三角函数实际应用
三角函数的实际应用教案
三角函数的实际应用教案引言：三角函数是数学中的一门重要的分支，深入了解三角函数的实际应用对学生的数学学习非常有帮助。
本教案将重点介绍三角函数在实际问题中的应用，包括测量角度、计算距离、解决力学问题等方面。
通过生动的实例和具体的应用场景，帮助学生理解三角函数的实际用途，并能运用所学知识解决实际问题。
一、测量角度的应用在很多行业和领域，测量角度是一项重要的工作，比如在建筑、地理、天文等方面。
三角函数在测量角度中起到了重要的作用。
1.1 借助三角函数来测量高楼的高度和距离假设有一座高楼，我们想要测量其高度。
我们可以站在离高楼一定距离的地方，观察该楼顶的角度，并利用正切函数来计算出该高楼的高度。
同样的道理，我们也可以借助三角函数来测量物体与观察者的距离。
1.2 三角函数在地理测量中的应用地理中的经纬度可以用角度来表示。
通过使用正弦、余弦和正切函数，我们可以计算出两个位置之间的距离、方向以及夹角。
这对于地理探索和导航都非常关键。
二、力学问题中的三角函数应用在力学问题中，三角函数也扮演着重要的角色。
下面我们将介绍一些力学问题中常见的三角函数应用。
2.1 借助三角函数解决平面力学问题平面力学问题经常涉及到角度，通过使用三角函数，我们可以计算出斜面上物体的重力分量、摩擦力等。
比如，在解决斜面上的坡道问题时，我们可以通过分解力的方法，利用正弦和余弦函数来计算各个分力的大小。
2.2 三角函数在弹道学中的应用弹道学是研究物体弹射和运动轨迹的学科，三角函数在解决弹道学问题中起到了重要的作用。
通过应用正弦、余弦和正切函数，我们可以计算出物体在不同发射角度和速度下的轨迹和落点。
三、三角函数在电工电子领域中的应用三角函数在电工电子领域中也有广泛的应用。
下面我们将介绍一些典型的应用场景。
3.1 交流电中的正弦函数交流电是一种周期性变化的电流，可以用正弦函数来描述。
通过应用三角函数，我们可以计算出交流电的频率、幅值等。
这在电工领域中非常重要。
初三数学《三角函数的实际应用》答案
专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【详解】解：在直角三角形ACO中，sin75°＝＝≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°＝＝≈，解得BC≈67.3．答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【详解】解：如图，作AE⊥CD于点E．则CE＝AB＝15米．∵在直角△ACE中，tan∠EAC＝，∴AE＝＝＝18.75（米）．∵直角△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝＝≈30（米）．答：楼顶A到塔顶D的距离约为30米．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB•cos67°＝520×＝＝200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×＝，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【详解】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∵tan∠AEB＝，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【详解】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，tan31°＝，∴BD＝≈＝x，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，tan39°＝，∴CD＝≈＝x，∵BC＝BD﹣CD，∴x﹣x＝80，解得：x＝180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，sin39°＝，∴AC＝＝≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【详解】解：作FG⊥AB于G，设AB为x米，由题意得，四边形FDBG为矩形，∴BG＝DF＝2.4，FG＝BD，∵FG∥BD，∴∠FED＝∠GFE＝67°，在Rt△EDF中，tan∠FED＝，∴DE＝≈2.4÷＝1，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝AG＝x﹣2.4，在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，即BE＝≈x，由题意得，x﹣2.4＝1+x解得，x≈6，答：旗杆AB的高度约为6米．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE＝x，由题意得，EF＝BE﹣CD＝56﹣27＝29m，AF＝AE+EF＝（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝（x+29）m，则CF＝≈＝x+，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝x+56，则BD＝AB＝x+56，∵CF＝BD，∴x+56＝x+，解得：x＝52，答：该铁塔的高AE为52米．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，设DE的长为x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE约为70米．题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【详解】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10（海里），在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【详解】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ，//AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin 3280322BF BD =︒=⨯≈， 1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为139m ．【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【详解】解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC AN ⊥于D ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，30DAC ∠=︒，1102CD AC ∴==，AD =．在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，68DAB ∠=︒，22B ∴∠=︒，46.81sin ADAB B ∴=≈∠，cos 46.810.9343.53BD AB B =∠≈⨯=，43.531033.53BC BD CD ∴=-=-=，答：救生船到达B 处行驶的距离是33.53km ．【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到B、C两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【详解】解：过B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝x千米，∵AC＝15.3千米，∴CD＝AC﹣AD＝（15.3﹣x）千米，在Rt△BCD中，∠C＝37°，∴tan37°＝＝0.7，即x＝（15.3﹣x）×0.7，解得：x＝6.3，即BD＝6.3千米，∵sinC＝＝0.6，即BC＝＝＝10.5≈11千米，则B，C两地的距离为11千米．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝＝x，由题意得，840﹣x+x＝500，解得，x＝480，答：点O到BC的距离为480m．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【详解】解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．∵AB∥PQ，BF∥AP，∴四边形APFB是平行四边形，∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x•tan70°，QE＝35×tan35°，可得x•tan70°﹣35×tan35°＝3，解得x＝．答：点P到河岸线l的距离是千米；（2）∵BQ ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，∴该游轮按原速度从点Q 驶向码头B 的时间为：÷30＝（小时）． 答：若该游轮按原速度从点Q 驶向码头B ，则它至少需要小时才能到达码头B ．【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈【详解】解：作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，设AD 为xnmile ，由题意得，906723B ∠=︒-︒=︒，904545ACD ∠=︒-︒=︒，则tan 45CD AD x =︒=，12tan 675BD AD x =︒≈，BD CD BC -=， 由题意得，12125x x -=， 解得607x =，6087nmile nmile <，∴渔船没有触礁的危险．题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．（1）求CD与AB之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【详解】解：（1）CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵＝tan37°，＝tan67°，∴BF＝≈x，AE＝≈x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x+x+20＝62，解得：x ＝24，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝≈＝40，AD ＝≈＝26，∴AD+DC+CB ﹣AB ＝40+20+26﹣62＝24（米），答：他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．【变式1-1】如图，某学校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，在距离CD 正后方28米的观测点P 处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C 恰好挡住教学楼的顶端A ，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E 处，测的教学楼的顶端A 的仰角为45︒，求教学楼AB 的高度（结果保留整数，2tan 22)5︒≈．【详解】解：如图，作EF AB ⊥于F ，则四边形EFBD 是矩形．45AEF ∠=︒，90AFE ∠=︒，45AEF EAF ∴∠=∠=︒，EF AF ∴=，设EF AF x ==，则BD EF x ==，在Rt PAB ∆中，2AB x =+，28PB x =+，tan 22ABPB ∴︒=， ∴22528x x +=+， 解得15x ≈，217AB x ∴=+=．答：教学楼AB 的高度约为17m ．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【详解】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN ＝BD＝24m，设AM＝xm，则CN＝xm，在Rt△AFM中，MF＝，在Rt△CNH中，HN＝，∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，即8＝x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【详解】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE 的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【详解】解：由题意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，则AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【详解】解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.8（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.8（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【详解】解：分别过C，D作CF⊥AE于F，DG⊥AE于F，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠FCD＝90°，∴四边形CFGD是矩形，∴CD＝FG＝30m，CF＝DG，在直角三角形ADG中，∠DAG＝45°，∴AG＝DG，在直角三角形BCF中，∠FBC＝73°，∴tan∠FBC＝，tan73°＝，即，解得DG＝，∵AG＝AB+BF+FG＝DG，即10+BF+30＝，解得：BF＝m，则DG＝m，答：这条河的宽度为m．【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△ADM中，＝，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈13．答：树高BC约13米．2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）【详解】解：设CD＝x米．在Rt△ACD中，，则，∴；在Rt△BCD中，tan48°＝，则，∴．（4分）∵AD+BD＝AB，∴，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．（6分）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）【详解】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，∴AD：DB＝1：即DB＝AD．在Rt△ADB中，∵AD2+DB2＝AB2，∴AD2+3AD2＝102解得AD＝±5．因为﹣5不合题意，所以AD＝5．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝≈≈19.2（m）答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝5，∴EF＝BEsin68°＝4.65，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+4.65≈67.7（cm），答：点E到地面的距离约为67.7cm．。
应用三角函数解决实际问题
应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中重要的概念之一，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。
在实际生活中，我们可以利用三角函数解决各种实际问题，例如测量高楼的高度、计算船只与灯塔之间的距离等。
本文将通过几个具体的例子，详细介绍如何应用三角函数解决实际问题。
一、测量高楼的高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但是无法直接测量。
此时，我们可以利用三角函数中的正切函数来解决这个问题。
我们可以站在离这座高楼较远的地方，仰望其顶部，并找到一个合适的角度。
然后，通过测量自己所站位置与地面的距离，以及仰望高楼时的角度，利用正切函数可以计算出高楼的高度。
例如，假设我们站在离高楼的位置为100米的地方，仰望高楼的角度为30度。
我们可以利用三角函数中的正切函数，根据公式tan(角度) = 高楼高度 / 100，计算出高楼的高度为100 * tan(30度) = 57.74米。
因此，高楼的高度约为57.74米。
二、计算船只与灯塔之间的距离假设我们在海上驾驶一艘船，远处有一座灯塔，我们想要知道船只与灯塔的距离。
此时，我们可以利用三角函数中的正弦函数来解决这个问题。
我们可以站在船只上，观察灯塔并记录下观察的角度。
然后，通过测量船只与海平面的高度，以及观察灯塔时的角度，利用正弦函数可以计算出船只与灯塔的距离。
例如，假设船只与海平面的高度为10米，我们观察灯塔的角度为45度。
我们可以利用三角函数中的正弦函数，根据公式sin(角度) = 灯塔的高度 / 距离，计算出船只与灯塔的距离为10 / sin(45度) = 14.14米。
因此，船只与灯塔的距离约为14.14米。
三、求解三角形的边长在一些实际问题中，给定三角形的某些角度和边长，我们需要求解其他未知边长。
这时，可以利用三角函数中的正弦、余弦、正切等函数来解决。
例如，已知一个直角三角形的直角边长分别为3和4，我们需要求解斜边的长度。
根据勾股定理，我们知道斜边的长度可以通过勾股定理计算得出：斜边的平方等于两个直角边平方和。
三角函数的应用解决实际问题
三角函数的应用解决实际问题三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，尤其是在解决实际问题时。
本文将探讨三角函数在解决实际问题中的应用，并详细介绍其中的几个例子。
一. 三角函数在建筑学中的应用建筑学是一个重要的应用领域，三角函数在其中扮演着至关重要的角色。
例如，建筑师在设计建筑物时需要考虑到各种因素，比如建筑物的倾斜角度。
通过三角函数的应用，可以计算出建筑物与水平面的夹角，从而确定建筑物的稳定性和美观性。
二. 三角函数在天文学中的应用天文学是研究天体运动和天象现象的学科。
三角函数在天文学中被广泛用于计算天体的位置、距离和速度等。
例如，通过观测天体的高度角和方位角，结合三角函数的计算，可以确定天体在夜空中的具体位置。
这对于研究天体运动和预测天象现象具有重要意义。
三. 三角函数在物理学中的应用物理学是研究物质和能量之间相互关系的学科。
三角函数在物理学中的应用涵盖了多个方面。
一个典型的例子是在力学中，通过三角函数的应用可以计算力的分解和合成。
例如，当一个物体受到两个力的作用时，通过三角函数的计算可以确定合力的大小和方向，从而推导出物体的运动状态。
四. 三角函数在航海学中的应用航海学是研究航海导航和船舶运动的学科，而三角函数则是航海学中不可或缺的工具。
比如，当船只在海上航行时，通过观测太阳或星星的高度角以及时间信息，结合三角函数的计算，可以确定船只的经纬度位置。
这对于船只的导航和航行安全至关重要。
五. 三角函数在工程学中的应用工程学是研究各种工程问题的学科，三角函数在其中扮演着重要的角色。
比如，当工程师在设计桥梁或者斜坡时，需要考虑力的平衡问题。
通过三角函数的应用，可以计算工程结构的受力情况，从而确保工程的安全性和稳定性。
综上所述，三角函数在解决实际问题中发挥着重要的作用，涵盖了多个领域。
从建筑学到天文学，从物理学到航海学和工程学，三角函数的应用都有着不可忽视的地位。
因此，熟练掌握三角函数的概念和应用方法，对于解决实际问题具有重要意义。
浅谈生活中三角函数的应用
浅谈生活中三角函数的应用三角函数是高中数学中的重要内容，不仅仅是理论部分，也有着广泛的实际应用。
在生活中，我们常常会遇到一些与三角函数相关的情景，下面就让我们浅谈一下生活中三角函数的应用。
三角函数在物理中有着广泛的应用。
例如在力学中，通过三角函数可以描述物体在斜面上的运动情况，包括斜面上物体的加速度、速度和位移等。
斜面上的物体运动可以拆解成沿斜面方向和垂直斜面方向两个分量，而这两个分量的关系就可以通过三角函数来描述。
在电磁学中，三角函数也被用于描述电流和电压的变化规律，常见的交流电流正弦波就是一个典型的例子。
在工程领域中，三角函数也有着重要的应用。
例如在土木工程中，通过三角函数可以计算建筑物的高度、重量等参数，进而对建筑物的结构进行设计和评估。
在机械工程中，三角函数则可以用来描述物体的旋转运动，通过正弦和余弦函数可以计算物体的角速度和角加速度等。
三角函数还在计算机图形学中有着非常重要的应用，通过正弦和余弦函数可以计算出图形的旋转、放缩和位移等。
三角函数在日常生活中也有一些实际应用。
例如在航海领域，通过正弦和余弦函数可以计算出船只的航向和速度等信息，帮助船员进行导航和航行。
在测量领域，三角函数也被广泛应用于测量不可测量的角度，例如可以通过测量一个三角形的边长和角度，来计算出其他边长和角度的值。
三角函数在生活中有着广泛的应用。
通过三角函数，我们可以描述物体的运动、建筑物的结构、图形的变换、船只的导航等等，可以说是数学中的重要工具之一。
对于学习三角函数，我们不仅要理解其理论知识，更要注重其实际应用，将其运用到实际生活中，提高我们的问题解决能力和创新思维。
专题01 三角函数的实际应用(原卷版)
一、三角函数的实际应用知识点拨一、在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定义边范围数量关系正弦斜边的对边A A ∠=sin ca A =sin 1sin 0<<A (∠A 为锐角)余弦斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A 正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A b a A =tan 0tan >A (∠A 为锐角)余切的对边的邻边A A A ∠∠=cot a b A =cot 0cot >A (∠A 为锐角)BA cot tan =B A tan cot =A A cot 1tan =(倒数)1cot tan =⋅AA 二、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值三角函数0°30°45°60°90°αsin 02122231αcos 12322210αtan 03313不存在αcot 不存在31330三、常见术语：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
对边邻边A C(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即hi l =。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α==。
例题演练一．选择题（共20小题）1．如图，为了测量旗杆AB 的高度，小明在点C 处放置了高度为2米的测角仪CD ，测得旗杆顶端点A 的仰角∠ADE ＝50.2°，然后他沿着坡度为i ＝的斜坡CF 走了20米到达点F ，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B ．则旗杆AB 的高度约为（ ）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A ．8.48B ．14C ．18.8D ．30.82．我校兴趣小组同学为测量校外“御墅临枫”的一栋电梯高层AB 的楼高，从校前广场的C 处测得该座建筑物顶点A 的仰角为45°，沿着C 向上走到30米处的D 点．再测得顶点A 的仰角为22°，已知CD 的坡度：i ＝1：2，A 、B 、C 、D 在同一平面内，则高楼AB 的高度为（ ）（参考数据；sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）:i h l =hlαA．60B．70C．80D．903．小敏利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方130米的D 处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A ，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．146.4米B．222.9米C．225.7米D．318.6米4．重庆实验外国语学校某数学兴趣小组，想测量华岩寺内七佛塔的高度，他们在点C处测得七佛塔顶部A处的仰角为45°，再沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡CD向上走了5.2米到达点D，此时测得七佛塔顶部A的仰角为37°，七佛塔AB所在平台高度EF为0.8米，则七佛塔AB的高约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）A．20.8B．21.6C．23.2D．245．春节期间，某老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边．”邀约好友一起在江边垂钓，如图，河堤AB的坡度为1：2.4，AB长为5.2米，钓竿AC与水平线的夹角是60°，其长为6米，若钓竿AC与钓鱼线CD的夹角也是60°，则浮漂D与河堤下端B 之间的距离约为（ ）（参考数据：＝1.732）A．2.33米B．2.35米C．2.36米D．2.42米6．如图，为测量观光塔AB的高度，冬冬在坡度i＝1：2.4的斜坡CD的D点测得塔顶A的仰角为52°，斜坡CD长为26米，C到塔底B的水平距离为9米．图中点A，B，C，D在同一平面内，则观光塔AB的高度约为（ ）米．（结果精确到0.1米，参考数据：sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）A．10.5米B．16.1米C．20.7米D．32.2米7．如图，一棵松树AB挺立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为52米，坡度为i＝12：5，小张从与点C相距60米的点D处向上爬12米到达观景台DE的顶端点E，在此测得松树顶端点A的仰角为39°，则松树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．16.8米B．28.8米C．40.8米D．64.2米8．小明和好朋友一起去三亚旅游，他们租住的酒店AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡CD上，酒店AB高为129米．某天，小明在酒店顶楼的海景房A处向外看风景，发现酒店前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线上的点D的距离CD为260米，雕像C与酒店AB的水平距离为36米，他站在A处还看到远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线上的点D的距离ED的长大约为（ ）米．（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．2769．保利观澜旁边有一望江公园，公园里有一文峰塔，工程人员在与塔底中心的D同一水平线的A处，测得AD＝20米，沿坡度i＝0.75的斜坡AB走到B点，测得塔顶E仰角为37°，再沿水平方向走20米到C处，测得塔顶E的仰角为22°，则塔高DE为（ ）米．（结果精确到十分位）（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）A．18.3米B．19.3米C．20米D．21.2米10．小李同学想测量广场科技楼CD的高度，他先在科技楼正对面的智慧楼AB的楼顶A点测得科技楼楼顶C点的仰角为45°．再在智慧楼的楼底B点测得科技楼楼顶C点的仰角为61°，然后从楼底B点经过4米长的平台BF到达楼梯F点，沿着坡度为i＝1：2.4的楼梯向下到达楼梯底部E点，最后沿水平方向步行20米到达科技楼楼底D点（点A、B、C、D、E 、F在同一平面内，智慧楼AB和科技楼CD与水平方向垂直）．已知智慧楼AB的高为24米，则科技楼CD的高约为（ ）米．（结果精确到0.1，参考数据：sin61°≈0.87．cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）A．54.0B．56.4C．56.5D．56.611．某游客乘坐“金碧皇宫号游船”在长江和嘉陵江的交汇处A点，测得来福士最高楼顶点F的仰角为45°，此时他头顶正上方146米的点B处有架航拍无人机测得来福士最高楼顶点F的仰角为31°，游船朝码头方向行驶120米到达码头C，沿坡度i＝1：2的斜坡CD 走到点D，再向前走160米到达来福士楼底E，则来福士最高楼EF的高度约为（ ）（结果精确到0.1，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.87，tan31°≈0.60）A．301.3米B．322.5米C．350.2米D．418.5米12．如图是杨家坪步行街某天桥扶梯横截面的平面图．身高为1.5米的小明站在距离扶梯底端A处8米远的点P处，测得扶梯顶端B的仰角为18°，扶梯AB的坡度i＝3：4，已知扶梯顶端B到天桥顶部的距离为2.3米，则小明所在位置点P到天桥顶部的距离是（ ）（参考数据：sin18°≈0.29，cos18°≈0.95，tan18°≈）A．12.3米B．9.8米C．7.9米D．7.5米13．如图，在某山坡前有一电视塔．小明在山坡坡脚P处测得电视塔顶端M的仰角为60°，在点P处小明沿山坡向上走39m到达D处，测得电视塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝1：2.4，请你计算电视塔的高度ME约为（ ）m．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）A．59.8B．58.8C．53.7D．57.914．如图，万达广场主楼楼顶立有广告牌DE，小辉准备利用所学的三角函数知识估测该主楼的高度．由于场地有限，不便测量，所以小辉沿坡度i＝1：0.75的斜坡从看台前的B处步行50米到达C处，测得广告牌底部D的仰角为45°，广告牌顶部E的仰角为53°（小辉的身高忽略不计），已知广告牌DE＝15米，则该主楼AD的高度约为（ ）（结果精确到整数，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）A．80m B．85m C．89m D．90m15．图中的阴影部分是某水库大坝横截面，小明站在大坝上的A处看到一棵大树CD的影子刚好落在坝底的B处（点A与大树及其影子在同一平面内），此时太阳光与地面的夹角为60°，在A处测得树顶D的俯角为15°，如图所示，已知斜坡AB的坡度i＝：1，若大树CD的高为8米，则大坝的高为（ ）米（结果精确到1米，参考数据≈1.414 ≈1.732）（ ）A．18B．19C．20D．2116．3月中旬某中学校园内的樱花树正值盛花期，供全校师生驻足观赏．如图，有一棵樱花树AB垂直于水平平台BC，通往平台有一斜坡CD，D、E在同一水平地面上，A、B、C、D、E均在同一平面内，已知BC＝3米，CD＝5米，DE＝1米，斜坡CD的坡度是，李同学在水平地面E处测得树冠顶端A的仰角为62°，则樱花树的高度AB约为（ ）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.88）A．9.16米B．12.04米C．13.16米D．15.04米17．某数学兴趣小组在歌乐山森林公园借助无人机测量某山峰的垂直高度AB．如图所示，无人机在地面BC上方120米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC的坡度为1：0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则山峰的垂直高度AB约为（ ）（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）A．141.4米B．188.6米C．205.7米D．308.6米18．小菁在数学实践课中测量路灯的高度．如图，已知她的身高AB1.2米，她先站在A处看路灯顶端O的仰角为35°，再往前走3米站在C处，看路灯顶端O的仰角为65°．那么该路灯顶端O到地面的距离约为（ ）（sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2 .1）A．3.2米B．3.9米C．4.4米D．4.7米19．如图，某班数学兴趣小组利用数学知识测量建筑物DEFC的高度．他们从点A出发沿着坡度为i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到达点B处，此时测得建筑物顶端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD为水平的地面，则此建筑物的高度CD约为（ ）米．（参考数据：≈1.7，tan35°≈0.7）A．23.1B．21.9C．27.5D．3020．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥D E，则旗杆AB的高度是（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.8。
三角函数的应用
三角函数的应用三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。
它们的应用范围广泛，包括工程学、物理学、天文学以及其他科学和技术领域。
本文将介绍几个三角函数的应用案例，并说明其在实际问题中的重要性。
1. 三角函数在航海中的应用航海是利用船只进行远洋航行的一门学科，而三角函数则在航海中起到了至关重要的作用。
例如，当船只需要导航时，可以利用正弦函数来计算出太阳或者星星的高度，从而确定船只的位置。
同样地，利用余弦函数可以计算海上两个点之间的距离。
同时，正切函数还可以帮助船只确定自身的航向和角度。
因此，三角函数在航海中的应用是不可或缺的。
2. 三角函数在建筑和工程中的应用在建筑和工程领域，三角函数也扮演着重要的角色。
例如，在设计建筑物时，我们需要利用正弦函数计算出各种角度和斜率，以确保建筑物的结构稳定和安全。
此外，正切函数可以用于计算坡度和曲线的弧度。
无论是计算建筑物的高度、角度还是连接两个物体的斜坡，三角函数都是必不可少的工具。
3. 三角函数在电子工程中的应用在电子工程中，三角函数的应用同样十分重要。
例如，在设计电路和计算器时，正弦函数和余弦函数可以用于计算波形和频率。
此外，正切函数常常用于计算电压和电流的相位差。
无论是在电子设备的设计还是电路分析中，三角函数都是必备的工具。
4. 三角函数在物理学中的应用物理学是研究物质和能量的科学，而三角函数则在物理学的各个分支中都有广泛的应用。
例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数来描述物体的运动和摆动。
在光学中，正弦函数也被用于描述光的传播和干涉。
而在声学中，正弦函数则被用来描述声波的传播和频率。
因此，三角函数在物理学中的应用是无法忽视的。
以上只是三角函数应用的几个例子，实际上，三角函数在各个领域都扮演着重要的角色。
从航海到工程，从电子到物理，三角函数提供了解决问题的工具和方法。
无论是在科学研究还是工程实践中，掌握和应用三角函数都是必不可少的。
因此，我们应该重视学习和理解三角函数，将其应用于实际问题的解决中，以推动科学技术的发展和进步。
三角函数在实际问题中的应用
三角函数在实际问题中的应用三角函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域的实际问题中都有广泛的应用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在几何学、物理学、建筑学等领域中发挥着重要的作用。
本文将从这些领域中选择几个实际问题，探讨三角函数在其中的应用。
引言三角函数的研究可以追溯到古希腊时期，当时人们就开始使用三角函数解决几何问题。
随着时间的推移，人们发现三角函数在各个领域的应用越来越广泛，成为解决实际问题不可或缺的工具。
一、建筑学中的三角函数应用在建筑学中，三角函数常被用来计算和测量各种角度和距离。
例如，建筑师在设计建筑物时，需要计算墙体倾斜角度，以确保建筑物的结构稳固。
这时就用到了正切函数。
通过测量斜边和邻边的长度，可以计算出墙体的倾斜角度。
此外，三角函数还能帮助建筑师设计和计算各种形状的结构。
例如，在设计楼梯的过程中，需要计算每一步的坡度和角度，以确保人们在爬升楼梯时的舒适度和安全性。
三角函数可以帮助建筑师准确计算出每一步的角度和长度。
二、物理学中的三角函数应用三角函数在物理学中有广泛的应用，尤其是在描述波动和振动方面。
例如，声波的传播就可以通过正弦函数进行描述。
声音的频率和振幅可以用正弦函数的周期和振幅来表示。
此外，光的传播也可以用三角函数进行描述。
例如，在光的干涉和衍射实验中，可以通过正弦函数模型来解释光的波动性。
通过计算正弦函数的周期和振幅，可以预测光的干涉和衍射的效果。
三、航海中的三角函数应用航海是一门古老而重要的领域，三角函数也在其中发挥着重要的作用。
在没有现代导航设备的时候，航海家们需要通过天体观测来确定自己的位置和航向。
航海中最常用的天体观测就是太阳的高度角观测。
通过观测太阳的高度角和知道当地的纬度，可以利用正切函数来计算出船只的位置。
这个方法被称为“经度观测法”，是航海中非常重要而精确的导航方法。
结论三角函数在实际问题中的应用举不胜举。
从建筑学到物理学，从航海到天文学，都使用到了三角函数。
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1.如图，一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为30°正前方的海底有黑匣子信号发出，
继续在同一深度直线航行3000米后再次在B点处测得俯角为60°正前方的海底有黑匣子信
号发出，求海底黑匣子C点处距离海面的深度？（保留根号）
2.如图，甲乙两幢楼之间的距离BD=30m，自甲楼顶端A处测得乙楼顶端C处的仰角为45°，
测得乙楼底部D处的俯角为26.6°，求甲、乙楼两幢楼的高度．
（参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
3.如图，哨兵在灯塔顶部A处测得遇难船只所在地B处的俯角为60°，然后下到灯塔的C处，
测得B处的俯角为30°．已知AC=40米，若救援船只以5m/s 的速度从灯塔底部D处出发，
几秒钟后能到达遇难船只的位置？（结果精确到个位）．
4.如图，大楼AB的高为16m，远处有一塔CD，小李在楼底A处测得塔顶D处的仰角为 60°，
在楼顶B处测得塔顶D处的仰角为45°，其中A、C两点分别位于B、D两点正下方，且A、C
两点在同一水平线上，求塔CD的高．（=1.73，结果保留一位小数．）
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5.在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向河流的河宽，如图所示，某学生在
河东岸点A处观测河对岸水边点C，测得C在A北偏西30°的方向上，沿河岸向北前行20米
到达B处，测得C在B北偏西60°的方向上．请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河
的宽度．（精确到0.1，参考数据：）．
6.校园中的一棵大树PC在阳光下的影长为AC，在树的影长端点A处测得∠PAC=30°，在B
点（点B在直线AC上）测得∠PBC=60°，如果AB=12m，求树高PC和树的影长AC．
7.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，
∠A=45°，AC=12，试求CD的长．
8.在一个阳光明媚、清风徐徐的周末，小明和小强一起到郊外放风筝．他们把风筝放飞后，
两个风筝的引线一端都固定在地面上的C处（如图）．现已知风筝A的引线（线段AC）长
20m，风筝B的引线（线段BC）长24m，在C处测得风筝A的仰角为60°，风筝B的仰角为
45°．
（1）试通过计算，比较风筝A与风筝B谁离地面更高？
（2）求风筝A与风筝B的水平距离．（结果精确到0.01m，≈1.414，≈1.732）
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9.如图，水坝的横断面是梯形，背水坡AB的坡角∠BAE=45°，坝高BE=20米．汛期来临，为
加大水坝的防洪强度，将坝底从A处向后水平延伸到F处，使新的背水坡BF的坡角∠F=30°，
求AF的长度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
10.在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处）
和湖东岸的山峰老君岭（D处）的仰角都是45°．游船向东航行100米后（B处），测得太
婆尖，老君岭的仰角分别为30°，60°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米？
11.如图，距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆AB，经测得此电线杆与水平
线DB所成锐角为60°，在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为30°，底部点B的俯角
为45○（点A、B、D、C在同一平面内）．已知在以点B为圆心，10米长为半径的圆形区域
外是一休闲广场，有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见，他们想知道
这根电线杆放倒后，顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答．
（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）
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12.如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图，为增强体质，他每天早
晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）．观测得点B在点A的南偏
东30°方向上，点C在点A的南偏东60°的方向上，点B在点C的北偏西75°方向上，AC间
距离为400米．问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？
（参考数据：≈1.414，≈1.732）
13.如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前
方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的
点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为
（即AB：BC=），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高
度（测倾器的高度忽略不计）．
14.如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的
眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得
该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚
求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）
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15.
如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条
平行直线上，则sinα的值是
A． B． C． D．
16.
台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数千米范围内形成气候
旋风暴，有极强的破坏力．根据气象观测，在沿海某城市A正南方向220 km的
B处有一台风中心，其如图，中心最大风力为12级，每远离台风中心20 km，风
力就会减弱一级，该台风中心现在以15 km/h的速度沿北偏东30°方向往C处
移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影
响．
（1）A市是否会受这次台风的影响？请说明理由．
（2）若A市会受到台风的影响，则台风影响A市的持续时间有多长？
（3）A市受到台风影响的最大风力有几级？
17.如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员
选择山脚C处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，
再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB.（结果保留整数）
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18.如图，一艘海上巡逻船在A地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西60°方
向的C地，有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时C地位于A北偏西30°方向上，A地位于B地北偏
西75°方向上，A、B两地之间的距离为12海里．求A、C两地之间的距离（参考数据：2≈1.41，3≈
1.73，6≈2.45，结果精确到0.1）
若cosA=31，则AAAAtan2sin4tansin3=（ ）
A、74 B、31 C、21 D、0
在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：1：2，则a：b：c=（ ）
A、1：1：2 B、1：1：2 C、1：1：3 D、1：1：22
王英同学从A地沿北偏西60º方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此
时王英同学离A地 （ ）
（A）350m （B）100 m
（C）150m （D）3100m
一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40º的方向行驶40海里到达B 地，再由B地向北偏
西20º的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）．
（A）30海里 （B）40海里 （C）50海里 （D）60海里
图1
45
30
BAD
C
。
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如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长
为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624，cos15°
=624)
如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角， 这时测得大树在地面
上的影子约为10米，则大树的高约为________米。 （保留两个有效数字，2≈1.41，
3
≈1.73）
甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底
部的俯角为
45°,试求两楼的高.
公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP=160m，
一辆拖拉机以3.6km/h的速度在公路MN上沿PN方向行驶，假设拖拉机行驶时，
周围100m以内会受噪声影响，那么，学校是否会受到噪声影响？如果不受影响，
请说明理由；如果受影响，会受影响几分钟？
N
P A Q
M
300
450
A
r
E
D
B
C
。
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如图，一条小船从港口A出发，沿北偏东40方向航行20海里后到达B处，然后又沿北偏
西30方向航行10海里后到达C处．问此时小船距港口A多少海里？（结果精确到1海里）
友情提示：以下数据可以选用：sin400.6428≈，cos400.7660≈，
tan400.8391≈
，31.732≈．
C
Q
B
A
P
北
40
30
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