f (x )的导函数，且对任意实数x 都有f ′(x )＝e x (2x ＋3)＋f (x )(e 是自然对数的底数)，f (0)＝1，若不等式f (x )－k <0的解集中恰有两个整数，则实数k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫－1e ，0 B.⎣⎡⎦⎤－1e 2，0 C.⎝⎛⎦⎤－1e 2，0 D.⎝⎛⎭⎫－1e 2，0 11．(多选)若直线3x －y ＋c ＝0向右平移1个单位长度后再向下平移1个单位长度，平移后与圆x 2＋y 2＝10相切，则c 的值为( )A ．14B ．12C ．－12D ．－612．(多选)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，下列结论正确的是( )A.CA →在CB →方向上的投影长为－ 3 B.OA →·AB →＝OA →·AC →C.CA →在CB →方向上的投影长为 3 D.OB →·AB →＝OC →·AC →13．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15＞0，S 16＜0，则( )A ．a 8＞0B ．a 9＜0C.S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 9a 9D.S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 8a 8 二、填空题14．已知平面向量a ，b 满足b ·(a ＋b )＝3，且|a |＝1，|b |＝2，则|a ＋b |＝________． 15．已知奇函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的导函数的部分图象如图所示，E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，则f ⎝⎛⎭⎫13＝________．16．已知抛物线y 2＝4x ，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝－4(其中O 为坐标原点)，则△ABO 的面积的最小值是________．17．(2019·湖北仙桃、天门、潜江期末改编)已知函数f (x )＝12a sin 2x －(a ＋2)cos x －(a ＋1)x在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝________，f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的最小值是________．小题强化练(四)1．解析：选B.A ＝(－∞，2]，B ＝(0，＋∞)，则A ∩B ＝(0，2]． 2．解析：选D.由题意得z ＝2＋i 1＋i＝（2＋i ）（1－i ）2＝2＋12＋1－22i ，则z 的虚部为1－22. 3．解析：选B.由正态分布的概率分布特点可得P (1<X ≤2)＝12P (0<X ≤2)＝12×0.682 7＝0.341 35.又正方形ABCD 的面积为1，则阴影部分的面积为0.658 65，所以向正方形ABCD 中随机投掷10 000个点，落入阴影部分的点估计有6 587个．4．解析：选B.设该竹子自上而下各节的容积构成等差数列{a n }，公差为d ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 1＋6d ＝3，a 7＋a 8＋a 9＝3a 1＋21d ＝4，解得a 1＝1322，d ＝766，则第1，3，9节的容积之和为a 1＋a 3＋a 9＝3a 1＋10d ＝3922＋7066＝176(升)．5．解析：选B.某人由小区A 到小区H 的最短路径有6条，分别为ABCEH ，ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，ADFGH ，其中经过市中心O 的有ABOEH ，ABOGH ，ADOEH ，ADOGH ，共4条，故所求概率P ＝46＝23.6．解析：选B.由2b cos B ＝a cos C ＋c cos A 和正弦定理可得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ，则2sin B cos B ＝sin(A ＋C )＝sin B ．因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos B ＝12，故B ＝π3.由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，则4＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，当且仅当a ＝c ＝2时取等号．则△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3，即△ABC 面积的最大值是 3.7．解析：选A.对非空集合A ，B 中的元素按个数分类：(1)当集合A 中只有1个元素时，集合B 中有5个元素，则A ＝{5}，B ＝{1，2，3，4，6}，只有1种可能；(2)当集合A 中有2个元素时，集合B 中有4个元素，则A 中必有元素4，B 中必有元素2，则A ＝{1，4}，B ＝{2，3，5，6}或A ＝{3，4}，B ＝{1，2，5，6}或A ＝{4，5}，B ＝{1，2，3，6}或A ＝{4，6}，B ＝{1，2，3，5}，共4种可能；(3)集合A 中不可能有3个元素；(4)当集合A 中有4个元素时，集合B 中有2个元素，与情况(2)相同，只需A ，B 互换即可，共4种可能；(5)当集合A 中有5个元素时，集合B 中有1个元素，与情况(1)相同，只需A ，B 互换即可，共1种可能．综上可得，有序集合对(A ，B )的个数为10.8．解析：选C.由3x ＝2得x ＝log 32，则2>1x ＝log 32>log 2e ＝1y >1，则12<x <y <1.又z ＝5－12＝55<12，则z <x <y . 9.解析：选B.设直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，三棱锥P -ABC 外接球的球心为O ，半径为R ，如图所示，则0<sin θ＝P A PQ ＝3PQ ≤32，所以PQ ≥23，则PQ 的最小值为23，AQ 的最小值是3，即点A 到BC 的距离为3，所以∠BAQ ＝π3.因为∠BAC ＝2π3，所以∠CAQ ＝π3，所以AB ＝AC ＝23，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 2π3＝(23)2＋(23)2－2×23×23×⎝⎛⎭⎫－12＝36.所以BC ＝6.取△ABC 的外接圆的圆心为O ′，则圆O ′的半径r ＝12×6sin2π3＝2 3.连接OO ′，作OM ⊥P A 于点M ，则点M 为P A 的中点，所以R 2＝OA 2＝OP 2＝(23)2＋⎝⎛⎭⎫322＝574，故三棱锥P -ABC 的外接球O 的表面积S ＝4πR 2＝57π.10．解析：选C.令g (x )＝f （x ）e x ，则g ′(x )＝f ′（x ）－f （x ）e x＝2x ＋3，则g (x )＝x 2＋3x ＋c ，c ∈R ，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋c )，则f (0)＝c ＝1，所以f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)，f ′(x )＝e x (x 2＋5x ＋4)＝e x (x ＋4)·(x ＋1)．当x <－4或x >－1时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，－4)，(－1，＋∞)上单调递增；当－4<x <－1时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－4，－1)上单调递减．由f (x )＝e x (x 2＋3x ＋1)＝0，得x 2＋3x ＋1＝0，由Δ>0，可知f (x )只有2个零点．由f (－4)＝5e 4>0，f (－3)＝1e 3>0，f (－2)＝－1e 2<0，f (－1)＝－1e <0，f (0)＝1>0，且x →－∞时，f (x )→0＋，则可作出函数f (x )的大致图象如图．若不等式f (x )<k 的解集中有2个整数时，则这2个整数是－1，－2.又f (－2)＝－1e 2，则－1e 2<k ≤0.11．解析：选AD.圆x 2＋y 2＝10的圆心坐标为(0，0)，半径r ＝10，直线3x －y ＋c ＝0，变形为y ＝3x ＋c ，根据平移规律得到平移后直线的解析式为y ＝3(x －1)＋c －1，即3x －y ＋c －4＝0，由此时直线与圆相切，可得圆心到直线的距离d ＝|c －4|10＝r ＝10，解得c ＝14或－6.12.解析：选BCD.由OA →＋AB →＋AC →＝0得OB →＝－AC →＝CA →，所以四边形OBAC 为平行四边形．又O 为△ABC 外接圆的圆心，所以|OB →|＝|OA →|，又|OA →|＝|AB →|，所以△OAB 为正三角形．因为△ABC 的外接圆半径为2，所以四边形OBAC 是边长为2的菱形，所以∠ACB ＝π6，所以CA →在CB →上的投影为|CA →|cos π6＝2×32＝3，故C 正确．因为OA →·AB →＝OA →·AC →＝－2，OB →·AB →＝OC →·AC →＝2，故B ，D 正确．13．解析：选ABD .由S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8＞0，得a 8＞0.A 正确．由S 16＝15（a 1＋a 16）2＝15（a 9＋a 8）2＜0，得a 9＋a 8＜0，所以a 9＜0，且d ＜0.B 正确．所以数列{a n }为递减的数列．所以a 1，…，a 8为正，a 9，…，a n 为负，且S 1，…，S 15＞0，S 16，…，S n ＜0，则S 9a 9＜0，S 10a 10＜0，…，S 8a 8＞0，又S 8＞S 1，a 1＞a 8，所以S 8a 8＞S 1a 1＞0，所以S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为S 8a 8，C 错误，D 正确．14．解析：b ·(a ＋b )＝a ·b ＋|b |2＝3，又|b |＝2，则a ·b ＝－1，所以|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝ 3. 答案： 315．解析：由f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(0<φ<π)是奇函数得φ＝π2，则f (x )＝A cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－A sin ωx ，f ′(x )＝－Aωcos ωx ，由题知E 是最高点，且△MNE 是边长为1的正三角形，则Aω＝32，最小正周期T ＝2，则ω＝2πT ＝π，A ＝32π，则f (x )＝－32π·sin πx ，所以f ⎝⎛⎭⎫13＝－32πsin π3＝－34π. 答案：－34π16．解析：由题意可设直线AB ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与x 轴的交点为M (m ，0)．因为点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，所以y 1y 2<0，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，则y 1y 2＝－4m ，x 1x 2＝（y 1y 2）216＝m 2，则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－4m ＝－4，解得m ＝2，则直线AB 恒过点(2，0)，y 1y 2＝－8，则△ABO 的面积S ＝12×2|y 1－y 2|＝⎪⎪⎪⎪y 1＋8y 1≥28＝42，当且仅当y 1＝±22时取等号，故△ABO 面积的最小值是4 2.答案：4 217．解析：函数f (x )的导数为f ′(x )＝a cos 2x ＋(a ＋2)sin x －a －1＝a (1－2sin 2x )＋(a ＋2)sin x －a －1＝－2a sin 2x ＋(a ＋2)sin x －1＝－(2sin x －1)(a sin x －1)．当sin x ＝12，即x ＝π6∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，f ′(x )＝0.所以要使f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上无极值，则a ＝2，此时f ′(x )＝－(2sin x－1)2≤0恒成立，即f (x )单调递减，故在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－3π2.答案：2 －32π。
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54分专项练(四) 18、19、20、21
1．已知正项数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋a n －1＝2n －1
a n －a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．
(1)求a 2，a 3；
(2)设数列{b n }满足b n ＝(a n －1)2－n 2，证明：数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项．
2．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且c cos A ＋33a cos C ＝0，tan (2 019π＋2A )＝34
.
(1)求tan C 的大小；
(2)若C 为钝角且c ＝3，求△ABC 的周长的取值范围．
3．如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面ABCD 为平行四边形，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AB ＝3，AC ＝2，点E 是PD 的中点．
(1)求证：PB ∥平面AEC ；
(2)在线段PB 上(不含端点)是否存在一点M ，使得二面角M -AC -E 的余弦值为10
10
？若存在，确定点M 的位置；若不存在，请说明理由．
4．2019年央视春晚长春分会场，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃春晚现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．
(1)从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B 材料上再结晶做了30次试验，成功20次．用列联表判断：是否有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关？
A 材料
B 材料 合计 成功 不成功 合计
(2)UV 胶层；②石墨烯层；③银浆路线；④表面封装层．前三个环节每个环节生产合格的概率为1
2，每个环
节不合格需要修复的费用均为200元；第四环节生产合格的概率为2
3，此环节不合格需要修复
的费用为100元，问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：K 2＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
P (K 2≥k 0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
54分专项练(四) 18、19、20、21
1．解：(1)由已知可得a 2＋a 1＝3
a 2－a 1
＋2，因为a 1＝2，
所以a 22－22＝3＋2(a 2－2)，即a 22－2a 2－3＝0，
因为a 2>0，所以a 2＝3. 又a 3＋a 2＝5
a 3－a 2
＋2，a 2＝3，
所以a 23－9＝5＋2(a 3－3)，即a 23－2a 3－8＝0，
因为a 3>0，所以a 3＝4. 故a 2＝3，a 3＝4.
(2)证明：由已知条件可知，a 2n －a 2
n －1＝2(a n －a n －1)＋2n －1，
所以(a n －1)2－(a n －1－1)2＝n 2－(n －1)2，
则(a n －1)2－n 2＝(a n －1－1)2－(n －1)2＝…＝(a 2－1)2－22＝(a 1－1)2－12＝0， 而b n ＝(a n －1)2－n 2，
所以b n ＝0，数列{b n }为等差数列． 所以(a n －1)2＝n 2，而a n >0， 故a n ＝n ＋1.
2．解：(1)因为c cos A ＋33a cos C ＝0，所以sin C cos A ＋33sin A ·cos C ＝0.又cos A cos C ≠0，所以tan C ＝－33tan A .
因为tan(2 019π＋2A )＝34，所以tan 2A ＝34，所以2tan A 1－tan 2A ＝34，解得tan A ＝13或tan A ＝－
3.
①若tan A ＝13，则tan C ＝－33tan A ＝－33×1
3＝－3；
②若tan A ＝－3，则tan C ＝－33tan A ＝－33×(－3)＝9 3.
故tan C 的值为－3或9 3.
(2)因为C 为钝角，所以由(1)知tan C ＝－3，又因为0<C <π， 所以C ＝2π
3
.
由余弦定理得c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos 23π＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab ≥(a ＋b )2
－
⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝34(a
＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，
所以(a ＋b )2≤4，则a ＋b ≤2.
又a ＋b >c ＝3，所以a ＋b ∈(3，2]．
所以△ABC 的周长的取值范围是(23，2＋3]．
3.解：(1)证明：连接BD 交AC 于点F ，连接EF .由平面ABCD 为平行四边形，可知F 为BD 的中点．
在△PBD 中，因为E ，F 分别为PD ，BD 的中点，所以EF ∥PB . 又EF ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ， 所以PB ∥平面AEC .
(2)由题意知，AC ，AB ，AP 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，AC ，AB ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，
则A (0，0，0)，B (0，3，0)，C (2，0，0)，D (2，－3，0)，P (0，0，3)，E ⎝⎛⎭⎫1，－32，3
2，所以AC →＝(2，0，0)，AE →
＝⎝
⎛⎭⎫1，－32，32. 设M (x 0，y 0，z 0)，PM →＝λPB →
(0<λ<1)，
则(x 0，y 0，z 0－3)＝λ(0，3，－3)，得M (0，3λ，3－3λ)，所以AM →
＝(0，3λ，3－3λ)． 设平面AEC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，
由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，
n 1·
AC →＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧x 1－32y 1＋32z 1＝0，2x 1＝0，取y 1＝1，得n 1＝(0，1，1)． 设平面MAC 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，
由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AM →＝0，n 2·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧3λy 2＋（3－3λ）z 2＝0，
2x 2＝0，
取z 2＝1，得n 2＝⎝⎛⎭⎫0，1－1
λ，1. 设二面角M -AC -E 的大小为θ， 则cos θ＝|n 1·n 2|
|n 1||n 2|
＝
⎪⎪⎪
⎪
2－1λ2·⎝⎛⎭⎫1－1λ2＋1
＝1010， 化简得9λ2－9λ＋2＝0，解得λ＝13或λ＝2
3.
因为二面角M -AC -E 的余弦值为
1010，所以PM →＝13
PB →. 故PM →＝13PB →
时，二面角M -AC -E 的余弦值为1010.
4．解：(1)列联表如下：
K 2的观测值
k ＝6030×30×48×12
≈6.7<7.879，
所以没有99.5%的把握认为试验是否成功与材料A 和材料B 的选择有关．
(2)设X 为一次生产出来的石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X 的取值可以是0，100，200，300，400，500，600，700，则
P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫123
×23＝112，P (X ＝100)＝⎝⎛⎭⎫123
×13＝124， P (X ＝200)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫122
×23＝14，
P (X ＝300)＝C 13×⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫122
×13＝18， P (X ＝400)＝C 23×⎝⎛⎭⎫1－122
×12×23＝14， P (X ＝500)＝C 23×
⎝⎛⎭⎫1－122×12×13＝18
， P (X ＝600)＝⎝⎛⎭⎫1－123
×23＝112， P (X ＝700)＝⎝⎛⎭⎫1－123
×13＝124
.
所以E (X )＝0×112＋100×124＋200×14＋300×18＋400×14＋500×18＋600×112＋700×1
24＝
1 000
3
. 所以一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要1 000
3元的修复费用．。