全主元高斯消去法求矩阵的
全主元高斯消去法发展过程
全主元高斯消去法发展过程1.引言1.1 概述在数学领域中，线性方程组求解一直是一个重要的问题。
而高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法之一，它的基本原理是通过一系列的行变换将线性方程组化为阶梯形方程组，从而容易求解。
然而，传统的高斯消去法存在一些问题。
在某些情况下，选择的主元元素可能会导致运算过程中出现除零错误，进而使得整个计算过程失效。
为了解决这个问题，全主元高斯消去法应运而生。
全主元高斯消去法在选择主元元素时不仅会考虑当前列的元素，而是会同时考虑当前行和当前列的元素。
这种全面考虑的方式能够确保选取到一个非零元素作为主元，避免了除零错误的发生，提高了计算的稳定性和精度。
全主元高斯消去法的提出是对传统高斯消去法的一种改进和完善。
它不仅解决了传统高斯消去法中可能出现的除零错误问题，还能够更好地应对一些特殊情况，如矩阵中存在大量零元素时，能够减少运算量和计算时间。
全主元高斯消去法的发展过程经历了数学学者们的不断努力与探索。
通过引入新的思想和算法，全主元高斯消去法在求解线性方程组的过程中展现出了更好的效果和稳定性。
综上所述，全主元高斯消去法是对传统高斯消去法的一种改进和完善，它解决了传统方法中的除零错误问题，并能够更好地应对特殊情况，具有更高的计算稳定性和精度。
在接下来的正文中，我们将详细介绍全主元高斯消去法的基本原理和提出过程，以及其在实际应用中的前景。
1.2 文章结构本文将按照以下方式组织和呈现全主元高斯消去法的发展过程。
首先，我们将在引言部分对整篇文章进行概述，介绍全主元高斯消去法的基本原理和目的。
这将帮助读者初步了解文章的主题和内容。
接下来，在正文部分的第2.1节中，我们将详细介绍高斯消去法的基本原理。
通过解释高斯消去法的基本步骤和计算过程，读者将对该方法的工作原理有一个清晰的认识。
紧接着，在正文部分的第2.2节中，我们将着重介绍全主元高斯消去法的提出及其特点。
全主元高斯消去法在传统高斯消去法的基础上进行了改进，使得解方程组的过程更加稳定和准确。
矩阵的求解方法和技巧
矩阵的求解方法和技巧矩阵的求解是线性代数中的一个重要问题，涉及到矩阵的性质、运算和解析方法等多个方面。
下面将介绍一些矩阵求解的常用方法和技巧。
1. 高斯消元法：高斯消元法是一种常用的线性方程组求解方法，适用于任意大小的方阵。
该方法的基本思想是通过矩阵的初等行变换，将方程组化为行最简的形式，从而求解出未知数的值。
具体操作步骤如下：1) 将方程组转化为增广矩阵形式；2) 选择一个主元（通常选择第一列的第一个非零元素）；3) 将该主元所在的行除以主元得到1；4) 用主元所在行乘以矩阵的某一行，再与原行相减，使得该行的主元所在列的其他元素都为0；5) 选择下一个主元，重复步骤3和4，直至将方程组化为行最简的形式（即上三角形矩阵）；6) 回代求解每个未知数的值。
2. 克拉默法则：克拉默法则适用于求解n元线性方程组（n个方程、n 个未知数），它是一种基于行列式的方法。
具体操作步骤如下：1) 将方程组转化为增广矩阵形式；2) 求出系数矩阵的行列式D；3) 分别将方程组的等号右边替换为未知数列矩阵，并求出每个矩阵列的行列式Dj；4) 利用克拉默法则的公式，未知数xi的值等于Dj除以D的商。
克拉默法则的优点是理论简单，适用于少数方程未知数的求解，但对于大规模的方程组来说，计算量较大。
3. LU分解法：LU分解是将矩阵按照一定的规则分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
LU分解法适用于求解一大类线性方程组，对于已经进行了LU分解的矩阵，可以节省计算量，提高计算效率。
具体操作步骤如下：1) 对矩阵进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U；2) 利用前代法（也称为Ly=b法）求解方程Ly=b，求出向量y；3) 利用回代法（也称为Ux=y法）求解方程Ux=y，求出向量x。
4. 矩阵的逆：矩阵的逆是指如果一个方阵存在逆矩阵，那么它和它的逆矩阵相乘得到一个单位矩阵。
矩阵的逆可以用来求解线性方程组的解。
具体操作步骤如下：1) 对矩阵A进行LU分解；2) 利用前代法求解方程Ly=b，求出向量y；3) 利用回代法求解方程Ux=y，求出向量x；4) 得到矩阵的逆矩阵A^-1。
线性方程组三种求解方法
线性方程组三种求解方法
线性方程组是由一组线性方程所组成的集合，它是计算机科学中最基本的抽象模型之一。
线性方程组的求解有多种方法，最常用的方法有三种：高斯消元法，全选主元法和乘法因子法。
高斯消元法是一种消除法。
它能将线性方程组变换成求解矩阵的方法，将线性方程组中的未知数从一个方程参与到另一个方程，以实现变量间的互换，当这种变形在线性方程的个数和方程式的系数不相等的时候，系数矩阵就得到了转换，最后实现方程的求解。
由于本质上利用线性变换方法，有可能不能够求解它，而异常解会出现，所以不适合解决线性方程组。
全选主元法是一种消元法，也是线性方程组求解的重要方法。
全选主元法的基本思路是：从一个给定的方程组开始，选出一个最大的系数做主元，将这个未知数代入另一个方程，不断地进行计算，直到求出所有的未知数的值，最后得到相应的解。
全选主元法的优点是计算次数少，能够求出超定方程组的解。
乘法因子法是一种简化法，也是解高维度方程组的有效方法，它是一种缩减矩阵法，把一组方程简化成新形式，其思路是把一个系数矩阵和它的乘法因子矩阵相乘，乘法因子矩阵通过消去系数矩阵中一些行和一些列，来使原始方程组变得简洁，使得求解系数矩阵变得可能，最后可以实现方程组的求解。
总的来说，三种线性方程组的求解方法都有其优势，它们都是有效的解决方案，根据实际情况应用不同的方法可以求出合适的解，同时，在计算机应用中，更多的方法也在发展和探索当中。
矩阵求解方程组技巧
矩阵求解方程组技巧矩阵求解方程组是线性代数中重要的内容，也是应用广泛的技巧之一。
本文将介绍一些常用的矩阵求解方程组的技巧。
一、高斯消元法高斯消元法是一种常用的求解线性方程组的方法，它的基本原理是通过矩阵初等行变换将方程组转化为简化的行阶梯形矩阵，进而求出方程组的解。
具体步骤如下：1. 将方程组的系数矩阵与常数矩阵合并为增广矩阵。
2. 选取一个非零的主元素（系数矩阵中的非零元素）作为基准行。
3. 将选取的主元素所在行除以主元素的值，使主元素的值变为1。
4. 将其他行中的相应元素化为0，使得主元素所在列的其他元素都变为0。
5. 对剩余的行重复上述操作，直到所有行都变成简化的行阶梯形矩阵。
高斯消元法的优点是求解过程直观、简单，但该方法对于某些特殊情况（如主元素为0）会出现问题，需要进行进一步的改进。
二、LU分解原方程组的系数矩阵A分解为一个下三角矩阵L与一个上三角矩阵U的乘积。
通过LU分解，可以将原方程组的求解转化为两个简单的步骤：求解Ly=b和求解Ux=y。
具体步骤如下：1. 对系数矩阵进行LU分解，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
2. 解Ly=b，得到向量y。
3. 解Ux=y，得到向量x。
相比于高斯消元法，LU分解的优点是可以将一次的LU分解应用于多个右侧向量b，从而减少计算量。
三、矩阵的逆矩阵求解方程组的另一个常用方法是通过求解矩阵的逆来得到方程组的解。
设矩阵A为系数矩阵，向量x为未知向量，向量b为常数向量，则原方程组可以表示为Ax=b。
若矩阵A的逆矩阵存在，则可以通过左乘矩阵A 的逆来求解方程组的解，即x=A⁻¹b。
求解矩阵的逆矩阵的方法有多种，其中一种常用的方法是高斯-约当消元法，通过矩阵初等行变换将矩阵A转化为单位矩阵，然后将相同的行变换施加在单位矩阵上，得到矩阵A的逆矩阵。
需要注意的是，矩阵的逆不一定存在，当矩阵的行列式为0时，矩阵没有逆矩阵。
四、QR分解原方程组的系数矩阵A分解为一个正交矩阵Q与一个上三角矩阵R的乘积。
实验四 行列式的值
实验四 行列式的值一、实验目的掌握计算机求行列式值的常用算法。
二、实验内容1、 全选主元高斯消去法求det(A).2、 对称正定矩阵的Cholesky 分解及利用它求矩阵对应的行列式值。
三、实验步骤1、 上机前认真复习行列式值Gauss 消去法、Cholesky 分解法等概念，读懂本实验程序。
2、 上机前完成本实验作业题的手算部分和上机程序。
3、 上机调试程序，输出正确结果。
4、 做完实验后，交实验报告。
四、方法说明1、 用全选主元高斯（Gauss ）消去法计算n 阶方阵A 所对应的行列式值。
用高斯消去法对方阵A 进行一系列变换，使之成为上三角矩阵，其主对角线上的各元素的乘积即为行列式的值。
变换过程如下：对于k=0,1,2,…,n-2作变换1,,1,,/-+=⇒∙-n k j i a a a a a ij kk kj ik ij为保证数值稳定性，在实际变换过程中采用全选主元。
2、 用乔里斯基(Cholesky)分解法求对称正定矩阵的三角分解，并求行列式的值。
设n 阶矩阵A 为对称正定，则存在一个实的非奇异的下三角阵L ，使A=LL T ，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----1,11,10,1111000n n n n l l l l l l L乔里斯基分解的步骤为： 对于j=0,1,…,n-1(1) 2112)(∑-=-=j k jkjj jj la l(2) 211)()det(,1,,1,/)(∏∑-=-==-+=-=n k kk jj j k jk ikij ij l A A n j i l l la l 的行列式值为求行列式值det （A ）及d et （B ）。
其中 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13157581181554233,16151413121110987654321B A实验五 求解三对角线性方程组一、实验目的掌握三对角线性方程组的特色解法。
列选主元高斯消去法
列选主元高斯消去法
列选主元高斯消去法是一种常用的线性方程组求解方法，在求解大规模线性方程组时具有较高的数值稳定性和计算效率。
该方法的基本思想是，通过选取主元来消除非主元系数的影响，以减小计算误差。
具体步骤如下：
1. 首先将线性方程组的系数矩阵进行列选主元，即对每一列选取绝对值最大的元素所在的行，然后将该行与第一行交换位置。
2. 对于第一列，将选取的主元所在行除以主元的值，使主元变为1。
3. 利用第一行的主元，通过消去操作将其他行的第一列元素变为零。
具体操作是，对于每一行，将该行与第一行乘以适当的倍数后相减，使得第一列元素为零。
4. 重复以上步骤，对第二列以及其后的列重复进行列选主元和消去操作，直到系数矩阵变成上三角矩阵。
5. 根据上三角矩阵进行回代求解，从最后一行开始，依次代入已求解的变量值，计算出未知数的值。
需要注意的是，在进行列选主元时，要注意避免主元为零或接近零的情况，以免造成计算错误或数值不稳定性。
列选主元高斯消去法可以有效地提高线性方程组的求解精度和计算效率，特别适用于存在较大数值差异或特殊矩阵结构的情况。
然而，在某些情况下，该方法可能会导致数值不稳定性或计算量较大，因此在实际应用中需综合考虑问题的特点和求解需求，选择合适的方法。
高斯消元法在矩阵求行列式中的应用
高斯消元法在矩阵求行列式中的应用矩阵是线性代数中的一个重要概念，在各个领域中都有广泛的应用。
而求解矩阵的行列式是矩阵运算中常常遇到的问题之一。
在这个过程中，高斯消元法是一种常用的解决方法。
本文将详细介绍高斯消元法在矩阵求行列式中的具体应用。
首先，我们来了解一下高斯消元法的基本原理。
高斯消元法是一种基于矩阵初等变换的运算方法，通过一系列的变换将矩阵化为简化行阶梯形式，从而更方便地进行求解。
在矩阵求行列式的过程中，高斯消元法可以帮助我们简化计算步骤，提高效率。
高斯消元法的具体步骤如下：1. 选取主元素：从矩阵的第一行开始，找到第一个非零元素所在的列作为主元素所在列。
如果该元素为零，则从当前列的下一行寻找非零元素所在列作为主元素所在列。
2. 主元素行变换：将主元素所在行与第一行进行交换，使主元素处于当前行的首位。
3. 主元素列变换：将主元素所在列下方的元素变换为零，使该列下方的元素形成上三角形。
4. 重复执行步骤1-3，直到矩阵化为简化行阶梯形式。
在使用高斯消元法求解矩阵的行列式时，我们可以根据矩阵的行列式性质进行一些简化。
比如，如果矩阵某一行全为零，则该矩阵的行列式为零。
如果矩阵存在行与行之间的线性相关关系，则该矩阵的行列式为零。
利用这些性质，我们可以在高斯消元的过程中判断矩阵的行列式是否为零，进一步简化计算。
下面，我们通过一个具体的例子来演示高斯消元法在矩阵求行列式中的应用。
假设有一个3×3的矩阵A：A = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]我们需要求解矩阵A的行列式。
首先，我们选取第一行第一列的元素1作为主元素。
由于该元素非零，我们将第一行与主元素所在行进行交换，得到新的矩阵：A' = [[1, 2, 3],[4, 5, 6],[7, 8, 9]]接下来，我们将第二行的元素4改写为4 - 4/1 × 1 = 0，第三行的元素7改写为7 - 7/1 × 1 = 0。
全选主元的高斯消元法
全选主元的高斯消元法
选主元的G-J消元法通过这样的方法来进行初等变换：在每一个循环过程中，先寻找到主元，并将主元通过行变换（无需列变换）移动到矩阵的主对角线上，然后将主元所在的行内的所有元素除以主元，使得主元化为1；然后观察主元所在的列上的其他元素，将它们所在的行减去主元所在的行乘以一定的倍数，使得主元所在的列内、除主元外的其他元素化为0，这样就使得主元所在的列化为了单位矩阵的形式。
这就是一个循环内做的工作。
然后，在第二轮循环的过程中，不考虑上一轮计算过程中主元所在的行和列内的元素，在剩下的矩阵范围内寻找主元，然后（如果其不在主对角线上的话）将其移动到主对角线上，并再次进行列的处理，将列化为单位矩阵的形式。
余下的步骤依此类推。
具体的计算过程的一个例子，请看下面我举的求逆矩阵的过程。
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b(n) n
a(n) nn
b(i) i
n
，（i n 1, n 2,
a(i) ij
x
j
xi
j i 1
a(i) ii
,1 ）
顺序高斯消去法的使用条件 使用条件之一
定理 线性方程组系数矩阵A的顺序主子矩
阵Ak (k=1,2,…,n)非奇异 ，则顺序高斯消去法能
实现方程组的求解。
m21
a21 a11
1 2
0.5 ， m31
a31 a11
1 2
0.5 ，则有
2x1 x2 x3 4 (2) m21 (1) 0x1 2.5x2 1.5x3 4 ，第 2 次消元，a22 2.5 0 ， (3) m31 (1) 0x1 1.5x2 1.5x3 3
u22 x2 u2n xn y2
unn xn yn
2 x1 x2 x3 y1
3x2 5x3 y2
12x3 y3
x1 1 / 2 x2 1 / 2 x3 3 / 2
下三角形方程组
7
7
2 3
主元为 2，2.5，0.6 det A = 2×2.5×0.6 = 3
引进记号
a (1) 11
a (1) 12
a(2) 22
a (1) 1n
a(2) 2n
b(1) 1
b(2) 2
A(k )
a(k) kk
a(k kn
)
，
b(k)
bk (k )
定理 方程组系数矩阵A为严格对角占优矩阵则可实现用 顺序高斯消去法求解。
顺序高斯消去法的计算量
消元中各步需乘除法次数
第i 步
乘法次数
1
(n 1)2
2
(n 2)2
n 1
合计
1
n (n 1)(2 n 1) 6
除法次数
n 1 n 2
1
n (n 1) 2
3.1.2 列主元高斯消去法
第3章 线性代数方程组的数值解法
3.1 高斯消去法 3.2 矩阵三角分解法 3.3 平方根法 3.4 向量和矩阵的范数 3.5 迭代法 3.6 迭代法的收敛性 3.7 方程组的形态和误差分析
n个未知量n个方程的线性代数方程组 矩阵形式 Ax=b,其中
或写成
n
aij x j bi
j 1
i 1, 2, , n
顺序高斯消去法消元过程: 依从左到右、自上而下的次序将主对角元下方的元素化为零。
1 不作行交换。 2 用不等于零的数乘某行，加至另一行。
用高斯消去法解下列线性方程组
2x1 x2 x3 4
x1
3x2
2x3
6
x1 2x2 2x3 5
解 对 线 性 方 程 组 第 1 次 消 元 ， a11 2 0 ， 确 定 乘 数
7
0
4
3 3
3.1 高斯消去法
3.1.1 顺序高斯消去法
(按方程和未知量的自然顺序进行)
基本思想：用逐次消去未知数的方法把原方程组化为 上三角形方程组进行求解 。 求解 分成两步：
1.消元过程：用初等行变换将原方程组的系数矩阵 化为上三角形矩阵（简称上三角阵）。
2.回代过程：对上三角形方程组的最后一个方程求 解，将求得的解逐步往上一个方程代入求解。
解
3 5 [A,b] 5 7
4 4
4 -1 3 2 2 2
选主元
5 7 3 5 4 4
3 2 4 -1 2 2
5 7 3 2
0 0.8
2.2
-2.2
0 -1.6 -0.4 0.4
选主元
消元过程完成，得到上三角形方程组 再作回代可求得
例如 n 20 ，乘法次数为1021 。计算量很大！
两类数值解法：
直接解法:假定计算过程没有舍入误差的情况下， 经过有限步算术运算后能求得线性方程组精确解的 方法。经过有限步运算就能求得精确解的方法，但 实际计算中由于舍入误差的影响，这类方法也只能 求得近似解；例如：高斯消去法、三角分解法等。
行列式的计算：
m为消元过程中交换行的次数。
列主元法的消元 过程
计算过程有2次行交换，故m=2，主元为5，-1.6，2 det A=(-1)2×5×(-1.6)×2=16
定理 系数矩阵为对称严格对角占优，则全是主元。
若矩阵 A 非奇异，方程组有惟一解，可用克莱姆（Cramer）
法则求解
xk
Dk D
，（ k
1, 2,
,n）
其中 D det A ， Dk 是用向量 b 代替 A 的第 k 列后所得矩阵的行
列式。
克莱姆法则解线性方程组的计算量（乘法次数）
Sn (n 1) n! (n 1) (n 1)!(n 1)
迭代解法: 构造适当的向量序列，用某种极限 过程去逐步逼近精确解。例如：雅可比迭代法、高 斯-赛德尔迭代法等。
上三 角形方程组
4x1 5x2 6x3 10
2 x2
3x3
3
7x3 7
回代求解，得
4 5
2
6 10
3
3
7 7
u11 x1 u12 x2 u1n xn y1
，
a(k) kn
a(k) nn
b(k ) n
(k 1, 2, , n)
矩阵形式
A(k ) x b(k ) ， (k 1, 2, , n)
消元过程
设
主元
a (1) 11
0,
a(2 22
)
0,
,
a(n) nn
0
消元过程
mik
a(k) ik
为什么列选主：数值不稳定
当高斯消去法的主元
a(k) kk
0
时
,
尽管“当
A
非奇异时，
det A≠0，方程组有唯一解”，也不能实现高斯消去法求
解。 例
0 A 1
1 1
，
A
非奇异，det
A≠0，方程组有
唯一解，但
a (1) 11
0
，不能实现高斯消去法求解。
高斯消去法的主元
a(k) kk
确定乘数 m32
a32 a22
1.5 2.5
0.6 ，有
2x1 x2 x3 4 0 2.5x2 1.5x3 4 (3) m32 (2) 0 0 0.6x3 0.6
回代
x3 1, x2 1, x1 1
系数行列式的计算：
例
消元过程
经过 k 1次消元后得到增广矩阵 ( A(k) | b(k) ) ，在此增广
矩阵的第
k
列的元素
a , a (k ) (k ) kk k 1,k
,
a(k nk
)
中选取
绝
对值最大的
一个，记为
a(k) rk
，然后交换
(
A(k
)
|
b(k)
)
中的第
k
行与第
r
行后，
再进行第 k 次消元。
例 用列主元高斯消去法求解方程组(用三位有效数字计算)
a(k) kk
(k
1, 2,
, n 1)
ai(jk 1)
a(k) ij
mik
a(k kj
)
(i, j k 1, k 2, , n)
bi( k `)
b(k ) i
mikbk(k)
回代过程
上三角形方程组 A(n) x b(n) 求解过程
xn
即方程组能用顺序高斯消去法求解的充要条件 是系数行列式的顺序主子式非零。
高斯消去法能按顺序进行到底的充要条件是
在原方程组的系数矩阵中如何反映出这个条件呢? A的k阶顺序主子矩阵Ak的行列式
使用条件之二
n阶矩阵A为严格对角占优矩阵是指其每个主对 角元的绝对值大于同一行其他元素绝对值之和，即
一阶严格对角占优矩阵指一个非零数。
2
4 5 6 10
顺代可求得
y1
1
2 y1 y2
7
3 y1 2 y2 y3 3
y1 1 y2 9 y3 18
上二对角方程组 回代求解，得
4 5
2
0 4
3
3
7 7
下二对角方程组 顺代可求得
7 4 6 0 2
0
，但绝对值很小时，用绝对值
小的数做除数，会导致其它元素数量级的严重增长和舍入
误差的扩大。
列选主元高斯消去法 ：避免用绝对值小的元素，作除数。每次 消元前选取一列中绝对值最大的元素作为主元素。用这个主元素 作除数，这样便可以减少舍入误差。
列选主元高斯消去法的优越性，不增加求解过程的运算量，而 大大减小误差。