变分理论的一致性
态度改变的理论
（1）认知平衡理论认知理论的共同处：当认知因素发生冲突与矛盾之后，个体就处于一种想要解除其矛盾的不舒服的状态中；当认知因素协调的时候，人们想要维持这种状态，以避免其他不协调因素的介入。
主要有下列两种认知理论:①海德的平衡理论（P-O-X模型也称一致性理论）该理论认为人们的认知系统中的几种评价、态度、感情之间有趋向一致的压力。
认知处于平衡状态时，能引起一种满意的状态，而处于不平衡时就会力求平衡，或改变现存的某种认知因素，或添加一种新的认知。
P是认知者，O是P认知的另一个人，X是第三者的人或物或事。
最终的状态是P、O、X三者之间形成平衡。
②认知失调理论由费斯廷格提出。
旨在理解态度之间和态度与行为之间的不一致。
认知失调是指个体持有两个彼此矛盾的认知，从而产生不愉快感觉的情况。
认知包括思想、态度、信念以及人们对行为的感知。
当人们的认知体系出现不协调的时候，就会设法去减轻或者消除这种不协调状态。
认知因素的不协调强度越大，人们想要减轻或者消除的动机也就越大。
认知失调论的一个基本假设就是：认知失调是一种不愉快的心理体验，具有动机的作用，驱使个体设法减轻或消除失调的状态，使相关的态度之间和相关的态度与行为之间的关系变得比较协调。
费斯廷格指出，认知失调通常在四种情况下出现：逻辑的违背、文化价值的冲突、观念层次的冲突、新旧经验的矛盾。
协调的程度决定于：失调的认知数量与协调的认知数量的相对比例(2)某一认知元素对个人生活的重要性。
减少和消除认知失调的途径：改变行为（使个体对行为的认知符合态度的认知）、改变态度（使个体的态度符合其行为）、引进新的认知因素（消除原有认知因素间的失调关系）。
③自我知觉理论自我知觉理论和自我确认理论对认知失调理论提出了质疑。
自我知觉理论认为，当人们的态度与行为不一致时，人们首先是通过外部寻找产生行为的原因，当外部没有找到原因时，才会归因于态度上。
这一过程并不一定有认知失调的产生，而是由理性决定的。
变分法理论与应用
变分法理论与应用变分法是数学中的一个重要分支，通过对函数的变分求解，可以求出其最值或最优解，应用广泛，例如在物理学中经常用于研究粒子的运动，友情学中应用于最小能量曲线的求解，化学中应用于量子化学中分子的电子结构计算等等。
本篇文章将着重介绍变分法的理论基础以及其在各个领域中的应用。
一、变分法理论1.1 变分基本概念在介绍变分法之前，我们先来了解一下变分中的一些基本概念。
函数是指把数域上的任意数 $x$ 映射到数域上的一个确定数$y$ 的规则，而变分则是指沿着某个函数进行微小的变化，并据此研究该函数的性质变化。
我们将一个函数 $y=f(x)$ 的变分记作$y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其中 $\varepsilon$ 是一个无穷小量，$g(x)$ 是一个任意函数。
1.2 欧拉-拉格朗日方程欧拉-拉格朗日方程是变分法中的一种重要方程，它的本质是通过对泛函进行变分求解，求出泛函的最值或最优化解。
泛函是一类函数，它映射函数到实数集合，例如以 $y=f(x)$ 表示的函数 $f$，它的变分为 $y=f(x)+\varepsilon g(x)$，其泛函表示为：$$J[f]=\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx$$其中 $L(x,y,y')$ 是 Lagrange 函数，$y'=\frac{dy}{dx}$。
对该泛函进行变分：$$\delta J=\delta\int_{a}^{b}L(x,y,y')dx=\int_{a}^{b}\frac{\partialL}{\partial y}\delta y+\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y'dx $$用分部积分法将第二项转换为：$$\delta J=\int_{a}^{b}\left(\frac{\partial L}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial y'}\right)\deltaydx+\left(\frac{\partial L}{\partial y'}\delta y\right)\biggr|_{a}^{b} $$由于 $\delta y(x)$ 在 $x\in[a,b]$ 的端点 $a$ 和 $b$ 处任意，因此求解泛函的变分问题可以转化为求解边界条件。
变分推断的基本原理与方法
变分推断的基本原理与方法1. 引言变分推断是一种用于近似推断概率模型参数的方法。
它在机器学习中具有广泛的应用，尤其在大规模数据分析和贝叶斯推理中表现出色。
本文将介绍变分推断的基本原理和常用方法，以帮助读者更好地理解和应用变分推断。
2. 变分推断的原理变分推断的目标是近似计算给定观测数据下的后验分布。
它采用了一种变分参数化的方法来表示后验分布，并将推断问题转化为参数优化问题。
基本的变分推断原理可以归结为最小化推断模型与真实后验分布之间的差异，以获得近似的后验分布。
3. 变分推断的方法（1）变分推断的基本方法基本的变分推断方法是采用一种特定的变分分布来近似真实的后验分布。
常用的变分分布包括高斯分布、狄利克雷分布等。
通过设定变分分布的参数，可以通过最小化变分分布与真实后验分布之间的差异来近似推断后验分布。
（2）坐标上升算法坐标上升算法是一种常用的变分推断方法，它通过迭代地更新变分参数来逐步逼近后验分布。
在每一次迭代中，坐标上升算法固定其他变分参数，只优化其中一个变分参数，然后交替优化不同的变分参数。
这种迭代的更新过程可以得到越来越精确的后验分布估计。
（3）期望最大化算法期望最大化算法是另一种常见的变分推断方法，它通过交替进行期望步骤和最大化步骤来逼近后验分布。
在期望步骤中，固定参数，计算关于隐藏变量的期望；在最大化步骤中，固定隐藏变量，更新参数。
通过交替进行这两个步骤，可以逐步提高后验分布的准确性。
4. 变分推断的应用变分推断在概率图模型、深度学习和机器学习等领域都有广泛的应用。
在概率图模型中，变分推断常用于近似计算因子图模型的后验分布。
在深度学习中，变分自编码器是一种常见的变分推断方法，用于学习数据的潜在表示。
在机器学习中，变分推断可以用于模型选择、参数估计和预测等任务。
5. 结论本文介绍了变分推断的基本原理和常用方法，以及其在机器学习中的应用。
变分推断具有广泛的应用价值，能够有效地处理大规模数据和复杂模型。
变分原理与变分法
变分原理与变分法在数学中，变分原理是由变分法所依赖的基本数学原理，它属于变分法的核心思想。
变分原理是这样一个原理：如果一个物理系统的运动方程可以通过一些函数的下极值原理来推导出来，那么这个物理系统的运动方程也可以通过其他的方法得到，比如经典的牛顿运动定律、拉格朗日方程或哈密顿方程等。
所以，变分原理可以看作是一种看待运动方程的新视角，它提供了一种新的方法来推导和解决运动方程。
变分法是以变分原理为基础的一种数学方法，通过对形式相对简单的函数进行一定的变分操作，使得问题的求解变得容易。
变分法的核心思想是将函数看作一个整体，而不是具体的数值，通过改变整体的形状，使其满足一定的条件，从而达到优化的目标。
在变分法中，我们将问题转化为一个泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，就可以得到满足条件的函数。
在最优控制问题中，变分法是一个常用的求解方法。
最优控制问题是研究如何通过调整一些输入信号，使得系统的性能达到最优，比如最小化成本、最大化效益等。
通过应用变分法，我们可以将最优控制问题转化为一个泛函的极值问题，通过对极值问题求解，可以得到最优的输入信号。
在极值问题中，变分法也有广泛的应用。
比如著名的布鲁诺-普恩哥雷极值问题，即求出一个连续函数，使得其在给定的边界条件下，一些泛函成为极值。
通过变分法，我们可以将这个极值问题转化为一个泛函的极值问题，通过求解极值问题，就可以得到满足要求的函数。
除了最优控制问题和极值问题，变分法在泛函分析和变分不等式研究中也有重要的应用。
在泛函分析中，变分法用于求解泛函的最小化问题，通过对泛函求导并使其为零，得到泛函的最小值。
而在变分不等式研究中，变分法用于构造适当的测试函数，将问题转化为一个较简单的形式，从而得到不等式的解析解或估计。
总结来说，变分原理与变分法是应用于最优控制问题、极值问题和泛函问题等研究领域中的基本数学工具。
通过将问题转化为泛函的极值问题，通过对泛函求导并使其为零，可以得到满足条件的函数。
多目标分式变分问题的对偶性
多目标分式变分问题的对偶性
与一致性的思考
1.多目标分式变分问题的对偶性：多目标分式变分问题是求解多个相
互竞争的极小值问题，目标函数与约束条件共同确定一个多目标优化问题。
变分方法中求解多目标分式变分问题的思想是采用多个子问题替代原来的
一个完整问题，然后在子问题中求解，最后把子问题的结果综合在一起，
得到原问题的解。
多目标分式变分问题建立的子问题可以转换成对偶问题，它具有两个基本特征：(1)在优化的过程中，多目标函数的参数可以被看
作是目标函数和约束条件间的拉格朗日乘子；(2)在优化过程中，约束条
件和极值问题都可以被看作是多目标函数和参数间的拉格朗日乘子。
2.多目标分式变分问题的一致性：多目标分式变分问题的一致性表明，可以在一个基本的问题框架中，一致的求解多目标的最优解。
例如，多目
标可以在具有不同条件的情况下，获得同样的最优解。
通俗来讲，一致性
就是指在多目标优化问题中，可以在不同的约束条件下，找到相同的极小
值解。
变分推断的基本原理与方法
变分推断的基本原理与方法变分推断（Variational Inference）是一种概率图模型参数估计的方法，它通过近似推断的方式求解概率分布的后验分布。
本文将介绍变分推断的基本原理和方法，并探讨其在机器学习和统计学中的应用。
一、基本原理变分推断的基本原理是通过寻找一个近似分布$q(\theta)$来近似真实的后验分布$p(\theta | \mathcal{D})$。
其中，$\theta$代表模型的参数，$p(\theta | \mathcal{D})$表示参数在给定观测数据$\mathcal{D}$下的后验分布。
变分推断的目标是最小化近似分布$q(\theta)$与真实后验分布$p(\theta | \mathcal{D})$之间的差异。
二、方法步骤1. 定义变分分布首先，需要选择一个参数化的变分分布$q(\theta)$来近似后验分布$p(\theta | \mathcal{D})$。
常用的变分分布包括高斯分布、狄利克雷分布等。
2. 构建变分推断目标函数通过KL散度（Kullback-Leibler Divergence）来度量两个分布的差异，可以构建如下的变分推断目标函数：$$F(q) = \int q(\theta) \log \left( \frac{{p(\theta,\mathcal{D})}}{{q(\theta)}} \right) d\theta$$其中，$p(\theta, \mathcal{D})$是参数和观测数据的联合分布。
3. 最优化目标函数通过最优化目标函数$F(q)$，可以得到近似分布$q(\theta)$的最优解。
一般采用迭代算法，如坐标上升法、梯度下降法等。
4. 推断参数得到近似分布$q(\theta)$后，可以通过计算得到参数的期望值或采样得到参数的一组样本。
这些参数估计可以用于模型的预测和推断。
三、应用场景1. 深度学习中的变分自编码器变分推断在深度学习中有着广泛的应用。
变分不等式理论
变分不等式理论
变分不等式理论是常用的数学工具，可以运用在很多研究领域中。
它是在某种程度上受拉格朗日乘子法影响而发展出来的理论，它也被用于解决求解某类优化问题。
变分不等式理论的主体思想可以简化为构建一个变分型，使得它在穷尽满足相关条件、约束条件和其它反映问题本质的主要式子中有最佳解。
变分不等式被广泛地用于优化问题的求解，它的核心在于构建一个问题的相关函数并且能够构建一个准确的侧面式，使得非负函数而被有限次地变换。
例如当需要求解一个最大最小值问题时，可以使用变分不等式理论先将原问题转化为变分问题，通过调整有限个变量得以求解。
变分不等式理论对于计算机和数学研究是非常重要的，它在空间分析多物体碰撞、复杂材料本构模拟以及线性规划和计算优化等领域都被大量使用。
变分不等式的核心思想就是使用相应的方法来不断的优化问题，从而得到更加准确的结果。
变分不等式理论在各种领域中的应用已经相对成熟，它可以有效解决优化问题。
近年来，随着计算机科学和数学理论等方面的发展，变分不等式理论在优化问题求解技术也有了更多的发展，其思想在求解一些抽象的优化问题中有着极大的用处。
FY-4A星GIIRS大气温度廓线反演模拟试验研究
FY-4A星GIIRS大气温度廓线反演模拟试验研究鲍艳松;汪自军;陈强;周爱明;董瑶海;闵锦忠【摘要】结合全球大气晴空训练样本(CIMSS)数据,利用辐射传输模式,模拟获得干涉式大气垂直探测仪(GIIRS)亮温资料,结合人工神经网络反演方法,研究了风云四号(FY-4)卫星高光谱红外载荷大气温度反演方法,并研制了全圆盘和中国区域两套大气温度反演模型.反演试验结果表明:对流层大气温度反演精度明显高于平流层,以中国区域反演模型为例,对流层和平流层大气温度反演均方根误差(RMSE)分别为0.846,2.020 K,平均误差分别为-0.003,0.024 K;比较中国区域和全圆盘大气温度廓线反演精度,中国区域大气温度精度明显高于全圆盘,0～70 km处大气温度反演的均方根误差分别为1.922,2.630 K;与欧洲极轨卫星(Metop-A) IASI数据的温度廓线反演结果比较,FY-4A星GIIRS的温度反演精度在低层(>500hPa)(RMSE=0.790 K)优于IASI(RMSE=0.976 K),在高层(<500hPa)(RMSE=1.803 K)低于IASI(RMSE=0.899 K).研究对FY-4卫星GIIRS的大气温度廓线反演及其应用有重要的参考价值.【期刊名称】《上海航天》【年(卷),期】2017(034)004【总页数】10页(P28-37)【关键词】FY-4卫星;干涉式大气垂直探测仪(GIIRS);神经网络;温度廓线;反演;对流层;平流层;中国区域;全圆盘【作者】鲍艳松;汪自军;陈强;周爱明;董瑶海;闵锦忠【作者单位】南京信息工程大学气象灾害预报预警与评估协同创新中心/气象灾害教育部重点实验室/气候与环境变化国际合作联合实验室/中国气象局气溶胶与云降水开放重点实验室,江苏南京210044;南京信息工程大学大气物理学院,江苏南京210044;上海卫星工程研究所,上海201109;上海卫星工程研究所,上海201109;上海卫星工程研究所,上海201109;上海航天技术研究院,上海201009;南京信息工程大学气象灾害预报预警与评估协同创新中心/气象灾害教育部重点实验室/气候与环境变化国际合作联合实验室/中国气象局气溶胶与云降水开放重点实验室,江苏南京210044【正文语种】中文【中图分类】P423大气温度是数值天气预报模式的重要输入数据，对提高数值天气预报精度有重要意义。
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变分理论的一致性 赵建中（云南大学资源、环境与地球科学学院，昆明，650091） 摘要：本文以数学逻辑讨论了弹性力学中的变分理论。
讨论了钱伟长教授提出的变分原理中的变量独立问题。
文章发现，钱教授处理变量独立和变分原理约束问题的高阶拉格朗日乘子理论是不一致的；涉及变量独立问题的罗恩的理论存在着矛盾；对变分原理变量独立的传统理解隐含着矛盾。
在数学逻辑的背景下，变分理论必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统；变量独立性应该逻辑地理解为变量本体性；变分理论形式化是解决变量独立问题的方法。
文章对弹性力学提出两个具有一致性的系统：变分公理系统和变分形式系统 关键词变分理论，变量独立，一致性，形式化，变分公理系统 ， 变分形式系统 中图分类号： O343.2 文献标识码：A 1. 引言广泛运用于数学、物理学和工程学诸多领域的变分法是数学物理方法的一种基本的、重要 的方法。
最小势能原理（Minimum Potential Energy Principle ，以下称MPEP ）是弹性力学中的一个典型的变分原理[1,2]。
胡海昌和鹫井久一郎分别独立地建立了三类变量的变分原理，通称胡海昌-鹫井久一郎原理（以下称 H-W 原理）[3-6]。
1964年, 钱伟长用拉格朗日乘子法推导出H-W 原理 。
何吉欢称，此举“使得推导广义变分原理从盲目走向科学” [7,8]。
1983-1985期间, 钱伟长论证了 H-W 原理有一个约束条件，因而原理中有一类变量不独立，原理等价于两变量的 Hellinger-Reissner 原理( 以下称H-R 原理)[9-13]。
为了解除H-W 原理 的约束，钱提出了高阶拉格朗日乘子法并建立了 ,λG 原理，而且称其为完全的广义变分原理[9-11]。
何吉欢称：“这是变分发展史上的重要里程碑” [7]。
然而，正如本文指出的，在钱的理论中存在着若干矛盾。
罗恩的工作也涉及到变量独立问题。
他事实上认为变分原理中的变量独立是不证自明的或理所当然的[14]。
但是变量独立的问题并没有解决，因为在他的系统中也存在着矛盾。
进一步，我们发现，在鹫井久一郎、钱伟长和罗恩的工作中明示的或隐含的有关变量独立的“传统”的理解隐含着矛盾 [6, 9-11, 14]。
本文提出并讨论了变分理论的一致性问题，指出一致性是对任何数学理论的基本要求，变分理论也不应该例外。
如果变分理论是一个严格的理论，它必须是排除了误解和不确定性的数学逻辑系统。
如果变分理论是一个具有一致性的系统，变量独立性就应该理解为变量本体性，变分理论的形式化是解决变量独立问题的方法。
其后我们对弹性力学的变分学提出了两个具有一致性的变分理论：变分公理系统和变分形式系统。
2.弹性力学的基本方程、变分理论的一致性原理 2.1. 弹性力学的基本微分方程 (a)平衡方程： )()3,2,1(0,τσin i F i j ij ==+ ; (2.1)(b)几何方程（应变-位移关系）： )()3,2,1,(0,)2/1(,)2/1(τin j i u u e i j j i ij ==-- ; (2.2)(c)物理方程（应力-应变关系）： )()3,2,1,(0)(τσin j i e e A ij ij==-∂∂ (2.3a) 或)()3,2,1,(0)(τσσinj i e B ij ij==-∂∂ ; (2.3b)(d)应力边界条件：)()3,2,1(0pi j ij s oni P n ==-σ ; (2.4)(e)位移边界条件：)()3,2,1(0ui i s oni u u ==- . (2.5) 式(2.1)-(2.5) 中应用了爱因斯坦惯例，如 ∑=∂∂=31,j jijjij x σσ ；τ 是弹性体的体积域；p s 是 加载面力 i P 的分片光滑的表面部分；u s 是给定位移 i u 的分片光滑的表面部分； i F 是 体力分量；ij σ, ij e 和 i u 分别为应力、应变和位移分量；)(e A 和 )(σB 分别为物体的势能和余能； j n 是边界面元法矢量的方向余弦。
物体边界 s 由两部分边界p s 和u s 组成,u p s s s += (2.6)2.2. 本文讨论的弹性力学的变分原理（给出泛函）{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰--=∏s ds u P d u F e A pi i i i p ττ)( (即 MPEP) , (2.7){}⎰⎰⎰----=∏ττσd u F u u e e A i i i j j i ij ij HW ],)2/1(,)2/1([)(⎰⎰⎰⎰---s ds u u n s ds u P up i i j ij i i )(σ (2.8)⎰⎰⎰⎰---up S S i i j ij i j ijds u P n ds u n )(σσ, (2.9)⎰⎰⎰⎰---s ds u u n s ds u P up i i j ijii)(σ, (2.10)⎰⎰⎰⎰---upS S i i j ij i j ijds u P n ds u n )(σσ. (2.11)2.3. 本文提出的变分理论的一致性原理当且仅当变分理论的逻辑系统中不存在逻辑矛盾时，该变分理论是一致的。
3. 高阶拉氏乘子理论的不一致性 3.1. 高阶拉氏乘子理论虽然钱伟长的论文中没有声明，但他的逻辑系统事实上包含下面的九个公设，九个定义和九条推导和推理规则：高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的公设P3.1. 泛函由(2.7)-(2.11)式表达的弹性力学变分原理。
.P3.2. 方程 (2.1), (2.2), (2.3a) 或(2.3b), (2.4) 和 (2.5) (本节中表为(2.1-2.5) )。
P3.3. 唯一性定理 [10]：对于某一物理问题而言，只要变量是完备的，变分约束条件已知，或根本没有任何变分约 束条件，则其有关变分原理或广义变分原理的泛函，是唯一地决定的。
P3.4. 变量独立性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，任一变量（ij σ、 ij e 或 i u ） 不能既是独立的又是不独立的。
P3.5. 变量独立性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，每一变量（ij σ、 ij e 或 i u ） 必须是独立的或者是不独立的。
P3.6. 约束性的矛盾律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的任一方程不能既是约束条件又是自然条件。
P3.7. 约束性的排中律：对所讨论的任一变分原理而言，由(2.1-2.5)式表达的每一方程必须是约束条件或是自然条件。
P3.8. 变分原理身份的矛盾律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的任一变分原理不能既是有约束的变分原理又是无约束的、完全的广义变分原理。
P3.9. 变分原理身份的排中律：对所讨论的弹性力学问题(2.1-2.5)而言，由P3.1 指定的每一变分原理必须是有约束的变分原理或是无约束的、完全的广义变分原理。
. 高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的定义D3.1. 对所讨论的变分原理而言，当且仅当变量不受由D3.2 或D3.3定义的任何约束条件的约束时，该变量是独立的变量。
D3.2. 在进行正推理（见D3.5)、逆推理或半逆推理（见D3.6）的过程中，如果必须把一个代数方程或者一个微分方程用代入法代入变分原理或者该变分原理的欧拉方程，该代数方程或者微分方程是该变分原理的约束条件。
D3.3. 任何两个泛函由(2.7)-(2.11)式表达的变分原理，如果该二泛函的和或差等于零，则该二 变分原理等价。
使得该等价关系成立而必须满足的代数方程是变分原理的约束条件。
D3.4. 变分原理的自然条件是变分原理通过正推理（见D3.5）而得到的代数方程或微分方程。
D3.5. 正推理是从变分原理及其约束条件（如果有的话）出发，按照. D3.6. 逆推理是从 (2.1-2.5)式出发, 按照., 按照.D3.7. 约束变分原理是具有至少一个约束条件的变分原理。
D3.8. 广义变分原理是用拉格朗日乘子法解除约束而建立的变分原理。
完全的广义变分原理是用拉氏乘子法 和/或 高阶拉氏乘子法解除了所有约束条件而建立的变分原理。
D3.9. 证明是根据公设P3.1-P3.9和定义D3.1-D3.9 并遵循推导和推理规则 R3.1-R3.9.进行的数学逻辑推理过程。
高阶拉氏乘子理论中明示的或隐含的推导和推理规则R3.1. 变分法基本引理（ Fundamental Lemma of the calculus of variations [1] ）及其推广。
R3.2. 微分学的高斯定理（ Gauss Theorem ）。
R3.3. 弹性力学的剪应力互等定理(ji ij σσ=) 和功能原理 [2]。
R3.4. 代数、微分、积分和变分运算规则。
R3.5. 正推理（见D3.5)中的代入法。
这是一种解除约束的方法。
R3.6. 拉氏乘子法（一阶的和高阶的）。
这是半逆推理（见D3.6)中解除约束的方法。
R3.7. 逆推理或半逆推理（见D3.6)中的代入法。
这是向变分原理引入约束条件的方法。
R3.8. 逆推理（见D3.6)中的权余法（ weighted-residual method ）。
这是给变分原理引入自然条件的方法。
R3.9. 在一个约束条件中，至少有一个变量是受到约束的，因而该变量是不独立的。
在3.2-3.5节中，我们将在高阶拉氏乘子理论的框架内给出一些证明，表明高阶拉氏乘子理论存在着矛盾。
3.2. 有关 P3.3 和 P3.8的矛盾: 根据 D3.3 和R3.6的证明、定理和评述 由 0])()([=-+=∏+∏⎰⎰⎰ττσσd e B e A ijij HW HR (3.1)钱[10]根据 D3.3证明, H-R 原理和H-W 原理等价，它们都有约束条件0)()(=-+ij ij e B e A σσ (3.2)现在，我们遵照R3.6用高阶拉氏乘子法解除H-R 原理的约束，结果建立起H-W 原理 ：⎰⎰⎰-++∏-=∏ττσσλd e B e A ij ij H HR HW ])()([ (3.3)式中 1=H λ .这样，HW ∏是一个完全的广义变分原理。
我们知道，钱用高阶拉氏乘子法建立了完全的广义变分原理'λG ∏[9-11]。
由此可知，存在着两个而不是唯一的完全的广义变分原理的泛函 HW ∏ 和'λG ∏。
因而有定理：定理T3.2.1弹性力学至少存在着两个具有约束条件（3.2）的变分原理的泛函HR ∏ 和 HW ∏ ；至少存在着两个完全的 广义变分原理的泛函 HW ∏ 和'λG ∏。
定理T3.2.2H-W 原理（泛函为HW ∏）既是一个有约束的变分原理，又是一个完全的广义变分原理。