基本的RC电路计算

那么这个复杂的精确公式和工程估算之间，有怎样的联系呢？
三、精确计算的估算化简
指数函数可以展开成泰勒级数，公式如下：
exp(x)
=
ex
=
1
+
x
+
x2 2!
+
x3 3!
+
⋯+
xn n!
+
⋯
这里，因为t1或者t2都远远小于 1，所以，可以忽略掉级数的高次项，这里取：
τ1
τ2
exp(x) ≅ 1 + x 整理，代入前面的精确计算公式有：
R2) �
∗
D∗T C1
对于放电来说：
−t2 V放 = �VOUT + ∆V充� ∗ exp � τ2 �
这里忽略∆V充，有：
−t2 V放 = VOUT ∗ exp � τ2 � 同样，利用泰勒公式替换，整理一下，可以得到：
−t2
t2 VOUT T ∗ (1 − D)
∆V放 = VOUT ∗ [1 − exp � τ2 �] = VOUT ∗ τ2 = R2 ∗ C1
������������1 ∗ ������������2 ������������������������������������ = ������������1 + ������������2 令τ1 = Req ∗ C，t1 = T ∗ D假设输出稳定时，输出电压为 VOUT，那么，可以得到：
2.009
2.007 -2.014
4.52 50 50 100 50 90% 45 5 2500 5000
2.141
2.140 -1.074
4.52 50 50 100 50 100% 50 0 2500 5000
2.260
2.260
0.000
表 1 估算和精确计算不同的占空比下的输出电压 可以看到估算和精确计算的误差并不大：
2/5
图四 诺顿等效 采用诺顿等效，将电阻转化成并联的形式：
VIN Ieq =
R1
图五 戴维南等效
再使用戴维南等效，转换成经典的 RC 结构：
������������2 ������������������������������������ = ������������������������ ∗ ������������1 + ������������2
R2
t1 ∗ τ2
VOUT = VIN ∗ R1 + R2 ∗ t2 ∗ τ1 + t1 ∗ τ2
将各参数全部代入，最终得到：
������������
=
������������������������
∗
������������ ∗ ������������2 ������������1 + ������������2 ∗
∗
R2 R1 + R2
∗
1 − exp �−τt11� exp �τt22� − exp �−τt11�
这个公式稍微有点复杂，计算起来略微麻烦一点，我们可以用电子表格进行计算。
我们列一个电子表格，来计算一下，顺便对比一下精确计算的结果和估算的结果相差多少。计
算结果如下：
3/5
VIN R1 R2 C1 T D
0.750 -3.011
4.52 50 50 100 50 30% 15 35 2500 5000
1.043
1.039 -3.650
4.52 50 50 100 50 40% 20 30 2500 5000
1.291
1.288 -3.876
4.52 50 50 100 50 50% 25 25 2500 5000
������������ ∗ ∆������������ ∆ = ������������ 利用该公式计算充电和放电电压变化量为：
������������充 ∗ ∗ ������������ ������������������������ ������������ ∗ (������������1 + ������������2) ∗ ������������
������������充 =
������������1
− ������������2 = ������������1 −
������������1 ∗ ������������2
������������ ������������放 = ������������2
又由于电容上的充电和放电的变化量为：
这个是不是和工程计算的充电公式一样了？这个就是工程计算要求t ≪ τ的原因。
工程计算往往需要 10 倍的差距，就是因为 10 倍的差距的时候，某些数据项可以忽略掉，不如
计算的时候是利用电容的充电电压和放电电压变换量一致，但是计算时，输出电压又忽略掉了这个
变化量，工程计算更多的是一种估算，忽略对最终结果影响不大的细节部分，通过简化计算，得到
一、采用工程计算
T=50uS，而 R2C1=5mS，(R1//R2)C1=2.5mS，可以看出电路中的时间常数是远大于充放电的周 期的(在工程计算上，一般 10 倍以上的差距就可以加“远”字了)，所以可以认为充放电的电流是 线性的。
电容的充电和放电流为：
������������������������ − ������������ ������������ ������������������������ ������������ ∗ (������������1 + ������������2)
1.507
1.503 -3.770
4.52 50 50 100 50 60% 30 20 2500 5000
1.695
1.692 -3.395
4.52 50 50 100 50 70% 35 15 2500 5000
1.861
1.858 -2.797
4.52 50 50 100 50 80% 40 10 2500 5000
假设占空比 D=10%时，VOUT=10%*(5-0.48)*(R2/(R1+R2))V=0.226V。
图一 仿真电路 但实际仿真结果如下(仿真结果与实际的电路结果是一致的)：
图二 仿真结果
1/5
可以看到 VOUT 的稳定电压大约 0.408V，而直接使用占空比计算结果为 0.226V，误差太大了， 需要仔细的计算一下。当 VOUT 稳定时，电容 C1 上的充电电压变化量是与放电电压的变化量是相 等的。我们基于这一点进行计算。
5/5
−t1 V充 = VOUT + (Veq − VOUT) ∗ [1 − exp � τ1 �] 令τ2 = R2 ∗ C，t2 = T ∗ (1 − D)，则可以得到放电后的电压为：
−t2 V放 = V充 ∗ exp � τ2 � = VOUT 把充电后的电压代入放电电压公式，可以得到：
VOUT
=
VIN
简单的 RC 计算
最近以前同事遇到一点小问题，设计好了一个电路，但是客户在使用时，发现测量结果与他给 的估算公式不相符。这个问题简化一下，就是下面这个简单的 RC 电路的计算。
电路如图一所示，他提供的简单的计算公式如下： V������������������������������������ = D ∗ VIN VIN = VI − VF
若电容上的初始电压为������������初，那么放电公式为：
−������������ ������������������������ (������������) = ������������初 ∗ exp �������������� 充电时，利诺顿等效和戴维南等效，可以化简电路。
图三 简化充电等效电路
������������1
= ������������2 ∗ ������������1
将充电和放电的电流代入，可以得到：
������������ ∗ ������������2 ������������ = ������������������������ ∗ ������������1 + ������������2 ∗ ������������ 我们尝试代入 T=50uS，D=10%，VIN=4.52V，R1=50K，R2=50K，得到 VOUT=0.411V，与仿真的 0.408V 相比，这个误差很小。
t1 t2 τ1 τ2 估算 VOUT 精确 VOUT 误差
单位 KΩ KΩ nF uS
uS uS uS uS
V
V
mV
4.52 50 50 100 50 10% 5 45 2500 5000
0.411
0.409 -1.847
4.52 50 50 100 50 20% 10 40 2500 5000
0.753
一个相对准确的结果，这样可以快速的判断设计的。
五、关于误差 注意观察，可以看到估算的结果是高于精确计算的结果的，实际的误差并没有这么大，这里通 过图示来说明一下。
图六 计算示意 估算时，VOUT 是取平均值；而精确计算时，VOUT 是取最小值。占空比 100%的时候，因为变 化量为 0，是直流，所以两者一样。但是不为零的时候，两者就会有充放电产生的纹波误差。 精确计算的结果如果加上∆V充/2，得到的结果与估算结果的误差就会变得很小。这里不再计算 了。另外，采用泰勒公式进行化简时，截断的尾数部分是可以用拉格朗日型余项进行估算的。 这些估算或者计算没有用到什么高深的知识，只是需要综合考虑一些细节。很多时候，你要忽 略一些细节的时候，要先确定一下，它对你的影响有多大，是否可以忽略。
τ
2.5mS
因为远小于 1，所以，才可以忽略 x 的高次项。
V充
=
VOUT
+