三角函数实际应用
三角函数的实际应用教案
三角函数的实际应用教案引言：三角函数是数学中的一门重要的分支，深入了解三角函数的实际应用对学生的数学学习非常有帮助。
本教案将重点介绍三角函数在实际问题中的应用，包括测量角度、计算距离、解决力学问题等方面。
通过生动的实例和具体的应用场景，帮助学生理解三角函数的实际用途，并能运用所学知识解决实际问题。
一、测量角度的应用在很多行业和领域，测量角度是一项重要的工作，比如在建筑、地理、天文等方面。
三角函数在测量角度中起到了重要的作用。
1.1 借助三角函数来测量高楼的高度和距离假设有一座高楼，我们想要测量其高度。
我们可以站在离高楼一定距离的地方，观察该楼顶的角度，并利用正切函数来计算出该高楼的高度。
同样的道理，我们也可以借助三角函数来测量物体与观察者的距离。
1.2 三角函数在地理测量中的应用地理中的经纬度可以用角度来表示。
通过使用正弦、余弦和正切函数，我们可以计算出两个位置之间的距离、方向以及夹角。
这对于地理探索和导航都非常关键。
二、力学问题中的三角函数应用在力学问题中，三角函数也扮演着重要的角色。
下面我们将介绍一些力学问题中常见的三角函数应用。
2.1 借助三角函数解决平面力学问题平面力学问题经常涉及到角度，通过使用三角函数，我们可以计算出斜面上物体的重力分量、摩擦力等。
比如，在解决斜面上的坡道问题时，我们可以通过分解力的方法，利用正弦和余弦函数来计算各个分力的大小。
2.2 三角函数在弹道学中的应用弹道学是研究物体弹射和运动轨迹的学科，三角函数在解决弹道学问题中起到了重要的作用。
通过应用正弦、余弦和正切函数，我们可以计算出物体在不同发射角度和速度下的轨迹和落点。
三、三角函数在电工电子领域中的应用三角函数在电工电子领域中也有广泛的应用。
下面我们将介绍一些典型的应用场景。
3.1 交流电中的正弦函数交流电是一种周期性变化的电流，可以用正弦函数来描述。
通过应用三角函数，我们可以计算出交流电的频率、幅值等。
这在电工领域中非常重要。
初三数学《三角函数的实际应用》答案
专题08《三角函数的实际应用》题型一、利用仰角和俯视解决问题【例1】如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，）．【详解】解：在直角三角形ACO中，sin75°＝＝≈0.97，解得OC≈38.8，在直角三角形BCO中，tan30°＝＝≈，解得BC≈67.3．答：该台灯照亮水平面的宽度BC大约是67.3cm．小明在楼高AB＝15米的楼顶A处测得一电视塔底部C的俯角为31°，测得塔顶D的仰角为52°，求楼顶A到塔顶D的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.80，sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28）【详解】解：如图，作AE⊥CD于点E．则CE＝AB＝15米．∵在直角△ACE中，tan∠EAC＝，∴AE＝＝＝18.75（米）．∵直角△ADE中，cos∠DAE＝，∴AD＝＝≈30（米）．答：楼顶A到塔顶D的距离约为30米．如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．（结果保留整数）（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73）【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D，∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，∴∠ABD＝67°，∴AD＝AB•sin67°＝520×＝＝480km，BD＝AB•cos67°＝520×＝＝200km．∵C地位于B地南偏东30°方向，∴∠CBD＝30°，∴CD＝BD•tan30°＝200×＝，∴AC＝AD+CD＝480+≈480+115＝595（km）．答：A地到C地之间高铁线路的长为595km．如图，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m．AB和CD之间有一景观池，小双在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°，点B、E、D在同一直线上．求两幢建筑物之间的距离BD．（结果精确到0.1m）【参考数据：sin42°＝0.67，cos42°＝0.74，tan42°＝0.90】【详解】解：由题意得：∠AEB＝42°，∠DEC＝45°，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，AB＝15，∠AEB＝42°，∵tan∠AEB＝，∴BE＝≈15÷0.90＝，在Rt△DEC中，∠CDE＝90°，∠DEC＝∠DCE＝45°，CD＝20，∴ED＝CD＝20，∴BD＝BE+ED＝+20≈36.7（m）．答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7m．【例2】如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B＝31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE＝39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）【详解】解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为（x）m，在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，tan31°＝，∴BD＝≈＝x，在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，tan39°＝，∴CD＝≈＝x，∵BC＝BD﹣CD，∴x﹣x＝80，解得：x＝180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，sin39°＝，∴AC＝＝≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．【变式2-1】为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上（如图所示）．该小组在标杆的F 处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A（此时∠AEB＝∠FED），在F处测得旗杆顶A的仰角为45°，平面镜E的俯角为67°，测得FD＝2.4米．求旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数，参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈）【详解】解：作FG⊥AB于G，设AB为x米，由题意得，四边形FDBG为矩形，∴BG＝DF＝2.4，FG＝BD，∵FG∥BD，∴∠FED＝∠GFE＝67°，在Rt△EDF中，tan∠FED＝，∴DE＝≈2.4÷＝1，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝AG＝x﹣2.4，在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，即BE＝≈x，由题意得，x﹣2.4＝1+x解得，x≈6，答：旗杆AB的高度约为6米．如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F．设塔高AE＝x，由题意得，EF＝BE﹣CD＝56﹣27＝29m，AF＝AE+EF＝（x+29）m，在Rt△AFC中，∠ACF＝36°52′，AF＝（x+29）m，则CF＝≈＝x+，在Rt△ABD中，∠ADB＝45°，AB＝x+56，则BD＝AB＝x+56，∵CF＝BD，∴x+56＝x+，解得：x＝52，答：该铁塔的高AE为52米．某公园的人工湖边上有一座假山，假山顶上有一竖起的建筑物CD，高为10米，数学小组为了测量假山的高度DE，在公园找了一水平地面，在A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为35°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，求假山的高度DE．（结果精确到1米，参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈）【详解】解：过点D作水平线的垂线，即（DE⊥AB），垂足为E，则C、D、E在一条直线上，设DE的长为x米，在Rt△BCE中，∠CBE＝45°，∴CE＝BE＝CD+DE＝（10+x）米，在Rt△ADE中，∠A＝35°，AE＝AB+BE＝20+10+x＝30+x，tanA＝，∴tan35°＝≈，解得：x≈70，答：假山的高度DE约为70米．题型二、方位角的应用【例1】钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）【详解】解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°+15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD＝AB•sin∠BAD＝20×＝10（海里），在Rt△BCD中，BC＝＝＝20（海里）．答：此时船C与船B的距离是20海里．【变式1-1】如图，某旅游景区为方便游客，修建了一条东西走向的木栈道AB ，栈道AB 与景区道路CD 平行．在C 处测得栈道一端A 位于北偏西42︒方向，在D 处测得栈道另一端B 位于北偏西32︒方向．已知120CD m =，80BD m =，求木栈道AB 的长度（结果保留整数）． （参考数据：17sin 3232︒≈，17cos3220︒≈，5tan 328︒≈，27sin 4240︒≈，3cos 424︒≈，9tan 42)10︒≈【详解】解：过C 作CE AB ⊥于E ，DF AB ⊥交AB 的延长线于F ，则//CE DF ，//AB CD ，∴四边形CDFE 是矩形，120EF CD ∴==，DF CE =，在Rt BDF ∆中，32BDF ∠=︒，80BD =，17cos32806820DF BD ∴=︒=⨯≈，1785sin 3280322BF BD =︒=⨯≈， 1552BE EF BF ∴=-=， 在Rt ACE ∆中，42ACE ∠=︒，68CE DF ==，9306tan 4268105AE CE ∴=︒=⨯=，155********AB AE BE m ∴=+=+≈，答：木栈道AB 的长度约为139m ．【变式1-2】如图，位于A 处的海上救援中心获悉：在其北偏东68︒方向的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．该中心立即把消息告知在其北偏东30︒且距离A 点20海里的C 处救生船，此时，遇险船在救生船的正东方向B 处，现救生船沿着航线CB 前往B 处救援，求救生船到达B 处行驶的距离？（参考数据：sin 680.90︒≈，cos680.36︒≈，tan 68 2.50︒≈，1.7)≈【详解】解：如图，延长BC 交AN 于点D ，则BC AN ⊥于D ．在Rt ACD ∆中，90ADC ∠=︒，30DAC ∠=︒，1102CD AC ∴==，AD =．在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，68DAB ∠=︒，22B ∴∠=︒，46.81sin ADAB B ∴=≈∠，cos 46.810.9343.53BD AB B =∠≈⨯=，43.531033.53BC BD CD ∴=-=-=，答：救生船到达B 处行驶的距离是33.53km ．【例2】我国北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到B、C两个地区进行研学考察活动，出发时，发现C地恰好在A地正北方向，且距离A地15.3千米．但是导航显示路线应沿北偏东45°方同走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求B，C两地的距离（精确到1千米）．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.7）【详解】解：过B作BD⊥AC，在Rt△ABD中，∠A＝∠ABD＝45°，∴AD＝BD＝x千米，∵AC＝15.3千米，∴CD＝AC﹣AD＝（15.3﹣x）千米，在Rt△BCD中，∠C＝37°，∴tan37°＝＝0.7，即x＝（15.3﹣x）×0.7，解得：x＝6.3，即BD＝6.3千米，∵sinC＝＝0.6，即BC＝＝＝10.5≈11千米，则B，C两地的距离为11千米．某区域平面示意图如图，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在A处测得点O位于北偏东45°，乙勘测员在B处测得点O位于南偏西73.7°，测得AC＝840m，BC＝500m．请求出点O到BC的距离．参考数据：sin73.7°≈，cos73.7°≈，tan73.7°≈【详解】解：作OM⊥BC于M，ON⊥AC于N，则四边形ONCM为矩形，∴ON＝MC，OM＝NC，设OM＝x，则NC＝x，AN＝840﹣x，在Rt△ANO中，∠OAN＝45°，∴ON＝AN＝840﹣x，则MC＝ON＝840﹣x，在Rt△BOM中，BM＝＝x，由题意得，840﹣x+x＝500，解得，x＝480，答：点O到BC的距离为480m．码头A、B位于东西走向的河岸线l上，一游轮在P处测得码头A在其北偏东70°，游轮向东航行10分钟后到达Q处，此时测得码头B在其北偏东35°．已知游轮的速度为30千米/小时，两码头A、B相距2千米．（1）求点P到河岸线l的距离；（2）若该游轮按原速度从点Q驶向码头B，则它至少需要多长时间才能到达码头B？（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin70°≈，cos70°≈，tan70°≈）【详解】解：（1）过点B作BE⊥PQ于E，作BF∥AP交PQ于点F．∵AB∥PQ，BF∥AP，∴四边形APFB是平行四边形，∴PF＝AB＝2千米，∠EFB＝∠EPA＝20°，∴FQ＝PQ﹣PF＝30×﹣2＝3（千米）．在△BFQ中，∵∠BFQ＝20°，∠FQB＝90°+35°＝125°，∴∠FBQ＝180°﹣∠BFQ﹣∠FQB＝35°，设BE＝x，FQ＝FE﹣QE，FE＝x•tan70°，QE＝35×tan35°，可得x•tan70°﹣35×tan35°＝3，解得x＝．答：点P到河岸线l的距离是千米；（2）∵BQ ＝千米，游轮的速度为30千米/小时，∴该游轮按原速度从点Q 驶向码头B 的时间为：÷30＝（小时）． 答：若该游轮按原速度从点Q 驶向码头B ，则它至少需要小时才能到达码头B ．【变式2-3】海岛A 的周围8 n mile 内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点B 处测得海岛A 位于北偏东67︒，航行12n mlie 到达C 点，又测得小岛A 在北偏东45︒方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：12sin 6713︒≈，5cos 6713︒，12tan 67)5︒≈【详解】解：作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，设AD 为xnmile ，由题意得，906723B ∠=︒-︒=︒，904545ACD ∠=︒-︒=︒，则tan 45CD AD x =︒=，12tan 675BD AD x =︒≈，BD CD BC -=， 由题意得，12125x x -=， 解得607x =，6087nmile nmile <，∴渔船没有触礁的危险．题型三、综合类【例1】如图，马路的两边CF，DE互相平行，线段CD为人行横道，马路两侧的A，B两点分别表示车站和超市．CD与AB所在直线互相平行，且都与马路的两边垂直，马路宽20米，A，B相距62米，∠A＝67°，∠B＝37°．（1）求CD与AB之间的距离；（2）某人从车站A出发，沿折线A→D→C→B去超市B．求他沿折线A→D→C→B到达超市比直接横穿马路多走多少米．（参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）【详解】解：（1）CD与AB之间的距离为x，则在Rt△BCF和Rt△ADE中，∵＝tan37°，＝tan67°，∴BF＝≈x，AE＝≈x，又∵AB＝62，CD＝20，∴x+x+20＝62，解得：x ＝24，答：CD 与AB 之间的距离约为24米；（2）在Rt △BCF 和Rt △ADE 中，∵BC ＝≈＝40，AD ＝≈＝26，∴AD+DC+CB ﹣AB ＝40+20+26﹣62＝24（米），答：他沿折线A →D →C →B 到达超市比直接横穿马路多走约24米．【变式1-1】如图，某学校教学楼AB 的后面有一建筑物CD ，在距离CD 正后方28米的观测点P 处，以22︒的仰角测得建筑物的顶端C 恰好挡住教学楼的顶端A ，而在建筑物CD 上距离地面2米高的E 处，测的教学楼的顶端A 的仰角为45︒，求教学楼AB 的高度（结果保留整数，2tan 22)5︒≈．【详解】解：如图，作EF AB ⊥于F ，则四边形EFBD 是矩形．45AEF ∠=︒，90AFE ∠=︒，45AEF EAF ∴∠=∠=︒，EF AF ∴=，设EF AF x ==，则BD EF x ==，在Rt PAB ∆中，2AB x =+，28PB x =+，tan 22ABPB ∴︒=， ∴22528x x +=+， 解得15x ≈，217AB x ∴=+=．答：教学楼AB 的高度约为17m ．【变式1-2】如图，校园内有两幢高度相同的教学楼AB ，CD ，大楼的底部B ，D 在同一平面上，两幢楼之间的距离BD 长为24米，小明在点E （B ，E ，D 在一条直线上）处测得教学楼AB 顶部的仰角为45°，然后沿EB 方向前进8米到达点G 处，测得教学楼CD 顶部的仰角为30°．已知小明的两个观测点F ，H 距离地面的高度均为1.6米，求教学楼AB 的高度AB 长．（精确到0.1米）参考值：≈1.41，≈1.73．【详解】解：延长HF交CD于点N，延长FH交AB于点M，如右图所示，由题意可得，MB＝HG＝FE＝ND＝1.6m，HF＝GE＝8m，MF＝BE，HN＝GD，MN ＝BD＝24m，设AM＝xm，则CN＝xm，在Rt△AFM中，MF＝，在Rt△CNH中，HN＝，∴HF＝MF+HN﹣MN＝x+x﹣24，即8＝x+x﹣24，解得，x≈11.7，∴AB＝11.7+1.6＝13.3m，答：教学楼AB的高度AB长约为13.3m．在一次综合实践课上，同学们为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2米，BCD表示直角遮阳蓬，已知当地一年中正午时刻太阳光与水平线CD的最小夹角∠PDN＝18.6°，最大夹角∠MDN＝64.5°请你根据以上数据，帮助小明同学计算出遮阳篷中CD的长是多少米？（结果精确到0.1）（参考数据：sin18.6°≈0.32，tan18.6°≈0.34，sin64.5°≈0.90，tan64.5°≈2.1）【详解】解：设CD＝x米，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠CDB＝∠PDN＝18.6°，CB＝CD×tan18.6°≈0.34x米，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠CDA＝∠MDN＝64.5°，AC＝CD×tan64.5°≈2.1x米，∵AB＝2米，AB＝AC﹣BC，∴2.1x﹣0.34x＝2，解得：x≈1.1，即遮阳篷中CD的长约为1.1米．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE 的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【详解】解：由题意可得：tan72°＝＝＝，解得：BC＝，则AB＝BC+AC＝+2＝（m），故sin35°＝＝＝，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．【变式1-5】2018年2月17日上午10点34分，我国自主研制的第二架C919大型客机在上海浦东国际机场进行首次飞行，这意味着C919大型客机逐步拉开全面试验试飞的新征程．这大大激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，结果保留小数点后一位）【详解】解：∵BN∥ED，∴∠NBD＝∠BDE＝37°，∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴BE＝DE•tan∠BDE≈18.8（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA＝∠CAM＝45°，∴AF＝FC＝25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD＝EF，∵AE＝AB+EB＝35.8（cm），∴CD＝EF＝AE﹣AF≈10.8（cm），答：线段BE的长约等于18.8cm，线段CD的长约等于10.8cm．【变式1-6】如图，在一条河流的两岸分别有A，B，C，D四棵景观树，已知AB∥CD，某数学活动小组测得∠DAB＝45°，∠CBE＝73°，AB＝10m，CD＝30m，请计算这条河的宽度．（参考数据：sin73°≈，cos73°≈，tan73°≈）【详解】解：分别过C，D作CF⊥AE于F，DG⊥AE于F，∴∠AGD＝∠BFC＝90°，∵AB∥CD，∴∠FCD＝90°，∴四边形CFGD是矩形，∴CD＝FG＝30m，CF＝DG，在直角三角形ADG中，∠DAG＝45°，∴AG＝DG，在直角三角形BCF中，∠FBC＝73°，∴tan∠FBC＝，tan73°＝，即，解得DG＝，∵AG＝AB+BF+FG＝DG，即10+BF+30＝，解得：BF＝m，则DG＝m，答：这条河的宽度为m．【课堂练习】1、如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i＝1：，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）【详解】解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，则四边形DMCN是矩形，∵DA＝6，斜坡FA的坡比i＝1：，∴DN＝AD＝3，AN＝AD•cos30°＝6×＝3，设大树的高度为x，∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，∴tan48°＝≈1.11，∴AC＝，∴DM＝CN＝AN+AC＝3+，∵在△ADM中，＝，∴x﹣3＝（3+）•，解得：x≈13．答：树高BC约13米．2、小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80米，为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C处测得大厦顶部A的仰角为37°，大厦底部B的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD的长度．（结果保留整数）（参考数据：）【详解】解：设CD＝x米．在Rt△ACD中，，则，∴；在Rt△BCD中，tan48°＝，则，∴．（4分）∵AD+BD＝AB，∴，解得：x≈43．答：小明家所在居民楼与大厦的距离CD大约是43米．（6分）3、若商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式动扶梯，如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，扶梯AB的坡度i为1：．改造后的斜坡式动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tanl5°≈0.27）【详解】解：∵扶梯AB的坡度i为1：，∴AD：DB＝1：即DB＝AD．在Rt△ADB中，∵AD2+DB2＝AB2，∴AD2+3AD2＝102解得AD＝±5．因为﹣5不合题意，所以AD＝5．在Rt△ACD中，sin∠ACD＝，∴AC＝≈≈19.2（m）答：改造后的自动扶梯AC的长约为19.2m．4、共享单车为人们的生活带来了极大的便利．如图，一辆单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A，B之间的距离为49cm，现测得AC，BC与AB的夹角分别为45°，68°．若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为5cm，求点E到地面的距离．（结果保留一位小数，参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.50）【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝＝0.4x，由AB＝49知x+0.4x＝49，解得：x＝35，∵BE＝5，∴EF＝BEsin68°＝4.65，则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+4.65≈67.7（cm），答：点E到地面的距离约为67.7cm．。
如何应用三角函数解决实际问题
如何应用三角函数解决实际问题三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于解决实际问题中。
本文将介绍如何应用三角函数解决实际问题，并提供相关的例子进行说明。
一、三角函数简介三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别用sin、cos和tan表示。
这些函数可以描述直角三角形中各个角的关系。
例如，在一个直角三角形中，对于一个给定的角度Θ，sinΘ等于对边与斜边的比值，cosΘ等于临边与斜边的比值，tanΘ等于对边与临边的比值。
二、应用实例：测量高楼高度假设我们想要测量一座高楼的高度，但我们无法直接得到高楼的实际高度。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
首先，在离高楼一定距离的地方A站立，测量与地平线之间的角度α。
然后，远离高楼一段距离B站立，再次测量与地平线之间的角度β。
由于我们可以测得AB之间的距离，我们可以根据三角函数的性质得到高楼的高度H。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = H/ABtanβ = H/(AB+d)其中，H表示高楼的高度，AB表示A点到高楼的距离，d表示A点到B点的距离。
将上述两式联立解方程，可以得到高楼的高度H：H = AB*(tanβ - tanα)/(1 + tanα*tanβ)通过测量角度α和β以及距离AB和d，我们可以应用这个公式计算高楼的高度H。
三、应用实例：测量不可达距离三角函数还可以用来解决测量不可达距离的问题。
假设我们要测量两座高楼之间的距离，但由于某些原因，我们无法直接测量这个距离。
这时，我们可以利用三角函数来解决这个问题。
假设我们站在第一座高楼的顶部A点，测量与水平线的角度α。
然后移动到第二座高楼的顶部B点，测量与水平线的角度β。
由于我们可以测得AB之间的水平距离d，以及A点到底部的垂直高度h1和B点到底部的垂直高度h2，我们可以根据三角函数的性质得到两座高楼之间的距离D。
首先，我们可以推导出以下公式：tanα = h1/dtanβ = h2/d将上述两式联立解方程，可以得到两座高楼之间的距离D：D = (h1-h2)/（(1+tanα*tanβ)/tanα-tanβ)通过测量角度α和β以及距离d和垂直高度h1、h2，我们可以应用这个公式计算两座高楼之间的距离D。
三角函数的实际应用
三角函数的实际应用例1、如图，在小山的东侧 A庄，有一热气球，由于受西风的影响，以每分钟35米的速度沿着与水平方向成 75。
角的方向飞行，40分钟时到达C处，此时气球上的人发现气球与山顶P点及小山西侧的B庄在一条直线上，同时测得B庄的俯角为30。
，又在A庄测得山顶P的仰角为45。
，求A庄与B庄的距离及山高.变式训练：1、如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角a是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i=1 : ，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据: 冒鼻 1.41, 〜1.73, 〜2.45) A . 30.6 B . 32.1\ED第1题图第2题图2、如图，要在宽为22米的济宁大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长为2米，且与灯柱BC成120 °角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳•此时，路灯的灯柱BC高度该设计为（）A、UM）米B、卜米c、「诵米D、米3、南海是我国的南大门，如图所示,某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）？（参考数据：cos75°0.2588 , sin75 °0.9659 ,tan75 ° 3.732，& 1.7 32，电1.414 ）4、小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭 A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道I上某一观测点 M处，测得亭A在点M的北偏东30°,亭B在点M的北偏东60°，当小明由点M沿小道I向东走60米时，到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走 30米时到达点Q处，此时亭B恰好位于点Q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭A、B之间的距离.5、芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索 AB与水平桥面的夹角是 30°, 拉索CD与水平桥面的夹角是 60°,两拉索顶端的距离 BC为2米，两拉索底端距离 AD为20米，请求出立柱 BH的长.（结果精确到 0.1米，疋1.732 ）甲乙。
利用三角函数解决实际问题的方法
利用三角函数解决实际问题的方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于实际问题的解决中。
无论是在物理、工程还是日常生活中，三角函数都能提供有效的数学工具，帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些利用三角函数解决实际问题的方法，并举例说明其应用。
一、测量高度在实际生活中，我们经常需要测量物体的高度，如建筑物、树木等。
利用三角函数的正弦定理，我们可以通过测量物体的底边与其顶端的角度，以及观察者与物体的距离，计算出物体的高度。
假设观察者离物体的距离为d，底边与顶端的角度为θ，物体的高度为h，则有以下公式：h = d * sin(θ)通过测量角度和距离，我们就可以准确地计算出物体的高度。
二、解决航海导航问题在航海导航中，我们常常需要计算船只的位置和航向。
利用三角函数的正切定理，我们可以通过测量船只与目标点之间的角度和距离，计算出船只需要调整的航向角度。
假设船只与目标点之间的角度为α，距离为d，船只需要调整的航向角度为β，则有以下公式：β = α - tan⁻¹(d)通过测量角度和距离，我们可以确定船只需要调整的航向角度，从而准确导航。
三、计算力的合成在力学中，我们常常需要计算多个力的合成。
利用三角函数的正弦和余弦定理，我们可以将多个力的大小和方向进行合成。
假设有两个力F1和F2，夹角为θ，合成后的力为F，则有以下公式：F = √(F1² + F2² + 2F1F2cosθ)通过计算多个力的合成，我们可以得到最终的力大小和方向，为力学问题的解决提供便利。
四、计算角度和距离在工程测量中，我们经常需要计算两点之间的角度和距离。
利用三角函数的反正弦和反余弦定理，我们可以通过已知的两点坐标，计算出两点之间的角度和距离。
假设两点的坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，两点之间的角度为α，距离为d，则有以下公式：α = atan2(y2 - y1, x2 - x1)d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)通过计算角度和距离，我们可以准确测量两点之间的位置和距离。
高中数学三角函数的应用举例与解析
高中数学三角函数的应用举例与解析三角函数是高中数学中的重要内容，它在实际生活中有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将通过一些具体的题目来说明三角函数的应用，并分析解题的方法和技巧，希望对高中生及其父母有所帮助。
一、角度的计算与应用题目一：一艘船从A点出发，以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时后到达B点。
然后，船改变航向，以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时后到达C点。
求船从A点到C点的直线距离。
解析：这个问题涉及到角度的计算和三角函数的应用。
首先，我们可以根据船的速度和时间计算出船从A点到B点的距离，由于船以每小时30公里的速度向东航行，航行2小时，所以A点到B点的距离为60公里（30公里/小时 × 2小时 = 60公里）。
接下来，我们需要计算船从B点到C点的距离。
由于船以每小时40公里的速度向北航行，航行3小时，所以B点到C点的距离为120公里（40公里/小时 × 3小时 = 120公里）。
最后，我们可以利用三角函数中的正弦函数来计算出船从A点到C点的直线距离。
设直线距离为x，船从A点到B点的距离为60公里，船从B点到C点的距离为120公里。
根据正弦函数的定义，我们可以得到以下等式：sin(90°) = 60/x，sin(90°) = 120/x。
由于sin(90°) = 1，所以60/x = 1，解得x = 60公里。
因此，船从A点到C点的直线距离为60公里。
二、三角函数的周期性题目二：一辆车以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后，车辆突然停下来。
问车辆在2小时内行驶的距离。
解析：这个问题涉及到三角函数的周期性。
由于车辆以每小时60公里的速度匀速行驶，经过2小时后停下来，所以车辆在2小时内行驶的距离为120公里（60公里/小时 × 2小时 = 120公里）。
三、三角函数的图像与性质题目三：已知函数f(x) = sin(x)在区间[0, π]上的图像如下所示，请问在该区间内，函数f(x)的最大值和最小值分别是多少？解析：这个问题涉及到三角函数的图像与性质。
特殊三角函数值在实际问题中的应用
特殊三角函数值在实际问题中的应用【例1】2006年6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生，北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，AF ∥BC ，斜坡AB 长30米，坡角∠ABC=600，为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡度不超过450时，可以保障山体不滑坡．（1）求坡顶与地面的距离AD 等于多少米；（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡角B 不动，坡顶A 沿AF 削进到E 点处，求AE 至少是多少米．（答案保留根号）【析解】利用所学的三角函数知识把实际问题转化为数学问题来解答． 解：（1）在Rt △ABD 中，∠ABC=600，∴AD=AB ·sin ∠ABC=30·23=153 （2）过E 作EG ⊥AC ，交AC 于点G ，在Rt △BEG 中，∠EBG=450，∴BG=EG=AD=153在Rt △ABD 中，∠ABC=600，∴BD=AB ·cos ABC=30·21=15 ∴AE=DG=BG －BD=153－15（米）所以坡顶A 沿AF 削进到E 点处， AE 至少是（153－15）米．【例2】如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东600方向上，航行半小时后到达B 点，测得该岛在北偏东300方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．（1）试说明B 点是否在暗礁区域外；（2）若继续向东航行，有无触礁危险，请说明理由．【析解】是否有危险，由船与小岛的距离决定，本题只需求出BC 、CH 即可得到结论．解：（1）∵AB=36×0.5=18，∠ADB=600，∠DBC=300，∴∠ACB=300，又∠CAB=300，∴BC=AB=18＞16，∴B 点在暗礁区域外．（2）过C 点作CH ⊥AF ，垂足为H ，在Rt △CBH 中，∠BCH=300． 令BH=x ，则CB=2x ，CH=CB ×cos300=3x ，在Rt △ACH 中，∠CAH=300，∴AC=2CH=23x ， AH=AC ×cos300=23x ·23=3x ． ∴18+x=3x ∴x=9，∴CH=93＜16，所以船继续向东航行有触礁危险．巩固练习：（2006年江苏省中考题）要在宽为28米的海堤公路边安装路灯，路灯的灯臂长3米，且于灯柱成1200角，如图，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线与灯臂垂直．当灯罩的轴线通过公路路面的中点时，照明效果最理想．问：应设计多高的灯柱，才能保证最理想的照明效果？（精确到0.01米，3=1.732）答案：延长BA 、CD 交于点P ，BC=14，∠BAD=900，用三角函数可以求出CD=18.25米．。
浅谈生活中三角函数的应用
浅谈生活中三角函数的应用1. 引言1.1 三角函数在生活中的广泛应用三角函数在生活中的广泛应用是非常广泛的，几乎涵盖了我们日常生活的各个方面。
从建筑领域到航空航天领域，从地理测量到体育运动，三角函数的应用无处不在。
在建筑领域，三角函数被广泛运用于设计和建造各种建筑物，包括房屋、桥梁、高楼大厦等。
通过三角函数可以计算出建筑物的结构和坡度，确保其稳定和安全。
在地理测量中，三角函数被用来确定地球上不同地点之间的距离和方向。
地图制作和导航系统都依赖于三角函数的计算，以及在航空航天领域，三角函数被用来计算飞机和宇宙飞船的航行轨迹和姿态。
在音乐领域，三角函数被用来分析声音的频率和波形，进而帮助音乐家调整乐器的音调和节奏。
在体育运动中，三角函数被用来分析运动员的动作和姿势，以及计算球的轨迹和速度。
三角函数在日常生活中的应用是十分重要和多样化的，它们帮助我们理解和解决各种实际问题，同时也深刻影响着我们的生活和工作。
三角函数的广泛应用不仅体现了数学在现实世界中的重要性，也展示了它对我们生活的巨大影响。
1.2 三角函数在日常生活中的重要性三角函数在日常生活中的重要性体现在多个方面。
在建筑领域中，三角函数被广泛应用于设计和建造各种建筑物，如房屋、桥梁、塔楼等。
工程师和建筑师在设计过程中需要通过三角函数来计算各种角度和距离，确保建筑结构的稳定和安全。
在地理测量中，三角函数被用于测量地球表面的距离、面积和高度，帮助人们更准确地理解地球形状和地理位置。
在航空航天领域，三角函数被用于飞行器的导航和定位，保证飞行路径的准确性和安全性。
在音乐领域中，三角函数被用于音波的分析和合成，帮助音乐家创作出美妙动听的音乐作品。
在体育运动中，三角函数被用于计算运动员的运动轨迹和力量分布，指导训练和比赛策略。
三角函数在日常生活中的应用不可忽视，它对于各个领域的发展和进步至关重要，影响着人们的生活品质和社会发展方向。
2. 正文2.1 三角函数在建筑领域的应用三角函数在建筑领域的应用十分广泛，其中最常见的就是在建筑设计和施工过程中的应用。
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13.如图,某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度.他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°.已知Ａ点的高度AB为2米,台阶AC的坡度为 （即ＡB：BＣ= ）,且B、C、Ｅ三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DＥ的高度（测倾器的高度忽略不计）．
6．校园中的一棵大树ＰＣ在阳光下的影长为AC，在树的影长端点A处测得∠PＡC=3０°，在B点(点B在直线AＣ上）测得∠PBC＝6０°,如果AB=12m,求树高ＰＣ和树的影长ＡC．
7.一副直角三角板如图放置，点Ｃ在ＦD的延长线上，AB∥CF，∠Ｆ＝∠AＣB=９０°，∠E=３０°，∠Ａ＝４5°,AC=1２ ，试求CD的长.
（１)Ａ市是否会受这次台风的影响？请说明理由．
(2）若A市会受到台风的影响,则台风影响A市的持续时间有多长?
（3)A市受到台风影响的最大风力有几级?
17.如图,小山顶上有一信号塔AB,山坡BC的倾角为３０°，现为了测量塔高AＢ，测量人员选择山脚Ｃ处为一测量点,测得塔顶仰角为45°,然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为６0°，求塔高ＡB.（结果保留整数 ）
１5．如图,已知l1∥ｌ2∥l３，相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角△ABＣ的三个项点分别在这三条平行直线上,则ｓinα的值是
A． B. Ｃ． Ｄ.
16.台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心,在周围数千米范围内形成气候旋风暴,有极强的破坏力.根据气象观测，在沿海某城市A正南方向2２0 km的Ｂ处有一台风中心，其如图,中心最大风力为1２级,每远离台风中心20 kｍ,风力就会减弱一级，该台风中心现在以15 kｍ/h的速度沿北偏东３0°方向往Ｃ处移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称受台风影响.
14.如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CＤ,点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°,然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为4５°,延长AＢ与楼房垂直相交于点E,测得BE=21米,请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）
（结果精确到0．1米,参考数据: ≈１.41４, ≈1.７3２)
12.如图,△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图,为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、ＣA上，点Ｃ在点A的南偏东60°的方向上,点B在点C的北偏西75°方向上,ＡC间距离为400米．问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？
4.如图,大楼ＡＢ的高为16m，远处有一塔CＤ，小李在楼底A处测得塔顶Ｄ处的仰角为６0°，在楼顶Ｂ处测得塔顶Ｄ处的仰角为45°，其中A、Ｃ两点分别位于B、D两点正下方,且A、C两点在同一水平线上,求塔CＤ的高．（ =1．73，结果保留一位小数.)
５．在一次数学活动课上,老师带领学生去测一条南北流向河流的河宽，如图所示,某学生在河东岸点A处观测河对岸水边点C，测得C在A北偏西3０°的方向上，沿河岸向北前行20米到达B处，测得C在Ｂ北偏西6０°的方向上.请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(精确到０.1，参考数据: ）.
18.如图,一艘海上巡逻船在Ａ地巡航，这时接到B地海上指挥中心紧急通知:在指挥中心北偏西６0°方向的C地,有一艘渔船遇险，要求马上前去救援．此时Ｃ地位于A北偏西30°方向上，Ａ地位于B地北偏西75°方向上，Ａ、B两地之间的距离为12海里.求A、C两地之间的距离（参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈２.4５，结果精确到０.1)
１0.在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上（Ａ处），测得湖西岸的山峰太婆尖（C处)和湖东岸的山峰老君岭（D处)的仰角都是45°．游船向东航行１０0米后（B处）,测得太婆尖，老君岭的仰角分别为３0°，6０°．试问太婆尖、老君岭的高度为多少米?
11.如图,距小明家楼下D点20米的B处有一根废弃的电线杆AB,经测得此电线杆与水平线ＤB所成锐角为6０°,在小明家楼顶C处测得电线杆顶端A的俯角为30°,底部点B的俯角为45○（点A、B、Ｄ、C在同一平面内).已知在以点B为圆心,10米长为半径的圆形区域外是一休闲广场,有关部门想把此电线杆水平放倒，且B点不动，为安全起见,他们想知道这根电线杆放倒后,顶端A能否落在休闲广场内？请通过计算回答．
(２）求风筝A与风筝B的水平距离.（结果精确到０.0１m, ≈1.4１４, ≈1.７32）
9.如图,水坝的横断面是梯形,背水坡ＡＢ的坡角∠BAＥ＝４5°,坝高ＢE=2０米．汛期来临，为加大水坝的防洪强度,将坝底从A处向后水平延伸到Ｆ处,使新的背水坡BF的坡角∠F＝３0°，求AF的长度.(结果精确到１米，参考数据: ≈1.4１４, ≈1.７3２)
2．如图，甲乙两幢楼之间的距离BD=30m,自甲楼顶端Ａ处测得乙楼顶端C处的仰角为4５°,测得乙楼底部D处的俯角为26．６°,求甲、乙楼两幢楼的高度.
(参考数据：sin２6.6°≈0.4５,cos26.6°≈0.89，taｎ２6.6°≈0．5０)
３.如图，哨兵在灯塔顶部A处测得遇难船只所在地B处的俯角为６0°,然后下到灯塔的C处,测得Ｂ处的俯角为30°．已知AC=40米，若救援船只以5m/s的速度从灯塔底部Ｄ处出发,几秒钟后能到达遇难船只的位置?（结果精确到个位）.
８.在一个阳光明媚、清风徐徐的周末，小明和小强一起到郊外放风筝．他们把风筝放飞后,两个风筝的引线一端都固定在地面上的Ｃ处(如图)．现已知风筝A的引线(线段AC）长２0ｍ，风筝Ｂ的引线(线段BC)长２4m，在Ｃ处测得风筝Ａ的仰角为60°,风筝B的仰角为45°.
（1）试通过计算,比较风筝A与风筝B谁离地面更高?
三角函数实际应用
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１．如图,一艘核潜艇在海面下500米A点处测得俯角为３0°正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行3００0米后再次在B点处测得俯角为６0°正前方的海底有黑匣子信号发出,求海底黑匣子C点处距离海面的深度?（保留根号)