2019年春八年级数学下册小专题二二次根式运算规律的探究课件2
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
最新人教版八年级数学下册第16章二次根式全套课件PPT(完美版)
A≥0且B≠0.
A 1有意义的条件：
B
巩固练习
2. x取何值时,下列二次根式有意义?
（1） x 1
x≥1
（4） 1 x x>0
（2） 3x
x≤0
（5） x3
x≥0
（3） 4x2
x为全体实数
（6） 1 x2 x≠0
(7)
x 1 x3
(
x
2)0
(8)
x 2 （9） x2 1
x
∴当x=1时， x2 2x 1 在实数范围内有意义. (2)∵无论x为任何实数，-x2-2x-3=-(x+1)2-2＜0， ∴无论x为任何实数， x2 2x 3 在实数范围内都无意义.
归纳小结：被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项 进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
探究新知
归纳总结
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子叫做二 次根式. “ ”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
两个必备特征
①外貌特征：含有“ ” ②内在特征：被开方数a ≥0
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的定义识别二次根式
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
（1） 14 ； （2）81； （3） - 0.8 ；（4）-3x (x 0)
（1） 32
是
（2） -12 不是
（3）3 8
（4）4 a2
不是
不是
（5） - m (m 0) 是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1 不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是
1
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
人教版数学八年级下册-《二次根式(2)》系列课件
（1）5
（2）3.4
1 （3） 6
（4）x（x≥0）
能力提升
1．已知 x y 1 + x 3 = 0，求 xy 的值．
2． 在 实 数 范 围 内 分 解 下 列 因 式 :
（ 1） x2- 2 （3） 3x2-5
（ 2） x4-9 （4）x2-2 2 +2
聚焦中考
1．（2006。湖南）若 m 3 (n 1) 2 0 ，则
∴ x 3 ≥0 且 y 5 ≥0， ∴ x 3 =0 且 y 5=0； 即 x+3=0 且 y-5=0 解得 x=-3,y=5 ∴ xy= - 1 5 .
范例
范例点击
例 2 计算:
（1）（ 1.7 ）2；
（2）（2 5 ）2； （3）（ a2 1 ）2.
反馈练习
课本P4 练习 第1题
补充练习
探索新知
探究
根据算术平方根的意义填空：
（ 4 ）2=_______；（ 2 ）2=_______；
1 （ 3 ）2=______；（ 0 ）2=_______．
归纳
二次根式的性质2
（ a ）2=a（a≥0）
范例
范例点击
例 1 已知 x 3 + y 5=0，求 xy 的值是多少？
解：∵ x 3 + y 5 =0，
16.1 二次根式(2)
目标呈现
• 知识技能
理解并掌握二次根式的性质： a （ a≥0）是一个非负数和 （ a ）2= a（a ≥0），并利用它们进行计算和化简．
• 数学思考
乘方与开方互为逆运算在推导结论（ a ）2= a（a ≥0）中的
应用 . • 解决问题
利用二次根式的非负性和（ a ）2= a（a ≥0）解题.
八年级数学下册《二次根式》二根次式的乘除PPT公开课
复习提问 a2 = 把这个因式(或因数)开出来，将二次根
这个问题中，就直接将结果算成可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？
式(或因数)的算术平方根的积；
把被开方数分解因式(或因数) ；
（1）被开方数相乘的时候，可以考虑因数或因式分解，由直接可得而不必先写成再分解；
式(或因数)的算术平方根的积； (3)
二次根式乘法法则的逆运用
什么规律？请用一个等式表示规律.
C. 12 什么规律？请用一个等式表示规律.
(1)
；
D.
36
这个问题中，就直接将结果算成可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？
例3 计算：(1)
(2)
什么规律？请用一个等式表示规律.
( x＋3)( x－2)＝ x＋3 4.若 式(或因数)的算术平方根的积；
第十六章 二次根式
16.2 二根次式的乘除
第1课时 二次根式的乘法
Байду номын сангаас
学习目标
1.理解二次根式的乘法法则. 2.经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成 过程；会进行简单的二次根式的乘法运算；
复习引入，探究新知 我们前面已经学 习了二次根式的概念和性质，本节课开始我 们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次 根式的乘法.
什么规律？请用一个等式表示规律.
什么规律？请用一个等式表示规律.
两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指 数不变， 即： a b ab (a≥0，b≥0)．
二次根式的乘法法则
语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
注意：a,b都必须是非负数.
例1 计算： 解：(((112))) 3133 5257； 1(5213;) 2137= 297=.3. 如如 这例a什二例如B下（乘(二式式乘什经这式下式DBa经如 A二（式乘D会成什理122．....)果果个3么次3果列2法次((法么历个(列(历果次2(法进立么解或或或或或） ）==x因 问 规 根 各 法 根 法 规 二 问 各 二 因根 法 行 的 规 二≥因因因因因计计二二－式题律式式则式则律次题式次式 式则简条律次数数数数数把把算算次次3中中？乘化反乘反？根中化根中 乘反单件？根)))))这这：：根根的的的的的有，请法简过法过请式，简式有 法过的是请式个个((；式式算算算算算11平就用法后来法来用的就后的平 法来二什用的))因因的的术术术术术方直一则的就则就一乘直的乘方 则就次么一乘式式乘乘平平平平平式接个的结是的是个法接结法式 的是根？个法((法法方方方方方或或将等逆果积逆积等法将果法逆积式等等法((或 或运 运根根根根根因 因结式运为的运的式则结为则运的的式式则平平算算的的的的的数数果表用算用算表和果和用算乘反表33.方方类类积积积积积))((算示术术示积算积术法过示开开的的22数数似似；；；；；))成规平平规的成的平运来规出出是是B))于于，，．可律方方律算可算方算有律来来成 成(( 整整应应x以根根术以术根；什...，，立 立≥式式用用2吗的的平吗平的将将， ，))的的关关？性性方？方性二二那 那乘乘系系你质质根你根质次次么 么法法式式认，，的认的，根根xx运运应 应为性性性为性性算算满 满本质质质本质质，，足 足题是是的题的是交交什 什怎为为形怎形为换换么 么样运运成样成运律律条 条才算算过才过算、、件 件达服服程达程服结结？ ？到务务；到；务合合了的的了的律律化，，化，都都简积积简积是是的的的的的适适效算算效算用用果术术果术的的？平平？平.. 方方方根根根的的的性性性质质质将将将积积积的 的 的算算算术术术平平平方方方根根根分分分解解解成成成几几几个个个因因因数数数或或或因因因式式式的的的算算算术术术平平平方方方根根根的的的积积积...
人教版数学八年级下册二次根式的乘除(第2课时)教学课件
a a (a 0,b 0). bb
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项 式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根 式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后 再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
第二十三页，共三十一页。
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;
文字(wénzì)叙述:
算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根. 当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项 式法则，易得
m a m a (a 0,b 0,n 0). nb n b
第八页，共三十一页。
探究新知
素养考点 1 利用二次根式的除法法则(fǎzé)计算根号外因数是
（2）这些结果有什么共同特点，类比最简分数，你认为一个二次根 式满足什么条件就可以说它是最简了？
第十八页，共三十一页。
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件：
(1)被开方数不含分母或分母中不含______二__次__根__式；
(gēnshì)
(2)被开方数中不含____开__得__尽__方__的因数或因式. 注：当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后 再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数)，若是则说明含
探究新知
知识点 4
二次根式的应用
设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b. 已知 S 2 3,b 10，求a的值.
解:∵
∴ a S 2 3 2 3 10 30 .
b 10 10 10 5
第二十三页，共三十一页。
巩固练习
高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”．据报道：一个30g的
第四页，共三十一页。
探究新知
知识点 1 二次根式的除法
计算(jì suàn)下列
(1各) 式:4
9
2
___2÷___3=____3;
(2)
16 25
4
___4÷___5=____5;
(3)
36
6
___6÷___7=____7;
2019年春八年级数学下册二次根式的加减第2课时二次根式的混合运算课件(新版)新人教版
5 1 5 1 5 1 5 1 1, 5, xy 解： x y 2 2 2 2
x xy y x y xy
2 2 2
5
2
1 4.
随堂即练
6.阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式
2 的运算时，通常有 3 1
（ 5） （ 3） 53 2.
2 2
新课讲解
(3) 3 2 48
18 4 3 ;
(3) 3 2 48 18 4 3 解： 3 2 4 3 3 2 4 3
2 2
3 2 4 3
30.
新课讲解
(1) 解： (1) 3 6 - 2 ； 8 3 6 - 2 8
( 2) 2+ 2 1- 2 .
( 2) 2+ 2 1- 2
= 6 2 - 3 2 8
= 62 - 32 8
= 2- 2 2 + 2 - 2 2 = 2- 2 2 + 2 - 2
a 3, b 10 3.
a 2 b2
32 ( 10 3)2
3 10 3 3 10 3 10 6
10
6 10 10.
随堂即练
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 )3 3
B.( 12- 27) 3 1 D. 3( 2 3) 6 2 3
新课讲解
【变式题】计算：
(1) （ 3 2 3） 27+ 6 3 ；
人教版数学八下课件-二次根式
抓住被开方数必须为非 负数，从而建立不等式 或不等式组求出其解集.
二次根式 的双重非 负性
二次根式 a 中,a≥0且
a ≥0
第二课时
二次根式化简
返回
导入新知
【思考】下列数字谁能顺利通过下面两扇门进入客厅？
0 -4 1
1 2
1
-1
4
1 4
算术平方根之门
a
a
a≥0
平方之门
( a )2
我们都是非 负数哟！
x≥-1且x≠2
x>0
x为全体实数
探究新知 知识点 2 二次根式的双重非负性
【回顾思考】二次根式 a 的被开方数a的取值范围是什么？它 本身的取值范围又是什么？
当a＞0时， 表示a的算术平方根，因此 a＞0；当a=0时， 表示0的算术平方根，因此 a＝0 .这就是说，当a≥0时，a 0. 【新知思考】当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？
2x 1
解：由题意得
x 2 ≥0， 2x 1
则
2xx21≥＞00，，或
x 2≤0， 2x 1＜0，
解得x≥2或x＜
1 2
，
即当x≥2或x＜
1 2
时， x 2 有意义．
2x 1
课堂小结 二次根式
定义
带有二次根号 被开方数为非负数
在有意义 条件下求 字母的取 值范围
探究新知
在前面的问题中，得到的结果分别是： 3， S ，
（1）这些式子分别表示什么意义？
分别表示3，S，65，
h 5
的算术平方根．
（2）这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
人教版八年级下册数学《二次根式的混合运算》二次根式说课教学复习课件
）
随堂练习
3．已知＝ − ， 则代数式(＋ ) ＋ ＋ ＋ 的值是（C
．
A．
4．已知＝
－
， ＝
．＋
＋
． −
，则 ＋ ＋＝_______．
）
随堂练习
5．计算:
（1） (1＋ )(2－ )；
解： (1＋ )(2－ )
问卷调查，统计如下表所示：
颜色
学生人数
黄色 绿色 白色 紫色 红色
100
180
220
80
750
学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是( C )
A. 平均数
C. 众数
B. 中位数
D. 方差
课堂检测
基 础 巩 固 题
2.学习了《数据的分析》后，某同学对学习小组内甲、乙、丙、
丁四名同学的数学月考成绩进行了统计，发现他们的平均成绩
这些平均数受这个人的影响，而中位数是210件，众数
是210件，因此我们认为以210件为规定量比较科学.
巩固练习
1.甲、乙两位同学在几次数学测验中，各自的平均分都
是88分，甲的方差为0.61，乙的方差为0.72，则（ A
A、甲的成绩比乙的成绩稳定
B、乙的成绩比甲的成绩稳定
C、甲、乙两人的成绩一样好
D、甲、乙两人的成绩无法比较
＝( )²＋2× ×1＋1²
＝5－2
＝3＋2 ＋1
＝3．
＝4＋2 ．
典例精析
例3
计算下列各式：
（1）
；
−
解：
−
+
＝
( −)( +)
+
2019年春八年级数学下册小专题二二次根式运算规律的探究课件1
类型1
类型2
类型3
3.观察下列各式及验证过程:
①
1 2
-
1 3
=
1 2
23,
验证:
1 2
-
1 3
=
1 2×3
=
2 22×3
=
1 2
23;
②
1 2
1 3
-
1 4
=
1 3
38,
验证:
1 2
1 3
-
1 4
=
1 2×3×4
=
3 2×32×4
=
1 3
38;
③
1 3
1 4
-
1 5
=
1 4
145,
验证:
1 3
1 4
小专题( 二 ) 二次根式运算规律的探究
以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、独特、 综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式,从中 寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解决新的问题.
类型1
类型2
类型3
二次根式性质化简类
-
1 5
=
1 3×4×5
=
4 3×42×5
=
1 4
145;
…
类型1
类型2
类型3
(
1
)按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想,猜想
1 4
1 5
-
1 6
的变形结果并进
行验证;
( 2 )针对上述各式反映的规律,写出用 n( n 为任意的自然数,且 n≥2 )表示的等式,
并给出证明.
解:(
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4.将 1, 2, 3三个数按图中方式排列,若规定( a,b )表示第 a 排第 b 列的数,则 ( 8,2 )与( 2018,2018 )表示的两个数的积是( B )
1
第1排
3
2
第2排
3
2
1
第3排
…
A. 6 C. 3
1 第4列
B.3 D.1
3 第3列
2 第2列
1 第1列
第4排 …
类型1类型2类型3来自3=62
2.
5.下面是一个按某种规律排列的数阵:
1
2
第1行
32
5
6
第2行
7 22
3
10
11 2 3
第3行
13
14
15 4
17 3 2
…
…
…
……
…
19 2 5 第 4 行
…
……
根据数阵排列的规律,第 n( n 是整数,且 n≥3 )行从左向右数第 n-2 个数
是 ������2-2 .( 用含 n 的代数式表示 )
类型1
类型2
类型3
6.现有一组有规律的数:
1,-1, 2,- 2, 3,- 3,1,-1, 2,- 2, 3,- 3,…,其中 1,-1, 2,- 2, 3,- 3这六个数按此规律 重复出现.
( 1 )第50个数是什么数? ( 2 )把从第1个数开始的前2017个数相加,结果是多少? ( 3 )从第1个数起,把连续若干个数的平方相加,如果和为520,那么一共是多少个数的 平方相加?
小专题( 二 ) 二次根式运算规律的探究
以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、独特、 综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式,从中 寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解决新的问题.
类型1
类型2
类型3
二次根式数列规律探究类
类型1
类型2
类型3
8.先阅读下面的解答过程,然后作答: 形如 ������ ± 2 ������的化简,只要我们找到两个数 a,b 使 a+b=m,ab=n,这样
( ������ )2+( ������ )2=m, ������ · ������ = ������,那么便有 ������ ± 2 ������ = ( ������ ± ������ )2 = ������ ±
������( a>b ).例如:化简 7 + 4 3. 解:首先把 7 + 4 3化为 7 + 2 12,这里 m=7,n=12, 由于 4+3=7,4×3=12,即( 4 )2+( 3 )2=7, 4 × 3 = 12,
∴ 7 + 4 3 = 7 + 2 12 = ( 4 + 3 )2=2+ 3.
即一共是 261 个数的平方相加.
- 3 )=0, )2=12,
类型1
类型2
类型3
有理化因式化简类
7.观察下面的变形规律:
1=
2+1
2-1,
1 3+
2
=
3−
2, 1 =
4+ 3
4−
3, 1 =
5+ 4
5−
4,…
解答下面的问题:
(
1
)若 n 为正整数,请你猜想
1 ������+1+
������=
������ + 1 − ������ ;
(
2
)计算:
1 2+1
+
1 3+
2+
1 4+
3+…+
1 2019+
2018
×(
原式=[( 2-1 )+( 3 − 2 )+( 4 − 3 )+…+(
2019+1 ). 2019 −
2018 )]×( 2019+1 )
=( 2019-1 )×( 2019+1 )=( 2019 )2-12=2019-1=2018.
类型1
类型2
类型3
由上述例题的方法化简:
( 1 ) 13-2 42;
( 2 ) 7- 40;
( 3 ) 2- 3.
解:( 1 ) 13-2 42 = ( 7- 6 )2 = 7 − 6.
( 2 ) 7- 40 = 7-2 10 = ( 5- 2 )2 = 5 − 2.
(
3
) 2- 3 =
8-4 4
类型1
类型2
类型3
解:( 1 )∵50÷6=8……2, ∴第 50 个数是-1.
( 2 )∵2017÷6=336……1,且 1+( -1 )+ 2+( - 2 )+ 3+( ∴从第 1 个数开始的前 2017 个数的和是 336×0+1=1.
( 3 )∵12+( -1 )2+( 2 )2+( - 2 )2+( 3 )2+( - 3 520÷12=43……4,且 12+( -1 )2+( 2 )2=4, ∴43×6+3=261,
1
第1排
3
2
第2排
3
2
1
第3排
…
A. 6 C. 3
1 第4列
B.3 D.1
3 第3列
2 第2列
1 第1列
第4排 …
类型1类型2类型3来自3=62
2.
5.下面是一个按某种规律排列的数阵:
1
2
第1行
32
5
6
第2行
7 22
3
10
11 2 3
第3行
13
14
15 4
17 3 2
…
…
…
……
…
19 2 5 第 4 行
…
……
根据数阵排列的规律,第 n( n 是整数,且 n≥3 )行从左向右数第 n-2 个数
是 ������2-2 .( 用含 n 的代数式表示 )
类型1
类型2
类型3
6.现有一组有规律的数:
1,-1, 2,- 2, 3,- 3,1,-1, 2,- 2, 3,- 3,…,其中 1,-1, 2,- 2, 3,- 3这六个数按此规律 重复出现.
( 1 )第50个数是什么数? ( 2 )把从第1个数开始的前2017个数相加,结果是多少? ( 3 )从第1个数起,把连续若干个数的平方相加,如果和为520,那么一共是多少个数的 平方相加?
小专题( 二 ) 二次根式运算规律的探究
以二次根式的运算为载体的规律探究题是中考常考题型之一,这类题新颖、独特、 综合性强.解此类题先要通过观察题目中所给出的若干个与二次根式有关的算式,从中 寻找它们的共性,进而归纳、猜想出一般的结论,再利用探究的结论解决新的问题.
类型1
类型2
类型3
二次根式数列规律探究类
类型1
类型2
类型3
8.先阅读下面的解答过程,然后作答: 形如 ������ ± 2 ������的化简,只要我们找到两个数 a,b 使 a+b=m,ab=n,这样
( ������ )2+( ������ )2=m, ������ · ������ = ������,那么便有 ������ ± 2 ������ = ( ������ ± ������ )2 = ������ ±
������( a>b ).例如:化简 7 + 4 3. 解:首先把 7 + 4 3化为 7 + 2 12,这里 m=7,n=12, 由于 4+3=7,4×3=12,即( 4 )2+( 3 )2=7, 4 × 3 = 12,
∴ 7 + 4 3 = 7 + 2 12 = ( 4 + 3 )2=2+ 3.
即一共是 261 个数的平方相加.
- 3 )=0, )2=12,
类型1
类型2
类型3
有理化因式化简类
7.观察下面的变形规律:
1=
2+1
2-1,
1 3+
2
=
3−
2, 1 =
4+ 3
4−
3, 1 =
5+ 4
5−
4,…
解答下面的问题:
(
1
)若 n 为正整数,请你猜想
1 ������+1+
������=
������ + 1 − ������ ;
(
2
)计算:
1 2+1
+
1 3+
2+
1 4+
3+…+
1 2019+
2018
×(
原式=[( 2-1 )+( 3 − 2 )+( 4 − 3 )+…+(
2019+1 ). 2019 −
2018 )]×( 2019+1 )
=( 2019-1 )×( 2019+1 )=( 2019 )2-12=2019-1=2018.
类型1
类型2
类型3
由上述例题的方法化简:
( 1 ) 13-2 42;
( 2 ) 7- 40;
( 3 ) 2- 3.
解:( 1 ) 13-2 42 = ( 7- 6 )2 = 7 − 6.
( 2 ) 7- 40 = 7-2 10 = ( 5- 2 )2 = 5 − 2.
(
3
) 2- 3 =
8-4 4
类型1
类型2
类型3
解:( 1 )∵50÷6=8……2, ∴第 50 个数是-1.
( 2 )∵2017÷6=336……1,且 1+( -1 )+ 2+( - 2 )+ 3+( ∴从第 1 个数开始的前 2017 个数的和是 336×0+1=1.
( 3 )∵12+( -1 )2+( 2 )2+( - 2 )2+( 3 )2+( - 3 520÷12=43……4,且 12+( -1 )2+( 2 )2=4, ∴43×6+3=261,