2.1岩石破坏准则1
岩石破坏准则
目前岩石力学领域中,对岩石在单独承受静荷载作用时破坏准则的研究已经比较深透(详情见资料p170-175),对单独承受动载作用时的岩石破坏也取得一定进展(1,19,182-192).上述实验和理论表明,岩石在承受动静和在动、静载荷时，其力学特性和破坏规律有较大差异，岩石破坏准则也有较大差异。
少数学者利用动力三轴试验机进行过加围压的岩石三向抗压试验（19），得到了以三向静压缩不同的结论。
对于同方向的动静组合加载强度的专门研究，目前善无文献记载。
目前就岩石材料低应变率（ɛ*<10−4/s）的破坏准则和高应变率（ɛ*<10−2/s）破坏准则的试验较多且理论分析较为深入，介于这两者中间的中等应变率的破坏准则研究，受到实验条件和技术的限制，显得相对较少。
此前材料破坏准则分为四大类：⑴应力或应变类破坏准则；⑵能量类破坏准则；⑶损伤类破坏准则；⑷经验类破坏准则；
有代表性的能量类破坏准则即形状改变比能理论（第四强度理论），实践证明，对于塑性材料，该理论主要适用于拉压性质相同的情况，对三向等值拉伸无能为力；对于脆性材料，该理论主要适用于三向压应力相近的情况。
由于破坏准则中一般忽略了反映静水压力的体积形变能，故2002年广西大学学报刊登了余熙莹《关于第四强度理论的修正》，提出了用体积变形比能和形状改变比能之和即应变能密度作为材料破坏准则。
分工:XXX。
岩石的破坏准则汇总
岩石的破坏准则岩石的破坏准则对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢？因此，就必须建立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。
岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。
用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。
岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。
在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延1岩石的破坏准则2性性质，同时它的强度极限也大大提高了。
岩石的破坏准则许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准则主要有：最大正应力理论最大正应变理论最大剪应力理论（H.Tresca）八面体应力理论莫尔理论及库伦准则格里菲思理论（Griffith）伦特堡理论（Lundborg）经验破坏准则3岩石的破坏准则41、最大正应力理论这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力。
即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时，材料就破坏。
适用条件： 单向应力状态。
对复杂应力状态不适用。
写成解析式：破坏岩石的破坏准则52、最大正应变理论该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。
则破坏准则为式中 m ax ε——岩石内发生的最大应变值；u ε——单向拉、压时极限应变值；这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）岩石的破坏准则6R — R t 或R c推出：实验指出，该理论与脆性材料实验值大致符合，对塑性材料不适用。
岩石的破坏准则73、最大剪应力理论（H.Tresca ）该理论认为岩石材料的破坏取决于最大剪应力，即当最大剪应力达到单向压缩或拉伸时的危险值时，材料达到破坏极限状态。
其破坏准则为：在复杂应力状态下，最大剪应力231max σστ-=岩石的破坏准则8单位拉伸或压缩时，最大剪应力的危险值则有 R ≥-31σσ或写成 {}{}{}0)][)][)][221222232231=------R R R σσσσσσ这个理论适用于塑性岩石，不适用于脆性岩石。
岩石变形破坏的能量研究综述
岩石变形破坏的能量研究综述摘要：对于岩石力学特性的研究已经有了不俗的成果，以往都是以弹塑性理论为基础做研究，从而成为岩石变形破坏的准则之一，但这并不准确。
岩石的破坏变形本质上的能量驱动的结果。
理论和实验研究证实，能量在岩石变形和破坏中起重要作用。
外力耗散的能量会在岩石内部产生损坏和不可逆转的变形，并随着时间的推移降低岩石强度。
岩石的结构破坏是由应变能的突然释放引起的，在某些条件下表现为岩石的灾难性破坏。
岩石体积中释放的应变能在岩石中产生这种突然的结构破坏方面起着关键作用。
本文以岩石的变形破坏为基础，以能量的角度出发，分析岩石失稳破坏的能量驱动本质，为岩石工程发展提供理论基础。
关键词：岩石破坏变形，能量耗散，能量释放，能量密度，应力—应变A Review of Energy Research on Rock Deformation and FailureZHANG Haochuan(Civil Engineering and Water Conservancy, Chongqing Jiaotong University, Chongqing 400041):Abstract:There have been remarkable achievements in the study of rock mechanical properties, which were previously based on elastic-plastic theory and became one of the criteria for rock deformation and failure, but this is not accurate. The failure and deformation ofrocks are essentially driven by energy. Theoretical and experimental studies have confirmed that energy plays an important role in rock deformation and failure. The energy dissipated by external forces will cause damage and irreversible deformation inside the rock, and reduce the strength of the rock over time. The structural failure of rocks is caused by the sudden release of strain energy, and under certain conditions, it manifests as catastrophic failure of the rock. Thestrain energy released in the rock volume plays a crucial role in generating this sudden structural failure in the rock. This article is based on the deformation and failure of rocks, and from theperspective of energy, analyzes the energy driven essence of rock instability and failure, providing a theoretical basis for the development of rock engineering.Key words:Rock failure and deformation, energy dissipation, energy release, energy density, stress-strain1 引言对于岩石力学特性的研究已经有了不俗的成果，以往都是以弹塑性理论为基础做研究，从而成为岩石变形破坏的准则之一[1-9]。
岩石破坏应变准则
岩石破坏应变准则岩石破坏应变准则是指在岩石受到外力作用下，岩石内部发生应变，当应变达到一定程度时，岩石就会发生破坏。
这个准则是岩石力学中非常重要的一个概念，对于岩石工程和地质灾害防治都有着重要的意义。
岩石破坏应变准则是基于岩石的本构关系和破坏准则建立的。
岩石的本构关系是指岩石在受到外力作用下的应力和应变之间的关系。
而破坏准则则是指岩石在受到一定应力作用下，达到一定应变时，就会发生破坏。
岩石的本构关系是非线性的，即岩石的应力和应变之间的关系不是简单的比例关系。
在岩石受到外力作用下，岩石内部会发生弹性变形和塑性变形。
弹性变形是指岩石在受到外力作用下，会发生短暂的变形，当外力消失时，岩石会恢复原状。
而塑性变形则是指岩石在受到外力作用下，会发生永久性的变形，当外力消失时，岩石无法恢复原状。
当岩石受到外力作用时，岩石内部会发生应变。
应变是指岩石内部的变形程度。
当应变达到一定程度时，岩石就会发生破坏。
岩石的破坏准则有很多种，常见的有莫尔-库伦破坏准则、德拉克-普鲁克破坏准则、霍克斯-普鲁克破坏准则等。
莫尔-库伦破坏准则是指当岩石内部的剪应力达到一定值时，岩石就会发生破坏。
德拉克-普鲁克破坏准则是指当岩石内部的应力状态达到一定条件时，岩石就会发生破坏。
霍克斯-普鲁克破坏准则是指当岩石内部的应力状态达到一定条件时，岩石就会发生破坏。
在岩石工程和地质灾害防治中，岩石破坏应变准则是非常重要的。
通过对岩石的破坏应变准则的研究，可以预测岩石的破坏形式和破坏时间，为岩石工程和地质灾害防治提供科学依据。
同时，对于岩石的破坏应变准则的研究，也可以为岩石力学的发展提供重要的参考。
岩石破坏准则
2.1岩石破坏强度准则岩石的破坏主要与外荷载的作用方式、温度及湿度有关。
一般在低温、低围压及高应变率的条件下，岩石表现为脆性破坏，而在高温、高围压、低应变率作用下，岩石则表现为塑性或者塑性流动。
对于较完整的岩石来说，其破坏形式可以分为：1)脆性破坏；3)延性破坏。
图2-1给出了不同应力状态下岩石破裂前应变值、破坏形态示意图和典型的应力-应变曲线示意图。
图2-1岩石破坏形态示意图从图2-1中可以看出岩石破裂种类繁多、岩石破坏过程中的应力、变形、裂纹产生和扩展极为复杂，很难用一种模型进行描述，很多学者针对不同岩石破坏特征提出多种不同岩石的强度破坏准则。
本节主要对已有的岩石强度破坏准则进行总结，找出它们各自的优缺点。
2.1.1最大正应力强度理论最大正应力强度理论也称朗肯理论，该理论是1857年提出的。
它假定挡土墙背垂直、光滑，其后土体表面水平并无限延伸，这时土体内的任意水平面和墙的背面均为主平面（在这两个平面上的剪应力为零），作用在该平面上的法向应力即为主应力。
朗肯根据墙后主体处于极限平衡状态，应用极限平衡条件，推导出了主动土压力和被动土压力计算公式。
考察挡土墙后主体表面下深度z 处的微小单元体的应力状态变化过程。
当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力sz 保持不变，而水平向应力sx 逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态。
土体处于极限平衡状态时的最大主应力为s1=gz ，而最小主应力s3即为主动土压力强度pa 。
根据，当主体中某点处于极限平衡状态时，大主应力1σ和小主应力3σ之间应满足以下关系式：粘性土：213...2tan tan 454522c ϕϕσσ⎛⎫⎛⎫︒︒=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）无粘性土231.tan 452ϕσσ⎛⎫︒=- ⎪⎝⎭（2）该理论认为材料破坏取决于绝对值最大的正应力。
因此，作用于岩石的三个正应力中，只要有一个主应力达到岩石的单轴抗压强度或岩石的单轴抗拉强度，岩石便被破坏。
岩石力学6章(中)
剪 裂 面 外 法 线 方 向 与 最 大 主 应 力 (maximum 之间的夹角可以从图6 中看出： principal stress)σ 1之间的夹角可以从图6-2中看出：
2θ = 90 + ϕ
o
θ = 45 +
o
ϕ
2
三、库伦一纳维尔破坏准则的第二种表示方法
库伦一纳维尔破坏准则也可采用主应力 1 σ 来表示， σ 、3 来表示， 剪裂面上应力与主应力关系如图6 所示，剪裂面上应力为： 剪裂面上应力与主应力关系如图6-3所示，剪裂面上应力为：
1 1 σ n = (σ 1 + σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 ) cos 2θ 2 2 1 τ f = (σ 1 − σ 3 )sin 2θ 2
σ1
σn τ
b
σ3
σ3
a
θ
σ1
图6-3 剪裂面上应力与主应力关系
将它们代入库伦一纳维尔破坏准则表达式中： 将它们代入库伦一纳维尔破坏准则表达式中： 库伦一纳维尔破坏准则表达式中
n
剪切面上的正应 f = tg ϕ 。
取σ、τ 为直角坐标 系的横轴、 系的横轴、 纵轴， 纵轴，则上 式为一直线 方程。 方程。如图 6-1所示。 所示。
图6-1
库伦一纳维尔破坏准则示意图
随着最大主应力的增大，岩石逐渐达到破坏条件。 随着最大主应力的增大，岩石逐渐达到破坏条件。 如图6 如图6－2所示： 所示：
1 + sin ϕ 1 + sin ϕ σ1 = σ 3 ⋅ + 2τ 0 1 − sin ϕ 1 − sin ϕ
根据三角恒等式： 根据三角恒等式：
1 + sin ϕ ϕ 2 o = tg 45 + 1 − sin ϕ 2
第三章2岩石的破坏准则
五、岩石的破坏准则对岩石试样的室内及现场试验，可获得岩石试样的强度指标，但对复杂应力状态下的天然岩体，又是如何判断其破坏呢因此，就必须建立判断岩石破坏的准则（或称强度理论）。
岩石的应力、应变增长到一定程度，岩石将发生破坏。
用来表征岩石破坏条件的函数称为岩石的破坏准则。
岩石在外力作用下常常处于复杂的应力状态，许多试验指出，岩石的强度及其在荷载作用下的性状与岩石的应力状态有着很大的关系。
在单向应力状态下表现出脆性的岩石，在三向应力状态下具有延性性质，同时它的强度极限也大大提高了。
许多部门和学者从不同角度提出不同的破坏准则，目前岩石破坏准则主要有：最大正应力理论最大正应变理论最大剪应力理论（）八面体应力理论莫尔理论及库伦准则格里菲思理论（Griffith）伦特堡理论（Lundborg）经验破坏准则1、最大正应力理论这是较早的一种理论，该理论认为岩石的破坏只取决于绝对值最大的正应力。
即岩石内的三个主应力中只要有一个达到单轴抗压或抗拉强度时，材料就破坏。
适用条件：单向应力状态。
对复杂应力状态不适用。
写成解析式：破坏2、最大正应变理论该理论认为岩石的破坏取决于最大正应变，即岩石内任一方向的正应变达到单向压缩或拉伸时的破坏数值时，岩石就发生破坏。
则破坏准则为式中m axε——岩石内发生的最大应变值；uε——单向拉、压时极限应变值；这一破坏准则的解析式为（由广义虎克定律）R — R t或R c推出：实验指出，该理论与脆性材料实验值大致符合，对塑性材料不适用。
3、最大剪应力理论（）该理论认为岩石材料的破坏取决于最大剪应力，即当最大剪应力达到单向压缩或拉伸时的危险值时，材料达到破坏极限状态。
其破坏准则为：在复杂应力状态下，最大剪应力231max σστ-=单位拉伸或压缩时，最大剪应力的危险值则有 R ≥-31σσ或写成 {}{}{}0)][)][)][221222232231=------R R R σσσσσσ这个理论适用于塑性岩石，不适用于脆性岩石。
岩石破坏机理及节理裂隙分布尺度效应的非线性动力学分析与应用
岩石破坏机理及节理裂隙分布尺度效应的非线性动力学分析与应用概述：岩石破坏机理及节理裂隙分布尺度效应是岩石力学领域的核心问题之一、在实际工程中，岩石的破坏是一个非线性、复杂的过程，其研究对于地下开挖、土木工程、地震等都具有重要的意义。
本文将围绕岩石破坏机理和节理裂隙分布尺度效应展开非线性动力学分析与应用的研究。
一、岩石破坏机理研究1.岩石力学模型：岩石的力学性质是岩石破坏机理的基础。
研究岩石的本构模型和损伤模型，了解岩石在受力过程中的行为特点，对于预测岩石的破坏行为具有重要意义。
2. 破坏准则：破坏准则是判断岩石破坏的标志，研究岩石的破坏准则可以为实际工程提供指导。
常用的破坏准则有Mohr-Coulomb准则、Drucker-Prager准则、Hoek-Brown准则等。
3.破坏模式：不同的岩石在受力过程中会出现不同的破坏模式，如拉伸破坏、压缩破坏、剪切破坏等。
研究岩石的破坏模式可以提供关于岩石破坏机理的重要信息。
二、节理裂隙分布尺度效应研究1.节理裂隙尺度效应：岩石中存在着不同尺度的节理裂隙，研究节理裂隙的尺度效应可以帮助理解节理对岩石破坏的影响。
不同尺度的节理裂隙对岩石的强度和变形特性有不同影响，研究这种尺度效应对于评估岩石的可靠性和稳定性具有重要意义。
2.节理裂隙分布特征：节理裂隙的分布特征是确定岩石破坏性质的重要因素。
研究节理裂隙的分布特征可以为预测岩石破坏的范围和程度提供参考。
3.节理裂隙对破坏机理的影响：节理裂隙通常会导致岩石的非均匀变形和应力集中。
研究节理裂隙对岩石破坏机理的影响可以揭示节理裂隙与岩石破坏机理之间的关系。
非线性动力学分析是研究岩石破坏过程中非线性动力学行为的重要手段。
通过建立非线性动力学模型，可以模拟并预测岩石在受力过程中的破坏行为。
1.数值模拟方法：利用计算机仿真方法，建立岩石的非线性动力学模型，并通过数值计算手段研究岩石破坏的过程和机理。
2.实验研究：通过实验手段，对岩石的破坏行为进行直接观测和测量，验证非线性动力学模型的准确性，并提供实际工程的参考依据。
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2.1岩石破坏强度准则岩石的破坏主要与外荷载的作用方式、温度及湿度有关。
一般在低温、低围压及高应变率的条件下，岩石表现为脆性破坏，而在高温、高围压、低应变率作用下，岩石则表现为塑性或者塑性流动。
对于较完整的岩石来说，其破坏形式可以分为：1)脆性破坏；3)延性破坏。
图2-1给出了不同应力状态下岩石破裂前应变值、破坏形态示意图和典型的应力-应变曲线示意图。
图2-1 岩石破坏形态示意图从图2-1中可以看出岩石破裂种类繁多、岩石破坏过程中的应力、变形、裂纹产生和扩展极为复杂，很难用一种模型进行描述，很多学者针对不同岩石破坏特征提出多种不同岩石的强度破坏准则。
本节主要对已有的岩石强度破坏准则进行总结，找出它们各自的优缺点。
2.1.1最大正应力强度理论最大正应力强度理论也称朗肯理论，该理论是朗肯(W.J.M.Rankine)于1857年提出的。
它假定挡土墙背垂直、光滑，其后土体表面水平并无限延伸，这时土体内的任意水平面和墙的背面均为主平面（在这两个平面上的剪应力为零），作用在该平面上的法向应力即为主应力。
朗肯根据墙后主体处于极限平衡状态，应用极限平衡条件，推导出了主动土压力和被动土压力计算公式。
考察挡土墙后主体表面下深度z 处的微小单元体的应力状态变化过程。
当挡土墙在土压力的作用下向远离土体的方向位移时，作用在微分土体上的竖向应力 sz 保持不变，而水平向应力sx 逐渐减小，直至达到土体处于极限平衡状态。
土体处于极限平衡状态时的最大主应力为 s1=gz ，而最小主应力 s3即为主动土压力强度 pa 。
根据土的极限平衡理论，当主体中某点处于极限平衡状态时，大主应力1σ和小主应力3σ之间应满足以下关系式：粘性土： 213...2tan tan 454522c ϕϕσσ⎛⎫⎛⎫︒︒=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （1） 无粘性土231.tan 452ϕσσ⎛⎫︒=- ⎪⎝⎭（2） 该理论认为材料破坏取决于绝对值最大的正应力。
因此，作用于岩石的三个正应力中，只要有一个主应力达到岩石的单轴抗压强度或岩石的单轴抗拉强度，岩石便被破坏。
因此，朗肯强度破坏准则可以表示为：c σσ≥1，或者t σσ-≤3式中，1σ为岩石受到的最大主应力，MPa ；3σ为岩石受到的最小主应力，MPa ；c σ为岩石单轴抗压强度，MPa ；t σ为岩石抗拉强度，MPa 。
朗肯强度破坏准则只适用于岩石单向受力及脆性岩石在二维应力条件下的受拉状态，处于复杂应力状态中的岩石不能采用这种强度理论。
2.1.2最大正应变强度理论岩石受压时沿着平行于受力方向产生张性破裂。
因此，人们认为岩石的破坏取决于最大正应变，岩石发生张性破裂的原因是由于其最大正应变达到或超过一定的极限应变所致。
根据这个理论，只要岩石内任意方向上的正应变达到单轴压缩破坏或单轴拉伸破坏时的应变值，岩石便被破坏。
岩石强度条件可以表示为：m εε≤max （3）式中，m ax ε为岩石内发生的最大应变值，可用广义胡克定律求出；m ε为单向压缩或单向拉伸试验时岩石破坏的极限应变值，由实验求得。
对于三轴应力状态时：()[]321max 1σσμσε+-=E（4） 对单轴拉伸应力状态时： E 1max σε= （5）试验证明，这种强度理论只适用于脆性岩石，不适用于岩石的塑性变形。
2.1.3最大剪应力强度理论最大剪应力张度理论也称为Tresca 强度准则，是研究塑性材料破坏过程中获得的强度理论。
试验表明，当材料发生屈服时,试件表面将出现大致与轴线呈45°夹角的斜破面。
由于最大剪应力出现在与试件轴线呈45°夹角的斜面上，所以，这些破裂面即为材料沿着该斜面发生剪切滑移的结果。
一般认为这种剪切滑移是材料塑性变形的根本原因。
因此，最大剪应力强度理论认为材料的破坏取决于最大剪应力。
当岩石承受的最大剪应力τmax 达到其单轴压缩或单轴拉伸极限剪应力τm 时，岩石便被剪切破坏。
当受力物体（质点）中的最大切应力达到某一定值时，该物体就发生屈服。
或者说，材料处于塑性状态时，其最大切应力是一不变的定值，该定值只取决于材料在变形条件下的性质，而与应力状态无关。
Tresca 屈服准则认为当岩石中的最大剪应力达到单向压缩或拉伸时的危险值时，材料就达到危险状态。
该准则对于金属材料而言是近似正确的，但对于岩石材料而言则结果相差较大。
Tresca 准则是假定材料中最大剪应力达到某一特定值，材料就开始进入塑性状态。
其数学表达式为：max 2s K στ== （6） 或者 max min 2s K σσσ-== （7）K 为材料屈服时的最大切应力值，也称剪切屈服强度。
若规定主应力大小顺序为123σσσ≥≥，则有：132K σσ-= （8）如果不知道主应力大小顺序时，则屈雷斯加屈服准则表达式为122331222s s s K K K σσσσσσσσσ-=±=±⎫⎪-=±=±⎬⎪-=±=±⎭（9）左边为主应力之差，故又称主应力差不变条件。
式中三个式子只要满足一个，该点即进入塑性状态。
而从推导过程分析；Tresca 准则由于其假定材料内摩擦力为零(0φ=)，因而在岩土工程设计中，其用于一些只有粘聚强度的纯粘性即(0φ=)的金属和岩石，效果会更好。
2.1.4 Coulomb-Navier 准则Coulomb-Navier 准则认为岩石的破坏属于在正应力作用下的剪切破坏，它不仅与该剪切面上剪应力有关，而且与该面上的正应力有关。
所以岩石并不是沿着最大剪应力作用面发生破坏，而是沿着剪应力和正应力最不利组合的某一面产生破坏的。
其表达式为：tan C τσϕ=+ (10)式中，ϕ为岩石材料的内摩擦角；σ为正应力；C 为岩石黏聚力。
在στ-坐标上它是一条直线。
如图2-2所示。
图2-2 Coulomb-Navier 强度线及极限应力圆岩体中的正断层多陡倾，而逆断层的倾角多小于45°的地质现象。
利用图2-2所示的关系，可推导出：φφσφσsin 1)sin 1(cos 231-++=c （11） １）已知岩石中某一点的应力及剪切强度参数值，即可判断岩石破坏与否。
①左边＞右边◊岩石破坏；②左边＝右边◊岩石处于临界破坏状态；③左边＜右边◊岩石不破坏。
2）当岩石在单向拉伸条件下破坏时，即10σ=，此时的单轴抗拉强度为：φφσσsin 1cos 23+-==c t （12） 3）当岩石在单向压缩条件下破坏时，即30σ=，此时的单轴抗压强度为φφσσsin 1cos 21--==c c （13） Coulomb-Navier 准则是一种经验公式，它一般只适用于岩石材料的受压状态，对受拉不太适宜。
而且，该准则只考虑了最大和最小主应力对破坏的影响，并没有考虑中间主应力的影响。
2.1.5 Mohr-Coulomb 破坏准则在岩土工程中，土体破坏准则应用最广泛的准则即为该准则。
该准则实质上也是一种剪应力屈服条件。
它认为当材料某平面上剪应力n τ达到一特定值时，材料就进入屈服阶段。
但是与Tresca 准则不同，这一特定值不是一个常数，而是和该平面上的正应力n σ有关。
其一般数学表达式为：(),,N n f C φστ= （14） 当土体在法向应力不大的情况下，取线性关系，其破坏准则的表达式：1313sin cos 22C σσσσφφ-+=+(其中φ为内摩擦角，C 为粘聚力) 令132N σσσ+=，又有13max 2σστ-=，则上式变为cos n tg C τφσφ=+；若φ值很小，则cos 1φ≈。
那么等式变为：n tg C τφσ=+ （15）从上可以看出Mohr-Coulomb 准则没有考虑中主应力。
我们仍可以从上面的推导过程知道库仑公式的适用范围及其需要注意的地方。
在推导的第一步，先假定其为直线关系，而当法向应力很大时，其抗剪强度往往不成线性关系，而成曲线形式。
法向应力的增大对抗剪强度是有影响的，而库仑公式没有考虑这一影响。
其次在推导过程中假定内摩擦角φ很小，cos 1φ≈，这就造成计算值和真值之间有误差。
Mohr-Coulomb 准则推得：1cos n tg C τφσφ=+ （16） 而库伦定律：2n tg C φτσ=+ （17）现我们把1τ叫真值，2τ叫计算值，可以看出计算值2τ比真值1τ大。
2.1.6八面体应力强度准则假定采用任一斜截面去截取正六面单元体，如图l(a)、图1(b)所示，采用材料力学或弹性力学的方法，则可推导出该斜截面上的最大切应力和主应力，即该截面与其中两个主应力轴成45°，亦即两个方向余弦为22±；而与另一个主应力轴平行，即方向余弦为0，则相应的应力分别记作双剪主切应力和双剪正应力，统称为双剪应力。
图1斜截面应力根据斜截面上的应力与主应力关系，则有：222123123l l l l σσσσ=++ （18）l τ= （19） 由此，可得到正交八面单元体上双剪应力与主应力的关系：()1313131/2στσσ=± （20） ()1212121/2στσσ=± （21） ()2323231/2στσσ=± （22） 其张量表示为：()1/2ij ij i j στσσ=± (),1,2,3i j i j =≠ （23） 根据弹性理论，有：12383m σσσσσ++== （24）8τ= （25）通过变换，等倾八面体应力与双剪应力的关系为：3311131223833ij i j i jσσσσσ==<∑∑++== （26）82233τ== （27） 八面体应力强度理论认为当八面体上剪应力τOCT 达到某一临界值时，材料便屈服或破坏。
冯-米塞斯 (Von-Mises)认为，当八面体上的剪应力τOCT 达到单向受力至屈服时八面体上极限剪应力τs ，材料便屈服或破坏。
由冯-米塞斯强度条件τOCT=τs ，得 ()()()y σσσσσσσ3231213232221=-+-+- （28） 对于塑性材料，这个理论与试验结果很吻合。
在塑性力学中，这个理论称之为冯-米塞斯破坏条件，一直被广泛应用。
2.1.7 Drucker-Prager 准则Drucker-Prager 强度准则是Von-Mises 准则的推广。
Von-Mises 准则认为，八面体剪应力或平面上的剪应力分量达到某一极限值时，材料开始屈服，在主应力空间，Mises 准则是正圆柱面，但岩石具有内摩擦性，因此，Drucker-Prager 强度准则在主应力空间是圆锥面，具体形式如下：2121J H H J =+ （29）12313J σσσ++=（30）2J = （31）Drucker-Prager 强度准则计入了中间应力的作用，并考虑了静水压力对屈服过程的影响，能够反映剪切引起的膨胀（扩容）性质，在模拟岩石材料的弹塑性特征时，得到了广泛的应用，但是在进行数值计算时，H1、H2究竟选择何种形式，并无明确结论。