第三章 几何光学的基本原理1
第三章 几何光学的基本原理
四、薄透镜作图求像法
作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图 来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。 1、主轴外的近轴物点
方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即
为所求像点。
Q
●
① ②
Q
●
①
③
F
③
o
F
'
②
F'
Q'
Q'
o
F
2、主轴上的物点 • 物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。 • 像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点F‘且与主轴垂直的平面。 • 副轴： 焦平面上任一点与光心O的连线。有无穷条。 • 焦平面的性质：
Principles of Geometrical Optics
几何光学——撇开光的波动本性，以几何定律和某些实 验定律为基础的光学称为～或光线光学。
几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多情况
下的传播规律.当几何尺寸可以与光波波长相比时,则由
几何光学获得的结果将与实际有显著差别，甚至相反.几
一、费马原理的推论
费马原理：光在空间两定点间传播时，光程总是取极值。 • 两点一定，其极值为一个确定值。 • 无论这两点间有多少条实际光路，每条光路（即光线）的光 程都必须且只能等于这个确定值。
y
Q A -x
h 要使物体上的任一点Q（定点） P` 理想成像于Q‘（另一定点），即 P -y` O 从Q点发出的所有光线经反射或 Q` ’，必须满足： 折射后均会聚于Q 从Q点发出的所有光线到达Q‘时，光程均相等。——费马原理的推论
c1
双凹
r2
o1
o2
几何光学的基本原理
第三章几何光学本章重点：1、光线、光束、实像、虚像等概念；2、Fermat原理3、薄透镜的物像公式和任意光线的作图成像法；4、几何光学的符号法则（新笛卡儿法则）；本章难点：5、理想光具组基点、基面的物理意义；§3.1 几何光学的原理几何光学的三个实验定律：1、光的直线传播定律——在均匀的介质中，光沿直线传播；2、光的独立传播定律——光在传播过程中与其他光束相遇时，不改变传播方向，各光束互不受影响，各自独立传播。
3、光的反射定律和折射定律当光由一介质进入另一介质时，光线在两个介质的分界面上被分为反射光线和折射光线。
反射定律：入射光线、反射光线和法线在同一平面内，这个平面叫做入射面，入射光线和反射光线分居法线两侧，入射角等于反射角光的折射定律：入射光线、法线和折射光线同在入射面内，入射光线和折射光线分居法线两侧，介质折射率不仅与介质种类有关,而且与光波长有关。
§3.2 费马原理一、费马原理的描述：光在指定的两点间传播，实际的光程总是一个极值（最大值、最小值或恒定值）。
二、表达式,(A,B是二固定点)Fermat原理是光线光学的基本原理，光纤光学中的三个重要定律——直线传播定律，反射定律和折射定律（）——都能从Fermat原理导出。
§3.3 光在平面界面上的反射和折射、光学纤维一、基本概念：单心光束、实像、虚像、实物、虚物等二、光在平面上的反射根据反射定律，可推导出平面镜是一个最简单的、不改变光束单心性的、能成完善像的光学系统．三、单心光束的破坏（折射中，给出推导）四、全反射1、临界角2、全反射的应用全反射的应用很广，近年来发展很快的光学纤维，就是利用全反射规律而使光线沿着弯曲路程传播的光学元件。
2、应用的举例（棱镜）§3.4 光在球面上的反射和折射一、基本概念二、符号法则（新笛卡儿符号法则）在计算任一条光线的线段长度和角度时，我们对符号作如下规定：1、光线和主轴交点的位置都从顶点算起，凡在顶点右方者，其间距离的数值为正，凡在顶点左方者，其间距离的数值为负。
几何光学的基本原理
3
n2
A1 P2 P1 P P’ A2
n1
n1>n2, y’<y 像似深度小于实际深度
从空气中观看水中物体， 大小会不会变化？变大还是变小？ 从水中观察岸边的大树， 高度会不会变化？变高还是变矮？
海市蜃楼
“海市蜃楼”成因
光的折射产生了海市蜃楼
光线在穿过密度均匀的物质（介质）时，其传播方向和 速度一般保持不变；当光线倾斜地穿过密度不同的两种 介质时，在两种介质接触的地方，或者叫界面，不仅传 播速度发生改变，而且行进的方向也发生偏折，这就是 光折射现象。 当光线由密度较小的物质中射入密度较大的物质中，也 就是说，从光疏介质进入光密介质时，要向垂直于界面 的法线方向偏折，即折射角小于入射角。反之，折射角 会大于入射角。这就是光的折射规律。
一 基本概念
1 光线——表示光波传播方向的带箭头的几何线 2 波面——光波相位相同的面。波面是垂直于 光线的平面或者曲面
二 几何光学的基本实验定律：
1．光在均匀介质中的直线传播定律； 2．反射 (reflection) 定律和折射 (refraction)定 律
i1 = i1 ' ⎧ ⎨ ⎩n1 sin i1 = n2 sin i2
二、光在平面上的折射——单心性破坏
Ox是两种介质的分界面， P(0,y)
x′ = y (
⎩ y′ = y
2 1
A1 ( x1 , 0), A2 ( x2 , 0), P 1 (0, y1 ), P 2 (0, y2 ), P '( x ', y ')
y1 = n2 n1 y 2 + (1 − n12 2 ) x1 2 n2
使 Δ 为极值的条件为
光学 第3章 几何光学的基本原理
(1) 偏向角
i1
又
i2
i2
i2 '
i1'i2
A
'
i1 i1' A
(2) 最小偏向角0
当i1改变时 、i1'均随之而改变，当 i1 i1'时，偏向角取最小 0。
0 2i1 A
A
此时在棱镜内传播的光线平行于底边，有:
i2
i2 '
A 2
，i1
i1'
0
2
A
2. 棱镜的折射率
3、折射定律：(1) 折射线在入射线和法线决定的平面内； (2) 折射线、入射线分居法线两侧； (3) 折射角和入射角满足斯涅尔定律：n1sini1=n2sini2
i1 i1'
n1
n2
i2
7 反射和折射定律光路图
3、光的独立传播定律：几个光源发出的光在空间传播并相遇后， 它们将各自保持自己原有的特性(频率、波长、偏振状态)沿原来 的方向继续传播，互不影响。 4、光路可逆原理：当光线的方向反转时，它将逆着同一路径传 播，称为光路可逆原理。
i2 i2
A2 x2,0
i1 i1
B2 n2
x
n1
晰，像的深度由上式确定，y‘ 叫做像似深度 ，y是物的实际深度。
20
(3)像散现象：当i1≠0，即入射光束倾斜入射时，折射光线会发生像散现象。如沿 着倾斜的角度观察水中的物体时，像的清晰度由于像散而被破坏。
例1: 使一束向P点会聚的光在到达P点之前通过一平行玻璃板。如果将玻璃板 垂直于光束的轴竖放，问会聚点将朝哪个方向移动？移动的距离为多少？
A1 A2
P
P'
M
第三章 几何光学的基本原理
第三章几何光学的基本原理干涉和衍射现象揭示了光的波动性。
光既然具有波动性，那么，所有光学现象都应该能用波动概念来解释，包括光的直线传播现象在内。
但是直线传播，尤其是反射，折射成像等问题，如果不用波长、相位等波动的概念，而代之以光线和波面等概念，并用几何学方法来研究将更为方便。
这就是几何光学的研究内容。
由于这只有在波面线度远比波长大时才适用，因此本章所讲述的内容仅以成像的一级近似理论为限，因为这种近似有很大的实用意义。
3.1 光线的概念3.1.1 光线与波面“光线”只能表示光的传播方向，不可以误认为是从实际光束中借助于有孔光阑分出的一个狭窄部分，那么，在极限情况下，选用任意小的孔，就能得到像几何线那样的所谓“光线”，但是由于衍射作用，实际上要分出任意窄的光束是不可能的。
通过半径为R的圆孔的实际光束，其传播范围不可比避免的要扩大，其角宽度由衍射角θ∝λ/R决定[见（2－23）?的情况下，由衍射引起的扩大已不显著，光的传播过程才不用以次波叠式]。
只有在R l加的原理来分析，而只用光线来表示光的传播方向。
我们说“光束由无数光线构成”，不过是说明光沿着无数不同的方向传播罢了。
光波在介质中沿着光线传播时，相位不断地改变，但是同一波面上所有点的相位是相同的。
在各向同性介质中，光的传播方向总是和波面的法向方向相重合。
在许多实际情况中，人们经常考虑的只是光的传播方向问题，而不去考虑相位。
这时波面就只是垂直于光线的几何平面或曲面。
在这种极限情况下，实际上是把光线和波面都看做是抽像的数学概念。
对许多实际问题，特别是光学技术成像和照明工程等问题，借助于上述光线（有时用波面）的概念，并应用某些基本实验定律及几何定律，就可以进行所有必要的计算而不必涉及光的本性问题。
这部分以几何定律和某些基本实验定律为基础的光学称为几何光学（或光线光学）。
反映光的波动性的那部分光学称为波动光学。
在第1、2章波动光学中主要考虑的是波长、振幅和相位；这一章几何光学所考虑的主要将是光线和波面。
《光学教程》姚启钧原著-第三章-几何光学的基本原理
第三章
3.4 光连续在几个球面界面上的折射
子系统1
子系统m
子系统N
物
像
y1 y
y’N y’
一、共轴光具组
1、光轴 (optical axis) ---- 光学系统的对称轴 各球面的球心位于同一条直线上 连接各球心的直线为光轴
共轴光具组
实际成像系统通常由多个折射球面级联构成
r
n
n’
F
F’
O
C
像方焦点F’：与光轴上无穷远处物点对应的像点 像方焦距f’：与像方焦点对应的像距 像方焦平面：过F’点垂直于光轴的平面
像方焦距:
四、球面折射对光束单心性的破坏
物方焦点F : 与光轴上无穷远处像点对应的物点 物方焦距f ：与物方焦点对应的物距。 物方焦平面：过F点垂直于光轴的平面。
1
1’
O
二、几何光学的基本实验定律
1
1’
O
2
（3）光的折射定律
二、几何光学的基本实验定律
（4）光的独立传播定律和光路可逆原理
二、几何光学的基本实验定律
适用条件： R远大于光波长λ （否则，用衍射光学）
二、几何光学的基本实验定律
三、 费马原理
（一）、概念 光程:
B
A
低损耗
玻璃 几千dB/km
石英光纤 0.2 dB/km
2) 信带宽、容量大、速度快
3) 电气绝缘性能好 无感应 无串话
5) 资源丰富 价格低
4) 重量轻 耐火 耐腐蚀 可用在许多恶劣环境下
折射棱镜
四、棱镜
四、棱镜
五脊棱镜
直角棱镜
使像转过900
反射棱镜
： 借助光在棱镜中的全反射，改变光进行的方向.
光学第3章几何光学的基本原理
3
量子力学的突破
提出了光既有波动性又有粒子性，解释了光在各种情况下的行为。
反射和折射的基本原理
平面镜
以镜面法线为轴，入射角等于反 射角的反射规律。
球面镜
根据球面镜面向光源的情况，可 将球面镜看作凸/凹镜，分别采用 不同的光程差。
全反射
当光从密度较大的介质向密度较 小的介质射入时，若入射角大于 临界角，则会发生全反射。
衍射
狭缝和衍射光栅的衍射规律，衍 射的几何意义。
偏振
光的偏振现象和偏振片的工作原 理，以及偏振光的性质和应用。
光的传播改变和颜色的形成
1
散射
光线在介质内传播时，与介质分子发生
色散2Βιβλιοθήκη 碰撞而改变方向，从而形成散射。云彩 呈现的白色，正是由于散射现象造成的。
光线在通过物质时，会因为介质折射率
与波长有关而引起色散。绿谷的色彩，
透镜的焦距和成像规律
薄透镜的焦距
透镜的主光轴上，由透镜近(远)点和透镜远(近)点所求的长度之和为焦距。
物距和像距
通过薄透镜成像时，物距、像距、焦距和物高、像高的关系。
像的性质
实像、虚像、放大、缩小等与物体与透镜的关系相关的像的属性。
叠加原理和光的波动性质
干涉
单缝、双缝和多缝干涉。在双缝 干涉中，我们运用叠加原理，可 以发现干涉条纹的存在。
光电效应
光子与物质相互作用，电子从物质中被抛出。我们可以通过光电效应测量光子的能量和波长。
光学第3章几何光学的基 本原理
光学是研究光的本质、传播规律和应用的学科。在几何光学中，我们将光看 作是直线传播，以此来理解光学现象。本章将带领大家探究几何光学的基本 原理。
粒子理论和波动理论
第3章 几何光学的基本原理
C i1
0
E
i2
i2'
A 2
棱镜材料的折射率
n sin i1 sin 0 A sin A
sin i2
2
2
2.棱镜的应用
（1）作为色散元件
（2）作为转向元件
潜望镜
[例题3.1]一束会聚光束的顶点为P，若在其会聚前先通过一 块与光轴垂直的平行玻璃板（厚度为d，折射率为n），问 会聚点向哪个方向移动？移动多少？
适用条件：R远大于光波长λ。（否则，用衍射光学）
三、费马原理
1.费马原理
光在指定的两点间传播，实际 的光程总是一个极值（最小值、最 大值或恒定值）。
B
费马（1601-1665）
B
A
A
n
B
s
A
均匀介质中
ns
B ds
A
折射率连续变化的介质中
B
A nd s
ห้องสมุดไป่ตู้
费马原理 B n d s 极值 A
n0 sini n12 n22 为光纤的数值孔径
四、棱镜
1.偏向角
偏向角 i1 i2 i1' i2'
Q i2 i2' A
折射棱角
A
n1
B
i1
n2D
i2
i C '
i2'
1
E
i1 i1' A
当i1 i1, 取最小值0
A
最小偏向角 0 2i1 A
i1
0
2
A
B
i1
D
i2 i2
z
O
P2 P1 P
x1,0
A1
● i1 P’ x',
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第三章 几何光学的基本原理1 证明反射定律符合费马原理。
证明：设平面Ⅰ为两种介质的分界面，光线从A 点射向界面经反射B 点，在分界面上的入射点为任意的C 点；折射率分别为：n 1、n 2。
（1）过A 、B 两点做界面的垂直平面Ⅱ，两平面相交为直线X 轴，过C 点做X 轴的垂线，交X 轴于C ＇点，连接ACC ＇、BCC ＇得到两个直角三角形，其中：AC 、BC 为直角三角形的斜边，因三角形的斜边大于直角边，根据费马原理，光线由A 点经C 点传播到B 点时，光程应取最小值，所以在分界面上的入射点必为C ＇点，即证明了入射光线A C ＇和反射光线B C ＇共面，并与分界面垂直。
（2）设A 点的坐标为（x 1，y 1），B 点坐标为（x 2，y 2），C 点坐标为（x ，0），入射角为θ，反射角为θ＇，则光线由A 传播到B 的光程：))()((222221211y x x y x x n +-++-=∆若使光程取极值，则上式的一阶导数为零，即：0)()(2222221211=+---+--=∆yx x x x yx x x x dxd从图中得到：21211)(sin yx x x x +--=θ 22222)(sin yx x x x +--='θ也即：sin θ=sin θ＇，说明入射角等于反射角，命题得证。
2 根据费马原理可以导出在近轴条件下，从物点这出并会聚到象点所有光线的光程都相等。
由此导出薄透镜的物象公式。
解：3 眼睛E 和物体PQ 之间有一块折射率为1.5的玻璃平板，平板的厚度d 为30cm ，求PQ 的象P ＇Q ＇与物体之间的距离d 2。
解：方法一P ＇Q ＇是经过两个平面折射所形成的象 （1）PQ 经玻璃板前表面折射成象：设PQ 到前表面的距离为s 1，n=1、n ＇=1.5由平面折射成象的公式：11s n n s '=' 得到：1123s s ='（2）PQ 经玻璃板前表面折射成象： 从图中得到：s 2=s 1+d 、n=1.5、n ＇=1根据：22s nn s '='解出最后形成的象P ＇Q ＇到玻璃板后表面的距离：d s s 3212+='物PQ 到后表面的距离：s=s 1+d物PQ 与象P ＇Q ＇之间的距离d 2：d 2 = s 2＇-s =（321-）d=10cm 方法二：参考书中例题的步骤，应用折射定律解之。
方法三：直接应用书中例题的结论：d 2 =d （1-1/n ）即得。
4 玻璃棱镜的折射角A 为600，对某一波长的光其折射率为1.6，计算(1)最小偏向角；(2)此时的入射角；(3)能使光线从A 角两侧透过棱镜的最小入射角。
解：（1）根据公式：2sin2sin0A An +=θ代入数据：A=600，n=1.6解出最小偏向角：θ0= 46016＇（2）因：A i -=102θ 则入射角：53352/)(001'=+=A i θ （3）若能使光线从A 角两侧透过棱镜，则出射角i 1＇=900 有：n sini 2＇= 1 sin900 = 1 解出：i 2＇=38.680 从图中得到：i 2 + i 2＇= A 得到：i 2 =21.320 又有：sini 1 = nsini 2 解出最小入射角：i 1 =35034＇5 题图表示恒偏向棱镜，挑相当于两个300-600-900棱镜与一个450-450-900棱镜按图示方式组合在一起。
白光沿i 方向入射，我们旋转这个棱镜来改变θ1，从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播，出射光线为r ，求证：如果sin θ1=n/2，则θ2=θ1，且光束i 与r 相互垂直。
解：当光线以θ1角在A 点入射时，设折射角为α，根据折射定律有：sin θ1 = nsin α 因：sin θ1 = n/2 计算得到：α= 300 在C 点的入射角为β，从图中可看出：β= 300有：sin θ2 = nsin β 得到：sin θ2 = n/2因：sin θ1 = sin θ2 = n/2 所以：θ1 = θ2在三角形ADE 中，∠ADE=1800 -θ1 -（900 -θ2）= 900 说明光束i 与r 相互垂直。
6 高为5cm 物体放在距凹面镜顶点12cm ，凹面镜的焦距是10cm ，求象的位置及高度，并作光路图。
解：已知：s=-12cm f ＇=-10cm根据：f ss '=+'111解出：s ＇= -60cm 因：ss y y '-='=β 解得：y ＇= -25cm7 一个5cm 高的物体放在球面镜前10cm 处成1cm 高的虚象，求：（1）此镜的曲率半径；（2）此镜是凸面镜还是凹面镜？解：已知：y=5cm 、s=-10cm 、 y ＇=1cm因形成的是虚象，物和象在镜面的两侧，物距和象距异号。
根据：51='-='=ss yy βcm cm s s 2)10(5151=--=-='代入：rss 211=+'解出：r=5cm因r=5cm > 0 ，所以是凸面镜。
8 某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜他自己的象，他移动着玻璃板，使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的象重合在一起。
若凸面镜的焦距为10cm ，眼睛距凸面镜顶点的距离为40cm ，问玻璃板距观察者眼睛的距离是多少？解：已知：凸面镜成象时的物距： s=-40cm 、焦距：f ＇=10cm由：f ss '=+'111解出凸面镜成象的象距：s ＇=8cm 此象到眼睛的距离：b=40+8=48cm又因薄玻璃板所成的象是虚象，与物对称，若使玻璃板中的象与凸面镜中所成的象重合在一起，则玻璃板应放在P 与P ＇的中间，即玻璃板到眼睛的距离：d=b/2=24cm9 物体位于凹面镜轴线上焦点之外，在焦点与凹面镜之间放一个与轴线垂直的两表面互相平行的玻璃板，其厚度为d ，折射率为n ，试证明：放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d （n-1）/n 的一段距离的效果相同。
解:设物体到凹面镜的距离s ，当把玻璃板放入后，物体首先经过玻璃板折射成象P1，再经过凹面镜反射成象P2，P1即为凹面镜的物，P1相对P 点移动的距离经前面的证明知道为d （n-1）/n ，也即放入该玻璃板后使象移动的距离与把凹面镜向物体移动d （n-1）/n 的一段距离的效果相同。
10 欲使由无穷远发出的近轴光线通过透明球体并成象在右半球面的顶点处，问该透明球体的折射率应为多少？解：此问题是单球面的折射成象，根据题意有：物距：s=-∞、物空间：n=1设象空间球体折射率为n ，球面半径为R由：rn n sn s n -'=-'' 得到：)1(2-'='n n从而解出透明球体的折射率：2='n11 有一折射率为1.5、半径为4cm 的玻璃球，物体在距球表面6cm 处，求：（1）从物体所成的象到球心之间的距离；（2）求象的横向放大率。
解：物体经玻璃球的左、右球面两次成象。
左球面成象：n 1=1、 n 1＇=1.5、 r 1=-4cm 、s 1=-6cm由：1111111r n n s n s n -'=-''解得左球面成象的象距：s 1＇=-36cm ，象在P 点。
横向放大率：411111=''=n n s s β 右半球面成象：n 2=1.5、 n 2＇=1、 r 2= 4cm 、s 2=-44cm再由：2222222r n n s n s n -'=-''解出第二次成的象P ＇到O 2点的距离：s 2＇=11cm 横向放大率：8322222-=''=n n s s β 最后所成的象到球心之间的距离：d= s 2＇+ r =（11+4）cm = 15cm 象的横向放大率：5.121-==βββ12 一个折射率为1.53、直径为20cm 的玻璃球内有两个小气泡，看上去一个恰好在球心，另一个从最近的方向看去，好象在表面与球心连线的中点。
求两个气泡的实际位置。
解：（1）看去恰好在球心的气泡n 1=1.53、 n 1＇=1、 r 1=-10cm 、s 1＇=-10cm由：1111111r n n s n s n -'=-''解得象对应的物距：s 1 =-10cm ，说明气泡在球心处。
图A（2）好象在表面与球心连线中点的气泡n 2=1.53、 n 2＇=1、 r 2=-10cm 、s 2=-5cm再由：2222222r n n s n s n -'=-''解得象距：s 2 =- 6.047cm气泡到球心的距离:d =10 cm - 6.047cm = 3.953 cm 图B13 直径为1m 的球形玻璃鱼缸的中心处有一条小鱼，若玻璃缸壁的影响可忽略不计，求缸外观察者所看到的小鱼的表观位置和横向放大率。
解: n =1.33、 n ＇=1,设球面曲率半径为r,象距:s ＇=r由：rn n sn s n -'=-''解得象对应的物距：s = r ，说明鱼在缸的中心处。
横向放大率：33.1=''=n ns s β 是一个正立放大的虚象.14 玻璃棒一端成半球形，曲率半径为2cm ，将它水平地浸入折射率为1.33的水中，沿着棒的轴线离球面顶点8cm 处的水中有一物体，应用计算法和作图法求象的位置及横向放大率。
解：已知：n =1.33、 n ＇=1.5、r=2cm 、s=-8cm根据：rn n sn s n -'=-''解出：s ＇=18.5cm或由： r nn n f -''=' r nn n f -''='计算得到物方、象方焦距：cm f 6.17=' cm f 6.15-= 由：1=+''sfs f 解得象距：s ＇=18.5cm 横向放大率：2≈''=n ns s β 15 有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面，其曲率半径为10cm 。
一物点在主轴上距镜20cm 处，若物和镜均浸入水中，分别用作图法和计算法求象点的位置。
设玻璃的折射率为1.5，水的折射率为1.33。
解：因透镜放在同一种介质中，所以物方和象方焦距的绝对值相等。
已知：n 2=1.33 n 1 =1. 5（1）凸透镜：两表面曲率半径：r 1=10cm 、r 2=-10cm 、物距：s=-20cm 得到：cm r r n n n f f 39)11)((21121=--=-='由：f s s '=-'111 解得象距为：s ＇=-41cm （2）凹透镜：两表面曲率半径：r 1=-10cm 、r 2=10cm 、物距：s=-20cm 得到：cm r r n n n f f 39)11)((21121-=--=-='由：f s s '=-'111 解得象距为：s ＇=-13.2cm16 一凸透镜在空气中的焦距为40cm ，在水中的焦距为136.8cm ，问此透镜的折射率是多少?设水的折射率为1.33。