Gauss列主元消去法
Gauss列主元素消去法实验
Lab06．Gauss 列主元素消去法实验【实验目的和要求】1．使学生深入理解并掌握Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤； 2．通过对Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；3．对具体问题，分别用Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法求解。
通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss 列主元素消去法优点。
【实验内容】1．根据Matlab 语言特点，描述Gauss 消去法和Gauss 列主元素消去法步骤。
2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b ，A=LU 分解的L 与U ，det A 及解向量x 。
3．编写用Gauss 列主元素消去法解线性方程组Ax=b 的M 文件。
要求输出Ax=b 中矩阵A 及向量b 、PA=LU 分解的L 与U 、det A 及解向量x ，交换顺序。
4．给定方程组(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--11134.981.4987.023.116.427.199.103.601.3321x x x(2) ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----15900001.582012151********.23107104321x x x x 先用编写的程序计算，再将(1)中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将(2)中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss 列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。
【实验仪器与软件】1．CPU 主频在1GHz 以上，内存在128Mb 以上的PC ；2．Matlab 6.0及以上版本。
实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年 月 日Lab06．Gauss 列主元素消去法实验第一题：1、算法描述：Ⅰ、Gauss 消去法由书上定理5可知 设Ax=b ，其中A ∈R^(n(1)如果()0(1,2,....,1)k kka k n ≠=-，则可通过高斯消去法将Ax=b 约化为等价的 角形线性方程组，且计算公式为：① 消元计算（k=1,2，….，n-1）()()(1)()()(1)()()/,1,...,,,,1,...,,,1,...,.k k ik ik kk k k k ij ij ik kj k k k iiik k m a a i k n a a m a i j k n b b m b i k n ++==+=-=+=-=+② 回带公式()()()()()1/,()/,1,...,2,1.n n n n nn ni i i i iii j ii j i x b a x ba x a i n =+==-=-∑（2）如果A 为非奇异矩阵，则可通过高斯消去法将方程组Ax=b 约化方程组为上三角矩阵以上消元和回代过程总的乘除法次数为332333nn nn +-≈，加减法次数为32353263nnn n+-≈以上过程就叫高斯消去法。
Gauss列主元消去法、QR(MATLAB)
Gauss列主元消去法、QR(MATLAB)Gauss列主元消去法是一种线性方程组的求解方法，也称Gauss消去法。
其基本思想是将方程组转化为上三角矩阵，然后通过反向代入求解。
该方法的优点在于计算精度高，求解速度快，但缺点是需要大量的计算，尤其是在矩阵阶数较高时。
具体来讲，Gauss列主元消去法的步骤如下：步骤一：将系数矩阵A进行LU分解，其中L是下三角矩阵、U是上三角矩阵。
设$A=LU$，则原方程组可以写成$LUx=b$。
步骤二：通过初等矩阵左乘系数矩阵A，将每一列的主元变为该列所有元素中绝对值最大的那个元素。
这个过程称为选主元，可以避免计算中的数值不稳定问题。
步骤三：将选主元后的系数矩阵A进行LU分解，得到$L^{'}$、$U^{'}$。
步骤五：通过反向代入求解$U^{'}x=y$，得到$x$的解。
Gauss列主元消去法的实现通常通过矩阵的变换来实现。
对于$n$阶矩阵$A=[a_{ij}]$，通过一系列的行变换，可以将其变为上三角矩阵。
其中的变换可以表示为：$$ R_{i} \leftrightarrow R_{j} $$其中，$R_{i}$和$R_{j}$分别表示矩阵$A$中的第$i$行和第$j$行，$k$是一个非零常数。
这些变换被称为初等行变换。
在MATLAB中，可以使用已经实现好的{\color{blue}\texttt{gauss}}函数来求解线性方程组。
该函数实现的算法是Gauss列主元消去法。
其调用格式为：x = gauss(A,b)其中，$A$是系数矩阵，$b$是结果向量。
函数返回结果向量$x$。
如果$A$或$b$不合法，则函数会返回一个空向量。
除了Gauss列主元消去法，还有一种常用的求解线性方程组的方法是QR分解法。
步骤二：通过正交矩阵左乘系数矩阵$A$，使其变为一个上三角矩阵。
这个过程称为正交相似变换。
步骤三：将$b$进行正交相似变换，得到$Q^{T}b$。
高斯列主元消去法
高斯列主元消去法2.3高斯列主元消去法解线性方程组一：问题的提出我们都知道，高斯列主元素消去法是计算机上常用来求解线性方程组的一种直接的方法。
就是在不考虑舍入误差的情况下，经过有限步的四则运算可以得到线性方程组的准确解的一类方法。
实际运算的时候因为只能有限小数去计算，因此只能得到近似值。
在实际运算的时候，我们很多时候也常用高斯消去法。
但是高斯消去法在计算机中运算的时候常会碰到两个问题。
1．一旦遇到一些主元等于0，消元过程便无法进行下去。
2．在长期使用中还发现，即使消元过程能进行下去，但是当一些主元的绝对值很小时，求解出的结果与真实结果相差甚远。
为了避免高斯消去法消元过程中出现的上述两个问题，一般采用所谓的选择主元法。
其中又可以分为列选主元和全面选主元两种方法。
目前计算机上常用的按列选主元的方法。
因此我在这里做的也是列选主元高斯消去法。
二、算法的基本思想大家知道，如果一个线性方程组的系数矩阵是上三角矩阵时，即这种方程组我们称之为上三角方程组，它是很容易求解的。
我们只要把方程组的最下面的一个方程求解出来，在把求得的解带入倒数第二个方程，求出第二个解，依次往上回代求解。
然而，现实中大多数线性方程组都不是上面所说的上三角方程组，所以我们有可以把不是上三角的方程通过一定的算法化成上三角方程组，由此我们可以很方便地求出方程组的解。
高斯消元法的目的就是把一般线性方程组简化成上三角方程组。
于是高斯消元法的基本思想是：通过逐次消元将所给的线性方程组化为上三角形方程组，继而通过回代过程求解线性方程组。
三、算法的描述1、设有n元线性方程组如下：＝2、第一步：如果a11!=0,令li1= ai1/a11, I= 2,3,……,n用（-li1）乘第一个方程加到第i个方程上,得同解方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)21a(1)22...a(1)2nx2b(1)2 .......=.a(1)n-11 a(1)n-12 . .a(1)n-1nxn-1b(1)n-1a(1)n1a(1)n2. . . a(1)nnxnb(1)n简记为：A(2)x=b(2)其中a(2)ij = a(1)ij – li1 a(1)1j ,I ,j = 2,3,..,nb(2)I = b(1)I – li1 b(1)1 ,I = 2,3,...,n第二步：如果a(2)22!=0,令li2= a（2）i2/a（2）22, I= 3,……,n依据同样的原理，对矩阵进行化间（省略），依次下去，直到完成！最后，得到上三角方程组：a(1)11a(1)12...a(1)1nx1b(1)1a(1)22 ...a(1)2nx2b(1)2 .......=.. .a(n-1)n-1nxn-1b(n-1)n-1. . . a(n)nnxnb(n)n简记为：A(n)x=b(n)最后从方程组的最后一个方程进行回代求解为：n = b(n) / a(n)nni = ( b(k)k - a(k)kjxj ) / a(k)kk以上为高斯消去法的基本过程。
Guass列选主元消去法和三角分解法
Guass列选主元消去法和三⾓分解法 最近数值计算学了Guass列主消元法和三⾓分解法解线性⽅程组，具体原理如下：1、Guass列选主元消去法对于AX =B1）、消元过程：将（A|B）进⾏变换为，其中是上三⾓矩阵。
即：k从1到n-1a、列选主元选取第k列中绝对值最⼤元素作为主元。
b、换⾏c、归⼀化d、消元2）、回代过程：由解出。
2、三⾓分解法（Doolittle分解）将A分解为如下形式由矩阵乘法原理a、计算U的第⼀⾏，再计算L的第⼀列b、设已求出U的1⾄r-1⾏，L的1⾄r-1列。
先计算U的第r⾏，再计算L的第r列。
a）计算U的r⾏b）计算L的r列C#代码： 代码说明：Guass列主消元法部分将计算出来的根仍然储存在增⼴矩阵的最后⼀列，⽽Doolittle分解，将分解后的结果也储存⾄原来的数组中，这样可以节约空间。
using System;using System.Windows.Forms;namespace Test{public partial class Form1 : Form{public Form1(){InitializeComponent();}private void Cannel_Button_Click(object sender, EventArgs e){this.textBox1.Clear();this.textBox2.Clear();this.textBox3.Clear();boBox1.SelectedIndex = -1;}public double[,] GetNum(string str, int n){string[] strnum = str.Split(' ');double[,] a = new double[n, n + 1];int k = 0;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < strnum.Length / n; j++){a[i, j] = double.Parse((strnum[k]).ToString());k++;}}return a;}public void Gauss(double[,] a, int n){int i, j;SelectColE(a, n);for (i = n - 1; i >= 0; i--){for (j = i + 1; j < n; j++)a[i, n] -= a[i, j] * a[j, n];a[i, n] /= a[i, i];}}//选择列主元并进⾏消元public void SelectColE(double[,] a, int n){int i, j, k, maxRowE;double temp; //⽤于记录消元时的因数for (j = 0; j < n; j++){maxRowE = j;for (i = j; i < n; i++)if (System.Math.Abs(a[i, j]) > System.Math.Abs(a[maxRowE, j]))maxRowE = i;if (maxRowE != j)swapRow(a, j, maxRowE, n); //与最⼤主元所在⾏交换//消元for (i = j + 1; i < n; i++){temp = a[i, j] / a[j, j];for (k = j; k < n + 1; k++)a[i, k] -= a[j, k] * temp;}}return;}public void swapRow(double[,] a, int m, int maxRowE, int n){int k;double temp;for (k = m; k < n + 1; k++){temp = a[m, k];a[m, k] = a[maxRowE, k];a[maxRowE, k] = temp;}}public void Doolittle(double[,] a, int n){for (int i = 0; i < n; i++){if (i == 0){for (int j = i + 1; j < n; j++)a[j, 0] = a[j, 0] / a[0, 0];}else{double temp = 0, s = 0;for (int j = i; j < n; j++){for (int k = 0; k < i; k++){temp = temp + a[i, k] * a[k, j];}a[i, j] = a[i, j] - temp;}for (int j = i + 1; j < n; j++){for (int k = 0; k < i; k++){s = s + a[j, k] * a[k, i];}a[j, i] = (a[j, i] - s) / a[i, i];}}}}private void Exit_Button_Click(object sender, EventArgs e){this.Close();}private void Confirm_Button_Click(object sender, EventArgs e){if (this.textBox2.Text.Trim().ToString().Length == 0){this.textBox2.Text = this.textBox1.Text.Trim();}else{this.textBox2.Text = this.textBox2.Text + "\r\n" + this.textBox1.Text.Trim();}this.textBox1.Clear();}private void Calculate_Button_Click(object sender, EventArgs e){string str = this.textBox2.Text.Trim().ToString();string myString = str.Replace("\n", " ").Replace("\r", string.Empty);double[,] a = new double[this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 2];a = GetNum(myString, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);if (boBox1.Text == "Guass列主消元法"){Gauss(a, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++){this.textBox3.Text = this.textBox3.Text + "\r\nX" + (i + 1) + "=" + a[i, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1]; }}else if (boBox1.Text == "Doolittle三⾓分解法"){this.textBox3.Enabled = true;Doolittle(a, this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1);bel3.Text = "分解后的结果：";this.textBox3.Clear();this.textBox3.Text += "L矩阵：\r\n";for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++) {for (int j = 0; j < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; j++) {if (j < i){this.textBox3.Text += a[i, j].ToString() + "\t";}else if (i == j){this.textBox3.Text += "1\t";}else{this.textBox3.Text += "0\t";}}this.textBox3.Text += "\r\n";}this.textBox3.Text += "\r\nU矩阵：\r\n";for (int i = 0; i < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; i++) {for (int j = 0; j < this.textBox2.Lines.GetUpperBound(0) + 1; j++) {if (j >= i){this.textBox3.Text += a[i, j].ToString() + "\t";}else{this.textBox3.Text += "0\t";}}this.textBox3.Text += "\r\n";}}}private void textBox1_KeyDown(object sender, KeyEventArgs e){if (e.KeyCode == Keys.Enter){if (this.textBox1.Text.Trim().ToString().Length == 0){Calculate_Button_Click(sender, e);}else{Confirm_Button_Click(sender, e);}}}private void button1_Click(object sender, EventArgs e){this.textBox2.Enabled = true;}}} 运⾏截图： ⾄此完毕。
2-2 Gauss列主元消去法
S2 若ann 0,则输出“ A是奇异矩阵”；停机 . S3 置xn an,n1 / ann ;
对i n 1, n 2,...1,
ai,n1 n aij x j
置xi
j i 1
aii
S4 输出x1, x2,..., xn ;停机.
作业：
P50 习题3
k in
aik
;
S12 若aik ,k 0,则输出“ A是奇异矩阵”；停机 .
S13 若ik k,则
akj aik , j j k,...,n 1;
S14 对i k 1,..., n
置aik aik / akk ; 对j k 1,..., n 1
置aij aij aik akj.
§2-2 Gauss列主元消去法
一、Gauss列主元消去法的引入 例1. 用3位浮点数运算，求解线性方程组
0.0001xx11
x2 x2
1 2
解: 本方程组的精度较高的解为
x* (1.00010001 ,0.99989999 )T
用Gauss消去法求解
A ( A,b)
0.000100 1
1 1
21
0.000100
m2110 000
0
回代后得到
1
1
1.00 104 1.00 104
x1 0.00 , x2 1.00
与精确解相比,该结果显然是错误的 究其原因,在求行乘数时用了很小的数0.0001作除数
如果在求解时将1,2行交换,即
A ( A,b)
1 0.000100
1 1
a(2) i2
,
交换第2行和第i2行，
2in
然后进行消元，得[ A(3) , b(3) ].
列主元素Gauss消去法Jacobi迭代法原理及计算方法
一、 列主元素Gauss 消去法、Jacobi 迭代法原理及计算方法1. 列主元素Gauss 消去法：1.1 Gauss 消去法基本原理设有方程组Ax b =，设A 是可逆矩阵。
高斯消去法的基本思想就是将矩阵的初等行变换作用于方程组的增广矩阵[]B A b = ，将其中的A 变换成一个上三角矩阵，然后求解这个三角形方程组。
1.2 列主元Gauss 消去法计算步骤将方程组用增广矩阵[]()(1)ijn n B A b a ⨯+== 表示。
1). 消元过程对1,2,,1k n =-(1) 选主元，找{},1,,k i k k n ∈+ 使得 ,max k i k ik k i na a ≤≤= (2) 如果,0k i k a =，则矩阵A 奇异，程序结束；否则执行(3)。
(3) 如果k i k ≠，则交换第k 行与第k i 行对应元素位置，k kj i j a a ↔，,,1j k n =+ 。
(4) 消元，对,,i k n = ，计算/,ik ik kk l a a =对1,,1j k n =++ ，计算.ij ij ik kj a a l a =-2). 回代过程(1) 若0,nn a =则矩阵奇异，程序结束；否则执行(2)。
(2) ,1/;n n n nn x a a +=对1,,2,1i n =- ，计算,11/n i i n ij j ii j i x a a x a +=+⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑2. Jacobi 迭代法2.1 Jacobi 迭代法基本原理Jacobi 迭代法的基本思想是对n 元线性方程组b Ax =，.,n n R b R A ∈∈将其变形为等价方程组f Bx x +=，其中.,,n n n n R x R f R B ∈∈∈⨯B 成为迭代矩阵。
从某一取定的初始向量)0(x 出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量f Bx x k k +=+)()1( （ 1,0=k ）,使得向量序列}{)(k x 收敛于方程组的精确解.(1)输入1,,,,)0(=k n xb A ε，. (2) )(1,1)0()1(∑≠=-=n j i i j ij i iii x a b a x )1,0(n i = (3)判断 ε≤--≤≤)0()1(10max i i n i x x ，若是，输出1)1(2)1(1,,n x x x ，若否，置1+=k k ，)1()0(i i x x =，)2,1(n i =。
Gauss列主元消去法程序设计
《Gauss列主元消去法》实验报告实验名称：Gauss列主元消去法程序设计成绩：___________专业班级：数学与应用数学1202班姓名：王晓阳学号：28实验日期：2014 年11月10日实验报告日期：2014年11月10日一．实验目的1.学习Gauss消去法的基本思路和迭代步骤.2.学会运用matlab编写高斯消去法和列主元消去法程序，求解线性方程组.3.当()ka绝对值较小时，采用高斯列主元消去法.kk4.培养编程与上机调试能力.二、实验内容用消去法解线性方程组的基本思想是用逐次消去未知数的方法把原线性方程组Ax b=化为与其等价的三角形线性方程组，而求解三角形线性方程组可用回代的方法求解.1.求解一般线性方程组的高斯消去法.(1)消元过程：设()0k kk a ≠，第i 个方程减去第k 个方程的()()/k k ik ik kk m a a =倍，(1,,)i k n =+L ，得到()()11k k A x b ++=.()()()()()()()11,,1,,k k k ij ij ik kj k k k ii ik k a a m a i j k n b b m b ++⎧=-=+⎪⎨=-⎪⎩L 经过n-1次消元，可把方程组()()11A x b =化为上三角方程组()()n n A x b =.(2)回代过程：()()()()()1//,1,,1n n n n nn n i i i i i ij j ii j i x b a x b a x a i n =+⎧=⎪⎛⎫⎨=-=- ⎪⎪⎝⎭⎩∑L 以解如下线性方程组为例测试结果.1212312310773264556x x x x x x x x -=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩2.列主元消去法由高斯消去法可知，在消元过程中可能出现()0k kk a =的情况，这是消去法将无法进行，即使主元素()0k kk a ≠但很小时，用其作除数，会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散，最后也使得计算解不可靠.这时就需要选取主元素，假定线性方程组的系数矩阵A 是菲奇异的.(1)消元过程：对于1,2,,1k n =-L ，进行如下步骤：1) 按列选主元，记max pk ik k i na a ≤≤=2) 交换增广阵A 的p,k 两行的元素。
课件：5.2(b) Gauss列主元消去法
L L11L21 Ln11为单位下三角矩阵 U A(n)为上三角矩阵
即 且
1
1,1 ln,1
ln1,2 ln,2
ln1,2 ln,3
1 ln,n1
1
a(1) 11
U A(n)
a(1) 12
a(2) 22
a(1) 1n
a(2) 2n
a(n) nn
1 2 3
解: 这个方程组和例1一样,若用Gauss消去法计算会有 小数作除数的现象,若采用换行的技巧,则可避免
108
A (A,b) 1
2
2
3 1
3.712 4.623 2
1.072
5.64
3
3
108 很小,绝对值最大
的列元素为a13 2, 因此1,3行交换
r1 r3
2 1
例2所用的方法是在Gauss消去法的基础上,利用换行 避免小主元作除数,该方法称为Gauss列主元消去法
二、Gauss消元过程与系数矩阵的分解 1.Gauss消去法消元过程的矩阵描述
( A(1) ,b(1) )
a(1) 11
a(1) 21
a(1) 12
a(1) 22
a(1) 1n
a(1) 2n
主元
A (A,b)
0.000100 1
1 1
1 2
l21 10000
0.000100 0
1 1.00 104
1 1.00 104
回代后得到
x1 0.00 , x2 1.00
与精确解相比,该结果相当糟糕 究其原因,在求乘数时用了很小的数0.0001作除数
如果在求解时将1,2行交换,即
A (A,b)
det Ak 0 k 1,2,, n
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告
课程名称： 数值分析 班级： 数本（一）班 实验日期： 年 月 日
学 号： 0098（81） 姓名： 吴胜 指导教师： 杨一都
实验成绩：
一、实验名称
实验五:线性方程组的数值解法
二、实验目的及要求
1. 让学生掌握用列主元gauss 消去法、超松弛迭代法求解线性方程组.
2. 培养Matlab 编程与上机调试能力.
三、实验环境
每人一台计算机，要求安装Windows XP 操作系统，Microsoft office2003、(或.
四、实验内容
1. 编制逐次超松弛迭代(SOR 迭代)函数(子程序),并用于求解方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=+-+=++-=+++-1
41
414144321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x
取初始向量T x )1,1,1,1()0(=,迭代控制条件为 5)1()(102
1||||--⨯≤
-k k x x 请绘制出迭代次数与松弛因子关系的函数曲线,给出最佳松弛因子.SOR 迭代
的收敛速度是否一定比Gauss-Seidel 迭代快
2. 编制列主元 Gauss 消去法函数(子程序),并用于解 ⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-615318153312321
321321x x x x x x x x x
要求输出方程组的解和消元后的增广矩阵. 注：题2必须写实验报告
五、算法描述及实验步骤
Gauss 消去法：
功能 解方程组b Ax = .
输入 n ,n n ij a A ⨯=)(,T n b b b b ),,,(21 =.
输出 方程组的解T n x x x x ),,,(21 =或失败信息.
步1 对1,,2,1-=n k 执行步2→步4 .
步2 调选列主元模块 .
步3 若0=kk a ，则=x “消去法失败”，结束 .
步4 对n k k i ,,2,1 ++=执行步5→步6 .
步5 对n k k j ,,2,1 ++=执行ij kj kk ik ij a a a a a +⨯-⇐/ .
步6 i k kk ik i b b a a b +⨯-⇐/ .
步7 nn n n a b x /⇐ .
步8 对1,,2,1 --=n n i 执行ii n i j j ij i i a x a b x /)(1∑+=-
⇐ .
步9 输出T n x x x x ),,,(21 = .
选列主元模块：
功能 选列主元 .
输入 n k k i b n k k j i a i ij ,,1,,;,,1,,, +=+= .
输出 n k k i b n k k j i a i ij ,,1,,;,,1,,, +=+= .
步1 kk a m ⇐；k l ⇐ .
步2 对n k k i ,,2,1 ++=执行若m a ik >则ik a m ⇐；i l ⇐ .
步3 若k l ≠，则交换kj a 和lj a ，n k k j ,,1, +=；交换k b 和l b .
步4 返回主模块 .
六、调试过程及实验结果
>> A=[12,-3,3;-18,3,-1;1,1,1];
>> b=[15;-15;6];
>> x=Gauss1(A,b)
Ab =
0 0 index = 1
x =
七、总结
由于数)1(-k kk
a 在Gauss 消去法中有着突出的作用，第k 步消元时，要用)1(-k kk a 作除数，如果)1(-k kk a =0消元会失败，即使主元)1(-k kk a ≠0，但很小时，舍入误差也会使计算结果面目全非，避免这种缺陷的基本方法就是选主元。
通过选主元，就可避免绝对值小的数作除数，从而避免舍入误差的恶性增长，使得Gauss 列主元消去法是解中小规模的线性方程组和某些大型稀疏线性方程组的有效方法。
八、附录（源程序清单）
function [x,index]=Gauss1(A,b)
[n,m]=size(A);x=zeros(n,1); index=1
for k=1:n-1
a_max=0;
for i=k:n
if abs(A(i,k))>a_max
a_max=abs(A(i,k));r=i;
end
end
if a_max<1e-10
index=0;return ;
end
if r>k
for j=k:n
z=A(k,j);A(k,j)=A(r,j);A(r,j)=z;
end
z=b(k);b(k)=b(r);b(r)=z;
end
for i=k+1:n
m=A(i,k)/A(k,k);
for j=k:n
A(i,j)=A(i,j)-m*A(k,j);
end
b(i)=b(i)-m*b(k);
end
end
if abs(A(n,n))==0
index=0;return ;
end
Ab=[A,b]
x(n)=b(n)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1
for j=i+1:n
b(i)=b(i)-A(i,j)*x(j);
end
x(i)=b(i)/A(i,i);
end。