江西省高安市第二中学2016届高三数学第二次段考试题 文

江西省高安二中2016届高三第二次段考试卷数 学（文）试 题（时量：120分钟 分值：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．已知集合{}2log (1)2M x x =-<，{}6N x a x =<< ,且()2,M N b = ,则a b += （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2．命题：,2sin 1"x R x ∃∈≥“的否定是（ ）A ．,2sin 1x R x ∃∈<B ． ,2sin 1x R x ∀∈≥C ．,2sin 1x R x ∃∈≤D ． ,2sin 1x R x ∀∈<3．将函数sin 2y x =的图像向左平移4π个单位长度，所得函数是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数4．若01x y <<<,则 （ ）A ．log 3log 3x y <B ．33y x< C ．44log log x y < D ．11()()44xy<5．函数)22(cos log )(21ππ<<-=x x x f 的图象大致是 （ ）6.已知(tan )sin cos f x x x =，则 (2)f = （ ）A. 25 B ． 35 C ． 45 D ．45-7．已知1sin()63πθ+= ， 则2cos(2)3πθ-= （ ） A ．79-B ．19- C ．19 D ．798.已知R 上可导函数)(x f 的图象如图所示，则不等式0)()32(2>'--x f x x 的解集为（ ） A ．),1()2,(+∞⋃--∞ B ．)2,1()2,(⋃--∞ C ．),2()0,1()1,(+∞⋃-⋃--∞D ．),3()1,1()1,(+∞⋃-⋃--∞9．已知21)4tan(-=+πα，且παπ<<2，则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于 （ ）A.552 B.1053- C.552- D.10103- 10．设函数11,(,2)()1(2),[2,)2x x f x f x x ⎧--∈-∞⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则函数()()1F x xf x =-的零点的个数为( )A. 4B. 5C. 6D. 711．定义两个实数间的一种新运算“*”：()l g1010,x yx y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给出如下结论： ①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=；③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是 （ ） A ． 0 B ．1 C ．2 D ．312．对于函数()f x 与()g x 和区间D ，如果存在0x D ∈，使00()()1f x g x -≤，则称0x 是函数()f x 与()g x 在区间D 上的“友好点”．现给出两个函数： ①2()f x x =，22)(-=x x g ；②()f x =()2g x x =+；③x x f -=e )(，1()g x x=-； ④()f x ln x =，x x g =)(，则在区间()0,+∞上的存在唯一“友好点”的是 （ ） A ．①② B ．①④ C ． ②③ D ．③④二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分. 把每小题的答案填在答题卡的相应位置）13．已知()12333log (6)3x ex f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则((3))f f 的值为14．已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114且α∈(0，π2)，α＋β∈(π2，π)，则cos β的值为_____．15．已知函数()f x 是定义在(0,+∞)上的单调函数,若对任意x ∈(0,+∞),都有()21=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x f f ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛51f 的值是16．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点x ，且0x < ，则a 的取值范围是 .三、解答题（共6题， 共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（满分10分）设：p 实数x 满足0)3)((<--a x a x ，其中0>a .：q 实数x 满足⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+-015808622x x x x .（1）若1=a 且q p ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.18（满分12分）已知函数f (x )＝(1＋1tan x )sin 2x ＋m sin(x ＋π4)sin(x －π4)．(1)当m ＝0时，求f (x )在区间[π8，3π4]上的取值范围；(2)当tan α＝2时，f (α)＝35，求m 的值．19（满分12分）若直线)0(>=m m y 是函数2()sin cos (0)f x x x x ωωωω=->的图象的一条切线，并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列. （Ⅰ）求ω和m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,的对边．若0)2A（，是函数)(x f 图象的一个对称中心，且4=a ，求b c +的最大值．20（满分12分）函数c bx ax x x f +++=23)(，过曲线)(x f y =上的点P ))1(1f ，（的切线方程为.13+=x y（1）若)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的表达式； （2）在（1）的条件下，求)(x f y =在[-3,1]上的最大值；（3）若函数)(x f y =在区间[-2,1]上单调递增，求实数b 的取值范围.21（满分12分）已知函数()f x 对任意的实数x 、y 都有()()()1f x y f x f y +=+-, 且当0x >时,()1f x >.(1)求证:函数()f x 在R 上是增函数；(2)若关于x 的不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,求m 的值.(3)若()12f =，求(2015)f 的值22．（满分12分）已知函数314()33f x x =+，g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2. (1)求函数f (x )过A (2,4)点的切线方程；(2)若g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3) 求函数g (x )的值域高安二中2016届高三上学期第二次段考数学（文）答案一、 选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DDBCCAADCCDB二、填空题 13 3 14 1215 6 16 2a >三、解答题17. 解：依题意知：a x a p 3:<< ………2分⎩⎨⎧>--<--0)5)(3(0)4)(2(:x x x x q ，所以⎩⎨⎧<><<3542x x x 或，即32<<x . ………4分 （1）当1=a 时，31:<<x p要使q p ∧为真，则须满足⎩⎨⎧<<<<3231x x ，解得：32<<x ； ………8分（2） p 是q 的必要不充分条件 ∴)3,()3,2(a a ⊂ ⎩⎨⎧≥≤∴332a a ，解得：21≤≤a . ………12分18.解：(1)当m ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝12(sin2x －cos2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12. 又由x ∈[π8，3π4]，得2x －π4∈[0，5π4]，所以sin(2x －π4)∈[－22，1]，从而f (x )＝22sin(2x －π4)＋12∈[0，1＋22]． (2)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x －m 2cos2x ＝1－cos2x 2＋12sin2x －m 2cos2x＝12[sin2x －(1＋m )cos2x ]＋12， 由tan α＝2，得sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以35＝12[45＋(1＋m )35]＋12，得m ＝－2.19解（Ⅰ）1cos 21sin 2=cos(2)2226x x x ωπωω+--+，……3分由f(x)的图象与直线)0(>=m m y 相切，得1m =． …………4分 切点横坐标依次成公差为π的等差数列，所以周期=ππω2T=2, 所以1,ω=… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知cos(2)6x π+ f(x)=，2,,626x k x k k Z πππππ+=+=+∈ 令2得， 点0)2A （，是函数)(x f 图象的一个对称中心，又A 是⊿ABC 内角，,63A ππ∴==A 2. a=4,由余弦定理得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-，2)316b c bc +-=即(，又2)2b c bc +≤（， 22()-3,()84b c b c bc b c +∴+≥∴+≤（） ……12分20解：（1）由c bx ax x x f +++=23)(得b ax x x f ++=23)('2，过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为)1)(1(')1(-=-x f f y ， 即)1)(23()1(-++=+++-x b a c b a y .而过)(x f y =上点))1(,1(f P 的切线方程为13+=x y ， 故⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=+++=++3241323c b a b a c b a b a 即 ………3分 ∵)(x f y =在2-=x 处有极值，故.124-02-'-=+∴=b a f ，）（ 联立解得542)(,5,4,223+-+=∴=-==x x x x f c b a . ………4分(2) )2)(23(443)('2+-=-+=x x x x x f ，令0)('=x f 得.232-==x x 或 列下表：因此，)(x f 的极大值为13)2(=-f ，极小值为2795)32(=f ， 又)(,4)1(,8)3(x f f f ∴==- 在]1,3[-上的最大值为13.……8分（3）)(x f y =在]1,3[-上单调递增，又b ax x x f ++=23)('2， 由（1）知b bx x x f b a +-=∴=+23)('.02，依题意在]1,2[-上恒有0)('≥x f ，即032≥+-b bx x 即23)1(x x b ≤-在]1,2[-上恒成立.当1=x 时恒成立；当)1,2[-∈x 时，)0,3[1-∈-x ，此时613)1(3132+-+-=-≥x x x x b而))0,3[1(613)1(3-∈--≤-+-x x x 当且仅当0=x 时成立 0613)1(3≤+-+-∴x x 要使613)1(3+-+-≥x x b 恒成立，只须0≥b .……12分21解：（1）证明：设12x x <，则210x x ->，从而 21()1f x x -> 21()10f x x -->()2121()f x f x x x =+-=⎡⎤⎣⎦()()1211()1f x f x x f x +-->故()f x 在R 上是增函数(2)不等式为()()25f x ax a f m -+<.则25x ax a m -+<, 即250x ax a m -+-<.……………………………………………………6分∵不等式()()25f x ax a f m -+<的解集为{}|32x x -<<,22.解： (1)切线方程为440x y --= ，20x y -+=(2)g ′(x )＝2(x －a x ＋ln xx－a )，令F (x )＝x －a x ＋ln xx－a ，则y ＝F (x )在[1，＋∞)上单调递增． F ′(x )＝x 2－ln x ＋a ＋1x2，则当x ≥1时，x 2－ln x ＋a ＋1≥0恒成立， 即当x ≥1时，a ≥－x 2＋ln x －1恒成立．令G (x )＝－x 2＋ln x －1，则当x ≥1时，G ′(x )＝1－2x2x<0，故G (x )＝－x 2＋ln x －1在[1，＋∞)上单调递减． 从而G (x )max ＝G (1)＝－2. 故a ≥G (x )max ＝－2.(3)证明：g (x )＝(x －a )2＋(ln x －a )2＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ， 令h (a )＝2a 2－2(x ＋ln x )a ＋x 2＋ln 2x ，则h (a )≥ x －ln x 22.令Q (x )＝x －ln x ，则Q ′(x )＝1－1x ＝x －1x，显然Q (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 则Q (x )min ＝Q (1)＝1. 则g (x )＝h (a )≥12.。