2018届高三数学二轮复习课件：专题七概率与统计7.1计数原理二项式定理
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2018届高考数学二轮复习专题七概率与统计7.1计数原理二项式定理课件理
1 例 2(1)(2017· 全国卷 Ⅰ)1 ＋ x2 (1 ＋ x)6 展开式中 x2 的系数为 ( C ) A．15 B．20 C．30 D．35 (2)(2017· 浙江卷 ) 已知多项式 (x ＋ 1)3(x ＋ 2)2 ＝ x5 ＋ a1x4 ＋ a2x3 ＋ 16 a3x2＋a4x＋a5，则 a4＝________ ，a5＝________. 4
【解析】 (1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 1 2 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C3 · C4· A2＝36(种)，或列式为 4×3 1 2 1 C3· C4· C2＝3× 2 ×2＝36(种)． 故选 D. (2)①当组成四位数的数字中有一个偶数时，四位数的个数为 1 4 C3 C4 · A4＝960. 5· 4 ②当组成四位数的数字中不含偶数时，四位数的个数为 A5 ＝ 120. 故符合题意的四位数一共有 960＋120＝1 080(个)．
考点 2
பைடு நூலகம்二项式定理
1．通项与二项式系数 n －r r Tr＋1＝Cr b ，其中 Cr na n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数． 2．各二项式系数之和 1 2 n n (1)C0 n＋Cn＋Cn＋…＋Cn＝2 . 3 0 2 n－1 (2)C1 ＋ C ＋…＝ C ＋ C ＋…＝ 2 . n n n n
1 4 4 2 2 1· C6x 和 2· C6x .
[技法领悟] (1)利用二项式定理求解的两种常用思路 ①二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或 者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的． ② 二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中 的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值． (2)[警示] 在应用通项公式时，要注意以下几点： ①它表示二项展开式的任意项， 只要 n 与 r 确定， 该项就随之确定； ②Tr＋1 是展开式中的第 r＋1 项，而不是第 r 项； ③公式中，a，b 的指数和为 n，且 a，b 不能随便颠倒位置； ④对二项式(a－b)n 展开式的通项公式要特别注意符号问题．
高三数学二轮复习 第1讲计数原理、二项式定理专题攻略课件 理 新人教版
②最大值：当 n 为偶数时，中间的一项的二项式系数
n C2n
取得最大值；当
n
为奇数时，中间的两项的二项
式系数 Cn－2 1n，Cn＋2 1n 相等，且同时取得最大值．
③各二项式系数的和：
a．Cn0＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n； b．C0n＋C2n＋…＋C2nr＋…＝Cn1＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋…＝ 2n－1.
专题七 概率与统计、算法 初步、复数
第1讲 计数原理、二项式定理
要点知识整合
1．排列与组合 (1)复杂的排列问题常常通过试验、画简图等手段使问 题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难以 直接检验，因而常需要用不同的方法求解来获得检验． (2)处理排列组合的综合性问题时，一般地思想方法是 先选元素(组合)，后排列，按元素的性质“分类”和按事 件发生的连续过程“分步”，这是处理排列组合问题的基 本方法和原理，通过解题训练要注意积累分类和分步的 基本技能．
填涂种数共有( )
A.48
B．24 C．12
D．6
解析：选 C.可将 9 个区域标号如图： 123 456 789
用不同颜色为 9 个区域涂色，可分步解决：第一步， 为第一行涂色，有 A33＝6 种方法；第二步，用与 1 号区域不同色的两种颜色为 4,7 两个区域涂色，有 A22＝2 种方法；剩余区域只有一种涂法．所以共有 6×2＝12 种涂法，故选 C.
热点突破探究
典例精析
题型一 计数原理
例1 上海某中学从高三四个班中共抽出学生22人， 其中一、二、三、四班各4人、5人、6人、7人，他 们自愿组成世博服务小组，若从中推选出2名去美 国馆服务，要求这2人来自不同班级，有多少种不 同的选法？
高考数学二轮复习计数原理与概率
6
x
3 2
k
，k≤6，k∈N，
由 6－32k＝0，解得k＝4，
则 T5＝(－1)4×32×C46＝135，
√A.144种
C.672种
B.336种 D.1 008种
选取的 3 个名称中含有祝融的共有 C29种不同的情况. 分析选取的 3 个名称的不同情况有 A33种， 其中祝融是第 3 个被分析的情况有 A22种， 故祝融不是第 3 个被分析的情况有 C29(A33－A22)＝144(种).
(2)(2022·广东联考)现要安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去国家高山滑雪
√D.P(A|C)＝P(B|C)
由题知，从 10 个数中随机地抽取 3 个数，共有 C310＝120(种)可能情况， 对于A选项，“恰好抽的是2,4,6”和“恰好抽取的是6,7,8”为互斥事 件，则P(AB)＝0，而P(A)P(B)≠0，故A选项错误； 对于 B 选项，P(C)＝CC31290＝13260＝130，故 B 选项错误； 对于 C 选项，P(AB)＝0，P(C)＝130，故 C 选项错误； 对于 D 选项，由于 P(AC)＝P(BC)＝C129＝316，故由条件概率公式得 P(A|C) ＝P(B|C)，故 D 选项正确.
跟踪演练2 (1)(2022·淄博模拟)若(1－x)8＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋
a8(1＋x)8，则a6等于
A.－448
B.－112
√C.112
D.448
(1－x)8＝(x－1)8＝[(1＋x)－2]8 ＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a8(1＋x)8， a6＝C28×(－2)2＝112.
③P(B)＝12；④B 与 A1 相互独立.
A1，A2，A3中任何两个事件都不可能同时发生，因此它们两两互斥，
二轮复习排列组合、二项式定理
排列组合二项式定理教学过程一、考纲解读该部分在高考试卷中一般是1到2个小题，分值在5-10分。
主要考查两个基本原理、排列组合的基础知识和方法，考查二项式定理的基础知识及其简单应用.在复习中要在解一些常规题型上下功夫，需要掌握基本的解题方法.在平时的复习中要能够体会计数原理在概率分布中的应用，特别是用排列组合解决的大题.对于二项式定理，重点考查二项式定理的通项.以及二项式系数和项的系数.二、复习预习（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.（2）排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.（3）二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.三、知识讲解考点1 分类加法计数原理、分步乘法计数原理①理解分类加法计数原理和分类乘法计数原理；②会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.考点2 排列与组合①理解排列、组合的概念.②能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.③能解决简单的实际问题.考点3 二项式定理①能用计数原理证明二项式定理.②会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( )A .18B .38C .58D .78【规范解答】解法1.选D （直接法）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有22426C C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=； 解法2.选D （间接法）4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.【总结与反思】 （1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．是一道基础题。
二项式性质课件
展开式的应用
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
二项式定理的展开式在数学、物理、工程等多个领域都有广泛应用 ，例如组合数学、概率论、统计学等。
定理表述
定理表述
定理证明
定理推论
二项式定理表述为(a+b)^n的展开式 为(C(n,0)a^n+C(n,1)a^{n1}b+dots+C(n,n)b^n)，其中 (C(n,k))表示组合数，即从n个不同元 素中取出k个元素的组合数。
03
二项式定理的应用
组合数学中的应用
二项式系数
二项式定理可以用来计算组合数，特 别是当组合数的上标和下标非常大时 ，使用二项式定理可以大大简化计算 过程。
排列数
通过二项式定理，我们可以推导出排 列数的公式，从而快速计算给定集合 的所有可能排列的数量。
概率论中的应用
概率计算
在概率论中，二项式定理常用于计算复杂事件的概率。例如，在n次独立重复 试验中，某一事件恰好发生k次的概率可以使用二项式定理来求解。
详细描述
牛顿二项式定理基于组合数学和幂级数展开，通过将二项式展开为幂级数形式，可以更方便地计算和 推导二项式的展开结果。
感谢您的观看
THANKS
1. 组合数的计算公式 为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中"!"表 示阶乘。
2. 组合数具有对称性 ，即C(n, k) = C(n, nk)。
3. 组合数具有递推性 ，即C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
指数性质
总结词：二项式定理的指数表示从n个不 同元素中取出k个元素的排列方式数。
贝努利概率模型
贝努利概率模型是二项式定理在概率论中的一个重要应用，它描述了一个成功 概率为p的试验中，进行n次独立重复试验，成功次数k的概率。
高考数学一轮总复习教学课件第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布第3节 二项式定理
[课程标准要求]
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项
式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=
n
n-1 1
n-k k
n
a + a b +…+ a b +…+ b (n∈N*).
取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数
为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
注意:解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项展开式
的通项时要注意:①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项
当 x=-1 时,有 a0-a1+a2-a3+…-a2 023+a2 024=3 ,
B 中,由上可得 a1+a3+a5+…+a2 023=
C 中,由上可得 a0+a2+a4+…+a2 024=
D 中,令 x= 可得 a0+ + + +…+
得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,
令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.故选ABD.
1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项
式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.二项式定理
(1)二项式定理:(a+b)n=
n
n-1 1
n-k k
n
a + a b +…+ a b +…+ b (n∈N*).
取值范围(k=0,1,2,…,n).
(1)第m项:此时k+1=m,直接代入通项.
(2)常数项:即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数
为0建立方程.
(3)有理项:令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
注意:解题时注意二项式系数中n和r的隐含条件.使用二项展开式
的通项时要注意:①通项表示的是第r+1项,而不是第r项;②通项
当 x=-1 时,有 a0-a1+a2-a3+…-a2 023+a2 024=3 ,
B 中,由上可得 a1+a3+a5+…+a2 023=
C 中,由上可得 a0+a2+a4+…+a2 024=
D 中,令 x= 可得 a0+ + + +…+
得6(x-1)5=a1+2a2(x+1)+3a3(x+1)2+…+6a6(x+1)5,
令x=0,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6=6×(0-1)5=-6,故D正确.故选ABD.
高考数学一轮复习 第九章 计数原理、概率与统计 第三节 二项式定理课件 理
★★★★★
和
1.二项式定理 (1)定理:公式(a+b)n=C���0��� an+C���1��� an-1b+…+C������������ an-kbk+…+C������������ bn(n∈N*)叫 做二项式定理.(a+b)n 的二项展开式共有 n+1 项,其中各项的系数 C������������ (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数. (2)通项:式中的C������������ an-kbk 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即二项 展开式的通项为第 k+1 项,Tk+1=C������������ an-kbk.
������
������
=
(−������)kC5������
5-2������
������ 2
,
令
5-2������ 2
=
3 , 解得������
2
=
1, 所以
−
������C51=30,
解得 a=-6.
【参考答案】 D
(2)(2015·天津高考)在
������-
1 4������
6
的展开式中
x2
的系数为
.
【解题思路】本题主要考查二项式定理.
展开式中的含有
提醒:展开式中第 k+1 项的二项式系数与第 k+1 项的系数不是同一概念.
3.常用的数学方法与思想
公式代入法、赋值法、函数与方程思想.
1.(2015·山东实验中学四诊)在二项式
1 ������
-������2
5
的展开式中,含
x4 的项
和
1.二项式定理 (1)定理:公式(a+b)n=C���0��� an+C���1��� an-1b+…+C������������ an-kbk+…+C������������ bn(n∈N*)叫 做二项式定理.(a+b)n 的二项展开式共有 n+1 项,其中各项的系数 C������������ (k∈{0,1,2,…,n})叫做二项式系数. (2)通项:式中的C������������ an-kbk 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即二项 展开式的通项为第 k+1 项,Tk+1=C������������ an-kbk.
������
������
=
(−������)kC5������
5-2������
������ 2
,
令
5-2������ 2
=
3 , 解得������
2
=
1, 所以
−
������C51=30,
解得 a=-6.
【参考答案】 D
(2)(2015·天津高考)在
������-
1 4������
6
的展开式中
x2
的系数为
.
【解题思路】本题主要考查二项式定理.
展开式中的含有
提醒:展开式中第 k+1 项的二项式系数与第 k+1 项的系数不是同一概念.
3.常用的数学方法与思想
公式代入法、赋值法、函数与方程思想.
1.(2015·山东实验中学四诊)在二项式
1 ������
-������2
5
的展开式中,含
x4 的项
2018届高考数学一轮复习第十章计数原理、概率、随机变量及分布列第3节二项式定理课件理
′ ′ －2r－r′
， 其中， 0≤r′≤5－r,0≤r≤5， 或
r ， r′ 都是自然数．令
r＝3， r′＝1.
r＝2， 10 － 2r － r′ ＝ 3 ，可得 r′＝3
2 3 3 3 1 故 x3 项的系数为 C2 · 2 · ( － C ) ＋ C · 2 · ( － C 5 3 5 2)＝－200.
考点一
展开式中的特定项或系数问题 ——共研型
角度 1：二项展开式中的特定项或系数 (1)(2017· 沧州一中期末 ) 若 开式中第四项为常数项，则 n＝( A．4 C．6 B．5 D．7 ) 的展
(2)(2016· 全国卷Ⅰ )(2x ＋ x )5 的展开式中， x3 的系数是 __________(用数字填写答案)．
n
表示的定理叫做二项式定理．
k n－k k C b na (2)通项：Tk＋1＝
为第
k＋1
项．
2．二项式系数
k C n (1)定义：式子
叫做二项式系数．
(2)性质
n－k k C ①对称性：Cn＝ n
.
②二项式系数最值问题． a．当 n 为偶数时，中间一项 b． 当 n 为奇数时， 中间两项
n 1 2 n 2 ③C0 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ＝ . n n n n
(2)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( A．－4 C．3 B．－3 D．4
[ 解 析 ] 2 2 ，
(1)(x2 ＋ 2)
＝ x2
＋
的展开式中的常数项为 2C5 5 的展开式中的常数项为 x2C4 5 的展开式中的常数项
(－1)5＝－2， x2
(－1)4＝5，故二项式(x2＋2) 为－2＋5＝3.
， 其中， 0≤r′≤5－r,0≤r≤5， 或
r ， r′ 都是自然数．令
r＝3， r′＝1.
r＝2， 10 － 2r － r′ ＝ 3 ，可得 r′＝3
2 3 3 3 1 故 x3 项的系数为 C2 · 2 · ( － C ) ＋ C · 2 · ( － C 5 3 5 2)＝－200.
考点一
展开式中的特定项或系数问题 ——共研型
角度 1：二项展开式中的特定项或系数 (1)(2017· 沧州一中期末 ) 若 开式中第四项为常数项，则 n＝( A．4 C．6 B．5 D．7 ) 的展
(2)(2016· 全国卷Ⅰ )(2x ＋ x )5 的展开式中， x3 的系数是 __________(用数字填写答案)．
n
表示的定理叫做二项式定理．
k n－k k C b na (2)通项：Tk＋1＝
为第
k＋1
项．
2．二项式系数
k C n (1)定义：式子
叫做二项式系数．
(2)性质
n－k k C ①对称性：Cn＝ n
.
②二项式系数最值问题． a．当 n 为偶数时，中间一项 b． 当 n 为奇数时， 中间两项
n 1 2 n 2 ③C0 ＋ C ＋ C ＋…＋ C ＝ . n n n n
(2)(1－ x)6(1＋ x)4 的展开式中 x 的系数是( A．－4 C．3 B．－3 D．4
[ 解 析 ] 2 2 ，
(1)(x2 ＋ 2)
＝ x2
＋
的展开式中的常数项为 2C5 5 的展开式中的常数项为 x2C4 5 的展开式中的常数项
(－1)5＝－2， x2
(－1)4＝5，故二项式(x2＋2) 为－2＋5＝3.
2018届高考数学文二轮复习课件：2.7.2 概率及其与统计的综合应用 精品
解析：利用复数的几何意义可知|z|≤1 表示的区域为以(1,0)为圆 心，1 为半径的圆及其内部，此区域内满足 y≥x 的点对应的区域如图 中阴影部分所示，
故求概率 P＝14ππ－21＝14－21π，故选 C.
答案：C
3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜
色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛
热点追踪
热点考向一 几何概型
[典例 1] (2015·福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B
x＋1，x≥0， 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝－12x＋1，x<0 的图象
上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
( A).16
[自主解答] (1)①当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x＞19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝530800x0－，5x7≤001，9，x＞19 (x∈N)． ②由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19. ③若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器 中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所 需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000 元．
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购 买的易损零件数．
故求概率 P＝14ππ－21＝14－21π，故选 C.
答案：C
3．(2016·新课标全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫 4 种颜
色的花中任选 2 种花种在一个花坛中，余下的 2 种花种在另一个花坛
热点追踪
热点考向一 几何概型
[典例 1] (2015·福建卷)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B
x＋1，x≥0， 的坐标为(1,0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)＝－12x＋1，x<0 的图象
上．若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于
( A).16
[自主解答] (1)①当 x≤19 时，y＝3 800； 当 x＞19 时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700，
所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝530800x0－，5x7≤001，9，x＞19 (x∈N)． ②由柱状图知，需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46，不大于 19 的频率为 0.7，故 n 的最小值为 19. ③若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件，则这 100 台机器 中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800 元，20 台的费用为 4 300 元，10 台的费用为 4 800 元，因此这 100 台机器在购买易损零件上所 需费用的平均数为1100(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000 元．
记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购 买的易损零件数．
高考数学二轮复习 专题辅导与训练 概率、计数原理、二项式定理教学课件
【变式训练】在区间[0,10]上随机取两个实数(shìshù)x,y,求事 件“2x+y≥2”的概率.
【解析】由题意 0 x在平10面, 直角坐标(zhí jiǎo zuò biāo)系中作
出对应的
0 y 10,
区域,及事件“2x+y≥2”对应的区域,如下图所示:
所以事件“2x+y≥2”的概率为:
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（4）忽视顺序：解决(jiějué)排列组合问题时，不要忽视问题 与顺序是否有关这一条件. （5）两个系数不要混淆：二项展开式中某一项的系数与某一项 的二项式系数易混，一定要区分开来.
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【考题回顾】 1.（2014·广东高考改编）从字母a,b,c,d,e中任取两个不同 字母，求取到字母a的概率. 【解析】因为从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母，不考虑 先后顺序共有10种取法(qǔfǎ)，分别是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e), (b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)，其中取到字母a的 有4种：(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)，所求概率为p=
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【解析】(1)由题意得 x＝28＝84，
所以x=56,y=2.
4y 6
(2)记从城市A所抽取的民营企业分别为a1,a2,a3,a4,从城市B
抽取的民营企业分别为b1,b2.则从城市A,B抽取的6个中再随
机选2个进行跟踪式调研的基本事件(shìjiàn)有:
(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),
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（3）互斥事件、对立事件的概率公式(gōngshì):
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专题突破——破译命
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解析： 首先分类计算假如甲赢，比分 3∶0 是 1 种情况；比分 3∶1 共有 3 种情况，分别是前 3 局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余 局数获胜；比分是 3∶2 共有 6 种情况，就是说前 4 局 2∶2，最后一局获胜，前 4 局中，用排列方法，从 4 局中选 2 局获胜，有 6 种情况．甲一共就 1＋3＋6＝ 10 种情况获胜．所以加上乙获胜情况，共有 10＋10＝20 种情况． 答案： C
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◎ 变式训练 1．两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出 现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有( A．10 种 C．20 种 B．15 种 D．30 种 )
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解析： 分 8 类，当中间数为 2 时，有 1×2＝2 个； 当中间数为 3 时，有 2×3＝6 个； 当中间数为 4 时，有 3×4＝12 个； 当中间数为 5 时，有 4×5＝20 个； 当中间数为 6 时，有 5×6＝30 个； 当中间数为 7 时，有 6×7＝42 个； 当中间数为 8 时，有 7×8＝56 个； 当中间数为 9 时，有 8×9＝72 个； 故共有 2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240 个． 答案： A
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(1)(2017· 全国卷Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作， 每人至少完成 1 项， 每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有( A．12 种 C．24 种 B．18 种 D．36 种 )
(2)(2017· 天津卷)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数 字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)
解析： 由题意可知 E→F 共有 6 种走法，E→G 共有 3 种走法，由乘法计数 原理知，共有 6×3＝18 种走法，故选 B. 答案： B
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1.两个计数原理的应用技巧 (1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一 步当中又可能用到分类加法计数原理． (2)对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问 题形象化、直观化． 2．[警示] 在应用计数原理时要分清是“分类”还是“分步”，这是解题的关 键.
专题七 概率与统计 第 1 课时 计数原理、二项式定理
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高考对本部分内容考查主要从以下形式进行：高考试 题中主要以选择题或填空题的形式呈现，考查排列、组合 的实际应用； 二项式系数、 常数项、 二项式指定项的求解． 在 近几年的高考中，排列、组合试题的难度有所下降，且经 常与概率、数列、不等式等结合进行综合考查.
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题型一 两个计数原理 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数 相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将 各步的方法种数相乘．
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2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足 a1＜a2 且 a3<a2，则称这样的三位数为 凸数(如 120,343,275 等) D．920 )
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4×3 1 2 1 C3· C4· C 2 ＝ 3× ×2 ＝ 2
故这样的四位数一共有 960＋120＝1 080 个． 答案： (1)D (2)1 080
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解答排列组合问题的四个角度 解答排列组合应用题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有无限制等； (3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类， 然后 逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤， 而每一步都是简单的排列组 合问题，然后逐步解决.
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解析： (1)由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工 作，可得安排方式为 36(种)．故选 D.
3 4 (2)①有一个数字是偶数的四位数有 C1 C 4 5A4＝960 个． 4 ②没有偶数的四位数有 A5 ＝120 个． 1 2 2 C3 · C4· A 2 ＝ 36( 种 ) ，或列式为
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(2016· 全国卷甲)如图， 小明从街道的 E 处出发， 先到 F 处与小红会合， 再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动， 则小明到老年公寓可以选择的最 短路径条数为( A．24 C．12 ) B．18 D．9
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题型二 排列与组合 名称 相同点 排列 组合
都是从 n 个不同元素中取 m(m≤n)个元素，元素无重复 ①排列与顺序有关； ①组合与顺序无关； ②两个组合相同，当且仅当这两个组合的 元素完全相同
不同点
②两个排列相同， 当且仅 当这两个排列的元素及 其排列顺序完全相同