高一习题. 数学 数学1-2

第1模块第2节
[知能演练]
一、选择题
1．设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的
() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：m，n均为偶数⇒m＋n为偶数，但m＋n为偶数m，n为偶数，如m＝1，n＝1.故选A.
答案：A
2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是
() A．3B．2
C．1 D．0
解析：原命题与逆否命题等价，而原命题为真，所以逆否命题为真命题．
原命题的逆命题为：若y＝f(x)的图象不过第四象限，则函数y＝f(x)是幂函数，显然此命题为假．又∵逆命题与否命题同真假，∴否命题为假．故选C.
答案：C
3．有下列四个命题，其中真命题有：
①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．
其中真命题的序号为
() A．①②B．②③
C．①③D．③④
解析：命题①的逆命题是“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”真命题．命题②可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题，因此命题②是假命题．命题③的逆命题是“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题．命题④是假命题．故选C.
答案：C
4．设p：b2－4ac>0(a≠0)，q：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则p是q的
() A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析：当Δ＝b2－4ac>0(a≠0)时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，则Δ＝b2－4ac≥0(a≠0)．
∴p是q的充分不必要条件．
答案：A
二、填空题
5．e1、e2是不共线的两个向量，a＝e1＋k e2，b＝k e1＋e2，则a∥b的充要条件是实数k ＝________.
解析：a ＝λb ，⎩
⎪⎨⎪⎧
1＝kλ
k ＝λ⇒k 2＝1⇒k ＝±1.
答案：±1
6．下列结论中为真命题的是________(填序号)．
①f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数的一个充分条件是－b
2a
<0；
②已知甲：x ＋y ≠3，乙：x ≠1或y ≠2，则甲是乙的充分不必要条件；
③数列{a n }(n ∈N *)是等差数列的充要条件是P n ⎝⎛⎭
⎫n ，S n
n 是共线的． 解析：①f (x )＝ax 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上是增函数，则必有a >0，－b
2a
≤0，故①不正确．
②x ＝1且y ＝2，则x ＋y ＝3.据原命题与逆否命题等价，可知甲是乙的充分不必要条件，故②正确．
③若{a n }是等差数列，则S n ＝An 2＋Bn ，即S n
n
＝An ＋B ，故③正确．
答案：②③ 三、解答题
7．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假． (1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧； (4)若m ≤0或n ≤0，则m ＋n ≤0.
解：(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题． 否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．
逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题． (2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．
否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题． 逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题． (3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．
否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．
逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．
(4)逆命题：若m ＋n ≤0，则m ≤0或n ≤0.真命题． 否命题：若m >0且n >0，则m ＋n >0.真命题． 逆否命题：若m ＋n >0，则m >0且n >0.假命题．
8．命题p ：－2<m <0,0<n <1；命题q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．
解：若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1， 有0<x 1＋x 2<2且0<x 1x 2<1.
根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧
x 1＋x 2＝－m ，
x 1x 2＝n ，
得⎩
⎪⎨⎪
⎧
0<－m <2，0<n <1. 即－2<m <0,0<n <1，故有q ⇒p .
反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×1
2
<0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，
所以pq .
综上所述，p 是q 的必要不充分条件．
[高考·模拟·预测]
1．下列命题是真命题的为
( )
A ．若1x ＝1
y
，则x ＝y
B ．若x 2＝1，则x ＝1
C ．若x ＝y ，则x ＝y
D ．若x <y ，则x 2<y 2
解析：由1x ＝1
y
得x ＝y ，而由x 2＝1得x ＝±1，由x ＝y ，x ，y 不一定有意义，而x <y
得不到x 2<y 2，故选A.
答案：A
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数” 答案：B
3． “sin α＝12”是“cos2α＝1
2
”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若sin α＝12，则cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×14＝12，但当α＝－π6时，cos2α＝1
2
，而
sin α＝－1
2.故选A.
答案：A
4．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的
( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若a >b 且b >0，则必有a ＋b >0且ab >0，反过来，若ab >0，则a 与b 同号，而a ＋b >0，∴a 、b 同为正，即a >0且b >0.故选C.
答案：C
5下列结论： ①若命题p ：∃x ∈R ，tan x ＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧綈q ”是假命题；
②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是a
b
＝－3；
③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2
－3x ＋2≠0”．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确结论的序号都填上)
解析：①中命题p 为真命题，命题q 为真命题，所以p ∧綈q 为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确． ③正确，所以正确结论的序号为①③. 答案：①③
6．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭
⎫2
x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝1－|x ＋a |的定义域为集合B .
(1)判定函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)问：a ≥2是A ∩B ＝Ø的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)？并证明你的结论．
解：(1)A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪
2x ＋1－1>0.
2
x ＋1－1>0⇔x －1x ＋1<0⇔(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1，
∴A ＝(－1,1) ，定义域关于原点对称，
f (－x )＝l
g 1＋x －x ＋1＝lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 1＋x －1
＝－lg 1－x x ＋1
＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数．
(2)B ＝{x |1－|x ＋a |≥0}，|x ＋a |≤1⇔－1≤x ＋a ≤1⇔－1－a ≤x ≤1－a ，B ＝[－1－a,1－a ]．
当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a ]，有A ∩B ＝Ø. 反之，若A ∩B ＝Ø，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2.(注：反例不唯一) 所以，a ≥2是A ∩B ＝Ø的充分不必要条件．。