中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及答案解析(1)

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B，和x轴的交点为点C，D（点D位于点C的左侧）．

（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式； （2）从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若点M是线段BC上的动点，点N是△ABC三边上的动点，是否存在以AM为斜边的

Rt△AMN，使△AMN的面积为△ABC面积的 ？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）解：y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折，得y=﹣（x+1）2 ， 把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得y=﹣x2+4， ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4

（2）解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2 ， ∴A（﹣1，0），

当y=0时，﹣x2+4=0，解得x=±2，则D（﹣2，0），C（2，0）； 当x=0时，y=﹣x2+4=4，则B（0，4）， 从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB， ∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ， ∴△BCD为等腰三角形，

∴构造的三角形是等腰三角形的概率= （3）解：存在， 易得BC的解析是为y=﹣2x+4，S△ABC

= AC•OB= ×3×4=6，

M点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2）， ①当N点在AC上，如图1，

∴△AMN的面积为△ABC面积的 ， ∴ （m+1）（﹣2m+4）=2，解得m1=0，m2=1，

当m=0时，M点的坐标为（0，4），N（0，0），则AN=1，MN=4，

∴tan∠MAC= =4； 当m=1时，M点的坐标为（1，2），N（1，0），则AN=2，MN=2，

∴tan∠MAC= =1； ②当N点在BC上，如图2，

BC= =2 ， ∵ BC•AN= AC•BC，解得AN= ， ∵S△AMN= AN•MN=2， ∴MN= = ， ∴∠MAC= ； ③当N点在AB上，如图3，

作AH⊥BC于H，设AN=t，则BN= ﹣t， 由②得AH= ，则BH= ， ∵∠NBG=∠HBA， ∴△BNM∽△BHA，

∴ ，即 ， ∴MN= ， ∵ AN•MN=2， 即 •（ ﹣t）• =2， 整理得3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解， ∴点N在AB上不符合条件，

综上所述，tan∠MAN的值为1或4或 【解析】【分析】（1）将y=x2+2x+1配方成顶点式，根据轴对称的性质，可得出翻折后的函数解析式，再根据函数图像平移的规律：上加下减，左加右减，可得出答案。 （2）先求出抛物线y=x2+2x+1的顶点坐标A，与x轴、y轴的交点D、C、B的坐标，可得出从点A，C，D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，再求出它们的各边的长，得出构造的三角形是等腰三角形可能数，利用概率公式求解即可。 （3）利用待定系数法求出直线BC的函数解析式及△ABC的面积、点M的坐标，再分情况讨论：①当N点在AC上，如图1；②当N点在BC上，如图2；③当N点在AB上，如图3。利用△AMN的面积=△ABC面积的 ，解直角三角形、 相似三角形的判定和性质等相关的知识，就可求出tan∠MAN的值。

2．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．

（1）求证：AD=DE；

（2）若CE=2，求线段CD的长； （3）在（2）的条件下，求△DPE的面积． 【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°，即BD⊥AC ∵AB=BC， ∴△ABD≌CBD ∴∠ABD=∠CBD 在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦 ∴AD=DE；

（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB， ∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴ ， ∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点， ∴CD= ；

（3）解：延长EF交⊙O于M， 在Rt△ABD中，AD= ，AB=10， ∴BD=3 ， ∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴ ， ∴∠BEP=∠EDB， ∴△BPE∽△BED，

∴ ， ∴BP= ， ∴DP=BD-BP= ， ∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，

∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，

∴S△BDE=12，

∴S△DPE= ．

【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。 （2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。 （3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。

3．如图，在 中， ，点M是AC的中点，以AB为直径作 分别交 于点 ． （1）求证： ； （2）填空： 若 ，当 时， ________； 连接 ，当 的度数为________时，四边形ODME是菱形． 【答案】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM．∵四边形ABED是圆内接四边形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理证明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME

（2）2；

【解析】【解答】解：(2)①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴ = ．∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE= AB= ×6=2． 故答案为：2． ②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下： 连接OD、OE．

∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等边三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四边形OEMD是菱形． 故答案为：60°． 【分析】（1）要证MD=ME，只须证∠MDE=∠MED即可。根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=AM=MC，则∠A=∠ABM，由圆内接四边形的性质易得∠MED=∠A，∠MDE=∠MBA，所以可得∠MDE=∠MED；

（2）①由（1）易证得DE∥AB，可得比例式，结合①中的已知条件即可求解； ②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．理由如下：连接OD、OE，由题意易得△ODE，△DEM都是等边三角形，所以可得OD=OE=EM=DM，由菱形的判定即可求解。

4． （1）问题发现：如图①， 正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF. ①写出线段CF与DG的数量关系； ②写出直线CF与DG所夹锐角的度数. （2）拓展探究： 如图②，

将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，请利用图②进行说明. （3）问题解决 如图③，

△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=4，O为AC的中点.若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE的长的最小值.（直接写出结果） 【答案】 （1）①CF= DG，②45 （2）解：如图：

①连接AC、AF,在正方形ABCD中，延长CF交DG与H点， ∠CAD= ∠BCD=45 , 设AD=CD=a，易得AC= a= AD, 同理在正方形AEFG中，∠FAG=45 ,AF= AG, ∠CAD=∠FAG, ∠CAD-∠2=∠FAG-∠2, ∠1=∠3

又 △CAF∽DAG,

= , CF= DG; ②由△CAF∽DAG， ∠4=∠5， ∠ACD=∠4+∠6=45 , ∠5+∠6=45 ， ∠5+∠6+∠7=135 ， 在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ， （1）中的结论仍然成立

（3）OE的最小值为 .

【解析】【解答】（3）如图： 由∠BAC=∠DAE=90 ,可得∠BAD=∠CAE,又AB=AC,AD=AE, 可得△BAD≌△CAE, ∠ACE=∠ABC=45 , 又 ∠ACB=45 , ∠BCE=90 ,即CE⊥BC, 根据点到直线的距离垂线段最短， OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角三角形，

OC= AC=2, 由等腰直角三角形性质易得，OE= ， OE的最小值为 . 【分析】（1）①易得CF= DG;②45 ；(2)连接AC、AF,在正方形ABCD中，可得

△CAF∽DAG， = , CF= DG，在△CHD中，∠CHD=180 -135 =45 ，（1）中的结论是否仍然成立；（3）OE⊥CE时，OE最短，此时OE=CE,△OEC为等腰直角

三角形，OC= AC=2,可得OE的值.