向量的数量积在解题中的应用.doc
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，也是向量运算中的一种常用运算。
它可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质以及应用。
一、定义在二维空间或三维空间中，我们可以用向量来表示有方向和大小的量。
设有两个向量A和B，向量A的坐标表示为（A1，A2，A3），向量B的坐标表示为（B1，B2，B3），则向量A和向量B的数量积定义为：A·B=|A||B|cosθ，其中|A|表示向量A的长度，|B|表示向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
二、性质1. 交换律：A·B=B·A2. 结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k为实数3. 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C三、计算方法1. 若向量A和向量B的坐标分别为（A1，A2，A3）和（B1，B2，B3），则A·B=A1B1+A2B2+A3B3。
2. 若向量A和向量B的坐标形式为A=a1i+a2j+a3k和B=b1i+b2j+b3k，其中i，j，k分别是坐标轴上的单位向量，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
四、应用1. 判断向量是否垂直：如果向量A·B的结果为0，则向量A和向量B垂直；如果向量A·B的结果大于0，则向量A和向量B之间的夹角为锐角；如果向量A·B的结果小于0，则向量A和向量B之间的夹角为钝角。
2. 计算向量的模长：|A|=√(A·A)3. 计算向量的夹角：cosθ=(A·B)/(|A||B|)4. 计算向量的投影：向量A在向量B上的投影记作projBA=(A·B)/|B|总结：本文详细介绍了向量的数量积的定义、性质和应用。
向量的数量积是一种常用的向量运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
向量的向量积及应用例举专题讲解
平面向量的数量积及应用举例考纲解读 1.利用向量数量积的定义或坐标求数量积；2.利用向量数量积的运算求向量夹角及模；3.利用数量积的运算研究垂直关系及图形特征．[基础梳理]1．向量的夹角3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 ①e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. ②cos θ＝a ·b|a ||b |.③a ·b ≤|a ||b |. 4．数量积的运算律 (1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 5．平面向量数量积的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则1．设a ＝(3，1)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，－33，则向量a ，b 的夹角为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°答案：B2．已知a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，若a ＋k b 与a －k b 互相垂直，则实数k ＝( ) A. 5 B ．5 C ．± 5 D ．±55答案：D3．已知a ＝(1，－3)，b ＝(4,6)，c ＝(2,3)，则(b ·c )·a 等于( ) A ．(26，－78) B ．(－28，－42) C ．－52 D ．－78 答案：A4．(必修4·习题2.4A 组改编)已知|a |＝2，|b |＝4且a ⊥(a －b )，则a 与b 的夹角是________． 答案：π35．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)已知a 与b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋b |＝__________.答案：7[考点例题]考点一 平面向量数量积的运算|方法突破[例1] (1)(2017·邢台模拟)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则CD →·CB →＝( )A ．－94B.94C.274D ．－274(2)在菱形ABCD 中，对角线AC ＝4，E 为CD 的中点，则AE →·AC →＝( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14(3)如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是弧AB 的三等分点，M ，N 是线段AB 的三等分点，若OA ＝6，则MC →·ND →＝________.[解析] (1)在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，∠BAC ＝30°，CD 是边AB 上的高，则有CD ＝AC ·sin 30°＝32.∴CD →·CB →＝|CD →|·|CB →|·cos ∠BCD ＝|CD →|2＝94.故选B.(2) (坐标法)特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A (0,0)，C (22，22)，E (2，22)，所以AC →＝(22，22)，AE →＝(2，22)，所以AC →·AE →＝22×2＋22×22＝12，故选C.(3)法一：因为MC →·ND →＝(MO →＋OC →)·(NO →＋OD →)＝MO →·NO →＋MO →·OD →＋OC →·NO →＋OC →·OD →＝|MO →|·|NO →|cos 180°＋|MO →|·|OD →|cos 60°＋|OC →|·|NO →|·cos 60°＋|OC →|·|OD →|·cos 60°＝－4＋6＋6＋18＝26.法二：以点O 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则M (－2,0)，N (2,0)，C (－3,33)，D (3，33)，所以MC →＝(－1,33)，ND →＝(1,33)，MC →·ND →＝－1＋27＝26.[答案] (1)B (2)C (3)26 [方法提升]解决平面向量数量积问题的常用方法技巧 技巧解读适合题型定义法利用定义式a ·b ＝|a |·|b |cos θ求解．定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明确两个向量的模及夹角，夹角的求解一般通过具体的图形可确定.适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题坐标法利用坐标式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题．坐标式的特点是具有明显的代数特征，解题时需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求解，即向量问题“坐标化”. 适用于已知相应向量的坐标求解数量积的有关计算问题转化法求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算.适用于直接求解不易，而转化为其他向量的数量积的有关计算问题[母题变式]1．将本例(2)改为： 在边长为1的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，DC 的中点，则AE →·AF →＝________.解析：法一：因为AE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋12AB →，AD →·AB →＝0，所以AE →·AF→＝⎝⎛⎭⎫AB →＋12AD →·⎝⎛⎭⎫AD →＋12AB →＝12AB 2→＋12AD 2→＝1. 法二：以A 为原点，AB 为x 轴建立坐标系(图略)， 则E ⎝⎛⎭⎫1，12，F ⎝⎛⎭⎫12，1. ∴AE →·AF →＝1×12＋12×1＝1.答案：12．在本例(1)中条件不变，求CA →·AD →. 解析：在Rt △ADC 中，AD ＝3 cos 30°＝332， 而〈CA →，AD →〉＝150°，∴CA →·AD →＝|CA →|·|AD →|·cos 150°＝3×332×⎝⎛⎭⎫－32＝－274.考点二 向量的模、夹角、垂直问题|方法突破命题点1 向量的模的计算[例2] (1)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝( ) A.3 B ．23 C ．4D ．12 (2)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB→＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] (1)由已知|a |＝2，所以|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，所以|a ＋2b |＝2 3.(2)由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4，0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB →＝(a －2，b )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(a －6，b )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12a ＋37， 所以当a ＝－1时，此式有最大值49＝7. [答案] (1)B (2)B [方法提升]求向量模的常用方法[跟踪训练]1．(2017·洛阳统考)若平面向量a ＝(－1,2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 的坐标为( )A ．(3，－6)B ．(－3,6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)解析：由题意设b ＝λa ＝(－λ，2λ)(λ<0)，而|b |＝35，则λ2＋4λ2＝35，所以λ＝－3，b ＝(3，－6)，故选A.答案：A2．已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝________. 解析：由a·b ＝|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝1×3×cos 120°＝－32，得|5a －b |＝(5a －b )2＝25a 2＋b 2－10a·b ＝25＋9－10×⎝⎛⎭⎫－32＝7. 答案：7命题点2 向量的夹角计算[例3] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π[解析] 设a 与b 的夹角为θ， |a |＝223|b |，因为(a －b )⊥(3a ＋2b )， 所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. [答案] A(2)(2017·沈阳教学质量监测)已知两个非零向量a ，b 满足a ·(a －b )＝0，且2|a |＝|b |，则〈a ，b 〉＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 法一：由题知a 2＝a ·b ，而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a |·|b |＝|a |22|a |2＝12，所以〈a ，b 〉＝60°，故选B.(定义法)法二：作OA →＝a ，∵a ⊥(a －b )， 作AC →⊥OA →，则CA →＝a －b ，∴OC →＝b ，又∵|b |＝2|a |，即|OC →|＝2|OA →|，在Rt △OAC 中，∴∠AOC ＝60°，即〈a ，b 〉＝60°.(数形结合法) [答案] B [方法提升] 求向量夹角的方法方法 解读适合题型 定义法 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |适用于向量的代数运算 数形结合法转化为求三角形的内角适用于向量的几何运算[跟踪训练]3．在典例(1)中，将条件“|a |＝223|b |”换成“(2b －3a )⊥b ”，其他不变，则两个向量的夹角θ为__________．解析：由(2b －3a )⊥b 得(2b －3a )·b ＝0， 所以2b 2－3a ·b ＝0，① 由(a －b )⊥(3a ＋2b )，得(a －b )·(3a ＋2b )＝0，即3a 2－a ·b －2b 2＝0.② 由①②联立得|a |＝223|b |，代入①得 cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. 答案：π44．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．解析：由AO →＝12(AB →＋AC →)，可得O 为BC 的中点，故BC 为圆O 的直径，所以AB →与AC →的夹角为90°.答案：90°命题点3 向量的垂直问题[例4] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.⎝⎛⎭⎫79，73B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 (2)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λ AB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为__________．[解析] (1)设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )；又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.所以c ＝⎝⎛⎭⎫－79，－73.(2)由AP →⊥BC →，知AP →·BC →＝0，即AP →·BC →＝(λ AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝(λ－1)AB →·AC →－λ AB →2＋AC →2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [答案] (1)D (2)712[方法提升][跟踪训练]5．(2018·西安质检)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →解析：由题意，BC →＝AC →－AB →＝(2a ＋b )－2a ＝b, 则|b |＝2，故A 错误；|2a |＝2|a |＝2，所以|a |＝1，又AB →·AC →＝2a ·(2a ＋b )＝4|a |2＋2a·b ＝2×2cos 60°＝2，所以a·b ＝－1，故B ，C 错误．故应选D.答案：D6．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则|b |＝( ) A ．3 5 B ．32 C ．2 5D.10解析：由题意得a －2b ＝(－2－2k,7)， ∵(a －2b )⊥c . ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0，解得k ＝6， 所以|b |＝62＋(－3)2＝35，选A. 答案：A考点三 向量与三角函数、三角形的综合|模型突破角度1 向量与三角函数的综合[例5] 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )． (1)求函数f (x )的最小正周期和函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间； (2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，－4<f (x )<4恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝a ·b ，a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin 2x ＋m )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋m ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋m ＋1. 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.因为0≤x ≤π， 所以π6≤2x ＋π6≤13π6，由π6≤2x ＋π6≤π2或3π2≤2x ＋π6≤13π6， 可得0≤x ≤π6或2π3≤x ≤π.所以函数f (x )在[0，π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6和⎣⎡⎦⎤2π3，π. (2)因为0≤x ≤π6，所以π6≤2x ＋π6≤π2，所以12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以m ＋2≤f (x )≤m ＋3. 因为－4<f (x )<4恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3<4，m ＋2>－4，解得－6<m <1.所以实数m 的取值范围为(－6,1)． [模型解法]角度2 向量与三角形的综合[例6] (1)已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( )A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)(2)已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3[解析] (1)由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|知，O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0知，N 为△ABC 的重心，因为P A →·PB →＝PB →·PC →，所以(P A →－PC →)·PB →＝0，所以CA →·PB →＝0，所以CA →⊥PB →，即CA ⊥PB ，同理AP ⊥BC ，CP ⊥AB ，所以P 为△ABC 的垂心．(2)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0， 即2cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0， 因为π6<A ＋π6<7π6，所以A ＋π6＝π2，即A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ， c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.[答案] (1)C (2)C [模型解法]向量的运算本身就涉及到三角形，解决其交汇问题的关键点： (1)转化，向量的模与三角形边长的转化， 向量的夹角与三角形内角的转化(2)结合，结合向量的运算法则，化为边角关系，结合三角形的正、余弦定理，求解边，角．(3)检验，结论是否符合向量的概念，是否符合三角形的知识．[高考类题](2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析： 如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎫y －322－32，当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，为－32，选择B. 答案：B[真题感悟]1.[考点一](2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( )A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |解析：依题意得(a ＋b )2－(a －b )2＝0，即4a ·b ＝0，a ⊥b ，选A.答案：A2.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)．若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：73.[考点一、二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.解析：因为a ⊥b ，所以a ·b ＝－2×3＋3m ＝0，解得m ＝2.答案：24.[考点三](2017·高考北京卷)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO →·AP →的最大值为__________．解析：法一：根据题意作出图象，如图所示，A (－2,0)，P (x ，y )．由点P 向x 轴作垂线交x 轴于点Q ，则点Q 的坐标为(x,0)．AO →·AP →＝|AO →||AP →|cos θ，|AO →|＝2，|AP →|＝(x ＋2)2＋y 2，cos θ＝AQ AP ＝x ＋2(x ＋2)2＋y 2， 所以AO →·AP →＝2(x ＋2)＝2x ＋4.点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以x ∈[－1,1]．所以AO →·AP →的最大值为2＋4＝6.法二：因为点P 在圆x 2＋y 2＝1上，所以可设P (cos α，sin α)(0≤a <2π)，所以AO →＝(2,0)，AP →＝(cos α＋2，sin α)，AO →·AP →＝2cos α＋4≤2＋4＝6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时“＝”号成立．答案：65.[考点一、三](2017·高考天津卷)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2 DC →，AE →＝λ AC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为__________．解析：由题意，知|AB →|＝3，|AC →|＝2，AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC → ＝AB →＋23(AC →－AB →) ＝13AB →＋23AC →， ∴AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λ AC →－AB →) ＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22 ＝113λ－5＝－4， 解得λ＝311. 答案：311。
向量的数量积运算
向量的数量积运算向量的数量积运算是线性代数中的重要概念之一，它在物理、工程和计算机科学等领域中有着广泛的应用。
本文将从理论和实际应用两个方面来介绍向量的数量积运算。
一、理论基础1. 定义：向量的数量积，也称为内积或点积，是两个向量之间的一种运算。
对于向量a和b，它们的数量积表示为a·b，计算公式为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示a和b之间的夹角。
2. 性质：a) 交换律：a·b = b·ab) 分配律：(a+b)·c = a·c + b·cc) 数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b)d) 零向量：零向量和任何向量的数量积都为0，即0·a = 0e) 同向和反向：当两个向量夹角为0或180度时，它们的数量积分别为两个向量的模长的积和负值。
二、实际应用向量的数量积在物理、工程和计算机科学等领域中有着广泛的应用，下面将介绍其中的几个应用场景。
1. 物理力学：在物理力学中，向量的数量积可以用于计算力的分解和合成。
对于一个物体受到的力F和它的位移s，根据功的定义可以得到功的表达式W = F·s，其中W表示物体所做的功。
通过计算数量积，可以得到物体受力的方向和位移的夹角，从而求解功的大小。
2. 几何问题：在几何问题中，向量的数量积可以用于判断两个向量是否垂直或平行。
如果两个向量的数量积为0，即a·b = 0，则它们垂直；如果两个向量的数量积等于两个向量的模长的积，即a·b = |a| |b|，则它们平行。
3. 计算机图形学：在计算机图形学中，向量的数量积可以用于计算向量的投影和判断两个向量的夹角。
通过计算数量积，可以得到一个向量在另一个向量方向上的投影长度，从而实现图形的投影效果。
同时，通过计算数量积，还可以判断两个向量的夹角大小，从而实现图形的旋转和变换。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要的概念，它在计算机图形学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍向量的数量积的定义和性质，并探讨其在实际应用中的意义和作用。
一、向量的数量积的定义向量的数量积又称为点积或内积，是两个向量的一种运算方式。
设有两个n维向量A和B，它们的数量积定义为：A·B = |A||B|cosθ其中，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
二、向量的数量积的性质1. 交换律两个向量的数量积满足交换律，即A·B = B·A。
2. 分配律向量的数量积与加法满足分配律，即(A+B)·C = A·C + B·C。
3. 结合律向量的数量积与数乘满足结合律，即(kA)·B = A·(kB) = k(A·B)，其中k为实数。
4. 长度两个向量的数量积的绝对值等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积，即|A·B| = |A||B|cosθ。
三、向量的数量积的应用1. 判断两个向量的正交性若两个向量的数量积为0，则它们垂直或正交。
这个性质在几何学中非常有用，可以用来判断两条直线是否相互垂直、两个平面是否相互垂直等。
2. 求两个向量的夹角利用向量的数量积的定义，可以求出两个向量之间的夹角。
通过计算A·B = |A||B|cosθ，可以得到θ的值，从而确定两个向量的夹角。
3. 求向量在某个方向上的投影设有一个单位向量u和一个向量A，向量A在方向u上的投影可以用数量积来表示，即A在u方向上的投影等于A·u。
4. 计算向量的模长根据向量的数量积的性质，可以计算出向量的模长。
设有一个向量A，通过计算A·A = |A|^2，可以得到A的模长。
四、向量的数量积的意义向量的数量积在几何学中具有重要的应用，它可以帮助我们理解和描述空间中的向量关系。
向量的数量积几何意义与应用
向量的数量积几何意义与应用向量在数学中是一个重要的概念，它不仅在几何学中有着重要的意义，而且在物理学、工程学等领域也有着广泛的应用。
其中，向量的数量积是一种重要的运算，它不仅具有几何意义，还有许多实际应用。
一、向量的数量积几何意义向量的数量积，也称为内积或点积，是一种向量运算，表示两个向量之间的相似程度。
几何意义上，向量的数量积有以下两个重要特点：1. 向量的数量积的值等于向量的模长与两个向量之间夹角的余弦的乘积。
具体地，设有两个向量A和B，它们的数量积为A·B，则有A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示A和B之间的夹角。
2. 向量的数量积还可以用来判断两个向量之间的关系。
当两个向量的数量积为正数时，说明它们之间的夹角为锐角；当数量积为负数时，说明夹角为钝角；当数量积为零时，说明夹角为直角或者它们之间存在垂直关系。
通过向量的数量积，我们可以量化向量之间的相似程度，并通过夹角的大小来描述向量之间的关系，从而方便我们进行具体的几何分析和计算。
二、向量的数量积的应用向量的数量积在几何学和实际应用中有着重要的应用，以下是其中的几个典型例子。
1. 向量的数量积与平面几何：在平面几何中，两个向量的数量积可以用来判断两个向量是否垂直。
具体地，若两个非零向量A和B的数量积A·B等于0，则A和B垂直；若A·B不等于0，则A和B不垂直。
根据这一性质，我们可以在解决平面几何问题中应用向量的数量积，例如求两个直线的关系、判断线段是否相交以及计算面积等。
2. 向量的数量积与力学：在力学中，向量的数量积可以用来计算力的分解与合成。
具体地，假设有一个力F和一个方向已知的向量A，通过计算F·A/|A|，我们可以得到力F在向量A方向上的投影分量。
同时，力F在与向量A垂直的方向上的分量可以通过F - (F·A/|A|)A来计算。
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用向量是几何学中一种常见的数学对象，它不仅可以用来表示空间中的定位和运动，还可以进行各种运算和应用。
在高中几何知识中，向量的数量积与向量积是两个重要的概念。
本文将详细解析这两个概念，并探讨它们在空间中的应用。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的数量积记作a·b，计算公式如下：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃根据计算公式，我们可以得到一些有用的性质。
首先，当两个向量垂直时，它们的数量积为0，即a·b=0。
其次，数量积还可以表示两个向量之间夹角的余弦值，具体表达式如下：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
在实际应用中，数量积可以用来求解向量的投影、判断向量的垂直关系等。
例如，给定一个向量a和一个单位向量u，我们可以通过计算数量积来求得a在u方向上的投影。
具体计算方法如下：projₓᵤa = (a·u) u其中，pr ojₓᵤa表示向量a在u方向上的投影。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的向量积记作a×b，计算公式如下：a×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)向量积的大小可以通过计算它的模长得到，具体计算公式如下：|a×b| = |a| |b| sinθ其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
向量积在几何学和物理学中具有重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过向量积来求得两个向量所在平面的法向量。
空间向量的数量积几何意义与应用
空间向量的数量积几何意义与应用在空间解析几何中，向量是表示空间中一个点到另一个点的箭头，具有方向和大小。
而空间向量的数量积，也被称为点乘、内积或标量积，是向量运算中的一种重要运算。
本文将介绍空间向量的数量积的几何意义以及其在实际应用中的重要性。
一、空间向量的数量积的几何意义空间向量的数量积的几何意义在于它能够表示两个向量之间的夹角以及向量的正交性。
1. 夹角：根据向量的数量积定义，对于两个非零向量a和a，它们的数量积的绝对值等于两个向量之间夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积，即|a ·a| = a ·a = |a| |a| cos a。
由此可见，向量的数量积能够通过计算余弦值来求得两个向量之间的夹角，并且还能确定夹角的正负。
2. 正交性：除了表示夹角，空间向量的数量积还能够判断两个向量是否正交（垂直）。
根据定义，若两个向量a和a的数量积为0，即a ·a = 0，则可知它们垂直于彼此。
这是因为，若两个向量的夹角为90度（余弦为0），则它们互相垂直。
二、空间向量的数量积的应用空间向量的数量积在几何计算、物理和工程等领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用：1. 向量投影：向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上，以求得一个向量在另一个向量方向上的分量大小。
利用向量的数量积可以快速计算出向量的投影大小，进而应用于物理学、工程学等领域的问题求解。
2. 平面与直线的关系：利用向量的数量积，可以判断一个向量是否位于一个平面或是与直线垂直。
通过计算向量与平面法线的数量积或是向量与直线方向向量的数量积来判断它们的关系，进而可以应用于空间几何中平面与直线的相交、平行性等问题的判定。
3. 力的分解：在物理学中，力能够分解为平行和垂直于特定方向的两个分量。
利用向量的数量积，可以将一个力分解为在特定方向上的分量，进而进行力的分析和计算。
4. 向量方程的推导：向量的数量积也可以用于求解向量方程。
用向量的数量积解决实际问题
用向量的数量积解决实际问题一、数量积在几何中的应用1.点到直线的距离给定直线上的一个点P和直线的一般方程Ax + By + C =0，我们可以通过计算点P到直线的数量积来求得点P到直线的距离。
根据数量积的定义，点P到直线的距离可以表示为：d = |Ax0 + By0 + C| /√(A^2 + B^2)其中，(x0, y0)是点P的坐标。
2.线段的长度设线段的两个端点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段AB的长度可以通过计算向量AB的数量积来求得。
根据数量积的定义，线段AB的长度为：|AB| =√((x2 -x1)^2 + (y2 -y1)^2)3.两直线之间的夹角已知两条直线L1：Ax + By + C1 =0和L2：A'x + B'y + C' =0，我们可以通过计算两条直线的法向量的数量积来求得它们之间的夹角。
设两条直线的法向量分别为（A, B）和（A', B'],则两条直线之间的夹角θ满足：cosθ= (A * A') / (√(A^2 + B^2) *√(A'^2 + B'^2))通过计算cosθ，我们可以得到夹角θ的大小。
二、数量积在物理中的应用1.力的合成与分解在物理学中，力可以用向量表示。
设两个力分别为F1和F2，它们的合力F可以通过计算向量的数量积来求得。
根据数量积的定义，两个力的合力为：F = F1 + F2同样，如果已知一个力F和一个向量A，我们还可以求得这个力在向量A方向上的分力。
设分力为F'，则有：F' = F * cosθ其中，θ为力F与向量A之间的夹角。
2.动能和势能在物理学中，动能和势能都可以用向量的数量积来表示。
设一个质点的质量为m，速度为v，位移为d，则质点的动能和势能分别为：动能：K = (1/2) * m * v^2势能：U = m * g * d其中，g为重力加速度。
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向量的数量积在解题中的应用
高中数学新增内容《平面向量》中介绍了两个向量的数量积的概念和性质。
概念：已知两个非零向量a和b的夹角为θ(0≤θ≤π)，则实数|a|·|b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b即a·b=|a|·|b|cosθ，由向量数量积的概念和向量的坐标运算得到，若a=（x1 , y1 ) , b= (x 2, y2 ) 则a·b= x1x2+y1y2
主要性质：①θ为钝角或平角⇔a·b<0
②θ为锐角或零角⇔a·b>0
③θ为直角⇔a·b.=0
④|a·b|≤| a||b|
课本上的习题多用性质③判断两个向量是否垂直,关于其它性质应用的习题不多。
其实性质①②④在解题中也广泛应用，现举例说明。
一、利用向量数量积判断三角形的形状
例1 在△ABC中，AB=a, CA=b, 若a·b＞0 试判断△ABC的形状.
解：a·b= |a|·|b|cos (π－A) = －| a|| b| cosA ∵a·b＞0 ，∴cosA＜0 ，∵A≠π，∴A为钝角∴ABC 为钝角三角形
二、利用向量数量积求函数的最大值
例2 求函数的最大值（新加坡竞赛题）
解：设a=（1，1）b, 则
a∙b=1∙∙
y=a∙b≤|a||b∙当sinx=0 时取“=” )
∴函数的最大值是2
三、利用向量数量积证明不等式
例3 求证：（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x 22+y22）
证明：设a=（x1,y1）b=(x2,y2)
a·b=x1x2+y1y2 |a|·|b
|=
∵|a·b|≤|a||b| ∴(a·b)2≤(|a|·|b|)2∴(x1x2+y1y2)2≤（x12+y12）（x 22+y22）
例4已知a、b、c、d、p、q均大于0
:证明：设m
n
则±
m·n
|m||n
∵m·n≤|m||n|
四利用向量的数量积解决直线和圆锥曲线位置关系问题
例5 设直线L：y=x+b与椭圆C：
22
22
1
1
x y
a a
+=
-
(a＞1) 相交于A、B两点，若L过椭圆C的右焦点且以AB为直径的圆过椭圆C的左焦点，求该椭圆方程。
解：由题意可知椭圆的左焦点为F1（－1，0），右焦点为F2（1，0）
∵L过F2 ∴b= －1
又以AB为直径的圆过F1∴F1A⊥F1B
由22
22
1
1(1)
1
y x
x y
a
a a
=-
⎧
⎪
⎨
+=>
⎪-
⎩
得(2a2－1)x2－2a2x+2a2－a4=0
设A（x1，y1）B（x2, y2）∵F1A⊥F1B ∴
11
F A F B
∙=
∴(x1+1)(x2+1)+y1y2=0 ∴(x1+1)(x2+1) + (x1-1)(x2-1) =0
∴x1x2+1=0 ∴
24
2
2
10
21
a a
a
-
+=
-
∴a2 =2
±
∵ a＞1 ∴a2
∴椭圆方程为
22
1
+=
注：（1）形
如)
a b
>且p、q同号型的最大值.设m=(p,q)
n
=(
,)利用向量的数量积的性质④求解非常方便。
取得最大值的条件为
（2）证明不等式时若式子中有x 1x 2+y 1y 2可联想到向量的数量积。
若有形式2211x y +可联想
到向量的模，利用向量数量积的性质证明。
（3）解析几何中遇到两线段垂直转化为向量数量积（坐标形式）等于0，可使问题简单化。