广东教育出版社广东省职业技术教研室版《数学》第三章 三角函数

2
, k Z}
R
y x 定义域也就是 的取值范围， 在 sin 和 cos 中 都可以取任 r r y y R 意角， 因此 ， 但是在 tan 中， 由于分母 x 不为 0 才能使得 x x
分式有意义，结合直角坐标系，当 x=0 时 的终边落 y 轴上，即
图 3-8
5. 例 4 解决本节开头提出的纸杯的侧面 积的计算问题（结果精确到 0.1 cm ）.
5 解：因为圆心角 50 ， 18 所以纸杯的侧面积为：
2
S S扇形O C D S扇形O A B
1 5 1 5 2 26 19 2 2 18 2 18
因为分母不能为0）
这些比值都是以角 为自变量的三角函数，分别叫做 的正弦 函数、余弦函数、正切函数。
提问：与 终边相同的角有哪些？
{ 2k , k Z}
任意角三角函数值与在终边上所取的点 p( x, y ) 的位置无 关，只要角的终边相同，其同名三角函数值相等，即：
sin(2k ) sin ，k Z cos(2k ) cos，k Z tan(2k ) tan，k Z
如下图所示，设角 是任意大小的角,在角 的终 边上取不与原点重合的任意点 p( x, y ) , 则该点到原 点的距离是:
r | OP | x y 0
2 2
2.任意角三角函数的定义
y sin r x cos r y tan （x≠0 x
作分子，正 有y，余有x， （割相反）
课堂练习3 课本P72随堂练习第3题，第（1）题。
课堂小结 3. sin 、 cos 的定义域为 R 值 域 为 [-1,1] ， tan 定 义 域 为 值域为 R 4.任意三角函数值的符号为正 的口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切， Ⅳ余弦
2 { k
（3）因为 900 2 360 180 ， 所以 在 0 ~ 360 内， 180 的角与 900 的角终边相 同. （4）因为 1090 3 360 10 ， 10 的角与 1080 的角终边相同 所以 在 0 ~ 360 内，
、 cos 以
及 tan 三角函数值的符号，只需要确定 x 和 y 的符号就可 以了，根据三角函数的定义结合直角坐标系可以得到：
也可以总结出任意三角函数值的符号为正的口诀为：
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦
例题4 确定下列各三角函数的符号： （1）sin105°（2）cos(-40°)
解：（1）因为105°∈Ⅱ， 所以sin105°＞0 （2）因为-40°∈Ⅱ， 所以cos(-40°)＞0
，
13 ∴ 3
的终边与 3 的终边相同，
13 3 ∴ sin 3 sin 3 2
13 1 cos cos 3 3 2
13 tan tan 3 。 3 3
5.课堂练习2 课本P72随堂练习第2题，第（1）（2）题。
课堂小结： （一）本节所学的主要知识点有： 1. r | OP |
x2 y2 0 ，
y sin 正弦函数 r， x cos 余弦函数 r，
y tan 正切函数 x。
2.终边相同， 其同名三角函数值相等。
（五）三角函数的定义域与值域（5 分钟） 三角函数
sin 、
定义域 R
{ k
值域 [-1,同的角的集合， 并指出 集合中位于 720 与 720 之间的角.
解： { k 360 15, k Z}
位于 720 与 720 之间的角有： 2 360 15 705 ； 1 360 15 345 ； 0 360 15 15 ； 1 360 15 375 ．
图 3-4
3．轴线角：
• 当角的终边落在坐标轴上，称这个角为 轴线角，并规定这个角不属于任何象限.
例 2 判别下列各角是第几象限的角： （1） 420 ； （2） 405 ； （3） 930 ； （4） 625
解： （1）因为 420 360 60 ，而 60 Ⅰ， 所以 420 Ⅰ. （2）因为 405 360 (45) ，而 45 Ⅳ， 所以 405 Ⅳ. （3）因为 930 2 360 210 ，而 210 Ⅲ， 所以 930 Ⅲ. （4）因为 625 2 360 95 ，而 95 Ⅱ， 所以 625 Ⅱ.
k

2
, k Z ，所以， tan
y k ,k Z 。 的定义域为： x 2
（五）三角函数的定义域与值域（5 分钟） 三角函数
sin 、
定义域 R
{ k
值域 [-1,1]
cos tan

2
, k Z}
R
值 域 也 就 是 三 角 函 数 的 值 ， 在 正 弦 函 数 中 ， 由 于
随堂练习：第2、3题
二、弧度制
1．弧度制： 我们规定：长度等于半径的圆弧 所对圆心角称为 1 弧度的角，记作 1 rad（rad 可省略不写） ．以弧度为单 位来度量角的制度叫做弧度制.
图 3-7
弧度制有如下性质： （1）正角的弧度数是正数，负角的弧度 数是负数，零角的弧度数是 0； l （2）圆心角 的弧度数的绝对值 r （ l 为圆弧长，r 为半径） ； （3）角的弧度数可以用任何实数表示.
tan
y 3 x
2.课堂练习1课本P72随堂练习第1题
例2解决开头提出的问题。（第69页）
已知的条件是角为120°，OM的长度为5m， PM加上OP的长度就是树干原来的高度。
解：由任意角三角函数的定义得：
PM OM tan
120°
OM OP
cos 120°
n ° =-5 × 因 此 PM OM t a 120
(- 3 )= 5
OP
3 (m)
OM cos120 5 10 (m) 1 2
PM OP 5 3 10(m)
答：树干原来的高度为 5 3 10 m
例题 3
13 计算角 3 的正弦、余弦及正切函数值。
13 一个周角范围内与 3
终边相同的角
13 解：∵ 3 2 2 3
1 1 180 2839 ． 解： （1） 2 2 3 180 8559 ． （2） 1.5 2 2 2 （3） 180 120 ． 3 3 3 3 （4） 180 135 4 4
3．随堂练习：第 1、2 题.
第三章 三角函数
第一节角的概念的推广
回想：初中学习过的角有：
锐角 钝角 平角 周角 直角
这些角的范围是： 0 360
1．任意角：
规定：按逆时针方向旋转形成的角称为正角， 按顺时针方向旋转形成的角称为负角， 当一条射线不作任何旋转时， 我们也认为它形成了一个角，称为零角.
图 3-3
4．扇形面积公式 圆心角为 的扇形的面积公式为：
S 扇形
1 1 2 r l r ． 2 2
4． 例 3 如图 3-8 所示， 若要在公路弯道处沿着圆弧 AB 修建护栏，求护栏的长 l （单位：米，结果保留整数）
解：由图可知 r 48 ， 5 75 ， 12 5 l r 48 63(m) ， 12 所以，护栏的长约为 63m .
3.请同学们思考，我们把角的概念推广到任 意角后，如何来求解任意角，例如120°的 三角函数的值呢？
对边 BC sin A 斜边 AC 邻边 AB cos A 斜边 AC 对边 BC tan A 邻边 AB
对边 BC y sin A 斜边 AC r
邻边 AB x cos A 斜边 AC r 对边 BC y tan A 邻边 AB x
这组公式也叫做三角函数诱导公式
例 1 已知角 120°的终边经过点 p(1, 3) ，求角 120°的 正弦、余弦及正切函数值。
2 2 2 2 r | OP | x y ( 1 ) ( 3 ) 2 解：
y 3 sin r 2
x 1 cos r 2
k 360 , k Z ，
通常取 0 ~ 360 之间的角.
例 3 在 0 ~ 360 内找出与下列各角终边相同的角： （1） 150 ； （2） 60 ； （3） 900 ； （4） 1090
解： （1）因为 150 360 210 ， 所以 在 0 ~ 360 内，210 的角与 150 的角终边相同. （2）因为 60 360 300 ， 所以 在 0 ~ 360 内， 300 的角与 60 的角终边相同.
例1本节开头提出的钟表校正问题
解：①若钟表慢了 5 分钟，则把分 针顺时针方向旋转 30 ，即为 30 ； ②钟表快了 1.25 小时， 则把分针逆时 针方向旋转 450
随堂练习：第1题
2.象限角
• 通常，置角的顶点于原点，角的始边重 合于x轴的正半轴，如果角的终边落在第 几象限就称这个角是第几象限角；
r 2 x 2 y 2 r 2 y 2 y r 所以
在正切函数 tan
y 1 ，即 sin 1 ，同理 cos 1 ； r
y y ， 的比值可以是任意实数值，因此 tan R x x
（六）任意三角函数值的符号 因为 r | OP |
x 2 y 2 0 ，所以如果要求 sin