2014年南平市初中毕业、升学考试数学试题

2014年福建省南平市初中毕业、升学考试数 学 试 题（满分：150分；考试时间：120分钟）★友情提示：① 所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；② 可以携带使用科学计算器，并注意运用计算器进行估算和探究； ③ 未注明精确度、保留有效数字等的计算问题不得采取近似计算．★参考公式：抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）的对称轴是，a b x 2-=顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422， 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂） 1．－4的相反数．．．是A ． 4B ．－4C ．41 D ． 41- 2．如图所示，几何体的主视图是3．一个袋中只装有3个红球，从中随机摸出一个是红球A ．可能性为31B ．属于不可能事件C ．属于随机事件D ．属于必然事件 4．下列计算正确．．的是 A ．6428)2(a a = B ．43a a a =+ C ．a a a =÷2 D ．222)(b a b a -=- 5．将直尺和三角板按如图所示的样子叠放在一起，则∠1＋∠2的度数是A. 45°B. 60°C. 90°D. 180°6．下列说法正确．．的是 A ．了解某班同学的身高情况适合用全面调查.B ．数据2，3，4，2，3的众数是2C ．数据4，5，5，6，0的平均数是5D ．甲、乙两组数据的平均数相同,方差分别是2.3甲2=S ,9.22=乙S ，则甲组数据更稳定 7．下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是 （第5题图）（第2题图）DC BAA ．1，2，1B ．1，2，2C ． 1，2，3D ．1，2，4 8．一名老师带领x 名学生到动物园参观，已知成人票每张30元，学生票每张10元，设门 票的总费用为y 元，则y 与x 的函数关系为A ．3010+=x yB ．x y 40=C ．x y 3010+=D ．x y 20=9．如图，在△ABC 中，AD 、BE 是两条中线，则EDC S ∆∶ABC S ∆= A ．1∶2 B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4 10．将1，2，3三个数按图中方式排列，若规定（a ，b ）表示第a 排第b 列的数， 则（8，2）与（2014，2014）表示的两个 数的积．是 A ．6 B ．3 C ．2 D ． 1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填入答题卡．．．的相应位置）11．请写出一个无理数．．．． 12．已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，若PA =6，则PB = ．13．五名男生的数学成绩如下：78，79，80，82，82，则这组数据的中位数是 ． 14．点P （5，-3）关于原点．．对称的点的坐标是（ ， ）． 15．同时掷两枚硬币，两枚硬币全部正面朝上的概率是．16、分解因式：a a a +-232= ．17．将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形．已知∠CEB ′=50°，则∠AEB ′=_________ °．18．如图，等圆⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，⊙O 1经过⊙O 22半轴上，两圆分别与x 轴交于C 、D 两点，y 轴与⊙O 2相切于点O 1，点O 1在y 轴的负半轴上．① 四边形A O 1B O 2为菱形； ② 点D 的横坐标是点O 2的横坐标的两倍； ③ ∠ADB =60°；④ △BCD 的外接圆的圆心是线段 O 1 O 2的中点．以上结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） （第18题图）ED CB A （第9题图）1332121321 第1排第2排第3排第4排第4列第3列第2列第1列（第10题图）三、解答题（本大题共8小题，共86分．请在答题卡．．．19．（1）（7分）计算：12)21()3(8103-++---π．（2）（7分）化简:x x x x x 2124222+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--- ．20．（8分）解不等式组：21．（8分）如图，已知△ABC 中，点D 在AC 上，且∠ABD=∠C ，求证：AC AD AB ⋅=2.22．（10分）在2014年巴西世界杯足球赛开幕之前，某校团支部为了解本校学生对世界杯足球赛的关注情况，随机调查了部分学生对足球运动的喜欢程度，绘制成如下的两幅不完请你根据以上统计图提供的信息，回答下列问题： （1）随机抽查了 名学生； （2）补全图中的条形图；（3）若全校共有500名学生，请你估计全校大约有多少名学生喜欢（含“较喜欢”和“很喜欢”）足球运动．23．（10分）如图，已知直线AB 经过⊙O 上的点C ，且OA=OB ，CA=CB .（1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）若∠A =34°，AC =6，求⊙O 的周长．（结果精确到0.01）等级CAO DCBA （第21题图）① ②⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<-021102x x（第24题图）24．（10分）．如图，已知反比例函数xmy =与一次函数b kx y += 的图象相交于A （4，1）、B （a ，2）两点，一次函数的图象 与y 轴的交点为C ．（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点D 的坐标为（1，0），求△ACD 的面积.25．（12分）如图，已知抛物线c bx x y ++-=221图象经过A （-1，0），B （4，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若C （m ，m -1）是抛物线上位于第一象限内的点，D 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过点D 分别作DE ∥BC 交AC 于E ， DF ∥AC 交BC 于F .① 求证：四边形DECF 是矩形； ② 连接EF ，线段EF 的长是否存在 最小值，若存在，求出EF 的最小 值；若不存在，请说明理由．26．（14分）在图1、图2、图3、图4中，点P 在线段BC 上移动（不与B 、C 重合），M 在BC 的延长线上．（1）如图1，△ABC 和△APE 均为正三角形．．．．，连接CE ． ①求证：△ABP ≌△ACE .②∠ECM 的度数为______________°．（2）①如图2，若四边形ABCD 和四边形APEF 均为正方形．．．，连接CE ． 则∠ECM 的度数为______________°．②如图3，若五边形ABCDF 和五边形APEGH 均为正．五边形．．．，连接CE ． 则∠ECM 的度数为______________°． （3）如图4，n 边形ABC …和n 边形APE …均为正．n ．边形．．，连接CE ，请你探索并猜想 ∠ECM 的度数与正多边形边数n 的数量关系（用含n 的式子表示∠ECM 的度数），并利用图4（放大后的局部图形，见答题卡）证明你的结论．P图3图2图1MMMAB C EP P EDCBAABP CEF2014年福建省南平市初中毕业、升学考试数学试题参考答案及评分说明说明：（1） 解答右端所注分数，表示考生正确作完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2） 对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．（3） 如果考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4） 评分只给整数分．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．C ； 6．A ； 7．B ； 8．A ； 9．D ； 10．B ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．如：π,2等； 12．6； 13．80； 14．-5，3； 15．41(或0.25或25%)； 16．2)1(-a a ； 17．65； 18．① ③．三、解答题（本大题共8小题，共86分）19．（1）解：原式＝)12(212-++- …………………………………………………4分 ＝123-+ …………………………………………………6分 =22+ …………………………………………………7分（2）解：原式=()21.242+--x x x x …………………………………………………4分 =)2.(1.2)2).(2(+--+x x x x x ………………………………………………6分=x1…………………………………………………7分 20．解：由①得 2<x …………………………………………………2分由②得 0)1(2≥+-x …………………………………………………3分012≥--x …………………………………………………4分01≥-x …………………………………………………5分 1≤x …………………………………………………6分∴不等式组的解集为1≤x …………………………………………………8分（第22题图）21．证明：∵∠ABD =∠C ∠A 是公共角 ……2分∴△ABD ∽△ACB ………………………5分 ∴ABADAC AB =…………………………7分 ∴AC AD AB ⋅=2………………………8分22．解：（1）50 …………………………………3分（2）补全统计图 ………………………6分 （3）设全校有x 名学生喜欢足球运动，则500501520x=+………………………………8分 解得 350=x答：全校约有350名学生喜欢足球运动 ……10分23．（1）证明：连接OC .∵OA=OB ，CA=CB ∴OC ⊥AB ………………… 3分 ∴AB 是⊙O 的切线.………………………………… 4分 （2）解：由（1）得 OC ⊥AB ∴∠ACO =90°………5分∴OC = AC▪ tan34°=6×tan34° ≈ 4.047 ………………8分 ∴⊙O 的周长 = 2π▪OC =2×3.142×4.047 ≈ 25.43……10分（ 或⊙O 的周长=12πtan34° ≈ 25.43） 24．解：（1）∵点A (4，1)在反比例函数x k y =上， ∴41k= ∴k=4×1=4，∴xy 4=………………………………………………………………2分 把B （a ，2）代入x y 4= 得2=a4， ∴a =2，∴B （2，2）…………………………………………………………………………3分 ∵把A （4，1），B （2，2）代入b kx y +=∴⎩⎨⎧+=+=b k b k 2241 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=321b k ……………………………………………………4分 ∴一次函数的解析式为321+-=x y ………………………………………………6分D （第21题图）C（第23题图）AB（2）方法一：∵当0=x 时，3=y ， ∴C （0，3）………7分过A 作AE ⊥x 轴于E∴DEA COD AEOC ACD S S S S ∆∆∆--=梯形=3121312124)31(⨯⨯-⨯⨯-⨯+=5 …………10分 方法二：∵当0=x 时，3=y ， ∴C （0，3）………………………………………………7分过A 作AE ⊥x 轴于E∵DO =AE =1 CO =DE =3 ∠COD =∠DEA =90 ° ∴△COD ≌△DEA ∴∠DCO =∠ADE ，CD =AD ∵∠DCO +∠ODC = 90°， ∴∠ADE +∠ODC = 90°∴∠CDA = 180°-（∠ADE +∠ODC ）=90°…………………………………………8分 ∴103122=+==CD AD∴510102121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD CD S ACD ……………………………………………10分25.（1）解法一：根据题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=c b cb 480210 ……………………………………………1分 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==223c b ，∴223212++-=x x y …………………………………………3分解法二：根据题意，得)4()1(21-⋅+-=x x y ……………………………………………2分∴223212++-=x x y ………………………………………………………3分解法三：根据题意，得抛物线的对称轴为直线23=x ……………………………………1分∴23)21(2=-⨯-b解得，23=b ∴ c x x y ++-=23212……………………………………………………………2分把A （-1，0）代入上式，得c +-⨯+-⨯-=)1(23)1(2102，解得，2=c∴223212++-=x x y ……………………………………………………………3分（第24题图）（第25题图）（2）证明：∵把C （m ，m -1）代入223212++-=x x y 得∴2232112++-=-m m m ，解得：m =3或m =-2……………………………4分 ∵C （m ，m -1）位于第一象限， ∴⎩⎨⎧>->010m m ，∴m>1，∴m =-2舍去，∴m =3 ∴点C 坐标为（3，2） ………………………………………………5分 由A （-1，0）、B （3，0）、C （3，2） 得 AH =4，CH =2，BH =1，AB =5 过C 点作CH ⊥AB ，垂足为H ，则∠AHC =∠BHC = 90°， （以下解答提供两种不同方法供参考） 方法一：∴2==BHCHCH AH ∵∠AHC =∠BHC = 90°∴△AHC ∽△CHB ， ∴∠ACH=∠CBH ， ∵∠CBH +∠BCH = 90° ∴∠ACH +∠BCH = 90°∴∠ACB = 90°………………………………………………………………………6分 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形………………………7分 ∴□DECF 是矩形 …………………………………………………………………8分方法二：∵204222222=+=+=AH CH AC ，51222222=+=+=BH CH BC ，∴2552022=+=+BC AC ∵25522==AB ∴222AB BC AC =+∴∠ACB = 90° ……………………………………………………………………6分 ∵DE ∥BC ，DF ∥AC ， ∴四边形DECF 是平行四边形………………………7分 ∴□DECF 是矩形 …………………………………………………………………8分（3）存在…………………………………………………………………………………………9分 方法一：连接CD ，∵四边形DECF 是矩形，∴EF =CD ………………………………10分当CD ⊥AB 时，CD 的值最小 ∵C （3，2），∴DC 的最小值是2， ∴EF 的最小值是2.…………………………………12分 方法二：连接CD ， ∵四边形DECF 是矩形， ∴EF =CD . …………………………10分设点D （d ，0），在Rt △CDH 中，4)3(2222+-=+=d DH CH DC 当d =3时2DC 的最小值是4 ∵DC ＞0，∴DC 最小值是2，∴EF 的最小值是2 ……12分（第26题图4）26. 解：（1）① 证明：∵ABC ∆与APE ∆均为正三角形，∴AB =AC ，AP =AE ，∠BAC =∠P AE =60°， ∴∠BAC -∠P AC =∠P AE -∠P AC 即∠BAP =∠CAE ………3分∴△ABP ≌△ACE (SAS ) …………………………………5分 ② 在图1中，∠ECM 的度数为 60° ．……………………6分 （2）在图2中，∠ECM 的度数为 45° ．……………………7分在图3中，∠ECM 的度数为 36° ．……………………8分 （3）在图4中，∠ECM 的度数为n180．（用含n 的式子表示）…………10分证明：方法一：过E 作EK ∥CD∵ n 边形ABC …和n 边形APE …为正n 边形，∴ AB =BC AP =PE∠ABC =∠BCD =∠APE =nn180).2(-∵∠APK =∠ABC +∠BAP ∠APK =∠APE +∠EPK ∴∠BAP =∠KPE∵EK ∥CD ， ∴∠BCD =∠PKE ∴∠ABP =∠PKE ， ∴△ABP ≌△PKE∴BP =EK ，AB =PK ………………………………………………………………………12分 ∴BC =PK ， ∴BC -PC =PK -PC ∴BP =CK ∴CK =KE ，∴∠KCE =∠KEC ，∵∠CKE =∠BCD =nn180).2(-∴∠ECM =n n n180180).2(18021=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-- ………………………………………………14分 方法二：在射线CM 上截取CK =BP∵n 边形ABC …和n 边形APE …均为正n 边形∴AB =BC AP =PE ∠ABC =∠BCD =∠APE =nn180).2(-∵∠APK =∠ABC +∠BAP ∠APK =∠APE +∠EPK ， ∴∠BAP =∠KPE（第26题图4）∵CK=BP ∴CK +PC =BP +PC ，∴BC =PK ，∴AB =PK∴△ABP ≌△PKE ………………………………………………………………………12分 ∴BP =EK ∠ABP =∠PKE∴CK =EK ∠ BCD =∠PKE ∴∠ KCE =∠KEC ，EK ∥CD ∴∠ KEC =∠ECD ∴∠ KCE =∠ECD ∴∠ECM =DCM ∠21∵n DCM360=∠，∴∠ECM =n180. ………………………14分方法三：在线段AB 上截取AH =PC∵n 边形ABC …和n 边形APE …为正n 边形∴AP =PE ，∠ABC =∠APE =nn180).2(-∵∠APC =∠ABC +∠HAP ，∠APC =∠APE +∠EPC ， ∴∠HAP =∠CPE ，∴△AHP ≌△PCE ， ……………………………………………………………………12分 ∴∠AHP =∠PCE ，∵∠ AHP +∠PHB =180°，∠PCE +∠ECM =180°， ∴∠PHB =∠ECK ，∵AB =BC ，AH =PC ，∴AB - AH =BC -PC ， ∴BH =BP ，∴∠BHP =∠BPH ，∴∠ECM =∠BHP =n n n 180180).2(18021=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--. …………………………………14分。