中考专题图形与几何(全等三角形)

全等三角形
1.如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点. 试判断OE和AB的位置关系，并给出证明.
解答：
证明：OE⊥AB.理由如下：
在△ABC和△BAD中,
AC=BD；∠BAC=∠ABD；AB=BA，
∴△ABC≌△BAD(SAS)；
∴∠DAB=∠CBA，
∴OA=OB，
∵点E是AB的中点，
∴OE⊥AB.
2.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如图①，已知，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC中内任意一点，将AP绕点A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连结BQ、CP则BQ=CP.”
小亮是个爱动脑筋的同学,他通过对图①的分析,证明了△ABQ≌△ACP，从而证得
BQ=CP.之后，他将点P移到等腰三角形ABC外，原题中其它条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图②给出证明。

解答：
证明：∵∠QAP=∠BAC
∴∠QAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC
即∠QAB=∠PAC
在△ABQ和△ACP中，
AQ=AP；∠QAB=∠PAC；AB=AC，
∴△ABQ≌△ACP(SAS)，
∴BQ=CP.
3.如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B′C 相交于点O,连接BB′.
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)；
(2)求证：△AB′O≌△CDO.
解答：
(1)△ABB′,△AOC和△BB′C；
(2)在平行四边形ABCD中，AB=DC，∠ABC=∠D，
由轴对称知AB′=AB,∠ABC=∠AB′C，
∴AB′=CD,∠AB′O=∠D.
在△AB′O和△CDO中
∠AB′O=∠D；∠AOB′=∠COD；AB′=CD，
∴△AB′O≌△CDO(AAS).
4.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD.求证：△ABC=△BAD；
解答：
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴△ABC、△BAD都是直角三角形，
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
AC=BD ,AB=BA，
∴△ABC≌△BAD(HL)，
5.已知AB、CD相交于点O，且AD=CB，AB=CD.求证：∠B=∠D.
解答：
证明：连接AC，
在△ABC和△CDA中，
AB=CD ,CB=AD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA(SSS)，
∴∠B=∠D.
6.如图,点E,F在AB上,AD=BC,∠A=∠B,AE=BF.求证：△ADF≌△BCE.
解答：
证明：∵AE=BF，
∴AE+EF=BF+EF，
∴AF=BE，
在△ADF与△BCE中，
AD=BC ，∠A=∠B ，AF=BE，
∴△ADF≌△BCE(SAS)
7.如图，在△ABC和△ADE中，∠B=∠D，AB=AD，∠1=∠2.求证：△ABC≌△ADE；
解答：
证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠D ,AB=AD ,∠BAC=∠DAE，
∴△ABC≌△ADE(ASA).
8.如图,已知AB⊥AC,AB=AC,DE过点A,且CD⊥DE,BE⊥DE,垂足分别为点D,E.求证：△ADC≌△BEA.
解答：
证明：∵AB⊥AC，CD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠BAC=∠D=∠E=90∘，
∴∠CAD+∠BAE=90∘,∠DCA+∠CAD=90∘，
∴∠DCA=∠EAB；
在△ADC和△BEA中，
∠D=∠E=90∘,∠DCA=∠EAB,AC=BA，
∴△ADC≌△BEA(AAS).
9.如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动.连接DP.
(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等?请说明理由；
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等?
解答：
(1)全等，理由如下：
∵点P在线段BC上以1cm/s的速度由B点向C点运动，
∴BP=3cm，
∵BC=8cm，
∴CP=5cm；
∵AB=AC=10cm，点D为AB的中点，
∴∠B=∠C，BD=5cm，
∴CP=BD，
∵BP=CQ=3cm，
在△BPD和△CQP中,
BD=CP ，∠B=∠C，BP=CQ，
∴△BPD≌△CQP(SAS)；
(2)设当点Q的运动速度为x cm/s时，运动时间是t s时，能够使△BPD与△CQP全等，∵BD=5cm,BP=3t cm,CP=(8−3t)cm，CQ=xt cm，∠B=∠C，
∴当BP=CQ，BD=CP或BP=CP，BD=CQ时，△BPD与△CQP全等，
即①3t=xt，5=8−3t，
解得：x=3(不合题意,舍去)，
②3t=8−3t，5=xt，
15，
解得：x=
4
15cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等.
即:当点Q的运动速度为
4。