2016届(理科数学)二轮复习课件_专题七_解析几何_第3讲_圆锥曲线中的定点、定值与最值问题
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高三数学二轮复习 圆锥曲线方程及几何性质 课件 (全国通用)
3 (ii)当 λ≠ 时，方程变形 4
x2 y2 ＋ ＝1， 112 112 16λ2－9 16λ2
. － 4 ， 4 其中 x∈ 3 当 0<λ< 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 y 4 轴上的双曲线满足－4≤x≤4 的部分． 3 当 <λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x 4 轴上的椭圆满足－4≤x≤4 的部分． 当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点、焦点在 x 轴上的椭圆．
x2 y2 【解析】(Ⅰ)设椭圆的方程为 2＋ 2＝1a>b>0，半焦 a b a－c＝1 距为 c，则由已知得 ，解得 a＝4，c＝3， a＋c＝7 则 b2＝a2－c2＝7， x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 ＋ ＝1. 16 7 |OP|2 2 (Ⅱ)设 M(x，y)，其中 x∈[－4，4]．由已知 2 ＝λ |OM| 9x2＋112 及点 P 在椭圆 C 上可得 ＝λ2， 2 2 16（x ＋y ） 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中 x∈[－4，4]． 3 (i)当 λ＝ 时，化简得 9y2＝112，所以点 M 的轨迹方 4 4 7 程为 y＝± (－4≤x≤4)，轨迹是两条平行于 x 轴的线 3 段．
【分析】1.解决本题的关键是利用好点 P，M 坐标之 |OP| 间的关系和几何条件 ＝λ，在分析这个关系时注意根 |OM| 据|OP|，|OM|是点 P，M 到坐标原点的距离，对几何条件 OP 便于利用点 P 在椭圆上的条件， ＝λ 的两端进行平方， OM 这样就建立了关于点 M 坐标之间的一个方程，化简整理 就可得出点 M 的轨迹方程．在解答数学试题时，对题目 中的已知条件进行有目的的变换是解决问题的重要技巧 之一．
2020版高考数学二轮复习解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题第1课时圆锥曲线中的定值、定点、证明问题课件
解答题的热点题型有： (1)直线与圆锥曲线位置关系；(2)圆锥曲线中定点、定 值、最值及范围的求解；(3)圆锥曲线中的判断(与证明)及探究 问题．
第1课时 圆锥曲线中的定值、定点、证明问题
考点一 圆锥曲线中的几何证明问题
[例1]
(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：
x2 2
＋y2＝1的右焦点为
F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
直线的方程、 直线与抛物线 的位置关系、 圆的方程·T20
直线与椭圆的位 置关系、证明问 题·T20
2017
直线与抛物线的 位置关系、导数 的几何意义·T20
点 的 轨 迹 方 程 、两 直 线 垂 直 的 条
椭圆方程、向 件、直线与圆的
量 的 数 量 积 位置关系、直线
等·T20
方程·T20
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板 块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查 直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 过点(4，－2)，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，l 不经
过点 M，证明：直线 MA 的斜率与直线 MB 的斜率之和为定值．
[解]
e＝ac＝ 23， (1)由题意可得|b＋2 4|＝3，
解得ab＝＝42，，所以椭圆
a2＝b2＋c2，
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1< 2，x2< 2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2. 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝2kx（1xx2－1－3k2（ ）（ x1＋x2x－2）2）＋4k. 将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
第1课时 圆锥曲线中的定值、定点、证明问题
考点一 圆锥曲线中的几何证明问题
[例1]
(2018·全国卷Ⅰ)设椭圆C：
x2 2
＋y2＝1的右焦点为
F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)．
直线的方程、 直线与抛物线 的位置关系、 圆的方程·T20
直线与椭圆的位 置关系、证明问 题·T20
2017
直线与抛物线的 位置关系、导数 的几何意义·T20
点 的 轨 迹 方 程 、两 直 线 垂 直 的 条
椭圆方程、向 件、直线与圆的
量 的 数 量 积 位置关系、直线
等·T20
方程·T20
解析几何是数形结合的典范，是高中数学的主要知识板 块，是高考考查的重点知识之一，在解答题中一般会综合考查 直线、圆、圆锥曲线等．试题难度较大，多以压轴题出现．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设直线 l 过点(4，－2)，且与椭圆 C 相交于 A，B 两点，l 不经
过点 M，证明：直线 MA 的斜率与直线 MB 的斜率之和为定值．
[解]
e＝ac＝ 23， (1)由题意可得|b＋2 4|＝3，
解得ab＝＝42，，所以椭圆
a2＝b2＋c2，
(2)证明：当l与x轴重合时，∠OMA＝∠OMB＝0°. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA＝∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1< 2，x2< 2，直线MA，MB的斜率之和为kMA＋kMB＝x1y－1 2＋x2y－2 2. 由y1＝kx1－k，y2＝kx2－k，得kMA＋kMB＝2kx（1xx2－1－3k2（ ）（ x1＋x2x－2）2）＋4k. 将y＝k(x－1)代入x22＋y2＝1，得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
高考二轮复习圆锥曲线专题(共88张PPT)
xR＝m＋2
m2＋3
3
.
所以||PPQR||＝xxQR＝22
11＋＋mm3322－＋11＝1＋2
2 1＋m32－1.
基础知识
题型分类 第18页，共88页。 思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
此时 1＋m32>1，且 1＋m32≠2，
所以 1<1＋ 2
1＋2 m32－1<3，且
1＋ 2
1＋2 m32－1≠53，
【例 2】 已知椭圆 C 经过点 A1，32， 两个焦点为(－1,0)、(1,0)． (1)求椭圆 C 的方程；
思维启迪
解析
探究提高
可设直线 AE 的斜率来计算直线 EF 的斜率，通过推理计算消参．
(2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点，
如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率
互为相反数，证明直线 EF 的斜率
圆锥曲线中的探索性问题
难圆点锥正 曲本线P中1的(疑x函点1数清，思源想y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|
圆锥曲线中的探索性问题
1＋k |x －x | ＝ 圆数直锥学线曲 和线圆R 中锥A（的曲文探线）索问性题问解题法的2一般1规律
2
圆锥曲线中的范围、最值问题
1 圆锥曲线中的范围、最值问题
p y0.
2.“点差法”的常见题型
求中点弦方程、求(过 定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问 题．必须提醒的是 “点差法”具有不等 价性，即要考虑判别 式 Δ>0 是否成立．
基础知识
题型分类 第6页，共88页。 思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
基础自测
题号
1 2 3 4
答案
数学二轮复习教案：第一部分 专题五 解析几何 第三讲 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题
第三讲圆锥曲线的综合应用第二课时圆锥曲线的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点问题［方法结论]定点的探索与证明问题（1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b,k等量关系进行消元，借助于直线系方程找出定点；（2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况．[典例］（2017·洛阳模拟)设椭圆E：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的右焦点为F,右顶点为A,B,C是椭圆上关于原点对称的两点（B，C均不在x轴上）,线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．（1）求椭圆E的离心率；(2）设F(1,0），过F的直线l交E于M，N两点，直线MA,NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.解析：(1)法一：由已知A（a,0），F（c,0)，设B(x0，y0)，C（－x0－y0)，则D（错误!,－错误!）,∵B，F，D三点共线，∴错误!∥错误!，又错误!＝(c－x0，－y0)，错误!＝(错误!，－错误!），∴－错误!y0（c－x0)＝－y0·错误!,∴a＝3c,从而e＝错误!。
法二:设直线BF交AC于D,连接OD，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD綊错误!AB，∴错误!∥错误!，∴△OFD∽△AFB.∴错误!＝错误!，解得a＝3c,从而e＝错误!。
（2）∵F的坐标为(1，0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8。
∴椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1。
设直线l的方程为x＝ny＋1，（n≠0）由错误!⇒（8n2＋9)y2＋16ny－64＝0,∴y1＋y2＝－16n8n2＋9，y1y2＝错误!，其中M（ny1＋1，y1),N（ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为错误!＝错误!,∴P(9，错误!），同理Q（9，错误!)，从而错误!·错误!＝（8，错误!)·(8，错误!）＝64＋错误!＝64＋错误!＝64＋错误!＝0。
∴FP⊥FQ,即以PQ为直径的圆恒过点F.［类题通法］定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明,求解的方法常见的有如下两种：（1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；(2）曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关．[演练冲关］（2017·高考全国卷Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:错误!＋y2＝1上,过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足错误!＝错误!错误!.（1）求点P的轨迹方程；（2)设点Q在直线x＝－3上，且错误!·错误!＝1,证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1）设P（x,y）,M(x0，y0)，则N(x0，0），错误!＝（x－x0,y)，错误!＝（0,y0），由错误!＝错误!错误!得x0＝x，y0＝错误!y.因为M(x0,y0)在C上，所以错误!＋错误!＝1。
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
圆锥曲线课件
标准方程：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 (a > 0, b > 0)
1. 范围：双曲线在x轴上的范围是[±a, ±∞]，在y轴上 的范围是[0, b]。
3. 渐近线：双曲线有两条渐近线，斜率分别为y=±b/a 。
抛物线
定义：抛物线是指由平面内 与一个固定点F和一条直线l
的距离相等的点的轨迹。
极坐标系的基本概念
01
极坐标系是平面坐标系的一种形式，由极点、极轴和极径等构
成。
圆锥曲线在极坐标系中的表示
02
将圆锥曲线置于极坐标系中，探究其在极坐标系中的形式及其
性质。
极坐标与直角坐标的转换
03
掌握极坐标与直角坐标的转换公式，能够将极坐标方程转化为
直角坐标方程。
圆锥曲线在实际问题中的优化方案
实际问题的数学建模
折射定律
折射定律也是光学原理中的重要内容之一，它描述了 光线在不同介质之间传播时的偏转规律。在一些复杂 的光学系统中，如望远镜、显微镜等，需要对多个曲 面进行精确的设计和加工，而这些曲面常常是按照圆 锥曲线的形状进行设计和加工的。通过对这些曲面的 精确设计和加工，我们可以更好地控制光线的折射方 向和强度，从而制造出更好的光学器材和设备。
计算坐标
根据圆锥曲线的方程，计算出各个点的坐标 。
确定圆锥曲线的形状和大小
根据圆锥曲线的性质和特点，确定形状和大 小，选择合适的参数。
绘制图形
使用绘图软件或手绘，根据计算出的坐标绘 制圆锥曲线。
焦点半径法
01
02
03
确定焦点
根据圆锥曲线的类型和方 程，确定焦点位置。
计算半径
根据圆锥曲线的方程和焦 点的位置，计算出曲线的 半径。
高考理科数学二轮新考势课件圆锥曲线
例题3
已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，且过点P(3,1)。若直线l:y=kx+m与双曲线C交 于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为(2,2)，求k的取值范围；若直线l与x轴、y轴分 别交于D、G两点，且△EFG的面积为6，求m的取值范围。
04
圆锥曲线中最值范围问题
利用函数性质求最值
01 02
直线与椭圆相交
当直线与椭圆有两个交点时，直线与椭圆相交。此时，可以通过联立直 线和椭圆的方程，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一元 二次方程，进而求解交点坐标。
直线与椭圆相切
当直线与椭圆有且仅有一个交点时，直线与椭圆相切。此时，联立直线 和椭圆的方程后得到的一元二次方程有且仅有一个根，即判别式为零。
通过观察圆锥曲线的图像特征，可以发现一些数列求和的规律，如等比数列的前n项和公式可以利用指数 函数的图像特征进行推导等。
谢谢您的聆听
THANKS
应用场景
弦长公式在解决圆锥曲线中的最值问题、中点弦问题以及存在性探索问题等方面有着广泛的应用。通过灵活运用 弦长公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
03
圆锥曲线中定点定值问题
定点问题求解策略
01
02
03
引入参数法
通过引入参数，将动点的 坐标表示为参数的函数， 进而通过消参或参数取值 范围确定定点。
利用圆锥曲线的性质进行证明
圆锥曲线具有许多独特的性质，如对称性、焦点性质、准 线性质等，这些性质在几何证明中具有重要的应用价值。
圆锥曲线在不等式证明中应用
利用圆锥曲线的单调性进行证明
通过圆锥曲线的单调性，可以推导出一些不等式关系，如椭圆上任意一点到两焦点的距 离之和大于等于长轴长等。
已知双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，且过点P(3,1)。若直线l:y=kx+m与双曲线C交 于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为(2,2)，求k的取值范围；若直线l与x轴、y轴分 别交于D、G两点，且△EFG的面积为6，求m的取值范围。
04
圆锥曲线中最值范围问题
利用函数性质求最值
01 02
直线与椭圆相交
当直线与椭圆有两个交点时，直线与椭圆相交。此时，可以通过联立直 线和椭圆的方程，消去一个未知数，得到一个关于另一个未知数的一元 二次方程，进而求解交点坐标。
直线与椭圆相切
当直线与椭圆有且仅有一个交点时，直线与椭圆相切。此时，联立直线 和椭圆的方程后得到的一元二次方程有且仅有一个根，即判别式为零。
通过观察圆锥曲线的图像特征，可以发现一些数列求和的规律，如等比数列的前n项和公式可以利用指数 函数的图像特征进行推导等。
谢谢您的聆听
THANKS
应用场景
弦长公式在解决圆锥曲线中的最值问题、中点弦问题以及存在性探索问题等方面有着广泛的应用。通过灵活运用 弦长公式，可以简化计算过程，提高解题效率。
03
圆锥曲线中定点定值问题
定点问题求解策略
01
02
03
引入参数法
通过引入参数，将动点的 坐标表示为参数的函数， 进而通过消参或参数取值 范围确定定点。
利用圆锥曲线的性质进行证明
圆锥曲线具有许多独特的性质，如对称性、焦点性质、准 线性质等，这些性质在几何证明中具有重要的应用价值。
圆锥曲线在不等式证明中应用
利用圆锥曲线的单调性进行证明
通过圆锥曲线的单调性，可以推导出一些不等式关系，如椭圆上任意一点到两焦点的距 离之和大于等于长轴长等。
圆锥曲线复习课课件
函数思想法
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
将问题转化为函数问题，利用函数的性质和图像，求解相关 问题。
05
圆锥曲线的问题与挑战
圆锥曲线中的难题与挑战
圆锥曲线中的复杂计算
圆锥曲线问题往往涉及大量的计算和复杂的数学公式，需要学生 具备较高的数学计算能力和逻辑思维能力。
圆锥曲线中的抽象概念
圆锥曲线问题常常涉及到抽象的概念和性质，需要学生具备较好的 数学基础和空间想象力。
利用圆锥曲线的参数方程，将问 题转化为参数的取值范围或最值 问题，简化计算。
圆锥曲线的特殊解题方法
焦点三角形法
利用圆锥曲线的焦点三角形，结合正 弦定理、余弦定理等，求解相关问题 。
切线法
通过圆锥曲线的切线性质，结合导数 和切线斜率，求解相关问题。
圆锥曲线的综合解题方法
数形结合法
将几何性质与代数表达式相结合，通过数形结合的方法，直 观地解决问题。
作用。
光线的弯曲程度与圆锥曲线的离 心率有关，离心率越大，光线弯
曲程度越明显。
圆锥曲线的对称性质
圆锥曲线具有对称性，包括中 心对称、轴对称和面对称等。
圆具有中心对称和轴对称，椭 圆和双曲线只有中心对称，抛 物线只有轴对称。
对称性是圆锥曲线的一个重要 性质，在解决几何问题时具有 广泛应用。
03
圆锥曲线的应用
路，提高解题能力。
培养数学思维
学生应注重培养数学思维，提高 逻辑推理能力和空间想象力，以
便更好地解决圆锥曲线问题。
如何进一步深化对圆锥曲线的研究
研究圆锥曲线的性质
01
学生可以进一步研究圆锥曲线的性质和特点，探索其内在规律
和数学之美。
探索圆锥曲线与其他数学领域的联系
02
学生可以探索圆锥曲线与其他数学领域之间的联系，例如与代
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(1)求椭圆C1的方程; (2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.
b 1, 解:(1)由题意得 a 2.
x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 +y =1. 4
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0). 由题意知直线 l1 的斜率存在,不妨设其为 k, 则直线 l1 的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4, 故点 O 到直线 l1 的距离 d=
a 2 k b2k b2 a 2k 2
2
d=
b a k
2 2
2
1 k
整理得 d=
a 2 b2 b2 a 2 a 2k 2 b k2
2
,
b2 2 2 因为 a k + 2 ≥2ab, 所以 k
a 2 b2 b b a a k 2 k
2 2 2 2 2
≤
a 2 b2 b a 2ab
2 2 2 2
a2km b2 m 解得点 P 的坐标为 2 . , 2 2 2 2 2 b a k b a k
a 2k b2 , 又点 P 在第一象限,故点 P 的坐标为 2 2 2 b2 a 2k 2 b a k .
(2)由于直线 l1 过原点 O 且与 l 垂直,故直线 l1 的方程为 x+ky=0,所以点 P 到直线 l1 的距离
感悟备考
圆锥曲线中的定点、定值与最值问题是高考的热点问题,常为压轴
题,题目难度大,综合性强.其中定点问题主要是以直线、圆锥曲线 为载体,结合其他条件探究直线或曲线过定点.定值问题则是以直线 与圆锥曲线的位置关系结合一元二次方程、函数、数列等知识形成 交汇问题.而最值问题多以直线与圆锥曲线为背景,通过与解析式的 求法、函数最值、不等式等知识交汇考查求解最值的技巧与方法. 在备考时,应抓住这三类问题的解题思路,细致分析已知条件,进行 转化化归,提高运算能力.
第3讲 圆锥曲线中的定点、定值与
最值问题
高考导航 热点透析 思想方法 阅卷评析
高考导航
高考体验
研真题
明备考
x2 y 2 1.(2014 高考浙江卷,理 21)如图,设椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0),动直线 l 与 a b
椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限.
(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
2 2
=a-b,
当且仅当 k2=
b 时等号成立. a
所以,点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a-b.
x2 y 2 2.(2013 高考浙江卷,理 21)如图,点 P(0,-1)是椭圆 C1: 2 + 2 =1(a>b>0) a b
的一个顶点,C1 的长轴是圆 C2:x2+y2=4 的直径.l1,l2 是过点 P 且互相垂直的 两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一点 D.
y k x 12 8, 由 2 y 4 x,
得 ky2-4y+32-48k=0,
设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2= 又 y1+y2=k(x1+x2-24)+16, ∴x1+x2=
4 16 - +24, 2 k k
4 , k
2 2 8 ∴点 G 的坐标为 2 12, . k k k
k 2 [x-(2k -8k+12)], 2 k 4k 1
k (x-10). 2 k 4k 1
3 (1)解:∵ ON = OM ,点 M 的坐标为(12,8),可得点 N 的坐标为(9,6), 4
∴62=18p,∴p=2, 所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.
(2)证明:由条件可知,直线 l1 的斜率存在且不为 0, 设 l1:y=k(x-12)+8,
1 则 l2 的方程为 y= (x-12)+8, k
热点透析
热点一 定点、定值问题
突典例
熟规律
【例 1】 (2014 浙江金华十校高三模拟)已知抛物线 C:y2=2px(p>0),M 点
3 的坐标为(12,8),N 点在抛物线 C 上,且满足 ON = OM ,O 为坐标原点. 4
(1)求抛物线C的方程;
(2)以M点为起点的任意两条射线l1,l2的斜率乘积为1,并且l1与抛物线 C交于A、B两点,l2与抛物线C交于D、E两点,线段AB、DE的中点分别为G、 H.求证:直线GH过定点,并求出定点坐标.
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.
解:(1)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0),
y kx m, 由 x2 y 2 消去 y 得 2 2 1, b a
(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0. 由于 l 与 C 只有一个公共点, 故Δ=0, 即 b -m +a k =0,
8 k2 1 所以|PD|= . 2 4k
设△ABD 的面积为 S,
1 8 4k 2 3 则 S= |AB|·|PD|= , 2 2 4k
所以 S=
32 4k 2 3 13 4k 3
2
ห้องสมุดไป่ตู้
≤
2
2
32 4k 3 13 4k 2 3
=
16 13 , 13
当且仅当 k=±
10 10 时取等号.所以所求直线 l1 的方程为 y=± x-1. 2 2
1 k 1
2
,
4k 2 3 所以|AB|=2 4 d =2 . 2 k 1
2
又 l2⊥l1, 故直线 l2 的方程为 x+ky+k=0.
8k x ky k 0, 2 2 由 2 消去 y,整理得(4+k )x +8kx=0, 故 x0=, 2 2 4k x 4 y 4
用
1 代替 k,得到点 H 坐标为(2k2-8k+12,2k), k
1 2 k k 1 k ∴kGH= = = 2 1 8 2 1 k 4k 1 2 k 2 8k k 4 k k k
∴lGH:y-2k= 即 y=