2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总 平面向量专题解析版 (可下载)

2010—2019“十年高考”数学真题分类汇总平面向量专题（附详细答案解析）一、选择题。

1.（2019全国Ⅰ文8）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【答案】B ．【解析】因为()-⊥a b b ，所以()22cos ,0-⋅⋅-=⋅<>-=a b b =a b b a b a b b ，所以22cos ,2<>===⋅bba b a bb又因为0,]π[<>∈，a b ，所以π,3<>=a b ．故选B ． 2.（2019全国Ⅱ文3）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |= AB ．2C ．D ．50 【答案】A ．【解析】因为(2,3)=a ，(3,2)=b ，所以-(1,1)=-a b ，所以-==a b A.3.（2018全国卷Ⅰ）在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 【答案】A.【解析】法一、通解 如图所示，CB AD DB ED EB 2121+=+= ()()AC AB AC AB -++⨯=212121 3144=-AB AC ．故选A ．CB法二、优解111()222=-=-=-⨯+EB AB AE AB AD AB AB AC 3144=-AB AC ．故选A ． 4.（2018全国卷Ⅱ）已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．0【答案】B.【解析】2(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B ．5.（2018天津）在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =， 2CN NA =，则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0【答案】C.【解析】由2BM MA =，可知||2||BM MA =，∴||3||BA MA =． 由2CN NA =，可知||2||CN NA =，∴||3||CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==，连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =， ∴33()BC MN ON OM ==-，∴23()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ．6.（2018浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为3π，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是A 1B 1C ．2D ．2 【答案】A.【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)OB x y ==b ，=(1,0)e ，由2430-⋅+=b e b 得22430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆心，l 为半径的圆．NMOCBA因为a 与e 的夹角为3π，所以不妨令点A在射线y =(0x >)上，如图，数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．解法二 由2430-⋅+=b e b 得2243()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．设OA =a ，作射线OA ，使得3AOE π∠=，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．7.（2017北京）设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A.【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<><m n m n m n 的充要条件是cos ,0<><m n ．因为0λ<，则由λ=m n 可知,m n 的方向相反，,180<>=m n ，所以cos ,0<><m n ，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”可推出“0⋅<m n ”；而0⋅<m n 可推出cos ,0<><m n ，但不一定推出,m n 的方向相反，从而不一定推得“存在负数λ，使得λ=m n ”，所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅<m n ”的充分而不必要条件．8.（2017浙江）如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥,2AB BC AD ===,3CD =， AC 与BD 交于点O ，记1I OA OB =⋅，2·I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则 OABCDA ．1I <2I <3IB ．1I <3I <2IC ．3I < 1I <2ID ．2I <1I <3I【答案】C 。

【解析】如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO AF <，而90AFB ∠=，∴AOB ∠与COD ∠为钝角，AOD ∠与BOC ∠为锐角．根据题意12()I I OA OB OB OC OB OA OC OB CA -=⋅-⋅=⋅-=⋅=||||cos 0OB CA AOB ∠<，∴12I I <，同理23I I >．作AG BD ⊥于G ，又AB AD =．∴OB BG GD OD <=<， 而OA AF FC OC <=<，∴||||||||OA OB OC OD ⋅<⋅，而cos cos 0AOB COD ∠=∠<，∴OA OB OC OD ⋅>⋅，即13I I >， ∴312I I I <<，选C ．E BC9.（2017新课标Ⅱ）设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则A ．⊥a bB ．||||=a bC ．∥a bD ．||||>a b 【答案】A.【解析】由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ．10.（2016年天津）已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为 A ．85-B ．81C ．41D ．811【答案】B.【解析】设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.11.（2016全国III卷）已知向量1(,22BA = ,31(),2BC = 则ABC ∠=A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°【答案】A.【解析】由题意得112222cos 11||||BA BC ABC BA BC +⋅∠===⨯⋅， 所以30ABC ∠=，故选A ．12.（2016年四川）已知正三角形ABC 的边长为32，平面ABC 内的动点P ，M 满足||1AP =,PM MC =，则2||BM 的最大值是A ．443 B ．449C ．43637+D ．433237+【答案】B.【解析】建立平面直角坐标系如图所示，则((0,3)B C A ，则点P 的轨迹方程为22(3)1x y +-=． 设(,)P x y ，00(,)M x y ，则02x x =，02y y =，代入圆的方程得220031(()24x y -+-=，所以点M的轨迹方程为2231(()24x y -+-=，它表示以3)2为圆心，以12为半径的圆，所以max 17||22BM ==，所以2max49||4BM =． 13.（2015重庆）已知非零向量,a b 满足||=4||b a ，且(+)⊥2a a b ，则a 与b 的夹角为A ．3π B ．2πC ．23πD ．56π【答案】C.【解析】由题意，得2(2)20+=+⋅=a a b a a b ，即22⋅=-a b a ，所以cos ,||||⋅<>=a b a b a b 222142-==-a a ，所以23π<⋅>=a b ，故选C ． 14.（2015陕西）对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是A ．||||||⋅≤a b a bB ．||||||||--≤a b a bC ．22()||+=+a b a b D ．22()()+-=-a b a b a b 【答案】B.【解析】对于A 选项，设向量a 、b 的夹角为θ，∵||||||cos |||θ⋅=≤|a b a b a b ，∴A 选项正确；对于B 选项，∵当向量a 、b 反向时，||||||||--≥a b a b ，∴B 选项错误； 对于C 选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，C 选项正确；对于D 选项，根据向量的运算法则，可推导出22()()+⋅-=-a b a b a b ，故D 选项正确，综上选B ．15.（2015新课标2）向量(1,1)=-a ，(1,2)=-b ，则(2)+⋅=a b aA ．1-B ．0C ．1D ．2 【答案】C.【解析】由题意可得22=a ，3⋅=-a b ，所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b ．故选C ．16.（2015广东）在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形ΑΒCD 是平行四边形，()1,2ΑΒ=-，()2,1ΑD =，则ΑD ΑC ⋅=A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】A.【解析】由(3,1)AC AB AD =+=-，得(2,1)(3,1)5AD AC ⋅=⋅-=．17.（2015湖南）已知点,,A B C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为(2,0)，则||PA PB PC ++的最大值为A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B.【解析】由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++==， 易知B 为(1,0)-时，4PB +取得最大值7，故选B ．18.（2014新课标1）设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA ．ADB ．AD 21C ．BC 21 D ．BC【答案】A.【解析】111()()()222EB FC BA BC CA CB AB AC AD +=-+-+=+=．19.（2014新课标2）设向量a ,b 满足|+a b |-a b ⋅=a bA ．1B ．2C ．3D ．5 【答案】A.【解析】由2()10+=a b ①，2()6-=a b ②，①-②得1⋅=a b ．20.(2014山东)已知向量(3,)m ==a b . 若向量,a b 的夹角为6π，则实数m = A． BC ．0 D． 【答案】B.cos 6π==，两边平方化简得18=，解得m =21.（2014安徽）设,a b 为非零向量，2=b a ，两组向量1234,,,x x x x 和1234,,,y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，若11223344x y x y x y x y ⋅+⋅+⋅+⋅所有可能取值中的最小值为24a ，则a 与b 的夹角为 A ．23π B ．3π C ．6πD ．0 【答案】B.【解析】设11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，若S 的表达式中有0个a b ⋅，则2222S a b =+，记为1S ， 若S 的表达式中有2个a b ⋅，则22222S a b a b =++⋅，记为2S ， 若S 的表达式中有4个a b ⋅，则4S a b =⋅，记为3S ， 又||2||b a =，所以222132242()0S S a b a b a b -=+-⋅=->， 222122()0S S a b a b a b -=+-⋅=->，223()0S S a b -=->，∴321S S S <<，故min 34S S a b ==⋅，设,a b 的夹角为θ，则22min 48||cos 4||S a b a a θ=⋅==，即1cos 2θ=， 又[0,]θπ∈，所以3πθ=．22.（2014福建）在下列向量组中，可以把向量()3,2=a 表示出来的是A ．12(0,0),(1,2)==e eB ．12(1,2),(5,2)=-=-e eC ．12(3,5),(6,10)==e e D ．12(2,3),(2,3)=-=-e e【答案】B.【解析】对于A ，C ，D ，都有1e ∥2e ，根据平面向量基本定理只有B 成立．23.（2014浙江）设θ为两个非零向量a ，b 的夹角，已知对任意实数t ，||t +b a 是最小值为1A ．若θ确定，则||a 唯一确定B ．若θ确定，则||b 唯一确定C ．若||a 确定，则θ唯一确定D ．若||b 确定，则θ唯一确定 【答案】B.【解析】由于2222||2t t t +=++b a b a b a ，令222()2f t t t =+⋅+b a b a ，而t 是任意实数，所以可得()f t 的最小值为2222222222224(2)44cos 4sin 1444θθ--===a b ab a b a b b a a ， 即22||sin 1θ=b ，则知若θ确定，则||b 唯一确定．24.（2014重庆）已知向量(,3)k =a ,(1,4)=b ,(2,1)=c ,且(23)-⊥a b c ,则实数k = A ．92-B ．0C ．3D ．152【解析】C.【解析】∵23(23,6)k -=--a b ，(23)-⊥a b c ，所以(23)-⋅a b c =2(23)60k --=．解得3k =，选C25.（2014安徽）在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+．曲线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<．若C ⋂Ω为两段分离的曲线，则A ．13r R <<<B ．13r R <<≤C ．13r R ≤<<D ．13r R <<< 【答案】A.【解析】设(1,0),(0,1)a b ==，则(cos ,sin )OP θθ=，(2,2)OQ = 所以曲线C 是单位元，区域Ω为圆环（如图） ∵||2OQ =，∴13r R <<<．26.（2014天津）已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD，点,E F 分别在边,BC DC上，BE BC ，DF DC .若1AE AF ，23CE CF，则A ．12 B ．23 C ．56 D ．712【答案】C.【解析】因为120BAD，所以cos1202AB ADAB AD .因为BEBC ，所以AEABAD ，AFABAD .因为1AE AF ，所以1ABAD AB AD ，即3222 ①； 同理可得23②， ①+②得56. 27.（2013福建）在四边形ABCD 中，)2,4(),2,1(-==BD AC ,则该四边形的面积为A ．5B ．52C ．5D ．10 【答案】C.【解析】因为022)4(1=⨯+-⨯=⋅BD AC ，所以BC AC ⊥，所以四边形的面积为522)4(212||||2222=+-⋅+=⋅BD AC ，故选C ．28.（2013浙江）设ABC ∆，0P 是边AB 上一定点，满足014PB AB =，且对于边AB 上任 一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅⋅≥．则 A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D.【解析】由题意，设||4AB =，则0||1P B =，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，在AB 上任取一点P ，设0HP a =，则由数量积的几何意义可得，||||(||(1))||PB PC PH PB PB a PB ⋅==-+，0000||||P B PC P H P B a ⋅=-=-，于是00PB PC P B PC ⋅⋅≥恒成立，相当于(||(1))||PB a PB a -+-≥恒成立， 整理得2||(1)||PB a PB a -++≥0恒成立，只需22(1)4(1)0a a a ∆=+-=-≤即可，于是1a =， 因此我们得到2HB =，即H 是AB 的中点， 故△ABC 是等腰三角形，所以AC BC =．29.（2013辽宁）已知点(1,3)A ，(4,1)B -，则与向量AB 同方向的单位向量为A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 【答案】A.【解析】(3,4)AB =-，所以||5AB =，∴同方向的单位向量是134(,)555AB =-． 30.（2013湖北）已知点(1,1)A -、(1,2)B 、(2,1)C --、(3,4)D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为ABC． D．【答案】A.【解析】AB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为22325515255)5,5()1,2(cos 22=⨯+⨯=+⋅==CD AB AB θ. 31.（2013湖南）已知,a b 是单位向量，⋅0a b =．若向量c 满足1--=c a b ，则c 的最大值为A1 BC1 D2P 0PHCBA【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标()()1,0,0,1==a b ，又设(),x y =c ，代入1--=c a b 1=，又c 的最大值为圆()()22111x y -+-=上的动点到原点的距离的最大值，即圆心(1，1)1．32.（2013重庆）在平面上，12AB AB ⊥，121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <，则OA 的取值范围是A 、2⎛ ⎝⎦B 、 22⎛ ⎝⎦C 、 2⎛ ⎝D 、2⎛ ⎝ 【答案】D.【解析】因为1AB ⊥2AB ，所以可以A 为原点，分别以1AB ，2AB 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．设B 1(a,0)，B 2(0，b )，O (x ，y )，则AP ＝1AB ＋2AB ＝(a ，b )，即P (a ，b )． 由|1OB |＝|2OB |＝1，得(x －a )2＋y 2＝x 2＋(y －b )2＝1. 所以(x －a )2＝1－y 2≥0，(y －b )2＝1－x 2≥0.由|OP |＜12，得(x －a )2＋(y －b )2＜14，即0≤1－x 2＋1－y 2＜14.所以74＜x 2＋y 2≤2，即2<≤所以|OA |的取值范围是2⎛ ⎝，故选D ．33.（2013广东）设a 是已知的平面向量且0≠a ，关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使=+a b c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使λμ=+a b c ；③给定单位向量b 和正数μ，总存在单位向量c 和实数λ，使λμ=+a b c ； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使λμ=+a b c ； 上述命题中的向量b ，c 和a 在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是 A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】利用向量加法的三角形法则，易得①正确； 利用平面向量的基本定理，易的②是对的；以a 的终点作长度为μ的圆，这个圆必须和向量λb 有交点，这个不一定能满足，③是错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即必须=+λμλμ+≥b c a ，所以④是假命题.综上，本题选B.34.（2012陕西）设向量a =（1,cos θ）与b =（-1,2cos θ）垂直，则cos2θ等于A ．2 B ．12C ．0D ．－1 【答案】C.【解析】22,0,12cos 0,cos 22cos 10.a b a b θθθ⊥∴⋅=∴-+=∴=-=正确的是C ． 35.（2012浙江）设a ，b 是两个非零向量A ．若||||||+=-a b a b ，则⊥a bB ．若⊥a b ，则||||||+=-a b a bC ．若||||||+=-a b a b ，则存在实数λ，使得λ=b aD ．若存在实数λ，使得λ=b a ，则||||||+=-a b a b 【答案】C.【解析】2222||||||||2||||2||||||+=-⇒++=-+a b a b a ab b a a b b ，则||||0=-≠ab a b ，所以,a b 不垂直，A 不正确，同理B 也不正确； ||||=-ab a b ，则cos ,1>=-<a b ，所以,a b 共线，故存在实数λ，使得λ=b a ，C 正确；若=b a ，则1λ=，此时||2|0||||+=≠=-a b a |a b ，所以D 不正确．36.（2012天津）在△ABC 中，90A ∠=,AB =1，设点P ，Q 满足AP AB λ=,(1)AQ AC λ=-，R λ∈．若2BQ CP ⋅=-，则λ=A ．31 B ．32 C ．34D ．2 【答案】B.【解析】如图，设,AB b AC c == ，则1,2,0b c b c ==•=，又(1)BQ BA AQ b c λ=+=-+-，CP CA AP c b λ=+=-+，由2-=•CP BQ 得22[(1)]()(1)4(1)2b c c b c b λλλλλλ-+-•-+=--=--=-，即32,23==λλ，选B. 37.（2012安徽）在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O按逆时针旋转34π后得向量OQ ，则点Q 的坐标是 A．(- B．(- C ．(2)-- D．(2)- 【答案】A.【解析】方法一、 设34(10cos ,10sin )cos ,sin 55OP θθθθ=⇒== 则33(10cos(),10sin())(44OQ ππθθ=++=-． 方法二、 将向量(6,8)OP =按逆时针旋转34π后，可知Q 点落在第三象限， 则可排除B 、D ，代入A ，由向量的夹角公式可得cos 2QOP ∠=-， ∴34QOP π∠=． 设()y ,x Q ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧OQ OP 及00<<y,x 解得⎩⎨⎧-=-=227y x , ∴点Q 的坐标是(-38.（2012广东）对任意两个非零的平面向量α和β,定义αβαβββ⋅=⋅．若平面向量,a b 满CB足||||0>a b ，a 与b 的夹角(0,)4πθ∈，且a b 和b a 都在集合{|}2∈nn Z 中，则a b =A ．12 B ．1 C ．32 D ．52【答案】C.【解析】首先观察集合113{|},1,,0,,1,,2,2222nn Z ⎧⎫∈=⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⎨⎬⎩⎭，从而分析a b和b a 的范围如下：∵(0,)4πθ∈，cos 1θ<<，而||cos ||θ⋅==⋅b a b b a a a a ， 且||||0>a b ，可得||0cos 1||θ<<b a ， 又∵∈b a {|}2∈nn Z 中，∴||1cos ||2θ=b a ，从而||1||2cos θ=b a ， ∴2||cos 2cos ||θθ⋅===⋅a b a a b b b b ，所以12<<a b ，且a b 也在集合{|}2∈nn Z 中，故有32=a b ．39.（2011广东）已知向量a =（1,2），b =（1,0），c =（3,4）．若λ为实数， ()λ+∥a b c ，则λ=A ．14 B ．12C ．1D ．2 【答案】B.【解析】(1,2)λλ+=+a b ，由()λ+a b ∥c ，得64(1)0λ-+=，解得λ=1240.（2011辽宁）已知向量(2,1)=a ，(1,)k =-b ，(2)0⋅-=a a b ，则=kA ．12-B ．6-C ．6D ．12 【答案】D.【解析】∵2(5,2)k -=-a b ，由(2)0⋅-=a a b ，得(2,1)(5,2)0k ⋅-=，∴1020k +-=，解得12k =．41.（2011山东）设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ=(λ∈R )，1412A A A A μ=(μ∈R )，且112λμ+=，则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ，已知点(,0)C c ，(,0)D d ，(,c d ∈R )调和分割 点(0,0)A ，(1,0)B ，则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点 C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D.【解析】根据已知得(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]c λ-=-，即(,0)(1,0)c λ=，从而得c λ=；(,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]d μ-=-，即(,0)(1,0)d μ=，得d μ=，根据112λμ+=，得112c d+=．线段AB 的方程是0y =，[0,1]x ∈． 若C 是线段AB 的中点，则12c =，代入112c d +=，得10d=．此等式不可能成立，故选项A 的说法不成立；同理选项B 的说法也不成立；若,C D 同时在线段AB 上，则01c <≤，01d <≤，此时11c ≥，11d≥，112c d +≥，若等号成立，则只能1c d ==。