高中数学之空间向量的数量积含解析
空间向量的数量积与应用
空间向量的数量积与应用数量积是空间向量运算中非常重要的一种运算，也被称为点积、内积或标量积。
它能够衡量两个向量之间的夹角以及它们的相似性，并且在许多实际应用中有着重要的作用。
本文将介绍空间向量的数量积的定义、性质以及在几何、物理、工程等领域中的应用。
一、数量积的定义和性质数量积指的是两个向量的点积，表示为A·B。
对于三维空间中的向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的数量积计算公式如下：A·B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2数量积具有以下性质：1. 交换律：A·B = B·A2. 结合律：(λA)·B = λ(A·B)，其中λ为实数3. 分配律：(A+B)·C = A·C + B·C二、数量积的几何意义数量积的几何意义是计算向量A和向量B之间的夹角θ。
根据数量积的定义，可以得到以下结论：1. 当A·B > 0时，夹角θ为锐角；2. 当A·B = 0时，夹角θ为直角；3. 当A·B < 0时，夹角θ为钝角。
通过计算数量积可以判断向量之间的夹角类型，进而应用于几何问题的解决。
三、数量积在物理中的应用数量积在物理学中有广泛的应用，特别是在力学领域。
以下是几个例子：1. 力的分解：对于一个施加在物体上的力F和物体位移s，利用数量积可以将力分解为沿着位移方向的分量与与位移垂直的分量，从而求解功和能量等物理量。
2. 矢量投影：通过数量积的计算可以将一个矢量投影到另一个矢量上，常用于力的分解和合成等问题中。
3. 动能计算：根据物体的质量m和速度v，可以利用数量积计算物体的动能，即K = 1/2 * m * v^2。
四、数量积在工程中的应用数量积在工程学中有广泛的应用，以下是几个例子：1. 结构分析：在建筑和桥梁等结构的分析中，通过计算数量积可以得出结构元素之间的应力和变形情况，从而评估结构的稳定性和安全性。
空间向量数量积及坐标运算
空间向量数量积及坐标运算在空间解析几何中，向量是研究的重要对象之一，而向量的数量积和坐标运算是向量运算中的基本概念。
本文将介绍空间向量的数量积及其坐标运算方法。
一、空间向量的数量积空间中的向量可以用其坐标表示，记作a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2,z2)，其中a、b分别是空间中的两个向量，xi、yi、zi为它们在笛卡尔坐标系中的坐标。
向量的数量积（又称点积或内积）定义为两个向量的对应坐标的乘积之和，即：a ·b = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2其中·表示数量积运算。
性质：1.数量积是实数。
2.数量积的结果等于向量乘积和坐标乘积之和。
3.数量积满足交换律：a · b = b · a。
4.数量积满足分配率：(a + b) · c = a · c + b · c。
二、向量的坐标运算1. 向量的加法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的和记为c，则c的坐标为：x = x1 + x2y = y1 + y2z = z1 + z2即向量的和的每个坐标等于对应向量的坐标之和。
性质：1.向量的加法满足交换律：a + b = b + a。
2.向量的加法满足结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
2. 向量的减法设a = (x1, y1, z1)和b = (x2, y2, z2)是空间中的两个向量，它们的差记为c，则c的坐标为：x = x1 - x2y = y1 - y2z = z1 - z2即向量的差的每个坐标等于对应向量的坐标之差。
3. 向量的数乘设k为实数，a = (x, y, z)是空间中的一个向量，ka为向量a的数乘，即ka 的坐标为：x' = k * xy' = k * yz' = k * z性质：1.数乘满足结合律：k(ka) = (k * k')a。
向量的数量积
向量的数量积向量的数量积是线性代数中的一个重要概念，也是向量运算中的一种常用运算。
它可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
本文将详细介绍向量的数量积的定义、性质以及应用。
一、定义在二维空间或三维空间中，我们可以用向量来表示有方向和大小的量。
设有两个向量A和B，向量A的坐标表示为（A1，A2，A3），向量B的坐标表示为（B1，B2，B3），则向量A和向量B的数量积定义为：A·B=|A||B|cosθ，其中|A|表示向量A的长度，|B|表示向量B的长度，θ表示向量A和向量B之间的夹角。
二、性质1. 交换律：A·B=B·A2. 结合律：(kA)·B=A·(kB)=k(A·B)，其中k为实数3. 分配律：(A+B)·C=A·C+B·C三、计算方法1. 若向量A和向量B的坐标分别为（A1，A2，A3）和（B1，B2，B3），则A·B=A1B1+A2B2+A3B3。
2. 若向量A和向量B的坐标形式为A=a1i+a2j+a3k和B=b1i+b2j+b3k，其中i，j，k分别是坐标轴上的单位向量，则A·B=a1b1+a2b2+a3b3。
四、应用1. 判断向量是否垂直：如果向量A·B的结果为0，则向量A和向量B垂直；如果向量A·B的结果大于0，则向量A和向量B之间的夹角为锐角；如果向量A·B的结果小于0，则向量A和向量B之间的夹角为钝角。
2. 计算向量的模长：|A|=√(A·A)3. 计算向量的夹角：cosθ=(A·B)/(|A||B|)4. 计算向量的投影：向量A在向量B上的投影记作projBA=(A·B)/|B|总结：本文详细介绍了向量的数量积的定义、性质和应用。
向量的数量积是一种常用的向量运算，可以帮助我们计算向量之间的夹角、判断向量是否垂直等问题。
高中数学两个向量的数量积知识点解析
§3.1 空间向量及其运算
3.1.3 两个向量的数量积
XUEXIMUBIAO
学习目标
1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.
2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.
3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判 断向量的共线与垂直.
内容索引
NEIRONGSUOYIN
→ → 解析 易知①②正确；AD1与A1B的夹角为 120° ，
∴③不正确.故选B.
1
2
3
4
5
2 4.已知 a， b 为两个非零空间向量， 若|a|＝2 2， |b|＝ 2 ， a· b＝－ 2， 则 〈a， b〉 3π 4 ＝______.
a· b 2 3π 解析 cos〈a，b〉＝ ＝－ 2 ，∴〈a，b〉＝ 4 . |a||b|
→ → (3)EF· DC； → → 1→ → 解 EF· DC＝2BD· DC 1→ → → → ＝2|BD|· |DC|cos〈BD，DC〉 1 1 ＝2cos 120° ＝－4. → → (4)AB· CD. → → → → → → → → → 解 AB· CD＝AB· (AD－AC)＝AB· AD－AB· AC
k (3)空间向量没有除法运算：即若 a· b＝k，没有 a＝ . b
跟踪训练1
已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面
AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：
→ → (1)BC· ED1；
解 → → 如图，设AB＝a，AD＝b，
→ AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，
a· b＝b· c＝c· a＝0.
1 → → 2 2 c － a ＋ b BC· ED1＝b· ＝ | b | ＝ 4 ＝16. 2
空间向量的数量积
空间向量的数量积空间向量的数量积，又称为内积或点积，是向量分析中的重要概念。
它表示了两个向量之间的相似程度，并且在许多领域中都有广泛的应用。
本文将探讨空间向量的数量积的性质、计算方法以及其在几何和物理中的应用。
一、定义和性质在三维空间中，设有两个向量A和B，它们的数量积定义为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示它们之间的夹角。
可以看出，数量积是一个标量，没有方向，只有大小。
数量积具有以下性质：1. A·B=B·A，即数量积的顺序不影响结果；2. A·A=|A|^2，即向量A与自身的数量积等于它的模长的平方；3. 若A·B=0，则A与B垂直。
二、计算方法根据定义，我们可以通过向量的坐标或分量来计算数量积。
设A=(x1, y1, z1)和B=(x2, y2, z2)，则有A·B=x1x2+y1y2+z1z2。
三、几何意义空间向量的数量积在几何中有重要的意义。
首先，两个非零向量的数量积等于它们的模长的乘积与夹角的余弦值的乘积。
通过计算数量积，我们可以判断两个向量之间的夹角大小，进而判断它们的相似程度。
此外，数量积还可以用来计算向量的投影。
设A为原点O到点P的向量，B为另一向量，其数量积A·B表示向量A在B方向上的投影长度。
这个概念在物理学中有广泛的应用，例如计算物体沿斜面下滑时的加速度分量等。
四、物理应用数量积在物理学中的应用非常广泛。
以力学为例，根据牛顿第二定律，物体受到的力可以表示为F=mA，其中F为力，m为物体的质量，A为物体的加速度。
如果我们知道物体的初速度v0和终速度v，可以计算出加速度A=(v-v0)/t，其中t为时间。
然而，如果我们只知道物体在运动过程中所受到的力F以及物体的速度v，我们也可以通过数量积计算出它们之间的夹角θ，进而得到加速度A=|F|cosθ/m。
此外，在电磁学中，数量积也有重要的应用。
1.1.2 空间向量的数量积运算(基础知识+基本题型)(含解析)(人教A版2019选择性必修第一册)
1.1.2 空间向量的数量积运算（基础知识+基本题型）知识点一 空间向量的夹角 1．概念如图3.1-26，已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a =，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b 的夹角，记,a b <>.2．范围[],0,a b π<>∈． 3．特别地，如果,2a b π<>=，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥．对空间两个向量的夹角的理解，应注意以下几点：(1)由概念，知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故,0a b <>=(或π)//a b ⇔(,a b 为非零向量)．(2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量a 都是共线的，即0∥a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．(3)对空间任意两个向量,a b ，有；①,,,a b a b b a <>=<-->=<-->；②,,,a b a b a b π<->=<->=-<>；③AB AC BACA AB AC π<>=<>=-<>．．．．拓展若两个向量,a b 所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ， (1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π，(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>. 知识点二 空间向量的数量积定义已知两个非零向量,a b ，则||||cos ,a b a b <>叫做向量,a b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>.零向量与任意向量的数量积为0，即00a ⋅=.几何意义向量,a b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos ,b a b <>的乘积或等于b 的长度||b 与a 在b 的方向上的投影||cos ,a a b <>的乘积.运算律()()a b a b λλ⋅=⋅a b b a ⋅=⋅（交换律）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）1． 对于空间向量的数量积，我们可以从以下几个方面理解：(1)向量,a b 的数量积记为a b ⋅．而不能表示为a b ⨯或ab ;(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，其符号由夹角θ的余弦值的符号决定：当θ为锐角时，a b ⋅>0，但当a b ⋅>0时， θ也可能为0；当θ为钝角时．a b ⋅<0，但当a b ⋅<0时，θ也可能为π：(3)当θ≠0时， a b ⋅=0不能推出b 一定是零向量，这是因为对于任一个与a 垂直的非零向量b ．都有a b ⋅=0．2． 在考向量数量积的运算律时，要准确区分两向量的数量积与向量的数乘 、实数与实数的乘积之问的差异.（1）向量的数量积的运算不满足消去律，即a b ⋅=b c ⋅推不出a c =， （2）向量数量积的运算不满足结合律，即()a b c ⋅⋅不一定等于()a b c ⋅ ． （3）向量数量积的运算不满足除法，即对于向量a b ⋅，若a b ⋅=k ，不能得到k a b =（或kb a=）．例如，当非零向量a b ⋅垂直时，a b ⋅=0，但0a b=显然是不正确的．知识点三 空间向量数量积的性质若,a b 是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ为a 与e 夹角，则： (l) cos e a a e a θ⋅=⋅=. (2) 0a b a b ⊥⇔⋅=(3)若a 与b 同向，则a b a b ⋅=；若a 与b 反向，则a b a b ⋅=-．特别地，2=a a a a a a ⋅=⋅或． (4)若θ为a 与b 的夹角．则cos =a b a bθ⋅.(5)a b a b ⋅≤. 拓展空间向量数量积的性质可以看作数量积的定义的．引申和拓展，空间向量数量积与向量的模和夹角有关，更多的是以它为工具解决立体几何中与夹角和距离有关的问题．例如．（1）求空间中两点间的距离或线段的长度，可以理解为求解为求相应线段所对应的向量的模． (2)求空间中两条直线的夹角（特别是两条异面直线所成的角），即求这两条直线所对应的两个向量的夹角或其补角．(3)证明线线垂直问题时，可以通过计算两条直线所对应的两向量的数量积为零来说明这两条直线垂直．考点一 空间向量数量积的运算问题例1 已知向量,a b 之间的夹角为30，且a =3，b =4，求22,,,(2)()a b a b a b a b ⋅+⋅-．解：0cos ,34cos3063a b a b a b ⋅==⨯⨯=，229a a a a =⋅==，2216b b b b =⋅==22(2)()2963326323a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=+-=-总结：有关向量数量积的运算应注意的问题：⑴要与数乘运算区分开，数乘运算的结果仍是向量，向量的数量积为实数． ⑵书写规范：不能写成a b ⨯，也不能写成ab ． ⑶向量数量积运算不满足结合律，也不满足消去律．(4)向量数量积与实数运算有很多是相同的，如平方差公式、完全平方公式、多项式展开法则等，但也有很多区别，要注意总结．考点二 利用向量的数量积求角例2如图3．1—30．在正方体1111ABCD A B C D -中，求向量1BC 与AC 的夹角的大小．解：方法1：因为11AD BC =，所以1CAD ∠的大小就等于1,BC AC因为△1CAD 为等边三角形，所以0160CAD ∠=，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒． 方法2．设正方体的棱长为1，()()()()111BCAC BCCC AB BC AD AA AB AD ⋅=+⋅+=+⋅+ 222110001AD AB AD AA AB AA AD AD AD =⋅++⋅+⋅=+++==又因为12,2BC AC ==，所以cos 11111,222BC AC BC AC BC AC⋅===⨯⋅， 因为[]1,0,BC AC π∈，所以1BC 与AC 的夹角的大小为60︒．求两个向量的夹角有两种方法：⑴结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；⑵先求a b ⋅，再利用公式cos ,a b a b a b⋅<>=，求cos ,a b <>，最后确定,a b <>．考点三 利用向量的数量积求距离例 3 已知线段AB 在平面α内，线段AC α⊥，线段BD AB ⊥，且与α所成的角是30︒，如果,AB a AC BD b ===，求C ，D 间的距离．解：如图，由AC α⊥，知AC AB ⊥，过点D 作'DD α⊥于点'D ，连接'BD ，则'30,,120DBD CA BD ∠=︒=︒，所以22||()CD CD CD CA AB BD ==++2||CA =+22222222||||2222cos120AB BD CA AB CA BD AB BD b a b b a b ++++=+++︒=+故22CD a b =+．总结：（1）线段长度的计算通常有两种方法：一是构建三角形，解三角形；二是向量法，计算相应向量的模，此时常需将待求向量转化为关系明确的向量（一般向几何体的棱上转化）．（2）应牢记并能熟练地考公式2222||()||||||222a b c a b c a b c a c a b b c ++=++=+++++．考点四 利用向量的数量积证明垂直例4 如图，在四面体O ABC -中，M,N,P,Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB OC =，求证：PM QN ⊥．分析：欲证PM QN ⊥，只要证明0PM QN =，需将PM QN 用其他向量表示后再进行计算． 证明：如图3．1-34，连接OM ，设,,OA a OB b OC c ===．因为P ，M 分别为OA ，BC 的中点，所以111()[()]222PM OM OP b c a b a c =-=+-=-+．同理，连接ON ，所以111()[()]222QN a c b b a c =+-=--+．所以22111[()]{[()]}(||||)224PM QN b a c b a c b a c =-+⋅--+=---．又因为AB OC =，所以||||b a c -=所以0PM QN =，所以PM QN ⊥，即PM QN ⊥．。
空间向量数量积
A F
B E
D C
A
D
A
B
C
图一
D
C B 图二
二、垂直问题
例1、在平面内一条直线与这个平面旳一条斜线旳射影 垂直，那么它也与这条斜线垂直。
已知，如图，PO、PA分别是平面 内旳垂线、斜线， AO是PA在平面 内旳射影， l 且l⊥OA， 求证：l ⊥PA.
P
O
l
A
例2、如图，m, n是平面内的两条相交直线， 如果l m, l n,求证：l .
① (a) • b (a • b);数乘结合律 ② a • b b • a;交换律 ③ a • (b c) a • b a • c.分配律
不能 不能
不一定
例1、已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等 于a， 点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，
求：(1)AB AC;(2)AD DB;(3)GF AC. A
l
m
g
n
例3、已知空间四边形 OABC中，AOB BOC AOC, 且OA OB OC, M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的 中点，求证：OG BC .
O
M
A
G
C
N
B
变式：正方体ABCD A1B1C1D1中，P是DD1的中点， O是底面ABCD的中心，求证： B1O 平面PAC .
（一）数量积旳定义
（1）空间向量旳夹角
已知两个非零向量 a,b ，在空间中任取一点O，作 OA a,OB b, 则AOB叫做向量a与b的夹角， 记作 a,b ,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（2）、数量积旳定义
①：零向量与任历来量旳数量积为0 ②： a • a a a cos a, a a 2
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用
高中几何知识解析向量的数量积与向量积在空间中的应用向量是几何学中一种常见的数学对象，它不仅可以用来表示空间中的定位和运动，还可以进行各种运算和应用。
在高中几何知识中，向量的数量积与向量积是两个重要的概念。
本文将详细解析这两个概念，并探讨它们在空间中的应用。
一、向量的数量积向量的数量积，也称为内积或点积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的数量积记作a·b，计算公式如下：a·b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃根据计算公式，我们可以得到一些有用的性质。
首先，当两个向量垂直时，它们的数量积为0，即a·b=0。
其次，数量积还可以表示两个向量之间夹角的余弦值，具体表达式如下：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
在实际应用中，数量积可以用来求解向量的投影、判断向量的垂直关系等。
例如，给定一个向量a和一个单位向量u，我们可以通过计算数量积来求得a在u方向上的投影。
具体计算方法如下：projₓᵤa = (a·u) u其中，pr ojₓᵤa表示向量a在u方向上的投影。
二、向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或外积，表示了两个向量之间的相对方向和大小关系。
设有两个向量a（a₁, a₂, a₃）和b（b₁, b₂, b₃），它们的向量积记作a×b，计算公式如下：a×b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁)向量积的大小可以通过计算它的模长得到，具体计算公式如下：|a×b| = |a| |b| sinθ其中，θ表示向量a和b之间夹角的大小，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
向量积在几何学和物理学中具有重要的应用。
例如，在几何学中，我们可以通过向量积来求得两个向量所在平面的法向量。
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3．1.5 空间向量的数量积[对应学生用书P59]在帮助日本地震灾区重建家园的过程中，中国某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为 5 000 kg ，在它的顶点处分别受大小相同的力F 1，F 2，F 3并且每两个力之间的夹角都是60°，(其中g ＝10 N/kg)．问题1：向量F 1和－F 2夹角为多少？ 提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？ 提示：设每个力大小为|F 0|，合力为|F |， 则|F |2＝(F 1＋F 2＋F 3)·(F 1＋F 2＋F 3) ＝(F 1＋F 2＋F 3)2 ＝6|F 0|2. ∴|F |＝6|F 0|. ∴|F 0|＝5 00066×10＝2 50063×10＝25 00063(N)．1．空间两个向量的夹角：，，〈2.如果〈a ，b 〉＝0，那么向量a 与b 同向； 如果〈a ，b 〉＝π，那么向量a 与b 反向；如果〈a ，b 〉＝π2，那么向量a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .两个向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉．①零向量与任何向量的数量积为0.②两非零向量a，b的夹角〈a，b〉可以由下面的公式求得cos〈a，b〉＝a·b|a||b|.③a⊥b⇔a·b＝0(a，b是两个非零向量)．④|a|2＝a·a＝a2.(2)运算律：①a·b＝b ·a；②(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c.在平面向量中，a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，我们知道a·b＝a1a2＋b1b2，那么在空间向量中，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．则a·b为多少？提示：a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.设空间两个非零向量a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则(1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(2)|a|(3)cos〈a，b.特别地，a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.1．数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零．2．数量积的运算不满足消去律和结合律，即a·b＝b·c推不出a＝c；(a·b)c≠a(b·c)．3．空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，可以用来求解线段的长度和夹角问题．[对应学生用书P60][例1] 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积：(1)·； (2)·.[思路点拨] 法一：基向量法：与，与的夹角不易求，可考虑用向量、、表示向量、、、，再求结论即可．法二：坐标法：建系→求相关点坐标→向量坐标→数量积．[精解详析] 法一：(基向量法)如图所示，设＝a ，＝b ，＝c ，则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0.(1)·＝·(＋)＝b ·⎣⎡⎦⎤12(c －a )＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝⎝⎛⎭⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.法二：(坐标法)以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B (2,0,0)，C (2,4,0)，E (1,0,1)，D 1(0,4,2)，F (0,2,2)，A (0,0,0)，B 1(2,0,2)，∴＝(0,4,0)，＝(－1,4,1)，＝(－2,2,2)，＝(2,0,2)， ∴(1)·＝0×(－1)＋4×4＋0×1＝16； (2)·＝－2×2＋2×0＋2×2＝0. [一点通]解决此类问题的常用方法有两种：(1)基向量法：首先选取基向量，然后用基向量表示相关的向量，最后利用数量积的定BC 1ED BF 1AB BC 1ED BF 1AB AB AD 1AA BC 1ED BF 1AB AB AD 1AA BC 1ED BC 1EA 11A D BF 1AB 1BA 1A F AB 1AA BC 1ED BF 1AB BC 1ED BF 1AB义计算．注意：基向量的选取要合理，一般选模和夹角都确定的向量．(2)坐标法：对于建系比较方便的题目，采用此法较简单，只需建系后找出相关点的坐标，进而得向量的坐标，然后利用数量积的坐标公式计算即可．1.如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，DC 的中点，试计算下列各式的值：(1)·；(2)·；(3) ·；(4)·. 解：在棱长为1的正四面体ABCD 中， (1)∵||＝||＝1，〈，〉＝60°， ∴·＝||||cos 60°＝1×1×12＝12；(2)∵||＝||＝1，〈，〉＝180°－60°＝120°， ∴·＝||||cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12； (3)∵||＝12，||＝1，又GF ∥AC ，∴〈，〉＝180°，∴·＝||||cos 180°＝12×1×(－1)＝－12；(4)∵＝－，又〈，〉＝〈，〉＝120°，∴·＝·(－)＝·－· ＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12－1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝0. 2．已知a ＝(－2,0，－5)，b ＝(3,2，－1)，求下列各式的值： (1)a ·a ；(2)|b |；(3)(3a ＋2b )·(a －b )． 解：(1)a ·a ＝a 2＝(－2)2＋02＋(－5)2＝29； (2)|b |＝b 2＝32＋22＋(－1)2＝14；(3)法一：因为3a ＋2b ＝3(－2,0，－5)＋2(3,2，－1)＝(0,4，－17)，a －b ＝(－2,0，－5)－(3,2，－1)＝(－5，－2，－4)，AB AC AD DB GF AC AD BC AB AC AB AC AB AC AB AC AD BD AD DB AD DB AD DB GF AC GF AC GF AC GF AC BC DC DB DC AD DB AD AD BC AD DC DB AD DC AD DB所以(3a ＋2b )·(a －b )＝(0,4，－17)·(－5，－2，－4)＝0×(－5)＋4×(－2)＋(－17)×(－4)＝60；法二：因为a ·b ＝(－2,0，－5)·(3,2，－1)＝(－2)×3＋0×2＋(－5)×(－1)＝－1， 所以(3a ＋2b )·(a －b )＝3a 2－a ·b －2b 2＝3×29－(－1)－2×14＝60.[例2] 如图所示，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝4，AD ＝3，AA ′＝5，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°.(1)求AC ′的长；(2)求与的夹角的余弦值．[思路点拨] 求线段长，要利用向量的方法求解，关键是找到表示的基向量，只要模与夹角均可知，则问题可求解，求夹角问题则是向量数量积的逆用．[精解详析] (1)∵＝＋＋， ∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·) ＝42＋32＋52＋2(0＋10＋7.5)＝85. ∴||＝85.(2)法一：设与的夹角为θ， ∵ABCD 是矩形，∴||＝32＋42＝5. ∴由余弦定理可得cos θ＝AC ′2＋AC 2－CC ′22AC ′·AC ＝85＋25－252·85·5＝8510.法二：设＝a ，＝b ，＝c ， 依题意得·＝(a ＋b ＋c )·(a ＋b ) ＝a 2＋2a ·b ＋b 2＋a ·c ＋b ·c＝16＋0＋9＋4×5×cos 60°＋3×5×cos 60° ＝16＋9＋10＋152＝852，AC 'AC AC 'AC 'AB AD AA 'AC 'AB AD AA 'AB AD AA 'AB AD AB AA 'AD AA 'AC 'AC 'AC AC AB AD AA 'AC 'AC∴cos θ＝·||·||＝85285×5＝8510.[一点通]1．求两点间的距离或某线段的长度，就是把此线段用向量表示，然后用|a |2＝a ·a ，即|a |＝a ·a 通过向量运算求|a |.2．对于空间向量a 、b ，有cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |.利用这一结论，可以较方便地求解异面直线所成角的问题，由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，π2，故〈a ，b 〉∈⎝⎛⎦⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，它们互补．3．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．解：∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，∴·＝－＝－1.又||＝2，||＝1＋2＝3，∴cos 〈，〉＝·||||＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66. 4.如图，已知线段AB ⊥平面α，BC ⊂α，CD ⊥BC ，DF ⊥平面α，且∠DCF ＝30°，D 与A 在α的同侧，若AB ＝BC ＝CD ＝2，求的模．解：∵＝＋＋，∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·.① ∵AB ＝BC ＝CD ＝2，∴||＝||＝||＝2.②又∵AB ⊥α，BC ⊂α，∴AB ⊥BC .∴·＝0.③ ∵CD ⊥BC ，∴·＝0.④ AC '1BA BA 1AA BA 1BB AC BC BA BA BC 1BB BA 1BB BC 1BA AC 2BA AC 1BA 1BA AC BA1AC AD AD AB BC CD AD AD AD AB BC CD AB BC CD AB BC CD AB BC BC CD AB CD AB BC CD AB BC CD BC把②③④代入①可得||2＝4＋4＋4＋2·＝12＋2||||cos 〈，〉 ＝12＋8cos 〈，〉．⑤ ∵∠DCF ＝30°，∴∠CDF ＝60°. 又∵AB ⊥α，DF ⊥α， ∴AB ∥DF .∴〈，〉＝〈，〉＝60°.∴〈，〉＝120°.代入⑤式得到＝12＋8cos 120°＝8，∴||＝2 2.[例3] 已知空间三点A (－2,0,2)、B (－1,1,2)、C (－3，0,4)．设a ＝，b ＝. (1)设|c |＝3，c ∥，求c ； (2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k .[思路点拨] 与共线，设λ →根据模列出关系式→求λ；(2)写出k a ＋b ，k a －2b 的坐标→利用垂直列关系式→求k .[精解详析] (1)∵＝(－2，－1,2)且c ∥， ∴设c ＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)． ∴|c |＝(－2λ)2＋(－λ)2＋(2λ)2＝3|λ|＝3. 解得λ＝±1.∴c ＝(－2，－1,2)或c ＝(2,1，－2)． (2)∵a ＝＝(1,1,0)，b ＝＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)． ∵(k a ＋b )⊥(k a －2b )， ∴(k a ＋b )·(k a －2b )＝0.即(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝2k 2＋k －10＝0. 解得k ＝2或k ＝－52.AD AB CD AB CD AB CD AB CD AB DC DF DC AB CD AD AB AC BC BC BC BC BC BC AB AC[一点通]向量平行与垂直问题主要有两种题型： (1)平行与垂直的判断；(2)利用平行与垂直求参数或其他问题，即平行与垂直的应用．5．将本例中条件“若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直”改为“若向量k a ＋b 与a ＋k b 互相平行”，其他条件不变，求k 的值．解：a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)， ∴k a ＋b ＝(k －1，k,2)，a ＋kb ＝(1,1,0)＋(－k,0,2k )＝(1－k,1,2k )， ∵k a ＋b 与a ＋k b 平行，∴k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －1，k,2)＝λ(1－k,1,2k )． ∴⎩⎪⎨⎪⎧k －1＝λ(1－k )，k ＝λ·1，2＝λ·2k ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－1，λ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，λ＝1.∴k 的值为±1.6．已知空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 证明：∵AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，∴·＝0，·＝0， ∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－－· ＝·－－·＝·(－－)＝·＝0. ∴⊥，从而AD ⊥BC .7．已知空间四边形OABC 中，M ，N ，P ，Q 分别为BC ，AC ，OA ，OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .证明： 如图，设＝a ，＝b ，＝c ，又P 、M分别为AB CD AC BD AD BC AB BD AC AB AB AC BD AC 2AB AB BD AB AC 2AB AB BD AB AC AB BD AB DC AD BC OA OB OCOA 、BC 的中点．∴＝－ ＝12(b ＋c )－12a ＝12[(b －a )＋c ]． 同理，＝－＝12(a ＋c )－12b＝－12[(b －a )－c ]．∴·＝12[(b －a )＋c ]·⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12[(b －a )－c ] ＝－14(|b －a |2－|c |2)．又AB ＝OC ，即|b －a |＝|c |.∴·＝0， ∴⊥，∴PM ⊥QN .1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b (b ≠0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3.但不等价于a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3.2．在处理两向量夹角为锐角或钝角时，一定要注意两向量共线的情况．[对应课时跟踪训练(二十二)]1．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量与的夹角为________． 解析：＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，∴cos 〈，〉＝332×2＝12，∴〈，〉＝60°.答案：60°2．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝________.PM OM OP QN ON OQPMQN PM QN PM QN AB AC AB AC AB AC AB AC解析：a ·b ＝2×3×cos 60°＝3.∴|2a －3b |＝4|a |2－12a ·b ＋9|b |2＝4×4－12×3＋81＝61.答案：613．若＝(－4,6，－1)，＝(4,3，－2)，|a|＝1，且a ⊥，a ⊥，则a ＝ ________________________________________________________________________.解析：设a ＝(x ，y ，z )，由题意有⎩⎪⎨⎪⎧a·＝0，a ·＝0，|a|＝1，代入坐标可解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝313，y ＝413，z ＝1213或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－313，y ＝－413，z ＝－1213.答案：⎝⎛⎭⎫313，413，1213或⎝⎛⎭⎫－313，－413，－1213 4．已知a ＝(1,1,0)，b ＝(0,1,1)，c ＝(1,0,1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝________. 解析：∵p ＝(1,1,0)－(0,1,1)＝(1,0，－1)， q ＝(1,1,0)＋2(0,1,1)－(1,0,1)＝(0,3,1)， ∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1. 答案：－15．如图，120°的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在两个半平面内，且都垂直于AB .若AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，则CD 的长为________．解析：∵AC ⊥AB ，BD ⊥AB ， ∴·＝0，·＝0.又∵二面角为120°，∴〈，〉＝60°， ∴2＝||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝164， ∴||＝241. 答案：241AB AC AB AC AB AC AC AB BD AB CA BD CD CD CA AB BD CA AB BD CA AB CA BD AB BD CD6．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值；(2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．解：k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)．(1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )，∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0.解得k ＝1063. 7．已知A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)，求△ABC 的面积． 解：∵＝(1,1,1)，＝(2,1,3)，∴||＝3，||＝14，·＝6，∴cos ∠BAC ＝cos 〈，〉＝·|||| ＝63×14＝427， ∴sin ∠BAC ＝1－cos 2A ＝17＝77， ∴S △ABC ＝12||||sin ∠BAC ＝12×3×14×77＝62. 8．在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点．建立空间直角坐标系，用向量方法解决下列问题．(1)求直线AO 1与B 1E 所成的角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于D ，求点O 1到点D 的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系．AB AC AB AC AB AC AB AC AC AB AB AC(1)由题意得A (2,0,0)，O 1(0,0,2)，B 1(2,3,2)，E (1,3,0)， ∴＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)，∴cos 〈，〉＝－2210＝－1010. 故AO 1与B 1E 所成的角的余弦值为1010. (2)由题意得⊥，∥， ∵C (0,3,0)，设D (x ，y,0)， ∴＝(x ，y ，－2)，＝(x －2，y,0)，＝(－2,3,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋3y ＝0，x －2－2＝y 3，解得⎩⎨⎧ x ＝1813，y ＝1213， ∴D ⎝⎛⎭⎫1813，1213，0.O 1D ＝||＝ ⎝⎛⎭⎫18132＋⎝⎛⎭⎫12132＋4 ＝1 144132＝228613. 1AO 1B E 1AO 1B E 1O D AC AD AC 1O D AD AC 1O D。