某类非线性常微分方程解的形式

1 2 2 1 1 15 I a h1 − − 2 8 40 = A1 2 = 30a 2 h2 h1 , A2 2= 30a 2 h2 , h0 4 . 2 h2 a
第五组解为
11 3 1 c= − 15 I , A0 = − 30 15a 2 h12 − 3 + 15I , 20 20 30
(
)
再运用数学软件 Maple 来求解代数方程组，并去掉一些无意义的解，得到以下六组解： 第一组解为
c= 16 1 1 5a 2 h12 + 2 2 , A0 = 30 5a 2 h12 + 2 , A1 = 2a 2 h2 h1 30, A2 = 2 30a 2 h2 , h0 = . 25 10 20 a 2 h2
(2.2.3)
根据上述所讨论的三种情况，因而式子(2.2.1)、(2.2.2)、(2.2.3)便是方程(2.1.3)根据 hi ( i = 0,1, 2 ) 的取 值情况所得到的不同的精确解。
2.3. 讨论该类非线性常微分方程的解
将 2.1 节求得的各参数的解组以及 2.2 节所求的一阶常微分方程的通解代入方程(2.1.4)中，就得到该 类非线性常微分方程(2.0.2)的精确解。
1 2 2 1 1 a h1 − − 15 I 4 8 40 A1 = −2 30a h2 h1 , A2 = −2 30a h , h0 = . 2 h2 a
2 2 2 2
(
)
2.2. 分析方程 Riccati 的解
dZ 情况：当 h0 = 0 时，方程(2.1.3)简化为： = h1Z + h2 Z 2 。该方程的解为： dξ
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陶晓珍 等
衡，所以我们可以得到 a 4u ( 4 ) 的最高次数为 n + 4 ， u 3 最高次数为 3n ，所以就有 n + 4 = 3n ，解得 n = 2 。 把 n = 2 回代到方程(2.1.2)中，得到
u =A0 + A1Z + A2 Z 2 ,
4 4
(2.1.4)
求出对应的 u ′, u ′′, u ′′′, u ( ) ，再把 u , u ′, u ′′, u ( ) 代入方程(2.1.1)，且令多项式 Z 的各项系数都为零，得系 数方程组为：
陶晓珍 等
关键词
F展开法，齐次平衡法，Riccati方程
Copyright © 2017 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
(
)
第二组解为
16 1 1 5a 2 h 2 + 2 2 c= , A0 = 30 5a 2 h12 + 2 , A1 = , h0 = 21 . − −2 30a 2 h2 h1 , A2 = −2 30a 2 h2 25 10 20 a h2
(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)
第三组解为
c=
11 3 1 − 15 I , A0 = 30 15a 2 h12 − 3 + 15 I , 20 20 30
摘
要
本论文主要应用F展开法求解某类非线性常微分方程的精确解。首先利用相应自变量变换，再通过齐次 平衡法的思想确定方程的某种解的形式，应用数学软件Maple进行求解，再结合相应的Riccati方程的解 的表达式，得到了该类非线性常微分方程的精确解的表达形式。
文章引用: 陶晓珍, 郭艳凤, 廖媚, 陈杰玲. 某类非线性常微分方程解的形式[J]. 应用数学进展, 2017, 6(3): 243-248. https:///10.12677/aam.2017.63029
(2.2.2)
= Z2
h0 h0 2 tan ( h0 h2ξ + C1 ) ，因此， = Z2 tan 2 ( h0 h2ξ + C1 ) 。 h2 h2
dZ = h0 + h1Z 。该方程的解为： dξ
2
情况：当 h2 = 0 时，方程(2.1.3)简化为
ξ
h1
ξ h1 h0 h0 e e 2 。 Z 3 C2 = − ，因此， = − Z 3 C2 h1 h1 h1 h1
th th nd
Abstract
In this paper, the exact solution of a class of nonlinear ordinary differential equations is solved by using the F-expansion method. Firstly, by using variable transformation, and through the idea of the homogeneous balance method, some forms of solution are given. By application of mathematical software Maple, some solutions are solved combined with the solution of Riccati equation. And forms of the exact solutions of nonlinear ordinary differential equations are obtained.
4
(2.1.1)
假设常微分方程(2.1.1)解的形式如下：
u = ∑ Ai Z i ,
i =0
n
(2.1.2)
其中 Z 满足 Riccati 方程
dZ = h0 + h1Z + h2 Z 2 , dξ
(2.1.3)
方程(2.1.3)中的 h1 ， h2 ， h3 为待定实常数。再根据最高次导数项以及最高次幂非线性项进行齐次平
u xxxx + 2u xx − u 3 + cu = 0,
某种精确解形式。
(2.0.2)
2.1. 求解待定系数的代数方程组
首先进行自变量变换 ξ = ax + ξ 0 (其中 a 是待定的常数， ξ 0 则为任意的常数)，得到相应的常微分方 程：
a 4u ( ) + 2a 2u ′′ − u 3 + cu = 0,
4 3 120a 4 A2 h2 0, − A2 = 4 4 4 3 2 0, 24a A1h2 + 336a A2 h2 h1 − 3 A1 A2 = 2 2 2 2 4 3 4 3 4 2 2 0, −3 A0 A2 − 3 A1 A2 + 12a A2 h2 + 60a A1h2 h1 + 240a A2 h2 h0 + 330a A2 h2 h1 = 130a 4 A h3 h + 440a 4 A h 2 h h + 50a 4 A h 2 h 2 + 4a 2 A h 2 + 20a 2 A h h 2 1 2 2 2 1 0 1 2 1 1 2 2 1 2 3 − A13 − 6 A0 A1 A2 + 40a 4 A1h2 h0 = 0, 2 4 2 2 2 2 4 3 4 2 cA2 − 3 A0 A2 + 136a A2 h2 h0 + 6a A1h1h2 + 8a A2 h1 + 15a A1h1 h2 + 60a A1h2 h1h0 2 4 4 2 4 2 0, + 16a A2 h0 h2 + 16a A2 h1 − 3 A0 A1 + 232a A2 h1 h2 h0 = cA − 3 A2 A + 120a 4 A h h h 2 + a 4 A h 4 + 2a 2 A h 2 + 22a 4 A h 2 h h 0 1 2 1 2 0 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 2 + 16a 4 A1h2 0, h0 + 4a 2 A1h2 h0 + 12a 2 A2 h1h0 + 30a 4 A2 h13 h0 = 4 2 3 2 4 3 4 2 2 8a A1h1h2 h0 − A0 + 2a A1h1h0 + 16a A2 h0 h2 + 14a A2 h1 h0 4 3 2 2 0. + a A1h1 h0 + cA0 + 4a A2 h0 =
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2017, 6(3), 243-248 Published Online May 2017 in Hans. /journal/aam https:///10.12677/aam.2017.63029
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1 2 2 1 1 a h1 − + 15 I 2 4 8 40 A1 = −2 30a 2 h2 h1 , A2 = −2 30a 2 h2 , h0 = . h2 a 2
第六组解为
11 3 1 c= + 15 I , A0 = − 30 15a 2 h12 − 3 − 15I , 20 20 30
2. 利用 F 展开法求解某类非线性常微分方程
在流体力学中，一个很重要的方程是 Swift-Hohenberg 方程
ut + u xxxx + 2u xx − u 3 + cu = 0.
(2.0.1)
此方程是在讨论 Rayleigh-Bénard 对流中的不稳定对流现象得到的数学模型[7]，其中系数 c 是一个参 变量。此方程的精确解形式目前还没有得到很好的解决。本文我们将不考虑时间 t 的作用，利用 F 展开 法的思想在参变量 c 取特殊值的时候得到方程(2.0.2)的