根据梯形的中位线知识、方法总结
梯形的中位线
梯形中位线一、教学目标1、理解梯形中位线的定义，会证明梯形中位线定理。
2、会利用梯形中位线定理解决一些四边形的计算问题和证明问题。
3、培养学生的语言概括表达能力、推理论证能力，学会用运动变化的思想研究问题。
二、教学重点和难点1、教学重点：梯形中位线的概念和性质。
2、教学难点：梯形中位线定理的证明和灵活应用。
三、教学方法多媒体四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、直尺、量角器六、教学步骤【导入新课】请同学们回忆上节课我们研究的三角形的中位线及其性质，我们了解到三角形中位线这条特殊的线段非常的有用，这节课我们共同研究梯形中一类似的线段——梯形的中位线。
梯形的中位线有什么性质呢？是否也平行于它的上、下底边呢？它的长度与上、下底的长度有什么关系呢？出示教学目标，让学生明白本节课的目标。
【新知探究】1、明晰概念梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线，梯形的中位线有且只有一条。
注意：梯形的中位线是连结“两腰”中点而不是连结“两底”或“腰、底”中点的线段，梯形的中位线只有一条。
2、大胆猜想、合理论证提出问题梯形的中位线与底边的位置关系如何？梯形的中位线与两底之间存在怎样的数量关系？学生活动：请同学们测量出∠AEF与∠B的度数，并测量出线段AD、EF、BC的长度，试猜测出EF与AD、BC之间存在什么样的关系？根据测量可猜想：1、梯形的中位线平行于两底；2、梯形中位线的长度等于两底和的一半。
对于以上猜想，你能用所学的知识进行严格的推理吗？（提示：和我们以前研究任何新课题一样，把一个未知问题化归为几个已知问题，通过已知来解决。
因此，在研究梯形中位线时，应尽可能的利用我们已经熟悉的三角形中位线定理。
）已知：如图所示，在梯形ABCD中，。
求证：。
分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得.说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使，这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从而证出定理结论。
梯形的中位线
梯形的中位线一、教学目标1．掌握梯形中位线的概念和梯形中位线定理2．掌握定理“过梯形一腰中点且平行底的直线平分另一腰”3．能够应用梯形中位线概念及定理进行有关的论证和计算，进一步提高学生的计算能力和分析能力4．通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力5. 通过一题多解，培养学生对数学的兴趣二、教学设计引导分析、类比探索，讨论式三、重点和难点1．教学重点：梯形中位线性质及不规则的多边形面积的计算．2．教学难点：梯形中位线定理的证明．四、课时安排1课时五、教具学具准备投影仪、胶片，常用画图工具六、教学步骤【复习提问】1．什么叫三角形的中位线？它与三角形中线有什么区别？三角形中位线又有什么性质（叙述定理）．2．叙述平行线等分线段定理及推论1、推论2（学生叙述，教师画草图，如图所示，结合图形复习）.（由线段EF引入梯形中位线定义）【引入新课】梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.现在我们来研究梯形中位线有什么性质.如图所示：EF是的中位线，引导学生回答下列问题：（1）EF与BC有什么关系？（）（2）如果，那么DF与FC，AD与GC是否相等？为什么？（3）EF与AD、BG有何关系？，教师用彩色粉笔描出梯形ABGD，则EF为梯形ABGD 的中位线.由此得出梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.现在我们来证明这个定理（结合上面提出的问题，让学生计论证明方法，教师总结）.已知：如图所示，在梯形ABCD中， .求证： .分析：把EF转化为三角形中位线，然后利用三角形中位线定理即可证得.说明：延长BC到E，使，或连结AN并延长AN到E，使，这两种方法都需证三点共线（A、N、E或B、C、E）较麻烦，所以可连结AN并延长，交BC线于点E，这样只需证即可得，从而证出定理结论.证明：连结AN并交BC延长线于点E.又，∴MN是中位线.∴（三角形中位线定理）.复习小学学过的梯形面积公式 .（其中a、b表示两底，h表示高）因为梯形中位线所以有下面公式：例题：如图所示，有一块四边形的地ABCD，测得，顶点B、C到AD的距离分别为10m、4m，求这块地的面积.分析：这是一个不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积.说明：在几何有关计算中，常常需要用代数知识，如列方程求未知量；在列方程时又需要根据几何中的定理，提醒学生注意数形结合这种解决问题的方法．【小结】以回答问题的方式让学生总结）（1）什么叫梯形中位线？梯形有几条中位线？（2）梯形中位线有什么性质？（3）梯形中位线定理的特点是什么？（同一个题没下有两个结论，一是中位线与底的位置关系；二是中位线与底的数量关系）．（4）怎样计算梯形面积？怎样计算任意多边形面积？（用投影仪）学过梯形、三角形中位线概念后，可以把平行线等分线段定理的两个推论，分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．七、布置作业教材P188中8、P189中10、11．B组2（选做）。
22.6(2)梯形的中位线
已知：梯形ABCD，AD∥BC， A EF是中位线
求证：EF∥AD ∥BC ， 1 EF ( AD BC ) 2
E
D
F
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C
梯形面积公式：梯形面积＝中位线×高
例题解析 1 1.如图：一把梯子每一横档 A 都互相平行，高度相等,已 C 知最上面两条横档的长度 E 分别为6，7；那么下面几 根横档的长度分别为多少？G
1. 什么样的四边形叫梯形?直角梯 形?等腰梯形？ 2. 等腰梯形有哪些性质？
3.等腰梯形有那些判定方法?
4．什么叫做三角形的中位线？三角形 的中位线有什么性质？
思考 什么是梯形的中位线？梯形中位线有什 么性质？
概念辨析 梯形中位线定义：联结梯形两腰的中点的 线段,叫做梯形的中位线.
A D F
K B D F
H
L
例题解析 2 2.如图：梯形ABCD中,AD//BC, E 为AB的中点， AD+BC=DC； 求证：DE⊥EC.
A
D
E B C
巩固练习 1.联结三角形各边中点得到的三角形， 它的周长为原三角形周长的____ 面积为 原三角形面积的____ 2.三角形的一条中位线分原三角形所成的 一个小三角形与一个梯 形的面积比_____
巩固练习 3.以等腰梯形两底的中点及两对角线的 中点为顶点的四边形是________ 4.顺次联结对角线互相垂直的四边形各边 中点所成的四边形是______
课堂小结
三角形中位线的定义、性质 梯形中位线的定义、性质 如何利用中点条件添加辅助线？ 梯形面积公式
布置作业
练习册 22.6(2)
习题 22.6(2)
如果点E,F分别是梯形 的腰AB，CD的中点， 那么EF为梯形ABCD的 中位线 .
第12讲梯形及中位线(讲义)解析版
第12讲梯形及中位线本章节主要讲述了两部分内容，梯形和中位线，从直角梯形和等腰梯形的性质出发，求解相关的边与角的关系，在求解的过程中，部分题目需要添加辅助线．中位线主要包括两个方面，三角形和梯形，在解题的过程中，要做到灵活应用．模块一：梯形及等腰梯形知识精讲一、梯形及梯形的有关概念（1）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．底：平行的两边叫做底，其中较长的是下底，较短的叫上底．腰：不平行的两边叫做腰．高：梯形两底之间的距离叫做高．（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．特殊梯形等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．思考讨论：若上面两个条件同时成立是否是梯形?交流：如果同时具备直角梯形和等腰梯形的特征，那么该图形是矩形．【等腰梯形性质】等腰梯形性质定理1等腰梯形在同一底上的两个内角相等．等腰梯形性质定理2等腰梯形的两条对角线相等．另外：等腰梯形是轴对称图形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．等腰梯形判定定理2对角线相等的梯形是等腰梯形．例题解析例1．（2019·上海八年级课时练习）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝30°，∠BCD＝60°，AD＝2，AC平分∠BCD，则BC长为( )．A．4 B．6 C．4√3D．3√3【答案】B【分析】过点A作AE∥DC，可判断出△ABE是直角三角形，四边形ADCE是菱形，从而求出CE、BE即可得出BC的长度．【详解】过点A作AE∥DC，∵AD∥BC，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵AC平分∠BCD，∴∠DAC=∠ACE=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ADCE是菱形，∴CE=AD=AE=2，∵AE∥CD，∴∠AEB=∠BCD=60°，又∵∠B=30°，∴∠BAE=90°，∴BE=2AE=4，∴BC=BE+CE=6.故答案为：6.【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形和梯形.例2．（2018·上海市清流中学八年级月考）若等腰梯形两底角为30°，腰长为8，高和上底相等，则梯形中位线长为（）A．B．10 C．4D．【答案】C【分析】分析题意画出图形，则DE=CD=CF，AD=8，∠A=30°，由DE⊥AB，∠A=30°，AD=8，即可得出DE=4，进而求出CD的长度；运用勾股定理得出AE和BF的长度，易证四边形CDEF是平行四边形，得出EF的长度，进而得出AB+CD的长度，由梯形中位线的性质，即可解答本题.【详解】根据题意画出图形，则DE=CD=CF ，AD=8，∠A=30°.因为DE ⊥AB ，∠A=30°，AD=8， 所以DE=12AD=4，所以CD=4，因为DE ⊥AB ，CF ⊥AB ， 所以DE ∥CF. 因为CD ∥EF ，所以四边形CDEF 是平行四边形， 所以EF=CD=4.因为CD=4cm ，，所以，所以梯形的中位线长为12故选C.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于需结合梯形中位线的性质，勾股定理等知识进行求解.例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）一个等腰梯形的两底之差为12,高为6,则等腰梯形的锐角为( ) A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】B【分析】作梯形的两条高线，证明△ABE ≌△DCF ，则有BE=FC ，然后判断△ABE 为等腰直角三角形求解．【详解】如图,作AE ⊥BC 、DF ⊥BC,四边形ABCD 为等腰梯形,AD ∥BC ，BC −AD=12，AE=6，∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴AB=DC ，∠B=∠C ， ∵AD ∥BC ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，∴AEFD为矩形，∴AE=DF，AD=EF，∴△ABE≌△DCF，∴BE=FC，∴BC−AD=BC−EF=2BE=12，∴BE=6，∵AE=6，∴△ABE为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°.故选B.【点睛】此题考查等腰梯形的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2018·上海市清流中学八年级月考）下到关于梯形的叙述中，不正确的是（）A．等腰梯形的两底平行且相等B．等腰梯形的两条对角线相等C．等腰梯形在同一底上的两个角相等D．等腰梯形是轴对称图形【答案】A【分析】本题考查对等腰梯形性质的理解.等腰梯形的性质如下:等腰梯形两腰相等;等腰梯形两底平行;等腰梯形的两条对角线相等;等腰梯形同一底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形.【详解】由等腰梯形的性质可知,等腰梯形的对角线相等,其在同一底上的两个角相等,可知B、C不符合题意;同时等腰梯形关于两底中点的连线成轴对称,即可得到D不符合题意,而等腰梯形两底平行但不相等,因此A符合题意.故选A.【点睛】此题考查等腰梯形性质，解题关键在于对性质的掌握.例5．（2017·上海八年级期末）一组对边相等，另一组对边平行的四边形是（）A．梯形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．等腰梯形或平行四边形【答案】D【解析】根据特殊四边形的性质，分析所给条件，选择正确答案．解：A 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故A 不正确；B 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故B 不正确；C 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故C 不正确；D 、一组对边相等，另一组对边平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四边形，故D 正确． 故选D ．“点睛”本题考查了平行四边形和等腰梯形的性质. 考虑问题时应该全面考虑，不能漏掉任何一种情况，要求培养严谨的态度.例6．（2019·上海上外附中）判断：一组邻角相等的梯形是等腰梯形（______） 【答案】错误【分析】根据题设画出反例图形即可.【详解】解：反例：如图，已知梯形ABCD ，//AD BC ，90C D ∠=∠=︒，而梯形ABCD 不是等腰梯形.故该命题是假命题， 故答案为：错误.【点睛】本题考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性质，举出反例是解题的关键. 例7．（2020·上海杨浦区·八年级期末）已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AC AB ⊥，那么梯形ABCD 的周长等于__________． 【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质得到DAC DCA ∠=∠，根据平行线的性质得到DAC ACB ∠=∠，得到DCA ACB ∠=∠，根据直角三角形的性质列式求出，根据直角三角形的性质求出BC ，根据梯形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：，DAC DCA ∴∠=∠，//AD BC ，， ，//AD BC ，AB DC =，2B BCD ACB ∴∠=∠=∠，AC AB ⊥，，即390BCA ∠=︒， ，28BC AB ∴==，，8BC =，梯形的周长444820=+++=， 故答案为：20．【点睛】本题考查的是梯形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握含30的直角三角形的性质是解题的关键．例8．（2020·上海嘉定区·八年级期末）已知一个梯形的中位线长为5cm ，其中一条底边的长为6cm ，那么该梯形的另一条底边的长是__________cm ． 【答案】4【分析】根据梯形中位线定理解答即可．【详解】解：设该梯形的另一条底边的长是x cm ，根据题意得：()1652x +=，解得：x =4，即该梯形的另一条底边的长是4cm ． 故答案为：4．【点睛】本题考查了梯形中位线定理，属于基本题目，熟练掌握该定理是解题关键． 例9．（2018·上海市民办扬波中学八年级期末）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD AB =，BD ⊥BC ，则∠C =________．【答案】60°【分析】利用平行线及AB ∥CD ，证明，再证明，再利用直角三角形两锐角互余可得答案．【详解】解：因为：AB ∥CD ，所以：,ADB ABD ∠=∠ 因为：AD AB =，所以：BDC ABD ∠=∠ ， 所以；，因为：等腰梯形ABCD ， 所以：，设：BDC x ∠=︒ ，所以2BCD x ∠=︒， 因为：BD ⊥BC ，所以：290x x +=，解得： 所以：60C ∠=°． 故答案为：60︒．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，等腰三角形的性质及平行线的性质，掌握相关性质是解题关键．例10．（2019·上海上外附中八年级期中）在梯形ABCD 中，AB CD ∥，对角线AC BD ⊥，6AC =，8BD =，则梯形ABCD 的面积为__________．【答案】24【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积公式即可求得答案． 【详解】解：如图所示，梯形对角线垂直，则11682422ABCD S AC BD =⋅⋅=⨯⨯=．故答案是：24【点睛】本题考查对角线互相垂直的四边形的面积公式；对角线垂直时，四边形可看成四个直角三角形的面积之和，可得对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半． 例11．（2020·上海浦东新区·八年级月考）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12，AB ＝DC ＝8．∠B ＝60°． （1）求梯形的中位线长． （2）求梯形的面积．【答案】（1）8（2）【分析】（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，则四边形AECD 是平行四边形，得AD ＝EC ，AE ＝DC ，证出△ABE 是等边三角形，得BE ＝AB ＝8，则AD ＝EC ＝4，即可得出答案；（2）作AF ⊥BC 于F ，则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BF ＝12AB ＝4，AF ＝. 【详解】解：（1）过A 作AE ∥CD 交BC 于E ，∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ，AE ＝DC ， ∵AB ＝DC ， ∴AB ＝AE ， ∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝8，∴AD ＝EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣8＝4， ∴梯形ABCD 的中位线长＝12（AD +BC ）＝12（4+12）＝8； （2）作AF ⊥BC 于F ， 则∠BAF ＝90°﹣∠B ＝30°，∴BF ＝12AB ＝4，AF ＝∴梯形ABCD 的面积＝12（AD +BC ）×AF ＝12（4+12）×【点睛】此题考查了平行四边形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，梯形中位线的性质，直角三角形30度角的性质.例12．（2020·上海浦东新区·八年级期末）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，CE ⊥BF 于点O ． （1）求证：四边形EBCF 是等腰梯形； （2）EF=1，求四边形EBCF 的面积．【答案】（1）见解析；（2）94． 【分析】（1）根据三角形的中位线定理和等腰梯形的判定定理即可得到结论；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，根据平行四边形的性质得到FG=EC=BF ，根据全等三角形的性质和三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】（1）∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点， ∴EF//BC ，BE=12AB=12AC=CF ，∴四边形EBCF 是等腰梯形；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，∵EF//BC ，即EF//CG ，且CG=EF ， ∴四边形EFGC 是平行四边形， 又∵四边形EBCF 是等腰梯形， ∴FG=EC=BF ， ∵EF=CG ，FC=BE ， ∴△EFB ≌△CGF （SSS ）， ∴BFG EBCF S S=四边形，∵GC=EF=1，且EF=12BC ， ∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3． ∵FG//EC ，∴∠GFB=∠BOC=90°， ∴FH=12BG=32， ∴BFGEBCF 1393224S S==⨯⨯=四边形． 【点睛】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．例13.如图，已知梯形ABCD 中，BC 是下底，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，且BD ⊥CD ，若梯形周长是30cm ，求此梯形的面积．【难度】★★【答案】2cm ．【解析】∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =30°． ∵AD //BC ，∴∠ADB =∠DBC =30°，∴AB =AD∵BD ⊥CD ，∴∠DCB =60°，∴∠ABC =∠DCB ， ∴AB =CD ． 设AB = CD = AD = x ，Rt △BCD 中，∵∠DBC =30°，∴BC = 2CD = 2x ，∴30 = x +x +x +2x ，解得：x =6． 作AE ⊥BC ，Rt △ABE 中，∵∠BAE =30°， ∴BE =3，AE =∴S =12（AD +BC ）AE =2cm ． 【总结】本题考查梯形面积公式及等腰梯形性质的综合运用．例14.如图，直角梯形ABCD 中，∠A =90°，AD ∥BC ，AD =5，∠D =45°，CD 的垂直平分线交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，求BF 的长．【难度】★★ 【答案】5 【解析】联结CE∵EG 垂直平分CD ，∴EC =ED ，∠ECD =∠D =45°，∴∠CED =90°， ∵∠A =90°，AD ∥BC ， ∴四边形BAEC 是矩形， ∴BC = AE ．设BC =x =AE ，∴ED =EC =AB =5-x∵∠FEA =∠GED =45°，∴△AEF 是等腰直角三角形， ∴AF =AE =x∴BF =BA +AF =5-x +x =5．【总结】本题考查中垂线的性质，等腰直角三角形，直角梯形的性质的综合运用，注意用整体思想求出线段BF 的长．例15.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AD =DC ，∠B =60°， （1） 求证：AB ⊥AC ；（2） 若DC =6，求梯形ABCD 的面积．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）∵AB =CD ，∴∠B =∠DCB =60°，∠BAD =∠D =120°∵AD =DC ，∴∠DAC =∠DCA =30°∴∠BAC =∠BAD -∠DAC =120°- 30°=90°∴BA ⊥AC ；（2）∵AB =AD =DC ，DC =6， ∴CD =AD =AB =6在直角三角形ABC 中，∵∠ACB =30°， ∴BC =2AB =12作AE ⊥BC ，则AE =∴S 梯ABCD =1()2AD BC AE +=【总结】本题主要考查含30°的直角三角形性质与梯形面积公式的综合运用．例16.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，CA 平分∠BCD ，DE ∥AC ，交BC 的延长线于点E ，∠B =2∠E ．求证：AB =DC ．【难度】★★【解析】∵AC 平分∠BCD∴∠BCA =∠ACD =12∠DCB∵DE //AC ，∴∠E =∠ACB =12∠DCB ∵∠B =2∠E ，∴∠B =∠DCB ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ， ∴AB =CD【总结】本题考查等腰梯形性质与角平分线的综合运用，注意对基本模型的总结运用． 例17.如图，在等腰三角形ABC 中，点D 、E 分别是两腰AC 、BC 上的点，联结BE 、CD 相交于点O ，∠1=∠2．求证：梯形BDEC 是等腰梯形．【难度】★★【解析】∵AB AC =， ∴∠DBC =∠ECB在△BCD 与△ECB 中，∠1=∠2，BC =BC ∴△BCD ≌△ECB ，∴BD =CE∵AB =AC ， ∴AD =AE ，∴∠ADE =∠AED =1(180)2A ︒-∠=∠ABC =∠ACB∴DE //BC ， 又∵BD 与CE 不平行∴四边形BDEC 是梯形，且BD =CE ，∴梯形BDEC 是等腰梯形【总结】本题考查等腰梯形判定定理的运用，注意证明梯形的方法的总结．例18.如图，梯形OABC 中，O 为直角坐标系的原点，A 、B 、C 的坐标分别为（14，0）、 （14，3）、（4，3）．点P 、Q 同时从原点出发，分别作匀速运动，点P 沿OA 以每秒1个单位向终点A 运动，点Q 沿OC 、CB 以每秒2个单位向终点B 运动．当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）设从出发起运动了x 秒，当x 等于多少时，四边形OPQC 为平行四边形? （2）四边形OPQC 能否成为等腰梯形?说明理由．【难度】★★【答案】（1）x =5； （2）不能．【解析】（1）由题可知：OC =5，BC =10，OA =14．∵BC //OA∴当Q 点在BC 上，且OP =CQ 时，四边形OPQC 是平行四边形 即2x -5= x ，解得：x = 5；（2）作点C 作CE ⊥OA 于点E ，过点Q 作QF ⊥OP 与点F∵AO //BC ，∴CE =QF当OE =PF =4时，△OCE ≌△PQF ，此时四边形OPQC 为等腰梯形， 即OP =OE +CQ +PF ，∴x =4+（2x -5）+4，解得：x =-3（舍）， ∴四边形OPQC 不能成为等腰梯形．【总结】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质的综合运用，注意掌握辅助线的做法，以及数形结合思想与方程思想的综合运用．例19.如图，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰AB 的长为x 米．（1）请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）；（2）若∠BAD =60°，该花圃的面积为S 米²，求S 与x 之间的函数关系式，指出自变量x 的取值范围，并求当S =x 的值．【难度】★★★【答案】（1）BC =40-2x ；（2）2S =+（020x <<），x =4． 【解析】（1）等腰梯形ABCD 中，AB =CD =x ，∴BC =40-x -x =40-2x ；（2）作BE ⊥AD ，CF ⊥AD在Rt △ABE 中，∵∠ABE =30°， ∴AE =12x ．同理FD =AE =12x ， ∴BE =CF ．∴EF =BC =40-2x ， ∴AD =40-x∴()1(4024022BC AD BE S x x +==-+-=+（020x <<），当S =x =4或683x =（舍）∴当S =x 的值为4．【总结】本题考查等腰梯形性质与函数解析式的结合，注意面积公式中各个量的含义．例20.已知，一次函数144y x =-+的图像与x 轴，y 轴，分别交于A 、B 两点，梯形AOBC（O 是原点）的边AC =5，（1）求点C 的坐标；（2）如果一个一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图像经过A 、C 两点，求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★【答案】（1）C （13，4）或（19，4）或（16，5）； （2）46433y x =-+或46433y x =-．【解析】由题可知：A （16，0），B （0，4）．当OB ∥AC 时，点C 坐标为（16，5），当BC ∥AO 时，点C 坐标为（13，4）或（19，4）；（2）∵一次函数的图像经过A 、C 两点，∴C 点坐标不能为（16，5），当A （16，0），C （13，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-+；当A （16，0），C （19，4）时，利用待定系数法可得解析式为：46433y x =-． 【总结】本题考查直角梯形性质及一次函数的综合运用，注意分类讨论，综合性较强．例21.如图，直角梯形ABCD 中，AB //CD ，∠A =90°，AB =6，AD =4，DC =3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，线段AQ 的长度为y ，线段PQ 平分梯形ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出这个函数的定义域；（2）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积?若能，求出此时x 的值；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）x =3时，PQ 平分梯形面积．【解析】（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，则CD =AE =3，CE =4， 可得：BC =5，所以梯形ABCD 的周长是18．∵PQ 平分梯形ABCD 的周长，∴x +y =9， ∵06y ≤≤， ∴39x ≤≤， ∴；（2）由题可知，梯形ABCD 的面积是18． 因为P 不在BC 上，所以37x ≤≤． 当3≤x ＜4时，P 在AD 上，此时12APQ S xy ∆=， ∵线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积，则有192xy =可得方程组，解得：或（舍）；可得方程组，方程组无解，∴当x =3时，线段PQ 能平分梯形ABCD 的面积．【总结】本题利用梯形的性质，三角形的面积公式，建立方程和方程组求解，注意针对不同情况讨论，利用数形结合的思想进行计算．模块二：辅助线 知识精讲解决梯形问题常用的方法① 作高法：使两腰在两个直角三角形中；②移腰法：使两腰在同一个三角形中，梯形两个下底角是互余的，那么一般会用到这种添辅助线的方式，构造直角三角形；③延腰法：构造具有公共角的两个等腰三角形；④等积变形法：联结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形；⑤移对角线法：平移对角线，可以构造特殊的图形，如平行四边形，如果是对角线互相垂直的等腰梯形，那么在平移的过程中，还可构造等腰直角三角形，结合三线合一，求梯形的高 等．例题解析例1.如图，已知在梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥，垂足为E ，12AE =，则BC 边的长等于（ ）A ．20B ．21C ．22D ．23【难度】★★ 【答案】D【解析】∵AE BC ⊥，13AB =，12AE =， ∴BE = 5．∵梯形ABCD 中，//AD BC ，，AE BC ⊥， ∴， 故选D ．【总结】本题主要考查等腰梯形性质的综合运用．例2.已知梯形ABCD 中，//AD BC ，70B ∠=，40C ∠=，2AD =，10BC =．求DC 的长．【难度】★★ 【答案】CD = 8．【解析】作DE //AB ，则四边形ABED 是平行四边形．∴AD =BE =2，∠DEC =∠B =70°．在△DEC 中，∠C =40°，∴∠EDC =180°-40°-70°=70°，∴CD =CE =BC -BE =10-2=8． 【总结】本题考查辅助线——做一边的平行线，构造平行四边形．例3.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，90A B ∠+∠=，AB b =，CD a =，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，则EF 的长等于（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】★★ 【答案】C【解析】分别过点F 做FG //AD ，FH //BC ，分别交BA 于点G ，H可得平行四边形DFGA 与平行四边形FCBH∴AG =FD =CF =BH =1122CD a =，∴GH =b -a∵∠A +∠B =90°， ∴可得直角△FGH ，E 是GH 中点∴EF =11()22GH b a =-， 故选C ．【总结】本题考查直角三角形中线性质与梯形辅助线的添加．例4.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，∠BAC =90°，BD =BC ，BD 交AC 于O ．求证：CO =CD ．【难度】★★【解析】作AF ⊥BC ，DE ⊥BC ，∵AD //BC ，∴AF =DE ．在Rt △ABC 中，AB =AC ， ∴AF =12BC ．∵BC =BD ， ∴DE =12BD ．∴在Rt△BDE中，∠DBC=30°，∴∠BCD=∠BDC=75°∴∠DOC=∠DBC+∠ACB=75°，∴∠CDO=∠COD=75°，∴CD=CO．【总结】本题考查梯形的常用辅助线—做梯形的高，把梯形问题转化成三角形，矩形的问题，然后根据已知条件和三角形性质解题．例5.在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC与BD相交于点O，∠BOC=60°，AC=10cm，求梯形的高DE的长．【难度】★★【答案】．【解析】等腰梯形ABCD中，∵OB=OC，∠BOC=60°，可得等边△OCB，∴∠DBC=∠ACB=60°∵AC=BD=10，∴在直角△BDE中，BE=152BD=，∴DE=cm．【总结】本题考查梯形的相关计算，注意方法的运用．例6.如图，在梯形ABCD中，，，若AE=10，则CE=__________．【难度】★★★【答案】4或6．【解析】过点B作DA的垂线交DA延长线于M，M为垂足,延长DM到G，使得MG=CE，联结BG，可得四边形BCDM是正方形．∴BC=BM，∠C=∠BMG=90°，EC=GM，∴△BEC≌△BMG，∴∠MBG=∠CBE∵∠ABE=45°，∴∠CBE+∠ABM=45°，∴∠GBM+∠ABM=45°，∴∠ABE=∠ABG=45°，∴△ABE≌△ABG，AG=AE=10设CE=x，则AM=10x，∴AD=12（10x）=2+x，DE=12x．在Rt△ADE中，由AE2=AD2+DE2，解得：x=4或x=6．故CE的长为4或6．【总结】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，考查了全等三角形的判定和对应边相等的性质，注意辅助线的添加方法，将问题转化为解直角三角形的问题．模块三：中位线知识精讲三角形中位线的定义和性质：1. 定义三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，(强调它与三角形的中线的区别)；2. 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3. 梯形中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半.【要点点拨】经过三角形的一边中点作另一边的平行线，也可以证明得到的平行线段为中位线.同样地，从梯形的一腰中点作底的平行线，可以证明得到的平行线段为中位线.如果把三角形看成是一个上底长度为零的特殊的梯形的话，那么三角形中位线定理就成为梯形中位线定理的特例了．例题解析例1（1）顺次联结四边形各边中点所组成的四边形是；（2）顺次联结平行四边形各边中点所组成的四边形是；（3）顺次联结矩形各边中点所得到的四边形是；（4）顺次联结正方形各边中点所得到的四边形是；（5）顺次联结菱形各边中点所得到的四边形是；（6）顺次联结对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是；（7）顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是；（8）顺次联结对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形是；（9）顺次联结对角线相等且互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是．【难度】★【答案】（1）平行四边形；（2）平行四边形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；（6）矩形；（7）菱形；（8）菱形；（9）正方形．【解析】利用三角形中位线性质可证明．【总结】本题考查中位线性质和四边形判定方法，注意对相关规律的总结．例2．（2019·上海浦东新区·八年级期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（）A．4 B．3 C．2 D．5【答案】B【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．【详解】∵AD=BD，AE=EC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，∴DE=3，故选B．【点睛】此题考查三角形的中位线，解题的关键是熟练运用三角形的中位线定理，本题属于基础题型．例3．（2018·上海市清流中学八年级月考）顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是 （ ） A ．平行四边形 B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形【答案】C【分析】由E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，得出EF ，HG ，FG ，EH 是中位线，再得出四条边相等，根据“四条边都相等的四边形是菱形”进行证明．【详解】如图所示，因为E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，连接AC 、BD ，因为E 、F 分别是AB 、BC 的中点， 所以EF=12AC ，同理可得HG=12AC ，FG=12BD ，EH=12BD ， 又因为等腰梯形的对角线相等，即AC=BD ，因此有EF=FG=GH=HE ， 所以连接等腰梯形各中点所得四边形为菱形. 故选C.【点睛】此题考查三角形中位线的性质，解题关键在于画出图形.例4．（2019·上海上外附中）梯形两条对角线互相垂直，且长度分别为4，6，则梯形的中位线长为_________【分析】作//DE AC 交AC 延长线于点E ，得到直角三角形BDE ，和平行四边形，运用平行四边形的性质和勾股定理求得BE 的长度，依据梯形中位线等于上下底和的一半即可. 【详解】解：如图，梯形ABCD ,//AD BC ,6AC =,4BD =,90BOC ∠=°， 作//DE AC 交AC 延长线于点E ,∴四边形是平行四边形，, ∴CE AD =,6DE AC ==,, ∴,【点睛】本题考查了梯形的中位线的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是通过作平行线把上下底的和看成一个整体.例5．（2019·上海上外附中）如图，四边形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 中点，且6AB =，8CD =，则EF 的长度a 的范围是___________【答案】17a <≤【分析】连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，得到EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线，依据三角形中位线的性质求出132GE AB ==，142GF DC ==，分//AB DC ，AB DC 、不平行时，两种情况讨论，依据三角形三边关系即可.【详解】解：连接BD ，取BD 的中点G ，连接GE GF 、，又∵E ，F 分别为AD ，BC 中点，∴EG 是DBA 的中位线，FG 是DBC △的中位线， ∴132GE AB ==，142GF DC ==， ①当//AB DC 时， ；②当AB DC 、不平行时， ∵GF GE EF GE GF -<<+， ∴17EF <<；综上所述：17EF <≤，即17a <≤. 故答案为：17a <≤.【点睛】本题考查了三角形三边大小关系，构造三角形的中位线、分类讨论是解题的关键. 例6.（2017·上海闵行区·八年级期末）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，四边形ABCD 还应满足的一个条件是______．【答案】AD=BC．【解析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD=BC．等．答案不唯一．解：条件是AD=BC．∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，∴EH∥=BC，GF∥=BC，∴EH∥=GF，∴四边形EFGH是平行四边形．要使四边形EFGH是菱形，则要使AD=BC，这样，GH=AD，∴GH=GF，∴四边形EFGH是菱形．例7.（2018·上海宝山区·八年级期末）如图，将▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF为_____．【答案】4【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC＝AD＝8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，∵点E、F分别是BD、CD的中点，∴EF＝12BC＝12×8＝4．故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．例8．（2017·上海徐汇区·八年级期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，若DE的长是6，则AC=____．【答案】12．【分析】根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∴AC=2DE=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．例9．（2019·上海上外附中）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，点O 为对角线AC 中点，点M 为边AD 中点，则四边形ABOM 的周长为________【答案】18【分析】根据题意可知OM 是ADC 的中位线，所以OM 的长可求；根据勾股定理可求出AC 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出BO 的长，进而求出四边形ABOM 的周长．【详解】解：∵矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，，O 为AC 的中点，M 为AD 的中点，OM ∴为ADC 的中位线，142AM AD ==， 116322OM DC ∴==⨯=， ，四边形ABOM 的周长346518OM AM AB BO =+++=+++=，故答案为：18．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质，题目的综合性很好，难度不大.例10.（1）点D 、E 、F 分别是ABC 三边的中点，D EF 的周长为10cm ，则ABC 的周长为；（2）ABC 三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ，则ABC 的面积为．【难度】★【答案】（1）20cm ；（2）242cm ．【解析】（1）2()20ABC C AB BC AC DE EF DF ∆=++=++=cm ．（2）∵三条中位线的长为3cm 、4cm 、5cm ， 且2223+45=，∴可知△ABC 是直角三角形， ∴168242S =⨯⨯=2cm ． 【总结】本题考查三角形中位线的性质的综合运用．例11.如图，在ABC 中，点D 是边BC 的中点，点E 在ABC 内，AE 平分BAC ∠，CE AE ⊥点F 在边AB 上，EF //BC ．（1） 求证：四边形BDEF 是平行四边形；（2） 线段BF 、AB 、AC 之间有怎么样的数量关系?并证明．【难度】★★【答案】（1）见解析；（2）2BF +AC =AB ．【解析】（1）延长CE 交AB 于点G∵AE ⊥CG ，AE 平分∠BAC∴△AEG 与△ACE 中，∠GAE =∠CAE ，AE =AE ，∠AEG =∠AEC∴△AGE ≌△ACE ∴AG =AC ，即△AGC 是等腰三角形，∴E 是GC 的中点．∵D 是CB 的中点，∴DE //BA ， ∵EF //BD ， ∴四边形BDEF 是平行四边形；（2）∵ED 是△BCG 的中位线， ∴ED =12BG ． 又∵平行四边形BDEF ，∴ED =BF ，∴BF =12BG ，即BG =2BF ． ∵AG =AC ， ∴2BF +AC =BG +AG =BA ．【总结】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，用中位线的性质解题．例12.如图所示，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC BD ⊥交于点O ，MN 是梯形ABCD 的中位线，30DBC ∠=，求证：AC =MN ．【难度】★★【解析】∵AD //BC ， ∴∠ADO =∠DBC =30°．∴在Rt △AOD 和Rt △BOC 中，OA =12AD ，OC =12BC ， ∴AC =OA +OC =1()2AD BC +． ∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN =1()2AD BC +， ∴AC =MN ．。
中位线(基础)知识讲解
中位线（基础）【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握三角形重心的概念以及重心的性质.3. 理解梯形的中位线的概念，掌握梯形的中位线定理.4. 了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、三角形的重心1．概念：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心．要点诠释：垂心：三角形三条高线的交点．内心：三角形三条角平分线的交点．外心：三角形三边垂直平分线的交点．2．性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的13．要点三、梯形的中位线１．概念：连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.２．性质：梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半.要点四、位似1.位似图形定义:如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.要点诠释：（1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.（2）位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）.A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC ＝6，则DF的长是（）.A．2 B．3 C.52D．4【思路点拨】利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC＝∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF＝DB，进而求出DF的长．【答案解析】解：在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点∴DE∥AB∴∠EDC＝∠ABC∵BF平分∠ABC∴∠EDC＝2∠FBD在△BDF中，∠EDC＝∠FBD＋∠BFD∴∠DBF＝∠DFB∴FD＝BD＝12BC＝12×6＝3．【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．类型二、三角形的重心3、我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题：如图，∠B的平分线BE与BC边上的中线AD互相垂直，并且BE=AD=4（1）猜想AG与GD的数量关系，并说明理由；（2）求△ABC的三边长．【思路点拨】（1）根据BE平分∠B可知∠ABG=∠DBG，再根据全等三角形的判定定理可知△ABG≌△DBG，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；（2）延长BA到F，使AF=BA，由AD是BC的中线，可知AD是△BFC的一条中位线，延长BE 交CF于H点，则BH垂直平分FC，可知E是△BFC的重心，由三角形重心的性质可求出AE、EH、HC的值，再根据勾股定理求出BC、EC的长，进而可得出AC的长．【答案与解析】（1）AG=GD …∵BE 平分∠B ， ∴∠ABG=∠DBG ，∵BG ⊥AD ，BG=BG ，∴∠BGA=∠BGD ，∴△ABG ≌△DBG ，∴AG=GD ，AB=BD ；（2）如图，延长BA 到F ，使AF=BA ，则△BFC 是等腰三角形…∵AD 是BC 的中线，∴AD 是△BFC 的一条中位线，延长BE 交CF 于H 点，则BH 垂直平分FC ，∴E 是△BFC 的重心，…∴AE=12EC ，EH=12BE=12×4=2， HC=12FC=AD=4， ∴在Rt △BHC 中，BC=222BH HC +=13， AB=BD=12BC=13， ∵在Rt △EHC 中，EC=2225EH HC +=，∴AC=AE+EC=35．【总结升华】本题考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键． 举一反三【变式】G 为△ABC 的重心，△ABC 的三边长满足AB ＞BC ＞CA ，记△GAB ，△GBC ，△GCA 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则有（ ）.A.123S S S >>B. 123S S S ==C. 123S S S <<D. 123,,S S S 的大小关系不确定【答案】B.类型三、梯形的中位线4、在直角梯形ABCD 中（如图所示），已知AB∥D C ，∠DAB＝90°，∠ABC＝60°，EF为中位线，且BC ＝EF ＝4，那么AB ＝（ ）.A ．3B ．5C ．6D ．8【答案】B ；【解析】解：作CG⊥AB 于G 点，∵∠ABC＝60°BC＝EF ＝4，∴BG＝2，设AB ＝x ，则CD ＝x －2，∵EF 为中位线，∴AB＋CD ＝2EF ，即x ＋x －2＝8，解得x ＝5，【总结升华】此题综合运用了梯形的中位线定理、直角三角形的性质．在该图中，最关键的地方是正确的构造直角三角形．类型四、位似5、利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.AB C DE A 1 B 1 C 1D 1E 1 A B C D E这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．【答案】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．E D G FF'E'D'AB C G'。
梯形的中位线定理
梯形的中位线定理在我们的数学世界中，梯形是一种常见的几何图形。
而梯形的中位线定理，则是解决与梯形相关问题的重要工具。
首先，咱们来明确一下啥是梯形的中位线。
梯形的中位线，就是连接梯形两腰中点的线段。
想象一下，一个梯形稳稳地摆在那儿，上底和下底平行着，然后我们找到两腰的中点，把这两个中点连起来，这就是中位线啦。
那么梯形的中位线定理到底说的是啥呢？简单来说，梯形的中位线平行于两底，并且长度等于两底和的一半。
这就像是给梯形穿上了一件量身定制的“规则外套”，只要知道了梯形的上底和下底的长度，就能轻松算出中位线的长度；反之，如果知道了中位线的长度，也能推测出上底和下底长度的关系。
为了更深入地理解这个定理，咱们来做几道实际的题目感受感受。
比如说，有一个梯形，上底是 4 厘米，下底是 6 厘米，那中位线的长度是多少呢？根据定理，中位线长度等于（4 ＋ 6）÷ 2 ＝ 5 厘米。
是不是挺简单的？再来看一个稍微复杂点的例子。
已知一个梯形的中位线长 8 厘米，其中上底比下底短 2 厘米，那上底和下底分别是多长呢？咱们设上底为 x 厘米，下底就是 x ＋ 2 厘米。
根据定理，8 ＝（x ＋ x ＋ 2）÷ 2，解这个方程，就能算出 x ＝ 7，所以上底是 7 厘米，下底就是 9 厘米。
梯形的中位线定理在实际生活中也有不少用处呢。
比如，工人师傅要搭建一个梯形的架子，如果知道了中位线的长度和上底或者下底的长度，就能很方便地算出另外一边的长度，从而准确地进行施工。
那咱们来探究一下，为什么梯形的中位线会有这样的性质呢？这就需要用到一些几何知识来证明啦。
我们可以通过作辅助线的方法来证明。
比如说，我们可以把梯形的一腰延长，然后和另一腰构成一个三角形。
通过三角形中位线定理，就能巧妙地证明出梯形中位线的性质。
在学习梯形中位线定理的过程中，大家可千万不能死记硬背，要多做几道练习题，真正理解其中的原理。
只有这样，当遇到各种与梯形有关的问题时，咱们才能灵活运用这个定理，轻松解决难题。
梯形的中位线定理
(四)情感目标：通过对定理形成过程和运用数学知识 解决实际问题的探究，培养学生自主学习、合作 探究的精神，激发学生的学习兴趣。
教法、学法分析
本节课采用“活动式”教学。组织学生以自主、合 作、探究的学习方式进行本节课的学习。以学生的发展 为核心，以学生的自主活动为重要方式，充分发挥教师 是学生数学活动的组织者、引导者与合作者的作用。创 设问题情境，引导学生参与自主探索和合作交流活动， 让学生在数学活动中既能解决现有发展区问题，又能获 得广泛的数学活动经验，理解和掌握数学知识与技能， 数学思想和方法，让每一个学生在自主、合作、探究的 学习中得到充分的发展。
教学过程分析
(一)创设情境 (二)尝试探究 (三)归纳概括 (四)深化发展
创设情境
问题一：如右图， l1∥l2∥l3，AE=EB， 则线段EF与线段BC 的关系怎样？
Байду номын сангаас
创设情境
问题二：如果直线 AC绕点F旋转（动画显 示运动变化过程）与L1 相交于点D，与L3相交 于点G，如图2，那么此 时的线段EF是否具有同 样的性质？为什么？
教学内容的重点与难点
重点：用梯形中位线定理进行有关的计算 和论证
难点：梯形中位线定理的形成过程
目的分析
通 过 到本 右节 边课 四教 个学 目， 标力 求 达
(一)知识目标：掌握梯形中位线的概念、梯形中位线 定理并会用其进行有关的论证和计算。
(二)能力目标：培养学生的探究能力、观察能力、分 析能力及归纳总结能力。
尝试探究
学生分学习小组讨论问 题一和问题二。
归纳概括
1、全班交流，让各学习小组汇 报探索成果。
梯形中位线
梯形中位线陈忆洲教前分析本节课的教学对象是八年级学生，通过前面对三角形中位线的系统学习，学生已经积累了一定的数学活动经验,这些对本节课的学习都很有帮助.梯形中位线性质的引入，为平面几何中证明线段平行和线段相等又提供了新的思路.这节课主要是认识梯形中位线，探究梯形中位线定理并能加以运用.本节课充分渗透了生命化课堂所倡导的“抓住简单与根本、为学生的好学而设计、培养学生动手操作和自主探究的能力”等理念.二、教学目标(一)知识目标：理解梯形中位线的定义，会证明并应用梯形中位线定理.(二)能力目标：经历观察、发现、分析、猜想、探索的证明过程，进一步发展学生推理证明的能力.(三)情感目标：通过学生的动手操作及小组合作，培养学生的合作意识和探究精神。
教学过程中渗透类比、转化的数学思想方法，借助师生交流以及多媒体教学软件的使用，激发学生学习数学的兴趣。
三、教学重点、难点1、重点:梯形中位线概念、性质定理的证明及运用性质解决有关问题.2、难点:证明梯形中位线定理时添加辅助线的方法是本节课的教学难点.四、教学方法在学习梯形中位线的概念和探索它的基本性质的过程中，我利用问题引导学生观察分析、类比猜想、指导学生动手操作、小组讨论、合作探究.同时辅助多媒体演示，突出重点，突破难点.五、教具及学具准备：多媒体六、教学过程的设计（一）、复习前知，设疑引思1、什么叫三角形中位线，三角形有几条中位线，三角形中位线有什么样的性质.在前一节的学习中我们是怎样得到三角形中位线定理的？2、如图所示的三角架各横木之间互相平行,且PA=AE=BE,PD=DF=FC.若EF=40cm,则AD= cm.想一想：你会求BC的长吗？（二）、类比旧知，猜想新知1、定义类比联想：与三角形中位线类似，连接梯形两腰中点的线段叫，梯形有条中位线。
请你用手上的梯形纸板折出梯形的中位线.(电脑演示)：将AC平移至A′C′，三角形中位线EF演变成梯形中位线EF′梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
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根据梯形的中位线知识、方法总结
梯形是一种特殊的四边形，它具有两对平行边，其中一对被称为上底和下底，另一对被称为斜边或腰。
梯形的中位线是连接两条非平行边中点的线段。
本文将总结梯形中位线的相关知识和求解方法。
梯形中位线的特点
- 梯形中位线的长度等于上底和下底长度之和的一半。
- 梯形中位线与梯形的平行边平行，并且长度相等。
- 梯形中位线将梯形分为两个等面积的三角形。
求解梯形中位线的方法
已知上底、下底和斜边
可以使用以下公式求解梯形中位线的长度：
中位线长度 = (上底长度 + 下底长度 + 2 ×斜边长度) / 2
已知上底、下底和中位线长度
可以使用以下公式求解梯形斜边的长度：
斜边长度 = 2 ×中位线长度 - 上底长度 - 下底长度
已知上底、斜边和中位线长度
可以使用以下公式求解梯形下底的长度：
下底长度 = 2 ×中位线长度 - 上底长度 - 斜边长度
已知下底、斜边和中位线长度
可以使用以下公式求解梯形上底的长度：
上底长度 = 2 ×中位线长度 - 下底长度 - 斜边长度
总结
梯形中位线是连接梯形两条非平行边中点的线段，具有一些特点：长度等于上底和下底长度之和的一半，与梯形的平行边平行且
长度相等，将梯形分为两个等面积的三角形。
根据已知条件，可以
使用相应的公式求解梯形中位线的长度和其他边的长度。
以上是根据梯形的中位线知识和方法的总结。
*以上所有内容仅供参考，具体情况请根据实际需求进行验证。
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