《高等数学微积分》
高等数学微积分
高等数学微积分
是。
高等数学简称高数，微积分是高等数学中的一部分，高等数学是指相对于初等数
学和中等数学而言，由微积分学，较深入的代数学、几何学以及它们之间的交叉内容所形
成的一门基础学科。
1、高等数学介绍
高等数学主要内容包含数列、音速、微积分、空间解析几何与线性代数、级数、常微
分方程。
做为一门基础科学，高等数学存有其固有的特点，这就是高度的抽象性、严格的
逻辑性和广为的应用性。
抽象性和计算性是数学最基本、最显著的特点，有了高度抽象和统一，我们才能深入
地揭示其本质规律，才能使之得到更广泛的应用。
严密的逻辑性是指在数学理论的归纳和
整理中，无论是概念和表述，还是判断和推理，都要运用逻辑的规则，遵循思维的规律。
2、微积分了解
微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数
学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的
运算，是一套关于变化率的理论。
它使函数、速度、加速度和曲线的斜率等均需用一套通用型的符号展开探讨。
积分学，包含谋分数的运算，为定义和排序面积、体积等提供更多一套通用型的方法。
3、怎么学好微积分
努力学习微积分重点是理确切音速、导数、分数的概念。
在自学以及解题过程中要不
断的展开总结、概括。
平时必须多练应用题，进一步增强实际解决问题的能力。
建议融合
原版的英文学书籍展开自学，开拓自学能力。
高等数学教材微积分课后答案
高等数学教材微积分课后答案第一章微积分基本概念1. 第一节课后习题答案1.1 单项选择题1. A2. B3. C4. D5. A1.2 填空题1. 42. 273. 184. 05. 21.3 解答题1. (a) 首先将函数对x求导，得到f'(x) = 6x^2 + 12x - 8。
令f'(x) = 0，解得x = -2和x = 2/3。
然后再带入原函数，得到f(-2) = 0和f(2/3) = -1/27。
因此，函数在x = -2和x = 2/3处取得极值，极大值为0，极小值为-1/27。
(b) 由于f'(x) = 6x^2 + 12x - 8 > 0，说明函数在(-∞, -2)和(2/3, +∞)上为增函数；当-2 < x < 2/3时，f'(x) < 0，说明函数在(-2, 2/3)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, -2)上递增，在(-2, 2/3)上递减，在(2/3, +∞)上递增。
2. 第二节课后习题答案2.1 单项选择题1. C2. A3. D4. B5. C2.2 填空题1. 82. 123. 04. -∞5. +∞2.3 解答题1. (a) 首先求函数的导数，得到f'(x) = 2e^x - 12x。
令f'(x) = 0，解得x = ln6。
然后带入原函数，得到f(ln6) = 4ln6 - 6ln^2(6)。
因此，函数在x = ln6处取得极值。
(b) 由于f'(x) = 2e^x - 12x > 0，说明函数在(-∞, ln6)上为增函数；当x > ln6时，f'(x) < 0，说明函数在(ln6, +∞)上为减函数。
结合图像，可以得到函数的单调性为：在(-∞, ln6)上递增，在(ln6, +∞)上递减。
第二章微分学中值定理1. 第三节课后习题答案1.1 单项选择题1. B2. D3. C4. A5. D1.2 填空题1. 42. 53. π/24. √35. 01.3 解答题1. 根据罗尔定理，首先证明f(x)在区间[0, 1]上连续。
高等数学常用微积分公式
高等数学常用微积分公式一、极限1.无穷大与无穷小：当x→∞时，若极限值L=0，则称函数f(x)是无穷小。
常见无穷小有：x→0时的无穷小o(x)、无穷次可导的无穷小O(x^n)；当x→∞时，若极限值L≠0或不存在，则称函数f(x)是无穷大；2.函数极限：若函数f(x)当x→a时的极限存在稳定的常数L，则称L为f(x)当x→a时的极限，记作：lim(x→a) f(x) = L；3.等价无穷小：若 f(x) 和 g(x) 都是x→a 时的无穷小，并且lim(x→a)(f(x)/g(x))=1，则称 f(x) 和 g(x) 是x→a 时的等价无穷小。
二、导数1.导数的定义：若函数f(x)在点x处的函数值可近似表示为f(x+Δx)≈f(x)+f'(x)Δx，其中f'(x)为f(x)在点x处的导数，则称f'(x)是函数f(x)在点x处的导数。
2.常见函数的导数：(1)和差法则：(u±v)'=u'±v'；(2)乘法法则：(u*v)'=u'*v+u*v'；(3)除法法则：(u/v)'=(u'*v-u*v')/v^2，其中v≠0；(4) 链式法则：若 y=f(u)，u=g(x) ，则 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx = f'(u)*g'(x)。
3.高阶导数：函数f(x)的导数f'(x)的导数称为f(x)的二阶导数，记为f''(x)。
可以依此类推，得到函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)。
三、微分1.微分的定义：函数 f(x) 在点 x 处的微分记为 dx，根据导数的定义，有 df(x) = f'(x)dx。
2.微分的性质：(1)常数微分：d(c)=0，其中c为常数；(2) 取单项微分：d(x^n) = nx^(n-1)dx，其中 n 为实数，x 为变量；(3) 和差微分：d(u ± v) = du ± dv；(4) 乘法微分：d(uv) = u*dv + v*du；(5) 除法微分：d(u/v) = (v*du - u*dv)/v^2，其中v ≠ 0；(6) 复合函数微分：若 y=f(u)，u=g(x)，则 dy = f'(u)du =f'(g(x))g'(x)dx。
高等数学微积分公式
高等数学微积分公式高等数学微积分公式微积分是数学中的一个重要分支，它研究的是函数的变化规律。
在微积分的学习中，我们需要掌握许多公式，在处理函数的变化过程中起到了非常重要的作用。
下面是高等数学中常见的微积分公式。
一、导数公式1.常数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} C=0\]其中C为常数。
2.幂函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} x^{n}=nx^{n-1}\]其中n为常数。
3.自然指数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} e^{x}=e^{x}\]4.对数函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} ln(x)=\frac{1}{x}\]5.三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin(x)=cos(x)\]\[\frac{d}{dx} cos(x)=-sin(x)\]6.反三角函数的导数公式：\[\frac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\] \[\frac{d}{dx} cos^{-1}(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\]7.复合函数的导数公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\times \frac{du}{dx}\]二、微分公式1.常数函数的微分公式：\[d(C)=0\]其中C为常数。
2.幂函数的微分公式：\[d(x^{n})=nx^{n-1}dx\]其中n为常数。
3.指数函数的微分公式：\[d(e^{x})=e^{x}dx\]4.三角函数的微分公式：\[d(sin(x))=cos(x)dx\]\[d(cos(x))=-sin(x)dx\]5.反三角函数的微分公式：\[d(sin^{-1}(x))=\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]\[d(cos^{-1}(x))=-\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2}}}\]6.复合函数的微分公式（链式法则）：设y=f(u)和u=g(x)，则有\[dy=\frac{dy}{du}\times du\]三、泰勒公式泰勒公式是微积分中的一个重要定理，它可以将一个函数在某点的值表示为一系列关于该点的导数的和。
高等数学微积分教材同济
高等数学微积分教材同济高等数学微积分是大学数学中的一门重要课程，它是数学分析的基础和核心内容。
同济大学编写的《高等数学微积分》教材是一本经典的教材，被广泛应用于高等院校的教学中。
本文将从教材的结构、内容特点、教学方法等方面进行探讨。
一、教材的结构《高等数学微积分》教材以微积分的概念、定理和方法为主线，分为基础篇和进阶篇两部分。
基础篇主要介绍微积分的基本概念和初等函数的性质，包括函数、极限、连续、导数和微分等内容。
进阶篇则进一步深入，介绍了微积分的应用，如曲线图形与积分、微分方程和级数等。
教材的编排严谨，各章节之间有着很好的衔接。
每一章节都以开篇问题引导学生思考，激发学习兴趣。
而后，按照逐步深入的原则，系统地介绍了相关的概念、定理和方法。
同时，教材设置了大量习题和示例，帮助学生巩固知识，培养解题能力。
二、内容特点《高等数学微积分》教材具有以下特点：1.全面系统：教材内容全面，涵盖了微积分的各个方面。
从基本的概念和初等函数开始，逐步引入导数和积分，最终展示微积分的应用。
同时，教材还涉及了微分方程和级数等高级内容，为学生提供了扩展和深入学习的机会。
2.理论与实践结合：教材在理论讲解的基础上，注重实际应用的引入。
通过大量的实例和问题，帮助学生将理论知识应用到具体问题中，培养解决实际问题的能力。
同时，教材还介绍了数学在其他学科中的应用，拓宽了学生的视野。
3.逻辑清晰：教材的章节之间逻辑清晰，内容紧密衔接。
每一章节都有明确的目标和重点，便于学生理解和消化。
教材还采用了数学推导和证明的方法，培养学生的逻辑思维和证明能力。
4.通俗易懂：尽管是高等数学的教材，但同济大学在编写中注重表达的简洁和通俗。
教材中的定义、定理和公式都用简洁明了的语言阐述，便于学生理解和记忆。
三、教学方法《高等数学微积分》教材在教学上注重培养学生的基本技能、逻辑思维和创新能力。
教学方法主要包括：1.激发兴趣：通过引入问题、讲述实例等方式，激发学生学习的兴趣，增强学习的主动性。
高等数学微积分入门教材
高等数学微积分入门教材微积分是数学的一门重要分支，它是数学分析的基础，也是科学研究、工程技术和社会发展中不可或缺的一部分。
无论是理工科的学生还是热爱数学的人士，学习微积分都是必不可少的。
为了帮助初学者顺利入门微积分，本教材将详细介绍微积分的基本概念、原理和常用方法。
通过系统和逻辑的讲解，旨在帮助读者理解微积分的精髓，掌握其基本技巧和应用。
第一章微分学1.1 极限与导数1.1.1 函数极限的概念1.1.2 极限的性质与运算1.1.3 导数的定义与计算1.1.4 导数的几何意义1.2 微分中值定理与应用1.2.1 极值与最值1.2.2 函数的单调性与曲线的凹凸性1.2.3 微分中值定理与罗尔定理1.2.4 应用：函数图像的分析与优化1.3 高阶导数与微分形式1.3.1 高阶导数的定义与计算1.3.2 微分形式与微分近似1.3.3 泰勒公式及其应用第二章积分学2.1 不定积分与定积分2.1.1 不定积分的定义与性质2.1.2 不定积分的计算方法2.1.3 定积分的概念与性质2.1.4 定积分的计算方法2.2 定积分应用2.2.1 曲线长度与平面曲线的曲率2.2.2 旋转体的体积与曲面积分2.2.3 牛顿-莱布尼茨公式与面积计算2.3 定积分与微分方程2.3.1 微分方程的基本概念2.3.2 可分离变量的微分方程2.3.3 齐次线性微分方程2.3.4 非齐次线性微分方程的特解第三章微积分应用3.1 曲线的绘制与切线3.1.1 曲线的参数方程与极坐标方程3.1.2 曲线的绘制与参数化3.1.3 曲线的切线与法线3.1.4 弧长与曲率的计算3.2 极值问题与最优化3.2.1 函数极值的判定3.2.2 无约束极值问题3.2.3 约束极值问题与拉格朗日乘数法3.2.4 优化问题的应用3.3 微分方程的应用3.3.1 一阶线性微分方程3.3.2 高阶线性微分方程与常系数齐次方程3.3.3 非齐次线性微分方程的解法3.3.4 微分方程的应用领域通过以上三章的学习，读者将对微积分的基本理论、方法和应用有一个全面的了解。
高等数学-微积分基本概念与应用
高等数学-微积分基本概念与应用1. 什么是微积分微积分是数学中一个重要的分支，主要研究函数的变化率、极限、导数和积分等概念及其相互关系。
它被广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域中。
2. 微积分的基本概念2.1 极限极限是微积分中最关键的概念之一。
在函数论中，通过逼近过程来描述函数趋向于某个值时的行为。
2.2 导数导数是描述函数斜率和变化率的工具。
它表示了函数在某一点处的瞬时变化率，常用于描述曲线上某点切线的斜率。
2.3 积分积分是对函数区间上面积或总量的描述。
它可以看作是给定速度或密度下所产生位移或质量的累计。
3. 微积分的应用微积分在各个领域都有广泛应用，以下列举几个典型示例：3.1 物理学中的运动学和力学微积分可以帮助我们解决物体运动的问题，如速度、加速度、质心等相关概念。
它也用于描述物体受力情况下的运动和变形行为。
3.2 经济学中的边际分析微积分在经济学中非常重要，特别是边际分析。
通过导数和积分，可以推导出成本函数、收益函数等经济学中的关键模型。
3.3 电子工程中的信号处理在电子工程领域，微积分可应用于信号处理和控制系统的建模与设计，包括滤波器设计、信号传输优化等方面。
3.4 生物学中的生态系统建模微积分在生物学领域有广泛应用，例如病毒传播模型、种群增长模型等，可以帮助解释动植物群落在特定环境下的演化和变化规律。
4. 总结微积分是一门强大而且多样化的工具，广泛应用于各个领域。
它不仅仅是数学科学家研究的对象，更是其他学科中必不可少的基础知识。
通过理解微积分的基本概念和应用，我们能更好地解释和预测自然现象，并在工程设计、经济决策等方面做出合理的判断。
希望通过本文对高等数学-微积分基本概念与应用有更全面的了解。
高等数学(微积分)ppt课件
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导出 u( x ) 0 时， tan u( x ) ~ u( x ) 导出 u( x ) 0 时， arcsin u( x ) ~ u( x ) 导出 u( x ) 0 时， e u( x ) 1 ~ u( x ) 导出 u( x ) 0 时， ln 1 u( x ) ~ u( x )
高数一串讲
教材所讲主要内容如下：
一元函数微分学 ( 第三章、第四章)
第一章 函数及 其图形
第二章 极限和 连续
高等数学 (一)微积分
多元函数 微积分 （第六章）
一元函数积分学 （第五章）
第一部分 函数极限与连续
串 讲 内 容
第二部分 导数微分及其应用
一 元 和 多 元
第三部分 积分计算及应用
第一部分 函数极限与连续
e x 1 sin 3 x
2
（3） lim x[ln( x 2) ln x ] （05 年.10 月）
x
知识点：
用等价无穷小代换求极限
设 , ', , ' 都是无穷小， 如果 ~ ', ~ ' ，则 lim
' lim ． '
1 2 解： （1）因为 e 1 ~ x , cos x 1 ~ x 2
（1．概念回顾
2、极限的求法， ）
1）数列极限 lim an A , 函数极限 lim f ( x ) A ．
n x
2）函数极限与单侧极限之间的关系
f ( x0 ) lim f ( x ) A x x0 lim f ( x ) A. x x0 f ( x0 ) xlim f ( x ) A x0
x 0
1 cos x (3)lim x 0 x2 sin u( x ) lim 1 u ( x ) 0 u( x )
(4)lim( n sin ) n n sin an lim 1 an 0 a n
(2) 令u kx ，x 0等价于u 0,
lim sin kx sin kx sin u lim k lim k 1 k k x 0 x 0 u 0 x kx u
mn mn mn
知识点：设 a0 0, b0 0, m, n N ，
am b m n a x a1 x a0 0 则 lim m n x b x b x b n 1 0
5n 4 n 1 例 6.（1） lim n+1 n 5 3n 2
3）特殊极限：无穷大和无穷小 若当 lim u 0 ，则称变量 u 为无穷小量(或无穷小)．
lim u , lim u , lim u ，则称变量 u 为无穷大量(或无穷大)
4）极限与无穷小得关系定理 u A u A ， 其中 是该极限过程中的无穷小
2 2 ) lim x 2 x x x
注：在使用等价无穷小代换时，应注意只能对乘除法代换，不能对加 减法代换，即只对极限中的各个因式进行代换． 记住下列几个常用的等价无穷小以及由此导出其它的等价无穷小 1. sin x ~ x , 导出 u( x ) 0 时， sin u( x ) ~ u( x ) 2. tan x ~ x , 3. arcsin x ~ x ， 4. e x 1 ~ x ， 5. ln(1 x ) ~ x ，
x x x 2sin 2 sin sin 2 1 cos x 2 lim 2 2 1 lim (3) lim lim x 2 2 x0 x0 x0 x 2 2 x0 x x 2( ) 2 2
1 2
2
n lim( n sin ) (4) lim( n sin ) lim n n n n n n
）
若对于任何 x ，恒有 f ( x ) f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 是奇函数。若 对于任何 x ，恒有 f ( x ) f ( x ) 成立，则称 f ( x ) 是偶函数． 奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于 y 轴对称． 解：(1) f ( x ) 2( x )2 1 2 x 2 1 f ( x ) ， 故 y 2 x 2 1为偶函数． (2)
1 x 例 3 .设函数 f ( ) ， 求 f (2 x ) x x 1
知识点：复合函数 解：令
t 1 , x 1 x ， t
因为
x 1 x 1 1 1 t 1 t
1 t
故：
f (t )
1 1 1 即 f ( x) ， f (2 x ) 1 x 1 t 1 2x
lim( n 3 n n n ) lim
n n
( n 3 n n n )( n 3 n n n ) n 3 n n n
4 1 3 n n 1 n n
n
lim
n
4 n n 3 n n n
lim
2
（2）
lim( n 3 n ) n 1 lim
例 4：求下列函数的定义域。 （1） z
1 x ln( x y );
（2） f ( x ) ln( x 2 x 2)
sin x x2
知识点：定义域 多元函数定义域的求法和一元函数定义域的求法类似，使表达式有意 义的点的集合。 解： （1）由函数的表达式可知：
x0
且
x y 0．
f ( x ) ( x )3 2sin( x ) x 3 2sin x f ( x )
s 为奇函数，图形关于原点对称。 i xn
，
故
y
3
x2
(3) f ( x ) x 1 ，它既不等于 f ( x ) ，也不等于 f ( x ) ，故
y x 1 是非奇非偶函数．
5. 复合函数 给定函数链 则复合函数为 6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
f g : D f [ g ( D) ]
例 1.下列函数中，函数的图象关于原点对称的是（ (1) y 2 x 2 1； (3) y x 1 ． 知识点： 函数的奇偶性 (2) y x 3 2sin x ；
cos x x cos x x 1 （2） lim lim x x sin x x sin x 1 x 1
例 7 . （1） lim( n 3 n n n ) （06 年）
n
（2） lim( n 3 n ) n 1.
n
（05 年）
解： （1）
例 2．下列各函数中，互为反函数的是（
a t t o c （1） y n, x y ． x
）
1 x 1 1 （2） y 2 , y ( ) x ． 2
知识点：反函数 求反函数的步骤是：先从函数 y f ( x ) 中解出 x f 1 ( y ) ，再置换 x 与
y ，就得反函数 y f 1 ( x ) 。
1 x
lim(1 2 x )
x 0
lim[(1 2 x )
x 0
1 2 x ( 2)
]
[lim(1 2 x )
x 0
1 2 x ( 2)
]
e 2
例 9.
tan x (1)lim x 0 x
sin kx (2)lim x 0 x
sin x 1 x 0 x 知识点：重要极限 tan x sin x 1 sin x 1 解： (1) lim lim lim 1 1 1 x 0 x 0 x 0 x x cos x x limcos x lim
n n
( n 3 n )( n 3 n ) n 3 n
n1
1 3 n1 n 3 lim lim n 2 n 3 n n 3 1 1 n 3 1
例 8.（1） lim (e x )
x x
1 x
（06 年 1 月)
（2） lim x 1 2 x
（2） lim 、
x
x o x s c x sin x
（05 年 10 月）
解： （1） lim
5 4 n 5n+1 3 n 2
n
n 1
1 1 4 n 1 2( ) lim 5 5 5 n 3 1 3( )n1 5
1 1 4 2 lim( )n1 1 n 5 5 5 3 5 1 3lim( )n1 n 5
一、 函数 二、极限 三、连续 一、 函数 概念回顾
1. 一元函数的概念 函数为特殊的映射: 值域
定义域 其中 2. 二元函数的概念
函数为特殊的映射:
定义域 其中
值域
3. 函数的特性 有界性 , 单调性 , 奇偶性 , 周期性
4. 反函数 设函数 为单射, 反函数为其逆映射
f 1 : f ( D) D
2、 极限的求法
利用极限四则运算、 连续函数、重要极限、无穷小代换、洛比达法则等 例 5： 求 lim
x
x5 ． 2 x 9
解：
1 5 1 5 2 lim( 2 ) x5 x x x 0 0． lim 2 lim x x x x 9 x 9 9 1 1 2 lim(1 2 ) x x x
x0
知识点：重要极限
1 n lim(1 ) e n n
1 u( x )
， lim(1 t ) e ， lim(1
t 0
x
1 t
1 x ) e x
u( x ) 0, lim(1 u( x ))