(完整版)专题：一次函数与二次函数综合的
一次函数与二次函数综合【课前热身】1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________．2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围）4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数5．函数2y kx =-与ky x=（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）6.（甘肃）如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像，由图像解答下列问题： ⑴ 此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm ；经过 小时燃烧完毕；⑵ 这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系 的解析式是 ．7. 如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图像大致为（ ）8.（贵阳） 某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元售出，那么每月可售出500 个．根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．⑴ 假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种篮球每月的销售量是___________个．（用含x 的代数式表示） ⑵ 当篮球的售价应定为 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 元.AD（第3题）菜园墙71O y(cm)x(小时)15O xy1-1 A 【考点链接】1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 .2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 .4．二次函数c bx ax y ++=2通过配方可得224()24b ac b y a x a a-=++， ⑴ 当0a >时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当x = 时，y 有最 （“大”或“小”）值是 ． 5. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .【典例精析】例1（烟台）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． ⑴ 写出y 与x 的关系式；⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B.（1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.例3、近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y（米）与售价x（元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70．(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式；(2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．①试用含x的代数式表示ｗ；②试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？例4 （南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y与投资量x成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润2y与投资量x成二次函数关系，如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）⑴分别求出利润1y与2y关于投资量x的函数关系式；⑵如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？【中考演练】1．反比例函数xky 的图像经过A（－23，5）点、B（a，－3），则k＝，a＝．2．（06旅顺）如图是一次函数y1＝kx＋b和反比例函数y2＝＝mx的图象，•观察图象写出y1>y2时，x的取值范围是_________．3．根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变 量x 的值为32，则输出 的结果是_______.4.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝kx（k<0） 的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点 的坐标为（ ） A ．（a ，b ） B ．（b ，a ） C ．（-b ，-a ） D ．（-a ，-b ）5. 二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 6.下列图中阴影部分的面积与算式122)21(|43|-++-的结果相同的是（ ）7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标 为( )A.(2,-1)B.(2,2)C.(2,1)D.(3,1)三、解答题8. 已知点A 的坐标为(13)，，点B 的坐标为(31)，．⑴ 写出一个图象经过A B ，两点的函数表达式；⑵ 指出该函数的两个性质．y 32 1 O1 2 xAB3x x B F A C D Ex G9. 反比例函数y ＝xk的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的一个动点，（1）求反比例函数解析式.（2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.10.（枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝34． （1）求B ′点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．11. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，截取AE ＝BF ＝DG ＝x.已知AB ＝6，CD ＝3，AD ＝4；求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.12. (06沈阳) 某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润A y (万元)与投资金额x (万元)之间存在正比例函数关系：A y kx =，并且当投资5万元时，可获利润2万元；信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润B y (万元)与投资金额x (万元)之间存在二次函数关系：2B y ax bx =+，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；当投资4万元，可获利润3.2万元.(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式； (2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.13. 如图，已知矩形OABC的长OA＝3，宽OC＝1，将△AOC沿AC翻折得△APC.（1）填空：∠PCB＝度，P点坐标为；（2）若P、A两点在抛物线y＝－43x2＋bx＋c上，求b、c的值，并说明点C在此抛物线上；﹡（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数与一次函数结合常见考题(含答案)1，（2010•密云县）附加题：已知：如图，正比例函数y=ax的图象与反比例函数y=的图象交于点A（3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m＜3，过点M作直线MN∥x 轴，交y轴于点B；过点A作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．,2，（2011•雅安）如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）3.（2009•吉林）如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．4.（2009•达州）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．5.（2009•河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？。
二次函数与一次函数的综合题
二次函数与一次函数图像相交的点为方程组的解
相交点的个数取决于方程组的解的个数
垂直关系
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过求导数的方法来判断。如果两个函数的导数相等，则它们的图像平行；如果一个函数的导数为0，另一个函数的导数不为0，则它们的图像垂直。
二次函数与一次函数的图像垂直关系可以通过代入法来判断。将一次函数的解析式代入二次函数的解析式中，得到一个关于x的二次方程，如果该二次方程的判别式Δ=0，则说明两个函数的图像垂直。
奇偶性的判断方法
代数法：通过代入特殊值或化简函数表达式来判断函数的奇偶性
性质法：利用奇偶函数的性质来判断函数的奇偶性
定义法：根据奇偶性的定义来判断函数的奇偶性
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的奇偶性
奇偶性的应用
利用奇偶性判断函数图像的对称性
利用奇偶性简化函数表达式
利用奇偶性求解函数值域
利用奇偶性分析函数的单调性
定义法：利用函数单调性的定义，通过比较自变量取值范围内任意两点处的函数值大小来证明函数的单调性。
导数法：利用导数与函数单调性的关系，通过判断导数的正负来证明函数的单调性。
图像法：利用函数图像的走势来判断函数的单调性，通过观察图像在自变量取值范围内的变化趋势来证明函数的单调性。
05
二次函数与一次函数的奇偶性
相切关系
在切点处，二次函数的导数等于一次函数的斜率，即切线的斜率。
二次函数与一次函数相切时，它们的图像在切点处相切，切线的斜率等于一次函数的斜率。
二次函数与一次函数相切的条件是二次函数的导数等于一次函数的斜率。
当二次函数与一次函数相切时，它们的交点只有一个，即切点。
相交关系
一次函数与二次函数综合题
一次函数与二次函数综合题1. 一次函数与二次函数的定义和特点：一次函数是指形如y = ax + b的函数，其中a和b是常数，a不等于0。
一次函数的图像是一条直线，具有恒定的斜率。
二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c是常数，a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有顶点和对称轴。
2. 一次函数与二次函数的图像和图像性质：一次函数的图像是一条直线，可以通过两个点确定。
一次函数的图像是线性的，斜率代表了直线的倾斜程度，截距代表了直线与y轴的交点。
二次函数的图像是一个抛物线，可以通过顶点和对称轴确定。
二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定，开口向上为正，开口向下为负。
3. 一次函数与二次函数的解和零点：一次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax + b = 0。
一次函数的解只有一个，可以通过解方程求得。
二次函数的解是指使得函数等于零的x值，即解方程ax^2 + bx + c = 0。
二次函数的解可能有两个，可以通过求根公式或配方法求得。
4. 一次函数与二次函数的最值：一次函数没有最值，因为直线是无限延伸的。
二次函数的最值是指抛物线的最高点（最大值）或最低点（最小值），可以通过求顶点的坐标来确定。
5. 一次函数与二次函数的应用：一次函数的应用广泛，例如在物理学中描述匀速直线运动的位移与时间的关系，经济学中描述成本与产量的关系等。
二次函数的应用也很多，例如在物理学中描述抛体运动的轨迹，经济学中描述成本与产量的关系中存在固定成本和变动成本等。
综上所述，一次函数与二次函数在定义、图像、解、最值和应用等方面有着不同的特点和性质。
它们在数学和实际问题中都有重要的应用价值。
一次函数与二次函数的综合应用题
一次函数与二次函数的综合应用题一、引言在数学中，一次函数和二次函数是我们经常遇到的两种函数类型。
一次函数以y = ax + b的形式呈现，其中a和b是常数，而x是自变量。
二次函数则以y = ax^2 + bx + c的形式表达，其中a、b和c都是常数，而x依然是自变量。
本文将基于一次函数和二次函数，介绍它们在实际问题中的综合应用。
二、一次函数的综合应用1. 直线的运动一次函数可以应用于描述直线的运动情况。
假设有一个小车匀速地沿直线前进，设x表示时间（单位：秒），y表示小车距离起点的距离（单位：米），小车的速度为v（单位：米/秒）。
则可以建立起以下一次函数表示小车的位置：y = vx通过该函数，我们可以轻松计算在不同时间点小车的位置，并预测未来的移动情况。
2. 商品价格和销量的关系一次函数还可以应用于描述商品价格和销量之间的关系。
假设某商品的售价为p（单位：元），销量为s（单位：件），根据市场调研，得到以下一次函数表达式：s = -ap + b通过该函数，我们可以研究价格对销量的影响，并进行销售策略的调整。
三、二次函数的综合应用1. 抛体运动二次函数常用于描述抛体在空中的轨迹。
假设有一个物体以初速度v0竖直向上抛出，设x表示时间（单位：秒），y表示物体的高度（单位：米），加速度为g（单位：米/秒^2）。
则可以建立起以下二次函数表示物体的高度：y = -0.5gt^2 + v0t通过该函数，可以计算物体在不同时间点的高度，并分析物体的抛体运动规律。
2. 二次方程的解析二次函数也可以用于解决实际问题中的二次方程。
一个经典的例子是求解一个矩形地块的最大面积。
假设矩形地块的长度为x米，宽度为y米，已知周长为p米。
可以建立以下方程：2x + 2y = p根据周长的限制条件，我们可以得出以下表达式：x = (p-2y)/2，进而得到矩形地块的面积表达式：A = xy = (p-2y)y通过求解该二次函数的极值，即可得到矩形地块的最大面积。
综合题：一次函数二次函数反比例函数中考综合题复习
第一部分：一次函数考点归纳：一次函数：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。
☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0)直线位置与k ，b 的关系：（1）k ＞0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为锐角； （2）k ＜0直线向上的方向与x 轴的正方向所形成的夹角为钝角； （3）b ＞0直线与y 轴交点在x 轴的上方； （4）b ＝0直线过原点；（5）b ＜0直线与y 轴交点在x 轴的下方；平移1，直线x y 31=向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 。
2， 直线143+-=x y 向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线________方法：直线y=kx+b ，平移不改变斜率k ，则将平移后的点代入解析式求出b 即可。
直线y=kx+b 向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
练习：直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；函数图形的性质例题：1．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A．y=2x-1 B．y=3xC．y=2x2 D．y=-2x+12，一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（）A．一、二、三 B．二、三、四C．一、二、四 D．一、三、四3，若函数y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m为常数）是正比例函数，则m的值为（）A．m>12B．m=12C．m<12D．m=-124、直线y kx b=+经过一、二、四象限，则直线y bx k=-的图象只能是图4中的（）5，若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（）A．k>3 B．0<k≤3 C．0≤k<3 D．0<k<36，已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-17，已知关于x的一次函数27y mx m=+-在15x-≤≤上的函数值总是正数，则m的取值范围是（）A．7m>B．1m>C．17m≤≤D．都不对8、如图，两直线1y kx b=+和2y bx k=+在同一坐标系内图象的位置可能是（）9，一次函数y=ax+b与y=ax+c(a>0)在同一坐标系中的图象可能是（）xyo xyoxyoxyoA B C D10，,已知一次函数（1）当m 取何值时，y 随x 的增大而减小？ （2）当m 取何值时，函数的图象过原点？函数解析式的求法：正比例函数设解析式为： ,一个点的坐标带入求k. 一次函数设解析式为： ；两点带入求k,b1，已知一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点A （3,4），且OA=OB（1） 求两个函数的解析式；（2）求△AOB 的面积；第二部分：二次函数（待讲）课前小测：1，抛物线3)2x (y 2-+=的对称轴是（ ）。
知识讲解_ 一次函数和二次函数
一次函数和二次函数【学习目标】1.掌握一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，会判断函数的单调性； 2．会求函数的最大值、最小值，能利用配方法解决二次函数的问题； 3.了解待定系数法的概念，会用待定系数法求函数的解析式。
【要点梳理】要点一、一次函数的性质与图象 1．一次函数的概念(1)深刻理解斜率这个概念．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中k 叫做该直线的斜率．②用运动的观点理解斜率k ．函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．③从对图象的单调性的影响上理解斜率k ．当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数． (2)深刻理解截距b 的含义．①定义：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的图象是一条直线，以后简写为直线y ＝kx+b ，其中b 叫做该直线在y 轴上的截距．②b 的取值范围：b ∈R ．③b 的几何意义：直线y ＝kx+b 与y 轴的交点的纵坐标．④点(0，b )是直线y ＝kx+b 与y 轴的交点．当b ＞0时，此交点在y 轴的正半轴上；当b ＜0时，此交点在y 轴的负半轴上；当b ＝0时，此交点在原点，此时的一次函数就是正比例函数．一次函数(0)y kx b k =+≠图象性质单调性奇偶性k ＞0b ＝0增函数 奇函数b ≠0增函数 非奇非偶函数k ＜0 b ＝0减函数 奇函数b ≠0减函数 非奇非偶函数．(2)图象的画出：因为两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．(3)图象的特点：①正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点(0，0)的一条直线．②一次函数y ＝kx+b 的图象是经过y 轴上点(0，b )的一条直线． (4)画法技巧：①画正比例函数y ＝kx 的图象，通常取(0，0)、(1，k )两点连线．②画一次函数y ＝kx+b 的图象，通常取它与坐标轴的交点(0，b )、,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭两点连线，原因是上述两点在坐标轴上，描点较准确．但由于b k -多数情况下是分数，故在描点时，我们也可以取x 和y 都是整数的情形．3．一次函数性质的应用(1)函数的改变量21()y y -与自变量的改变量21()x x -的比值等于常数k ．(2)当k ＞0时，一次函数是增函数；当k ＜0时，一次函数是减函数．(3)当b ＝0时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当b ≠0时，它既不是奇函数，也不是偶函数． (4)直线y ＝kx+b 与x 轴的交点为,0b k ⎛⎫-⎪⎝⎭，与y 轴的交点为(0，b )． 要点诠释：一次函数y ＝kx+b (k ≠0)的性质可从两方面来理解： ①图象与坐标轴的交点，大家知道x 轴、y 轴上的点的纵坐标、横坐标都分别为0，所以在解析式y ＝kx+b 中分别令x ＝0，y ＝0，得y ＝b ，b x k =-，从而得出直线y ＝kx+b 与x 轴、y 轴的交点分别是,0b A k ⎛⎫- ⎪⎝⎭、B (0，b )，这是要熟记的，另外还要知道y ＝kx+b 与正比例函数y ＝kx 的图象的平行关系．②函数的增减性，也就是：当k ＞0时，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．其含义是：当k ＞0时，如果x 越来越大，那么y 的值也越来越大；当k ＜0时，如果x 越来越大，那么y 的值越来越小． 对于直线y ＝kx+b (k ≠0)而言：当k ＞0，b ＞0时，直线经过一、二、三象限；当k ＞0，b ＜0时，直线经过一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，直线经过一、二、四象限；当k ＜0，b ＜0时，直线经过二、三、四象限．4．一次函数的最值问题求一次函数y ＝kx+b (k ≠0)在某一区间[a ，c ]上的值域的方法是：由于一次函数在某一区间[a ，c ]上是单调的，所以它在区间的两个端点上取得最值，当k ＞0时，它的值域为[f (a )，f (c )]，当k ＜0时，它的值域为[f (c )，f (a )]．5．一次函数的保号性及应用性质1：已知函数()f x kx b =+，如果有()0(0)f α><，()0(0)f β><，则对任意(,)x αβ∈都有()0(()0)f x f x ><．这个性质称为函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上的保号性．同样，()f x kx b =+在区间[,]αβ，[,)αβ，(,]αβ上也具有保号性．性质2：若一次函数()f x kx b =+在区间(,)αβ上有()()0f f αβ<g ，则在(,)αβ内必存在一点x 0使0()0f x =．要点二：二次函数的性质与图象 1．函数2(0)y ax a =≠的图象和性质关于二次函数2(0)y ax a =≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值几个方面来研究，下面结合图象将其性质列表归纳如下：函数图象开口方向顶点坐标对称轴单调性最大(小)值y ＝ax 2(a ＞0)向上 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是减函数，在区间[0,)+∞上是增函数当x ＝0时，min 0y =y ＝ax 2(a ＜0)向下 (0,0) y 轴在区间(,0]-∞上是增函数，在区间[0,)+∞上是减函数当x ＝0时，max 0y =要点诠释：函数2(0)y ax a =≠中的系数a 对函数图象的影响：(1)当a ＞0时，开口向上，a 越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增；(2)当a ＜0时，开口向下，a 的绝对值越小，开口越大，在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)单调递减．2．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质 (1)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象和性质如下表： 函数 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象a ＞0a ＜0性质抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向上，并向下无限延伸 对称轴是直线2b x a =-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称轴是直线2b x a=-， 顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是减函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是增函数 在区间,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上是增函数， 在区间,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数 抛物线有最低点，当2bx a=-时， y 有最小值，2min44ac b y a-=抛物线有最高点，当2bx a=-时， y 有最大值，2max44ac b y a-=(2)配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数幂和的形式．通过配方解决数学问题的方法叫配方法．其中，用的最多的是配成完全平方式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明不等式和等式、求函数最值和解析式等方面都经常用到它．对任何二次函数2()(0)y f x ax bx c a ==++≠都可通过配方化为：2224()24b ac b y a x a x h k a a -⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭．其中2bh a=-，244ac b k a -=．(3)关于配方法要注意两点：①要把二次项系数化为1，方法是提取二次项的系数； ②找准一次项的系数，加上它的一半的平方(目的是配成完全平方式)，再减去这个平方数(目的是保持恒等)．3．二次函数的解析式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠．(2)顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠，顶点(h ，k )．(3)交点式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠g ，x 1，x 2为二次函数的图象与x 轴两个交点的横坐标． 求二次函数解析式的方法，应根据已知条件的特点，灵活地运用解析式的形式，选取最佳方案，利用待定系数法求之．要点诠释：①若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为一般式2y ax bx c =++，a 、b 、c 为常数，a ≠0的形式．②若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大(小)值，则设所求二次函数为顶点式2()y a x h k =-+，其中顶点为(h ，k )，a 为常数，且a ≠0．③若已知二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，则设所求二次函数为交点式12()()y a x x x x =--，a 为常数，且a ≠0．4．二次函数的图象画法与平移(1)二次函数2y ax bx c =++的图象的画法：因为二次函数的图象是一条抛物线，它的基本特征：①有顶点；②有对称轴；③有开口方向．所以，画二次函数的图象通常采用简化了的描点法——五点法，其步骤如下：(i )先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点时，并用虚线画出对称轴； (ii )求抛物线2y ax bx c =++与坐标轴的交点．当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A 、B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D ．将这五个点按从左到右的顺序连起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象．当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D ．由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图．如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A 、B ，然后连线，画出二次函数的图象．(2)二次函数的平移规律．任意抛物线2y ax bx c =++都可转化为2()y a x h k =-+的形式，都可由2y ax =的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．即上述平移规律“h 值正、负，右、左移”，亦即“加时左移，减时右移”；“k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”． 5．二次函数的最值求解二次函数的最大值与最小值，可以从函数解析式的变形和函数的图象两方面去理解．(1)从函数的解析式来研究，对于2y ax bx c =++，通过配方可化为2()y a x h k =-+的形式，再对2()y a x h k =-+进行研究．一般地，对于二次函数2y ax bx c =++，当a ＞0时，y 有最小值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当a ＜0时，y 有最大值2442ac b b x a a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(2)从函数的图象来研究，二次函数的图象是抛物线，又称抛物线2y ax bx c =++，一般描出五个点可画出图象．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示．当a ＞0时，抛物线开口向上，它的顶点恰是抛物线的最低点，显然纵坐标y 有最小值，最小值是244ac b a -；当a ＜0时，抛物线开口向下，它的顶点恰是抛物线的最高点，显然纵坐标y 有最大值，最大值是244ac b a-．6．二次函数的对称轴及其应用根据教材中例题知道对称轴为x ＝-4，由此推导出(4)(4)f h f h --=-+．反过来，如果已知(4)(4)f h f h -+=--，则可得该函数的对称轴为x ＝-4．现总结如下：(1)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f a x +=-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (2)若某函数(不一定是二次函数)满足()(2)f x f a x =-(a 为常数)，则该函数的对称轴为x ＝a ． (3)若某函数(不一定是二次函数)满足()()f a x f b x -=+(a b ≠且a ，b 为常数)，则该函数的对称轴为2a bx +=． 实际上(2)与(1)是等价的，在(1)中令a+x ＝t ，则x ＝t -a ，∴ ()[()]f t f a t a =--，∴ ()(2)f t f a t =-，即()(2)f x f a x =-．要点三、待定系数法 1．待定系数法的定义（1）一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数.这种通过求待定系数来确定变量之间关系的方法叫做待定系数法.（2）根据题设求待定系数的方法——列方程组 ①用特殊值法列方程组；②根据多项式恒等定理列方程组； ③利用定义本身的属性列方程（组）； ④利用几何条件列方程（组）。
一次函数与二次函数的综合练习题
一次函数与二次函数的综合练习题在数学学科中，一次函数和二次函数是我们经常接触到的两种函数类型。
它们在图像特点、方程性质以及实际问题应用等方面具有一定的差异。
为了加深对这两类函数的理解和掌握，下面将提供一些综合练习题来进行实践。
练习题1：已知函数y = 3x - 2和y = x^2 + 1，求二者的交点坐标。
解析：设两个函数相交时的x值为a，则有：3a - 2 = a^2 + 1将方程化为一般形式：a^2 - 3a + 3 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：a = (3 ± √5) / 2因此，交点的坐标为（(3 + √5) / 2，(3(3 + √5) / 2) - 2）和（(3 - √5) / 2，(3(3 - √5) / 2) - 2）。
练习题2：对于函数y = -2x + 3和y = 2x^2 - 1，求二者的交点坐标。
解析：设两个函数相交时的x值为b，则有：-2b + 3 = 2b^2 - 1将方程化为一般形式：2b^2 + 2b - 4 = 0将方程化简得：b^2 + b - 2 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：b = -2 或 b = 1因此，交点的坐标为（-2，-2）和（1，1）。
练习题3：已知函数y = 4x + 7和y = -x^2 + 3x，求二者的交点坐标。
解析：设两个函数相交时的x值为c，则有：4c + 7 = -c^2 + 3c将方程化为一般形式：c^2 - c + 7 = 0但这个方程没有实数解，说明两个函数在平面上没有交点。
练习题4：已知函数y = 5x和y = x^2 - 4，求二者的交点坐标。
解析：设两个函数相交时的x值为d，则有：5d = d^2 - 4将方程化为一般形式：d^2 - 5d - 4 = 0根据一元二次方程的求根公式，得到：d = 5 或 d = -1因此，交点的坐标为（5，25）和（-1，-5）。
练习题5：已知函数y = -3x和y = 2x^2 + 2，求二者的交点坐标。
(完整版)一次函数和二次函数相交的问题
一次函数和二次函数相交的问题类型一：已知一次函数和二次函数解析式求交点坐标并比较大小 如图，已知直线y=x 与抛物线y=21x 2交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数y=21x 2的函数值为y 2． 若y 1＞y 2，求x 的取值范围．类型二：已知相关点的坐标求解一次函数和二次函数的解析式并比较大小如图，二次函数y=（x-2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求一次函数与二次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m 的x 的取值范围．练习1：如图所示，二次函数的图象与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B 、D ．（1）求D 点的坐标和一次函数、二次函数的解析式；（2）根据图象写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．练习2：在同一直角坐标系，开口向上的抛物线与坐标轴分别交于A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），一次函数图象与二次函数图象交于B 、C 两点．（1）求一次函数和二次函数的解析式．（2）当自变量x 为何值时，两函数的函数值都随x 的增大而增大？ （3）当自变量x 为何值时，一次函数值大于二次函数值． （4）当自变量x 为何值时，两函数的函数值的积小于0．ABC Oxy练习3：一次函数y=2x+3与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求一次函数和二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象； （3）从图象上观察，x 为何值时，两个函数的值都随x 的增大而增大，当x 为何值时，二次函数的值大于一次函数的值？类型三：与一次函数和二次函数的交点有关的面积类问题。
专题：一次函数与二次函数综合
一次函数与二次函数综合【课前热身】1．抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________．322--=x x y 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园，ABCD 设边长为米，则AB x 菜园的面积（单位：米）与（单位：米）的函数关系式为 ．（不y 2x 要求写出自变量的取值范围）x 4．当路程一定时，速度与时间之间的函数关系是（ ）s v t A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数5．函数与（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）2y kx =-k y x =6.（甘肃）如图是某种蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的图像，由图像解答下列问题：⑴ 此蜡烛燃烧1小时后，高度为 cm ；经过 小时燃烧完毕；⑵ 这个蜡烛在燃烧过程中高度与时间之间关系的解析式是 ．7. 如图，已知中，BC=8，BC 上的高，D 为BC 上一点，，交AB 于∆ABC h =4EF BC //点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为，则的面积关于x ∆DEF y 的函数的图像大致为（ ）x 8.（贵阳） 某商场购进一种单价为元的篮球，如果以单价元售出，那么每月可售出4050 个．根据销售经验，售价每提高元，销售量相应减少个．500110⑴ 假设销售单价提高元，那么销售每个篮球所获得的利润是___________元；这种x 篮球每月的销售量是___________个．（用含的代数式表示）x ⑵ 当篮球的售价应定为 元时，每月销售这种篮球的最大利润，此时最大利润是 元.A D （第3题）菜园墙【考点链接】1．点A 在函数的图像上.则有 .()o y x ,0c bx ax y ++=22. 求函数与轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ；b kx y +=x 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值3. 求一次函数的图像与二次函数的图像的交()0≠+=k n kx y l ()02≠++=a c bx ax y 点，解方程组 .4．二次函数通过配方可得，c bx ax y ++=2224(24b ac b y a x a a -=++⑴ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当0a > 时，有最 （“大”或“小”）值是 ；x =y ⑵ 当时，抛物线开口向 ，有最 （填“高”或“低”）点, 当0a < 时，有最 （“大”或“小”）值是 ．x =y 5. 每件商品的利润P = － ；商品的总利润Q = × .【典例精析】例1（烟台）如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动，直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．⑴ 写出y 与x 的关系式；⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴.例2 如右图，抛物线经过点，与y 轴交于点B.n x x y ++-=52)0,1(A （1）求抛物线的解析式；（2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标.例3、近年来，“宝胜”集团根据市场变化情况，采用灵活多样的营销策略，产值、利税逐年大幅度增长．第六销售公司2004年销售某型号电缆线达数万米，这得益于他们较好地把握了电缆售价与销售数量之间的关系．经市场调研，他们发现：这种电缆线一天的销量y （米）与售价x （元/米）之间存在着如图所示的一次函数关系，且40≤x≤70．(1) 根据图象，求ｙ与ｘ之间的函数解析式；(2) 设该销售公司一天销售这种型号电缆线的收入为ｗ元．① 试用含x 的代数式表示ｗ；② 试问当售价定为每米多少元时，该销售公司一天销售该型号电缆的收入最高？最高是多少元？例4 （南宁）随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高.某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量1y 成正比例关系，如图（1）所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，x 2y x 如图（2）所示（注：利润与投资量的单位：万元）⑴ 分别求出利润与关于投资量的函数关系式；1y 2y x ⑵ 如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？【中考演练】1． 反比例函数的图像经过A （－，5）点、B （，－3），则＝ ，＝x k y23a k a ．2．（06旅顺）如图是一次函数y 1＝kx ＋b 和反比例函数y 2＝＝的图象， 观察图象写出y 1>y 2时，x 的取值范m x围是_________．3．根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x 的值为，则输出32的结果是_______.4.（06威海）如图，过原点的一条直线与反比例函数y ＝（k<0）k x 的图像分别交于A 、B 两点，若A 点的坐标为（a ，b ），则B 点的坐标为（ ） A ．（a ，b ） B ．（b ，a ） C ．（-b ，-a ） D ．（-a ，-b ）5. 二次函数y ＝x 2＋2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 6.下列图中阴影部分的面积与算式的结果相同的是（ ）12221(|43|-++-7. 如图，方格纸上一圆经过(2,5)，(-2,1)，(2,-3)，(6,1) 四点，则该圆圆心的坐标为( )A.(2,-1)B.(2,2)C.(2,1)D.(3,1)三、解答题8. 已知点的坐标为，点的坐标为．A (13)，B (31)，⑴ 写出一个图象经过两点的函数表达式；A B ，⑵指出该函数的两个性质．xx B F A C D E x G 9. 反比例函数y ＝的图象在第一象限的分支上有一点A （3，4），P 为x 轴正半轴上的xk 一个动点，（1）求反比例函数解析式.（2）当P 在什么位置时，△OPA 为直角三角形，求出此时P 点的坐标.10.（枣庄）如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x 轴上，记为B′，折痕为CE ，已知tan∠OB′C＝34．（1）求B′点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．11. 如图所示，在直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，截取AE ＝BF ＝DG ＝x.已知AB ＝6，CD ＝3，AD ＝4；求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.12. (06沈阳) 某企业信息部进行市场调研发现：信息一：如果单独投资A 种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在A y x 正比例函数关系：，并且当投资5万元时，可获利润2万元；A y kx 信息二：如果单独投资B 种产品，则所获利润(万元)与投资金额(万元)之间存在B y x二次函数关系：，并且当投资2万元时，可获利润2.4万元；2B y ax bx =+当投资4万元，可获利润3.2万元.(1) 请分别求出上述的正比例函数表达式与二次函数表达式；(2) 如果企业同时对A 、B 两种产品共投资10万元，请你设计一个能获得最大利润的投资方案，并求出按此方案能获得的最大利润是多少.13. 如图，已知矩形OABC 的长OA ，宽OC ＝1，将△AOC 沿AC 翻折得△APC.（1）填空：∠PCB＝ 度，P 点坐标为 ；（2）若P 、A 两点在抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上，求b 、c 的值，并说明点C 在此抛43物线上；﹡（3）在（2）中的抛物线CP 段（不包括C ，P 点）上，是否存在一点M ，使得四边形MCAP 的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M 点的坐标；若不存在，请说明理由.二次函数与一次函数结合常见考题(含答案)1，（2010•密云县）附加题：已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=的图象交于点A （3，2）（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值；（3）M （m ，n ）是反比例函数图象上的一动点，其中0＜m ＜3，过点M 作直线MN ∥x 轴，交y 轴于点B ；过点A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线MB 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．,2，（2011•雅安）如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B（﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）3.（2009•吉林）如图，反比例函数y=的图象与直线y=x+m在第一象限交于点P（6，2），A、B为直线上的两点，点A的坐标为2，点B的横坐标为3．D、C为反比例函数图象上的两点，且AD、BC平行于y轴．（1）直接写出k，m的值；（2）求梯形ABCD的面积．4.（2009•达州）如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．（1）试确定反比例函数的关系式；（2）求△AOC的面积．5.（2009•河池）为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？。
二次函数和一次函数的应用解法
二次函数和一次函数的应用解法二次函数和一次函数在数学中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题。
本文将分别介绍二次函数和一次函数的基本概念，并通过示例说明它们的应用解法。
一、二次函数的应用解法二次函数是一个一元二次方程，其表达式形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
二次函数在现实世界中的应用广泛，例如物体运动的抛物线轨迹、距离和时间的关系等。
1. 求解二次函数的顶点二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，可以用来确定函数的最值、对称轴等信息。
要求解二次函数的顶点坐标，可以使用以下公式：x = -b / (2a)y = f(x) = ax^2 + bx + c例子：考虑函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1，我们可以通过求解顶点坐标来分析该函数的性质。
首先，根据公式计算出x = -4 / (2*2) = -1，将该值代入函数得到y =2(-1)^2 + 4(-1) + 1 = -1。
因此，函数f(x)的顶点坐标为(-1, -1)。
2. 求解二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数取0的值的解。
可以使用因式分解或配方法来求解二次函数的零点。
例子：考虑函数f(x) = x^2 - 5x + 6，我们可以通过求解零点来找到函数的根。
首先，将函数进行因式分解得到f(x) = (x-2)(x-3)。
由此可知函数的零点为x=2和x=3。
二、一次函数的应用解法一次函数是一个一次方程，其表达式形式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。
一次函数在现实世界中的应用非常普遍，例如直线运动的速度、收入与支出的关系等。
1. 求解一次函数的斜率一次函数的斜率描述了函数在平面上的倾斜程度。
可以使用以下公式来求解一次函数的斜率：斜率k = (f(x2) - f(x1)) / (x2 - x1)其中，(x1, f(x1))和(x2, f(x2))为函数上两个不同点的坐标。
高考数学讲义一次函数和二次函数
一、函数奇偶性的定义是什么？二、奇偶函数有什么图象特征？三、如何利用定义判断函数奇偶性？一、一次函数1. 一次函数的概念：形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数．（一次函数又叫做线性函数）它的定义域为R ，值域为R ．①斜率：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率． ②截距：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．注：截距不是距离，截距可以是正的，可以是负的，也可以是0．2. 一次函数的性质：（1）函数值的改变量21y y y ∆=-与自变量的该变量21x x x ∆=-的比值等于常数k ，即2121y y y k x x x -∆==∆-，k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度． （2）当0k >时，一次函数是增函数；当0k <时，一次函数是减函数． （3）当0b =时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0b ≠时，它既不是奇函数，也不是偶函数．（4）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)bk-，与y 轴的交点为(0,)b ． （5）直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+，①1l //2l 12k k ⇔=且12b b ≠．②1l 与2l 重合12k k ⇔=且12b b =．二、二次函数一次函数和二次函数知识讲解知识回顾1. 二次函数的概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数．它的定义域为R ．当0a >时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭；当0a <时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭2. 二次函数的4种解析式：（1）一般式2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴2b x a -=，顶点24(,)24b ac b a a--（2）顶点式2()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴x h =，顶点(,)h k（3）交点式12()()(0)y a x x x x a =--≠，抛物线与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x （4）对称点式12()()y a x x x x b =--+，抛物线图象上有两对称点12(,),(,)x b x b注：①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式．②在求二次函数的解析式时，应根据已知条件，合理设式．已知三点坐标，若有对称点（两点的纵坐标相同），则设对称点式；若没有，则设一般式． 已知对称轴或顶点坐标，应设顶点式．3. 二次函数的性质：（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--，对称轴2b x a-=，与y 轴交于(0,)c ;（2）当0a >时，开口向上，当2b x a -=时，2min 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ （3）当0a <时，开口向下，当2b x a -=时，2max 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． （4）二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数⇔0b = 4. 函数图象的平移：左加右减，上加下减（1）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向左平移个单位()y f x a =+； （2）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向右平移个单位()y f x a =-； （3）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向上平移b 个单位()+y f x b =； （4）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向下平移b 个单位()y f x b =-；注：左右平移只是针对单个x 而言． 5. 配方法：（1）提，提系数将平方项的系数化为1；（2）配，加上一次项系数的一半的平方，再减去一次项系数的一半的平方； （3）整理．注：“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键．6. 韦达定理：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a-+== 7. 中点坐标公式：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则0120122,2x x x y y y =+=+8. 交点距离公式：若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x ，则12AB x x a∆=-=（其中24b ac ∆=-） 三、待定系数法1. 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再跟据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2. 待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组； 第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决． 题型一、一次函数的平移【例1】 在平面直角坐标系中，把直线21y x =-向右平移一个单位长度后，其直线解析式为（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．22y x =+D ．23y x =-【例2】 直线22y x =+向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得到的直线的解析式是 ．题型二 用待定系数法求函数解析式【例3】 若直线y kx b =+与直线22y x =+关于x 轴对称，则k b ，的值分别是（ ） A ．﹣2，﹣2 B ．﹣2，2 C ．2，﹣2 D ．2，2【例4】 已知二次函数图象经过点()13A ，、()02B ，、()53C ，三点，求此二次函数解析式．【例5】 已知一条抛物线的形状和2y x =相同且对称轴为12x =-，抛物线与y 轴交于一点()01-，，求函数解析式．题型三、一次函数与方程及不等式综合【例6】 已知15y x =-，221y x =+．当12y y >时，x 的取值范围是（ ）A ．5x >B ．12x <C ．6x <-D ．6x >-【例7】 一次函数y mx n =+（0m ≠），当25x -≤≤时，对应的y 值为07y ≤≤，求一次函数的解析式．【练一练】已知一次函数y kx b =+，当31x -≤≤时，对应的y 值为19y ≤≤，求kb 的值．【例8】 如图，直线y kx b =+经过()21A ，，()12B --，两点，则不等式122x kx b >+>-的解集为______．BAO yx【例9】 已知一次函数y 6kx b =++与一次函数2y kx b =-++的图象的交点坐标为A （2，0），求这两个一次函数的解析式及两直线与y 轴围成的三角形的面积．题型四、二次函数的图像与性质【例10】（1）已知2y ax bx =+的图象如下左图所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限Ｂ．第一、二、四象限 Ｃ．第二、三、四象限Ｄ．第一、三、四象限（2）若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下中图，则a 的值为（ ）A. 2-B. 2C. 1D.2（3）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如下右图所示，则点()P a bc ，在第 象限．yxOyxOyxO【练一练】（1）函数1y ax =+与()210y ax bx a =++≠的图象可能是（ ）1xyO 1xyO1Cxy O1xy O（2）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是 DC B A xyO xyO xyO O yx题型五、二次函数在某区间上的值域与最值【例11】求函数()221f x x ax =+-在区间[]0,3上的最小值．【例12】设函数()22g x x =-()x ∈R ，()()()()()4,,,,g x x x g x f x g x x x g x ++<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩则()f x 的值域是（ ）．Ａ．()9,01,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U Ｂ．[)0,+∞， Ｃ．9,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ Ｄ．()9,02,4⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦U 题型六、二次函数与一元二次方程【例13】已知方程2210x px ++=的两个实根一个小于1，一个大于1，求p 的取值范围．【练一练】设二次方程()22120x a x a +-+-=有一根比1大，另一根比1-小，试确定实数a 的范围．【例14】已知方程20x ax b ++=的两根均大于2，求a b ，的关系式．【练一练】方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，求实数m 的取值范围．题型七、二次函数与不等式恒成立问题 【例15】设23y x ax a =++-（1）当x 取任意实数时，y 恒为非负数，求a 的取值范围；（2）当22x -≤≤时，y 的值恒为非负数，求实数a 的取值范围．【练一练】函数()23f x x ax =++．（1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 得取值范围； （2）当[]2,2x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围．【练1】 一次函数经过沿y 轴向下平移3个单位，在向右平移2个单位，所得的直线的解析式为()23y x =-，则原来的一次函数解析式为 ．【练2】 直线1l 是正比例函数的图象，将1l 沿y 轴向上平移2个单位得到的直线2l 经过点()11P ，，那么（ ）A ．1l 过第一．三象限B ．2l 过第二．三．四象限C ．对于1l ，y 随x 的增大而减小D ．对于2l ，y 随x 的增大而增大【练3】 一次函数y kx b =+的图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（ ）A ．0x >B ．0x <C ．2x >D ．2x <【练4】 已知二次函数()()222143y x m x m m =-++-+-，m 为非负整数，它的图像与x 轴交于A B ，两点，其中点A 在原点左边，点B 在原点右边． （1）求函数的解析式；（2）若一次函数y kx b =+的图像经过A 与二次函数图像交于C 又10ABC =V S ，求一次函数的解析式．【练5】 若方程2(1)2(1)0m x m x m -++-=的根都为正数，求m 的取值范围．【练6】 设二次函数2()(0),f x ax bx c a =++>方程()f x x =的两根12,,x x 满足1210x x a<<<． （Ⅰ）当1(0,)x x ∈时，求证：1()x f x x <<（Ⅱ）设函数()f x 的图象关于0x x =对称，求证：102x x <随堂练习xOy 32【题1】 已知二次函数过点()01-，，且顶点为()12-，，求函数解析式．【题2】 设抛物线为21y x kx k =-+-，根据下列各条件，求k 的值．（1）抛物线的顶点在x 轴上；（2）抛物线的顶点在y 轴上； （3）抛物线经过点(1,2)--； （4）抛物线经过原点；（5）当1x =-时，y 有最小值； （6）y 的最小值为1-．【题3】 已知二次函数2()0y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；② 方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个1Oyx课后作业【题4】 若一元二次方程2330kx kx k ++-=的两根都是负数，求k 的取值范围．【题5】 已知()[]2221f x x x x t t =-+∈+，，，若()f x 的最小值为()g t ，写出()g t 的表达式．。