转化法求空间距离
暑假立体几何中的距离问题
立体几何中的距离问题【要点精讲】1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。
其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度点到平面的距离平面外一点P在该平面上的射影为P′，则线段PP′的长度就是点到平面的距离；求法：○1“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。
○2等体积法。
直线及平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。
求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。
异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为 ，它们的公垂线AA ′的长度为d ，在a 上有线段A ′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝θcos 2222mn n m d ±++（“±”符号由实际情况选定）点到面的距离的做题过程中思考的几个方面: ①直接作面的垂线求解；②观察点在及面平行的直线上，转化点的位置求解； ③观察点在及面平行的平面上，转化点的位置求解； ④利用坐标向量法求解⑤点在面的斜线上，利用比例关系转化点的位置求解。
数学-空间中距离问题的解法
空间中距离问题的解法高中数学 1.掌握异面直线间距离的定义及其求法.2.掌握点到面的距离的定义及其求法.3.掌握直线与平面、平面与平面间的距离及其求法．导语 在初中，我们通过作垂线的方法，求出了点到直线的距离，并会将两平行线之间的距离转化为点到直线的距离，那么异面直线之间的距离该如何定义呢？点到平面的距离又该如何求解呢？一、异面直线间的距离问题1 和两条异面直线都垂直的直线有多少条？与这两条异面直线都垂直且相交的直线有多少条？两异面直线的距离该如何定义？提示 无数条．仅有1条．两异面直线的距离即为公垂线段的长度．知识梳理 1．公垂线：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线．2．两异面直线的距离：两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离．例1 如图，已知正方体的棱长为a .(1)求异面直线A 1B 与C 1C 的距离；(2)求异面直线A 1B 与B 1C 1的距离．解 (1)由BC ⊥A 1B ，CC 1⊥BC 得，BC 即为异面直线A 1B 与C 1C 的公垂线，所以A 1B 与C 1C 的距离为a .(2)连接B 1A 交BA 1于O 点(图略)，则B 1O ⊥A 1B 且B 1C 1⊥B 1O ，所以B 1O 即为异面直线A 1B 与B 1C 1的公垂线，所以异面直线A 1B 与B 1C 1的距离为a .22反思感悟 求两异面直线的距离，关键是找到两异面直线的公垂线，并给出证明，然后再求出公垂线的长度，即采用“作”—“证”—“求”的方法．跟踪训练1 空间四边形ABCD 的边长都为10，对角线BD ＝8，AC ＝16，E ，F 分别是AC ，BD 的中点．(1)求证：EF 是AC ，BD 的公垂线段；(2)求出异面直线AC ，BD 的距离．(1)证明 连接AF ，FC .∵空间四边形ABCD 的边长都为10，AF ，CF 是△ABD 和△CBD 对应边上的中线，∴AF ＝CF ，∴△AFC 是等腰三角形．∵EF 是底边上的中线，∴EF ⊥AC .同理EF ⊥BD ，∴EF 是AC ，BD 的公垂线段．(2)解 在△ABC 中，AB ＝BC ＝10，AC ＝16，E 为AC 的中点，∴BE ＝6，在Rt △BEF 中，BF ＝4，∴异面直线AC ，BD 的距离为EF ＝2.5二、点到平面的距离知识梳理 1．点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．2．可以用垂线法和等积法求点到平面的距离．例2 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设AP ＝1，AD ＝，三棱锥P －ABD 的体积V ＝，求点A 到平面PBC 的距离．334(1)证明 如图，设BD 与AC 的交点为O ，连接EO .因为四边形ABCD 为矩形，所以点O 为BD 的中点．又点E 为PD 的中点，所以EO ∥PB .因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC .(2)解 方法一 V ＝AP ·AB ·AD ＝AB .1636由V ＝，可得AB ＝.3432作AH ⊥PB 于点H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC ⊥AH ，故AH ⊥平面PBC ，即AH 的长就是点A 到平面PBC 的距离．因为PB ＝＝，AP 2＋AB 2132所以AH ＝＝，AP ·AB PB 31313所以点A 到平面PBC 的距离为.31313方法二 V ＝AP ·AB ·AD ＝AB .1636由V ＝，可得AB ＝.3432易得V 三棱锥P －ABC ＝V 三棱锥P －ABD ＝，34设A 到平面PBC 的距离为h .由CB ⊥AB ，CB ⊥PA ，得CB ⊥平面PAB ，所以CB ⊥PB ，PB ＝＝，AP 2＋AB 2132因为CB ＝，所以S △PBC ＝CB ·PB ＝，312394V 三棱锥P －ABC ＝S △PBC ·h ＝，所以h ＝.133431313反思感悟 从平面外一点作一个平面的垂线，这个点与垂足间的距离就是这个点到这个平面的距离．当该点到已知平面的垂线不易作出时，可利用线面平行、面面平行的性质转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算，也可以利用等积法转换求解．跟踪训练2 已知在△ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝，S 是△ABC 所在平面外一点，2SA ＝SB ＝2，SC ＝，点P 是SC 的中点，求点P 到平面ABC 的距离．5解 方法一 如图，连接PA ，PB ，易知SA ⊥AC ，BC ⊥AC .分别取AB ，AC 的中点E ，F ，连接PE ，EF ，PF ，则EF ∥BC ，PF ∥SA .所以EF ⊥AC ，PF ⊥AC .因为PF ∩EF ＝F ，所以AC ⊥平面PEF ，所以PE ⊥AC .易证△SAC ≌△SBC ，所以PA ＝PB .又E 是AB 的中点，所以PE ⊥AB .因为AB ∩AC ＝A ，所以PE ⊥平面ABC .从而PE 的长就是点P 到平面ABC 的距离．因为P 是SC 的中点，所以在Rt △APE 中，AP ＝SC ＝，AE ＝AB ＝，12521222所以PE ＝＝＝，AP 2－AE 254－1232即点P 到平面ABC 的距离为.32方法二 如图，过点A 作BC 的平行线，过点B 作AC 的平行线，两直线交于点D .因为AC ＝BC ＝1，AB ＝，所以AC ⊥BC .所以四边形ADBC 为正方形，连接SD .2易知AC ⊥SA ，又AC ⊥AD ，SA ∩AD ＝A ，所以AC ⊥平面SDA ，所以AC ⊥SD .易知BC ⊥SB ，又BC ⊥BD ，SB ∩BD ＝B ，所以BC ⊥平面SDB ，所以BC ⊥SD .因为BC ∩AC ＝C ，所以SD ⊥平面ADBC .所以SD 的长即点S 到平面ABC 的距离，在Rt △SAD 中，易得SD ＝.3因为点P 为SC 的中点，故点P 到平面ABC 的距离为SD ＝.1232三、直线与平面、两平行平面之间的距离问题2 类比平行直线间距离的定义，该如何定义直线到平面、平面与平面之间的距离？提示 一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．知识梳理 直线与平面、两平行平面之间的距离可转化为点到平面的距离，再求值．例3 如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点．(1)求证：平面AMN ∥平面EFDB ；(2)求平面AMN 与平面EFDB 间的距离．(1)证明 连接B 1D 1(图略)．∵M ，N ，E ，F 分别是棱A 1B 1，A 1D 1，B 1C 1，C 1D 1的中点，∴MN ∥B 1D 1，EF ∥B 1D 1，∴MN ∥EF ，∴MN ∥平面EFDB .连接MF ，∵ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，则MF ∥A 1D 1且MF ＝A 1D 1，又A 1D 1＝AD 且A 1D 1∥AD ，∴MF ∥AD 且MF ＝AD ，∴四边形MFDA 是平行四边形，∴AM ∥DF ，∴AM ∥平面EFDB .由MN ∥平面EFDB ，MN ∩AM ＝M ，∴平面AMN ∥平面EFDB .(2)解 平面AMN 与平面EFDB 之间的距离即为D 到平面AMN 的距离h ，由V 三棱锥M －ADN ＝S △ADN ·＝，13a 2a 312由S △AMN ＝×a ×a ＝a 2，122232438由V 三棱锥D －AMN ＝S △AMN ·h ，13∴h ＝a ，23即平面AMN 与平面EFDB 之间的距离为a .23反思感悟 直线与平面、两平行平面之间的距离应转化为点到平面的距离，再求值．跟踪训练3 已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面DA 1C 1和平面AB 1C 间的距离．解 AC ∥A 1C 1，AB 1∥DC 1，AC ∩AB 1＝A ，A 1C 1∩DC 1＝C 1，故平面ACB 1∥平面A 1C 1D ，取平面ACB 1上一点B 1，则点B 1到平面A 1C 1D 的距离就是两平行平面间的距离，设点B 1到平面A 1C 1D 的距离为h ，∴×DD 1＝，111111A B C D A C B V S 锥－＝△△△1316∵A 1C 1，DC 1，A 1D 都是正方形的对角线，长为，2∴△A 1DC 1是正三角形，则＝×()2＝，11A DC S △34232又∵，111111B A C D D A B C V V 锥－锥－＝△△△△∴×＝，11A DC S △h 316即×＝，32h 316解得h ＝，33则平面AB 1C 与平面A 1C 1D 间的距离为.331．知识清单：异面直线间的距离、点到平面的距离、直线与平面、平行平面间的距离的定义及其求法．2．方法归纳：转化与化归．3．常见误区：距离转化不当导致错误．1．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点D 1到平面AB 1C 的距离是( )A.aB.a 33233C.a D.a32答案 B2．线段AB 的端点A ，B 到平面a 的距离分别是30 cm 和50 cm ，则线段AB 的中点M 到平面a 的距离为( )A ．40 cmB ．10 cmC ．80 cmD ．40 cm 或10 cm 答案 D3．在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，SA ＝4，AB ＝3，D 为AB 的中点，∠ABC ＝90°，则点D 到平面SBC 的距离等于( )A.B. 12595C. D.6535答案 C解析 如图，过D 作DE ⊥SB 于E ，过A 作AF ⊥SB 于F ，SA ⊥底面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA ⊥BC ，AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面SAB ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB ，DE ⊥SB ，所以DE ⊥平面SBC ，AF ⊥SB ，所以DE ＝，在Rt △ABS 中，AF ＝AF 2＝＝，所以DE ＝.SA ·AB SA2＋AB 23×45125654．已知四棱锥P －ABCD 的底面是边长为6的正方形，且该四棱锥的体积为96，则点P 到平面ABCD 的距离是________．答案 8解析 由体积公式V ＝Sh ，得96＝×36h ，∴h ＝8，即点P 到平面ABCD 的距离是8.1313课时对点练1．两条异面直线的距离是( )A ．和两条异面直线都垂直相交的直线B ．和两条异面直线都垂直的线段C ．它们的公垂线夹在垂足间的线段长D ．两条直线上任意两点间的距离答案 C2．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，则点A 1到平面AB 1D 1的距离为( )A. B. C. D.3335103102032答案 A解析 设点A 1到平面AB 1D 1的距离是h ，则由等体积法得，如图，111111A AD B A A D B V V －－＝因为×h ，1111113A AD B AB D V S －△又＝×AB ×sin 60°11AB D S △1221＝×()2×＝，1223232111111113A B D A A D B V S AA ⨯⨯锥－＝△△△＝××12×1＝.131216所以××h ＝，解得h ＝.133216333．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是A 1B 1的中点，则点E 到平面ABC 1D 1的距离为( )A. B. C. D.32221233答案 B解析 由正方体的性质可知，A 1B 1∥平面ABC 1D 1，因为E 是A 1B 1的中点，所以点E 到平面ABC 1D 1的距离等于点A 1到平面ABC 1D 1的距离，设为h ，显然有，1111A ABD D AA B V V 锥－锥－＝△△△△在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，显然A 1D 1⊥平面ABB 1A 1，AD 1⊥AB ，正方体的棱长为1，所以AD 1＝＝，AA 21＋A 1D 212由可得，1111A ABD D AA B V V 锥－锥－＝△△△△××1×h ＝××1×1×1⇒h ＝.131221312224．棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，N 是CC 1的中点，则点B 1到平面MNB 的距离为( )A. B. C. D ．22636366答案 A解析 由题意知，＝×2×2＝2，1BMB S △12因为×BC ＝×2×2＝，1113BMB N BMB V S =⨯锥－△△△1343又因为MB ＝＝＝BN ，MN ＝2，12＋2252cos ∠MBN ＝＝，(5)2＋(5)2－(22)22×5×515sin ∠MBN ＝，265S △MBN ＝×××＝，12552656又因为＝××h ＝⇒h ＝，11N BMB B MBN V V 锥－锥－＝△△△△13643263所以点B 1到平面MNB 的距离h ＝.2635.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC 1D 1的距离是( )A.B.1224C.D.2232答案 B 解析 根据正方体的特征，易知O 是线段A 1C 1的中点，所以点O 到平面ABC 1D 1的距离是点A 1到平面ABC 1D 1即平面ABC 1的距离的一半．又因为，1111C A AB A ABC V V －－＝即1111111313A AB ABC A ABC S C B S h ⨯⨯⨯⨯－＝△△⇒××A 1A ×AB ×B 1C 1＝××AB ×BC 1×⇒××1×1×1＝××1×1312131211A ABC h －1312131212＋12×，11A ABC h －所以＝，11A ABC h －22又点O 到平面ABC 1D 1的距离是点A 1到平面ABC 1D 1的一半，即＝.1211A ABC h －246．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为，平面AB 1D 1到平面BC 1D 的距离为( )2A. B. C. D.22626366答案 C解析 由题意可得，原问题等价于求解点C 1到平面AB 1D 1的距离h ，由等体积法可得，，111111C AB D AB C D V V －－＝即h ·××22×sin 60°＝××××，13121312222解得h ＝，即平面AB 1D 1到平面BC 1D 的距离为.63637．底面为正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都为1，M ，N 分别为CC 1，BB 1的中点，则点N 到平面A 1BM 的距离为________．答案 24解析 易证平面BB 1A 1⊥平面A 1BM ，故点N 到平面A 1BM 的距离即点N 到直线A 1B 的距离，易得点N 到平面A 1BM 的距离为.248.如图，圆锥的高为2，侧面积为4π，P 为顶点，O 为底面中心，A ，B 在底面圆周上，2M 为PA 中点，MB ⊥OA ，则点O 到平面PAB 的距离为________．答案 2217解析 如图所示，N 为OA 的中点，连接MN ，OB ，BN ，圆锥的高为2，侧面积为4π，2即πr ＝4π，r ＝2，4＋r 22∵M 为PA 的中点，N 为OA 的中点，∴MN ∥OP ，故MN ⊥OA .又MB ⊥OA ，所以OA ⊥平面MNB ，故OA ⊥BN .故△OAB 为等边三角形．∴V P －OAB ＝×2××2×＝，13123233在△ABP 中，AP ＝BP ＝2，AB ＝2，AB 边上的高h ＝，27∴S △ABP ＝×2×＝，1277∵V O －ABP ＝h ×S △ABP ＝V P －OAB ＝，13233∴h ＝.22179．如图(1)，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝6，E ，F 分别为CD ，AB 边上的点，且DE ＝3，BF ＝4，将△BCE 沿BE 折起至△PBE 的位置(如图(2)所示)，连接AP ，PF ，其中PF ＝2.5(1)求证：PF ⊥平面ABED ；(2)求点A 到平面PBE 的距离．(1)证明 连接EF (图略)，由题意知，PB ＝BC ＝6，PE ＝CE ＝9，在△PBF 中，PF 2＋BF 2＝20＋16＝36＝PB 2，所以PF ⊥BF .易得EF ＝＝，62＋(12－3－4)261在△PEF 中，EF 2＋PF 2＝61＋20＝81＝PE 2，所以PF ⊥EF .又BF ∩EF ＝F ，BF ⊂平面ABED ，EF ⊂平面ABED ，所以PF ⊥平面ABED .(2)解 由(1)知，PF ⊥平面ABED ，连接AE (图略)，则PF 为三棱锥P －ABE 的高．设点A 到平面PBE 的距离为h ，由等体积法得V A －PBE ＝V P －ABE ，即×S △PBE ×h ＝×S △ABE ×PF .1313又S △PBE ＝×6×9＝27，S △ABE ＝×12×6＝36，1212所以h ＝＝＝，S △ABE ·PFS △PBE 36×2527853即点A 到平面PBE 的距离为.85310.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，2AA 1＝3AB ，E 是A 1C 1的中点，F 在CC 1上，CF ＝2FC 1.(1)求证：AF ⊥平面B 1EF ；(2)若点B 到平面AEF 的距离为，求点F 到平面AEB 1的距离．3(1)证明 由题意可设AA 1＝3a ，AB ＝2a ，在Rt △ACF 中，AC ＝2a ，CF ＝CC 1＝2a ，23∴∠AFC ＝45°，在Rt △EFC 1中，EC 1＝A 1C 1＝a ，C 1F ＝CC 1＝a ，1213∴∠EFC 1＝45°，∴∠AFE ＝180°－∠AFC －∠EFC 1＝90°，∴AF ⊥EF ，①在等边三角形B 1A 1C 1中，E 为A 1C 1的中点，∴B 1E ⊥A 1C 1.又平面ACC 1A 1⊥平面B 1A 1C 1，且平面ACC 1A 1∩平面B 1A 1C 1＝A 1C 1，B 1E ⊂平面B 1A 1C 1⇒B 1E ⊥平面ACC 1A 1，又AF ⊂平面ACC 1A 1⇒AF ⊥B 1E ，②又EF ∩B 1E ＝E ，③由①②③可得，AF ⊥平面B 1EF .(2)解 由(1)知，B 1E ⊥平面ACC 1A 1，B 1B ∥平面AEF ，∴点B 到平面AEF 的距离为B 1E ＝，3∴BA ＝2，AA 1＝3.在Rt △AEB 1中，B 1E ＝，AE ＝，310∴＝××＝.1AEB S △12310302在Rt △AFE 中，AF ＝2，EF ＝，22∴S △AEF ＝××2＝2.1222设点F 到平面AEB 1的距离为d ，由可得11F AEB B AEF V V －－＝××d ＝×2×⇒d ＝.13302133210511．(多选)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的是( )A ．AC ⊥平面AB 1D 1B ．点A 1到平面AB 1D 1的距离为33C ．AA 1与平面AB 1D 1的夹角的余弦值为63D ．二面角A －B 1D 1－A 1的大小为π4答案 BC解析 易知△AB1C 为等边三角形，故AC 不垂直于AB 1，故AC 不垂直于平面AB 1D 1，A 错误；设点A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，＝××1×1×1＝，h ＝××××h ＝，解得111A A B D V －1312161111113A AB D AB D V S －＝△1312223216h ＝，B 正确；33设AA 1与平面AB 1D 1的夹角为θ，根据B 可知sin θ＝，故cos θ＝，C 正确；3363O 为B 1D 1的中点，易知A 1O ⊥B 1D 1，AO ⊥B 1D 1，故∠A 1OA 为二面角A －B 1D 1－A 1的平面角，tan ∠A 1OA ＝，D 错误．212．如图，已知二面角α－PQ －β的大小为60°，点C 为棱PQ 上一点，A ∈β，AC ＝2，∠ACP ＝30°，则点A 到平面α的距离为( )A ．1 B. C. D.123232答案 C解析 过A 作AO ⊥α于O ，点A 到平面α的距离为AO ；作AD ⊥PQ 于D ，连接OD ，则OD ⊥CD ，∠ADO 就是二面角α－PQ －β的大小，为60°.AC ＝2，∠ACP ＝30°，所以AD ＝AC sin 30°＝2×＝1，在Rt △AOD 中，＝sin 60°，AO ＝AD sin 60°＝1×＝.12AO AD 323213．三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝1，则其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为( )A. B. C. D.332333632答案 B解析 空间四个点P ，A ，B ，C 在同一球面上，PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝1，则PA ，PB ，PC 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点P ，A ，B ，C 的球面即为正方体的外接球，球的直径即是正方体的体对角线，长为，3球心O 到平面ABC 的距离为体对角线的，即球心O 到平面ABC 的距离为.1636其外接球上的点到平面ABC 的距离的最大值为＋＝.323623314．如图，正方体的棱长为1，C ，D 分别是两条棱的中点，A ，B ，M 是顶点，那么点M 到平面ABCD 的距离是________．答案 23解析 延长BC ，AD 与过M 的正方体的竖直的棱的延长线交于F .取AB 的中点E ，连接ME ，EF .过M 作EF ⊥MO ，与EF 交于O 点．由题知，ME ⊥AB .又因为AF ＝BF ，AE ＝BE ，所以AB ⊥EF .所以AB ⊥平面EMF ，所以AB ⊥MO .因为MO ⊥EF ，AB ∩EF ＝E ，所以MO ⊥平面ABCD ，所以MO 是M 到平面ABCD 的距离．由AM ＝1，得ME ＝，22所以FM ＝2，所以EF ＝，322所以MO ＝＝.ME ·MFEF 2315．已知正三棱锥A －BCD 的四个顶点在同一个球面上，AB ＝AC ＝AD ＝4，CD ＝6，则该三棱锥的外接球的表面积为________，该三棱锥的顶点B 到平面ACD 的距离为________．答案 64π 6217解析 如图，设底面△BCD 的外心为G ，连接AG ，则该三棱锥的外接球的球心O 在AG (或其延长线)上，连接OB ，连接BG 并延长，交CD 于点E ，连接AE ，由等边三角形BCD 的边长CD ＝6，得BE ＝＝3，62－323则BG ＝BE ＝2，233所以AG ＝＝2.16－12设三棱锥的外接球的半径为R ，则(2－R )2＋(2)2＝R 2，3解得R ＝4.所以三棱锥的外接球的表面积为S ＝4π×42＝64π.又V A －BCD ＝S △BCD ·AG ＝××62×sin 60°×2＝6，1313123S △ACD ＝×6×＝3.1242－327设点B 到平面ACD 的距离为h ，则V A －BCD ＝V B －ACD ＝S △ACD ·h ＝×3·h ＝6，131373则h ＝.621716.如图，在四棱锥P －ABCD 中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1，E 是PB 的中点．(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(2)若四棱锥P －ABCD 的体积为1，求点B 到平面EAC 的距离．(1)证明 由PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC ⊥PC .又AD ＝CD ＝1，在Rt △ADC 中，得AC ＝，2设AB 的中点为G ，连接CG (图略)，则四边形ADCG 为边长为1的正方形，所以CG ⊥AB ，且BC ＝，2因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .又因为BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC .(2)因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC 就是四棱锥P －ABCD 的高，设PC ＝a ，因为AB ⊥AD ，AB ∥CD ，所以四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是直角梯形．因为V P －ABCD ＝S 四边形ABCD ·PC ＝×(CD ＋AB )·AD ·PC ＝＝1，131312a2所以a ＝2.在Rt △PCB 中，PB ＝＝＝，PC 2＋BC 24＋26CE ＝PB ＝.1262因为PC ⊥平面ABCD ，又PC ⊂平面PCB ，所以平面PBC ⊥平面ABCD .在平面PBC 内过点E 作BC 的垂线EF ，交BC 于点F ，则EF ⊥平面ABCD ，且EF ＝PC ＝1.12在三棱锥E －ABC 中，设点B 到平面EAC 的距离为h (图略)，则V E －ABC ＝V B －EAC ，即S △EAC ·h ＝S △ABC ·EF ，所以AC ·CE ·h ＝AC ·CB ·EF ，1212得h ＝＝，CB ·EF CE 233所以点B 到平面EAC 的距离为.233。
1.4空间向量的应用-1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时
距离问题
核心素养
能用向量方法解决点到
直线、点到平面、互相
平行的直线、互相平行
的平面的距离问题.(直
观想象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水
渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
所以点 B1 到平面 AD1C 的距离 d=
||
8
= 3.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用空间向量求点线距
例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求
点B到直线A1C1的距离.
)
3
A.
2
2
B.
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
=(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(-1,0,1),
|· |
∴两平面间的距离 d=
||
=
|-2+0+1|
2
=
2
2
.故选 B.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
1 1
2
d= |1 | - 1 ·|
= 8-
-1+3+0
求空间距离的方法
5．求空间距离的方法 (1)几何方法①找出或作出有关距离的图形； ②证明它符合定义； ③在平面图形内计算．空间中各种距离的计算，最终都要转化为线段长度，特殊情况也可以利用等积法．(2)向量法①求点到平面的距离如图所示，已知点B (x 0，y 0，z 0), 平面α内一点A (x 1，y 1，z 1),平面 α的一个法向量n ,直线AB 与平面α所成的角为φ，θ＝〈n ，AB →〉，则sin φ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|cos θ|.由数量积的定义知，n ·AB →＝|n ||AB →|cos θ，∴点B 到平面α的距离d ＝|AB →|·sin φ＝|AB →|·|cos θ|＝|n ·AB →||n |.②求直线到平面的距离设直线a ∥平面α，A ∈a ，B ∈α，n 是平面α的法向量，过A作AC ⊥α，垂足为C ，则AC →∥n ， ∵AB →·n ＝(AC →＋CB →)·n ＝AC →·n ， ∴|AB →·n |＝|AC →|·|n |.∴直线a 到平面α的距离d ＝|AC →|＝|AB →·n ||n |.③求两平行平面间的距离(i)用公式d ＝|AB →·n ||n |求，n 为两平行平面的一个法向量，A 、B 分别为两平面上的任意两点． (ii)转化为点面距或线面距求解．考点五：求空间距离(1)(2013·高考北京卷)如图，在棱长为2的正方体A BCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．(2)在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则点C 1到平面A 1ED 的距离是__________． [解析] (1) 如图，过点E 作EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，交直线B 1C 1于点E 1，连接 D 1E 1，DE ，在平面D 1DEE 1内过点P 作PH ∥EE 1交D 1E 1于点H ，连接C 1H ，则C 1H 即为点P 到直线CC 1的距离．当点P 在线段D 1E 上运动时，点P 到直线CC 1的距离的最小值为点C 1到线段D 1E 1的距离，即为△C 1D 1E 1的边D 1E 1上的高h .∵C 1D 1＝2，C 1E 1＝1，∴D 1E 1＝5，∴h ＝25＝255.(2)以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，则A 1(0,0,1)，E (1,0，12)，D (0,1,0)，C 1(1,1,1)．∴A 1D →＝(0,1，－1)，A 1E →＝(1,0，－12)．设平面A 1ED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1D →＝y －z ＝0n ·A 1E →＝x －12z ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝z x ＝12z.令z ＝2，则n ＝(1,2,2)．又C 1A 1→＝(－1，－1,0)， ∴点C 1到平面A 1ED 的距离 d ＝|C 1A 1→·n ||n |＝33＝1.规律小结：利用向量法求点到平面的距离的步骤如下： (1)求出该平面的一个法向量n ；(2)找出以该点及平面内的某点为端点的线段对应的向量a ； (3)利用公式d ＝|n ·a ||n |求距离． 跟踪训练：5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AA 1，BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( ) A. 3 B ．22C.2λ3 D ．55解析：如图所示 ，以射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则 G (1，λ，1)，E (1,0，12)，F (1,1，12)，D 1(0,0,1)，GE →＝(0，－λ，－12)，EF →＝(0,1,0)，ED 1→＝(－1,0，12)．过点G 向平面D 1EF 作垂线，垂足为H ，由于点H 在平面D 1EF 内，故存在实数x ，y , 使GH →＝GE →＋xEF →＋yED 1→＝(－y ，－λ＋x ，－12＋12y )，由于GH ⊥EF ，GH ⊥ED 1，所以⎩⎨⎧(－y ，－λ＋x ，－12＋12y )·(0，1，0)＝0，(－y ，－λ＋x ，－12＋12y )·(－1，0，12)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝15，故GH →＝(－15，0，－25)，所以|GH →|＝55，即点G 到平面D 1EF 的距离是55.故选D.。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
核心考点四 空间角及空间距离的计算
核心考点四 空间角及空间距离的计算方向一：点到平面的距离解法突破：求点到平面的距离的常见方法有：（1）定义法：直接作出点到平面的垂线，垂线段的长度就是点到平面的距离（2）转化法：利用等体积法或者线面平行的位置关系进行转化例1、如图所示，在三棱锥ABC P -中，AB BP AP ACB BC AC ===∠==,90,20，AC PC ⊥，求点C 到平面APB 的距离。
变式1、如图所示，正三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点，求点C 到平面BD A 1的距离。
⊥OA 底面ABCD ，2=OA ，求点B 到平面OCD 的距离。
例2、如图所示，三棱柱111C B A ABC -中，21====AA AB CB CA ，61=C A ，0160=∠BAA ，求三棱柱111C B A ABC -的体积。
已知6,2===PA PD PB ，若E 为PA 的中点，求三棱锥BCE P -的体积。
变式2、如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，F 为AB 上一点，该四棱锥的侧（左）视图如图所示，求四面体BFC P -的体积。
变式3、如图1所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，E D ,分别是AC AB ,上的点，且32==AE AD ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将ABF ∆沿AF 折起，得到如图2所示的三棱锥BCF A -，其中22=BC ，求三棱锥DEG F -的体积。
方向二：空间角计算（1）异面直线所成的角解法突破：通过“平移法”将异面直线所成的角转化为共面相交的两直线的夹角来完成，即异面成角问题转化为共面相交成角问题，这是解决异面直线所成角问题的基本思路和方法，其中平移法又包括中位线平移法、选点平移法、补形（体）平移法等具体方法，同时要注意两条一面直线所成的角的范围是]2,0(π。
例3、如图所示，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，点O 是底面ABCD 的中心，F E ,分别是AD CC ,1的中点，求异面直线OE 和1FD 所成角的余弦值。
空间向量求异面直线的距离方法
空间向量求异面直线的距离方法1. 直接法！嘿，你看，就像你要直接找到两个异面直线之间最短的那条线一样，非常直白地去求啊。
比如正方体里的两条异面棱，你就直观地去找到它们之间最短距离的那个线段。
2. 转化法呀！哎呀，这就像你走不通一条路，那咱就换条路走嘛。
把异面直线的距离转化成别的容易求的距离呀。
比如在三棱锥里，把异面直线的距离转化成求某个面到另一条线的距离。
3. 向量法呗！哇塞，这可厉害啦。
利用向量来搞定异面直线的距离。
就像有了个神奇的工具！比如在一个复杂的几何体中，用向量来算算异面直线的距离，超酷的好不好！4. 定义法呢！这不就跟你找东西按照规定的方法去找一样嘛。
按照异面直线距离的定义去求解呀。
就像找一个特定的宝藏，按照线索去找。
比如在一个棱柱里，根据定义慢慢找异面直线的距离。
5. 等体积法呀！嘿呀，这就好像不同的方法可以解决同一个问题一样。
通过等体积来求出异面直线的距离哟。
比如在一个四面体中，通过等体积的巧妙变换来求出需要的距离。
6. 最值法啦！想想看呀，就跟我们追求最好的结果一样。
找到某个关联量的最值来得到异面直线的距离。
像在一个特殊的图形中，通过巧妙地找最值来求出异面直线的距离。
7. 射影法哟！哇，这就像影子一样，通过它来找到距离呢。
比如在一个有特点的几何体中，利用射影的原理来求异面直线的距离。
8. 公式法咯！简单直接啊，用专门的公式来算。
就好像有个现成的答案等你用一样。
比如在某些典型的模型中，用适用的公式快速求出异面直线的距离。
9. 拼凑法呀！哈哈，就像是把零碎的东西拼凑起来一样。
通过巧妙地拼凑来找到异面直线的距离呢。
比如在一个不规则的几何体中，一点点拼凑出求解异面直线距离的条件。
我的观点结论是：这些方法各有特点，我们要根据具体情况灵活运用，总能找到异面直线的距离呀！。
高中数学第三章空间向量与立体几何点到平面的距离若干求解方法素材1
点到平面的距离若干求法1定义法求点到平面距离（直接法）定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法.定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据：（1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
（2）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
（3）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线.（4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D''''-棱长为a,求点A'到平面AB D''的距离。
(注：本文所有解法均使用本例）图4解法一（定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ,垂足为H ,下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D ''''∴B D ''⊥AA ' 又在正方形A B C D ''''中,对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=AA '⊂平面AA E '， A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'A H '⊂平面AA E '∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义,A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
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转化法求空间距离
[本周内容] 空间距离
[复习重点]熟练地运用点到点、点到线、点到面、线到线、线到面、面到面距离的定义进行彼此间转化，准确求出这些距离。
[复习难点]转化，作恰当的辅助图形
[范例分析]
例1．已知异面直线l1,l2，l1⊥l2，MN为l1,l2的公垂线段M∈l1，N∈l2，A∈l1异于M，B∈l2异于N，P为MN上异于M，N的任一点。
（1）判断ΔABP的形状（锐角还是钝角或Rt△）；（2）设A B中点为C，MN中点为D，AB=a, MN=b。
求线段CD的长。
解析（1）：判断ΔABP形状？不知角→只能通过边→余弦、勾股定理→比较三边平方关系，依题设，AP2=AM2+MP2，BP2=BN2+NP2→AB2=？
过N作NQ//l1,则A，Q，M，N共面，过A作AQ//MN交NQ于Q，
∵MN为公垂线，∴MN⊥平面QBN，∴AQ⊥平面QBN，
∴ΔA QB为RtΔ，∴A B2=AQ2+BQ2=MN2+BQ2
∵l1⊥l2，∴QN⊥BN，∴QB2=QN2+BN2=AM2+BN2,
∴AB2=AM2+BN2+MN2,
∵MN=MP+NP，∴MN2>MP2+NP2，
∴AB2>AM2+MP2+BN2+NP2=AP2+BP2，
由余弦定理可知，cos∠APB<0，∴ΔABP为钝角三角形。
解析(2)：已知AB，MN，CD三条线段不共面，要想求出CD，必须先将三者的数量关系转化集中到同一平面内。
同（1）过N作NQ//l1, A,M,N,Q共面，
过A作AQ//MN交NQ于Q，证得ΔAQB为RtΔ，
AQ=MN，则BQ=，作BQ中点E，连结CE，EN，
又∵C为A B中点，∴CE AQ，
∵D为MN中点，∴CE DN，
∴四边形CEND为平行四边形，∴CD=EN，
又∵RtΔBNQ，∴EN=BQ==CD。
评注：10在空间距离的计算上，将已知、所求各量集中于同一平面是最基本的想法。
20在数量的传递和比较上，平移，借助平行四边形性质是最常用的方法，解三角形知识是通用的工具，在距离计算上要能熟知解三角形知识。
例2．已知：正方形A BCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求直线BC1到截面A CD1的距离。
分析：因正方形，故BC1//AD1，∴BC1//平面ACD1，由线面距离的概念，BC1到面A CD1的距离即BC1上任一点到平面ACD1垂线段的长，亦等于过BC1且
与平面A CD1平行的平面与平面A CD1的距离。
解:（法一：过BC1上一点作垂线段）
连结B1D，B1C，设B1C交BC1于E，取DC中点F，连结EF，
BF，设BF交A C于H，过H作HG//EF交BE于G，
∵正方形A BCD-A1B1C1D1棱长为1，
∴B1D⊥平面ACD1，B1D=，E为CB1中点，
∴EF BD，∴EF⊥平面A CD1，
∴GH⊥平面A CD1，∴GH的长即BC1到平面ACD1距离，
∵DC//AB，F为DC中点，
∴FH∶BH=1∶2，∴BH∶BF=2∶3，
∴HG=EF=，即BC1到平面A CD1的距离为。
评注：若按定义，通过BC1上任一点向平面A CD1作垂线，垂足落在何处？能否利用上已知条件，故通常为便于计算都不能如此作，而是从另一些方面利用图形性质或构造垂面截出垂线段。
此处利用正方体体对角线垂直于不相交的面对角线这一特性及同一面的垂线互相平行的性质作出垂线段GH，也相当于过BC1作了与平面ACD1垂直的平面BC1F，也可在垂面上利用面面垂直的性质去找垂线段。
引伸设问：此题若改求异面直线A C和BC1的距离呢？你能否根据以上解法予以解答？
法二：（转化为面面距离来作）
连结A1B，A1C1，∵正方体A-C1，∴平面A CD1//平面A1C1B，
∴BC1到平面A CD1的距离即平面A CD1到平面A1C1B的距离。
连结B1D，设B1D交平面A1C1B于O1，交平面ACD1于O2，
∵正方体A C1，∴B1D⊥平面A1C1B，B1D⊥平面ACD1，
∴线段O1O2的长即为平面A CD1与平面A1C1B的距离，作A1C1
中点M，连结BM，
∵B1MD1DB共面，∴B，O1，M共线（公理2）
在RtΔBB1M中，B1O1=，
同法可求得DO2=，∴O1O2=B1D-DO2-B1O1=。
评注：10计算过程中必要的证明必不可少，如此处B，O1，M共线的证明。
20当确认要计算的线段后，转化和寻求三角形应同时进行，如此处O1O2较难直接计算，转化为O1O2=B1D-B1O1-DO2，B1O1置于RtΔBB1M中。
解（法三，利用等积计算，布列方程）
设点B到平面A CD1的距离为h，则·h,
∵正方体A BCD-A1B1C1D1棱长为1，
∴DD1⊥平面ABC，ΔAD1C为正三角形，边长为。
∴=，
又∵=·SΔABC·DD1=，
∴·h=·1，∴h=。
评注：解决点面距离的通法——等积法，用此法要注意灵活选择三棱锥，变换视角，以及规范表述。
例3．已知正方形A BCD边长为4，PC⊥平面ABCD，PC=2，E，F分别为A B，A D中点。
求：点B到平面PEF的距离。
解:（法一）（等积转化法）
设B点到平面PEF的距离为h，连结BF，则·SΔPEF·h=V三棱锥B-PEF，
连结CE，CF，在RtΔCBE中，BC=4，BE=2，
∴CE2=20，又在RtΔPCE中，PC=2，
∴PE=2，同理可求得PF=2，又可求得EF=2，
∴可求得SΔPEF=2，
又：V三棱锥B-PEF=V三棱锥P-BEF，已知PC⊥平面BEF，
∴·2·h=·SΔBEF·PC，
∴h=。
法二（转化：转化为线面——其它点面距离）
连结BD，∵E、F分别为AB，AD中点，
∴EF//BD，
∴B点到平面PEF的距离即直线BD到平面PEF的距离，即直线BD上任一点到平面PEF 距离，
连结A C交EF于G，交BD于O，连结PG，
∵BD⊥AC，∴EF⊥A C，又PC⊥EF，
∴EF⊥平面PGC，∴平面PEF⊥平面PCG，
过O点作OK⊥PG于K，则OK⊥平面PEF，
即线段OK的长即为点O到平面PEF的距离，
由ΔOKG∽ΔPCG，在ΔPCG中可求得PG=，PC=2，
在ΔOGK中，OG=AC=，∴OK=·OG=。
法三：（用概念直接作）
延长FE交CB延长线于H，连结PH，过B作BM//PC交PH于M，过B作BN⊥EH于N，连结MN，过B作BQ⊥MN于Q点，
∵PC⊥平面A BCD，∴BM⊥平面A BCD，
∴MB⊥EH，∴EH⊥平面BNM，
∴平面BMN⊥平面PEH，
∴BQ⊥平面PEH，即线段BQ的长即为点B到平面PEF的距离，
∵E为A B中点，即正方形A BCD，∴BH=BE=2，EH=2，
∴BN=，由，∴BM=，
在RtΔBMN中，BQ=。
评注：此题仍用了例2所用的三种思维方法。
这都是求距离所用的常用方法。
比较概括一下，等积法最容易，转化法是最常用的思路，直接法往往较难，寻求垂线段时往往需借助图形隐含的性质和作辅助的垂面来实现，每种方法都能从不同侧面帮助我们提高空间思维能力，在复习时都应运用领会。