非线性方程解的一些物理性质
数学专业非线性方程数值解法研究
数学专业非线性方程数值解法研究在数学专业中，非线性方程是一类具有重要研究价值的数学模型。
相比线性方程，非线性方程具有更复杂的形式和求解方法。
本文将围绕非线性方程的数值解法展开研究，介绍一些常见的解法和应用实例。
一、非线性方程的基本概念和性质非线性方程是指未知量的函数与未知量本身或其幂次之和相乘、除或开方等，并且未知量的幂次大于1的方程。
非线性方程的求解需要借助于数值计算方法，因为在大多数情况下，非线性方程很难用解析方法求解。
非线性方程的性质和解的存在性有着重要的理论基础。
例如，非线性方程可能存在多个解，也可能无解。
此外，方程的解也可能是不稳定的，即微小的误差可能导致解的不准确性。
因此，非线性方程的数值解法需要考虑这些性质，以确保解的准确性和稳定性。
二、常见的非线性方程数值解法1.二分法二分法是一种简单且直观的非线性方程数值解法。
该方法基于区间中值定理的思想，通过不断缩小方程解所在的区间范围来逼近方程的根。
具体步骤如下：（1）选择一个初始的区间范围，保证方程在该区间内有且只有一个根；（2）计算区间的中点，并求解该中点处的函数值；（3）根据中点处函数值的正负情况，缩小区间范围；（4）重复步骤2和步骤3，直至满足需要的精度。
2.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种高效的非线性方程数值解法。
该方法基于导数的概念，通过不断迭代逼近方程的根。
具体步骤如下：（1）选取一个初始的解的估计值；（2）计算函数在该点处的导数值，并求解函数值；（3）利用导数和函数值的信息更新解的估计值；（4）重复步骤2和步骤3，直至满足需要的精度。
3.割线法割线法是一种基于线性插值的非线性方程数值解法。
该方法通过连接两个点构成直线，然后将直线与x轴的交点作为新的近似解，不断迭代逼近方程的根。
具体步骤如下：（1）选取两个初始的解的估计值；（2）利用两点间的线性插值计算新的解的估计值；（3）根据新的解的估计值重新确定两个点；（4）重复步骤2和步骤3，直至满足需要的精度。
数学物理方程中的非线性波动方程研究
数学物理方程中的非线性波动方程研究在数学和物理学领域中，非线性波动方程是一类重要的数学模型，它们广泛应用于描述各种具有非线性行为的现象和过程。
本文将对非线性波动方程进行研究，并探讨其在实际应用中的意义和影响。
一、非线性波动方程的定义和性质非线性波动方程是一类具有非线性项的偏微分方程，常用的非线性波动方程包括Korteweg–de Vries (KdV) 方程、非线性Schrödinger (NLS) 方程等。
这些方程在研究光学、水波、声波等领域中起到了重要的作用。
非线性波动方程的数学模型一般形式如下：\[u_{xt} = F(u, u_x, u_{xx}, u_{xxx}, ...)\]其中，\(u\) 是波动的解，\(x\) 和 \(t\) 分别表示空间和时间，\(F\) 是非线性项函数。
非线性波动方程的性质与线性波动方程有较大的不同。
首先，非线性波动方程的解不再满足叠加原理，即两个或多个解的简单相加不能得到一个新的解。
其次，非线性波动方程可以出现孤立波解，即在无外力驱动的情况下，波动可以保持稳定而不衰减。
此外，非线性波动方程还表现出一些特殊的现象，如特征速度的变化、波的相互作用等。
二、非线性波动方程的应用和意义非线性波动方程在多个领域中都具有重要的应用价值，并对相关学科的发展做出了重要贡献。
1. 光学领域：非线性光学是非线性波动方程在光学领域的应用之一。
通过非线性波动方程，可以研究光在非线性介质中的传播和相互作用，为解释和实现非线性光学现象提供了理论基础。
例如，非线性光学中的自聚焦效应和光孤子现象，都可以通过非线性Schrödinger方程进行建模和解释。
2. 水波领域：非线性水波方程可以用来描述海洋中的大气尺度运动、风浪和海浪等现象。
通过非线性水波方程的研究，可以预测和模拟海洋中的海浪传播、波浪破碎等过程，对沿海工程的设计和海岸线的维护具有重要意义。
3. 力学领域：非线性波动方程在力学领域的应用较为广泛，尤其在固体力学和流体力学中。
非线性有限元
K 0 0 K K (δ )
1 0 1
矩阵
可得出改进的近似解
δ (K ) R
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法 对非线性方程组
K K (δ )
i i
δ
直到
i 1
(K ) R
i 1
i 1
δ δ
i
δ
i
变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
收敛半径 F
如果 δ初始 在收敛半径内, 解
将收敛; 否则解发散.
δ初始 ?
δ
位移
载荷
发散!
载荷 收敛
F
F
δ初始
δ
位移
δ初始 δ
位移
初始点在收敛半径外部
初始点在收敛半径内部
• 如果初始构形在收敛半径外部, 有两种技 术可帮助获得收敛解:
F F1
F
δ
δ
start
δ
δ
start
递增加载使目标更接近初始点
Kδ R R 0
式中， R 为由初应力 σ 0 引起的等效结点荷载
0
R 0 (c )
e
e T
B
v
T
σ 0 dV
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
σ0
（3）初应变法 如果在弹性材料内确实存在初应变 0 ，则材料的应力应变关系为
1
1
ψ i F i K ( ) ( ) δ δ δ i 1 δ i δ i
i T
Newton—Raphson迭代法的计算过程
• 但 Newton-Raphson 法不能保证在所有 情况下都收敛! • 仅当初始构形在收敛半径 内时 NewtonRaphson 才收敛.
非线性方程解决复杂的问题
非线性方程解决复杂的问题在数学和工程领域中，非线性方程是一类具有复杂性质的数学方程。
与线性方程不同，非线性方程中的未知量与其系数之间存在多项式因式的乘积关系。
非线性方程的求解对于解决许多复杂的实际问题具有重要意义，具有广泛的应用价值。
1. 引言非线性方程是数学中的基础概念，它在物理、化学、经济学和工程学等领域中具有重要的应用。
通过解决非线性方程，我们可以确定未知变量的取值，从而揭示问题的本质。
2. 非线性方程的定义和形式非线性方程是一种包含多项式因式的方程，其未知量与系数之间的关系呈现非线性特征。
一般而言，非线性方程可以写成如下形式：f(x) = 0其中，f(x)是一个包含变量x的函数，且f(x)不可被线性化。
3. 非线性方程的求解方法3.1 一维非线性方程求解方法对于一维非线性方程，我们可以通过迭代法、牛顿法、二分法等数值方法进行求解。
迭代法利用函数的不动点定理，通过不断迭代逼近方程的解；牛顿法则利用导数的概念，通过迭代公式逼近方程的根；二分法则利用函数值的正负性质，在一个区间内不断二分逼近方程的解。
3.2 多维非线性方程求解方法对于多维非线性方程，我们可以使用牛顿法、拟牛顿法、仿射尺度法等迭代方法进行求解。
这些方法利用多元函数的导数或近似导数信息，通过不断迭代逼近方程组的解。
4. 非线性方程的应用领域非线性方程的求解在许多领域中具有广泛的应用，如图像处理、信号处理、网络分析和优化问题等。
其中，图像处理中的边缘检测、特征提取和图像重建等问题常涉及非线性方程的求解；信号处理中的滤波器设计和信号重构等问题也常需要解决非线性方程；在网络分析中，寻找网络结构和预测节点行为也常通过求解非线性方程实现。
5. 非线性方程的挑战和发展趋势非线性方程的求解通常面临着收敛速度慢、收敛精度低等问题。
为了克服这些挑战，研究者们提出了许多改进的算法和技术。
例如，混沌搜索算法、粒子群优化算法和遗传算法等启发式算法被广泛用于求解非线性方程。
数学物理学中的非线性方程
数学物理学中的非线性方程非线性方程在数学和物理学领域中扮演着非常重要的角色。
与线性方程不同，非线性方程包含一些非线性项，使得它们的问题更加复杂和有趣。
在本文中，我们将讨论非线性方程在数学和物理学中的重要性，并介绍一些相关的概念和实例。
1. 非线性方程的定义和意义非线性方程是指包含至少一个非线性项的方程。
所谓非线性项，指的是方程中的某些项不是形如ax+b的线性函数，而是其他复杂的函数形式，例如常数乘以指数函数、幂函数、三角函数等等。
这样的非线性项导致了方程的行为更加复杂，通常不能通过直接的解析方法求解。
在数学和物理学中，非线性方程是非常常见的。
例如，在数学领域中，微分方程、偏微分方程、代数方程等都可以是非线性的。
而在物理学领域中，非线性方程的出现与物理现象中的复杂性有很大关系。
例如，非线性光学、非线性声学、非线性电路等领域中都涉及到非线性方程的求解和研究。
2. 非线性方程的求解方法由于非线性方程的复杂性，通常不能通过类似于解线性方程的代数方法来解决。
但是，有一些常见的方法和技巧可以用来求解非线性方程。
下面简单介绍几种常见的方法。
（1）牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求解非线性方程的常用方法。
它的基本思想是在每一步迭代中，将当前点的切线与x轴相交得到一个新的估计值，并不断重复此操作直到收敛。
（2）取初值法非线性方程的求解通常需要使用迭代方法，而迭代方法的收敛性与初值的选择密切相关。
有时候，通过选择合适的初值可以提高迭代算法的收敛性和速度。
（3）变量代换法变量代换法是一种求解非线性方程的常见方法。
通过合适的变量代换，可以将原来的非线性方程转化为一些更加易于求解的形式。
例如，在求解三角方程时，通常采用换元sinx=t或cosx=t，将三角函数转化为代数函数，进而求解方程。
3. 非线性方程的实例下面简单介绍一些非线性方程的实例，包括微分方程、偏微分方程和代数方程等。
（1）非线性微分方程非线性微分方程在数学和物理学中都有广泛的应用。
动力学的非线性系统和应用
动力学的非线性系统和应用动力学的非线性系统是一种非线性现象，它包括了非线性函数、非线性微分方程和非线性控制等。
这种系统具有很多重要的应用，比如在物理学、化学、工程学、生物学等领域都有着广泛应用。
本文将介绍动力学的非线性系统以及它的一些应用。
一、动力学的非线性系统1、非线性函数非线性函数是指函数的值与自变量不成比例的函数。
它的表达式通常不是一元的，而是多项式的。
比如 y=x^2 就是一个非线性函数。
非线性函数的性质往往比较复杂，这是因为它们的微分方程不能直接求解，需要通过数值计算来实现。
2、非线性微分方程非线性微分方程是指微分方程中的系数是非线性的函数。
这种方程比线性微分方程要难解得多，也更具有挑战性。
非线性微分方程是数学、物理、化学和生物等学科的重要研究对象。
其中最著名的非线性微分方程是洛仑兹方程，它可以模拟风洞、流体力学、固体物理学、生物化学等领域的实际问题。
3、非线性控制非线性控制是指控制系统中的反馈信号是非线性的函数。
这种控制方法通常需要基于模型的预测，而不是单纯的反馈控制。
非线性控制被广泛应用于空间、航空、化工、电力等领域。
二、动力学的非线性系统的应用1、物理学动力学的非线性系统在物理学上有着广泛的应用。
比如，在材料学中，非线性动力学模型可以用来描述材料的变形和断裂。
在传热学和建筑学中，非线性动力学模型可以用来分析建筑物的温度和声波传播。
此外，在天文学、量子力学等领域，非线性动力学模型也有着重要的应用价值。
2、化学动力学的非线性系统在化学上也有着广泛的应用。
比如，在化学反应过程中，非线性动力学模型可以用来描述化学物质的浓度和反应速率。
此外，在化学热力学、表面化学、纳米技术等领域，非线性动力学模型也有着广泛的应用。
3、生物学动力学的非线性系统在生物学上也有着广泛的应用。
比如，在人体生理系统中，非线性动力学模型可以用来描述心脏跳动的过程。
在生态学、免疫学和神经科学等领域，非线性动力学模型也有着重要的应用价值。
流体力学中的非线性问题和混沌现象
流体力学中的非线性问题和混沌现象流体力学是研究流体运动行为和性质的学科，涉及广泛的物理现象和工程应用。
在流体力学中，非线性问题和混沌现象引起了研究学者的广泛关注。
本文将探讨流体力学中的非线性问题和混沌现象，并讨论其在科学研究和工程应用中的重要性。
一、非线性问题的定义与特点在流体力学中，非线性问题指的是流体运动方程存在非线性项的情况。
一般来说，非线性问题的解析解难以得到，需要借助数值模拟等方法进行研究和求解。
非线性问题的特点主要包括以下几个方面：1. 非线性项引起的混合效应：流体运动方程中的非线性项会引起不同物理量之间的相互作用和耦合效应，使得流体运动的预测变得更加困难。
2. 非线性项的不可忽略性：在某些情况下，非线性项对流体运动行为的影响是不可忽略的，对于精确预测和分析流体运动具有重要意义。
3. 非线性问题的复杂性：非线性问题的求解往往需要借助高级的数值方法和计算技术，涉及到大规模的计算和复杂的数值求解算法。
二、非线性问题的研究与应用非线性问题在流体力学研究和应用中起着重要的作用。
例如，在天气预报、气候模拟和自然界环境研究中，非线性问题的研究可以帮助我们更好地理解大气运动和涡旋的形成机制，提高天气预报的准确性和精度。
此外，非线性问题的研究还在航空航天、海洋工程和环境科学等领域具有广泛的应用价值。
通过研究非线性问题，我们可以深入探究流体运动的特性和规律，为工程设计和科学研究提供有力的支持和指导。
三、混沌现象的出现和原理混沌现象指的是在动力系统中出现随机、不可预测、复杂甚至混乱的运动行为。
在流体力学中，混沌现象是由于非线性项引起流体运动方程无法用简单的数学公式来描述和解析的情况。
混沌现象的出现主要由以下几个原理解释：1. 灵敏依赖于初值条件：在动力系统中，初始条件的微小变化会导致系统演化出完全不同的轨迹，这种现象被称为灵敏依赖于初值条件。
2. 神经网络的局部性质：由于流体力学系统的复杂性和非线性特点，局部扰动可以导致整个系统的混沌行为。
非线性微分方程的分岔和混沌现象
非线性微分方程的分岔和混沌现象非线性微分方程是自然科学中经典的研究对象之一。
在广泛的自然现象和实验研究时，非线性微分方程都是用来描述这些现象的数学工具。
但是，非线性微分方程的动力学特性非常复杂，包括分岔、混沌等现象。
这些现象对于科学家而言是非常重要而且有很多有趣的数学理论成果与实际应用。
在本文中，我们将探讨非线性微分方程的分岔和混沌现象的一些基本概念与数学理论。
一、非线性微分方程的分岔现象分岔现象是指一个系统中的某些参数发生变化时，该系统的稳定性质发生变化。
特别是当这些参数逐渐变化到一定的“临界点”时，系统的稳定性质突然发生改变，这种现象叫做分岔。
通常，这个临界点称为临界参数值。
分岔现象是非线性微分方程的一个根本动力学现象，在自然科学中有着广泛的应用。
1. 常见的分岔类型非线性微分方程的分岔有许多类型，其中比较常见的有：鞍点分岔、极小极大分岔、超过阈值分岔、分支分岔等。
鞍点分岔是指由一个稳定的状态发生分裂从而出现两个不同状态的现象。
这种分岔是由一个简单稳定节点与一个鞍点相遇时产生的。
极小极大分岔是指当参数发生微小的变化时，极小值点和极大值点突然出现的现象。
超过阈值分岔是指当参数超过某些阈值时，系统从一个极限环突变到一个新的解的现象。
分支分岔是指在参数空间中出现分支条件，这通常在响应系统行为的外部变量出现周期性变化时会发生。
2. 分岔的重要性分岔现象对于非线性微分方程而言是非常重要的，因为它可以揭示系统的稳定性和动力学性质。
而且，正是由于分岔现象才使得非线性微分方程在自然科学领域中有着广泛的应用。
例如，在物理领域中，分岔现象可以帮助我们研究光学、空气动力学、气象学等领域中的不同系统。
在生物学领域中，分岔现象可以帮助我们研究細胞過程中的周期性行为、神经行为、化學反應等。
在经济学领域中，分岔现象可以帮助我们理解市場泡沫、动态平衡等问题。
二、非线性微分方程的混沌现象混沌现象是指某些动力学系统（如非线性微分方程）的随时间演化的状态具有无限的、不可预测的细节。
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非线性振动系统的幅频曲线 幅频曲线与 图11-3 非线性振动系统的幅频曲线与相频曲线 a.) 幅频曲线 b ) 相频曲线 幅频曲线;
对于方程(11- 所示的非线性系统, 对于方程(11-1)所示的非线性系统, 其一次近似解可由下式所 示
F0 cos α A= , 3 k + bA 2 − M ω 2 4 11(11-4) cω α = arctg 3 k + bA2 − Mω 2 4 对于分段线性的非线性振动系统， 对于分段线性的非线性振动系统，其一次近似解可表示为
3 2 ω＝ k + b A 4
对于分段线性的非线性系统， 对于分段线性的非线性系统，其固有频率为
(11(11-1)
ω=
பைடு நூலகம்1 M
2 sin 2φe k + ∆k 1 − φe − 2 π
(11(11-2)
或
2 4 4 e 1 e 1 e 1 − − ω= k + ∆k 1 − (11(11-3) 6 A 40 A π A 从上面两个式子可看出, 从上面两个式子可看出, 对于装有硬弹簧的硬式非线性振动系 的增大而增加; 统, 固有频率 ω 随振幅A的增大而增加; 而对于装有软弹簧的软式 的增大而减小。 11非线性系统, 非线性系统,固有频率随振幅A的增大而减小。图11-1表示固有频率 与振幅的关系曲线。曲线1 与振幅的关系曲线 。曲线 1所示的是固有频率ω 随振幅的增大而增 曲线2所示的是固有频率随振幅的增大而减小; 直线3 加; 曲线2所示的是固有频率随振幅的增大而减小; 而直线3是线性 振动系统的固有频率,它是一个常量, 不随振幅的变化而变化。 振动系统的固有频率,它是一个常量, 不随振幅的变化而变化。
当激振频率接近于系统固有频率的整数倍,例如等于固有频率 当激振频率接近于系统固有频率的整数倍, 倍时, 的3 倍时,该系统将出现振幅较大的而频率等于固有频率的次谐波 共振; 而当激振频率接近系统固有频率的几分之一, 共振; 而当激振频率接近系统固有频率的几分之一,例如三分之一 则该系统将出现振幅较大的其频率等于固有频率的超谐波共振。 时,则该系统将出现振幅较大的其频率等于固有频率的超谐波共振。
2 4
A=
F0 cos α
,
如果阻力系数c 很小,相位差角 α＝ 00 或1800, cosα = ± 1 。 如果阻力系数 很小, 此时上式成为
e 1 e 2 e 4 F0 cosα e k + ∆k − Mω2 f = =0 + − + + e∆k A ∆k A 10π A 3π A π
第11章 非线性方程解的某些物理性质 章
1．当恢复力为非线性时固有频率是振幅的函数 2. 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统 3. 强迫非线性振动系统的振动有滞后与跳跃现象 4. 共振曲线有稳定与不稳定区段 5 强迫振动系统有超谐波响应和次谐波响应 6.多个简谐激振力作用下的组合振动 6.多个简谐激振力作用下的组合振动 7.非线性振动系统叠加原理是不适用的 7.非线性振动系统叠加原理是不适用的 8.存在频率俘获现象 8.存在频率俘获现象 9. 某些非线性振动系统会出现自激振动 10. 某些非性系统会产生混沌运动
cos Ω 1 t ,cos Ω 2 t ,cos 3Ω 1 t ,cos 3Ω 2 t ,cos( 2 Ω 1 + Ω 2 ) t , cos( 2 Ω 2 + Ω 1 ) t ,cos 2 Ω 1 − Ω 2 t ,cos 2 Ω 2 − Ω 1 t ,
mΩ1 ± nΩ 2 ,(n, m为正整数 )
例如, 例如, Ω 1 ± Ω 2 , 2Ω 1 ± Ω 2 , Ω 1 ± 2Ω 2 等。 在某些情况下,组合频率的振动较其它频率的振动要多得多, 在某些情况下,组合频率的振动较其它频率的振动要多得多, 现在我们举例说明组合频率振动的产生过程。 现在我们举例说明组合频率振动的产生过程。 假设某一非线性振动系统作用有两个频率的激振力, 假设某一非线性振动系统作用有两个频率的激振力,其运动微 分方程式如下: 分方程式如下:
a ) 硬式非线性振动系统的幅频曲线，b ) 软式非线性振动系统的幅频曲线， 硬式非线性振动系统的幅频曲线， 软式非线性振动系统的幅频曲线， c ) 非线性振动系统的相频曲线， 非线性振动系统的相频曲线，
4. 共振曲线有稳定与不稳定区段
在简谐干扰力作用下的非线性振动系统, 在简谐干扰力作用下的非线性振动系统 ,共振曲线中有稳定区 与不稳定区。共振曲线上的两次跳跃之间的线段是不稳定的, 与不稳定区。共振曲线上的两次跳跃之间的线段是不稳定的, 而其 它部分的线段是稳定的。对于线性振动系统,当阻尼为正时, 它部分的线段是稳定的。对于线性振动系统,当阻尼为正时,振动通 常是稳定的。当阻尼为零时, 常是稳定的。当阻尼为零时,仅在共振条件下振动是不稳定的
3 3 2 2 = −b A1 cos3 Ω1 t + 3A1 A2 cos2 Ω1 t cos Ω2 t + 3A1A2 cos Ω1 t cos2 Ω2 t 3 + A2 cos3 Ω2 t + F cos Ω1 t + F2 cos Ω2 t 1
[
]
(11(11-9) 我们可以利用以下三角函数表示上式的右边部分: 我们可以利用以下三角函数表示上式的右边部分:
图11-6 非线性振动系统的次谐波振动与超谐波振动 11-
6.多个简谐激振力作用下的组合振动 6.多个简谐激振力作用下的组合振动
作为例子， 作为例子，某系统作用有两个激振力为 F1 cos Ω 1t 和 F2 cos Ω 2t ， 则该系统不仅会出现频率为 Ω 1 ,Ω 2 ,2Ω 1 ,2Ω 2 ,3Ω 1 ,3Ω 2 ,L,而且会 出现频率等于两个激振频率之和或之差的组合频率的振动, 出现频率等于两个激振频率之和或之差的组合频率的振动,即
1 M
图11-1 固有频率与振幅的关系曲线
假如对某振动系统进行振幅逐渐减小的衰减试验， 假如对某振动系统进行振幅逐渐减小的衰减试验，测 出其振动位移与时间的关系曲线,若当振幅减小时, 出其振动位移与时间的关系曲线,若当振幅减小时,振动周 随振幅的减小而减小,则为硬式非线性系统; 期 T随振幅的减小而减小 ,则为硬式非线性系统 ;若振动周 期随振幅的减小而增大, 则为软式非线性系统; 期随振幅的减小而增大 , 则为软式非线性系统 ;若振动周 期不随振幅大小而变化则为线性振动系统。 11- 所示, 期不随振幅大小而变化则为线性振动系统。如图11-2所示, 左图为硬式非线性振动系统的试曲线, 左图为硬式非线性振动系统的试曲线 ,而右图为软式非线 性的振动曲线。 性的振动曲线。
5 3
(11-6) 11按照上式, 按照上式,可画出 f
e e e 的关系曲线， 与 的关系曲线，当 f A = 0 时， A A
可求出上述代数方程的解。 可求出上述代数方程的解。 11看出,共振曲线的头部向右倾斜， 由 图 11-3 a看出 , 共振曲线的头部向右倾斜 ， 此曲线为硬式非 线性系统的共振曲线; 11所示的共振曲线的头部向左倾斜, 线性系统的共振曲线 ;图 11-3 b 所示的共振曲线的头部向左倾斜, 此曲线为软式非线性系统的共振曲线。 此曲线为软式非线性系统的共振曲线。
图11-2 试验得出的振动曲线
2. 非线性振动系统的共振曲线不同于线性振动系统
非线性振动系统的共振曲线,即振幅与频率关系曲线(幅频曲线) 非线性振动系统的共振曲线,即振幅与频率关系曲线(幅频曲线) 和相位与频率的关系曲线(相频曲线) 和相位与频率的关系曲线(相频曲线)和线性振动系统有本质的区别 11- 中的a,b a,b和 。图 11-3 中的 a,b 和 c 分别示出 在简谐干扰力作用下硬式和软式非 线性系统的幅频曲线及相频曲线。 线性系统的幅频曲线及相频曲线。
由图11-4看出, 返回过程的跳跃总是落后于前进过程的跳跃。 11- 看出, 返回过程的跳跃总是落后于前进过程的跳跃。 这种现象,我们称它为滞后现象, 这种现象 , 我们称它为滞后现象, 这种滞后现象在线性振动系统中 也是不会出现的。 也是不会出现的。
图11-4 强迫非线性振动系统出现的跳跃现象和滞后现象
4 e 1 e 1 e 2 k + ∆ k 1 − − Mω 1 − − 40 A π A 6 A 11(11-5) cω α = arctg 4 e 1 e 2 1 e 4 2 k + ∆ k 1 − − Mω 1 − − 40 A π A 6 A
&& + ω 02 x + b x 3 = F1 cos Ω 1 t + F 2 cos Ω 2 t x
(11(11-7)
方程的一次近似解为
x1( t ) = A1 cos Ω 1t + A2 cos Ω 2 t
(11(11-8)
代入以上方程
&& + ω 2 x = −b( A1 cos Ω1 t + A2 cos Ω2 t ) + F cos Ω1 t + F2 cos Ω2 t x 0 1
3.强迫非线性振动系统的振动有滞后与跳跃现象
对于非线性系统, 如果我们使激振力幅保持不变, 对于非线性系统, 如果我们使激振力幅保持不变, 而缓慢地增加激振频率, 振动系统的振幅将沿着图11而缓慢地增加激振频率, 振动系统的振幅将沿着图11-4箭 头所示的方向逐渐增大,当增加至最大值时, 头所示的方向逐渐增大,当增加至最大值时,将会出现降幅 跳跃,接着振幅将逐渐减小。 跳跃,接着振幅将逐渐减小。 反之, 逐渐减小振动频率,振幅将渐渐增大, 反之, 逐渐减小振动频率,振幅将渐渐增大,增至某一 点之后,又会出现增幅跳跃,此后,振幅将逐渐减小。 点之后,又会出现增幅跳跃,此后,振幅将逐渐减小。 这种跳跃现象在线性振动系统中是不可能出现的。 这种跳跃现象在线性振动系统中是不可能出现的。