成都重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)

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2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试题(含详解)

2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.下列判断正确的是（）B.若，则是同类二次根式2.下列四个运算中，只有一个是正确的.这个正确运算的序号是（）①；③；④.A.①B.②C.③D.④3.如图（1），在一个边长为m 的正方形纸片上剪去两个相同的小长方形，得到一个如图（2）所示的图案，若再将剪下的两个小长方形拼成一个如图（3）所示的新长方形，则新长方形的周长可表示为（）图（1）图（2）图（3）A. B. C. D.4.如图，在菱形中，，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，不与各端点重合，且，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H ，使，连接AM 、AH ，则以下四个结论：①；② ；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.45.如图，圆环中大圆的半径为r ，小圆的半径为长，AB 为大圆的直径，则阴影部分的面积为（）0.5<0ab =0a b ===01333-+=-=()32528a a =844a a a -÷=-23m n-24m n -410m n-48m n-ABCD AB BD =BE CF =DH BM =BDF DCE ≅△△120BMD ∠=︒AMH △2S ABCD AM =四边形2rA.B.C.D.6.如图，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形所得位于直线左侧的图形（阴影部分）的面积为S ，则S 关于t 的大致函数图象是（）A. B.C. D.7.在一个不透明的袋子里装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同，从中摸出一个球，放回搅匀后，再摸出一个球.两次都摸到红球的概率是（）A.B.C.D.8.如图，，都经过A 、B 两点，且点O 在上，连接并延长，交于点C ，连接交于点D ，连接，，若，则的长为（）A.B.9.小强用一根长为的铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（）A. B. C. D.10.在，0，－1，这四个数中，最小的数是（）2π4r 23π4r 2π8r 23π8r AOB △():02l x t t =≤≤13232949O e 1O e 1O e AO O e BC 1O e AD AD BO ⊥3AB =»BDπ22π316cm 216cm 232cm 264cm 28cm 1212-A.B.0C.D.－1二、填空题11.若，则______，______，______.12.若，则的值为______.13.如图，点C 在线段上，且，分别以、为边在线段的同侧作正方形、，连接、，则______.14.若，则______.15.如图，一块含30°角的直角三角板ABC ，，将其绕点A 顺时针旋转得到，当B ，A ，在一条直线上时，顶点C 所走的路径长为______.16.如图，在中，G 是CD 上一点，连接BG 并延长，交AD 的延长线于点E ，点F 在AB 上，且，，，则______°.三、解答题17.解方程18.如图，已知：中，，，点D 是的中点，点P 是边上的一个动点.1212-()2242x mx n ax ++=+m =a =n =)11a a a +=>1a a-AB 2AC BC =AC BC AB ACDE BCFG EC EG tan CEG ∠=a -()240c +-=a b c -+=1BC =AB C ''C 'ABCD Y AF CG =30E ∠=︒50C ∠=︒BFD ∠=()()231=1x x --Rt ABC △90BAC ∠=︒AB AC =BC BC图1 图2 图3 图4（1）如图1，若点与点重合，连接，则与的位置关系是；（2）如图2，若点在线段上，过点作于点，过点作于点，则，和这三条线段之间的数量关系是______；（3）如图3，在（2）的条件下，若的延长线交直线于点，求证：；（4）如图4，已知，若点从点出发沿着向点运动，过点作于点，过点作于点，设线段的长度为，线段的长度为，试求出点在运动的过程中的最大值.19.在平面直角坐标系中，抛物线与直线l ：交于，B 两点，与y 轴交于，对称轴为直线.（1）请直接写出该抛物线的解析式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，在对称轴右侧的抛物线上有一点G，若，且，求点G 的坐标；（3）若在直线上有且只有一点P ，使，求k 的值.20.如图，已知同一平面内四个点A ，B ，C ，D ，请按要求完成下列问题：（1）画直线AB ，射线BD ，连接AC ；（2）在线段AC 上求作点P ，使得；（保留作图痕迹）（3）过点P 作直线l ，使得；（保留作图痕迹）（4）请在直线l上确定一点Q ，使点Q 到点C 与点D 的距离之和最短，并写出画图的依据.21.阅读下列两则材料，回答问题：材料一：我们将与称为一对“对偶式”因为P D AP AP BC P BD B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F CF BE EF BE AD M CP AM =4BC =P B BC C B BE AP ⊥E C CF AP ⊥F BE 1d CF 2d P 12d d +xOy 2y ax bx c =++()0y kx m k =+>()1,0A ()0,3C 2x =12AF FB =6BAG S =△12y =-90APB ∠=︒CP AC AB =-l AB ∥+，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将和中的”去掉..解：，材料二：如图，点，点，以AB 为斜边作，则，于是，，所以反之，可将代数式到点的距离.的值看作点到点的距离.（1）利用材料一，解关于x，其中；（2的最小值，并求出此时y 与x 的函数关系式，写出x 的取值范围；②将①所得的y 与x 的函数关系式和x 的取值范围代入中解出x ，直接写出x 的值.22.如图，已知直线与抛物线相交于A ，B 两点，点在轴上，点在轴上，点在抛物线上.（1）求该抛物线的表达式.22a b =-=-2=()()251510x x ⨯+=---=2=5=()11,A x y ()22,B x y Rt ABC △()21,C x y 12AC x x =-12BC y y =-AB =()11,x y ()22,x y ===(),x y ()1,1-2=4x ≤y =22y x =+2y ax bx c =++A x B y ()3,0C（2）正方形的顶点为直角坐标系原点，顶点在线段上，顶点在轴正半轴上，若与全等，求点的坐标.（3）在条件（2）下，点是线段上的动点（点不与点重合），将沿所在的直线翻折得到，连接，求长度的取值范围.OPDE O P OC E y AOB △DPC △P Q CD Q D POD △PQ POD '△AD 'AD '2023年四川省成都市树德中学自主招生考试数学模拟试卷一、单选题1.【答案】D【分析】A 选项采取作差法，即可得到答案；B 选项考虑或；C 选项考虑a ，b 的取值范围；D 选项，先化简成最简二次根式，再判断是否为同类二次根式.【详解】解：A.，故此项错误；B.若，则或，故此项错误；C.，，选项未写条件，故此项错误；D.，是同类二次根式，故此项正确；故选D.【点睛】此题考查了二次根式的意义及运算法则，实数的乘法与比较，正确掌握运算法则是解答此题的关键.2.【答案】D【分析】直接利用负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的除法运算法则分别化简即可得出答案.【详解】①，故①错误；无法计算，故②错误；③，故③错误；④，正确，故选D.【点睛】本题考查了实数的运算、二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键.3.【答案】D【分析】通过观察图形，表示出新长方形的长与宽，再根据长方形周长公式即可确定其周长.【详解】解：∵观察图形可知，新长方形的长为：，宽为：，0a =0b =0.521==-2>0>0.50->0.5>0ab =0a =0b ==0a ≥0b >0113133-+=()32628aa =844a a a -÷=-m n -3m n -∴周长为，故D 正确.故选：D.【点睛】本题主要考查的是列代数式和整式加减在几何图形中的应用，能够通过观察图形用含m 、n 的式子表示出长方形的长与宽，是解题的关键.4.【答案】C【分析】由题意易得△ABD 是等边三角形，然后可证判定①，则有，根据三角形外角的性质可判定②，然后可得，则有，，然后可判定③，最后根据全等三角形的性质及等积法可进行判断④.【详解】解：∵四边形是菱形，，∴，∴、都是等边三角形，∴，∵，∴，即，∴，故①正确；∴，∵，∴，故②正确；∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，故③正确；∵，∴的面积等于四边形的面积，∵是等边三角形，其面积为，∴，故④错误；综上所述：正确的个数有3个；()2348m n m n m n -+-=-BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠ABCD AB BD =AB BD AD BC CD ====ABD △BDC △60BDF C ∠=∠=︒BE CF =BC BE CD CF -=-DF CE =()SAS BDF DCE ≅△△DBF EDC ∠=∠60DMF DBF BDE EDC BDE BDC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒120BMD ∠=︒60DEB EDC C EDC ∠=∠+∠=∠+︒60ABM ABD DBF DBF ∠=∠+∠=∠+︒DEB ABM ∠=∠AD BC ∥ADH DEB ∠=∠ADH ABM ∠=∠DH BM =()SAS ABM ADH ≅△△AH AM =BAM DAH ∠=∠60MAH MAD ADH MAD BAM BAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒AMH △ABM ADH ≅△△AMH △ABMD AMH△2AMH S AM =△2S ABMD AM =四边形故选C.【点睛】本题主要考查菱形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握菱形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键.5.【答案】D【分析】根据圆的面积公式：，计算出半圆的面积，用大半圆的面积减小半圆的面积即可得出结果.【详解】解：大半圆的面积为：；小半圆的面积为：；阴影部分的面积为： .故选D.【点睛】本题考查计算阴影部分的面积，有理数的混合运算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键.6.【答案】C【分析】分和两种情况，利用三角形的面积公式，可以表示出S 与t 的函数关系式，即可做出选择.【详解】解：①当时，如图，∵轴，为等边三角形，∴，∴，，∴，即，故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向上的二次函数图像；②当时，如图，，，2πS r =211π2S r =2221ππ228r r S ⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭22212ππ3π288r r r S S S =-=-=01t ≤≤12t <≤01t ≤≤l y ∥AOB △60COD ∠=︒OD t =tan 60CD OD =⋅︒=212OCD S OD CD =⋅⋅=△()201t S =≤≤01t ≤≤12t <≤60CBD ∠=︒2BD t =-∴，∴，即，∴故S 与t 之间的函数关系式的图像应为自变量在、开口向下的二次函数图像，故选：C.【点睛】本题考查三角形的面积公式、二次函数图像特征、解直角三角形、60°角的正切值，正确列出函数关系式，掌握二次函数图像是解答的关键，注意实际问题的图像只是一部分.7.【答案】D【分析】首先根据题意列出表格，由列表法求得所有等可能的结果与两次都摸到红球的情况，然后利用概率公式求解即可得出答案，注意此题属于放回实验.【详解】解：根据题意列出表格：红1红2白红1（红1，红1）（红2，红1）（白，红1）红2（红1，红2）（红2，红2）（白，红2）白（红1，白）（红2，白）（白，白）根据列表法可知：所有等可能的结果共有9种，其中两次都摸到红球的有4种，所以两次都摸到红球的概率是，故选D.【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.8.【答案】D【分析】过作，垂足为E ，连接，易证AC 、AD 分别是，的直径，根据垂径定理可得，进而易证是等边三角形，在中，利用正切求出AD ，进而即可求)tan 602CD BD t =⋅︒=-)2122BCD S BD CD t =⋅⋅=-△)))221222212S t t t =⨯-=+<-≤12t <≤491O 1O E AB ⊥1O B O e 1O e AB AO =ABO △Rt BAD △解.【详解】如图，过作，垂足为E ，连接，∵AC 是的直径，∴，∴AD 是的直径，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，在中，， ∴，故选：D.【点睛】本题考查圆的综合题，涉及到弧长公式、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、正切，解题的关键是熟练掌握圆的性质及定理求出的直径AD .9.【答案】A【分析】设矩形长为，则宽为，面积，利用二次函数求最值即可求得矩形的最大面积.1O 1O E AB ⊥1O B O e 90ABC ∠=︒1O e AD BO ⊥AB AO =ABO AOB ∠=∠3AB =3AO =3BO =3AO AB BO ===ABO △60BAO ∠=︒BAD DAO ∠=∠30BAD ∠=︒160BO D ∠=︒Rt BAD△30cos AB AD ︒===»6012π3606BDr =⋅=⨯=1O e ()cm 08x x <<()8cm x -()8S x x =-【详解】解：设矩形长为，则宽为，面积.，，由于，S有最大值，当时，S最大是16.所以矩形的最大面积是. 故答案为16.【点睛】本题主要考查二次函数解决实际问题，解决本题的关键是要根据题意列出函数关系式，再求二次函数最值.10.【答案】D【详解】试题分析：因为负数小于0，正数大于0，正数大于负数，所以在，0，－1，这四个数中，最小的数是－1，故选D.考点：正负数的大小比较.二、填空题11.【答案】±8，±2，4【分析】把右边的式子展开，和右边的式子对比，利用对应系数相等求得答案解决问题.【详解】，∴，；；.故答案为±8；±2；4.【点睛】考查完全平方公式的运用，在变形的过程中不要改变式子的值.12.【分析】根据，得到，然后根据完全平方公式，及算术平方根进行计算即可.【详解】∵∴∵∴.()cm08x x<<()8cmx-()8S x x=-28S x x=-+()2416x=--+10-<4x=216cm1 21 2 -()22ax+()22222444ax a x ax x mx n+=++=++ 24a=2a=±48m a==±4n=1 a>10 aa ->1a>1aa->1aa+=1aa-==【点睛】本题考查了完全平方公式，及算术平方根的使用，熟知此知识点是解题的关键.13.【答案】【分析】设，则，然后利用正方形的性质求得CE 、CG 的长、，进而说明为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.【详解】解：设，则∵正方形∴，同理：， ∴.故答案为.【点睛】本题考查了正方形的性质和正切的定义，根据正方形的性质说明是直角三角形是解答本题的关键.14.【答案】9【分析】根据非负数的性质即可解答.【详解】解：∵∴，，∴ ，，，∴.故答案为9.【点睛】本题考查绝对值、算术平方根、平方的非负性，解题关键是正确求出a 、b 、c 的值.15.【分析】得出点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，代入弧长公式计算即可.【详解】：在中，∵，∴，12BC a =2AC a =45GCDECD ∠==︒ECG △BC a =2AC a =ACDEEC ==1452ACD ECD ∠=∠=︒CG =1452BCD GCD ∠=∠=︒1tan 2CG CEG CE ∠===12ECG △()240a c -+-=20a -=30b +=40c -=2a =3b =-4c =()2349a b c -+=--+=AC =Rt ABC △1BC =30BAC ∠=︒AC =∵绕点C 顺时针方向旋转到的位置，∴，∴点C 经过的路径是圆心角150°，半径为的弧，∴顶点C，【点睛】本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，弧长公式等知识，确定点B 的运动路径是解题的关键.16.【答案】80【分析】根据平行四边形的对角相等可得，对边相等可得，利用三角形的内角和定理求出，然后求出四边形是平行四边形，最后利用平行四边形的邻角互补列式计算即可得解.【详解】解：在中，，，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴.故答案为：80.【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行四边形的判定方法与性质是解题的关键.三、解答题17.【答案】，【分析】先移项，再利用因式分解法进行求解即可.【详解】解：移项得：，提取公因式得：，去括号得：，合并同类项得：，∴，，∴，.Rt ABC △AB C ''△150CAC '∠=︒AC ==A C ∠=∠AB CD =ABE ∠BGDF ABCD Y 50A C ∠=∠=︒AB CD =AB CD ∥30E ∠=︒1805030100ABE ∠=︒-︒-︒=︒AF CG =BF DG =BF BG ∥BGDF DF BG ∥180********BFD ABE ∠=︒-∠=︒-︒=︒11x =24x =()()2311=0x x ---()()131=0x x ---⎡⎤⎣⎦()()131=0x x --+()()14=0x x --10x -=40x -=11x =24x =【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键.18.【答案】（1）（2）（3）见解析（4）4【分析】（1）利用等腰三角形的性质可得答案；（2）利用证明，得，即可；（3）由（2）同理可证.再利用证明，得；（4）用两种方法表示的面积，可得，当时，最小，此时，可得答案.【详解】（1）解：∵点是的中点，点与点重合，∴，故答案为：；（2），∵，，∴，则，∴，∵，∴，∴，，∴，故答案为：；（3），理由如下：证明：∵，.∴，，∵，，∴.又∵，∴.∴，.∵在等腰中，点是的中点，∴∵，∴在和中，AP BC⊥CF BE EF=+AAS ACF BAE ≅△△CF AE =AF BE =CF AE =ASA CFP AEM ≅△△CP AM =ABC △128d d AP+=AP BC ⊥AP 2AP =D BC P D AP BC ⊥AP BC ⊥CF BE EF =+BE AP ⊥CF AP ⊥90AEB AFC BAC ∠=∠=∠=︒90BAE EAC EAC ACF ∠+∠=∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≌△△CF AE =AF BE =CF BE EF =+CF BE EF =+CP AM =BE AP ⊥CF AP ⊥90AFC AEB ∠=∠=︒90CFP AEM ∠=∠=︒90BAE FAC ∠+∠=︒90ACF FAC ∠+∠=︒BAE ACF ∠=∠AB AC =()AAS ACF BAE ≅△△BAE ACF ∠=∠CF AE =Rt ABC △D BC 45BAD ACD ∠=∠=︒BAE ACF ∠=∠CFP △AEM △FCP EAM CF AECFP AEM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴，∴；（4）∵，∴，，由图形可知，，∴.当时，即：点与点重合，最小，此时.∴的最大值为4.【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，利用面积法表示出是解决问题（4）的关键.19.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）抛物线与x 轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，即可求解；（2）分点G 在点B 下方、点G 在点B 上方两种情况，分别求解即可；（3）由，则，即可求解.【详解】解：（1）∵，两点，对称轴为直线，则抛物线与轴另外一个交点坐标为，则函数的表达式为：，即：，解得：，故抛物线的表达式为：①；（2）过点作轴交对称轴于点，设对称轴与轴交于点.图1()ASA CFP AEM ≅△△CP AM =AD BC ⊥142ABC S BC AD =⋅=△122AD BC ==11422ABC APB APC S S S AP BE AP CF =+=⋅+⋅=△△△128d d AP+=AP BC ⊥P D AP 2AP =12d d +128d d AP +=243y x x =-+()5,8G k =()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =PAS BPT :△△AS PT PS BT=()1,0A B 2x =x ()3,0()()()21343y a x x a x x =--=-+33a =1a =243y x x =-+B BM x ∥M x N∴，又，则，点的坐标为，设直线的解析式为，则，则，则，①若点在点下方，则过点作轴交于，则设点，，图2∴，即：，，无解；②若点在点上方，则过点作交轴于，则，即：，则，则，则可设直线的解析式为：，将代入得，.∴直线的解析式为②，联立①②并解得：或5（舍去0），∴；（3）分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，图312AF AN BF BM ==1AN =2BM =B ()4,3AB y kx b =+043k b k b +=⎧⎨+=⎩11k b =⎧⎨=-⎩1y x =-G B G GQ y ∥AB Q ()2,43G t t t -+(),1Q t t -()2136314322BAG AQG BGQ S S S OQ t t t ==+=⨯=--+-△△△258t t -+0∆<G B G GH AB ∥x H 6BAG ABH S S ==△△1362AH ⨯=4AH =()3,0H -GH y x t =+()3,0H -3t =-GH 3y x =-0x =()5,8G A B 12y =-S T则，则，直线的解析式为③，联立①③并解得：或，则点，设：，则有两个相等实数根，，解得：（舍去负值），故：【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.20.【答案】（1）见详解（2）见详解（3）见详解（4）见详解【分析】（1）依据要求用直尺作图即可；（2）以A 为圆心、AB 为半径画弧交AC 于点P 即可；（3）以P 为圆心、AP 为半径画弧将AC 于点E ，再以E 点为圆心、AB 为半径画弧，两弧交于点F ，连接PF ，直线PF 即为所求的直线l ；（4）连接CD 交直线l 于点Q ，Q 点即为所求.【详解】（1）作图如下：直线AB 、射线BD 、线段AC 即为所求；（2）作图如下：PAS BPT :△△AS PT PS BT=l y kx k =-1x =3k +()23,2B k k k ++PS x =()2112222x k x k k ⎛⎫+-=++ ⎪⎝⎭()2222410k k k ∆=+---=k =k =点P 即为所求；（3）作图如下：直线l 即为所求；证明：连接EF 、PB ，由作图可知，，，根据（2）的作图可知，即有：，，，即有，∴，∴，即直线l 即为所求；（4）作图如下：直线l 即为所求；∵，∴依据两点之间线段最短，有当且仅当C 、Q 、D 三点共线时，有，即作图依据为：两点之间线段最短.【点睛】本题考查作图-复杂作图，直线，射线，线段的定义以及全等三角形在尺规作图中的应用等知识，PE AP =EF PB =PF PE =AP AB =AP PE =AB PF =EF PB =PEF APB ≅△△EPF PAB ∠=∠l AB ∥QC QD CD +≥QC QD CD +=解题的关键是理解直线，射线，线段的定义，属于中考常考题型.21.【答案】（1）；（2）①，；②【分析】（1）根据理解材料一的内容进行解答，比对这题很容易解决.（2）①中把根式下的式子转化成平方平方的形式，转化成点到点的距离问题，根据两点之间距离最短，所以当三个点共线时距离最短，可以求出最小值和函数关系式②中也根据材料二的内容来解答求出x 的值.【详解】（1）根据材料一；∵，，，，，∴解得：，∴；（2）②解：由材料二知：，的值看作点到点的距离到点的距离，，即点与点，在同一条直线上，并且点位点的中间，，且，5x =-()2621y x x =+-≤≤1+()()20416x x ⨯=---=2=8=5=3=5x =-()2621y x x =+-≤≤===(),x y ()1,8(),x y ()2,2-+=+(),x y ()1,8()2,2-(),x y ()()1,82,2-+===21x -≤≤设过，，的直线解析式为：∴，解得：，∴；②∵中，∵，（i ），又∵（ii ）由（i ）（ii，解得：（舍），，∴x 的值为【点睛】本题是材料阅读题，属于新定义题，理解新定义的内容是解题的关键.22.【答案】（1）该抛物线的表达式为；（2）点的坐标为或；（3或【分析】（1）先求得点，点，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：和，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P 、、三点共线时，线段长度取得最大值，当点与点重合时，线段长度取得最小值，据此求解即可.【详解】（1）解：令，则，令，则，(),x y ()1,8()2,2-y kx b=+822k b k b=+⎧⎨=-+⎩26k b =⎧⎨=⎩()2621y x x =+-≤≤y =26y x =+26x +=+()222512236x x x x +-=++-++26x =+1=+72x =+11x =>2x =1224233y x x =-++P ()1,0()2,03AD '≤≤5AD '≤≤()1,0A -()0,2B AOB DPC ≅△△AOB CPD ≅△△D 'C AD 'Q C AD '0x =222y x =+=0y =022x =+解得，点，点，把，，代入，得，解得，∴该抛物线的表达式为；（2）解：若和全等，且，分两种情况：①，则，，∵，∴，∴点的坐标为；②，则，∴正方形的边长为2，∴点P 的坐标为；综上，点P 的坐标为或；（3）解：①点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，1x =-()1,0A -()0,2B ()1,0A -()0,2B ()3,0C 2y ax bx c =++09302a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩23432a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩224233y x x =-++AOB △DPC △90AOB DPC ∠=∠=︒AOB DPC ≅△△1AO PD ==2OB PC ==3OC =321OP =-=P ()1,0AOB CPD ≅△△2OB PD ==OPDE ()2,0()1,0()2,0()1,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=∴点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，当Q 点与C 点重合时取得最小值，，此时，当P ，，C 三点共线时，取得最大值，最大值为②点P 的坐标为时，∵与关于对称，∴，∴点在以点P 为圆心，2为半径的圆上运动，当P 、C 、三点共线时，线段长度取得最大值，最大值为；当Q 点与C 点重合时，点的坐标为，此时∴或.【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论.D 'P AD'()1,1D '-AD '===D 'AD '213AP PD '+=+=3AD '≤≤()2,0D PQ '△PQD △PQ P P D D '=D 'D 'AD '325AP PD '+=+=D '()2,2-AD '==5AD '≤≤3AD '≤≤5AD '≤≤。

【冲刺实验班】四川成都市第二十中学校中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析

第6题图ABCDE第7题图图②图①120°1234120°第10题图图1图22中学自主招生数学试卷一、选择题(3分×10=30分) 1. 下列各数中,是5的相反数的是( )A ． -5B ． 5C ．0.5D ． 0.22.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．3. 人类已知最大的恒星是盾牌座UY ,它的规模十分巨大,如果将盾牌座UY 放在太阳系的中心,它的表面将接近土星轨道,半径约等于1.43344937×109km .那么这个数的原数是( ) A .143 344 937 km B . 1 433 449 370 km C . 14 334 493 700 km D . 1.43344937 km4.下列计算正确的是( )A ．2a -3a =-1B ．(a 2b 3)3=a 5b 6C ．a 2 ·a 3=a 6D ．a 2+3a 2=4a 2 5. 已知关于x 的分式方程mx +1x=2有解,则m 的取值范围是（） A .m ≤1且m ≠0 B . m ≤1 C . m ≥-1 D . m ≥-1 且m ≠0 6. 如图所示,该物体的主视图为（）A ．B ．C ．D ．7. 如图所示,在Rt △ABC 中∠A =25°,∠ACB =90°,以点C 为圆心,BC 为半径的圆交AB 于一点D ,交AC 于点E ,则∠DCE 的度数为（） A . 30° B . 25° C . 40° D . 50°8. 不等式组101103x x +>⎧⎪⎨->⎪⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．9. 如图所示,分别用两个质地均匀的转盘转得一个数,①号转盘表示数字2的扇形对应的圆角为120°,②号转盘表示数字3的扇形对应的圆心角也是120°,则转得的两个数之积为偶数的概率为（）A ．12B ．29C ． 79D ．3410. 如图1所示,小明(点P )在操场上跑步,B CD E 123第12题图A E B C D第14题图A EFM A 'B C D 第15题图A 弯道和两段直道构成,若小明从点A (右侧弯道起点) 出发以顺时针方向沿着跑道行进.设行进的路程为x , 小明到右侧半圆形弯道的圆心O 的距离PO 为y ,可绘制出如图2所示函数图象,那么a -b 的值应为( ) A ．4 B ．52π-1 C ．D ．π二、填空题(3分×5=15分)11. (-3)0= .12. 如图所示,直线ABCD 被BC 所截,若AB ∥CD ,∠1=45°,∠2=35°,则∠3= .13.二次函数y =x 2-2mx +1在x ≤1时y 随x 增大而减小,则m 的取值范围是 .14. 如图所示,在平行四边形ABCD 中,AD =2,AB =4,∠A =30°,以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E . 连接CE ,则阴影部分的面积是 .(结果保留π)15.如图所示,正方形ABCD 中,AB =8,BE =DF =1,M 是射线AD 上的动点,点A 关于直线EM 的对称点为A ，，当△A ，FC 为以FC 为直角边的直角三角形时,对应的MA 的长为 .三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16. (8分)先化简22442x x x x -+-÷(x -4x),然后从xx的值代入求值.17.(9分) 陈老师为了了解所教班级学生完成数学纠错的具体情况，对本班部分学生进行了为期半年的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A ：很好；B ：较好；C ：一般；D ：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： ⑴陈老师一共调查了多少名同学？ ⑵将条形统计图补充完整；⑶为了共同进步，陈老师想从被调查的A 类学生中随机选取一位同学，再从D 类学生中随机选取一位同学组成二人学习小组,请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．D18.(9分)如图所示,⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB =AC ,延长BC 至点D ,使CD =AC ,连接AD 交⊙O 于点E ,连接BE 、CE ,BE 交AC 于点F .⑴求证：CE =AE ⑵填空： ①当∠ABC = 时,四边形AOCE 是菱形；②若AE,AB =则DE 的长为 .19. (9分) 如图所示，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为40cm ，灯罩BC 长为30cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD =60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，求此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 的长？（结果精确到0.1cm 1.732）20.(9分)如图所示,直线y =ax +1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与双曲线y =kx(x >0)相交于点P ,PC ⊥x 轴于点C ,且PC =2,点A 的坐标为(-2,0). ⑴求双曲线的解析式；⑵若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点,且QH ⊥x 轴于H ,当以点Q 、C 、H 为顶点的三角与△AOB 相似时,求点Q 的坐标.21.(10分)为了迎接暑假的学生购物高峰,某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋. 其G F E B C DA 图1图2图3AD CBE F G GF E B CD A中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同. ⑴求m 的值⑵由于资金有限,该店能够购进的甲种运动鞋不超过105双,要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价-进价)不少于21700元,求该专卖店共有几种进货方案(只需计算种数,不用列举各种方案)?⑶在⑵的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a (50<a <70)元出售,乙种运动鞋价格不变.那么该专卖店要获得最大利润应如何进货.22.(10分)等腰直角三角形ABC 中,AC =BC E 为AC 中点,以CE 为斜边作如图所示等腰直角三角形CED .(1)观察猜想: 如图1所示,过D 作DF ⊥AE 于F ,交AB 于G ,线段CD 与BG 的关系为；(2)探究证明:如图2所示，将△CDE 绕点C 顺时针旋转到如图所示位置，过D 作DF ⊥AE 于F ，过B 作DE 的平行线与直线FD 交于点G ,(1)中结论是否成立?请说明理由； (3)拓展延伸: 如图3所示,当E 、D 、G 共线时,直接写出DG 的长度.23.(11分)如图所示,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD 的三个顶点B (4,0)、C (8,0)， D (8,8).抛物线y =ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标,并求出抛物线的解析式；(2动点P 从点A 出发,沿线段AB 向终点B 运动,同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动.速度均为1个单位长度，运动时间为t 秒.①如图1所示,过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ,过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G ,点G 关于抛物线对称轴的对称点为H ,求当t 为何值时,△HAC 的面积为16；②如图2所示,连接EQ ,过Q 作QM ⊥AC 于M ,在点P 、Q 运动的过程中，是否存在某个t ,使得∠QEM =2∠QCE ,若存在请直接写出相应的t参考答案一、选择题(3分×10=30分) 1.A 2.C 3.B 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D二、填空题(3分×5=15分)11.-2 12.80° 13.m ≥1 14.3-3π 15. 三、解答题(本大题共8小题，满分75分)16.解：224442x x x x x x-+÷--（）= ()22(24)2x x x x x --÷-= ()()222x x x x x -⨯+-= 12x + 当x =1时，原式=1132x =+ （名），又AB =AC ，∴∠ABC =∠ACB ，∴∠CED =∠ACB ，又∠AEB 和∠ACB 都为AB 所对的圆周角，∴∠AEB =∠ACB ，∴∠CED =∠AEB ，∵AB =AC ，CD =AC ，∴AB =CD ，在△ABE 和△CDE 中，BAEDCE AEB CED ABCD∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDE （AAS ） (2)①60当△QCH ∽△BA中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分） 1．﹣2019的相反数是（） A ．2019B ．﹣2019C ．D ．﹣2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（x2）3＝x5D．5x2•x3＝5x56．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm27．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG ＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +110．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）A．B．6C．8D．﹣4二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：a2+2ab＝．12．不等式的解集是．13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF 垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．三、解答题17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC ＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．（1）求证：△BOF≌△COE．（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE．（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．（1）求AD的长；（2）求证：△BEF∽△BDP；（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为．参考答案一、选择题1．解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：A．2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：B．3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．故选：C．4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；C、结果是x6，故本选项不符合题意；D、结果是5x5，故本选项，符合题意；故选：D．6．解：圆锥的母线长＝＝5，所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．故选：C．7．解：设原计划x天完成，根据题意得：﹣＝5．故选：B．8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，∴m2﹣2019m+1＝0，∴m2＝2019m﹣1，∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2＝m++1＝+1＝+1＝2019+1＝2020．故选：C．9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EBF＝90°，∵AB＝1，∠BEF＝30°，∴BE＝BF，∴x+1＝x，解得：x＝，∴AE＝BF＝CG＝DH＝，∴AH＝AD+DH＝2+＝，∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，故选：C．10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DE F的面积是×•x＝k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD＝EF，同理EF＝AC，∴AC＝BD，∵CD＝5AB，∴AD＝3AB，由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，∴A（﹣1，0），B（0，），∴OA＝1，OB＝，∵OB∥DF，∴＝＝＝，∴DF＝3，AF＝3，∴OF＝3﹣1＝2，∴D（2，3），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝2×＝6，故选：B．二、填空题11．解：原式＝a（a+2b），故答案为：a（a+2b）12．解：，由①得：x≤，由②得：x＞0，∴不等式组的解集为：0＜x≤．故答案为：0＜x≤．13．解：∵AB∥CD，∴∠C+∠AEC＝180°，∵∠C＝110°，∴∠AEC＝70°，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝35°，∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，故答案为：5514．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，∴B（0，b），∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，∴B（0，b），当x＝﹣时，y＝2b，∴C（﹣，2b），∴△OAC的面积＝×2b＝，∴b＝，故答案为．15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），∴OC＝，AC＝a，把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，∴D点坐标为（，2﹣2），∴CD＝2﹣2，∵AE⊥CB，∴CE＝BE＝BC＝1，在Rt△ACE中，AC＝，∴AE＝＝＝2，∵y＝2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，∴G（0，﹣2），F（1，0），∴OG＝2，OF＝1，∵AC∥y轴，∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，∴DE＝2AE＝4，∴AD＝＝＝2，∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：则四边形EMCH是矩形，∴EM＝CH，CM＝EH，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，同理：△ADE≌△CDE，∴△ADE的面积＝△CDE的面积，∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠ABC+∠AEF＝180°，∴A、B、F、E四点共圆，∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，∴EF＝EC，∵EM⊥BC，∴FM＝CM＝EH＝DH，设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，∴，解得：x＝，∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，∴AF＝＝，∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；故答案为：．三、解答题17．解：（1）原式＝+2+1﹣﹣＝2﹣2；（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x＝11x+16，当x＝时，原式＝11×+16＝25．18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，∴BF＝CE，在△BOF与△EOC中，，∴△BOF≌△COE（AAS）；（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，∴∠C＝∠F＝30°，∴AC＝2AE＝2，∴CE＝1，∵∠CEO＝∠DEO＝90°，∴OC＝＝．19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；（2）树状图如下所示：∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．20．解：（1）如图点D即为所求．（2）如图点O即为所求．21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵CE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ADB，∵在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BCA＝∠ACE，在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD＝AE；（2）解：连接BF，如图所示：∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，∵AB＝BC＝10，∴CF＝2，∵BF⊥AC，∴AC＝2CF＝4，在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，∴CD＝×4＝4，∴AD＝＝＝8．22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），∴BD＝＝2，设C（m，﹣2），则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，∵QD＝1，PQ＝2，∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，∵PC＝1﹣m，∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，解得m＝，∴点C的坐标为（，﹣2）；②如图2，∵DB＝DE＝2，∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，∵DA＝＝2，则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，故答案为：2﹣2．23．解：（1）30+0.5×10＝35元，答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，故答案为：35；（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，解得：x1＝20，x2＝60（不合题意舍去），答：x的值为20；（3）设经销商销售总额为y元，根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，对称轴x＝，当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，解得a＝190（舍去）；当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，解得a＝210；当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，y＝（a2﹣800a+16000），最大值由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，解得a＝400（均不符合题意，舍去）；综上，a的值为210．故答案为：210．24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，依题意得：，解得x＝6，∴AD＝＝8．（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，∴∠EFB＝∠DPB，又∵∠FBE＝∠PDB，∴△BEF∽△BDP．（3）由（1）得BD＝6，∵PD＝3，∴BP＝＝，∴cos∠PBD＝，当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，∴BF＝＝＝．Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，∴BF＝＝＝，Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PD cos∠BPD＝＝，∴BE＝3，∴BF＝＝＝，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．（4）连接EG交P D于M点，∵DG∥BP∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，∴PG＝DG，∵EP＝PG，ED＝DG，∴四边形PEDG是菱形，∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，又∵BD⊥AD，∴EG∥BC，∴EM＝，∴，∴AM＝6，∴DM＝PM＝2，∴PD＝4，AP＝4，∴S△APG＝＝×4×3＝6，S△PDG＝＝×4×3＝6，S△GDC＝＝＝4．∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．﹣2019的相反数是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（x2）3＝x5D．5x2•x3＝5x56．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm27．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG ＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +1 10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）A．B．6C．8D．﹣4二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：a2+2ab＝．12．不等式的解集是．13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF 垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．三、解答题17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC ＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．（1）求证：△BOF≌△COE．（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE．（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．（1）求AD的长；（2）求证：△BEF∽△BDP；（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为．参考答案一、选择题1．解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：A．2．解：从左边看第一层是两个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：B．3．解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故应最关心这组数据中的众数．故选：C．4．解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．故选：D．5．解：A、x3和x2不能合并同类项，故本选项不符合题意；B、结果是x2﹣6x+9，故本选项不符合题意；C、结果是x6，故本选项不符合题意；D、结果是5x5，故本选项，符合题意；故选：D．6．解：圆锥的母线长＝＝5，所以这个圆锥的侧面积＝×5×2π×3＝15π（cm2）．故选：C．7．解：设原计划x天完成，根据题意得：﹣＝5．故选：B．8．解：∵m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，∴m2﹣2019m+1＝0，∴m2＝2019m﹣1，∴m2﹣2018m++2＝2019m﹣2018m﹣1++2＝m++1＝+1＝+1＝2019+1＝2020．故选：C．9．解：设AE＝BF＝CG＝DH＝x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠EAD＝∠EBF＝90°，∵AB＝1，∠BEF＝30°，∴BE＝BF，∴x+1＝x，解得：x＝，∴AE＝BF＝CG＝DH＝，∴AH＝AD+DH＝2+＝，∴tan∠AEH＝＝＝2﹣1，故选：C．10．解：作CE⊥y轴于E，DF⊥x轴于F，连接EF，DE、CF，设D（x，），则F（x，0），由图象可知x＞0，k＞0，∴△DE F的面积是×•x＝k，同理可知：△CEF的面积是k，∴△CEF的面积等于△DEF的面积，∴边EF上的高相等，∴CD∥EF，∵BD∥EF，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD＝EF，同理EF＝AC，∴AC＝BD，∵CD＝5AB，∴AD＝3AB，由一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，∴A（﹣1，0），B（0，），∴OA＝1，OB＝，∵OB∥DF，∴＝＝＝，∴DF＝3，AF＝3，∴OF＝3﹣1＝2，∴D（2，3），∵点D在反比例函数图象上，∴k＝2×＝6，故选：B．二、填空题11．解：原式＝a（a+2b），故答案为：a（a+2b）12．解：，由①得：x≤，由②得：x＞0，∴不等式组的解集为：0＜x≤．故答案为：0＜x≤．13．解：∵AB∥CD，∴∠C+∠AEC＝180°，∵∠C＝110°，∴∠AEC＝70°，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝35°，∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∴∠BEG＝90°﹣35°＝55°，故答案为：5514．解：∵y＝+b交y轴正半轴于点B，∴B（0，b），∵在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，∴B（0，b），当x＝﹣时，y＝2b，∴C（﹣，2b），∴△OAC的面积＝×2b＝，∴b＝，故答案为．15．解：作AC⊥x轴于C，交CB于D，作AE⊥CB于E，连结AB，如图，∵⊙A的圆心坐标为（，a），∴OC＝，AC＝a，把x＝代入y＝2x﹣2得y＝2﹣2，∴D点坐标为（，2﹣2），∴CD＝2﹣2，∵AE⊥CB，∴CE＝BE＝BC＝1，在Rt△ACE中，AC＝，∴AE＝＝＝2，∵y＝2x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2；当y＝0时，x＝1，∴G（0，﹣2），F（1，0），∴OG＝2，OF＝1，∵AC∥y轴，∴∠ADE＝∠CDF＝∠OGF，∴tan∠ADE＝＝tan∠OGF＝＝，∴DE＝2AE＝4，∴AD＝＝＝2，∴a＝AC＝AD+CD＝2+2﹣2＝4﹣2，故答案为：4﹣2．16．解：连接CE，作EH⊥CD于H，EM⊥BC于M，如图所示：则四边形EMCH是矩形，∴EM＝CH，CM＝EH，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝3，∠ABC＝90°，AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝∠BDC＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴EA＝EF，∠BAE＝∠BCE，同理：△ADE≌△CDE，∴△ADE的面积＝△CDE的面积，∵△AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，∴△CDE：△CEF的面积＝3：5，∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠ABC+∠AEF＝180°，∴A、B、F、E四点共圆，∴∠GEF＝∠BAF，∠EFC＝∠BAE＝∠BCE，∴EF＝EC，∵EM⊥BC，∴FM＝CM＝EH＝DH，设FM＝CM＝EH＝DH＝x，则FC＝2x，EM＝HC＝3﹣x，∵△CDE：△CEF的面积＝3：5，∴，解得：x＝，∴FC＝1，BF＝BC﹣FC＝2，∴AF＝＝，∴cos∠GEF＝cos∠BAF＝＝＝；故答案为：．三、解答题17．解：（1）原式＝+2+1﹣﹣＝2﹣2；（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+3x＝11x+16，当x＝时，原式＝11×+16＝25．18．（1）证明：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，AC＝DF，∠F＝∠C，∴BF＝CE，在△BOF与△EOC中，，∴△BOF≌△COE（AAS）；（2）解：∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠F＝30°，AE＝1，∴∠C＝∠F＝30°，∴AC＝2AE＝2，∴CE＝1，∵∠CEO＝∠DEO＝90°，∴OC＝＝．19．解：（1）若从中任意摸出一个球，则摸出白球的概率为；（2）树状图如下所示：∴两次摸出的球恰好颜色相同的概率为＝．20．解：（1）如图点D即为所求．（2）如图点O即为所求．21．（1）证明：∵AE与⊙O相切，AB是⊙O的直径∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵CE∥AB，∴∠BAE+∠E＝180°，∴∠E＝90°，∴∠E＝∠ADB，∵在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠BCA＝∠ACE，在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（AAS），∴AD＝AE；（2）解：连接BF，如图所示：∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，∵AB＝BC＝10，∴CF＝2，∵BF⊥AC，∴AC＝2CF＝4，在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，∴CD＝×4＝4，∴AD＝＝＝8．22．解：（1）将点A（4，﹣2）、D（2，0）代入，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x；（2）①如图1，连接BD、DE，作EP⊥AB，并延长交OD于Q，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴点A（4，﹣2）关于对称轴对称的点B坐标为（﹣2，﹣2），∴BD＝＝2，设C（m，﹣2），则BC＝CE＝m+2，DE＝BD＝2，∵QD＝1，PQ＝2，∴PE＝QE﹣PQ＝﹣1＝﹣1，∵PC＝1﹣m，∴由PC2+PE2＝CE2可得（1﹣m）2+（﹣1）2＝（m+2）2，解得m＝，∴点C的坐标为（，﹣2）；②如图2，∵DB＝DE＝2，∴点E在以D为圆心、2长为半径的⊙D上，连接DA，并延长交⊙D于点E′，此时AE′取得最小值，∵DA＝＝2，则AE的最小值为DE﹣DA＝2﹣2，故答案为：2﹣2．23．解：（1）30+0.5×10＝35元，答：放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克35元，故答案为：35；（2）由题意得，（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x＝36000，解得：x1＝20，x2＝60（不合题意舍去），答：x的值为20；（3）设经销商销售总额为y元，根据题意得，y＝（30+0.5x）（1000﹣10x）+200x﹣30000﹣ax，且20≤x≤30，整理得y＝﹣5x2+（400﹣a）x，对称轴x＝，当0≤a≤100时，当x＝30时，y有最大值，则﹣4500+30（400﹣a）＝1800，解得a＝190（舍去）；当a≥200时，当x＝20时，y有最大值，则﹣2000+20（400﹣a）＝1800，解得a＝210；当100＜a＜200时，当x＝时，y取得最大值，y＝（a2﹣800a+16000），最大值由题意得（a2﹣800a+16000）＝1800，解得a＝400（均不符合题意，舍去）；综上，a的值为210．故答案为：210．24．解：（1）设CD＝x，则BD＝10﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，依题意得：，解得x＝6，∴AD＝＝8．（2）∵四边形BFEP是圆内接四边形，∴∠EFB＝∠DPB，又∵∠FBE＝∠PDB，∴△BEF∽△BDP．（3）由（1）得BD＝6，∵PD＝3，∴BP＝＝，∴cos∠PBD＝，当△DEP为等腰三角形时，有三种情况：Ⅰ．当PE＝DP＝3 时，BE＝BP﹣EP＝，∴BF＝＝＝．Ⅱ．当DE＝PE时，E是BP中点，BE＝，∴BF＝＝＝，Ⅲ．当DP＝DE＝3时，PE＝2×PD cos∠BPD＝＝，∴BE＝3，∴BF＝＝＝，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，BF的长为、、．（4）连接EG交P D于M点，∵DG∥BP∴∠EPD＝∠EDF＝∠PDG，∴PG＝DG，∵EP＝PG，ED＝DG，∴四边形PEDG是菱形，∴EM＝MG，PM＝DM，EG⊥AD，又∵BD⊥AD，∴EG∥BC，∴EM＝，∴，∴AM＝6，∴DM＝PM＝2，∴PD＝4，AP＝4，∴S△APG＝＝×4×3＝6，S△PDG＝＝×4×3＝6，S△GDC＝＝＝4．∴S1：S2：S3＝6：6：2＝3：3：2．中学自主招生数学试卷一、选择题（每小题4分，共40分）1．﹣2019的相反数是（）A．2019 B．﹣2019 C．D．﹣2．如图所示的几何体的左视图是（）A．B．C．D．3．鞋店要进一批新鞋，你是店长，应关注下列哪个统计量（）A．平均数B．方差C．众数D．中位数4．下列四幅图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．（x﹣3）2＝x2﹣9C．（x2）3＝x5D．5x2•x3＝5x56．一个圆锥的高是4cm，底面半径是3cm，那么这个圆锥的侧面积为（）A．15cm2B．12cm2C．15πcm2D．12πcm27．某公司承担了制作300个道路交通指引标志的任务，原计划x天完成，实际平均每天多制作了5个，因此提前10天完成任务．根据题意，下列方程正确的是（）A．B．C．D．8．已知m是方程x2﹣2019x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2018m++2的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20219．如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至点EF，G，H，使得AE＝BF＝CG ＝DH．已知AB＝1，BC＝2，∠BEF＝30°，则tan∠AEH的值为（）A．2 B．C．﹣1 D． +1 10．如图，一次函数分别与x轴，y轴交于AB两点，与反比例函数交于C、D两点，若CD＝5AB，则k的值是（）A．B．6C．8D．﹣4二、填空题（每小题5分，共30分）11．因式分解：a2+2ab＝．12．不等式的解集是．13．如图，AB∥CD，EF平分∠AEC，EG⊥EF．若∠C＝110°，则∠BEG的度数为度．14．如图，已知直线y＝+b交y轴正半轴于点B，在x轴负半轴上取点A，使2BO＝3AO，AC⊥x轴交直线y＝+b于点C，若△OAC的面积为，则b的值为．15．如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心坐标为（，a）半径为，函数y＝2x﹣2的图象被⊙A截得的弦长为2，则a的值为．16．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线BD上的一点，连结AE，过点E作EF 垂直AE交BC于点F，连结AF，交对角线BD于G．若三角形AED与四边形DEFC的面积之比为3：8，则cos∠GEF＝．三、解答题17．（10分）（1）计算：2﹣1++（2019+π）0﹣7sin30°（2）先化简，再求值：（x+4）2﹣x（x﹣3），其中x＝18．（8分）两块完全相同的直角三角形纸板ABC和DEF，按如图所示的方式叠放，其中∠ABC ＝∠DEF＝90°，点O为边BC和EF的交点．（1）求证：△BOF≌△COE．（2）若∠F＝30°，AE＝1，求OC的长．19．（8分）在一个不透明的布袋里装有4个球，其中3个白球，1个红球，它们除颜色外其余都相同．（1）若从中任意摸出一个球，求摸出白球的概率；（2）若摸出1个球，记下颜色后不放回，再摸出1个球，求两次摸出的球恰好颜色相同的概率（要求画树状图或列表）20．（8分）已知网格的小正方形的边长均为1，格点三角形ABC如图所示，请仅使用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角，画出满足条件的图形（保留作图痕迹）（1）在图甲AB边上取点D，使得△BCD的面积是△ABC的；（2）在图乙中，画出△ABC所在外接圆的圆心位置．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点F，过点C作CE∥AB，与过点A的切线相交于点E，连接AD．（1）求证：AD＝AE．（2）若AB＝10，sin∠DAC＝，求AD的长．22．（10分）如图，过抛物线y＝ax2+bx上一点A（4，﹣2）作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C在直线AB上，抛物线交x轴正半轴于点D（2，0），点B与点E关于直线CD对称．（1）求抛物线的表达式；（2）①若点E落在抛物线的对称轴上，且在x轴下方时，求点C的坐标．②AE最小值为．23．（12分）某水产经销商从批发市场以30元每千克的价格收购了1000千克的虾，了解到市场价在一个月内会以每天0.5元每千克的价格上涨，经销商打算先在塘里放养几天后再出售（但不超过一个月）．假设放养期间虾的个体质量保持不变，但每天有10千克的虾死去．死去的虾会在当天以20元每千克的价格售出．（1）若放养10天后出售，则活虾的市场价为每千克元．（2）若放养x天后将活虾一次性售出，这1000千克的虾总共获得的销售额为36000元，求x的值．（3）若放养期间，每天会有各种其他的各种费用支出为a元，经销商在放养x天后全部售出，当20≤x≤30时，经销商日获利的最大值为1800元，则a的值为（日获利＝日销售总额﹣收购成本﹣其他费用）24．（14分）如图，在ABC中，已知AB＝BC＝10，AC＝4，AD为边BC上的高线，P为边AD上一点，连结BP，E为线段BP上一点，过D、P、E三点的圆交边BC于F，连结EF．（1）求AD的长；（2）求证：△BEF∽△BDP；（3）连结DE，若DP＝3，当△DEP为等腰三角形时，求BF的长；（4）把△DEP沿着直线DP翻折得到△DGP，若G落在边AC上，且DG∥BP，记△APG、△PDG、△GDC的面积分别为S1、S2、S3，则S1：S2：S3的值为．。

高中自主招生数学试题及答案

高中自主招生数学试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是无理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -9C. -3D. 13. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 已知等差数列的前三项分别为1，4，7，求第10项的值。

A. 26B. 27C. 28D. 295. 一个三角形的内角和为多少度？A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°二、填空题（每题2分，共10分）6. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是_________三角形。

7. 一个函数的导数f'(x) = 3x^2 - 2x，当x=1时，其导数的值为_________。

8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其第5项的值是_________。

9. 一个正方体的体积为27，它的边长是_________。

10. 圆的周长公式为C = 2πr，若半径r=4，则周长为_________。

三、解答题（共75分）11. 解一元二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

（10分）12. 证明：若a，b，c是实数，且a + b + c = 0，则(1/a) + (1/b) + (1/c) ≥ 9。

（15分）13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求其导数并讨论其在x=1处的单调性。

（20分）14. 解不等式：|x - 2| + |x + 3| ≥ 5。

（15分）15. 已知一个圆的圆心在原点，半径为1，求圆上任意一点到直线y = x的距离。

（15分）四、结束语本试题旨在考察学生对高中数学基础知识的掌握情况和解题能力。

希望同学们在解答过程中能够认真思考，仔细作答，展现出自己的数学素养。

2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷(解析版)

2023年四川省成都市三校高中联考自主招生数学试卷一､选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某几何体从三个方向看到的平面图形都相同，这个几何体可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合几何体的三视图的规则，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以A 不合题意；对于B 中，由三棱柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是三角形，所以B 不合题意；对于C 中，由正方体的三视图都是正方形，所以C 符合题意；对于D 中，由圆柱的主视图和左视图都是矩形，俯视图是圆，所以D 不合题意.故选：C.2.把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到抛物线23y x =，则n 的值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由函数的平移变化可得20n -+=，即可得出答案.【详解】解：把抛物线23(1)2y x =+-先向右平移1个单位，再向上平移n 个单位后，得到：23(11)2,y x n =+--+即：232,y x n =-+由题意可知：20n -+=，2n ∴=，故选：B.3.已知点()()()1232,1,,,3,y y y --都在反比例函数21k y x+=的图象上，那么123y y y ､､的大小关系正确的是（）A .123y y y << B.321y y y <<C.213y y y << D.312y y y <<【答案】C【解析】【分析】根据反比例函数的,x y 的变化情况，即可比较大小.【详解】20k ≥Q ，211k ∴+≥，是正数，∴反比例函数21k y x+=的图象位于第一三象限，且在每一个象限内y 随x 的增大而减小，()()()1232,,1,,3,y y y -- 都在反比例函数图象上，2130,0y y y ∴<<>，213y y y ∴<<.故选：C.4.在直角ABC 中，90,3,2C AB AC ∠=== ，则sin A 的值为（）A.53B.C.23 D.【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形正弦值的表示，即可求解.【详解】如图.在Rt ABC 中，90C = ∠，BC ∴===.5sin 3BC A AB ∴==.故选：A 5.如图，半径为R 的O 的弦AC BD =，且AC BD ⊥于E ，连结,AB AD ，若1AD =，则R 的值为（）A.12 B.22 C.1 D.【答案】B【解析】【分析】连接OA ，OD ，由弦AC BD =，可得 AC BD =，继而可得 =BC AD ，然后由圆周角定理，证得ABD BAC ∠=∠，即可判定AE BE =，由AE BE =，AC BD 丄，可求得45ABD ∠=︒，继而可得AOD △是直角三角形，则可求得AD =，由此可解决问题．【详解】解：弦AC BD =， AC BD∴=， BC AD ∴=，ABD BAC ∴∠=∠，;AE BE ∴=如图，连接,OA OD ，,AC BD AE BE ⊥= ，45ABE BAE ∠∠∴== ，290AOD ABE ∠∠∴== ，OA OD = ，AD ∴=，1AD = ，22R ∴=，故选：B.6.已知点()()111222,,,P x y P x y 为抛物线()240y ax ax c a =-++≠上两点，且12x x <，则下列说法正确的是（）A.若124x x +<，则12y y <B.若124x x +>，则12y y <C.若()1240a x x +->，则12y y >D.若()1240a x x +-<，则12y y >【答案】C【解析】【分析】分a<0和0a >，结合图象对选项一一判断即可得出答案.【详解】解：24y ax ax c =-++ ，∴抛物线对称轴为直线422a x a=-=-，当点()()111222,,,P x y P x y 恰好关于2x =对称时，有1222x x +=，124x x ∴+=，即1240x x +-=，12x x < ，122;x x ∴<< 抛物线的开口方向没有确定，则需要对a 进行讨论，故排除A ，B ；当0a >时，抛物线24y ax ax c =-++的开口向下，此时距离直线2x =越远，y 值越小；()1240a x x +-> ，1240x x ∴+->，∴点()222,P x y 距离直线2x =较远，12y y ∴>当0a <时，抛物线24y ax ax c =-++的开口向上，此时距离直线2x =越远，y 值越大；()1240a x x +-> ，1240x x ∴+-<，∴点()111,P x y 距离直线2x =较远，12y y ∴>故C 符合题意，D 不符合题意.7.如图，点,,A B C 在正方形网格的格点上，则sin BAC ∠等于（）A.3B.105 C.510 D.【答案】D【解析】【分析】求出CD ，AD 和AC ，由勾股定理可证明ACD 是直角三角形，再由sin sin CDBAC CAD AC ∠=∠=，代入即可得出答案.【详解】解：连接CD ，点D 在格点上，如图所示：设每个小正方形的边长为a ，则CD ==，AC ==，AD ==，222222)))CD AD AC ∴+=+==，ACD ∴是直角三角形，5sin sin5CD BAC CAD AC ∠∠∴===，8.如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，则BOD ∠的度数是（）A.70B.120C.140D.160o【答案】C【解析】【分析】利用圆周角和圆心角关系求解.【详解】四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠= ，18070A BCD ∠∠∴=-= ，由圆周角定理得，2140BOD A ∠∠== ，故选：C.9.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，四边形ADEF 是正方形，点,A D 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点F 在AB 上，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，若正方形ADEF 的面积为4，且BF AF =，则k 的值为（）A.12B.8C.6D.3【答案】B【解析】【分析】先由正方形的面积得出边长，据此可设B (),4t ，则E ()2,2t +，根据点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，得()422k t t ==+，求解即可.【详解】解：正方形ADEF 的面积为4，∴正方形ADEF 的边长为2，2,224BF AF AB AF BF ∴===+=+=.设B 点坐标为(),4t ，则E 点坐标()2,2t +，点,B E 在反比例函数(0,0)k y x k x=>>的图象上，()422k t t ∴==+，解得2,8t k ==.故选：B.10.如图，在等边三角形ABC 中，4AB =，点D 是边AB 上一点，且1BD =，点P 是边BC 上一动点（D P ､两点均不与端点重合），作60,DPE PE ∠= 交边AC 于点E .若CE a =，当满足条件的点P 有且只有一个时，则a 的值为（）A.2B.2.5C.3D.4【答案】D【解析】【分析】依题意得BDP CPE ，即240BP BP a -+=，根据一元二次方程有一个解Δ0=求解即可.【详解】解：ABC 是等边三角形，60B C ∴∠=∠= ，180120BDP BPD B ∠∠∠∴+=-= ，60DPE ∠= ，120BPD CPE ∠∠∴+= ，BDP CPE ∴∠=∠，60B C ∠=∠= ，BDP CPE ∴ ；BD BP CP CE∴=，14BP BP a∴=-，240BP BP a ∴-+=，满足条件的点P 有且只有一个，∴方程240BP BP a -+=有两个相等的实数根，2Δ440a ∴=-⨯=，4a ∴=.故选：D.二､填空题：本题共9小题，每小题4分，共36分.11.点()3,2m +和点3,3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一个反比例函数图象上的点，则m 的值为__________.【答案】6-【解析】【分析】根据两点在同一反比例函数图象上，可构造方程求得结果.【详解】点()3,2m +和点3,3m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是同一个反比例函数图象上的点，()2333m m ∴+=⨯，解得：6m =-.故答案为：6-.12.已知二次函数222(0)y x kx k k k =-+->，当1x <时，y 随x 的增大而减小，则k 的最小整数值为__________.【答案】1【解析】【分析】根据二次函数的图象、单调性即可求解.【详解】二次函数2222()y x kx k k x k k =-+-=--的对称轴为x k =，开口向上,所以当x k ≤时，y 随x 的增大而减小，又当1x <时，y 随x 的增大而减小，所以1k ≥，即k 的最小整数值为1.故答案为：1.13.如图，线段9,AB AC AB =⊥于点,A BD AB ⊥于点,2,4B AC BD ==，点P 为线段AB 上一动点，且以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，则AP 的长为__________.【答案】1或3或8.【解析】【分析】由三角形相似，对应边成比例，列方程求AP 的长.【详解】设AP x =，以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似，①当AC AP BD PB =时，249x x=-，解得3x =.②当AC AP BP BD=时，294x x =-，解得1x =或8x =，所以当以A C P ､､为顶点的三角形与以B D P ､､为顶点的三角形相似时，AP 的长为1或3或8，故答案为：1或3或8.14.已知二次函数22y x x n =++，当自变量x 的取值在21x -≤≤的范围内时，函数的图象与x 轴有且只有一个公共点，则n 的取值范围是__________.【答案】1n =或30n -≤<【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴为直线=1x -，利用函数图象，可得120n ++≥且440n -+<，解不等式组即可．【详解】解：抛物线的对称轴为直线2121x =-=-⨯，且开口向上，若抛物线与x 轴有且仅有一个交点，则有1,0x y =-=；当1,0x y =≥时，在21x -≤≤的范围内，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，根据对称性，公共点不可能在20x -≤≤范围内，而在01x <≤范围内，则120n ++≥且440n -+<，解得30n -≤<；所以，n 的取值范围是1n =或30n -≤<.故答案为：1n =或30n -≤<.15.若关于x 的方程()221210mx mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，则实数m 的取值范围是__________.【答案】{}12m m m =>或【解析】【分析】对m 分类讨论，求出方程的根，根据方程的根满足条件求m 的范围.【详解】解：当210-=m 时，1m =±.当1m =时，可得1210,2x x -==，符合题意；当1m =-时，可得1210,2x x --==-，不符合题意；当210m -≠时，()221210m x mx -+-=，即()()11110m x m x ⎡⎤⎡⎤+--+=⎣⎦⎣⎦，1211,11x x m m-∴==+-. 关于x 的方程()221210m x mx -+-=的所有根都是比1小的正实数，10111011m m⎧<<⎪⎪+∴⎨-⎪<<⎪-⎩，解得02m m >⎧⎨>⎩，即2m >.综上可得，实数m 的取值范围是{}12m m m =>或.故答案为：{}12m m m =>或.16.对,x y 定义一种新运算T ，规定：(),2ax by T x y x y +=+（其中,a b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：()010,1201a b T b ⨯+⨯==⨯+，已知()()1,12,4,21-=-=T T ，若关于m 的不等式组()()2,544,32T m m T m m P ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是________.【答案】123P -≤<-【解析】【分析】根据已知得出关于,a b 的方程组，求出,a b ，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.【详解】因为()()1,12,4,21-=-=T T ，所以422,212124a b a b -+=-+=-⨯，解得1,3a b ==，所以()()235412,5444542m m T m m m m m +⨯--=≤⇒≥-+-，()()33293,322325m m P T m m P m m m +⨯---=>⇒<+-，因为不等式组恰有3个整数解，所以93123253P P -<≤⇒-≤<-，故答案为：123P -≤<-.17.如图，四边形OABC 为矩形，点A 在第二象限，点A 关于OB 的对称点为点D ，点,B D 都在函数(0)y xx =>的图像上，BE x ⊥轴于点E .若DC 的延长线交x 轴于点F ，当矩形OABC 的面积为时，EF OE的值为___________；点F 的坐标为___________.【答案】①.12##0.5；②.33(,0)2【解析】【分析】连接OD ，作DG x ⊥轴，设点6262(,),(,)B b D a b a，根据矩形的面积得出三角形BOD 的面积，将三角形BOD 的面积转化为梯形BEGD 的面积，从而得出, a b 的等式，将其分解因式，从而得出, a b 的关系，进而在直角三角形BOD 中，根据勾股定理列出方程，进而求得 B D 、的坐标，进一步可求得结果.【详解】如图，作DG x ⊥轴于G ，连接OD ，设BC 和OD 交于I ,设点6262(,(,)B b D a b a，由对称性可得:,BOD BOA OBC ≌≌ ,OBC BOD BC OD OI BI ∴∠=∠=∴=，，DI CI ∴=，,DI CI OI BI∴=,CID BIO ∠=∠ ,,CDI BOI CDI BOI ∴∴∠=∠ //,CD OB ∴1,22BOD AOB EAOCB S S S ∴=== 矩形1||2BOE DOG S S k === ,BOD DOG BOE BEGD S BOGD S S S BEGD S =+=+ 四边形梯形92,2BOD BEGD S S == 梯形1()22a b a b ∴+-=222320,a ab b ∴--=(2)(2)0,a b a b ∴-⋅+=2,2b a b a ∴==-（舍去），62(2,),2D b b ∴即32(2,),D b b在Rt BOD 中，由勾股定理得222,OD BD OB +=22222232623262(2)()(2)()(),b b b b b b b b ⎡⎤⎡⎤∴++-+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦b ∴=B D ∴因为直线OB 的解析式为：,y =所以直线DF 的解析式为：y =-当0y =时，0,2x -=∴=3333(,0),22F OE OF ∴== 31,,22EF EF OF OE OE ∴=-=∴=故答案为：133,(,0).22【点睛】关键点点睛：本题考查了矩形性质，轴对称性质，反比例函数的“k ”的几何含义，勾股定理，一次函数及其图像性质，分解因式等知识，解决问题的关键是等式变形，进行分解因式.18.如图，面积为4的平行四边形ABCD 中，4AB =，过点B 作CD 边的垂线，垂足为点E ，点E 正好是CD 的中点，点M ､点N 分别是AB AC ､.上的动点，MN 的延长线交线段DE 于点P ，若点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则线段BM 长x 的取值范围是__________.【答案】24x -≤≤【解析】【分析】根据点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，可看成弦MB 所对的圆周角45MPB ∠= ，设MBP 外接圆的圆心为O ，由CD 与AB 之间的距离为1，12122x x +≥，又4MB ≤，即可得出答案.【详解】解：平行四边形ABCD 的面积为4,4,AB BE CD =⊥，1BE ∴=，点P 是唯一使得线段45MPB ∠= 的点，则可看成弦MB 所对的圆周角45MPB ∠= ，设MBP 外接圆的圆心为O ，则90MOB ∠= ，22OB x ∴=，CD 与AB 之间的距离为1，12122x x ∴+≥，2x ∴≥，又4MB ≤ ，24x ∴≤≤.故答案为：24x -≤≤.19.如图，平行四边形,,4,60ABCD AB AD AD ADB ∠>== ，点E F ､为对角线BD 上的动点，2DE BF =，连接AE CF ､，则2AE CF +的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】在直线DB 的上方作60BDT ∠= ，且使得2DT BC =.过点T 作TH AD ⊥交AD 的延长线于，将2AE CF +的最小值问题转化为AT 的最小值问题，利用平面几何知识求解即可.【详解】如图，在直线DB 的上方作60BDT ∠= ，且使得2DT BC =.过点T 作TH AD ⊥交AD 的延长线于H .四边形ABCD 是平行四边形，BC ∴ ,4AD AD BC ==，60ADB DBC ∠∠∴== ，CBF TDE ∠∠∴=，12BC BF DT DE == ，CBF TDE ∴~ ，12CF BC ET DT ∴==，2ET CF ∴=，180606060,90,28TDH H DT BC ∠∠=--==== ，cos604,DH DT HT ∴=⋅===，8AH AD DH ∴=+=，AT ∴===，2,AE CF AE ET AE ET AT +=++≥ ，2AE CF ∴+≥2AE CF ∴+的最小值为.故答案为：三､计算题：本大题共1小题，共12分.20.（1）计算：0(1π)2cos451++-+- .（2）解不等式组：()5231131722x x x x ⎧->+⎪⎨-≤-⎪⎩①②【答案】(1)2；（2）542x <≤【解析】【分析】（1）分别进行算术平方根、零次幂、三角、绝对值运算，再由加减运算法则计算求值；（2）分别求解两个一次不等式的解集，再利用数轴求它们的公共部分即可.【详解】（1）原式21212=+-⨯+-211=+-+-2=；（2）由①得：52x >，由②得：4x ≤，则不等式组的解集为542x <≤.四､解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.21.先化简，再求值：2269111a a a a ++⎛⎫+÷ ⎪++⎝⎭，其中3=a .【答案】13a +，3【解析】【分析】对式子变形结合因式分解及完全平方和化简式子，代入3=-a 即可计算.【详解】原式212(3)111a a a a a ++⎛⎫=+÷ ⎪+++⎝⎭2311(3)a a a a ++=⋅++13a =+，当3=-a时，原式33==.22.河南某中学准备在感恩节向全校学生征集书画作品，美术田老师从全校随机抽取了四个班级记作A 、B 、C 、D ，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图2.（1）田老师抽查的四个班级共征集到作品多少件？（2）请把图2的条形统计图补充完整.（3）若全校参展作品中有五名同学获奖，其中有二名男生、三名女生.现在要在其中抽三名同学去参加学校书画座谈会，请用画树状图或列表的方法求恰好抽中一名男生、两名女生的概率.【答案】（1）15件；（2）答案见解析（3）35【解析】【分析】（1）根据B 班有5件作品，且对应的圆心角为120 求解；（2）结合（1）根据总件数和A ，B ，D 班的件数求解；（3）利用古典概型的概率求解.【小问1详解】解：120515360︒÷=︒（件），即田老师抽查的四个班级共征集到作品15件；【小问2详解】C 班级的作品数为：153543---=（件），把图2的条形统计图补充完整如下：【小问3详解】恰好抽中一名男生、两名女生的概率，即为不参加学校书画座谈会的获奖选手为一名男生、一名女生的概率.不参加学校书画座谈会的获奖选手情况画树状图如下：共有20种等可能的结果，恰好一名男生、一名女生不参加学校书画座谈会的结果有12种，∴恰好抽中一名男生、两名女生的概率为123205=.23.东西走向海岸线上有一个码头（图中线段AB ），已知AB 的长为132米，小明在A 处测得海上一艘货船M 在A 的东北方向，小明沿海岸线向东走60米后到达点C ，在C 测得M 在C 处的北偏东15 方向（参考数据：2 1.41,3 1.73,6 2.45)≈≈≈（1）求AM 的长；（结果精确到1米）（2）如图，货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，问该货船是否能行驶到码头所在的线段AB 上？请说明理由.【答案】（1）116米（2）该货船能行驶到码头所在的线段AB 上，理由见解析【解析】【分析】（1）过点C 作CD AM ⊥，垂足为D ，45MAC ∠= ，30∠= AMC ，60AC =米，利用三角函数求出,AD DM ，得AM 的长；（2）设货船行驶路线交线段AB 所在的直线于点G ，构造直角三角形，利用三角函数求AG 的长度，与AB 比较即可.【小问1详解】过点C 作CD AM ⊥，垂足为D ，由题意得：904545,9015105MAC ACM ∠∠=-==+= ，18030AMC MAC ACM ∠∠∠∴=--= ，在Rt ADC 中，60AC =米，2cos456022AD AC ∴=⋅=⨯= （米），2sin456022CD AC =⋅=⨯= （米），在Rt CDM △中，26tan3033CD DM == （米），302306116AM AD DM ∴=+=+≈（米），AM ∴的长约为116米；【小问2详解】该货船能行驶到码头所在的线段AB 上，理由：过点M 作MF AB ⊥，垂足为F ，设货船从M 出发，沿着南偏东30 方向行驶，交线段AB 所在的直线于点G ，由题意得：30FMG ∠= ，在Rt AMF 中，(26AM =米，45MAF ∠= ，((cos45302AF AM ∴=⋅=⨯=+ 米，((2sin45302FM AM =⋅=⨯=+ 米，在Rt MGF 中，(()3tan3030303FG MF =⋅=+⨯=+ 米，303060129.2(AG AF FG ∴=+=+=+米)，132AB = 米，132∴米>129.2米，∴该货船能行驶到码头所在的线段AB 上.24.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x b =+经过点()1,0A -，与y 轴正半轴交于B 点，与反比例函数(0)k y x x =>交于点C ，且3,//AC AB BD x =轴交反比例函数(0)k y x x=>于点D .（1）求b k ､的值；（2）如图1，若点E 为线段BC 上一点，设E 的横坐标为m ，过点E 作//EF BD ，交反比例函数(0)k y x x =>于点F .若13EF BD =，求m 的值.（3）如图2，在（2）的条件下，连接FD 并延长，交x 轴于点G ，连接OD ，在直线OD 上方是否存在点H ，使得ODH 与ODG 相似（不含全等）？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）3b =，18k =（2）1（3）存在，()3,4或()1,3或927,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1515,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，理由如下【解析】【分析】（1）作CM x ⊥轴于M ，证明BOA CMA ，再根据直线3y x b =+经过点A ，即可求得b ，进而可求得B 点的坐标，即可求出C 点的坐标，进而可求得k ；（2）根据BD //x 轴可求出D 点的坐标，再根据EF //BD 可求得F 点的坐标，再根据13EF BD =即可得解；（3）过点D 作DQ x ⊥轴于点Q ，先求出,OD DG ，再分HOD DOG ∠=∠，HOD DGO ∠=∠和HOD ODG ∠=∠三种情况讨论即可得解.【小问1详解】作CM x ⊥轴于M ，如图1：,BOA CMA BAO CAM ∠∠∠∠== ，BOA CMA ∴ ，直线3y x b =+经过点()1,0A -，30b ∴-+=，解得3b =，∴直线解析式为：33y x =+，()0,3B ∴，3AC AB = ，39,33CM BO AM OA ∴====，C ∴点坐标为()2,9，∴将C 点坐标代入k y x=，得18k =；【小问2详解】BD Q //x 轴，D ∴点的纵坐标为3，代入18y x=，得6x =，D ∴点坐标为()6,3，将E 点横坐标代入33y x =+，得33y m =+，EF //BD ，F ∴点纵坐标为33m +，代入18y x =，得61x m =+，F ∴点坐标为6,331m m ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭，13EF BD = ，61613m m ∴-=⨯+，解方程得1m =或4-（舍），1m ∴=；【小问3详解】存在，理由如下：如图2，过点D 作DQ x ⊥轴于点Q ，由（2）知()()3,6,6,3D F ，∴直线FD 的解析式为：9,6,3y x OQ DQ =-+==，9OG ∴=，:3DQ GQ ∴=，45QGD QDG ∠∠∴== ，OD DG ∴==，当HOD DOG ∠=∠时，如图2所示，设BD 与OH 交于点P ，由（2）知，BD //x 轴，BDO DOG ∴∠=∠，BDO HOD ∴∠=∠，OP PD ∴=，设OP m =，则6BP m =-，在Rt OBP △中，由勾股定理可得，2223(6)m m +=-，解得154m =，94BP ∴=，9,34P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，∴直线OP 的解析式为：43y x =；①若ODG ODH ，则::1OD OD OG OH ==，不符合题意，舍去；②若ODG OHD ，::OD OH OG OD ∴=，即9OH =，解得5OH =，设()3,4H t t ，222(3)(4)5t t ∴+=，解得1t =，负值舍去，()3,4H ∴；当HOD DGO ∠=∠时，①若ODG DHO ，如图4，,::DOG ODH DG OH OG DO ∠∠∴==，DH ∴//OG，即点H 在BD 上，:9OH =，OH ∴=，1BH ∴=，()1,3H ∴，直线OH 的解析式为：3y x =；②若ODG HDO ~ ，::DG OD OG OH ∴=，即9:OH =，解得OH =设(),3H t t ，222910(3)2t t ⎛∴+= ⎝⎭，解得92t =，负值舍去，927,22H ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；当HOD ODG ∠=∠时，OH //EG ，∴直线OH 的解析式为：y x =-；①若ODG DOH ，则::1OD OD OG DH ==，不符合题意，舍去；②若ODG HOD ，如图5，::OD OH DG OD ∴=，即OH =，解得2OH =，设(),H t t -，222152()2t t ⎛⎫∴+-= ⎪ ⎪⎝⎭，解得152t =-，正值舍去，1515,22H ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；综上，符合题意的点H 的坐标为：()3,4或()1,3或927,22⎛⎫ ⎪⎝⎭或1515,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：熟练掌握三角形相似的判定和性质是解决本题的关键.25.在O 中»»AB AC =，顺次连接A B C ､､.（1）如图1，若点M 是 AC 的中点，且//MN AC 交BC 延长线于点N ，求证：MN 为O 的切线；（2）如图2，在（1）的条件下，连接MC ，过点A 作AP BM ⊥于点P ，若,,BP a MP b CM c ===，则a b c ､､有何数量关系？（3）如图3，当60BAC ∠= 时，E 是BC 延长线上一点，D 是线段AB 上一点，且BD CE =，若5,BE AEF = 的周长为9，请求出AEF S 的值？【答案】（1）证明见解析（2）a b c=+（3）15316【解析】【分析】（1）利用切线定义，证明OM MN ⊥即可；（2）连接OM 交AC 于K ，通过勾股定理和ABP MCK 对应边成比例，得a b c ､､的数量关系；（3）构造平行四边形，求利用三角形全等和平行线的性质求相应的边长，由AEF ADE ADF S S S =- 计算面积.【小问1详解】如图1，连接OM ，M 是 AC 的中点，OM AC ∴⊥，//MN AC ，OM MN ∴⊥，OM Q 为O 的半径，MN ∴为O 的切线；【小问2详解】如图2，连接OM 交AC 于K ，连结AM ，M 是 AC 的中点， AM CM∴=，AM CM c ∴==，AP BM ⊥ ，90APM APB ∠∠∴== ，22222AP AM PM c b ∴=-=-，222222AB AP BP c b a ∴=+=-+，AC AB ∴==，M 是 AC 的中点，OM AC ∴⊥，12AK CK AC ∴===90,APB CKM ABP MCK ∠∠∠∠=== ，ABP MCK ∴ ，BP CK AB CM ∴=，BP CM CK AB ∴⋅=⋅，ac ∴=，2222ac c b a ∴=-+，22()0a c b ∴--=，()()0a b c a b c ∴+---=，0a b c +-> ，0a b c ∴--=，a b c ∴=+；【小问3详解】过点B 作//BH AC ，过点D 作//DH BC ，BH 与DH 交于点H ，连接CH ，当60BAC ∠= 时，BAC 为等边三角形，则60,60BDH ABC DBH BAC ∠∠∠∠==== ，BDH ∴ 是等边三角形，,60BH BD DHB ∠∴== ，BH CE ∴=，6060120CBH ABC DBH ∠∠∠=+=+= ，180120,ACE ACB CBH AC BC ∠∠∠=-=== ，()ACE CBH SAS ∴≅ ，,CAE BCH AE CH ∠∠∴==，//DH BC Q ，DH CE =，∴四边形CEDH 是平行四边形，//D CH E ∴，CH ED =，BCH BED ∠∠∴=，CH AE =，AE ED ∴=，,BED CAE ∠∠=过点E 作ET AB ⊥于点T ，交AC 于点L ，连接DL ，则12AT TD AD ==，AL DL =，60BAC ∠= ，ADL ∴ 是等边三角形，60ALD ACB ∠∠∴== ，//DL BC ∴，即HD 与DL 在同一直线上，∴四边形BCLH 是平行四边形，CL BH BD CE ∴===，LH BC =，设CE x =，则52,5,52,2x CL x BC AC x AD DL AL AC CL x AT -===-===-=-=，//DF CH ，LF LD CL LH ∴=，即525LF x x x -=-，()525x x LF x-∴=-，()()525525255x xx AF AL LF x x x --∴=+=-+=--，在Rt BET 中，53sin602ET BE =⋅= ，222AE AT ET =+ ，22225252522x AE x x ⎛-⎛⎫∴=+=-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，延长,BH ED 交于点R ，则,,RHD FCE R CFE DH CE ∠∠∠∠===，()HDR CEF AAS ∴≅ ，DR EF ∴=，()552209955x x ER ED DR AE EF AF x x-+∴=+=+=-=-=--，//CH ED ，CH BC ER BE ∴=，52020555BC x x x CH ER BE x -++∴=⋅=⨯=-，205x AE +∴=，22205255x x x +⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，解得：15=x （舍去），2158x =，()5521552552,1021584558x AD AF x -∴=-⨯===-=--，作DM AL ⊥于点M ，则5353sin60428DM AD =⋅=⨯= ，1115531531532222422816AEF ADE ADF S S S AD ET AF DM ∴=-=⋅-⋅=⨯⨯-⨯⨯= .26.甲､乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出.如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车.另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元.乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元.说明：①汽车数量为整数；②月利润=月租车费-月维护费；③两公司月利润差=月利润较高公司的利润-月利润较低公司的利润.在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是__________元；当每个公司租出的汽车为__________辆时，两公司的月利润相等；（2）求两公司月利润差的最大值；（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出a 元(0)a >给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求a 的取值范围.【答案】（1）48000；37（2）33150（3）50150a <<【解析】【分析】（1）直接根据条件列式计算即可；（2）分甲公司的利润大于乙公司和乙公司的利润大于甲公司两种情况分别计算，算出最大利润差；（3）根据利润差最大，利用二次函数的性质列不等式求解.【小问1详解】()5010503000102001048000⎦-⨯+⨯-⎡⎤⎣⨯=元，当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是48000元；设每个公司租出的汽车为x 辆，由题意可得：()5050300020035001850x x x x -⨯+-=-⎡⎤⎣⎦，解得：37x =或=1x -（舍），∴当每个公司租出的汽车为37辆时，两公司的月利润相等；【小问2详解】设两公司的月利润分别为y 甲，y 乙，月利润差为y ，则y 甲()50503000200,x x x ⎡⎤=-⨯+-⎣⎦35001850y x =-乙，当甲公司的利润大于乙公司时，037,x <<()()5050300020035001850y y y x x x x ⎡⎤=-=-⨯+---⎣⎦甲乙25018001850x x =-++，当180018502x =-=-⨯时，利润差最大，且为18050元；当乙公司的利润大于甲公司时，3750,x <≤()3500185050503000200y y y x x x x⎡⎤=-=---⨯++⎣⎦乙甲25018001850x x =--，对称轴为直线180018502x -=-=⨯，当50x =时，利润差最大，且为33150元；综上：两公司月利润差的最大值为33150元；【小问3详解】捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，则利润差为()2250180018505018001850y x x ax x a x =-++-=-+-+，对称轴为直线1800100a x -=，x 只能取整数，且当两公司租出的汽车均为17辆时，月利润之差最大，180016.517.5100a -∴<<，解得：50150a <<.27.在ABC 中，90,CAB AC AB ∠== .若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90 得到BE ，连接CE ，交AB 于点F .（1）如图1，若75,4ABE BD ∠== ，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H .若30ABD ∠= ，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4,AB D =为AC 的中点，将ABD △绕点B 旋转得A BD '' ，连接A C A D ''､，当22A D A C ''+最小时，求A BC S '△.【答案】（1（2）34HG CD =，证明见解析（3）4-【解析】【分析】（1）过D 作DG BC ⊥，垂足是G ，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度；（2）延长CA ，过E 作EN 垂直于CA 的延长线，垂足是N ，连接,BN ED ，过G 作GM AB ⊥于M ，构造全等三角形，设AC a =，利用中位线定理，解直角三角形，用a 的代数式表示CD 和HG ，即可得CD 和HG 的数量关系；（3）取BC 的中点N ，连接A N '，连接DN ，构造相似三角形，利用两点之间线段最短，确定A '的位置，继而求得相关三角形的面积．【小问1详解】过D 作DG BC ⊥，垂足是G ，如图1：将BD 绕点B 顺时针旋转90 得到BE ，90EBD ∠∴= ，75ABE ∠= ，15ABD ∠∴= ，45ABC ∠= ，30DBC ∴∠= ，∴在直角BDG 中有12,332DG BD BG DG ====，45ACB ∠= ，∴在直角DCG △中，2CG DG ==，23BC BG CG ∴=+=+226;2AC BC ∴==【小问2详解】线段DC 与线段HG 的数量关系为：34HG CD =，证明：延长CA ，过E 作EN 垂直于CA 的延长线，垂足是N ，连接,BN ED ，过G 作GM AB ⊥于M ，如图：90END ∠∴= ，由旋转可知90EBD ∠= ，45EDB ∴∠=90END EBD ∠∠∴== ，,,,E B D N ∴四点共圆，45,180BNE EDB NEB BDN ∠∠∠∠∴==+=180,45BDC BDN BCD ∠∠∠+== ，BEN BDC ∠∠∴=，45BNE BCD ∠∠∴== ，在BEN 和BDC 中，BNE BCD BEN BDC BE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BEN BDC AAS ∴≅ ，BN BC ∴=，90BAC ∠= ，在等腰BNC 中，由三线合一可知BA 是CN 的中线，90BAC END ∠∠== ，EN ∴//AB ，A 是CN 的中点，F ∴是EC 的中点，G 是BC 的中点，FG ∴是BEC 的中位线，FG ∴//1,2BE FG BE =，BE BD ⊥ ，FG BD ∴⊥，30ABD ∠= ，60BFG ∠∴= ，45ABC ∠= ，75BGF ∠∴= ，设AC a =，则AB a =，在Rt ABD △中，,33AD a BD BE ===，12FG BE ∴=，3FG a ∴=，GM AB ⊥ ，BGM ∴是等腰三角形，221211222222MG MB BG BC a ∴====⨯⨯=，在Rt MFG 中，60MFG ∠=，MG =，36MF a ∴=，336BF BM MF ∴=+=，在Rt BFH △中，60BFG ∠=，13212FH BF a +∴==，)3113124HG FG FH a a a +∴=-=-=-，又)33133CD a a a =-=- ，CD HG ∴=，4HG CD ∴=.【小问3详解】设AB a =，则BC =，取BC 的中点N ，连接,,A D A C A N '''，连接DN ，如图3，由旋转可知A B AB a '==，22A B BC BN A B a===''=，A B BC BN A B∴'=='，又A BN CBA ∠∠''=，A BN CBA ∴'' ∽，22A N A B A C BC ''=='∴，22A N A C =''∴，根据旋转和两点之间线段最短可知，22A D A C ''+最小，即是A D A N '+'最小，此时D A N '､､共线，即A '在线段DN 上，设此时A '落在A ''处，过A ''作A F AB ''⊥于F ，连接AA ''，如图4，,D N 分别是,AC BC 的中点，DN ∴是ABC 的中位线，DN ∴//AB ，AB AC ⊥ ，DN AC ∴⊥，90A A FA A DA ∠∠∠=='''=' ，∴四边形A FAD ''是矩形，,2AF A D A F AD '''='∴==，又4A B AB ='='，设AF x =，在直角三角形A FB ''中，222A B A F BF ''=+''，22242(4)x ∴=+-，解得4x =-∴此时111222A BC ABC AA B A AC S S S S AB AC AB A F AC A D ''''''=--=⋅-'-''⋅'⋅(1114442444222=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-=-.28.如图，抛物线222y x mx m =-+++与x 轴负半轴交于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，3OB OA =.（1）求抛物线的解析式；（2）设D 是第四象限内抛物线上的点，连接,:12:5COD AOD AD OD CD S S = ､､.①求点D 的坐标；②连接BD ，若点,P Q 是抛物线上不重合的两个动点，在直线(0)x a a =>上是否存在点,M N （点,,A P M 按顺时针方向排列，点,,A Q N 按顺时针排列），使得APM AQN ≅ 且APM ABD ∽？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）223y x x =-++（2）①()4,5-，②存在，214a =【解析】【分析】（1）将点带入抛物线方程，利用韦达定理求得m ，即可得到抛物线方程.（2）①利用三角形面积之比、点D 抛物线上并根据象限即可求得点D 坐标;②假设存在利用三角形全等、相似知识确定P Q 、的位关系，再根据相似比得到a 的值.【小问1详解】由题设A 坐标()0,0x -，则B 为()003,0,0x x ≠且00x >，则有()2002002209620x m x m x mx m ⎧-+⋅-++=⎨-+++=⎩，两式作差得200880x mx -=，则0m x =，又0032-⋅=-- x x m ，则解得1m =或23-（舍去），即1m =，所以抛物线解析式为223y x x =-++.【小问2详解】①如图1，设()00,D x y ，易知3CO =，1AO =，则001322COD S CO x x =⨯⋅= ，()001122AOD S AO y y =⨯⨯-=- ，又:12:5COD AOD S S = ，003122152x y ∴=-，则0054y x =-，又点D 在抛物线上，200023y x x ∴=-++，解得04x =或034x =-（舍去)，则004,5x y ==-，即点D 的坐标为()4,5-.②由（1）得()3,0B ，如图2，APM AQN ≅ ，AM AN ∴=，又P Q ､不重合，则M N ､不重合，且MN 都在x a =上，M N ∴､关于x 轴对称，假设存在这样的P Q ､，APM ABD ∽，AQN ABD ∴ ∽，且相似比相同，APQ AMN ∴ ∽，且45NAQ DAB ∠∠== ，AMN ∴ 的中线与APQ △中线夹角也为45 ，而AMN 的中线在x 轴上，APQ ∴△的中线在1y x =+上，P Q ∴､关于1y x =+对称，从而PQ 与直线1y x =+垂直.设PQ 解析式为：,y x b PQ =-+中点为(),R m n ，联立223y x b y x x =-+⎧⎨=-++⎩，得2330x x b -+-=，123x x ∴+=，32m ∴=，将3,2R n ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入1y x =+得52n =，35,22R ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，AR ∴=设x a =与x 轴交于H ，则由APQ AMN ∽可得，AR AP AB AH AM AD ===，254AH ∴=，214a ∴=.【点睛】方法点睛：在求解解析式时，可以考虑代入曲线上的点，并根据数量关系求得系数，进而得到解析式；在解决解析几何问题时，要充分利用初中所学的三角形相关的全等、相似知识，对于直线和圆锥曲线交点的问题，可以联立方程结合韦达定理得到相关数值.。

重点高中自主招生数学试题

重点高中自主招生数学试题一、选择题1.若函数$f(x)=\frac{2x-1}{x+3}$, 当$x$趋近于无穷大时，$f(x)$的值趋近于A. 2B. -2C. 1D. -12.已知函数$f(x)$的定义域为$x \in (-\infty, 2)$, 那么函数$g(x)=f(e^{2x})$的定义域是A. $x \in (-\infty, \ln4)$B. $x \in (-\infty, 2)$C. $x \in (-\infty, \ln2)$D. $x \in (-\infty, \ln\frac{1}{4})$3.已知函数$f(x)=\frac{x-1}{x+1}$，则$f(x+1)$等于A. $f(x)$B. $f(x)+1$C. $f(x-1)$D. $\frac{1}{f(x)}$二、填空题1.设$a$为正整数，若$a^3-4a^2+5a-2=0$有一个正整数解，则$a$的值是\anst{2}。

2.设等差数列$\{a_n\}$满足$a_1=5$，$a_9=29$，则$a_{15}$的值是\anst{47}。

3.已知$\frac{3^x+3^{-x}}{3^x-3^{-x}}=7$，则$x$的值是\anst{1}。

三、解答题1.解方程：$\log_3(x^2+2x)-2\log_3(x+1)=\log_3(x+2)-2$解答：首先，我们可以利用对数的性质进行简化。

将题目中的等式两边都取对数底为3，得到：$\log_3(x^2+2x)-\log_3(x+1)^2=\log_3(x+2)-1$然后，利用对数的运算相关规律合并右侧表达式：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}\right)=\log_3(x+2)-1$进一步简化为：$\log_3\left(\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}\right)=\log_3(x+2)-1$由于等式两边底数相同，因此可以去掉对数符号：$\frac{x^2+2x}{x^2+2x+1}=x+2$接下来，我们将方程进行整理化简为二次方程：$x^2+2x=(x^2+2x+1)(x+2)$展开并合并同类项：$x^2+2x=x^3+4x^2+5x+2$整理得到：$x^3+3x^2+3x+2=0$通过观察，我们可以发现当$x=-1$时，方程成立。

重点高中自主招生数学(含答案)

重点高中自主招生数学试题答案及评分标准一、选择题（本题满分30分，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1、已知实数a 满足，则等于（B ）|2|2a a -+=a （A ）0 （B ）1（C ）2（D ）32、名同学参加夏令营活动，需要同时搭建可容纳人和人的两种帐篷，则有效搭建方案5032共有A ）（A ）8种（B ）9种（C ）种3、反比例函数与一次函数 1k y x -=y =B ）．是的平分线，∆70,=︒120,BPC ∠=︒BD ABP ∠CE( C )BFC =（（D ） 95︒100︒5、如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转到正方形，图中阴影部ABCD A 30︒AB C D '''分的面积为（ A ）（A ）（B1（C ）（D ）112D C (A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)6、四条直线围成正方形。

现掷一个均匀且各面上6,6,6,6+=-=+-=--=x y x y x y x y ABCD 标有1、2、3、4、5、6的立方体，每个面朝上的机会是均等的。

连掷两次，以面朝上的数为点P 的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点落在正方形面上（含边界）P 的概率是（ D ）（A ）（B ）（C ）（D ）214397125二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7、若，则的值为 0 .1,x =-43221x x x ++- 10、如图，双曲线与矩形OABC 的边CB ，BA 分别交于点E ，F 且AF ＝BF ，连2(0)y x x=>接EF ，则△OEF 的面积为 .2311、如图矩形纸片ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝10cm ，CD 上有一点E ，ED ＝2cm ，AD 上有一点 P ，PD ＝3cm ，过P 作PF ⊥AD 交BC 于F ，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的长是_____14/3_______cm .12、对于正数x ，规定，例如。

重点高中自主招生数学试题8含答案

重点高中自主招生数学试题8含答案一.选择题：（每小题3分，共30分） 1．已知tan 33)20(0=-α，则锐角α的度数是（） A ．60°B.45°C.50°D.75°2．抛物线22y x =向左平移1个单位，再上平移3个单位，得到的抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标分别是（）Ａ.开口向上；x ＝-1；（-1，3） B.开口向上；x ＝1；（1，3） C.开口向下；x ＝1；（-1，-3） D.开口向下；x ＝-1；（1，-3） 3．把二次函数2y ax bx c =++ 的值恒为正，则a,b,c 应满足（）A ．2a>0,b 40.ac -> B. 20,40a b ac >-< C. 20,40a b ac <-> D. 20,40a b ac <-< 4、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（）．5．AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC=6米，52ACB ∠=,则拉线AC 的长为（）A.︒526sin 米 B. ︒526tan 米 C. 6·cos 52°米 D. ︒526cos 米 6．已知112233(2)(1)(2)P y P y P y --，，，，，是反比例函数 2y x=的图象上的三点，则123y y y ，，的大小关系是（）Ａ．321y y y <<Ｂ．123y y y << Ｃ．213y y y << Ｄ．以上都不对7. 、晚上，小华出去散步，在经过一盏路灯时，他发现自己的身影是（）A ．变长B ．变短C ．先变长后变短D ．先变短后变长8. 已知关于x 的方程x 2―(2k ―1)x+k 2=0有两个不相等的实数根，那么k 的最大整数值是( ) A ．0 B ．―1 C ．―2 D ．19.如图所示,在四边形ABCD 中，AD ∥BC,要使四边形ABCD 成为平行四边形还需要条件( ) A.AB=DC B. ∠1=∠2 C. AB=AD D.∠D=∠B10. 如图所示, ⊙O 是△ABC 的外接圆,已知∠ABO = 20º,则∠C 的度数为( ) A.45º B.60º C.70º D.90º二.填空题（每小题3分，共15分）A B C D 主视图左视图俯视图(第4题) ABC┐11．已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______．12．初三（1）班研究性学习小组为了测量学校旗杆的高度（如图），他们在离旗杆底部E 点30米的D 处，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为30º，已知测角仪器高AD=1.4米，则旗杆BE 的高为________米（结果保留根号）．13．如图四边形ABCD 内接于⊙O,AB 为直径,PD 切⊙O 于D,与BA 延长线交于P 点,已知∠BCD=130º,则∠ADP= .14. 如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为㎝。

成都重点高中自主招生数学模拟试题(含答案)

F重点中学自主招生数学模拟试题一一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）1、如果关于x 的方程2230x ax a -+-=至少有一个正根，则实数a 的取值范围是（）A 、22<<-aB 、23≤<aC 、23≤<-aD 、23≤≤-a2、如图，已知：点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC AB 、的中点，DF BD 、分别交CE 于点H G 、，若正方形ABCD 的面积是240，则四边形BFHG 的面积等于……………………（）A 、26B 、28C 、24D 、303 、设z y x 、、是两两不等的实数，且满足下列等式：66633633)()(z x x y x z x x y x ---=-+-，则代数式xyz z y x 3333-++的值是………………… （）A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ︒=∠=∠=30,53cos ,10BCE BCD BC ，则线段DE 的长是………………… （）A 、89B 、73C 、4+33D 、3+435、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n 排的等腰梯形阵，且这n 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是…………………（）A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数d c b a 、、、同时满足下列两个等式：⑴0cos sin =-+c b a θθ； ⑵0sin cos =+-d b a θθ（其中θ为任意锐角），则d c b a 、、、之间的关系式是：。

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重点中学自主招生数学模拟试题一一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）2 21、如果关于x的万程x ax a 3 0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A、2 a 2B、73 a 2 C> 33 a 2 D、V3 a 22、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H ,若正方形ABCD的面积是240 ,则四边形BFHG的面积等于A、26B、28C、24D、303、设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式：Vx3（y x）3 Vx3（z x）3 6, y x Vx z ,则代数式x3 y3 z3 3xyz 的值是................. （）A、0B、1C、3D、条件不足，无法计算4、如图，四边形BDCE内接于以BC为直径的。

BC 10,cos BCD 3, BCE 30 ,则线段5是............. （）A、V89B、7 <3C、4+3 V3D、3+45、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n排的等腰梯形阵，且这n排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当n取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分）6、已知：实常数 a 、b 、c 、d 同时满足下列两个等式：⑴ asin bcos c 0；⑵acos bsin d 0 （其中为任意锐角），则a 、b 、c 、d 之间的关系式是：8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210, 一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及9、已知：x有理系数三次多项式来表示为：2 =3 2 2 210、设p 、q 、r 为素数，则方程 p p q r 的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组（p , q , r ）三、解答题（共6题，共90分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学.后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告.报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的7、函数yx 1 2x 2 3x 4x 4的最小值是 ________________________边界没有被单位圆滚过的部分的面积a, b, c,L L , z26个字母（不论大小写）依次用1,2,3,L ,26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：[x] 1（其中x是不超过26的正奇数）y 21 ；已知对于任意的实数x,记号[x]表示不超过x的最大[1] 13（其中x是不超过261 勺正偶数）.................. 8 1 ........ 11 、整数；将英文字母转化成密码，如8 [——]13 17,即h变成q，再如11 [―] 1 6,即k变成f。

2 2他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjwwcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。

现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。

12 、（本题满分15 分）如果有理数m可以表示成2x2 6xy 5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”。

⑴ 个“世博数” a、b 之积也是“世博数”吗？为什么？⑵ 证明：两个“世博数”a、b （b 0 ）之商也是“世博数”。

13、（本题满分15分）如图，在四边形 ABCD 中，已知△ ABC 、ABCD> AACD 的面积之比是3 ： 1 ： 4,点E 在边AD 上，CE 、丁 c 、儿 BG DE 交BD 于G ，设———— GD EA ⑴求V7k220的值;边长的平方和。

................ BH⑵若点H 分线段BE 成——HE2的两段，且AH 2 BH 2 DH 22p ,试用含p 的代数式表不△ ABD 三14 、（本题满分16 分）2 22 222 2222观察下列各个等式：12 1,12 225,12 22 32 14,12 22 32 42 30, 。

⑴你能从中推导出计算12223242 n2的公式吗？请写出你的推导过程；⑵请你用⑴中推导出的公式来解决下列问题：2已知：如图，抛物线y x 2x 3与x、y轴的正半轴分别交于点A、B,将线段OAn 等分，分点从左到右依次为A1、A2、A3、A4、A5、A6、、A n 1 ，分别过这n 1 个点作x 轴的垂线依次交抛物线于点B i、B2、B3、B4、B5、B6、、B ni,设AOBA Q△A1B1A2、4AB2A3、4AB3A4、…、^A n i B n i A 的面积依次为S i、S2、S3、S4、、S n 。

①当n 2010 时，求& S2 S3 S4 S5 L S2010 的值;②试探究：当n取到无穷无尽时，题中所有三角形的面积和将是什么值？为什么?15、（本题满分16分）有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC；②腰长为4、顶角为36的等腰三角形JKL ;③腰长为5、顶角为120的等腰三角形OMN ;④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS ；⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ。

它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为 2.4、2.7的铁圆环。

我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”⑴证明：第④种塑料板“可操作”；⑵求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率。

16、（本题满分16分）定义：和三角形一边和另两边的延长线同时相切的圆叫做三角形这边上的旁切圆。

如图所示，已知：。

I是△ ABC的BC边上的旁切圆，E、F分别是切点，AD IC于点D。

⑴试探究：D、E、F三点是否同在一条直线上？证明你的结论。

⑵设AB AC 5, BC 6,如果ADIE和^AEF的面积之比等于m, -DE- n ,试作出分别以m>—为EF n m 两根且二次项系数为6的一个一元二次方程。

重点中学自主招生数学模拟试题一参考答案与评分标准一、选择题（共5小题，每题6分，共30分.以下每小题均给出了代号为A,B,C,D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号内.不填、多填或错填均不得分）2 21、如果关于x的万程x ax a 3 0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（C ）A、 2 a 2B、V3 a 2C、<3 a 2D、V3 a 22、如图，已知：点E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC的中点，BD、DF分别交CE于点G、H ,若正方形ABCD的面积是240 ,则四边形BFHG的面积等于A 、 26B 、 28C 、 24D 、 303、设x 、y 、z 是两两不等的实数，且满足下列等式：6/x 3（y x ）36/x 3（z x ）36/y ―x 6/x ―z,则代数式x 3 y 3z 3 3xyz 的值是 .................. （A ）4、如图，四边形 BDCE 内接于以BC 为直径的。

A,已知:BC 10,cos BCD 3, BCE 30，则线段 DE 的长 5是 ............. （D ）A 、如9B 、7 33C 、4+3 V3D 、3+4 V 35、某学校共有3125名学生，一次活动中全体学生被排成一个n 排的等腰梯形阵，且这 n 排学生数按每排都比前一排多一人的规律排列，则当 n 取到最大值时，排在这等腰梯形阵最外面的一周的学生总人数是A 、296B 、221C 、225D 、641二、填空题：（共5小题，每题6分，共30分。

不设中间分）6、已知：实常数 a 、b 、c 、d 同时满足下列两个等式：⑴ asin bcos c 0；⑵acos bsin d 0 （其中为任意锐角），则a 、b 、c 、d 之间的关系式是：2,22.2—a b c d —。

7、函数y x 1 2x 2 3x 3 4x 4的最小值是 8。

8、已知一个三角形的周长和面积分别是84、210, 一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一A 、0B 、1C 、3D 、条件不足，无法计算B周后回到原来的位置（如图），则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是9、已知：x ———,则22可用含x 的 ,5 .2有理系数三次多项式来表示为：• 2 =1 3 11 -x — X o 6 6p 3 p 2 q 2 r 2的所有可能的解p 、q 、r 组成的三元数组（p , q , r ）是(3,3,3)三、解答题（共6题，共90分。

学生若有其它解法，也按标准给分）11、（本题满分12分）赵岩，徐婷婷，韩磊不但是同班同学，而且是非常要好的朋友，三个人的学习成绩不相伯仲，且在整个年级中都遥遥领先，高中毕业后三个人都如愿的考入自己心慕以久的大学，后来三个人应母校邀请给全校学生作一次报告。

报告后三个人还出了一道数学题：有一种密码把英文按字母分解，英文中的a, b, c,L L , z26个字母（不论大小写）依次用1,2,3,L ,26这26个自然数表示，并给出如下一个变换公式：［X］ 1（其中x 是不超过26的正奇数）y21 ；已知对于任意的实数 x,记号［x ］表示不超过x 的最大［卜『］13（其中x 是不超过261 勺正偶数）8 111整数。

将英文字母转化成密码，如8［——］13 17,即h 变成q ，再如11 ［一］ 1 6,即k 变成f 。

22他们给出下列一组密码：etwcvcjw ej ncjwwcabqcv ,把它翻译出来就是一句很好的临别赠言。

现在就请你把它翻译出来，并简单地写出翻译过程。

略解：由题意，密码etwcvcjw 对应的英语单词是 interest, ej 对应的英语单词是 is, ncjw 对应的英语单8410、设p 、q 、r 为素数，则方程词是best, wcabqcv 对应的英语单词是 teacher. 所以，翻译出来的一句英语是Interest is bestteacher,（3分）12、(本题满分15分)如果有理数 m 可以表示成2x 2 6xy 5y 2(其中x 、y 是任意有理数)的形式，我们就称m 为“世博数”。