弹性力学广义变分原理
《广义变分原理》第一章
变分原理的定义和分类
举例
例如：
1 p ij eij d f i ui d p i ui dS min S 2
1 约束条件： eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
利用Lagrange乘子构造一个新的泛函：
1 eij (ui , j u j ,i ) 2 ui u i ( ) ( Su )
即为协调律
本构律仍为非泛函的约束条件。
结论：最小余能原理的极值条件反映了物体的 协调律。
第一节
变分描述
小结
小结：
变分描述和求解弹性力学边值问题成
为可能且有效，并可推广到塑性力学和连
续介质力学问题中去。同时也为各种数值
第三节
变分原理的优点
优点
3、能提供近似解
通常以某种积分加权平均形式去近似微分关
系式。
例如：对基本微分方程取逼近方程；对边
界方程采用某中范围内的放松。
4、提供某些问题精确解的上、下限
描述这一过程的定理统称为变分原理。
第二节
变分原理的定义和分类
分类
分类：
1、自然变分原理 (a)物理意义明确（例最小势能原理、最小余 能原理）; (b)约束条件; (c)极值原理。 且对自变函数的连续性和可导性有一定的要求。
2、广义变分原理
(a)某种程度上放松约束的变分原理； (b)驻值原理。
第二节
'
1 p ij (ui. j u j .i ) eij d i (ui u i )dS Stationary S 2
称为新的泛函的广义泛函。
课程论文：弹塑性力学广义变分原理
《弹塑性力学中的广义变分原理》课程论文题目：广义变分原理在结构力学中的应用姓名：***专业：工程力学学号：************老师：***河海大学力学与材料学院2014年4月1日摘要：把一个力学问题用变分法化为求泛函极值的问题，就称为该物理问题的变分原理。
如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。
本文在总结部分课程内容的基础上，运用广义变分原理探讨了结构力学中柱体扭转问题。
关键字：变分法弹性力学变分原理 柱体的扭转问题1 概述变分法的早期思想是Johann Bernoulli 在1696年以公开信的方式提出最速降线命题，并在1697年进行了解决。
关于变分法的一般理论是Euler 于1774年、Lagrange 于1762年共同奠基的，我们称之为Euler-Lagrange 变分原理。
1872年Betti 提出了功的互等定理。
1876年意大利学者Castigor 提出了最小功原理。
德国学者Hellinger 于1914年发表了有关不完全广义变分原理，后来美国学者Reissner 发表了与Hellinger 相类似的工作，此工作被称之为Hellinger-Reissner 变分原理。
我国学者钱令希于1950年发表“余能原理”论文。
我国学者胡海昌于1954年发表了有关广义变分原理的论文，日本学者鹫津久一郎(Washizu)于1955年发表了与有胡海昌相类似的工作，此工作被称之为胡-鹫变分原理。
1956年Biot 建立了热弹性力学变分原理。
1964年钱伟长提出用Lagranger 乘子构造广义 分原理的方法。
1964年Gurtin 提出了线弹性动力学变分原理。
1967年意大利学者Tonti 提出了四类变量的广义变分原理，在这类变分原理中，位移、应变、应力及Beltrami 应力函数都是变分变量。
弹性力学的变分原理
(
f y '
)
0
f
y '
xa 0
f y '
xb 0
( •)
（•）称为自然边界条件
自变函数事先满足旳边界条件称为本质边 界条件。 实例
本章学习要点：建立力学概念
本章包括了非常多旳力学概念，这些概念是有限 元及其他力学分支中普遍用到旳，需对其内涵有 一定了解
公式推导较多、较繁，但
公式旳推导、证明过程了解思绪即可
注意到：
( y) y(x) y(x)
与(*)式比较，可见：
( y) (y)'
即：
（ddyx） ddx（y）
结论：导数旳变分等于变分旳导数，或变分
记号与求导记号能够互换。
三、泛函旳变分
一般情况下，泛函可写为：
b
I a f (x, y, y)dx
1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 旳增 量能够写成
vε vc ijij
对于线弹性体
vε
vc
1 2
ijij
允 许 位 移
允 许 应 变
允 许 应 力
虚 位 移
虚 应 变
虚 应 力
§11-3 广义虚功原理
虚
虚
功
位
应
互
移
力
等
原
原
原
理
理
理
§11-3 广义虚功原理
一、真实位移、真实应力和真实应变
ui 真实位移，满足：
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
j
u
k j ,i
)
uik ui
x V x Su
k ij
变分原理-3_2007
3 弹性静力学变分原理一 、弹性力学平衡问题的基本方程：回顾,0ij j i f σ+= 在域V 内(3.1),,()/2ij i j j i u u ε=+ (3.2) ij ijkl kl c σε= 或 ij ijkl kl s εσ= (3.3a ,b )式中ijkl ijlk jikl klij c c c c ===(3.4)边界条件：在域V 的边界B 上，12B B B =⋃，有i i u u =， 在1B 上(3.5) ij ij i p n p σ==， 在2B 上(3.6)补注1：有限变形应变公式不限于小变形的应变定义依据坐标的选取分两类，一类是以变形前坐标i X 来衡量，称为Lagrange 应变或者Green 应变，另一类则是以变形后坐标i x 来衡量，称为Euler 应变或者Almansi 应变，分别为12j i k k ij j i i j u uu u L X X X X ⎛⎫∂∂∂∂=++⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭12j i k k ij ji i j u u u u E x x x x ⎛⎫∂∂∂∂=+- ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ (s-3.1)补注2：微极弹性理论经典的弹性力学中，从微六面体的平衡出发推导平衡方程时，六面体各面上仅有一合力作用，自然有三个分量。
但我们在研究宏观构件，比如弹性直梁时，其截面上除了一个合力外，尚有一个合力矩（即三个力矩分量）。
也就是说，在经典的弹性理论中，微元体面上的合力矩被忽略了。
如果考虑这一合力矩的影响，我们便得到所谓的Cosserat 理论，相应的介质称为Cosserat 介质。
事实上，第一个考虑合力矩影响的是德国学者W. V oigt ，他于1887年发表论文，发现这一考虑将导致应力张量的非对称性。
E. Cosserat 和F. Cosserat 兄弟俩于1909年完善了Voigt 的工作，特别是提出了物体在变形过程中其每一点不仅有平移变位，而且伴随着转动变位。
弹性力学的广义变分原理
弹性力学的广义变分原理摘要：研究了在弹性力学的三类变量广义变分原理中，变量三个变量是否独立，是否包含了应力应变关系。
指出了在应用广义变分原理时应满足下列条件：泛函中的应变能用应变表示、应变余能用应力表示：在用广义变分原理求实际问题的近似解时。
三类变量的试探函数可以独立选择，但各类变量之间应不违背力学基本关系。
为了解除应力应变关系的变分约束，我们提出了一个高阶拉格朗日乘子法。
用这个高阶拉氏乘子法，我们从胡鹭原理和海赖原理分别导出了前所未知的更普遍的广义变分原理。
我们也证明了在这两类变分原理之间，有等价定理和相关的等价关系存在。
关键词：弹性力学；广义变分原理前言：弹性力学广义变分原理是弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。
1.广义变分原理Ⅰ1.1广义函数及其构造。
弹性力学最小势能原理和弹性力学最小余能原理的推广，其特点是，变分式中各量都可有独立的变分，并且事前不受任何限制。
在弹性力学空间问题中，最一般的广义变分原理可叙述为：弹性力学空间问题的解必须满足弹性体的广义势能变分为零的条件，该条件又称为驻值条件，即方程，包括应变-位移关系，应力-应变关系、平衡方程和边界条件。
上述变分原理的独立变量有位移、应变、应力三类，因此称为三类变量广义变分原理。
它是中国力学家胡海昌于1954年首先提出的，日本的鹫津久一郎于1955年也独立地得到这一原理，所以又称胡-鹫津原理。
弹性力学广义变分原理有一种稍弱的形式，即二类变量广义变分原理，又称为赫林格-瑞斯纳原理。
它由E．赫林格于1914年和E．瑞斯纳于1950年分别独立提出，其数学表达式为：在有限元法和工程弹性理论中，广义变分原理有广泛的应用。
例如，在板壳弯曲的有限元计算中，用它处理变形的不协调性，可得到较好的结果。
对于解决几何非线性问题，胡-鹫津原理是一个有力的工具。
在工程弹性理论中，广义变分原理可用于推导各种近似理论；在弹性振动和稳定理论中，可用于求固有频率和临界载荷，并能获得较好的结果。
弹性力学的变分原理和应用
弹性力学的变分原理和应用1. 弹性力学的基本原理•弹性力学是研究物体在受力后发生形变，但受力取消后又能恢复原状的力学学科。
•弹性力学的基本原理包括胡克定律、平衡条件和应变能最小原理。
1.1 胡克定律•胡克定律是描述弹性体材料内部应力和应变之间关系的基本规律。
•胡克定律表述为应力与应变之间成正比，且比例系数为弹性模量。
•弹性模量是衡量材料弹性性能的物理参数，常见的有杨氏模量、剪切模量等。
1.2 平衡条件•在弹性力学中，物体达到平衡时需要满足平衡条件。
•平衡条件包括力的平衡条件和力矩的平衡条件。
力的平衡条件要求合外力为零，力矩的平衡条件要求合外力矩为零。
1.3 应变能最小原理•应变能最小原理是变分法在弹性力学中的应用。
•应变能是描述物体变形程度的物理量，应变能最小原理认为在给定边界条件下，物体的平衡状态对应的应变能应该是极小值。
2. 弹性力学的变分原理•变分原理是弹性力学中一种重要的数学方法，用于研究力学系统的平衡和稳定性。
•弹性力学的变分原理主要有广义虚功原理和最小势能原理。
2.1 广义虚功原理•广义虚功原理是描述连续介质力学中变形对象平衡状态的数学表述。
•广义虚功原理要求在满足平衡条件的情况下，任意变形状态与原始状态之间的虚功总和等于零。
•广义虚功原理能够推导出弹性力学的基本方程，如平衡方程和边界条件。
2.2 最小势能原理•最小势能原理是应变能最小原理在弹性力学中的具体应用。
•最小势能原理认为在给定边界条件下，力学系统的平衡状态对应的势能应该是极小值。
•最小势能原理可以通过变分法推导出与广义虚功原理等价的弹性力学方程。
3. 弹性力学的应用•弹性力学在工程和科学研究中有广泛的应用，以下列举其中一些应用领域。
3.1 结构力学•弹性力学在结构力学领域中应用广泛，用于探索材料的力学性能和结构的稳定性。
•结构力学涉及材料的弹性性质、刚度、变形和应力分布等问题，借助弹性力学的原理可以进行合理的设计和分析。
3.2 地质力学•地质力学研究地球内部岩石和土壤的力学性质及其变形行为。
第二章：弹性力学基本理论及变分原理
第二章 弹性力学基本理论及变分原理弹性力学是固体力学的一个分支。
它研究弹性体在外力或其他因素（如温度变化）作用下产生的应力、应变和位移，并为各种结构或其构件的强度、刚度和稳定性等的计算提供必要的理论基础和计算方法。
本章将介绍弹性力学的基本方程及有关的变分原理。
§2.1小位移变形弹性力学的基本方程和变分原理在结构数值分析中，经常用到弹性力学中的定解问题及与之等效的变分原理。
现将它们连同相应的矩阵形式的张量表达式综合引述于后，详细推导可参阅有关的书籍。
§2.1.1弹性力学的基本方程的矩阵形式弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量表示，它们的矩阵表示称为应力列阵或应力向量111213141516222324252633343536444546555666x x y y z z xy xy yz yz zx zx D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D D σεσεσετγτγτγ⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎣⎦⎩⎭ (2.1.1) 弹性体在载荷作用下，将产生位移和变形，弹性体内任意一点位移可用3个位移分量表示，它们的矩阵形式为[]T u u v u v w w ⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭(2.1.2)弹性体内任意一点的应变，可由6个应变分量表示，应变的矩阵形式为x y Tz xy z xy yz zx xy yz zx εεεσεεεγγγγγγ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎡⎤==⎨⎬⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭(2.1.3)对于三维问题，弹性力学的基本方程可写成如下形式 1 平衡方程0xy x zx x f x y z τστ∂∂∂+++=∂∂∂ 0xy y zy y f xyzτστ∂∂∂+++=∂∂∂0yz zx zz f x y zττσ∂∂∂+++=∂∂∂ x f 、y f 和z f 为单位体积的体积力在x 、y 、z 方向的分量。
弹性力学的变分原理及其应用pdf
弹性力学的变分原理及其应用弹性力学的基本概念•弹性力学是研究物体在外力作用下产生形变的力学学科。
•弹性力学主要关注物体的弹性变形，即物体在受到外力作用后可以恢复到原始形状的能力。
•弹性力学可以用数学模型来描述物体的变形行为，其中变分原理是一种重要的分析工具。
变分原理的概念•变分原理是数学中的一种重要方法，可以用来求解函数的极值问题。
•在弹性力学中，变分原理是用来求解物体的形变问题的一种方法。
•变分原理通过将弹性力学问题转化为一个变分问题，通过对变分方程进行求解，可以得到物体的形变情况。
弹性力学的变分原理•弹性力学的变分原理基于能量最小化的原理。
•变分原理假设物体的形变状态是能量最小的状态，通过对能量进行变分求解，可以求得物体的形变情况。
•变分原理可以用来推导出弹性力学中的重要方程，如弹性能量密度函数和应力-应变关系等。
变分原理的应用•变分原理在弹性力学中有着广泛的应用。
•变分原理可以用来推导出弹性力学中的基本方程，如胡克定律、拉梅定律和势能函数等。
•变分原理还可以用来求解复杂的边界值问题，如弹性体的静力平衡问题和弹性体的振动问题等。
弹性力学的变分原理应用案例•弹性体的静力平衡问题：通过变分原理可以求解弹性体在给定外力作用下的形变情况，并得到物体的位移场和应力场等信息。
•弹性体的振动问题：通过变分原理可以推导出物体的振动方程，并得到物体的共振频率和振动模态等信息。
•弹性体的材料参数求解：通过变分原理可以推导出物体材料的一些参数，如弹性模量和泊松比等。
总结弹性力学的变分原理是研究物体形变问题的重要方法，并且在弹性力学中有着广泛的应用。
通过对能量的变分求解，可以得到物体的形变情况和应力分布等重要信息。
变分原理不仅可以用来求解弹性体的静态问题，还可以用来求解弹性体的动态问题和材料参数等。
因此，掌握弹性力学的变分原理对于深入理解和应用弹性力学有着重要的意义。
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[ E ( )u]d T (u u )dB
T T B1
在新泛函中, u, ,
, 都是独立的自变函数， 也就是说位移 u 不需要事先满足边界约束条
件（4.1.1）, 位移 u 和应变 之间也不需要满足变形协调条件（4.1.2） 。 新泛函所对应的变分为
B1
R 3 ， R 3 ，
来构造一个新的泛函
*
内 B2 上
* ( , , ) V ( )d [ E (n) ]T udB
B1
[ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
B2
在新泛函中 , , 都是独立的自变函数。新泛函的变分为
B2
最小的问题。注意这里总势能表达式 ( , u) 与最小势能原理中势能 ( u) 的差异。 为了解除最小势能原理中这两个约束条件，引进两个 Lagrange 乘子函数(向量)
( x) R 6 ， ( x) R 3 ，
来构造一个新泛函
内 B1 上
*( , u, , ) U ( )d f T ud pT udB
T T T T T T * 2 E ( ) u E ( )u a f u d
pT udB E (n) udB E (n) (u - u )dB
T T B2 B1 B1
U U ( ) U ( E T ( )u)
用位移表示的应力
T
U ( ) T ( u)
在此条件下，弹性力学的精确解应该使下面的总势能取到最小值
(u) U ( E T ( )u)d f T ud pT udB
B2
这样，由最小势能原理可以得到应力表示的平衡方程和应力边界条件
*
V ( ) d [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T d [ E (n) ]T dB B1 B2
B2
[ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
在恒等式(3.2.1)中取 ， u 得到
( )
T
E T ( ) d [ E (n) ]T dB [ E ( ) ]T d
B
因此
*
B
V ( ) d [ E (n) ]T udB ( )T E T ( ) d B1
内 内 内 B1 上 B1 上 B2 上
E ( n) 0 ，
u-u 0，
E ( n) p 0 ，
由此得到 Lagrange 乘子 满足
T ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Lagrange 乘子 为
U ( ) ， U ( )
T
内
E ( n) E ( n)
T T [ E (n) p]T udB (u - u ) [ E (n) ] u dB B2 B1
由 * 0 可以得到
U ( ) T 0 ， E ( ) f 0 ， ε E T ( )u 0 ，
B2 B1
U ( ) T E (n)(u - u )dB
(4.1.3)
U ( ) T A U ( ) A 对于线弹性体有 , ,从而
1 2 T T T T T 1 * 2 2 A d f ud AE ( ) ud
E ( ) f 0 E (n) p
内 B2 上
(2) 自变函数为位移 u 和应变 ，但把式(4.1.1) 、(4.1.2) 看成约束条件。这样，把原问题 视为在约束条件(4.1.1) 、(4.1.2) 下，使得下列总势能
( u) U ( )d f T ud pT udB
T B2 B1 B1
在恒等式(3.2.1)中取 A ， u u 得到
T
AE T ( ) ud [ E (n) A ]T udB [ E ( ) A ]T ud
B T
因此有
T * 2 E ( ) u A d E ( ) A f ud
在恒等式（3.2.1）中取 ， u u 得到
T
E T ( ) ud [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T ud
B
因此有
T T T T T * 2 [ E ( ) ] u E ( )u a f u d
pT (u - u )dB [ E (n) p]T udB
B1 B2
令
* 0 2 ,根据变分引理得到 a E T ( )u E ( ) f 0 u=u E (n) p 内 内 B1 上 B2 上
也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件，再结合本构关系，就是弹性力 学的所有方程。
(4.1.5)
这是关于位移和应力(包括边界 B1 上的约束力 p )的两类变量广义势能泛函。上述泛函称为 Hellinger-Reissner 泛函，是 Hellinger 和 Reissner 分别于 1953 年和 1954 年提出来。 用位移和应力表示两类变量的广义势能原理（Hellinger-Reissner 两类变量广义变分原 理） 弹性力学的精确解，应使上述广义势能的泛函（4.1.5）取驻值。 下面我们分析一下从该变分原理中能得到什么
T
p udB E (n) A udB (u - u ) E (n) A dB
T T B2 B1 B1
[ E (n) A ]T udB
B T E ( )u A d E ( ) A f ud T T
学的所有方程。
内 内 B1 上 B2 上
也就是说得到的是变形协调条件、平衡方程和所有边界条件。再加上本构关系，就是弹性力
U ( ) A 如果用应力 来替换泛函(5.1.4)中的自变函数 ( a )，得到
* (u, ) 2
(u - u ) E (n) A dB [ E (n) A p]T udB
B1 B2
U ( ) T ( A )T * 0 2 令 ,根据变分引理得到(用应变表示的应力 )
E T ( )u
E ( ) A f E ( ) f 0 u=u E (n) A E (n) p
B1 B
T (u u )dB T udB [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T ud U ( ) T T E ( ) f u T [ E T ( )u] d
第 4 章 弹性力学广义变分原理
4.1 两类变量的广义势能原理
根据前面的介绍,对于最小势能原理,我们可以有以下两种理解: (1) 自变函数为位移 u 。要求 u 事先满足位移边界条件
u= u， ε E T ( )u ，
这样可得到用位移表示的应变能密度函数
B1 上 内
(4.1.1)
同时要求 u 具有足够的连续（可微）性，从而可以由下式求得应变 (4.1.2)
B2
[ E (n) ]T dB [ E (n) ]T dB [ E ( ) f ]T d [ E (n) p]T dB
在恒等式(3.2.1)中取 ， u u 得到
T
E T ( ) ud [ E (n) ]T udB [ E ( ) ]T ud
B
因此有
*
B1
U ( ) f T u T [ E T ( )u] T d pT udB B2
1 2 T
T
T
a d f T ud T [a E T ( )u]d
T
p udB E (n) (u - u )dB
B2 B1 T T T T T 1 E ( )u 2 a f u d p udB E (n) (u - u )dB T B2 B1
p udB E (n) A (u - u )dB
T T B2 B1
(4.1.4)
这是关于位移和应变（两类变量）的广义势能（泛函） 。 在该泛函中位移和应变是独立的自 变函数, 不需要满足位移的边界条件和变形协调条件， 从而使得与变分原理相对应的数值计 算在处理某些特殊问题的时候变得更加简单，更加有效。 两类变量的广义势能原理(位移和应变) 弹性力学的精确解应该使得广义势能
广义势能为
B1 上
得到 Lagrange 乘子函数后, 把它们再代入新泛函的表达式中,得到两类变量(位移和应变)的
2 ( u) U ( )d f T ud
U ( ) [ E T ( )u]d
pT udB
*
B2
U ( ) f T u T [ E T ( )u] T [ E T ( ) u] d
B1 B1
pT udB T (u u )dB T udB
* 2（
2
）的泛函取驻值。 下面我们分析一下从该变分原理中能得到什么？计算
T T T T * 2 E ( ) u A d AE ( ) f ud T
pT udB E (n) A udB (u - u )T E (n) A dB