相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理及其Noether定理
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另一方面梁的轴向应变的表达式也会因变形大小的不同而采用不同的表达式比如小变形时应变而当考虑大变形时可能采用的应变表达式就是进而得到的梁的振动方程将会是一个含有高度非线性项的偏微分方程组
非线性动力学入门
张新华
西安交通大学 工程力学系 2011 年 07 月
前 言
─1687 年，牛顿(Isaac Newton, 1643 ～ 1727)发表了《自然哲学之数学原 理》(Mathematical Principles of Natural Philosophy)，标志着经典力学(亦即牛 顿力学)的正式诞生。牛顿力学主要研究自由质点系的宏观运动规律。 ─1788 年，拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736 ～ 1813)发表了分析力 学教程(Analytical Mechanics)，标志着拉格朗日力学的诞生。Lagrange 力学属 于分析力学的主要内容之一，在位形空间中研究带有约束的质点系动力学。 ─1833 年，哈密尔顿(William Rowen Hamilton, 1805 ～ 1865)对 Lagrange 力学进行了改造，引进了相空间(2n 维空间)，对系统内在的对称性(辛对称， Symplectic)进行了刻画。狭义上的哈密尔顿力学只适用于保守系统，而广义 的哈密尔顿力学在适用于非保守系统。哈密尔顿力学也属于分析力学的主要 组成部分。在此后发展起来的量子力学中 Hamilton 力学发挥着巨大的作用。 目前在天体力学、计算 Hamilton 力学，量子力学，甚至弹性力学(即所谓的 辛弹性力学)中哈密尔顿力学依然发挥着重要作用。 ─1927 年，Birkhoff(George David Birkhoff, 1844 ～ 1944)发表了“动力系 统”(Dynamical Systems)，标志着 Birkhoff 动力学的正式问世。Birkhoff 动力 学建立了研究非完整力学的框架。 ─1892 ～ 1899， 彭加莱(Henri Poincaré, 1854 ～ 1912)发表了三卷本的“天 体力学中的新方法”(New Methods of Celestial Mechanics)，系统性地提出了 研究动力学系统的定性方法，即几何方法。经典力学的目标之一就是设法求 得系统的解析解，而 Poincaré意识到对于大多数非线性系统而言，求其解析 解是不可能的，而必须发展新的研究方法。他超越了他的时代，极富远见地 预测到了非线性系统混沌现象(系统的解对初始条件具有极端敏感依赖性)的 存在。更为重要的是，Poincaré开创了研究非线性动力系统的几何方法，当之 无愧地被誉为非线性科学之父，其影响是划时代的。 ─1892 年，李亚普诺夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov, 1857 ～ 1918)在 他的博士论文“运动稳定性的一般问题”(General problem of the stability of motion )中，系统地探讨了非线性动力学系统的稳定性问题。他提出了两种研 究稳定性的方法：李亚普诺夫第一方法(间接方法)和李亚普诺夫第二方法(直 接方法)。他从代数角度出发，对动力学系统的研究开创了一个崭新的领域。 彭加莱与李亚普诺夫，前者从几何角度，后者从代数角度，开拓了非线 性科学的研究疆域和研究手段。 ─1963 年，Lorenz(Edward Norton Lorenz, 1917 ～ 2008)发表了“确定性 非周期流”(Deterministic Nonperiodic Flow)的论文，认为大气系统的性态对 初值极为敏感，从而导致准确的长期天气预报是不可能的。该文标志着人类 首次借助于计算机发现了混沌(Chaos)现象的存在。 ─1757 年，欧拉(Leonhard Euler, 1707 ～ 1783)发表了压杆稳定性的论 文，首次探讨了力学系统的分岔现象。作为分岔理论重要分支的突变理 论(Catastrophe Theory)则主要由法国数学家托姆(René Thom, 1923 ～ 2002)于 上个世纪 60 年代创立，由齐曼(Christopher Zeeman，1925 ～)在 70 年代大力 推广普及。 ─1834 年，英国的罗素(John Scott Russell, 1808 ～ 1882)骑着马在 Union 运河上散步时，发现了现在称之为孤立波(又称作孤波，Solitary wave)的 i
时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理
时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理*张毅†(苏州科技大学土木工程学院, 苏州 215011)(2021 年2 月25日收到; 2021 年9 月9日收到修改稿)研究并证明时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理. 首先, 建立任意时间尺度上Pfaff-Birkhoff原理和广义Pfaff-Birkhoff原理, 由此导出时间尺度上非迁移Birkhoff系统(包括自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统)的动力学方程. 其次, 基于非迁移Birkhoff方程中的动力学函数经历变换后仍满足原方程的不变性, 给出了时间尺度上Mei对称性的定义, 导出了相应的判据方程. 再次, 建立并证明了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理, 得到了时间尺度上Birkhoff系统的Mei守恒量.并通过3个算例说明了结果的应用.关键词：Birkhoff系统, Mei对称性定理, 时间尺度, 非迁移变分学PACS：45.20.Jj, 11.30.Na, 02.30.Xx DOI: 10.7498/aps.70.202103721 引 言Birkhoff力学起源于Birkhoff[1]的著作《动力系统》. Santilli[2]首次提出Birkhoff力学一词, 并详细地讨论了Birkhoff方程的构造、变换理论及其对强子物理的应用. 梅凤翔等[3]和Galiullin等[4]从各自角度分别独立地研究了Birkhoff系统动力学, 他们的研究各具特色且更侧重于分析力学. 文献[5]构建了广义Birkhoff系统动力学. 梅凤翔先生[6]指出Birkhoff力学是分析力学发展的第4个阶段. 近年来, Birkhoff力学在对称性理论[7−13]、几何动力学[14,15]、全局分析与稳定性[16,17]、数值计算[18−22]等研究方向上都取得了重要进展.时间尺度, 即实数集的任意非空闭子集, 最早是由Hilger博士[23]引进的. 由于实数集和整数集本身就是一类特殊的时间尺度, 因而在时间尺度上不仅可以统一地处理连续系统和离散系统, 而且可以处理既有连续又有离散的复杂动力学过程. 近20年来, 时间尺度分析理论不仅在理论上不断完善[24−26], 其应用领域也在不断拓广[27−34]. 文献[35]最早提出并研究了时间尺度上基于delta导数的自由Birkhoff系统动力学及其Noether对称性. 文献[36]利用对偶原理将文献[35]的结果拓展到nabla导数情形. 文献[37]给出了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Noether定理. 但是, 这些研究尚限于: 1)自由Birkhoff系统; 2) Noether对称性;3)守恒量是Noether型的. 文献[38, 39]初步研究了时间尺度上Birkhoff系统的Lie对称性和Mei 对称性, 但是其守恒量的证明基于第二Euler-La-grange方程, 而数值计算表明该方程并不成立[34].此外, 根据Bourdin[33]的研究, 在离散层面非迁移情形的结果是保变分结构及其相关性质的, 尽管迄今时间尺度上非迁移变分问题研究还很少. 本文研* 国家自然科学基金(批准号: 11972241, 11572212)和江苏省自然科学基金(批准号: BK20191454)资助的课题.† 通信作者. E-mail: zhy@© 2021 中国物理学会 Chinese Physical Society 究时间尺度上非迁移Birkhoff 系统的Mei 对称性,包括自由Birkhoff 系统、广义Birkhoff 系统和约束Birkhoff 系统, 建立并证明上述3类Birkhoff 系统的Mei 对称性定理, 给出时间尺度上新型守恒量, 称之为Mei 守恒量.2 时间尺度上非迁移Birkhoff 方程关于时间尺度上微积分及其基本性质, 读者可参阅文献[24, 25].2.1 Pfaff-Birkhoff 原理及其推广在时间尺度上, 非迁移Pfaff 作用量为R β:T ×R 2n →R B :T ×R 2n →R a ∆βa βC 1,∆rd(T )β,γ=1,2,···,2n a γσρ其中 是时间尺度上Birkhoff 函数组, 是时间尺度上Birkhoff 函数, 是Birkhoff 变量 对时间的delta 导数. 设所有函数都是 函数. .非迁移是指作用量(1)中的变量 没有经过前跳算子 或后跳算子 的作用而发生跃迁[33].等时变分原理且满足端点条件以及互易关系原理(2)称为时间尺度上非迁移Pfaff-Birkhoff 原理.等时变分原理(2)可推广为Φβ=Φβ(t,a γ)式中 表示附加项[5]. 原理(5)式可称为时间尺度上非迁移广义Pfaff-Birkhoff 原理.2.2 自由Birkhoff 系统由原理(2), 容易导出σ(t )δa ∆β其中 是前跳算子. 考虑到 的独立性,由时间尺度上Dubois-Reymond 引理[24], 得到C β其中 为常数. 因此有方程(8)为时间尺度上非迁移Birkhoff 方程.2.3 广义Birkhoff 系统由原理(5), 可导出类似于方程(8), 有方程(10)可称为时间尺度上非迁移广义Birkhoff-方程.2.4 约束Birkhoff 系统约束方程为将(11)式取变分, 得由(6)式和(12)式, 容易导出λj =λj (t,a β)λj 其中 为约束乘子. 假设约束(11)式相互独立, 则由(11)式和(13)式可解出 . 于是方程(13)可写成P β=λj∂f j∂a β其中 . 方程(14)可视作与约束Birk-hoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统.只要初始条件满足约束方程(11), 那么方程(14)的解就给出约束Birkhoff 系统的运动.3 Mei 对称性3.1 自由Birkhoff 系统引进无限小变换t →ϑ(t )=t +υξ0+o (υ)C 1,∆rd υ∈R ϑ(t )¯T¯σ¯∆其中映射 是1个严格递增 函数, 是无限小参数, 是一个新的时间尺度 , 前跳算子为 , delta 导数为 .B R β¯B ¯Rβ在变换(15)下, 动力学函数 和 变换为 和 , 有υ=0将(16)式在 处Taylor 级数展开, 得到Y (0)=ξ0∂/∂t +ξβ∂/∂a β其中 .定义1 对于时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8), 如果成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据1 如果变换(15)满足如下判据方程:则变换相应于时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8)的Mei 对称性.3.2 广义Birkhoff 系统B R βΦβ¯B¯R β¯Φβ设时间尺度上动力学函数 , 和 经历变换(15)后, 成为 , 和 , 有于是有下述定义2和判据2.定义2 对于时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10), 如果成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据2 如果变换(15)满足如下判据方程:则变换相应于时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10)的Mei 对称性.3.3 约束Birkhoff 系统B R βP βf j ¯B ¯R β¯P β¯f j 设时间尺度上动力学函数 , 和 , 以及约束 经历变换(15)后, 成为 , , 和 , 有于是有下述定义3和判据3.定义3 对于时间尺度上与约束Birkhoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统(14), 如果成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据3 如果变换(15)满足如下判据方程:则变换相应于时间尺度上相应自由Birkhoff 系统(14)的Mei 对称性.定义4 对于时间尺度上约束Birkhoff 系统(13)和(11), 如果方程(24)以及如下方程成立, 则变换(15)称为Mei 对称性的.判据4 如果变换(15)满足判据方程(25)和如下限制方程:则变换相应于时间尺度上约束Birkhoff 系统(13)和(11)的Mei 对称性.4 Mei 对称性定理4.1 自由Birkhoff 系统定理1 假设变换(15)满足判据方程(19), 则时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8)存在新型守恒量G M 其中 是规范函数, 满足因此, (28)式是系统的守恒量. 证毕.定理1可称为时间尺度上非迁移Birkhoff 系统(8)的Mei 对称性定理, (28)式称为Mei 守恒量.4.2 广义Birkhoff 系统定理2 假设变换(15)满足判据方程(22), 则时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10)存在新型守恒量G M 其中 是规范函数, 满足证明∇∇tI M =0将方程(22)和方程(33)代入(34)式, 得到, 于是(32)式是系统的守恒量.定理2可称为时间尺度上非迁移广义Birkhoff 系统(10)的Mei 对称性定理, (32)式称为Mei 守恒量. 证毕.4.3 约束Birkhoff 系统定理3 假设变换(15)满足判据方程(25), 则时间尺度上与约束Birkhoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统(14)存在新型守恒量G M 其中 是规范函数, 满足G M 定理4 假设变换(15)满足判据方程(25)和限制条件(27)式, 则时间尺度上约束Birkhoff 系统(13)和(11)存在新型守恒量(35), 其中规范函数 满足方程(36).定理3为时间尺度上与约束Birkhoff 系统(13)和(11)相应的自由Birkhoff 系统(14)的Mei 对称性定理.定理4为时间尺度上非迁移约束Birkhoff 系统的Mei 对称性定理, (35)式是Mei 守恒量.5 算 例例1 研究时间尺度上Birkhoff 系统, 设Birk -hoff 函数和Birkhoff 函数组为试研究该系统的Mei 对称性与守恒量.由方程(8)得到T =R 如取 , 则方程(38)成为这是著名的Hojman-Urrutia 问题[3,4]. 该问题本质上不是自伴随的, 因此没有Lagrange 结构或Hami-lton 结构.下面来计算Mei 对称性. 经计算, 有取生成函数为则生成函数(41)满足判据方程(19), 因此它相应于系统的Mei 对称性. 将(41)式代入方程(29), 可解得由定理1, 系统有Mei 守恒量, 形如(44)式表明, 对于任意的时间尺度, (44)式都是Birkhoff 系统(37)的守恒量. 如取生成函数为那么生成函数(45)也是Mei 对称的, 由方程(29)得由定理1, 得到Mei 守恒量T =R σ(t )=t 对于守恒量(47), 如果系统是通常的Birkhoff 系统, 即取 , 则 , 从而(47)式给出T =h Z h>0σ(t )=t +h 这是通常意义下Hojman-Urrutia 问题的守恒量[3].如果是离散情形, 即取 , 这里 , 则 , 从而(47)式成为h 这是步长为 的离散版本的Mei 守恒量.例2 研究时间尺度上广义Birkhoff 系统的Mei 对称性与守恒量.广义Birkhoff 方程(10)给出计算Mei 对称性, 由于将(52)式代入判据方程(22), 有解(53)式和(54)式相应于系统的Mei 对称性. 将(53)式代入方程(33), 解得由定理2, 系统有Mei 守恒量, 形如G M =−2t 同理, 相应于生成函数(54), , 由定理2得(56)式和(57)式是由Mei 对称性(53)和(54)导致的Mei 守恒量.例3 研究时间尺度上约束Birkhoff 系统约束为g φ试研究其Mei 对称性与守恒量,其中 和 是常数.方程(13)给出由方程(59)和方程(60),解得因此有做计算取生成函数为则µ(t )=σ(t )−t ν(t )=t −ρ(t )其中 为向前互差函数, 为向后互差函数. 由判据4, 生成函数(64)相应于系统的Mei 对称性. 将(65)式代入方程(36),解得由定理4, 系统有Mei 守恒量, 形如6 讨 论T =R σ(t )=t µ(t )=0如果取时间尺度 , 则前跳算子 ,互差函数 , 因此上述结果退化为通常意义下Birkhoff 系统、广义Birkhoff 系统和约束Birkh-off 系统连续版本的变分原理、Birkhoff 方程和Mei 对称性定理.T =R 例如, 对于自由Birkhoff 系统, 当取 时,原理(2)成为方程(8)成为由判据方程(19)容易得到于是, 定理1退化为下述推论1.推论1 假设变换(15)满足判据方程(19),则自由Birkhoff 系统(69)的Mei 对称性导致如下G M 其中 是规范函数, 满足推论1是通常意义下自由Birkhoff 系统连续版本的Mei 对称性与守恒量定理[7]. 而方程(68)、方程(69)和方程(71)就是通常意义下自由Birk-hoff 系统连续版本的Pfaff-Birkhoff 原理、Birk-hoff 方程和Mei 守恒量.T =h Z h >0σ(t )=t +h µ(t )=h 如果取时间尺度 , 常数 , 则前跳算子 , 互差函数 . 此时, 原理(2)成为方程(8)成为则定理1退化为下述推论2.推论2 假设变换(15)满足判据方程(19), 则自由Birkhoff 系统(74)的Mei 对称性导致如下形式的守恒量:G M 其中 是规范函数, 满足h 推论2是通常意义下自由Birkhoff 系统离散版本的Mei 对称性与守恒量定理. 而方程(73)—(75)就是通常意义下自由Birkhoff 系统离散版本步长为 的Pfaff-Birkhoff 原理、Birkhoff 方程和Mei 守恒量.7 结 论对称性和守恒量一直是分析力学研究的一个重要方面. 经典的对称性主要有Noether 对称性和Lie对称性. Mei对称性是本质上不同于前两种对称性的一种不变性, 它可以导致Mei守恒量. Mei守恒量不同于Noether守恒量, 是一种新的守恒量. 本文提出并研究了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性定理.一是提出了时间尺度上非迁移Pfaff-Birkhoff 原理和广义Pfaff-Birkhoff原理, 导出了时间尺度上Birkhoff系统, 包括自由Birkhoff系统、广义Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的动力学方程.主要结果是原理(2)和(5), Birkhoff方程(8), (10)和(13).二是定义了时间尺度上非迁移Birkhoff系统的Mei对称性, 并导出了它的判据方程. 主要结果是4个定义和4个判据.三是提出并证明了时间尺度上非迁移Birkhoff 系统、非迁移广义Birkhoff系统和非迁移约束Birkhoff系统的Mei对称性定理. 主要结果是4个定理, Mei守恒量(28), (32)和(35).T=R T=h Z当取时间尺度和时, 文中定理给出通常意义下自由Birkhoff系统、广义Birkhoff 系统和约束Birkhoff系统的连续版本和离散版本的Mei对称性与守恒量定理. 由于除了实数集和整数集以外, 时间尺度还可以有很多选择, 因此时间尺度上Birkhoff系统的Mei对称性定理具有一般性.参考文献B irkhoff G D 1927 Dynamical Systems (Providence: AMSCollege Publ. ) pp59–96[1]S antilli R M 1983 Foundations of Theoretical Mechani cs II (New York: Springer-Verlag) pp1–280[2]M ei F X, Shi R C, Zhang Y F, Wu H B 1996 Dynamics of Birkhoffian System (Beijing: Beijing Institute of Technology Press) pp1–228[3]G aliullin A S, Gafarov G G, Malaishka R P, Khwan A M1997 Analytical Dynamics of Helmholtz, Birkhoff and Nambu Systems (Moscow: UFN) pp118–226[4]M ei F X 2013 Dynamics of Generalized Birkhoffian Systems (Beijing: Science Press) pp1–206[5]M ei F X, Wu H B, Li Y M, Chen X W 2016 J. 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Numer.Simul. 75 251[39]Mei’s symmetry theorems for non-migrated Birkhoffiansystems on a time scale*Zhang Yi †(College of Civil Engineering, Suzhou University of Science and Technology, Suzhou 215011, China)( Received 25 February 2021; revised manuscript received 9 September 2021 )AbstractThe Mei symmetry and its corresponding conserved quantities for non-migrated Birkhoffian systems on a time scale are proposed and studied. Firstly, the dynamic equations of non-migrated Birkhoffian systems (including free Birkhoffian systems, generalized Birkhoffian systems and constrained Birkhoffian systems) on a time scale are derived based on the time-scale Pfaff-Birkhoff principle and time-scale generalized Birkhoff principle. Secondly, based on the fact that the dynamical functions in the non-migrated Birkhoff’s equations still satisfy the original equations after they have been transformed, the definitions of Mei symmetry on an arbitrary time scale are given, and the corresponding criterion equations are derived. Thirdly, Mei’s symmetry theorems for non-migrated Birkhoffian systems on a time scales are established and proved, and Mei conserved quantities of Birkhoffian systems on a time scale are obtained. The results are illustrated by three examples.Keywords: Birkhoffian system, Mei’s symmetry theorem, time scale, non-migrated variational calculus PACS: 45.20.Jj, 11.30.Na, 02.30.Xx DOI: 10.7498/aps.70.20210372* Project supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant Nos. 11972241, 11572212) and the Natural Science Foundation of Jiangsu Province, China (Grant No. BK20191454).† Corresponding author. E-mail: zhy@。
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
力学系统的对称性和守恒量的应用
(2.6)
ξ ξ ξ I N = L
0
+
∂L ∂q s
(
s − qs
)
0
+G
N
=常数
(2.7)
如果由 Noether 等式可找到生成元ξ 0，ξｓ和规范函数 GN =GN (t,q,q) ，那么便可由
式（2.5）找到守恒量。这类守恒量称为 Noether 守恒量。
英文版上发表。有的文章称形式不变性为 Mei 对称性。形式不变性的优点在
于从力学意义上较易理解。缺点在于由式（2.15），（2.16）找到相应的守恒量
（2.18）较困难。
由 Noether 和 Lie 对称性通过形式不变性可导出守恒量（2.18）；由形式
1992 年的工作，他既不用 Lagrange 函数也不用 Hamilton 函数来构造了一类
新守恒量。由他导出的守恒量被人称为 Hojman 型守恒量。
对 Lagrange 系统（2.1），将其展开为
qs= Fs (t, q, q)
Lie 对称性的确定性方程表为
ξs−q s ξ0−2ξ0Fs = X (1)(F s)
E s{X (1) (L)} = 0
11
(2.15)
如果存在规范函数 GF =GF (t,q,q) 满足结构方程
X~
(1)
(L)
dξ dt
0+
X~
(1){X~ (1) (L)}
+
d dt
GF
=
0
(2.16)
其中
ξ ξ ξ q X~ (1) = ∂ + ∂ + ( d − d ) ∂
哈密顿积分原理
哈密顿积分原理
哈密顿积分原理是力学中的一个基本原理，它指出在不受外力作用的保守系统中，真实运动满足的作用量取驻值。
这个原理可以用来求解各种力学问题，包括质点和刚体的运动、弹性力学、流体力学等。
哈密顿原理的表述为：在N+1维空间中，任两点之间连线上动
势L的时间积分以真实运动路线上的值为驻值。
这个原理可以表述为数学形式，即对于一个完整系统，其运动满足以下条件：
(H(q,p) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} m_i \left(\frac{d^2
q_i}{dt^2}\right)^2 + V(q) = E)
其中(H(q,p))是拉格朗日函数，(q)和(p)分别是系统的广义坐标和广义动量，(m_i)是质点的质量，(V(q))是势能函数，(E)是常数。
哈密顿原理的应用非常广泛，它不仅可以用来求解各种力学问题，还可以用于电动力学、相对论力学等领域。
此外，哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用，例如在薛定谔方程的推导中就使用了哈密顿原理。
哈密顿原理
关于哈密顿原理
哈密顿原理
Hamilton principle
适用于受理想约束的完整保守系统的重要积分变分原理。
W.R.哈密顿于1834年发表。
其数学表达式为：
式中L＝T－V为拉格朗日函数，T 为系统的动能，V为它的势函数。
哈密顿原理可叙述为：拉格朗日函数从时刻t1到t2的时间积分的变分等于零。
它指出，受理想约束的保守力学系统从时刻t1 的某一位形转移到时刻t2的另一位形的一切可能的运动中，实际发生的运动使系统的拉格朗日函数在该时间区间上的定积分取驻值，大多取极小值。
由哈密顿原理可以导出拉格朗日方程。
哈密顿原理不但数学形式紧凑，且适用范围广泛。
如替换L的内容，就可扩充用于电动力学和相对论力学。
此外，也可通过变分的近似算法，用哈密顿原理直接求解力学问题。
热力学第二定律
第三章热力学第二定律前面，所学的热力学第一律，是以“能量守恒原理”为基础，建立了U和H两个热力学函数，通过对过程ΔU和ΔH的计算，解决了过程的热效应问题。
然而，在一定条件下，一过程能否自动进行，进行到什么程度，亦即，过程的方向和限度问题，第一定律无能为力，这恰恰是第二定律所要解决的问题。
人类经验表明：一切自然界的过程都是有方向性的。
大家都知道：自然界中存在朝一定方向自发进行的过程，例如：热自动从高温物体传向低温物体，直至两物体温度相等；气体自动地从高压区流向低压区，直至各处压力相同，相互接触的不同气体，总是自动的相互混合均匀；电流总是从高电流处流向低电流处直至各处电势相等：浓度不均匀的溶液，自动地变成浓度均匀一致。
等等，这些过程都是可以自动进行的，叫“自发过程”。
显然，一切自然界的过程都是有方向性及一定的进行限度。
从未发现哪一自发过程可自动恢复原状。
为什么自发过程的逆过程不能自动进行？这就是第二定律所要解决的中心问题—判断过程的方向和限度问题。
究竟什么因素决定自发过程的方向和限度？从表面上看，似乎不同的过程，有着不同的决定因素。
如，决定热传导方向和限度的是温度T；决定气体流动的是压力p；决定电流的是电势V；等等。
决定化学反应的是什么？这就要找出：决定一切自发过程方向和限度的共同因素，以此作为判断的共同根据。
寻找一切自发过程方向和限度的判据，这就要研究自发过程的共同特征，根据经验总结热功转化规律，找出反映自发过程本质特征的状态函数—S,以ΔS判断过程的方向和限度。
进而又S据判据在特殊条件下，推演出了A、G状态函数，从而，得到更方便更实用的判据ΔA、ΔG。
§3.1自发变化的共同特征—不可逆性前已述及，一切自发过程都是有方向性的，亦即，自发过程进行之后，系统不能自动恢复原状。
若要让其恢复原状，环境中有什么变化？若让环境也复原，需要什么条件？现举例说明。
1. 理想气体向真空膨胀过程。
这是一个自发过程，当气体向真空膨胀时，Q = 0，W = 0，ΔU=0，ΔT=0。
拉普拉斯(Laplace)方程
位质量的质点的引力−→F (x,
y,
z)其大小为
m r2
，而作用的方向为−P−P→0，即作用方向沿着这
两点的连线指向P0点，其中r = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2表示点P0与点P 的距
离。−→F (x, y, z)可以写成下述向量的形式
−→F (x,
y,
z)
=
数 ，f (x1, · · · , xn)是 一 给 定 的 已 知 函 数 。 它 们 具 有 广 泛 的 应 用 背 景 。 下 面 我 们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
特点。譬如，记以原点为球心的单位球面为Γ，考察将Γ作为边界曲面的Dirichlet外问
题，其边界条件为
u|Γ = 1.
直接验证易知，函数u1 ≡ 1及u2 = (x2 + y2 + z2)−1/2都在单位球外满足Laplace方程且在 边界上满足边界条件。这个例子表明，如果在无穷远处不加限制，就不能保证相应的
求解一个函数使其在曲面∂Ω外部满足三维Laplace方程，在∂Ω上满足所给的边界条件
的问题。类似的问题，在实际中还有很多，因此这种类型的问题具有重要的应用价
值，我们通常把这类问题称为Laplace方程的外问题。上述第一个例子中所提的问题称 ::::::::::::::::::::::::
为D::i:r:i:c:h:l:e:t:外:::问::题:: ，而第二个例子中所提的问题称为N::e:u::m::a:n:n::外::问:::题:: 。 值得注意的是，Laplace方程的外问题与通常的Laplace方程的定解问题具有不同的
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相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理及其Noether定理张毅【摘要】与经典变分原理相比，基于由微分方程定义的作用量的Herglotz广义变分原理给出了非保守动力学系统的一个变分描述，它不仅能够描述所有采用经典变分原理能够描述的动力学过程，而且能够应用于经典变分原理不能适用的非保守或耗散系统。
将Herglotz广义变分原理拓展到相空间，研究相空间中非保守力学系统的Herglotz广义变分原理与Noether定理及其逆定理。
首先，提出相空间中Herglotz广义变分原理，给出相空间中非保守系统的变分描述，导出相应的Hamilton正则方程；其次，基于非等时变分与等时变分之间的关系，导出相空间中Hamilton-Herglotz作用量变分的两个基本公式；再次，给出Noether对称变换的定义和判据，提出并证明相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether定理及其逆定理，揭示了相空间中力学系统的Noether对称性与守恒量之间的内在联系。
在经典条件下，Herglotz广义变分原理退化为经典变分原理，与之相应的相空间中的Noether定理退化为经典Hamilton系统的Noether定理。
文末以著名的Emden方程和平方阻尼振子为例说明上述方法和结果的有效性。
%Compared with the classical variational principle, the generalized variational principle of Herglotz based upon the action defined by differential equations gives a variational description of nonconservative dynamical system. The principle can describe all dynamical processes and nonconservative or dissipative systems. In the present study, the principleis extended to phase space, and the generalized variational principle of Herglotz type for non-conservative mechanical system in phase space isgiven and Noeth er’s theorem and its inverse of the system are studied. Firstly, the generalized variational principle of Herglotz type in phase space is presented, a variational description of non-conservative system in phase space is given, and the corresponding Hamilton canonical equations are deduced. Secondly, based upon the relation between non-isochronal variation and isochronal variation, two basic formulae for the variation of Hamilton-Herglotz action in phase space are obtained. Thirdly, the definition and the criterion of Noether symmetry are given, and Noether’s theorem and its inverse of nonconservative system for the variational problem of Herglotz type in phase space are proposed and proved, and the inner relation between the Noether symmetry and the conserved quantity for mechanical systems in phase space is revealed. The generalized variational principle of Herglotz type reduces to the classical variational principle under classical conditions, and Noether’s theorem for the variational problem of Herglotz type reduces to the classical Noether’s theorem of Hamilton system. In the end of the paper, we take the famous Emden equation and damping oscillator with second power as examples to illustrate the application of the results.【期刊名称】《力学学报》【年(卷),期】2016(048)006【总页数】8页(P1382-1389)【关键词】Herglotz广义变分原理;Noether定理;非保守动力学;相空间【作者】张毅【作者单位】苏州科技大学土木工程学院，苏州215011【正文语种】中文【中图分类】O316Noether定理首次从变分学背景下揭示了对称性与守恒量之间的相互关系[1]，即Hamilton作用量在关于广义坐标和时间的变换群的无限小变换下的不变性意味着沿着系统的动力学真实运动轨道存在一个守恒量．Noether定理阐释了牛顿力学的所有守恒量，如：时间的均匀性导致质点系的能量守恒；空间的均匀性导致质点系的动量守恒；空间各向同性导致质点系的动量矩守恒[2]．Djuki等[3]将结果拓展到完整非保守系统并考虑无限小变换的生成元包含广义速度的情形；李子平[4]，Bahar等[5]给出线性非完整约束系统的Noether定理；刘端[6]进一步将结果拓展到一般非完整非保守力学系统；梅凤翔[7-8]建立了Birkhoff系统和广义Birkhoff 系统的Noether理论；文献[9-10]研究了分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量．关于Noether定理及其应用的研究已取得重要进展[11-23]．但是，上述Noether定理都是基于经典形式的变分原理，即：变分问题的作用量是由积分泛函定义的，它们不能应用于作用量由微分方程定义的一般情形．1930年，Herglotz[24]在研究接触变换及其与Hamilton系统和 Poisson括号的联系时提出了一类广义变分原理，其作用量是由微分方程来定义的．Herglotz广义变分原理不仅能够描述所有采用经典变分原理能够描述的物理过程，而且能够应用于解决经典变分原理不能适用的问题，如：非保守动力学过程或耗散系统的变分描述[25-26]．2002年，Georgieva等[27]研究了 Herglotz广义变分原理和Noether定理．但是迄今为止基于Herglotz广义变分原理的Noether对称性的研究尚不多见且研究限于位形空间中的Lagrange系统[28-30]．由于力学系统的相空间具有自然辛结构，在数学描述上比Lagrange力学要容易[31]．对于某些系统，在位形空间中其对称性并不明显地表现出来，但在相空间中却具有一定的对称性质，用正则形式的Noether定理则可导出相应的守恒量[2]．本文将研究相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理，并基于非等时变分与等时变分之间的关系导出相空间中Hamilton-Herglotz作用量的变分公式，建立在此情形下Noether对称性的判据，提出并证明相空间中Herglotz变分问题的Noether定理及其逆定理．文末以著名的Emden方程和平方阻尼振子系统为例说明结果的应用．根据位形空间中Herglotz广义变分原理[29]，相空间中非保守系统的Herglotz 变分问题可定义为：确定函数qs(t)和ps(t)，使由微分方程定义的泛函z(t)，在给定的端点条件和初始条件下，在时取得极值．其中qs(t)，ps(t)(s=1,2,···,n)分别为系统的广义坐标和广义动量，H(t,qk,pk,z)可称为Hamilton函数，qs1，qs2和z1均为固定常数．由式(1)确定的泛函z可称为Hamilton-Herglotz作用量，上述变分问题可称为相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理．对方程(1)进行等时变分运算，有这里及文中采用Einstein求和约定，即同一项中两个相同的活动指标表示对其求和．利用交换关系式(4)可写为其中方程(5)是关于δz的一阶线性非齐次常微分方程，其解可表示为由初始条件(3)，且考虑到z(t)在t=t2取得极值，有方程(7)在所有t∈[t1,t2]成立，特别地，取t=t2，有将式(6)代入方程(9)，对进行分部积分运算，并利用方程(1)和端点条件(2)，得到由δqs，δps的独立性，并利用变分学基本引理[32]，由方程(10)得到方程(12)可称为相空间中非保守系统基于Herglotz广义变分原理的Hamilton正则方程．如果Hamilton 函数不显含z，即H=H(t,qk,pk)，则方程(1)成为而方程(12)成为式(13)是相空间中Hamilton作用量，方程(14)为经典Hamilton正则方程．方程(12)中第二组方程的项对应系统的非保守力．与以往的非保守系统的Hamilton原理[33]不同，相空间中Herglotz广义变分原理是极值原理，它提供了相空间中非保守力学系统的一个变分描述．利用Herglotz广义变分原理及其Hamilton正则方程(12)可以系统地处理保守和非保守问题，并且经典Hamilton 原理和经典Hamilton正则方程是其特例．引进时间t，广义坐标qs和广义动量ps的r参数有限变换群Gr的无限小变换其中∆(∗)表示(∗)的非等时变分，εσ(σ=1,2,···,r)为无限小参数，和为无限小变换的生成函数或生成元．在变换(15)作用下，Hamilton-Herglotz作用量z变为作用量z的非等时变分∆z为变换前后作用量z之差相对εσ的主线性部分．对于任意函数F，非等时变分∆F与等时变分δF之间存在关系[2]由式(18)，并注意到交换关系易得由方程(1)，得到利用式(20)，并考虑到方程(1)，式(21)成为解方程(22)，可得显然∆z(t1)=0，方程(23)可表示为将式(25)代入式(23)和式(24)，得到式(26)和式(27)是相空间中Hamilton-Herglotz作用量变分的两个基本公式．下面根据Noether对称性的概念[12]，给出相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether对称变换的定义和判据．定义1对于相空间中非保守系统的Herglotz变分问题，如果Hamilton-Herglotz 作用量是无限小群变换的不变量，即：对每一个无限小变换，始终成立则称无限小群变换为系统 (12)的 Noether对称变换．由定义1和式(26)，可以得到如下判据：判据1对于无限小群变换(16)，如果无限小生成元满足条件则变换为相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether对称变换．下面建立相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether定理，有：定理1对于相空间中非保守系统的Herglotz变分问题，如果无限小群变换(16)是系统(12)的Noether对称变换，则该系统存在r个线性独立的守恒量，形如证明因为无限小群变换(16)是系统(12)的Noether对称变换，由定义1，有将上式代入式(27)，得将方程(12)代入式(31)，并考虑到εσ的独立性和积分区间的任意性，得积分之，便得式(30)．证毕．定理 1可称为相空间中非保守系统基于 Herglotz变分问题的Noether定理．利用该定理可以通过Noether对称性找到非保守动力学系统或耗散系统的守恒量．如果Hamilton函数不显含z，则定理1成为推论1对于经典Hamilton系统(14)，如果无限小群变换是系统的Noether对称变换，则系统存在r个线性独立的守恒量，形如推论 1是经典 Hamilton系统的 Noether定理[12]．假设系统(12)有r个线性独立的守恒量将式(34)对时间t求导，得到将 Hamilton正则方程 (11)的第二组方程乘以并对s求和，得比较式(35)和式(36)中含s的项，得到再令已知积分(34)等于守恒量(30)，即方程(37)和(38)是关于(n+1)r个变量τσ和的 (n+1)r个代数方程，由此可找到生成元τσ和它们相应于系统的Noether对称变换．于是有定理2如果已知系统(12)的r个线性独立的守恒量(34)，则由式(37)和式(38)确定的无限小群变换是系统的Noether对称变换．定理 2可称为相空间中 Herglotz变分问题的Noether逆定理．利用该定理可由已知积分找到相应的Noether对称性．如果Hamilton函数不显含z，则式(37)和式(38)成为于是定理2成为推论2 如果已知经典Hamilton系统(14)的r个线性独立的守恒量(34)，则由式(39)和式(40)确定的无限小群变换是系统的Noether对称变换．推论 2是经典 Hamilton系统的 Noether逆定理[12]．例1考虑著名的Emden方程[12]它是一个单自由度完整非保守系统，试用本文方法研究其对称性与守恒量．方程(41)可化为Herglotz变分问题来研究，其Lagrange函数为取广义动量和Hamilton函数为其中作用量z满足微分方程方程(12)给出方程 (45)是方程 (41)在 Herglotz变分问题下的Hamilton正则形式．判据方程(29)给出方程(46)有解生成元(47)相应于Emden方程(41)在相空间中基于Herglotz变分问题的Noether对称性，由定理1，得到式(48)是与生成元(47)相应的Noether守恒量．其次，利用Noether逆定理由已知积分求相应的Noether对称变换．假设系统有积分(48)，式(37)和式(38)分别给出联立求解方程(49)和(50)，得到由定理2，生成元(51)相应于系统的Noether对称变换．例2研究平方阻尼振子，其运动微分方程为[12]其中γ为常数．此问题可化为Herglotz变分问题，其Lagrange函数为广义动量和Hamilton函数为微分方程(1)给出Hamilton正则方程(12)给出判据方程(29)给出方程(57)有解生成元(58)相应于平方阻尼振子系统(52)在相空间中基于Herglotz变分问题的Noether对称性，由定理1，得到其中式 (59)是与生成元 (58)相应的Noether守恒量．其次，研究Noether逆定理的应用．假设系统有积分(59)，由式(37)和式(38)得到由此解得Herglotz广义变分原理为研究非保守或耗散系统动力学提供了一个有效途径，文章研究了相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理及其Noether对称性与守恒量．文章的主要贡献在于：提出了相空间中非保守系统的Herglotz广义变分原理，该原理给出了相空间中非保守系统的一个变分描述，建立了系统的Hamilton正则方程(12)；导出了Hamilton-Herglotz作用量的非等时变分式(26)和式 (27)；建立了相空间中非保守系统基于Herglotz变分问题的Noether定理及其逆定理，即定理1和2．显然，通常的相空间中的Noether定理仅适用于作用量由积分泛函定义的情形，而不能用于作用量由微分方程定义的情形．但当Hamilton函数不显含z时，后者退化为前者．因此，定理包含了经典Hamilton 系统的Noether定理和逆定理．文章的方法和结果可进一步推广到非完整系统，Birkhoff系统等．【相关文献】1 Noether AE.Invariante variationsprobleme. 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